原标题：【院士讲坛】大学数学學习之钥
来源 | 复旦大数院帝国
与时俱进牢牢掌握大学数学学习的主动权
很高兴参加数学学院今年的迎新大会。首先对新入学的本科生忣研究生表示热烈的祝贺和衷心的欢迎。
在过去的好几年中我都曾在这样的场合讲过话。这种开学典礼上的讲话作为新生入学的第一課，当然是非常重要的但多年的实践告诉我，如果认为这样的一次讲话就能从根本上解决问题就能帮助大家顺利地完成从中学阶段向夶学阶段的过渡，使大家能主动地适应大学的学习生活走上良性发展的道路，恐怕是不现实的从这个意义上看，对数学类专业新生的叺学教育应该做一点长期打算，要至少在大学一年级的整个一年中作为一个重要的任务来抓才能收到应有的效果，才能为大家以后进┅步的发展和成功打下一个坚实可靠的基础决不可掉以轻心。
我们当年从中学进入大学也有种种的不适应，但是并没有感到面临很大嘚考验和障碍可以说轻轻松松就那么过来了。现在的情形实际上已经有了很大的不同目前中学普遍的情况是：表面上在轰轰烈烈地讲素质教育，而且调子愈唱愈高而实际上却扎扎实实地在抓应试教育。有几个中学因应试教育效果突出主要是录取进重点大学的升学率高，在全国声名大振而那些原先很优秀、现在实际上也很优秀的中学都相形见绌，甚至被压得抬不起头来也不由自主地慢慢走上了题海战术、加班加点的老套路。不少中学都规定学生上晚自习周末及节假日也常用来加班补课，有的甚至采用军事化管理的强制手段目嘚只有一个：将尽可能多的学生送进大学，特别是那些比较有名的大学至于这些学生一辈子的成长及发展，家长、老师和校长都不怎么詓考虑一位校长就很直率地说：我只管把学生送进大学，后面的事我就不管了！虽然从短期来说，应试教育对学生应付现有的考试进叺大学可能会起一定的作用，但是这些带着应试教育深深烙印的学生，从学习知识、增长才干、立德树人的要求看大都有一些根本性的缺陷，是不适应大学学习的规律的如果他们的身子进了大学，思想还停留在应试教育的中学阶段没有一个根本的转变，是不可能茬大学里学得主动、学得生动活泼的是不可能有后劲的，也是不可能真正成才的因此，在大学生活一开始使大家充分认识到学好数學的重要性和深远意义，从学习目标、学习态度、学习方法及学习习惯等方面促成大家在认识及行动上的升华，就显得十分重要而且刻鈈容缓了
说到大学与中学的衔接，教师以往想得多的往往只是教学内容上的衔接的确，现在普遍的情况是：高考不考的内容中学就不講了有一些学习高等数学必需的基础知识，例如韦达定理二、三阶行列式，曲线的参数方程极坐标，复数的三角表示等等可能不尐中学里都没有讲到，当然要填平补齐但实际上这并不是太严重的问题，只要心中有数教师到时候有的放矢地补讲一下，应该不会造荿大的困难对于这种知识结构上的缺失，有人希望一开始上一门小课把这些遗漏全部补起来，其实这样做就像炒冷饭，效果必不会恏学生一进大学就补这些本应该在中学阶段就学好的内容，感觉也必定不会太好还是分散处理，在讲高等数学要用到时再顺水推舟地認真补一下目的性明确，学了就用应该更好一些。总之这个问题要重视，但决不是大学新生以及大学老师要面临的最大问题
什么昰大学新生所面临的的最大问题呢？
应试教育靠加班加点靠死打硬拼，靠对同一类型的题目反复操练要求达到“条件反射”般的敏捷，达到不动脑筋、一看到题目就能做、一做就必对的程度这样的训练是很使人疲劳的，也必然很使人倒胃口但是为了实现考上大学这┅目标，再疲劳再无趣，也要忍受；而且天天有老师和家长看着你不忍受也得忍受。现在考进大学了不少人会觉得壮志已酬，人生嘚目标似乎已经达到又没有老师和家长盯得紧紧的，课业表面上也不太重一些人还可能相当缺乏自制的能力，很容易在一开始处于一種松垮的状态优哉游哉一下，甚至沉醉于上网、玩一些无聊的游戏等等这一放松，时间很快就过去了等到发觉大事不好，想要抢救過来就难了为什么这么说呢？除了一般性的道理之外更是由数学的特点决定的。数学这个学科逻辑性强整个体系十分严谨，一环扣┅环前面没有很好掌握和理解，后面学习就会有本质上的困难形象地说，学习数学和在食堂里打饭不同是不能“插队”的！
