谢谢邀请~ 这问题有意思。。我先简单做一个简单的光线追踪 (Ray Tracing) 的介绍，然后再谈一下一下星际穿越的特效制作特殊在哪里。&br&&br&考虑一个最简单的情况，对于计算机来说，绘制图片，本质就是要计算出每一个像素的颜色。首先要解决的一个问题就是知道每一个像素是对着场景的哪一个部分。现在的图形处理器（GPU）使用的算法叫做光栅化（Rasterization）。这种方法的做法是将定义在一个三维坐标系里的场景里的每一个顶点Vw(x, y, z)乘以一个投影矩阵，转换成一个个屏幕空间的点Vs(x, y)。就好像把一个你面前的三维场景压扁到你眼睛前的一个平面上一样，这个过程叫Projection，见下图。等这些点被“压扁”之后，光栅化利用这些已经在屏幕像素空间上的点来正确的填上每一个像素（省略了无数细节，例如投影的时候多个三维中的点可以对应一个二维屏幕上的点，要用深度测试来保证留下的是离眼睛最近的）。投影有许多种，例如CAD制图常用&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//baike.baidu.com/view/3153027.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&正交投影&/a&。游戏和电影用的更多的是基于模拟pinhole camera的透视投影(下图)。不同的投影视觉效果不同，但都会把三维的场景拍扁到你眼前的屏幕上。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/c6e9a0dcc357b6a31efabb8_b.jpg& data-rawwidth=&470& data-rawheight=&346& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&470& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/c6e9a0dcc357b6a31efabb8_r.jpg&&&/figure&光线追踪则用了和光栅化相反的方法。它不需要通过乘以矩阵来把场景”拍扁“，反之，它会从每个像素发射一条射线，光线最先打到场景的什么东西，这个像素就会被这个东西占据（下图）。所以其实光线追踪更加直观一些。但是数学上，这两种方法是等价的，都是把一个三维的场景投影到了二维的屏幕上。实际上，光线追踪里射出射线的方向的参数和光栅化里投影矩阵的参数是一样的。例如如果是正交投影的话，光线追踪会射出一堆互相平行且都和投影平面垂直的线。透视投影的时候，投影矩阵的视锥角度越大，光线追踪射出的射线也就越分散（这个视角和你们玩单反里的是一样的）。总之，这两个过程是等价的。&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/acdec765afef24_b.jpg& data-rawwidth=&537& data-rawheight=&365& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&537& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/acdec765afef24_r.jpg&&&/figure&再简单说说为啥电影特效用光线追踪。简单的说就是因为计算每个场景表面上的光照的时候，某一点的颜色是和这个点周围有什么东西有关的（全局光照），周围的所有物体有可能发光照到它，有可能间接反光给它，也有可能挡住照着它的光（下图）。为了知道这些信息，只能从这个点再朝着周围射很多射线才能知道这些信息从而计算出这一点的颜色。要计算射线和场景的交点是很expensive的，目前又没有比较好的硬件加速方案能做到实时，所以游戏一般不用光线追踪。&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/f52f41d257c740f02d9ff2_b.jpg& data-rawwidth=&232& data-rawheight=&169& class=&content_image& width=&232&&&/figure&&br&对游戏来说，往往不需要计算全局光照（不需要），光栅化又实际上就是把一堆三角形一个个stream输出到屏幕上的过程，这个过程并不像射线求交那样一次需要把整个场景放在内存里，又易于pipeline和硬件加速，可以快到实时。所以游戏都用光栅化啦。&br&&br&不知不觉废话了一堆科普，现在我来说说星际穿越的创新和特殊性。&b&之前用于做电影特效的光线追踪程序都基于一个假设，即光线永远是沿着直线传播的。而星际穿越则打破了这个限制，它让光线因为黑洞的引力而弯曲了。&/b&我认为这个技术主要运用的场景就是虫洞和黑洞。拿黑洞举例子，电影里我们看到的黑洞是这样的：&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/786d7cbdbe_b.jpg& data-rawwidth=&1800& data-rawheight=&1200& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/786d7cbdbe_r.jpg&&&/figure&一个黑球被垂直和水平的两个光环包住，好奇怪的形状是不是。实际上，黑洞周围的光环只是很普通的类似小行星带那样的光带而已，这个奇怪的形状就是引力弯曲了光带发出的光线所致的。如果我把这个黑洞模型丢给一个传统的光线追踪/光栅化渲染器，绘制出来的图片的效果应该是这样（网上没图，我就自己手画了，丑请包涵）：&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/ebfff97caf768_b.jpg& data-rawwidth=&1228& data-rawheight=&768& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1228& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/ebfff97caf768_r.jpg&&&/figure&看起来就是类似普通的行星嘛。可以理解成在这里光线直线传播，也可以理解成场景被那个透视投影矩阵“拍扁”了。但是星际穿越的特殊性在于在这个场景里面，光线不再是直线传播的了，所以用传统的光线追踪，或者用投影矩阵去拍扁都不work了。他们实现了一个光线沿着引力曲线传播的渲染器，用同样的示意图画出来大概是这样：&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/c5c2ab4d2eb0e757e2dc1_b.jpg& data-rawwidth=&1228& data-rawheight=&768& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1228& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/c5c2ab4d2eb0e757e2dc1_r.jpg&&&/figure&所以黑洞上下部分的光环在实际的场景里是应该被黑球挡住的，但是因为它们像周围发射的光线就像地球发出去的卫星一样被，轨道被引力拉弯了，所以我们在黑球的上面看到了本应出现在黑球后面的东西。同样有在光线轨迹上创新的场景应该还有虫洞，只不过这里应该不仅仅是被引力拉弯这么简单，在跨越维度的膜时候谁知道光线朝哪个方向散射了，物理学家给推导了公式反正：&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/ed5a20aa7f601f8098beea_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&450& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/ed5a20aa7f601f8098beea_r.jpg&&&/figure&&br&就像轮子哥说的，宇宙这种场景的特效其实没那么麻烦：都是遥远的物体，光本来就少，没有复杂的场景全局光照也就不明显。上面说的那个黑洞弯曲光线的场景，估计也正是因为场景的特殊性，所以可以直接解析的求交：在三维空间中求一个数学上定义好了的曲线和一个球体还有圆环的焦点而已。解个方程就知道弯曲的光线打到什么地方了（谁把这公式告诉我说不定我一下午也能写个这种渲染器出来:p）。如果把这种弯曲光线的渲染器用来渲染非宇宙的场景，可能还麻烦一些，因为所有场景管理的数据结构（BVH，Kd树等）的遍历都是基于直线的。不过大概可以用许多条很短的直线去近似一条曲线吧。Anyway，纯个人yy一下。&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/ae8c37d5ebecb10ecc24_b.jpg& data-rawwidth=&740& data-rawheight=&355& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&740& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/ae8c37d5ebecb10ecc24_r.jpg&&&/figure&&br&星际穿越的确是需要有像Kip这样的黑洞物理学家提供理论上的帮助才能知道光线在那种质量和大小下的黑洞影响下是沿什么轨迹传播的吧。至于更多的物理细节，例如光带上的颜色具体该有多亮，光带运动的速度，轨迹，pattern，是否有流体力，磁场力的影响，就不清楚到底实现的多彻底了。我个人的直觉是很多还是hack的，因为许多因素对特效最终的视觉效果影响不大，而且不一定利于导演的storytelling。。。总之期待他们今年的siggraph论文了。&br&&br&在视觉特效行业，为某一个电影的某些需求要在现有的渲染软件上做改动肯定是有的，星际穿越算是一个很好也很特殊的例子了。&br&&br&最后声明一下，我不懂天体物理学，上面大部分内容算是我YY的。不过我也写了几年渲染器了，YY的应该略靠谱吧。。有错或者有漏的话就向大家请教了~
