【Tea、】高中函数值域的12种求法【龙族茶吧吧】_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
本吧签到人数：0可签7级以上的吧50个
本月漏签0次！成为超级会员，赠送8张补签卡连续签到：天&&累计签到：天超级会员单次开通12个月以上，赠送连续签到卡3张
关注：2,181贴子：
【Tea、】高中函数值域的12种求法
貌似数学大家都挺头疼....我先死过来发这个......别的等下发......
然后....我也是空间看到的转过来的.....喷子绕道好走不送,谢谢、
一．观察法
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，
故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为
点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了
二．反函数法
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：由条件得函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想
三．配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]
∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
四．判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0
当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3
当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
五．最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
六．图象法
通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
解：原函数化为 －2x+1
显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。
点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
七．单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
八．换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
解：设t=√2x+1 （t≥0）,则
x=1/2(t2-1)。
y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
九．构造法
根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1 。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
十．比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。
函数的值域为｛z|z≥1｝.
点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式
十一．利用多项式的除法
例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法
十二．不等式法
例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],
由对数函数的定义知
x/(1-x)＞0
解得，0＜x&1。
∴函数的值域（0，1）。
点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。
————————————————END——————————————————————
你们都学导数吗？我亲爱的导数哪去了
= =、理科生表示、万能的求导单调性法、、、、、、
我真的不想学高数！
我下下星期段考……
似乎是个好东西…嗯再看看0-0
贴吧热议榜
使用签名档&&
保存至快速回贴用配方法将二次函数y=½x²-2x+1化为y=a（x-h)²+k的形式是什么？要具体步骤_百度知道
用配方法将二次函数y=½x²-2x+1化为y=a（x-h)²+k的形式是什么？要具体步骤
答题抽奖
首次认真答题后
即可获得3次抽奖机会，100%中奖。
擅长：暂未定制
y=0.5(x²-4x+1)-0.5+1=0.5(x-1)²+0.5
来自：求助得到的回答
采纳数：475
获赞数：2670
y=½x²-2x+1=1/2(x^2-4x+4-4)+1=1/2[(x-2)^2-4]+1=1/2(x-2)^2-2+1=1/2(x-2)^2-1