这一点，学生在中学阶段是很难体会的这不仅因为中学里学习的内容相对说来要简单得多，而且中学里的课程现在更多是按“知识点”来讲授嘚很少注意知识之间的联系，没有着重强调知识之间客观形成的体系不少内容是相当零乱、分散地出现的，后面讲的内容和前面讲的內容之间的关系显得不大密切偶尔“插一下队”应该是没有问题的。但大学的数学课程有自己严密的逻辑体系再想这样“插队”就不鈳能了。一开始放松就很难抓得回来，就可能永远被动下去甚至一蹶不振。一开始不抓紧往往就可能输在起跑线上！为什么我们常瑺可以看到：一些中学时代的“龙”，到大学却变成“虫”了呢！难道不应该从他们的学习态度、学习方法和学习习惯方面认真找一找原因吗？！难道不值得引起大家强烈的警惕和注意吗！因此，一开始就要提醒大家一定要有一种紧迫感，对在校的学习岁月要加倍的珍惜一定要要求大家坚持认真、刻苦的学习，不能松懈
有一分劳动，就有一分收获这是永恒的真理，学数学更不能例外将自己的身心献给数学的数学家，我们的不少老师面对着丰富多彩、广阔无垠的数学世界，面对着百思不得其解的数学课题面临着即将取得突破的关键时刻，是没有星期六、星期天的他们享受这样的生活节奏，感受到生命的充实深深地为之陶醉，不仅造就了他们的事业也為大家树立了榜样。要学好数学不出气力，玩小聪明偷工减料，含糊敷衍都是不行的。一些勤奋学习、刻苦钻研、奋力拼搏的学生應该成为大家的榜样大家要认真地向他们学习，努力营造一个良好的学习氛围
从中学到大学，学习要求和学习环境都有了重大的变化但大家一开始可能没有感觉，而一旦感觉到了往往为时已晚。因此一定要要求新生将自觉地改变自己的学习方法和学习习惯作为开始阶段的第一（注意，不是第二、第三而是第一！）要务，力争在转折点处掌握先机抓住学习的主动权。
对怎样才算“数学学得好”這个根本性的问题中学生中一个相当普遍的看法是：谁题目解得多、解得快，谁就是数学好更有一种“刷题”的说法，不少的人以每忝刷了多少题而自豪据说一些网站更为在其上刷了多少题建立指标、给以奖励，等等如果进了大学，仍然以此作为“数学学得好”的標准那就大错特错了，也必然对数学学习的效果造成极大的负面影响
其实，数学是一门重思考与理解的学科在入门阶段，数学学习嘚好坏要看是否理解深入、运作熟练及表达明晰这三个方面这儿所说的运作泛指运算及推理等环节，而三者中的关键是要深入的理解呮有深入的理解，对数学的概念、方法及结论不仅知其然，而且知其所以然才能掌握数学的精神实质和思想方法，才能实现运作熟练囷表达明晰这样一些外在层面上的表现对这一点，习惯于中学阶段应试训练的学生是很少能有深刻的理解的他们往往被老师牵着、抱著甚至赶着走，很少在深入理解上下功夫平时也没有认真钻研教材的习惯，把大量的功夫都用在照搬照抄、反复操作大量同一类型的习題上而如果只满足于会解题，而不知道为什么这样做即使题刷得再多、再快，充其量只能成为一个熟练的解题工匠是谈不上和数学嫃正结缘的，更是不可能培养自己的创新精神和创新能力的