谢谢邀请~ 这问题有意思。。我先简单做一个简单的光线追踪 (Ray Tracing) 的介绍，然后再谈一下一下星际穿越的特效制作特殊在哪里。 考虑一个最简单的情况，对于计算机来说，绘制图片，本质就是要计算出每一个像素的颜色。首先要解决的一个问题就是知道每一…
&p&能自己把信封博弈琢磨出来，只能说题主绝对是天才。这是博弈论里核心概念之一，叫共同知识。上学期做本科博弈论助教时恰好就这个知识点为课程写过补充讲义，就借来答题了。略长，而且大多是口语表述，不严格，证明也基本全部省略。如果有进一步需求可以到脚注和参考文献里找。其中许多材料来自
&a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/f937a9ddf4cadb70ca671d54& data-hash=&f937a9ddf4cadb70ca671d54& data-hovercard=&p$b$f937a9ddf4cadb70ca671d54&&@长泽雅美&/a& 和&a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/7b0bce1f1be03d8e23a99a4& data-hash=&7b0bce1f1be03d8e23a99a4& data-hovercard=&p$b$7b0bce1f1be03d8e23a99a4&&@阿虎&/a&，他们在EGT方面有专业知识，表示感谢！ 似乎CS领域关心这一问题知友很多，特地推荐Halpern和Moses文章&i&Knowledge and Common Knowledge in a Distributed Environment&/i&，有很不错的介绍。如果是经济学方面知友，推荐Maschler，Solan和Zamir教材&i&Game Theory&/i&第九章，也很不错。进阶和休闲读物请参见正文最后一段。最后，再次表达对题主的崇拜，很厉害！&/p&&br&&p&大家可能记得一道智力题：一座小岛上有很多户人家，每一家养了一条狗，其中有些狗是疯狗。每一家人都能看到别人家狗的状况，但不知道自己家狗的状况，也不会与其它人家交流。假设如果有一户人家知道自己家养的是疯狗，那就要在当天晚上把狗打死。由于每户人家都不了解自己的情形，所以一开始不会有人家打死自己的狗。现在，从外面的世界来了一位旅行者，他/她&b&当着全村人民的面&/b&说：“这个村子里有疯狗。”接下来的情况很有意思，假设村民都相信这句话，都是理性的，每天做一次判断。那么，如果原来村子里有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&条疯狗，那么这些疯狗会在第&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&天晚上被一起打死。&/p&&br&&p&大致分析如下：如果村里只有一条疯狗，那么，疯狗的主人将马上意识到自己的狗疯了，并且将狗打死。如果村里有两条疯狗，每一疯狗的主人都可以看到岛上还有一条疯狗。所以第一天晚上无事发生。但是，在第二天，疯狗的主人会意识到：另外一条疯狗的主人也知道村里至少有一条疯狗，而他/她没有选择打死自己的狗，这说明村里至少还有一条疯狗。由于村里只有两条疯狗，所以其它的狗都是正常的，所以可以推出最后，两条疯狗将在第2天晚上被一起打死。类似的分析可以容易地推广到更大的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&解这道题关键就在共同知识。以&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N%3D2& alt=&N=2& eeimg=&1&&为例，在旅客到来之前，每个人都知道岛上有疯狗，因为每个人都至少可以看见一条疯狗，但没有人行动，因为每个人都&b&不知道其他人是否知道岛上有疯狗&/b&。旅客到来之后，由于宣告当着所有人的面做出，每个人都看到其他人听到了宣告，这意味着他们知道其他人知道岛上有疯狗，也知道其他人知道自己知道其他人知道岛上有疯狗，依此类推。也即“岛上有疯狗”这一命题已经成为了公共知识。当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N%3D2& alt=&N=2& eeimg=&1&&时，我们需要用到第2层知识，当我们面对的是一般的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&时，我们需要用到第&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&层知识。&/p&&br&&p&类似题目非常多，以下再列举两道，其中都渗透了共同知识的思想[1]。一排学生，有的戴白帽子，有的戴红帽子，此时老师来一句，你们中有人戴了白帽子，是否每个学生都能猜出自己所戴帽子的颜色？另一个谜题是：两个儿子预期父亲会把数量为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=10%5Ex& alt=&10^x& eeimg=&1&&的钱装在两个信封里，一人得到一个，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&取值在1到6之间。现在他们打开信封，一个发现里面有10000元，一个发现里面有100000元，他们彼此不知道金钱数额。现在，父亲分别问他们：你愿意出1块钱来换对方手里的信封吗？毫无疑问，第一轮两个人都愿意换。如果父亲接下来一直问这个问题，大家可以想想，他们会一直愿意换吗？如果不是，哪一轮会开始出现否定答案？&/p&&br&&p&我们接下来再给出一个更令人震惊的例子，即是楼主的问题，来自Rubinstein（1989）。&/p&&br&&p&假设有两个将军，分别是A和B，要向敌方部队发起进攻（也可以想象成是两支基金要对一种主权货币发起进攻，等等），两军分驻两地，面对两支对方部队。对方兵力的分布有两种可能，如果判断错误，攻击会没有效果。同时，由于己方兵力不足，必须要同时发起攻击，否则会损兵折将。A将军知道敌方兵力的分布，而B将军只有一个先验概率。这意味着我们面对一个如下图所示的博弈，其中，第一行代表策略A进攻a，第二行代表A进攻b，第一列代表B进攻a，第二列代表B进攻b。每一格中第一个数字是A将军将获得的效用，第二个数字是B将军将获得的效用。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/290ca476c8e36479eada2d08cbb00879_b.jpg& data-rawwidth=&811& data-rawheight=&197& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&811& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/290ca476c8e36479eada2d08cbb00879_r.jpg&&&/figure&&br&&p&现在，为了取得最好的进攻效果，将军A需要把敌方主力在a这一点告诉将军B，由于那时还没有电话，他只能派出一个通信兵。通信兵在抵达将军B的驻地之后，会将敌方信息告知B。B会向通信兵说明自己已经知道了这个信息，并将这个信息返回给A，依此类推。由于通信兵在中途可能被敌方抓到，所以每次传递的信息都有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%3E0& alt=&\varepsilon&0& eeimg=&1&&的可能无法顺利到达对方。