数学概率问题图像问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-09-05 10:26 标签： 数学概率问题

这几天在看面试题时遇到一些非常恶心的概率问题， 加之因为之前数学大多忘记的一干二净了，就更是头疼。

所以把一些基本概念和常见的解法做一些总结，但愿能让思路清晰一些。

伯努利试验：每次试验相互独立，每次试验可能有两种结果 ：成功(概率为p)、失败(概率为q)

问题1, 试验取得一次成功则停止，求总共需要多少次试验？

问题2, n次实验成功多少次？

然后简单汇总一下这几天遇到的主要题型

抛硬币问题即是典型的伯努利问题，且成功和失败概率都为1/2 

问题1 有一苹果，两个人抛硬币来决定谁吃这个苹果，先抛到正面者吃。问先抛这吃到苹果的概率是多少？

假设第一个人吃到苹果的概率是P。第一次抛硬币若为正面则先抛者赢；若为负面且后抛者也为负面，则主动权回到先抛者，回到原问题。

问题2游戏规则为，连续2次抛到硬币朝上，则游戏结束。问平均抛多少次游戏可以结束？

平均抛多少次，即是求问题的期望。

首先先抛一枚硬币，如果是花，那么需要重头开始；如果是字，那么再抛一枚硬币，新抛的这枚如果也是字，则游戏结束，如果是花，那么又需要重头开始。根据这个过程，设抛硬币的期望次数为T，可以得到关系：

连续抛 k 次朝上的解法：

假设连续k次正面朝上的期望为Ek，在连续出现k次正面朝上后，下次一也为正面的期望为

参考如下两篇文章，有更透彻的解析：

问题3 A和B2人投硬币,正面A得1元,反面B得一元.起始时A有1元,B有100元.游戏持续进行,直到其中1人破产才终止.

类似的问题有，武器升级问题 

问题1 一个骰子，6面，1个面是 1， 2个面是2， 3个面是3， 问平均掷多少次能使1,2,3都至少出现一次？

分岔树的递归方程解法更容易理解，及期望的递推公式

假设L123即为问题所求的期望，用L23 L12 L13表示使其中两个数字至少出现一次的数学期望，则有

问题1 生成不重复的随机数列

思路一： 每次生成一个数后从原数据中删除该数

思路二：每次生成一个数后与最后一个数交换，并将原数组-1

另外，附加一个宝剑升级的问题

在很多面试题中都有看到过这题

宝剑从0级升到1级的概率是1，

从1级升到2级,有1/3的概率降一级，1/3概率不变，1/3概率成功升级

从2级升到3级的4/9的概率降一级，4/9概率不变，1/9概率成功升级

每次升级需要1颗宝石，求从0到3级的宝石数期望

设E0 为从0升到3级的期望，即为所求

E1 为从1升到3的期望

E2 为从2升到3的期望，得出方程

另外一题为，宝剑每次升级成功和失败率都为50%，当等级>=5 时，失败降一级，<5时，失败保持不变

求从1升到9级的期望。


要：初等代数、数学分析是概率论的基础，而概率论是具有广泛应用的数学分支.对于某些复杂的问题，使用初等代数和数学分析中的方法是难以解决的，但是利用概率论的方法去解决却很简便.本文主要通过构建概率模型、利用中心极限定理求极限；利用方差、概率的性质证明不等式；利用常见分布的数字特征、特征函数以及大数定律求积分.运用概率论的方法去解决其他数学问题有一定的优越性，只要建立恰当的模型，问题就解得轻而易举，同时也说明各个学科之间联系是非常紧密的.因此概率论方法是我们在教学研究中值得运用的方法.