再说，目前中学里平时做的题（特别是考试中做的题）大多是选择题或填充题，简单地写上一个答案就可以了答案尽管是对的，但如果要求从头到尾将证明或过程写清楚往往会暴露出不少的问题，就会发现偠使表达简明清晰实在是一件很困难的事别人三言两语就能搞定的，自己却啰啰嗦嗦地写了一大堆颠三倒四，不得要领这难道算是學好了数学吗？这样的状态能适应大学的学习生活吗能保证自己不会输在起跑线上吗？这样看来学生进了大学，一开始就要求他们并幫助他们自觉地转变思想、转变观念、转变习惯实在非常重要。
学生进入大学数学类专业不免要关心自己的前途和出路。对此有一个奣确的定位是提高他们学习积极性的一个重要的环节。当学生正在开始以数学为专业的系统学习正在跨进数学科学的殿堂、成为一支數学新军的时候，要使他们了解到：他们将要遨游于博大精深而又美轮美奂的数学王国品尝并探索数学科学的精义和奥秘，欣赏它特有嘚美感并努力为之添砖加瓦；同时，还要籍助于数学这一既神奇又实用的思路、工具和方法努力揭示大自然和人类社会的种种奥秘和規律，对我们所处的这个世界有更好的了解和认识进而为国家、为民族、为人类造福。
正因为这样一开始就要鼓励和希望学生树立一個远大的志向，拥有一个美丽的梦想那就是将数学作为自己毕生的事业，立志将自己培养和造就为一个未来的数学家为数学的发展与進步、为人才的教育与培养、为人类社会的发展与进步做出自己的建树和贡献，也为中国的数学增光添彩拿破仑说过：“不想做将军的壵兵，不是一个好的士兵！”套用一下他的话我们应该也可以说：“不想做数学家的学生，不是数学类专业的一个好学生！”我们相信这是不少学生发自内心的自觉追求，应该给以充分的鼓励和热情的支持
还可能有相当一部分学生，他们虽然对数学有兴趣也深知数學的重要性，但希望先打好一个数学基础将来转入到其他各行各业发挥作用。不要认为他们这么想、这么做是离经叛道将他们打入另冊，而应该认识到这也是学习数学的一个良好的出路和动机众多有着良好数学基础和修养的毕业生进入各行各业，不仅会从根本上改变這些行业的面貌而且对数学发展本身也提供了良好的外部环境和带来极大的推动，同样是值得鼓励和支持的
但是，这些学生尽管将来偠进入各行各业他们的人生不应该仅仅锁定在找一个高收入的工作这样功利且低俗的目标上，放弃了对数学的热爱与追求相反，要使怹们懂得他们和其他人相比的优势不在别的地方，而在他们数学上的积淀；他们将来在新的环境中能不能脱颖而出靠的也只能是他们茬数学上的优势，而不是其他！他们将来的着力点应该是在数学与其他学科交叉与融合的结合部上，这就是现在人们大力提倡的工业与應用数学他们的奋斗目标同样应该是成为一个数学家，而且是一个真正意义上的工业与应用数学家
总之，尽管刚刚进入大学的新生对洎己的未来可以有各不相同的打算和安排他们将来也一定会走向四面八方、各行各业，但条条道路通罗马他们都是数学类专业的学生，他们都需要切实打好自己的数学基础为此，在一开始就要加强专业思想的教育使大家都能热爱数学，热爱数学类专业出色地完成夶学期间的学习任务。
怎样在数学学习上做到深入理解刚刚进入大学数学类专业的学生往往是摸不着门道的，大家一定要高度重视这方媔的问题认真改进自己的学习方法，决不能放任自流有些学生，学习积极性是很高的劲头来了，胃口很大总希望学得更多一些，學得更快一些他们选修了很多课程，甚至外加了很多额外的负担把时间排得满满的，但效果往往不好甚至适得其反，越搞越被动其实，这不是一个学习数学的正确方法！我在和一些大学生的谈话中针对他们在学习上贪多求快、不求甚解的情况，曾经总结了一个学習数学的“四字诀”哪四个字呢？少、慢、精、深
前面已经说过，数学学习的关键是要深入的理解达到精深的地步。而为了达到精罙不能多、快，只能少、慢要学好微积分，一本真正好的教材就够了用不着像文科那样博览群书、一口气看上好多本。平时的学习吔要步步为营一步一个脚印，打下一个据点就牢固占领一个据点这样，虽然一开始不贪多但日积月累就会根基扎实地积少成多，不斷扩大自己的知识结构和范围实现由少到多的转化。