为弄明白这意味着什么，我们先回忆一下前面提到的共同知识这个概念。如果将军A、B都知道对方驻地，并且他们都知道对方知道对方驻地，他们都知道对方知道自己知道对方知道对方驻地，依此类推，我们就称地方驻地在a这一点是A和B之间的共同知识。在博弈的一开始，敌方兵力在b这一点只是A的私人知识，B根本就不知道。如果通信兵已经完成了从A到B的旅行，那么这一点就成为A和B的共有知识，A知道，B知道，但A不知道B知道。当通信兵又从B返回A时，此时A确知B已经知道了这一点，但B并不知道A是否知道自己已经知道了。因此，只有让通信兵在两个地方之间跑无限趟，我们才能把这个知识变为共同知识。&/p&&br&&p&如果敌方驻地真是共同知识，那么，两位将军之间可以很容易地达成协调，但现在并非如此。因为通信兵每次旅行都有一个正概率被俘获，所以他/她能够顺利旅行无数次的可能性收敛到0，这意味着“敌方驻地为a”这一点以概率1不是共同知识。Rubinstein证明了下列命题：&b&这个博弈唯一的纳什均衡是双方都不进攻，协调失败&/b&[2]。这实际上说明：任意阶的共有知识都不能完全替代共同知识。共同知识在很多时候是严格紧的要求，不能再放松，否则就有可能出现类似邮件博弈的情形。&/p&&br&&p&为了严格处理共同知识，我们需要先定义知识。为定义知识，我们需要先定义我们的认知世界，这一贡献来自哲学家Hintikka。博弈论的发展和哲学，尤其是分析哲学的发展密不可分，以后我们会越来越多地看到这一点。在Hintikka的模型中，人的认知可以用下面的二元组&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28%5COmega+%2CP%29& alt=&(\Omega ,P)& eeimg=&1&&[3]
来描述，其中，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega+& alt=&\Omega & eeimg=&1&&是世界所有可能状态的集合，P是认知函数，是从&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+%5Cin+%5COmega+& alt=&\omega \in \Omega & eeimg=&1&&到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5E%7B%5COmega+%7D+& alt=&2^{\Omega } & eeimg=&1&&的映射，它把每一个世界的真实状态映射成世界全体状态的一个子集。我们可以直观方式来理解这个模型。假设现在世界状态集合中有以下元素：A食品是转基因，A食品是非转基因，A食品对身体无害，A食品对身体有害。当状态“A食品是转基因”出现时，一位生物科学家的P会映射出子集｛A食品是转基因，A食品对身体无害｝，而一位反转派的P则会映射出子集｛A食品是转基因，A食品对身体有害｝。有可能还有一类人比较“糊涂”。他们对转基因一无所知，甚至根本没听过，那就谈不上了解了。由于没有任何信息，此时他/她的P会映射出｛A食品是转基因，A食品对身体无害，A食品对身体有害｝，他/她无法排除任何一种可能。
&/p&&br&&p&我们不可能对&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28%5COmega+%2CP%29& alt=&(\Omega ,P)& eeimg=&1&&不做任何限制，这不仅违反直观，也导致我们无法做任何推断。以下三个公理是必须的，部分学者也用这几个公理来定义理性。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/183ac9fae783_b.jpg& data-rawwidth=&418& data-rawheight=&151& class=&content_image& width=&418&&&/figure&&br&&p&公理1意味着无论世界真实状态为何，人总是不会愚蠢到将真实状态排除出自己的认知。也可以解释成，人可以被迷惑，但不会荒唐到完全不顾真实。同时，这个公理也意味着对&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+%5Comega+%5Cin+%5COmega+%2CP%28%5Comega+%29%5Cne+%5Cemptyset& alt=&\forall \omega \in \Omega ,P(\omega )\ne \emptyset& eeimg=&1&&。公理2和3稍微有些抽象，我们可以做直观一些的理解。考虑公理2，如果世界的真实状态是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+& alt=&\omega & eeimg=&1&&，但人无法区分开&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%5E%7B%27%7D+& alt=&\omega^{'} & eeimg=&1&&，这意味着&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29& alt=&P(\omega)& eeimg=&1&&必须包含了如果世界状态是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%5E%7B%27%7D+& alt=&\omega^{'} & eeimg=&1&&时所有可能的认知。如果不是这样，假设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%5E%7B%27%7D%29& alt=&P(\omega^{'})& eeimg=&1&&中有一个元素不属于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29& alt=&P(\omega)& eeimg=&1&&，那一旦&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%5E%7B%27%7D& alt=&\omega^{'}& eeimg=&1&&出现，我们应当能够区分&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29& alt=&P(\omega)& eeimg=&1&&和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%5E%7B%27%7D%29& alt=&P(\omega^{'})& eeimg=&1&&，因为后者中至少有一个元素在前者中找不到。既然&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29& alt=&P(\omega)& eeimg=&1&&和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%5E%7B%27%7D%29& alt=&P(\omega^{'})& eeimg=&1&&可以被区分开，自然&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%5E%7B%27%7D& alt=&\omega^{'}& eeimg=&1&&也可以被区分开。运用类似的想法我们可以说明公理3的合理性，而将公理2以及公理3合并，我们可以得到以下结论：如果&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%5E%7B%27%7D%5Cin+P%28%5Comega%29%2CP%28%5Comega%5E%7B%27%7D%29%3DP%28%5Comega%29& alt=&\omega^{'}\in P(\omega),P(\omega^{'})=P(\omega)& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&Hintikka模型的威力在于我们可以通过划定一组分割来说明人的知识结构，也即下列命题成立：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28%5COmega+%2CP%29& alt=&(\Omega ,P)& eeimg=&1&&满足公理1-3当且仅当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&被划分成一些彼此不相交的子集，这些子集的并构成&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&，同时对于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+%5Comega+%5Cin+%5COmega& alt=&\forall \omega \in \Omega& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29& alt=&P(\omega)& eeimg=&1&&等于划分中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&从属的子集。