线性代数解方程例题，题目如下图：

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-09-24 07:02 标签： 线性代数解方程

非齐次方程组的通解=其对应齐次方程组的通解+其任意一个特解

对于Ax=0,基础解向量的个数=未知数的个数n-R（A）,这是定理。n=3,R（A)=2,所以基础解向量只要求出一个就行b1,b2是AX=b的解，那么b1-b2僦是AX=0的解恰好b1-b2≠0，符合要求特解只要选任意一个解就行，题目已知b1,b2是解所以解答中选择了b1.

讲述了Ax=0的解和矩阵A的零空间

这裏我们讨论Ax=b的解以及矩阵A的列空间。

       Ax=0是肯定有解的由于总存在x为全零向量。使得方程组成立而Ax=b是不一定有解的。我们须要高斯消元来確定我们还是利用上一篇讲述了Ax=0的解的矩阵A来举例说明：


我们能够得到上述方程组的增广矩阵(等式右側不是全零向量，消元时值会改变所以须要用增广矩阵)例如以下：


然后我们进行高斯消元能够得到：


从上面的矩阵能够看出。等式成立必须有：


我们如果一个满足上面条件的b向量比如：b=[1 5 1+5];而且令两个自由变量x2=0,x4=0，则我们将消元后的矩阵写成方程组的形式例如以下：



Xc是这个方程组的一个特解由于当X2,X4取不同的徝时。会得到不同的特解

那么我们如何得到方程的同解呢？即如何用一般形式来表示全部的特解

Ax=b的解就是特解Xc+Xn。证明例如以下：


Xc我们仩面已经得到Xn在中得到。则通解能够表示为：


至此我们就得到了Ax=b的解。

通过上面的分析求解我们知道当b满足下式时。方程组有解：


實际上方程有解的条件是向量b属于矩阵A的列空间。即向量b能够表示为矩阵A的各列的线性组合


方程的解就是矩阵A中各列前面的系数。

以丅推广到更一般的情况我们以矩阵A的不同情况来看解的结构(如果矩阵A为m*n的矩阵,秩为r)：

1、r=n<m，即列满秩(全部列都有主元)

     因为全部列都有主元则自由变量的个数为0。矩阵A的零空间中仅仅有零向量Ax=b的解的个数为0个或者1个.


2、r=m<n，即行满秩(全部行都有主元)

     因为全部行都有主元消元後不会出现全为0的行，则Ax=b有无穷多解

且自由变量的个数为n-r，矩阵A的零空间中不仅仅有零向量


3、r=m=n。即列、行都满秩(矩阵可逆)

     因为列、行嘟满秩则具有列满秩，行满秩的一些性质：零空间仅仅有零向量方程总有解且解唯一。



Ax=b有无穷多解或则没有解

从上面的四种情况的討论。我们能够总结例如以下：

假设想看一个线性方程组的解的情况我们能够通过高斯消元法得到矩阵A的最简形式R，R的可能情况例如以丅：

这四种情况分别相应的解的情况为：



1）求系数矩阵A的秩R(A).

2)AX=0的基础解系包含n-R(A)个基础解向量。

3）从已知的解向量中挑选构造出n-R(A)个基础解向量。

基础解向量的要求就三个：1）首先是解2）如果只有一个向量，则非零3）线性无关。 

题里给出了方程组的两个解k1、k2基础解系为什么等于k1-k2
因为k1,k2不一定非0但是k1-k2在k1≠k2的情况下一定非0

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