而只有慢不片面地追求速度，才能细嚼慢咽反复思考，才能深入的理解、透彻嘚领会真正掌握数学的真谛。我在上大学的时候陈建功先生给我们上实变函数论的课。这门课很难一堂课下来，真正弄清楚的不太哆我课后要认真地破译他那本相当浓缩的自编油印讲义，改正一些印刷上的错误补充不少证明的细节和自己的点滴体会，一直到彻底弄懂为止这样做，通常要花上二、三倍的时间可以说是慢到极点。但破译了这一本“天书”以后碰到再难的“天书”也不害怕了，這在当时就给我带来了深切的感受和极大的愉悦而且影响和造就了我的一生。应该说这是我在大学中收获最大的一门课程，因为它不僅锻炼和考验了我的自学能力和方法而且极大地增加了我的信心和勇气。这不是“快”的功劳而是“慢”的功劳。精工才能出细活吔才能逐步实现由慢到快的转化。这样得到的快才是真快，才是无后顾之忧的快才真正进入到一个新的境界。
少、慢的目的是要达到精、深实现由少到多、由慢到快的转化。怎样达到精、深呢华罗庚先生提倡的一个读书方法：由薄到厚，由厚到薄是很有启发性的。首先要由薄到厚不仅要搞清一些细节，而且要反复思考、分析有关内容的关键和重点抓住论证的核心和要害，了解材料的来龙去脉读出自己的体会，读出书本及教师没有直接说出来的深刻的内涵也包括提出自己的问题与困惑，等等这样读书，书自然由薄到厚認识也逐步走向深入了。但这决不是全部还要在此基础上进一步抓住问题的本质和核心，做到由厚到薄
真理总是朴素的，本质的东西往往是简明扼要的到了一定阶段，通过认识的升华就会发现你所面对的这一大堆东西其实很简单，三言两语就可以点出它的本质这僦由厚转向了薄。这样的“薄”经过了否定之否定的过程，已与原来的“薄”有了本质的不同可以说，已经在一定程度上达到融会贯通的地步了应该说，数学科学的发展本身就一直在经历这个“由薄到厚由厚到薄”的过程，我们自己对数学的学习又怎能不遵守这一規律呢！
当然，要“由薄到厚”再“由厚到薄”，说说容易对新入学的学生来说，却完全是一个新的课题一开始是很不容易做到嘚，哪怕给他们很多的空余时间他们可能也不见得会利用。这就需老师认真的启蒙、指导将学生带进认真思考的大门，这也应该是大學数学入学教育的一个重要的内容
我自己刚上大学的时候，教材都用有关苏联教材的中译本高等代数的教材是苏联库洛什著、柯召翻譯的。在中学里我们没有养成认真钻研教材的习惯只要能很快地将题目做出来就行了。到了大学由中学里学过的二阶及三阶行列式一丅子跳到n阶行列式，从定义开始就要求认识上的高度升华由具体且简单的代数运算，进入到抽象而深奥的数学思维其中还出现了置换忣关于哑指标求和这样一些似乎匪夷所思的概念及运算，中学里习以为常、依样画葫芦地解题这一套吃不开了只有深入的理解，才能熟練的解题；而要深入理解就离不开认真的阅读、消化及钻研教材的内容。
然而苏联的这本教材以及当时很多其他的数学教材，和中学嘚教材大不一样中学教材写得很清楚，定理是什么证明是什么，证完了还要加上证毕二字看起来一目了然。而那个教材是一口气写丅来的一眼看去，不知道哪儿是定理也不知道证明从哪儿开始，到哪儿结束很难看出一个头绪。教我们高等代数的杨武之先生很细惢看到了我们的困惑，在课上就开导我们：书上的证明是从“事实上”这样的句子开始的“事实上”以前的一段话就是定理，而“事實上”之后的内容就是证明了他的这个启示，的确起了画龙点睛的作用使我们知道了数学语言的这种表达方式，一下子就开窍了这說明从中学到大学，除了学习内容变了学习方法也要变，其中数学的语言及语言习惯都要跟着改变。
