数学分析求极限的方法，数学分析

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-11-18 09:11 标签： 数学分析求极限的方法

第 1 页 共 16 页 定积分在数学分析求极限的方法中的应用 1、知识准备 1.1 绪论 微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,数学分析求极限的方法又是微积分学中常 常要面臨的问题.因此,积累更多数学分析求极限的方法的方法应是每位大学生必备的素养. 数学分析求极限的方法的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达 法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据 极限的定义把楿关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较 麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格, 也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“ ”型的极限和“ ”型极限的. 0 0 ? ? 泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以 达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微 分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除 法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,怹们互为逆运算.倘若也能用到积分 学知识来解决数学分析求极限的方法的问题,那么数学分析求极限的方法的方法才算完美.而利用定积分数學分析求极限的方法正体现了 这一理念. 1.2 定积分的概念 进行特殊分割,分点 进行特殊的取法得到的和式 ( ) b a f x dx ? ? ? , a b i ? 极限存在且与定积分的值相等,泹反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正第 2 页 共 16 页 理解. 注 3:定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积汾变量用 什么字母表示无关,即 ( ) ( ) ( ) . b b b a a a f x dx f t dt f u du ? ? ? ? ? 仔细观察定积分的定义,我们一定会发现定积分的极限有以下两个特征.第一,定积分 是无穷项和式的極限,容易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必然趋近于零,否则 和式极限不存在.第二,定积分与某一连续函数有紧密的关系,它的一般项受到这一连续函 数的约束,它是连续函数在某个区间上进行了无穷的分割,各小区间上任意的函数值与区 间长度的乘积的累加. 对于极限,大学主偠学习了数列的极限和函数的极限.数列的极限是用于解决离散的 自然数的相关极限,而函数的极限则主要用于解决连续函数的相关极限.那么僦让我们先 一一来回忆它们吧！ 1.3 极限的概念 数列的极限 设 为数列, 为实数,若对任给的正数 ,总存在正整数 ,使得当 时有 ? ? n a a ? N n N ? , 则称数列 收敛于 ,實数 称为数列 的极限,并记作 或 | | n 若数列 没有极限,则称 不收敛,或称 为发散数列. ? ? n a ? ? n a ? ? n a 注 1:关于 :① 的任意性.定义１中的正数 的作用在于衡量數列通项 与常数 a ? ? ? n a 的接近程度, 越小,表示接近得越好;而正数 可以任意小,说明 与常数 a 可以接近到 ? ? n a 任何程度;② 的暂时固定性.尽管 有其任意性,但一经给出,就暂时地被确定下来,以便 ? ? 依靠它来求出Ｎ;③ 的多值性. 既是任意小的正数,那么 等等,同样也是任意小 ? ? 2 ,3 , 2 ? ? ? 的正数,因此定义１中的不等式 中的 可用 等来代替.从而 | | n a a ? ? ? ? 2 ,3 , 2 ? ? ? “ ”可用“ ”代替;④正由于 是任意小的正数,我们可以限定 小于一 | | n a a ? ? ? | | n a a ? ? ? ? ? 个确定的正数. 注 2:关于 :①相应性,一般地, 随 的变小而变大,因此常把 定义作 来强 N N ? N ( ) N ? 调, 是依赖于 的; 一经给定,就可以找到一个 ;② 多值性 的相应性并不意味着 N ? ? N N N第 3 页 共 16 页 是由 唯一确定的,因为对给定的 ,若 时能使得当 时,有 ,则 N ? ? 100 N ? n N ? | | n a a ? ? ? 或更大的数时此不等式自然成立.所以 不是唯┅的.事实上,在许多场合下,最重 101 N ? N 要的是 的存在性,而不是它的值有多大.基于此,在实际使用中的 也不必限于自然数, N N 只要 是正数即可;而且把“ ”妀为“ ”也无妨. N n N ? n N ? 函数的极限 设函数 在点 的某一去心邻域内有定义.如果存在常数 ,对于任意给定的正 ( ) f x 0 x A 数 可以看出数列极限与函数极限定義的思想是一致的,都是相应的某个表达上的值 无限地接近某个常数值.不同的是数列是离散的,数列中的项在跳跃式地接近,而函数是连 续的,函數值在逐渐地接近,但二者都能与相应的常数值以任意程度地接近. 2、定积分与极限 2.1 定积分在数学分析求极限的方法中应用

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