高数 高数函数的连续性与间断点性

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2017年自学考试(高等数学（一）)知识点复习：极限、连续--连续函数的概念和性质[初等函数的连续性]
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&　　初等函数的连续性
　　结论基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义区间内都是连续的所谓定义区间就是包含在定义域内的区间
　　初等函数的连续性在求函数极限中的应用
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高等数学函数的连续性
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你可能喜欢一、无穷小的比较
如果limβ/α= 0,则称β为比α高阶的无穷小
如果limβ/α=∞,则称β为比α低阶的无穷小
如果limβ/a=c（c不等于0），则β与α为同阶无穷小
如果limβ/α=1,则称β与α为等价无穷小，记作β~α
如果limβ/α^k=c,则称β为关于α的K阶无穷小
当X→0，常用的等价无穷小有
x~ x~ x~ x~
1/2x^2~1- 1/nx~（1+x）^(1/n)-1
用等价无穷小代换适用于乘、除，对加、减需谨慎！
二、函数的连续性和间断性
设函数y=f(x)在x0的某一邻域内有定义，如果limf(x)=f(x0),则称
y=f(x)在点x0连续。
函数y=f(x)在点x0处连续等于函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续。
2.2函数的间断点
1）在X0处没有定义
2）虽然在X0处有定义，但趋于X0的极限不存在
3）虽然在X0处有定义且极限存在，但是limf(x)≠f(x0)
函数的间断点常分为两类：
第一类间断点：
如果x0是函数f(x)的间断点,但左极限f(x0_)及右极限f(x0+)都存在，则X0称为函数f(x)的第一类间断点
当f(x0_)≠f(x0+)时，x0称为f(x)的跳跃间断点
若limf(x)=A≠f(x0)或f(x)在x0处无定义，则称点x0位f(x)的可去间断点
第二类间断点：除第一类间断点之外的间断点
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点
三、连续函数的运算和初等函数的连续性
1、若函数f(x)、g(x)在x0处连续，则他们之间的加减乘除都在x0处连续。
2、如果函数f(x)在区间I上单调递增或者单调递减且连续，那么他的反函数也在对应的区间I上单调递增或减少且连续
3、若函数f(g(x))是由函数y=f(u)和函数u=g(x)复合而成，如果limg(x)=u0,而函数y=f(u)在u0连续，则limf(g(x))=limf(u)=f(u0)
2.3初等函数的连续性
初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
基本初等函数在他们的定义域内都是连续的
三、闭区间上的连续函数的性质
1、对于区间上有定义的函数f(x)，如果有x0∈I,使得对于任一x∈I都有f(x)&=f(x0)或者f(x)&=f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）。
2、在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取到它的最大值和最小值
3、零点定理：设函数在[a,b]闭区间内连续，且f(a)和f(b)异号，则在开区间（a,b）内至少有一点x0,使得f(x0)=0.
4、介值定理：设函数在[a,b]闭区间内连续，且端点处取不同的函数值,f(a)=A,f(b)=B,则对于A和B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点x0，使得f(x0)=C.
5、在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M和最小值m之间的任何值。
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问题描述：
高数函数连续问题为什么在讨论函数、导数、积分时,都要考虑函数连续性?连续性倒底有什么意义?
问题解答：
连续不一定可导,连续一定可积
我来回答：
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应该是的.虚部恒为0,实部是个分段的二元函数,而且还不连续,所以复变函数不连续,因为复变函数连续当且仅当实部和虚部都连续 再问： 哪里不连续？？ 再答： 实部在（0,0）点不连续再问： 为什么。。？我不会做再问： 啊！！求极限，区进0的是上面的式子而上面式子x区进0，y=kx然后不等于零f(0)，是这样的吗再问： 趋。
如果像你说的那样,那么极限存在,因为极限存在的唯一充要条件,就是左极限和右极限都存在并且相等,f（0）是可去间断点,函数在某点处左极限值等于右极限值,且等于该点处的函数值,函数连续.你说的是不连续的,还有就是连续不一定可导,可导一定连续
limx->∞ [(1-x^2n)/(1+x^2n)]*x 的连续性怎么分析 没看懂,只有函数才谈连续性吧?第一类间断点 包括：可去型 跳跃型第二类间断点 包括：无穷型 震荡型
先求出函数f(x),再讨论其间断点,如下：
你的三个结论都是对的.1.这是连续函数的性质.2.(x^2-1)/(x-1)当x趋于1,极限存在,但x=1不连续3.上面的例子就是不连续但有极限.
img class="ikqb_img" src="http://d.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=2bfda6b4bf3eb1354492bfbd962e84eb/902397dda144ad34f2750ddbd3a20cf430ad85a0.jpg"
收入S=产品需要Q X 产品单价q；S=Qq=(100-5q)*q=-5(q^2-20q)=-5[(q-10)^2-100]=500-5(q-10)^2;所以当q=10时,收入最高为500；当q=0时,收入为0,最低；q=(100-Q)/5,Q=20时,q=16,边际收入S=Q*q=320；Q=70时,q=6,边际收入
　　不是的.lim(x→x0)f(x) 不存在的严格定义是：“f(x0-0) 与 f(x0+0) 至少有一个不存在或者二者都存在但不相等”,与函数在x0点是否无定义无关.
1.(1)dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=2t/2=t=x/2(2)dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=e^t/(e^-t-te^-t)=y/(1/y-x)=y^2/(1-xy)2.y=x^x =e^(xlnx)lny=xlnxy'/y=lnx+1y'=y(lnx+1)=x^x(lnx+1)
第一题 -1/4 就是导数的倒数取负号第二题 lim（x趋向于0）1/x²∫0-x²f(t)dt x=lim（x趋向于0）f（x^2）=1（洛必达法则）F（x）连续 所以k+1=1 所以k=0
你问的是交换了被积函数么,其实这个是无所谓的,因为,我们在计算的时候是从后往前计算的,比如,先对x 积分,那么y 就被看作了常数,不管跟它相关的式子放在dx 还是放在dy 前面都是一样的 再答： 你问的是交换了被积函数么，其实这个是无所谓的，因为，我们在计算的时候是从后往前计算的，比如，先对x 积分，那么y 就被看作了
在例21里,被积函数是√（a²-x²）,令x=asint,因为（a²-x²）>=0,所以a>=|x|就可以了 ,而sint在[-π/2,π/2]（刚好一个周期）的取值范围是[-1,1],换元后|x|a,令x=asect(0
　　一阶连续偏导数指的是一阶偏导数是连续的；二阶连续偏导数指的是二阶偏导数是连续的.这就是区别.
这是复合函数求导问题,arcsinx求导公式的套用 再问： 如果是求导 不应该是这样么？ 再答： 因为是对x求导，所以y是常数，根号y是常数放在一边，你怎么把他弄到分母上了这里是考研帮忙达人团，团长为您解答，若对您有帮助请采纳，若有疑问欢迎追问再问： 不应该是这样的么？ 再答： 你对根式求导理解的有点乱，你看啊你的（y
因为讨论无穷小可以有值可取,有时无穷小可取0,但如果讨论无穷大的时候没有具体值可取.
要输入符号,等下 再答： ∬(xy+cosxsinydxdy) 用y=-x分成2个积分： =∫(-a,0)dx∫(x,-x)(xy+cosxsiny)dy+∫(0,a)dy∫(-y,y)(xy+cosxsiny)dx 第1个积分，y,siny是奇函数，在(x,-x)的积分=0 第2个积分，x,是奇函数，在(
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