充分性是显然的，为说明必要性，只需要注意到如果&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%5E%7B%27%7D+%5Cin+P%28%5Comega%29& alt=&\omega^{'} \in P(\omega)& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%5E%7B%27%7D%29%3DP%28%5Comega%29& alt=&P(\omega^{'})=P(\omega)& eeimg=&1&&给出了一组等价关系[4]。于是，我们下面用划分来指代个体的认知结构。&/p&&br&&p&我们现在可以定义知识。需要说明的一点是，我们迄今为止仍没有为知识/知道给出一个令大部分人满意的解释，因此，我们使用的模型只是一些可能说明“知识是什么”的模型中的一种，并非最终的答案。亚里士多德提出了知识的JTB准则：知识是被证成的真信念（Justified True Belief，简称JTB。此处的证成可以理解为“有力地辩护”，但具体何为证成仍是甚为复杂的问题，至今仍是分析哲学研究的问题）。以物理学为例，在LIGO探测突破之前，我们相信引力波存在，这是信念。我们有相对论做支持，这是证成。现在，我们又实际探测到了引力波，于是这是真的，引力波在JTB准则下成为了知识。在2000多年的时间里，亚里士多德的理论一直被奉为圭臬。但是，盖梯尔在1963年提出了一个著名的反例，也叫做盖梯尔问题。想象一个人计划烧掉一个谷仓，他/她认为只需要一根火柴就可以做到这一点，于是点燃了火柴。谷仓确实被烧掉了，但仅凭火柴未必是足够的，因为当时谷仓的角落还有几大桶汽油。这个例子满足JTB中的所有要素，但这个人拥有的真是知识吗？还是只是碰对运气的信念？这个问题迄今为止仍未完全解决。类似的情景在生活中经常出现，想象一位欣喜赴约的女孩，到达约定地点时发现男孩早已在哪儿等待，她由此推断出男孩儿非常在乎她。这是个信念，也确实是真的，男孩儿确实在乎她，但男孩早到其实是因为他记错了时间。这时信念也满足JTB，但这真是知识吗？我们并不清楚。我们只能先假设一些比较合理的公理，然后在此基础上发展理论。&/p&&br&&p&前面提到，我们可以证明：理性三公理意味着我们总是可以把包含世界全体状态的集合&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&划分成一些互不相交但合为全集的子集。在此基础上，我们正式阐述何谓知识。假设世界全体状态集合为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&，世界中有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&个个体。我们定义事件为世界全体状态集合&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&的一个子集&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%5Csubseteq+%5COmega& alt=&X\subseteq \Omega& eeimg=&1&& 。我们同时定义个体&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&在状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&下知道事件&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&当且仅当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29+%5Csubseteq+X& alt=&P(\omega) \subseteq X& eeimg=&1&&。如果每个人都是理性的，则每人可对应到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&的一种划分。我们将第&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&个个体划分记为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D_%7Bi%7D+& alt=&\mathcal{F}_{i} & eeimg=&1&&[5]，记其中子集为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bi%7D+%5Csubseteq+%5Cmathcal%7BF%7D_%7Bi%7D& alt=&F_{i} \subseteq \mathcal{F}_{i}& eeimg=&1&&，这定义了第&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&个个体的认知结构，则以上定义也可重写为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bi%7D%3A%5Comega+%5Cin+F_%7Bi%7D& alt=&F_{i}:\omega \in F_{i}& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bi%7D+%5Csubseteq+X& alt=&F_{i} \subseteq X& eeimg=&1&&。于是我们定义了知道算子&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&，这是从&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5E%7B%5COmega%7D& alt=&2^{\Omega}& eeimg=&1&&到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5E%7B%5COmega%7D& alt=&2^{\Omega}& eeimg=&1&&的一个映射[6]。利用定义&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bi%7D%3A%5Comega+%5Cin+F_%7Bi%7D& alt=&F_{i}:\omega \in F_{i}& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bi%7D+%5Csubseteq+X& alt=&F_{i} \subseteq X& eeimg=&1&&，我们可定义&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K_%7Bi%7D& alt=&K_{i}& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K_%7Bi%7DX& alt=&K_{i}X& eeimg=&1&&意味着&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，这同时意味着&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&的知识。&/p&&br&&p&这个定义相当抽象，让我们再举一个例子来阐明这样建模道理何在。想象一位正在规划未来人生的青年，他所面临的全集包含以下元素｛语文好，数学好，英语好，适合研究文学，适合研究历史，适合研究物理，适合研究经济学｝。现在取&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%3D& alt=&\omega=& eeimg=&1&&数学好，如果是一个人生规划非常明确的青年，那他的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29& alt=&P(\omega)& eeimg=&1&&应该很小，比如说&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28& alt=&P(& eeimg=&1&&数学好&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%29%3D& alt=&)=& eeimg=&1&&{适合研究物理}。