如何理解线性代数中的秩（rank）？一个矩阵列空间、行空间的维度相等，并且叫做矩阵的秩？为什么会有这种巧合，并且定义“秩”这种东西？37人已关注
在线性代数中秩的定义：一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是 A的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。m× n矩阵的秩最大为 m和 n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。所以矩阵列空间、行空间的维度相等，并且为矩阵的秩不是偶合而是必然的。任意一个矩阵都可以经过一系列的初等行变换为阶梯形矩阵，而阶梯形矩阵的秩对于其中非零行的个数。所以矩阵秩的计算方法：用初等行变换把矩阵化为阶梯形，则该阶梯形矩阵中的非零行数就是所求矩阵的秩。例子如下：在线性代数中秩的定义：一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是 A的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。m× n矩阵的秩最大为 m和 n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。所以矩阵列空间、行空间的维度相等，并且为矩阵的秩不是偶合而是必然的。任意一个矩阵都可以经过一系列的初等行变换为阶梯形矩阵，而阶梯形矩阵的秩对于其中非零行的个数。所以矩阵秩的计算方法：用初等行变换把矩阵化为阶梯形，则该阶梯形矩阵中的非零行数就是所求矩阵的秩。例子如下：首先，讲到矩阵的秩，几乎必然要引入矩阵的SVD分解：X=USV'，U,V正交阵，S是对角阵。如果是完全SVD分解的话，那S对角线上非零元的个数就是这个矩阵的秩了（这些对角线元素叫做奇异值），还有些零元，这些零元对秩没有贡献。有了这个前提，我们就可以用各种姿势来看秩了：把矩阵当做样本集合，每一行（或每一列，这个无所谓）是一个样本，那么矩阵的秩就是这些样本所张成的线性子空间维数。如果矩阵秩远小于样本维数（即矩阵列数），那么这些样本相当于只生活在外围空间中的一个低维子空间，这样就能实施降维操作。举个例子，同一个人在不同光照下采得的正脸图像，假设每一张都是192x168的，且采集了50张，那构成的数据矩阵就为50行192x168列的，但是如果你做SVD分解就会发现，大概只有前10个奇异值比较大，其他的奇异值都接近零，因此实际上可以将接近零的奇异值所对应的那些维度丢掉，只保留前10个奇异值对应的子空间，从而将数据降维到10维的子空间了。把矩阵当做一个映射，既然是映射，那就得考虑它作用在向量x上的效果Ax。注意Ax相当于A的列的某个线性组合，如果矩阵是低秩的，这意味着这些列所张成的空间是外围空间的一个低维子空间，这个空间由Ax表达（其中x任意）。换句话说，这个矩阵把R^n空间映射到R^m空间，但是其映射的像只在R^m空间的一个低维子空间内生活。从SVD理解的话，Ax=USV'x，因此有三个变换：第一是V'x，相当于在原始的R^n空间旋转了一下坐标轴，这样只是坐标的变化，不改变向量本身（例如长度不变）；第二是S(V'x)，这相当于沿着各个坐标轴做拉伸，并且如果S的对角线上某些元素为零，那么这些元素所对应的那些坐标轴就相当于直接丢掉了；最后再U(SV'x)，还是一个坐标轴旋转。总的来看，Ax就相当于把一个向量x沿着某些特定的方向做不同程度的拉伸（附带上一些不关乎本质的旋转），甚至丢弃，那些没被丢弃的方向个数就是秩了。这样就有很多很直接的应用。例如考虑第一个意义。