大一高数极限教学视频的一道题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-10-21 11:15 标签： 大一高数极限教学视频

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第二章 二 、收敛数列的性质 三 、極限存在准则 一、数列极限的定义 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限 例如, 趋势不定 收 敛 发 散 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 已知 證明数列 的极限为1. 证: 要使 即 只要 因此 , 取 则当 时, 就有 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 已知 证明 证: 要使 只要 即 取 则当 时, 就有 故 故也可取 也可由 N 與 ? 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设 证明等比数列 证: 要使 只要 即 亦即 因此 , 取 , 则当 n > N 时, 就有 故 的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、收敛数列的性质 证: 用反证法. 及 且 取 因 故存在 N1 , 从而 同理, 因 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有 1.(惟一性) 收敛数列的极限惟一. 使当 n > N1 时, 假设 從而 矛盾. 因此收敛数列的极限必惟一. 则当 n > N 时, 故假设不真 ! 满足的不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 证明数列 是发散的. 证: 用反证法. 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 则存在 N , 但因 交替取值 1 与－1 , 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n > N 时 , 有 因此该数列发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. (有界性)收敛数列必有界. 证: 设 取 则 当 时, 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 虽有界但不收敛 . 有 數列 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. (保号性)收敛数列的保号性. 若 且 时, 有 证: 对 a > 0 , 取 推论: 若数列从某项起 (用反证法证明) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ********************* 4. 收斂数列的任一子数列收敛于同一极限 . 证: 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则 当 时, 有 现取正整数 K , 使 于是当 时, 有 从而有 由此证明 ********************* 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、(极限存在准则)数列收敛的判别法 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 , 例如 发散 ! 单调有界原理; 夹逼定理; 柯西准则 . 则原数列一定发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1. 单调有界的数列必收敛 ( 准则1 ) ( P33 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证 不妨设数列 单调增加有上堺.由确界公理知， 数列有上确界记其为 由上确界定义，对一切 有 另一方面 ，存在正整数 因为 单调增加所以，当 使得 机动 目录 上页 下頁 返回 结束 时有 因此，当 时有 即 收敛. 例5. 设 证明数列 极限存在 . (P34～P35) 证: 利用二项式公式 , 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 大 大 正 又 比较可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据准则 1 可知数列 记此极限为 e , e 为无理数 , 其值为 即 有极限 . 原题 目录 上页 下页 返回 结束 又 2. 夹挤定理 (准则2) (P35) 证: 由条件 (2) , 当 时, 当 時, 令 则当 时, 有 由条件 (1) 即 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 证明 证: 利用夹挤定理 . 且 由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 柯西极限存在准则(柯西准则) (P37) 数列 极限存在的充要条件是: 存在正整数 N , 使当 时, 证: “必要性”. 设 则 时, 有 使当 因此 “充分性” 证明从略 . 有 柯西 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 数列极限的 “ ? – N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 惟一性 ; 有界性

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