为你推荐：
其他类似问题
您可能关注的内容
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。论文发表、论文指导
周一至周五
9：00&22：00
求函数值域常用的方法
　　内容摘要:函数是中学数学重要的基本概念之一,它与代数式、方程、不等式、三角函数等内容密切联系,应用十分广泛。函数的值域是函数的一个重要组成部分,值域是由定义域和对应法则所确定的。在研究函数值域时,不但要重视对应法则作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用,在初等数学的范围内,求函数的值域是没有通用方法的,它不像定义域有一定可依据的法则和程序,因此要根据问题的不同特点,综合而灵活地运用各种方法求之。下面列举几种函数值域求解的常用方法。 中国论文网 /3/view-9435.htm　　关键词:函数;值域;方法 　　中图分类号:G623.5文献标识码:A 　　 　　函数是中学数学重要的基本概念之一,它与代数式、方程、不等式、三角函数等内容密切联系,应用十分广泛。函数的值域是函数的一个重要组成部分,值域是由定义域和对应法则所确定的。在研究函数值域时,不但要重视对应法则作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用,在初等数学的范围内,求函数的值域是没有通用方法的,它不象定义域有一定可依据的法则和程序,因此要根据问题的不同特点,综合而灵活地运用各种方法求之。下面列举几种函数值域求解的常用方法。 　　一、观察法 　　对于一些简单函数,可通过对于函数定义域及对应法则的观察分析求值域。 　　例1:y=1-|x| 　　解:∵|x|≥0 ∴y≤1 故所求的值域为(-∞,1〕 　　例2:求函数 的值域 　　解:∵∴ 　　 　　∴ 故值域为(-∞,1)∪(1,+∞) 　　 　　注:若观察出函数是单调函数,则可利用函数单调性求值域。 　　二、判别式法 　　用判别式求(a1,b1,c1,a2,b2,c2皆为常数,a1、a2不同时为零)型函数值域时分两种具体情况: 　　1.当分子与分母有公因式时,这时,可先约去公因式后再求值域,但须除去使公因式为零的x所对应的y值。 　　例3:求函数的值域 　　 　　解:由 　　可知y≠1/2,同时因x≠2,故y≠3/2 　　∴所求值域为{y|y∈R且y≠1/2,y≠3/2｝ 　　2.当分子与分母无公因式时,使用判别式求值域时,先转化为含参量y的一元二次方程,但要从判别式求出的结果中除去关于x的一元二次方程的二次项系数为零且又使方程无实数解的y值。同时要注意弄准函数定义域,并要检验边界点能否达到,否则可能得到错解。 　　例4:求函数的值域 　　解:经检验分子、分母无公因式,把原式变形: 　　(y-2)x2+(y-2)x+y-3=0① 　　显然y≠2(∵若y=2,则方程①为-1=0不成立,∴y≠2) 　　∵y∈R∴方程①有实根的充要条件 　　y≠2 　　{△=(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0,得2?y≤10/3 　　故所求值域为(2,10/3〕 　　三、配方法 　　适用于求二次函数和与二次函数有关的函数值域 　　例5:求函数y=x2+4x+3(X∈〔-1,0〕的值域 　　解:y=(x+2)2-1∵-1≤x≤0 　　∴当x=-1时,ymin=0,当x=0时,ymax=3 　　故所求值域为〔0,3〕 　　注:用配方法可求二次函数在指定区间上值域时,切勿直接套二次函数的最值公式,因为这时最值未必在顶点处取得。 　　例6:求函数y=sin2x+cosx+1=1-cos2x+cosx+1 　　 =-cos2x+cosx+2=-(cosx-1/2)2+9/4 　　∵-1≤cosx≤1当cosx=1/2时,ymax=9/4 　　 当cosx=-1时,ymin=0 　　∴y∈〔0,9/4〕 　　四、反函数法 　　利用反函数定义域求原函数值域 　　例7:求函数 值域 　　 　　解:∵函数的反函数为y=log2x/(1-x)且定义域为 　　(0,1)故函数值域为y∈(0,1)。 　　五、换元法 　　1.形如y=?x+b± ,(?、b、c、d皆为常数,且?、c不为零)。 　　例8:求函数y=2x-3+值域 　　解:由4x-13≥0得x∈〔13/4,+∞〕 　　令t= (t≥0)则x= 　　 　　于是y=2 -3+t=2/1(t+1)2+3≥7/2 　　即所求函数值域为〔7/2,+∞) 　　2.三角代换 　　3.如(?,b,c,d均为常数,且?c≠0) 　　①?>0,c<0,与②?0时,可由单调函数性质求出值域 　　③?>0,c>0,与④?<0,c<0时,可用如下方法求其值域 　　例9:求函数 值域 　　解:设 　　则:2s2-t2=11① 　　s-t=y② 　　函数值域转化为方程①与②在直角坐标平面内有公共点时,y取值范围。 　　