给定一堆数据，这些数据可能本身只是在一个低维子空间内生活（即可以用一个低秩矩阵表示），但是由于噪声存在，我们拿到这些数据时它们看起来像是外围空间中的点，没有任何可以降维的迹象（即矩阵是满秩的）。设我们拿到的数据是X，那么根据这个设定，X应该能分解为一个低秩矩阵L和一个噪声矩阵E的叠加，即X=L+E。现在问题是如何恢复出L，因为一旦找到L，就相当于去除了噪声，同时降低了数据的复杂度（即维度）。怎么恢复？可以通过求解minrank(L)+\|E\|_F^2, subject to X=L+E来恢复出L和E。秩就显式地被用在这个问题里了。当然，这个问题往往只是引子，无数论文在写出类似问题后不到三行就会把rank(L)换成\|L\|_*，这个就是另外一些故事了。。。按我的经验，跟秩有关的问题以及几何意义，只需要仔细分析矩阵的SVD分解就能解决。但很可惜，大学里的线性代数更喜欢去介绍SVD的兄弟——特征值分解，而这个兄弟又往往只偏好对称阵，不像SVD这样所有实矩阵都可以分析，导致处理一般矩阵的秩时没有一个趁手的工具。转自知乎，顾左右，首先，讲到矩阵的秩，几乎必然要引入矩阵的SVD分解：X=USV'，U,V正交阵，S是对角阵。如果是完全SVD分解的话，那S对角线上非零元的个数就是这个矩阵的秩了（这些对角线元素叫做奇异值），还有些零元，这些零元对秩没有贡献。有了这个前提，我们就可以用各种姿势来看秩了：把矩阵当做样本集合，每一行（或每一列，这个无所谓）是一个样本，那么矩阵的秩就是这些样本所张成的线性子空间维数。如果矩阵秩远小于样本维数（即矩阵列数），那么这些样本相当于只生活在外围空间中的一个低维子空间，这样就能实施降维操作。举个例子，同一个人在不同光照下采得的正脸图像，假设每一张都是192x168的，且采集了50张，那构成的数据矩阵就为50行192x168列的，但是如果你做SVD分解就会发现，大概只有前10个奇异值比较大，其他的奇异值都接近零，因此实际上可以将接近零的奇异值所对应的那些维度丢掉，只保留前10个奇异值对应的子空间，从而将数据降维到10维的子空间了。把矩阵当做一个映射，既然是映射，那就得考虑它作用在向量x上的效果Ax。注意Ax相当于A的列的某个线性组合，如果矩阵是低秩的，这意味着这些列所张成的空间是外围空间的一个低维子空间，这个空间由Ax表达（其中x任意）。换句话说，这个矩阵把R^n空间映射到R^m空间，但是其映射的像只在R^m空间的一个低维子空间内生活。从SVD理解的话，Ax=USV'x，因此有三个变换：第一是V'x，相当于在原始的R^n空间旋转了一下坐标轴，这样只是坐标的变化，不改变向量本身（例如长度不变）；第二是S(V'x)，这相当于沿着各个坐标轴做拉伸，并且如果S的对角线上某些元素为零，那么这些元素所对应的那些坐标轴就相当于直接丢掉了；最后再U(SV'x)，还是一个坐标轴旋转。总的来看，Ax就相当于把一个向量x沿着某些特定的方向做不同程度的拉伸（附带上一些不关乎本质的旋转），甚至丢弃，那些没被丢弃的方向个数就是秩了。这样就有很多很直接的应用。例如考虑第一个意义。给定一堆数据，这些数据可能本身只是在一个低维子空间内生活（即可以用一个低秩矩阵表示），但是由于噪声存在，我们拿到这些数据时它们看起来像是外围空间中的点，没有任何可以降维的迹象（即矩阵是满秩的）。设我们拿到的数据是X，那么根据这个设定，X应该能分解为一个低秩矩阵L和一个噪声矩阵E的叠加，即X=L+E。现在问题是如何恢复出L，因为一旦找到L，就相当于去除了噪声，同时降低了数据的复杂度（即维度）。怎么恢复？可以通过求解minrank(L)+\|E\|_F^2, subject to X=L+E来恢复出L和E。秩就显式地被用在这个问题里了。当然，这个问题往往只是引子，无数论文在写出类似问题后不到三行就会把rank(L)换成\|L\|_*，这个就是另外一些故事了。。。