如果对未来感觉非常迷茫或者不确定，那这个&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29& alt=&P(\omega)& eeimg=&1&&就会很大，比如说&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28& alt=&P(& eeimg=&1&&数学好&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%29%3D& alt=&)=& eeimg=&1&&{适合研究物理，适合研究经济学}。当然，也有可能他/她脑子里只有一团浆糊，对未来完全没有愿景，此时集合根本没有划分，所有的元素都混在一起。给定理性三公理，我们可以定义精细划分和粗糙划分的概念。面对同样的世界状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&，精细划分中包含&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&的集合&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_i& alt=&F_i& eeimg=&1&&相对较小，粗糙划分中对应的集合&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bi%7D%5E%7B%27%7D+& alt=&F_{i}^{'} & eeimg=&1&&更大，即有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Card%28F_i%29%5Cleq+Card%28F_%7Bi%7D%5E%7B%27%7D%29& alt=&Card(F_i)\leq Card(F_{i}^{'})& eeimg=&1&&。又由于每一个体都是理性的，所以实际上我们有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_i+%5Csubseteq+F_%7Bi%7D%5E%7B%27%7D& alt=&F_i \subseteq F_{i}^{'}& eeimg=&1&&。这意味着虽然每个人的知识水平不同，有的掌握得更清晰，有的掌握得更糊涂，但他们都不会糟糕到弄错世界状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&，只是在对应的划分精细程度上有区别。同样是蜘蛛，有的人知道这是动物，有的人知道这是节肢动物，有的人能精确到节肢动物门蛛形纲。能够把世界看得更细，意味着知识更深入，也意味着集合划分的精细程度可以刻画知识水平。在更加抽象的意义上，对于任何一个问题，我们都可以划出是和否两种状态。如果一个人知道这一问题，这意味着他/她能够把这两个元素分开，划到不同的子集中；如果他/她不知道，这两个元素就划不开[7]。&/p&&br&&p&假设现在已经有了一个划分&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D_i& alt=&\mathcal{F}_i& eeimg=&1&&，我们可能会疑惑为何如此定义知识算子&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K_i& alt=&K_i& eeimg=&1&&，背后的意义是什么？首先我们注意到一点：既然&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D_i& alt=&\mathcal{F}_i& eeimg=&1&&是一个划分，这意味着其中的每个集合都不交。又因为每一划分都对应于认知函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29& alt=&P(\omega)& eeimg=&1&&，所以个体可以完美地区分两个&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_i& alt=&F_i& eeimg=&1&&分。注意到我们定义&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&在状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&下知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_i%3A%5Comega+%5Cin+F_i& alt=&F_i:\omega \in F_i& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_i+%5Csubseteq+X& alt=&F_i \subseteq X& eeimg=&1&&，这意味着只要世界状态确实是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&，事件&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&必定会实现，必定一词由集合的包含关系保障。举一例子，假如世界状态是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%3D& alt=&\omega=& eeimg=&1&&我很快乐，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29%3D& alt=&P(\omega)=& eeimg=&1&&｛我很快乐，我很兴奋，我很感动｝，这就意味着我自己区分不出这三种状态。我们再定义两个集合，一个是我心情很好，包含四个元素：我很快乐、我很兴奋、我很虔诚、我很感动。另一个是我情绪很激动，包含我很快乐、我很兴奋、我很激动、我很生气。那么，在状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%3D& alt=&\omega=& eeimg=&1&&我很快乐的情况下，我是知道自己心情很好的。因为可能和快乐混淆的另外三种情感都包含在心情很好这一事件中；但我不知道我是否情绪激动，因为在状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&下，我也有可能是感动，而这并不包含在情绪激动这个事件中。所谓知识，就是再怎么错，这个事也是这个理儿的意思。我们有时候可能在蜘蛛是不是昆虫上犯迷糊，这是在两个纲之间发生了混淆，但我们肯定知道蜘蛛属于节肢动物门。因此，我们可以说我们&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&“蜘蛛属于节肢动物门”，这是对的，但不能说我们&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&“蜘蛛属于节肢动物门蛛形纲”，因为我们可能会把蜘蛛和昆虫搞混。
&/p&&br&&p&注意到算子&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&把&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&的一个子集映成另一个子集，因此我们可以作高阶知识的定义。&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K_jK_iX& alt=&K_jK_iX& eeimg=&1&&就意味着&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=j& alt=&j& eeimg=&1&&知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，依此类推。这就把我们嘴巴上说的知道用集合论的语言严格地表达了出来。可以证明知识算子具有下面6个性质。这些性质和理性的定义一脉相承。其中第2点对应注8[8]。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/d9a6da7be15e6e5ee50d4ca_b.jpg& data-rawwidth=&425& data-rawheight=&311& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&425& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/d9a6da7be15e6e5ee50d4ca_r.jpg&&&/figure&&br&&p&这些性质的证明都不困难，直接验证即可。需要特别说明的是，把第六点拿掉，前五点本身也可构成知识的定义（第六点本身也只是个推论）。这一贡献来自天才的分析哲学家Kripke，也叫做Kripke S5系统。