特殊三角函数数，这怎么做到弦化切

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-07-27 10:20 标签： 三角函数正切正弦余弦
图象：sine(正弦)、cosine(余弦)与Tangent(正切)
在前面的教程中，我们已经明确了角度及边与三角函数之间的关系：
对于小于90度的角，增加角A的度数，也会增加该角对边的长度（假设斜边的长度保持不变），因此角A的正弦值也会随着增大，同时角A的临边将变短，同样角A的余弦值也会减小。
对于大于90度的角，可以理解为将相应角（180-大于90度的角）所在的三角形水平翻转，因此该角的对边与临边就会相应的减小或增大（斜边的长度不变）：
这样看来，该角的正弦值就会减小，余弦值变大。当角度大于180度时，变化规律与大于90度小于180角的变化规律相同，当角度大于270度时，变化规律同小于90度角的变化规律。当大于360度时，整个变化规律又重复进行——三角函数是周期性变化的，最小正周期为360度：
如果我们使用图象来表示0至360度角的正弦曲线，如下图所示：
余弦值的图象与正弦图象类似，90度为一个相位。我们可以发现当一个角的正弦值为1或者是-1时，余弦值为0：
正切函数的图象与正弦余弦函数的图象截然不同，从下面的正切图象中，我们可以看到当角度为90度或者是270度时，正切值趋近于无限大，当接近这些角度时，该角的临边趋近于0，该角的对边趋近于该角的斜边。因为无限大不是一个合理的返回值，所以当AE计算到tan(90)或tan(270)时，其返回值为一个非常大的值：
你也许会发现正切值在接近0或180度时变化的很缓慢，但是当角度接近90度或270度时，变化的非常快。例如，角度从0至89度，其正切值从0仅仅变化到57.3，而从89度至90度，正切值从57.3变化到1015。
我们还会发现正切函数不是连续的，当角度超越90度或270度时，其正切值会立即从正值变化到负值。因为当角度如此变化时，临边的方向会发生变化。
正切函数也是周期变化的，其最小正周期是180度。
从这个例子中我们可以学习到三角函数与角度之间的关系。这里我们在固态层中创建了一个黄色的圆形来控制旋转角度——除了显示出圆心角度所对应的弧度以外，还反映出了该角的对边与临边的变化。在合成窗口的右下角还显示出了角度值以及三个三角函数的数值。
下载工程文件. (Windows 用户.)
在这篇教程的学习过程中，我们会发现三角函数与圆的关系非常密切，实际上，在一些比较老的教程中都将三角函数叫做圆周函数，因为以固定斜边组成的直角三角形可以形成一个圆形，这条斜边就是圆形的半径，我们会在稍后讲解这方面的知识。
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有相当一部分学生，他们的数学成绩总保持在中等或者中等以上，不管如何努力总是止步不前看，很难再提高，平时的课后作业，复习资料上的题也都能比较顺利的做出来，这样的学生一般来说基础知识掌握的还不错，问题往往出现在运用基础知识的能力上，这节课咱们以两道题为例，来感受一下如何灵活运用基础。
例如，第1题，如果是一道纯粹的弦化切问题，或者是一道2倍角问题，大部分学生都能够顺利的做出来，但是一旦把这两者结合在一起，题中又没有提示弦化切，二倍角，部分学生可能就不知道怎么办了，这是思维方式出现了偏差；比较好的解题思维一般是这样的：结合已知和问题，分析题中的每一个条件可以得出哪些有利于解题的结论，然后猜测这些结论放在一起有没有可能得出最后的结果；如第1题要求tan2α的值，已知是一个有关弦的等式，应该能想到通过弦化切求出tanα的值，再使用倍角公式求出tan2α的值，然后试着按这个思路来解题。最容易想到的是使用正弦和差公式把分子中的3α化为α（结果为①式），然后把弦化切求出tanα的值（②式）；详细过程如下：
第2题分析：已知中是正切，要证的结论为正弦，所以考虑把正切化为正弦余弦，可以得到①式，观察①式，若①式两边同减去cos(α＋β)sinβ，使用正弦两角差公式，可以求出sinα（即结论的等号左边的式子），若①式两边同加上cos(α＋β)sinβ，使用正弦两角和公式，可以求出sin(α＋2β)（即结论的等号右边的式子），然后进行比较就可以了，详细过程如下：
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三角函数(一)――正弦、余弦、正切
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你可能喜欢高中数学，三角恒等变形弦化切，这么使用公式，高分唾手可得
在三角恒等变形这一章，利用同角三角函数公式，把含有正弦及余弦的代数式化为正切是一个基本的技能，这也是三角化简计算的基础之一，掌握这个基础技能将大大有利于解决难度较高的三角综合题。
第1题第①问分析：给出了tanα的值，来求一个含有正弦余弦的代数式，明显需要把正余弦化为正切，下面要讲的是弦化切最常见的方法，分母是弦的2次式，只需要把分子1写成sin?α＋cos?α，这样分子分母都是关于弦的2次式子，然后分子分母同时除以cos?α，就可以把所有的弦化为正切，实际上，只要分子分母中的每一项的弦（正弦或余弦）的次数都相同，就可以使用这种方法把弦化为正切，其它题使用的也是同样的思维，不再一一讲解，本题详细过程如下：
第②问分析：可以把这个式子看成分母等于1的“分数”，然后把分子和分母中的1都换成sin?α＋cos?α，这样分子分母中的每一项都是弦的2次式子，然后分子分母同除以cos?α即可，过程如下：
第③问分析：先把代数式书写成分母为1的分式形式，同时把1改写为sin?α＋cos?α，然后分子分母同时除以cos?α，如下图，之后分子中还含有弦：sinαcosα，只需要使用同样的方法把sinαcosα化为正切即可，详细过程如下：
第2题分析：如果基础好的学生，看到已知中的等式，就会想到经过化简可以求出tanα的值：
求出了tanα的值，然后进行弦化切即可：
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