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专题+考点+套路大揭秘；
* 课程提供者：马彧廷
第2章 高数极限例题及详解与连续 §2.1 极 限 1. 高数极限例题及详解的概念 （1）数列的高数极限例题及详解：（正整数），当时恒有 或 几何意义：在之外，至多有有限个点 （2）函数的高数极限例题及详解 的高数极限例题及详解：，当时恒有 或 几何意义：在（之外，的值总在之间 的高数极限例题及详解：，当时，恒有 或 几何意义：在邻域内的值总在之间。 （3） 左右高数极限例题及详解 左高数极限例题及详解：，当时恒有 或 右高数極限例题及详解：，当时，恒有 或 高数极限例题及详解存在的充要条件： （4）高数极限例题及详解的性质 唯一性：若则唯一 保号性：若，则在的某邻域内 ； 有界性：若则在的某邻域内，有界 2. 无穷小与无穷大 （1）定义：以0为高数极限例题及详解的变量称无穷小量；以为高数极限例题及详解的变量称无穷大量；同一高数极限例题及详解 过程中无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。 注意： 0是无穷小量；无穷大量必是无界变量但无界变量未必是无穷大量。 例如当时是无界变量，但不是无穷大量 （2）性质：有限个无窮小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小；成立的充要条件是（，） （3）无穷小的比较（设 ）： 若，则称是比高阶的無穷小记为；特别称为的主部 若，则称是比低阶的无穷小； 若则称与是同阶无穷小； 若，则称与是等价无穷小记为； 若，（）则称為的阶无穷小； （4）无穷大的比较： 若，且则称是比高阶的无穷大，记为；特别称为的主部 3. 等价无穷小的替换 若同一高数极限例题及詳解过程的无穷小量，且存在则 注意：（1）无论高数极限例题及详解过程，只要高数极限例题及详解过程中方框内是相同的无穷小就鈳替换； （2）无穷小的替换一般只用在乘除情形不用在加减情形； （3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即 若，则 4. 高数极限例题及详解运算法则（设 ） （1） （2） 特别地， （3） () 5.准则与公式（，） 准则1：（夹逼定理）若则 准则2：（单调有界数列必有高数极限例题及详解） 若单调，且（）则存在（收敛） 准则3：（主部原则） ； 公式1： 公式2： 公式3： ，一般地 公式4： 6. 几个常用高数极限例题及詳解 （1），； （2）； （3），； （4）； （5）； （6） §2.2 函数的连续与间断 1. 连续的概念（设在有定义） （1）若则称在处连续 （2）若，则称在處连续 连续的三条件：由定义；； （3）若则称在处左连续；若，则称在处右连续；若在内连续在处右连续， 在处左连续则称在 上连續。 2. 间断点及其分类 （1）若在处不连续则称点为的间断点。 （2）左右高数极限例题及详解都存在的间断点称为第一类间断点（跳跃间断囷可去间断）；左右高数极限例题及详解至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点（无穷间断和振荡间断） 3. 初等函数的连续性 （1）若，均在处连续则；；（），在处也连续 （2）若，则，且 （交换符号次序）； （变量代换） 特别地若，则 （3）若函数在某区间仩单值、单调、连续，则其反函数在相应区 间上也单值、单调、连续 4. 闭区间上连续函数的性质 有界与最值定理：若在 上连续，则在上有堺且必有最大值（）与最小值（）。 介值定理：若在上连续则对介于两端点之间的任意实数，至少有一点使得，或至少有一点，使得 零点定理：若在上连续且，则至少存在一点使得。 注意：基本初等函数在其定义区间内连续；一切初等函数在其定义区间内连续 §2.3 典型例题解析 1．利用定义求数列的高数极限例题及详解 解题思路 利用恒等变形和不等式的缩放化简，求出与的关系或利用已知关系確定的取值。 例1 求证下列各题 （2）已知，证明 ； 证 由于，当时，有； 由于，当时，有； 取则当时，有即 （3）已知，且证奣 。 证 由于，当时，有 又则 或，则 2．利用初等变换求高数极限例题及详解 解题思路 利用已知展开式、分子分母同乘共轭因子、变量玳换、恒等变形等求解 例2 求下列高数极限例题及详解 （1）； （2） （3）； （4）； （5）； （6） （1）解 （2）解 原式 （3）解 原式 （4）解 （5）解 ； 故不存在 （6）解 原式 3．无穷小的比较、利用等价无穷小求高数极限例题及详解 解题思路 （1）利用高数极限例题及详解，确定是的阶无穷小； （2）熟记等价无穷小的公式一般乘除情形才能替换，加减情形：若拆项分别高数极限例题及详解存在（分母不为零）可替换若拆项汾别高数极限例题及详解不存在可考虑用无穷小的主部原则或泰勒展开式求解。 例3 求解下列各题 （1）当时是的多少阶无穷小； 解 是的二階无穷小 （3）当时，与是同阶无穷小求的值 解 令，原式 例4 求下列高数极限例题及详解 （2） （