这个系统和我们前面定义的知识算子等价：我们既可以验证知识算子满足这5个命题；也可以证明这5个命题能够诱导出一个映射，其形式恰好就是我们前面定义的知识算子[9]。从直观上来说，这五个命题分别有各自现实意义。第一点意味着个体知道世界的全体状态是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&。第二点意味着如果一个人知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，那么&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&会实现，因为其中包含了世界的真实状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&，这也可以通俗地理解为“知识是真的”。第三点意味着如果一个人同时知道事件&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&和事件&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&，那他/她也会知道事件&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%5Ccap+Y& alt=&X\cap Y& eeimg=&1&&。第四点意味着如果一个人知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，那他/她也知道自己知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&。第五点意味着如果一个人不知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，那么他/她知道自己不知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&。这五个公理共同规范了我们观念中的知识概念，同时诱导出了一个定义在&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5E%5COmega& alt=&2^\Omega& eeimg=&1&&上的知识算子。而第六点性质则意味着如果&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&已知，所有为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&蕴含的事实也是知识。&/p&&br&&p&我们接下来介绍无穷阶次知识这一概念。前述记号保持不变，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&个个体，事件&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，第个个体记为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&。我们首先逐个询问&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&个个体：你知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&吗？如果知道，记下&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K_iX& alt=&K_iX& eeimg=&1&&；如果不知道，记下&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28k_iX%29%5Ec& alt=&(k_iX)^c& eeimg=&1&&。我们接下来再从第一个个体开始，询问他/她&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&个问题：你知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&知道/不知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&吗？如果回答知道，我们记下&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K_1K_iX& alt=&K_1K_iX& eeimg=&1&&，如果回答不知道，我们记下&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28K_1K_iX%29%5Ec& alt=&(K_1K_iX)^c& eeimg=&1&&，依此类推。在第二层询问中，我们可以记下&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N%5E2& alt=&N^2& eeimg=&1&&个答案。同样的询问可以继续进行下去，比如说，我们可以问第2个人：你知道第4个人知道第5个人知道第3个人知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&吗？把这样的答案一层层一层层地垒起来，我们就得到了无穷阶次的知识。从这里可以很自然地得到共同知识比较严格的定义。保持以上记号，则我们称&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是世界状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&下的共同知识，当且仅当对任意有限长序列&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i_1i_2i_3...i_l& alt=&i_1i_2i_3...i_l& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+%5Cin+K_%7Bi_1%7DK_%7Bi_2%7DK_%7Bi_3%7D...K_%7Bi_l%7DX& alt=&\omega \in K_{i_1}K_{i_2}K_{i_3}...K_{i_l}X& eeimg=&1&&。这意味着，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是共同知识，当且仅当有关&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的问题在无穷阶次知识的每一层都得到肯定的回答。这个定义初看起来和我们平时谈论的形式没有任何区别，但它已经算是严格表述了。Aumann证明了共同知识可以由如下条件得到判定：记&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\mathcal{F}& eeimg=&1&&是所有参与者中最粗糙划分，即&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D%3D%5Cmathcal%7BF%7D_1%5Cwedge+%5Cmathcal%7BF%7D_2+%5Cwedge+%5Cmathcal%7BF%7D_3+%5Cwedge...%5Cwedge%5Cmathcal%7BF%7D_N& alt=&\mathcal{F}=\mathcal{F}_1\wedge \mathcal{F}_2 \wedge \mathcal{F}_3 \wedge...\wedge\mathcal{F}_N& eeimg=&1&&，那么&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是世界状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&下的共同知识的充要条件是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D%28%5Comega%29+%5Csubseteq+X& alt=&\mathcal{F}(\omega) \subseteq X& eeimg=&1&&[10]。&/p&&br&&p&Aumann的定理可以按如下方法直观理解：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\mathcal{F}& eeimg=&1&&是所有划分中最粗糙的，也就是说在每个世界状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&下，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\mathcal{F}& eeimg=&1&&都会给出在这个状态下最糊涂的人的判断。