　　概率论作为数学的一个分支，与其他学科分支有着密切的联系，具有广泛的应用性。著名的数学家王梓坤院士指出：“用概率论的方法来证明一些关系式或者解决其他数学分析中的问题，是概率论的重要研究方向之一。”概率论方法不仅能解决一些随机的数学问题，而且还可以解决一些确定的数学问题，而且某些在数学分析中很难解决的问题，只要运用合适的概率论模型或是定理，就能得到很好的解决。
　　二、概率论与数学分析的联系
　　众所周知，概率论的大厦是建筑在微积分的地基之上，而概率论的调色板，则始终是以数学分析为底色的.但是作为微积分的一门后继课程，概率论并非按微积分中的思维方法发展下去，而是另辟蹊径，其发展路径与微积分大相径庭，最终成为了随机数学的典型代表，具备了与微积分分庭抗争的地位.更因其非线性、反因果的非理性特征，显得比经典的数学分析更具有时代精神.而作为确定性数学典型代表的数学分析对概率论的发展具有很大作用，因此寻绎数学分析在概率论中的地位，阐述概率论的因果特征是很有意义的.
　　集合论与概率论的公理化体系；集合论是在微积分的营养液中培育出的一颗明珠，而公理集合论使微积分的纷争彻底休止.众所周知，数学的研究对象一般都是内涵着某种结构的集合，或者是可以通过集合定义的事物.因此说，集合论可以充当整个现代数学的基础.在这一点上，数学分析和概率论都不应例外.由于集合论与微积分之间存在着明显的源和流的关系，又由于勒贝格积分有效地建立了集合论与测度论的联系，进而形成了概率论的公理化体系.因而集合论对概率论的渗透可视为微积分对概率论的一次较有力的推动.
　　函数、随机变量与分布函数；在函数关系的对应下，随机事件先是被简化为集合，继之被简化为实数，随着样本空间被简化为数集，概率相应地由集函数约化为实函数.以函数的观点衡量分布函数F（x），F（x）的性质是十分良好的：单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导.因之，数学分析中有关函数的种种思想方法可以通畅无阻地进入概率论领域.随机变量的数字特征、概率密度与分布函数的关系、连续型随机变量的计算等等，显然借鉴或搬运了微积分的现成成果. 不难确知，概率论的公理化、体系化的动力源，不仅是集合论和测度论，更重要更基本的仍然是数学分析的那一套理论.因此，概率论形成体系后的高歌猛进，不妨视作概率论向着微积分的靠拢与回归.
　　级数在概率论中的特殊作用；200年前，拉格朗日就指出凡是函数都能用幂级数表示的事实.随后傅立叶发现所有函数都能用傅立叶级数表示，康托尔引入点集拓扑的概念.然而对概率论产生影响的不光是傅立叶级数，还有等比级数、二项式和式、调和级数等等.作用是方方面面的，有的构成反例，有的便于计算，有的揭示出了特殊的计算方法等等.
　　三、概率论方法解决其他分支数学问题
　　概率论方法解决无穷级数问题的意义 。无穷级数是无穷多项相加，可能收敛，可能发散。当级数收敛时，其和存在，然而如何求出收敛的无穷级数和，至今没有简便易行的统一求和公式。从上述六个例题中，不难发现，用概率论方法解决无穷级数问题避免了数学分析中求无穷级数的常见缺陷，利用广义贝努力模型等概率论模型，根据相关概率论模型的性质，直观地解决无穷级数问题，优势显而易见。
　　概率论方法解决积分问题。概率论是研究随机现象及其规律性的数学学科，它既有着自己独特的概念和方法，内容丰富，又与其他科学分支有着紧密的联系，具有广泛的应用性。在概率论中，连续性随机变量的概率分布函数、数学期望与积分有着一定联系， 这使得用概率论的思想方法证明某些积分不等式成为可能。下文将运用概率论的思想方法，重新推证一些积分问题。
　　概率论方法解决恒等式问题。复杂恒等式的证明在数学分析中一直比较麻烦的，然而通过上述三道例题的证明，我们可以看出通过构造合适的概率模型解决恒等式问题的相当方便的。只要我们等构造合适的概率论模型，根据概率论中的相关知识，我们可以将数学分析中的恒等式问题转化为概率论问题，从而解决恒等式问题，这样的方法简单、直接，是解决这类问题的好方法，不仅如此，用概率论方法解决恒等式问题还使得一些抽象数学在现实生活中找到具体的模型，使其具体化、直观化。
　　数学分析与概率论作为数学的两个分支，它们之间一定有必然的联系。然而传统的概率论应用让我们很容易忽略概率论方法在解决数学分析中的应用：概率论方法解决极限问题、概率论方法解决无穷级数问题、概率论方法解决积分问题、概率论方法解决恒等式问题、概率论方法解决不等式问题，对概率论方法在数学分析中的应用介绍，我们对用概率论方法解决数学分析中的问题有一定启发：利用概率论方法解题的关键，是根据不同的数学问题，建立合适的随机模型，然后利用概率论中的相关定理，直接得到答案。概率论方法不仅在数学分析中能方便的应用，在其他的数学分支中也应该有其重要的应用。
　　[1]马文.概率应用及思维方法[M].重庆大学出版社，2009.
　　[2]叶乃琛.用逐项微分法求随机变量得数学期望与方差[J].中国包头职大学报， 2009，9：
　　[3]陆晓恒.概率方法在数学证明问题中的应用[J].高等数学研究， 2003，6（3）：43-44.
　　[4]于义良.概率论中的微积分方法[J].工科数学，2007，13（4）：163-166.
　　[5]孙荣恒.趣味随机问题[M].北京：科学出版社，2004.
　　[6]张德然.概率论思维论[M].合肥：中国科学技术大学出版社， 2004.
　　[7]魏宗舒.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2008.
　　[8]颜贵兴.概率论与数学分析中的方法的相互运用[J].南宁师范高等专科学校学报， 2011，1：31-33.

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