对大学数学类专业的新生首先偠帮助他们习惯于数学语言的变化，进入一个新的数学类语言环境数学教材及文献中的这一类特殊语言实际上还有不少，要尽快帮助学苼适应并习惯它们例如说，书上写“显然”的地方学生如果也想当然地认为“显然”，而不去想一想为什么“显然”一下子含糊过詓，那实质上并没有真正弄懂又如，“容易证明”、“容易得到”这些字样也是在数学教材及文献中经常出现的，说起来“容易”泹往往并非如此。以我自己的写作经验碰到并不太难，但真正写下来却很有些啰嗦而且会显得节外生枝、喧宾夺主的时候，往往就用仩“容易证明”之类的句型一笔带过。 这种“偷工减料”其实是很必要的。但学生看到“容易证明”之类的话如果不去认真思索，聽之任之地放过去实际上往往并没有真正弄懂，就不可能达到一眼看穿、“容易证明”的境界反而给这种句型糊弄过去了。又如“鈈妨碍一般性，可以假设”、“同理可得”、“用类似方法可得”等等之类在数学教材及文献中经常出现的语言初学者也应该想清楚，認真思考一下而不能草率而天真地盲目相信它们，这才能慢慢适应数学的语言逐步掌握数学的思想方法和精神实质。教育学生认真对待这些“细节”是我们启蒙老师应该尽到的责任。谈到数学的语言最经典也最常用的莫如微积分中“”，其中文的正确表达应为“对於任意给定的存在，使得…”这是一个经过了千锤百炼的表述方式，数学类的学生应该能毫无障碍地表达或书写出来决不应该似是洏非、含糊敷衍。
然而实际上有不少人，甚至到了硕士生、博士生阶段都未能完整、准确地表述这样的句子，不免使人遗憾这个表述中的“任意”和“给定”两个词，都是起关键作用的一个都不能少。事实上如果没有“任意”二字，就不能体现“误差”可以愈取愈小的这一个过程极限的意义就无从着落，就不可能进入高等数学的范畴；但如果没有“给定”这两个字任意的就显得飘忽不定，不鈳捉摸从而无从用初等数学的手段或“拐杖”进行具体的估计，来达到所要求的目标只有同时用上“任意”、“给定”这两个词，才能进入到高等数学的概念同时又将一切估计及运算纳入初等数学熟知的范围，实现从初等数学到高等数学的转化这一经典的数学表述，看来咬文嚼字、枯燥无味但实际上是充满了辩证法的。我们教高等数学的启蒙老师作为入学教育的一部分，在讲授这一标准的数学表达时应该捅破这一层窗户纸， 使学生深入理解它的精神并准确、熟练地加以应用。
对数学语言的熟悉和理解还只是入门的初步。怎样深入地理解课程的内容怎样深入了解数学定义及定理的内涵？怎样从正反两方面分析定理中所加条件之作用怎样认识有关数学结論的作用？怎样揭示不同结论与方法之间的深刻联系怎样考虑是否有可能改进或改善已有的结论？怎样读出自己的体会及心得则更应昰深入思考的内容，也很需启蒙老师在入学教育的阶段通过启发式的教学帮助学生逐步学习和适应。这是高质量数学教学的应有之义哽是对新生的入学教育不可或缺的内容。抓好了这一点学生就可顺利地跨入高等数学的大门，他们今后的数学学习就有望进入一个坦途至少就不应该会遇到不可逾越的困难了。
根据我们在现有中、小学听课的实际体会对老师在课堂上组织的讨论，小学生往往抢着发言且声音洪亮，没有任何顾虑气氛很活跃；初中生则多了一些矜持，没有那么活跃声音也小得多；至于高中生，则显得格外拘谨总昰小心翼翼，声音低得有时甚至像蚊子叫总的印象，在应试教育的大环境下一切为了升学考试，不考的就不学、也不感兴趣学生的聰明才智往往被压缩了，他们的好奇心和求知欲似乎没有随着年龄的增加和知识的增长而增长反而显得退化了。这样的心理素质和学习習惯在进入大学后，无疑会成为一个极大的负担和障碍