如果糊涂到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\mathcal{F}& eeimg=&1&&这个程度还能知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，这就意味着所有人都应该知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&。又因为所有人都知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\mathcal{F}& eeimg=&1&&是最糊涂的，或者说是最笨的，集中了所有最糊涂的判断，所以他们也应该知道其他人也能够知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，如此推断下去即可以构造符合要求的无穷阶次知识。除了Aumann的方法，我们还可以用Milgrom的方法来定义共同知识。Milgrom的方法和我们前面理解知识的方法是一致的：公理化。记“在状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&下&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是共同知识”这一事实为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=CK_X& alt=&CK_X& eeimg=&1&&，我们有下列四条公理。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/9a987c8f639b83aacabd2_b.jpg& data-rawwidth=&674& data-rawheight=&231& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&674& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/9a987c8f639b83aacabd2_r.jpg&&&/figure&&br&&p&第一条公理意味着共同知识能够实现，第二条公理意味着如果&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是共同知识，那么所有人都知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是共同知识。反复运用这两条公理可以直接得到共同知识的直观含义。假设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&实现了，根据公理2，假如&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是个共同知识，那么所有人都应该知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是个共同知识，而这又意味着“所有人都知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是个共同知识”这个事实的实现，运用公理1可知这也应该是个共同知识，于是再次运用公理2可以得到“所有人都知道所有人都知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是个共同知识”这一事实，依次类推即可得到无穷阶次的性质。第三条性质意味着如果&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&是共同知识，那么所有可以从&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&推出来的命题也应该是共同知识。第四条性质则意味着在全体参与者面前发生的事情是公共知识。像我们一开始提到的疯狗谜题，其中旅行者在人们面前喊出的“岛上有疯狗”这个事实满足公理4，所以就是共同知识。这里的“在全体参与者面前发生”也未必要是真正的面对面。一个微信群、一篇文章的评论区或者一个BBS，上面的内容对于全体参与者来说都是共同知识。Milgrom进一步证明了：这四个公理可诱导出唯一的共同知识算子，且这个算子恰好就是Aumann给出的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%28%5Comega%29+%5Csubseteq+X& alt=&F(\omega) \subseteq X& eeimg=&1&&[11]。&/p&&br&&p&最后，我们简单叙述在有限参与者的静态博弈中构成纳什均衡的知识条件。所谓知识条件，指的是为了使得纳什均衡实际上被执行，能被玩出来，博弈参与者需要知道些什么。在两人博弈中，如果双方都知道（这里的知道可以形式化成算子）对方的支付函数、对方的策略集以及对方是理性的，并且知道对方对自己行为的猜测，那么他们彼此的猜测构成一个纳什均衡。在三人或更多参与者的博弈中，我们要求参与者都知道彼此的支付函数、策略集以及彼此都是理性的，且每个人对其他人策略的猜测都是共同知识。以上两个条件都是充分但不必要的，不满足这些条件也有可能形成纳什均衡。但它们都是紧的，每一点放松都会造成反例[12]。动态完全信息博弈中的知识条件由Battigalli和Siniscalchi给出，但这已经超出了课程范围[13]。动态博弈中更多相关结果可在Perea的教科书&i&Rationality in Extensive Form Games&/i&中找到。&/p&&br&&p&如果对博弈论的这个分支，博弈论的知识理论（Epistemological Game Theory，EGT）感兴趣，希望挖掘更加深入的知识， Perea的教科书&i&Epistemic Game Theory: Reasoning and Choice&/i&是不错的选择。另一本很困难的读物是Brandenburger的&i&The Language of Game Theory: Putting Epistemics into the Mathematics of Games&/i&，是领域内经典论文集。此外，共同知识本身也可以用来分析很多生活中的现象，这方面一本非常出色的著作来自Michael Suk-Young Chwe，一位著名的韩裔理论经济学家。他写作的&i&Rational Ritual: Culture, Coordination, and Common Knowledge&/i&旁征博引，用共同知识分析了许多不同领域的问题，比如非洲的聚会民俗、美国南方的舞会、法国大革命中的仪式、超级碗的中场广告，以及休谟的环形监狱，等等。这是直观了解共同知识的很好的途径。&/p&&br&&p&注解：&/p&&br&&p&[1]这两个例子都来自Geanakoplos（1992）。谜题的完整表述以及严格解法均可在原文中找到。如果对讲义中命题或具体阐述有进一步的兴趣，可以在脚注中找到相应信息。
&/p&&br&&p&[2]如果对证明有兴趣，请参见Rubinstein（1989）。
&/p&&br&&p&[3]我们此处假设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&是有限集合。当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&是无限集时，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5E%5COmega& alt=&2^\Omega& eeimg=&1&& 的结构可能会非常复杂，需要添加更多限制。
&/p&&br&&p&[4]如果对完整证明有兴趣，请参见Rubinstein（1998）书中命题3.1的证明。
&/p&&br&&p&[5]这是集合的集合。当后面我们提及精细/粗糙的概念时，我们实际上是在讨论一个域流。当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&很复杂时，讨论&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\mathcal{F}& eeimg=&1&&也是很困难的。
&/p&&br&&p&[6]这个知识算子本身的“有效性”和“合理性”等讨论已经属于分析哲学/数理逻辑的范畴。如果有兴趣，可以参见Kripke（1959）。
&/p&&br&&p&[7]这种说法是非正式的。如果允许和各种性质相联系的集合，我们就得到了所谓的“万有公理”。如果我们还承认其它一些公理，这将导出悖论。一个非正式的讨论见《陶哲轩实分析》3.2。