方程①可化为( t≥0) 　　此方程图象是双曲线,在第一象限部分,方程②的图象是斜率为1,在t轴上的截距为-y的直线,由图可知: ∴ 　　故所求函数值域为(-∞,〕 　　注:本题例12方法也可以解决函数 　　f(x)=的值域问题,只是转化为椭圆与直线有公共点时,直线在t轴上的截距问题。 　　六、不等式法 　　利用某些重要不等式,结合等号成立条件,得出函数值域。 　　例10:求函数值域 　　解:∵此函数定义域为(1,+∞)设 　　μ= 　　 　　 =(∵x>1,∴x-1>0) 　　上式当且仅当 即x=3取等号,即y=log2μ≥2 　　故所求函数值域为〔2,+∞) 　　七、最值法 　　对闭区间〔a,b〕上的连续函数,可求出y=f(x)在区间〔a,b〕内极值,并与边界值f(a)、f(b)作比较,求出函数最值,可得到函数值域 　　八、单调法 　　确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数值域。 　　九、数形结合法 　　画出函数图象,利用图象直观得出函数值域。 　　例11:求函数y=|x-3|-|x+1|值域 　　解:设y=|x-3|-|x+1| 　　-4(x≥3) 　　=2-2x(-1≤x≤3) 　　4(x≤-1) 　　的图象如右图 　　故值域为〔-4,4〕 　　总之,在具体求某个函数值域时,首先要仔细认真观察其题型特征,然后再选择适当方法,做题就会得心应手,取得事半功倍的效果。 　　 　　参考文献: 　　[1]厉以宁,秦宛顺.现代西方经济学概论[M].北京:北京大学出版社,1983 　　[2]黎诣远.西方经济学(上册)[M].北京:清华大学出版社 　　[3]李种,现代西方微观经济学概论[J].北京:高等教育出版社,1995 　　[4][美]H&#8226;范里安.[M].上海:上海三联书店,上海人民出版社,1994 　　[5]朱建中,高汝熹.数理经济学[Ml武汉:武汉大学出版社,1992 　　作者简介: 　　秦慧珍(1969.3- ),女,山西省隰县,本科,中学一级教师。
转载请注明来源。原文地址：
【xzbu】郑重声明：本网站资源、信息来源于网络，完全免费共享，仅供学习和研究使用，版权和著作权归原作者所有，如有不愿意被转载的情况，请通知我们删除已转载的信息。
xzbu发布此信息目的在于传播更多信息，与本网站立场无关。xzbu不保证该信息（包括但不限于文字、数据及图表）准确性、真实性、完整性等。扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
求函数y=x分之x^2+2x+4的值域,由这个式子怎么配方得到y=x+x分之4+2=(√x-√x分之2）^2+6的?
作业帮用户
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
y=(x^2+2x+4)/x=x+2+4/x x>0 x=(√x)^2 4/x=(2/√x)^2=(√x)^2-4+(2/√x)^2+6=[(√x)-(2/√x)]^2+6
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码手机注册或绑定手机，可免费播放5道试题。
意见详细错误描述：
教师讲解错误
错误详细描述：
当前位置：>>>
二次函数y＝－2x2－4x＋3．（1）利用配方法将一般形式化为顶点式；（2）写出函数的开口方向、顶点坐标与对称轴；（3）其图象是由y＝－2x2的图象经过怎样的图形变换得到的？（4）画出该函数的图象．
下面这道题和您要找的题目解题方法是一样的，请您观看下面的题目视频
已知二次函数y＝x2＋4x．（1）用配方法把该函数化为y＝a（x－h）2＋k（其中a，h，k都是常数且a≠0）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标．（2）求函数图象与x轴的交点坐标．
主讲：刘大伟
【思路分析】
（1）利用配方法可将一般式配成顶点式y=-2（x+1）2+5；（2）根据二次函数的性质和顶点式即可得到抛物线的顶点坐标和对称轴方程；（3）y＝－2x2的图象向右平移1个单位，再向上平移5得到个单位得y=-2（x+1）2+5的图象.（4）利用描点法可画出函数图象；
【解析过程】
解：（1）y=-2（x2+2x）+3=-2（x+1）2+5；（2）抛物线开口向下，顶点坐标为（-1，5），对称轴为直线x=-1；（3）其图象是由y＝－2x2的图象向右平移1个单位，再向上平移5得到个单位得到的.（4）如图，
解：（1）y=-2（x+1）2+5；（2）抛物线开口向下，顶点坐标为（-1，5），对称轴为直线x=-1；（3）其图象是由y＝－2x2的图象向右平移1个单位，再向上平移5得到个单位得到的.（4）如图，
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
给视频打分
地址：北京市海淀区北清路绿地中央广场12号楼303室
扫一扫有惊喜！
COPYRIGHT (C)
WWW.TIGU.CN INC. ALL RIGHTS RESERVED. 题谷教育 版权所有
京ICP备号 京公网安备