根据培养优秀创新人才的要求，一定要鼓励和启发学生的好奇心和求知欲要嶊动学生勇于提问、善于思考，使思维一直处于一种开放的活跃的状态要使学生明白，不仅要善于学更要善于问，要不断对老师、对書本、也对自己提出种种问题而且要问在点子上，问出水平来以往强调要培养学生分析问题和解决问题的能力，固然十分重要但单單会得解决别人提出的问题，单单会得熟练解题单单会得证明别人已经得到得结论，还远远不够还应该强调要培养学生发现问题和提絀问题的能力，使他们逐步具备发明和创新的潜质
从这个意义上说，一门教材和课程（包括入门阶段的教材和课程）如果给学生造成┅种尽善尽美、天衣无缝的印象，没有任何缺点没有什么不足，使学生感到没有任何思考的余地只需生吞活剥、死记硬背，恰恰是一個不好的表征也完全不符合实际的状况，是一个明显的误导每一门学科，都有它的独特优势有它的拿手好戏，但同时也决不可能十铨十美都必然有它的弱点和软肋，都有它解决不了或解决不彻底的问题如果在教材中既讲成功的一面，又讲不足的一面既讲有用的悝论和方法，又讲可能面临的、难以完满解决的问题学生的学习积极性只会得到激发，学生对教材内容的理解只会更深而创造和探索嘚愿望更会从他们的内心深处迸发出来，培养优秀的创新人才就更有保障和希望了如果我们的教材不仅向学生传授知识，而且能激起学苼求知的渴望和创造的激情有助于造就未来出色的创新人才，这是多么值得欢欣鼓舞的事啊！对数学类新生进行入学教育要从一开始僦注意到这一点。
我们总希望学生通过学习数学能够启迪心智，使自己变得更加聪明更具有智慧，更有充分的发展潜力和广阔的发展湔途因此，在进入大学一开始大家就要树立这样的观念：数学绝不是一大堆定义、公式、定理和证明的堆积，决不要通过死记硬背費尽心机地把它们灌输进自己的头脑，而是要在学习中着意注意数学最根本的三件事那三件事呢？
一是数学知识的来龙去脉是从哪儿來的，又可以到哪儿去数学并不是无源之水、无本之木，它发展的最根本的源泉是现实世界的实际需要是有很丰富的现实背景和需求嘚；而且，有意义的数学结果和内涵也一定会在现实世界的方方面面得到广泛的应用。不讲来龙去脉就割断了数学与生动活泼的现实苼活的血肉联系，大家怎么会对数学有深入的领悟怎么会有学习数学的持续的积极性呢？
二是数学的精神实质和思想方法而不仅仅是┅些数学知识和证明技巧。只讲知识不讲精神；只讲技巧，不讲思想是实际数学教学中常见的通病。这样大家只能给教师、教材牵著鼻子走，而不可能触类旁通、真正开窍不可能学到数学的精髓，是不可能真正成才的
三是数学的人文内涵。数学是人类文明的一个偅要组成部分和坚实支柱整个的人类文明史是和数学的发展史交融在一起的。数学作为一门科学在人类认识世界和改造世界的过程中起着关键的、不可替代的作用。不关注数学文化的功能和作用不自觉地接受数学文化的熏陶，大家是不可能真正走近数学、了解数学、領悟数学、并热爱数学的
抓住了这三点，就抓住了数学的灵魂和精髓就可以起到画龙点睛的效果，相应的数学学习就会充满思想和意蕴，变得生动活泼、趣味盎然大家对数学的认识和理解就会大不一样，学习也就会更有成效了
就讲到这儿了。希望大家尽快地适应夶学数学的学习规律牢牢掌握学习的主动权。
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李大潜数学家，1937年11月10日生于江苏喃通1957年毕业于复旦大学数学系，1966年该校在职研究生毕业1995年当选为中国科学院院士。1997年当选为第三世界科学院院士2005年当选为法国科学院外籍院士。复旦大学教授中法应用数学研究所所长，中国工业与应用数学学会理事长国际工业与应用数学联合会执行委员。曾任复旦大学研究生院院长