按我的经验，跟秩有关的问题以及几何意义，只需要仔细分析矩阵的SVD分解就能解决。但很可惜，大学里的线性代数更喜欢去介绍SVD的兄弟——特征值分解，而这个兄弟又往往只偏好对称阵，不像SVD这样所有实矩阵都可以分析，导致处理一般矩阵的秩时没有一个趁手的工具。转自知乎，顾左右，只学了大学本科的一点皮毛，我来提一下我的看法。线性代数中的秩，简单点说就是——矩阵的非零行/列的个数。向量组的秩的含义同上——向量组能组成一个矩阵。秩的含义，最开始还是从向量组来的，那么我们看向量组中的秩和什么有关——向量空间。向量组表示的是在一个空间内的，正如同是我们高中学习空间向量里面，不共线的向量表示的一个空间一样。要是秩小于向量空间的维度，和大于向量空间的维度所形成的效果是怎样的，有解或是无解，这些是我首先想到的。这些是我学大学本科线性代数的结果，还有更多的内容应该在之后的学习之中有，之后学了更多的话应该会有更多的看法或是见解。只学了大学本科的一点皮毛，我来提一下我的看法。线性代数中的秩，简单点说就是——矩阵的非零行/列的个数。向量组的秩的含义同上——向量组能组成一个矩阵。秩的含义，最开始还是从向量组来的，那么我们看向量组中的秩和什么有关——向量空间。向量组表示的是在一个空间内的，正如同是我们高中学习空间向量里面，不共线的向量表示的一个空间一样。要是秩小于向量空间的维度，和大于向量空间的维度所形成的效果是怎样的，有解或是无解，这些是我首先想到的。这些是我学大学本科线性代数的结果，还有更多的内容应该在之后的学习之中有，之后学了更多的话应该会有更多的看法或是见解。线性代数中矩阵中的任意一个r阶子式不为0，且任意的r+1阶子式为0，则阶数r就叫作该矩阵的秩。线性代数中矩阵中的任意一个r阶子式不为0，且任意的r+1阶子式为0，则阶数r就叫作该矩阵的秩。
一个矩阵列空间、行空间的维度相等，并且叫做矩阵的秩？为什么会有这种巧合，并且定义“秩”这种东西？
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五分钟数学漫谈线性代数 求矩阵的秩 并求其一个最高阶的非零子式
来源：互联网
责任编辑：张小俊字体：
用户回答1:
秩R=3，有一个子式是1
答案秩是2呀
第二个第二行的9应该改成6
对，我粗心了
相关解决方法如下：
矩阵后, k个非零行的首非零元所在列中的某k行构成最高阶非零子式.
注意, 确定的是列, 行并不确定
这是因为初等行变换交换了行!
在你的例子中, 第1,2个例子的非零行为3...
存在 可逆阵P 使得 PAP^(-1)=B
其中 B是分块矩阵,其左上角的 r*r 子阵B_11 可逆,其余...
构造Mi, i=1,..., n-r, 如下:
Mi 为对角阵,其对角线元素都为1,但有一个例外:第n-i+1个元素...
矩阵后,k个非零行的首非零元所在列中的某k行构成最高阶非零子式. 注意,确定的是列,行并不确定 这是因为初等行变换交换了行! 在你的例子中,第1,2个例子的非零行为3,故行没...
ans = -85;
如果要手动求解矩阵的秩的话,参考工程数学线性代数,第四版,同济大学应用数学系编,高等教育出版社出版,P66;非零子式子的计算参考行列式的的...
课本上有定理证明。
其实只要理解了规律,这个定理会很容易记住的。
对秩的理解也会加深,对线代整个体系的掌握也会提升。
确定了非零行的首非零元所在的列,
并非所有的行的选择都是非零子式
用初等行变换化成梯矩阵锁定非零行的首非零元所在列这几列构成的A的子式是必有最高阶非零子式
两者的秩是相同的! 极大线性无关组并在一起就是一个最高阶非零子式,两者可以从这里判断最高阶非零子式的阶数既为极大线性无关组中向量的个数,把最高阶非零子式拆开后...
1)矩阵的秩是矩阵的不为0的子式的最高阶数。若r(A)=n-1, 则由矩阵的秩的定义可知,矩阵A至少一个n-1阶子式不为0.
2)若n-1阶子式全=0,则矩阵A的秩最大为n-2。
3)子式其实...
一般情况下, 根据最后的梯矩阵, 最高阶非零子式应该在原矩阵的 1,2,5列中找
这是因为A的1,2,5列构成A的列向量组的一个极大无关组
所以A的1,2,5列中一定有一个3阶非零子...
答：（1） 1 -1 1 2 1 2 3 3 2 2 1 1 2 1 3 4 4 4 8 4 第2行,第3行,第4行, 加上第1行×-2,-1,-4 1 -1 1 2 1 0 5 1 -2 0 0 2 1 -1 2 0 8 0 0 0 第3行到第4行, 加上第2行×-2/5,-8/5 1 -1 1 2 1 0 5 1 -2 0 0 0 3/5 -1/5 2 0 0 -8/5 16/5 0 第4行, 加上...
答：矩阵 A 初等行变换为 [1 1 -3 -1 1] [0 -4 6 7 1] [0 4 -6 -7 -1] A 初等行变换为 [1 1 -3 -1 1] [0 -4 6 7 1] [0 0 0 0 0] r(A) = 2, 一个最高阶子式是 A11 = |1 1| |3 -1| = -4
答：秩R=3，有一个子式是1 1 -3 0 -4 9 0 0 3
问：求矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式求过程答：你的解题过程没有错 但是最高阶非零子式 要按照最初的矩阵来写 你得到的是 1 1 2 0 2 1 0 0 -2 实际上就是指第1、2、4行的1，2，3列， 按照原来的矩阵，就是 1 1 2 0 2 1 1 1 0
问：求一下矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式在线等急！！！答： 选前3列，构成的子式，就是一个最高阶非零子式
答：（1） 3 1 0 2 1 -1 2 -1 1 3 -4 4 第2行,第3行, 加上第1行×-1/3,-1/3 3 1 0 2 0 -4/3 2 -5/3 0 8/3 -4 10/3 第3行, 加上第2行×2 3 1 0 2 0 -4/3 2 -5/3 0 0 0 0 数一下非零行的行数秩是2 一个2阶非零子式是 3 1 1 -1 （2） 3 2 -1 -3 -2 2 -1 3...
问：2 1 8 3 7 2 -3 0 7 -5 3 -2 5 8 0 1 0 3 2 0 谢谢 ！！！！答：求秩：进行初等行变换： 过程：=&1 0 3 2 0 =& 1 0 3 2 0 =& 1 0 3 2 0 2 -3 0 7 -5 0 -3 -6 3 -5 0 1 2 -1 5/3 3 -2 5 8 0 0 -2 -4 2 0 0 1 2 -1 0 2 1 8 3 7 0 1 2 -1 7 0 1 2 -1 7 =》 1 0 3 2 0 0 1 2 -1 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 所以秩为3 ...
问：求矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式 3 1 0 2 1 -1 2 -1 1 3 -4 4答：由于第2行的2倍加上第3行就是第1行，可知任意3阶的非零子式都是0 前2行前2列组成的子式 3 1 1 -1 其值为-4是非零的，故秩为2，这就是一个最高阶的非零子式。 希望能解决您的问题。
答：A 初等行变换为 [1 -1 2 -1] [0 4 -6 5] [0 4 -6 5] 初等行变换为 [1 -1 2 -1] [0 4 -6 5] [0 0 0 0] r(A) = 2 一个最高阶非零子式是 |3 1| |1 -1| = -4为您准备的好内容:
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