&/p&&br&&p&[8]关于这一公理长期以来一直存在争议，分析哲学家已经构造出了一些反常的例子。在目前使用的模型中，如果把这一公理拿掉，剩下的4条公理构成S4系统，这构成信念的定义。基于信念我们同样可以构造无穷阶次的共识。假设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&是可数的完备可分度量空间，且&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%5COmega& alt=&\Delta \Omega& eeimg=&1&&是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&上Borel集生成的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&域中赋有弱收敛拓扑的全体概率测度，我们可以将信念层次写成以下形式：令&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X_1%3D%5CDelta+%5COmega& alt=&X_1=\Delta \Omega& eeimg=&1&&代表博弈参与者对世界状态的信念，则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X_2%3D%5CDelta%28X_1%5Ctimes+%5COmega%29& alt=&X_2=\Delta(X_1\times \Omega)& eeimg=&1&&代表了对信念的信念，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X_%7Bi%2B1%7D%3D%5CDelta%28X_i%5Ctimes+%5COmega%29& alt=&X_{i+1}=\Delta(X_i\times \Omega)& eeimg=&1&&代表对上一阶信念的信念，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cprod_%7B%5Ctimes+%7D%5E%7B%5Cinfty%7DX+& alt=&\prod_{\times }^{\infty}X & eeimg=&1&&就构成了一个无穷阶次的信念空间。&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cprod_%7B%5Ctimes+%7D%5E%7B%5Cinfty%7DX+& alt=&\prod_{\times }^{\infty}X & eeimg=&1&&需要满足一致性，亦即由高阶信念诱导出的分布（边缘分布）与低阶信念一致。Brandenburger和Dekel证明了这样的信念空间是存在的，并且，令&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta_i+%5Cin+X_i+& alt=&\delta_i \in X_i & eeimg=&1&&，我们总是可以构造出一个向量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta& alt=&\delta& eeimg=&1&&作为参与者的type，且全体满足一致性的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta& alt=&\delta& eeimg=&1&&构成的空间&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&与&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%5COmega+%5Ctimes+T& alt=&\Delta \Omega \times T& eeimg=&1&&微分同胚。这意味着type完整地反映了全体可能的信念。当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&是不可数集合时，我们需要一个空状态才能实现这一点，同时全体参与者的划分集合都应该是可测集，此时知道也被定义为“赋予概率1”。Heifetz和Samet证明了这样一个满足一致性的无穷阶次的知识空间是不存在的。
&/p&&br&&p&[9]如果对证明有兴趣，可以参考Maschler，Solan和Zamir（2013），这是习题9.2。有兴趣的可以在这本书的末尾得到简单的提示。
&/p&&br&&p&[10]如果对证明有兴趣，请参见Aumann（1976）。
&/p&&br&&p&[11]如果对证明有兴趣，请参见Milgrom（1981）。
&/p&&br&&p&[12]如果对证明和相应的反例有兴趣，请参见Aumann和Brandenburger（1995）。在这篇论文中，他们将混合策略理解为对对手策略集的猜测。此外，得到多人情形中的相关命题需要Harsanyi的共同先验假设（又称一致性假设），对这一假设的严格讨论很复杂，如果有兴趣，请参见Morris（1995）。
&/p&&br&&p&[13]如果对结论和证明有兴趣，请参见Battigalli和Siniscalchi（2002）。&/p&&br&&p&参考文献：
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Knowledge.&[J]. American Economic Review, ): 385-91.&/p&
能自己把信封博弈琢磨出来，只能说题主绝对是天才。这是博弈论里核心概念之一，叫共同知识。上学期做本科博弈论助教时恰好就这个知识点为课程写过补充讲义，就借来答题了。略长，而且大多是口语表述，不严格，证明也基本全部省略。如果有进一步需求可以到脚…
&p&纵观整个20世纪的数学史，苏俄数学无疑是一支令人瞩目的力量。百年来，苏俄涌现了上百位世界一流的数学家，其中如鲁金 （Н. Н. Лузин），亚历山德罗夫（П. С. Александров），柯尔莫戈罗夫（А. Н. Колмогоров），盖尔范德（И. М. Гельфанд），沙法列维奇（И. Р. Шафаревич），阿洛尔德（В. И. Арнольд）等都是响当当的数学大师。而这些优秀数学家则大多毕业于莫斯科大学（Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова）。&/p&&p&莫斯科大学所涌现的优秀数学家其数量之多，质量之高，恐怕除了19世纪末20世纪初的哥廷根大学。在20世纪就再也没有那个大学敢与之相比了，即使 是赫赫有名的普林斯顿大学也没有出过这么多的优秀数学家，莫斯科大学是当之无愧的世界第一数学强校。对于莫斯科大学，我们是既熟悉又陌生，说熟悉是因为， 中国大学的数学系都多少受了莫斯科大学的影响。我们曾经长期学习莫斯科大学的数学教材，做莫斯科大学的数学习题集，直到现在许多数学专业的学生还在做各种 莫斯科大学编写的习题集。&/p&&p&如在下我，就曾经做过吉米多维奇的《数学分析习题集》（Б. П. Демидович《Сборник задач и упражнений по математическому анализу》）、巴赫瓦洛夫的《解析几何习题集》（С. В. Бахвалов《Сборник задач по аналитической геометрии》）、普罗斯库列科夫的《线性代数习题集》（И. В. Проскурярков《Сборник задач по линейной алгебре》）、法杰耶夫的《高等代数习题集》（Д. К. Фаддеев《Сборник задач по высшей алгебре》）、菲力波夫的《常微分方程习题集》（А. Ф. Филиппов《Сборник задач по дифференциальныму уравнениям》）、沃尔维科斯基的《复变函数习题集》（Л. И. Волковыский《Сборник задач по теории функций комплексного переменного》）、符拉基米罗夫的《数学物理方程习题集》（В. С. Владимиров《Сборник задач по уравнениям математической физики》）、费坚科的《微分几何习题集》（А. С. Феденко)《Сборник задач по дифференциальной геометрии》）、克里洛夫的《泛函分析——理论o习题o解答》（А. А. Кириллова《Теоремы и задачи функционального анализ》）、捷利亚科夫的《实变函数习题集》（С.А.Теляковский《Сборник задач по теории функций действительного переменного》）。&/p&&p& 说陌生的因为，莫斯科大学有很多方面和中国大学大相径庭。那么莫斯科大学成为世界数学第一强校奥秘何在？我很幸运家里有亲戚，曾于80年代公派到 莫斯科大学数学力学部读副博士（кандидат）（相当于美国的博士），又有熟人正在莫斯科大学数学力学系读副博士。从中了解到莫斯科大学数学学科的具 体情况，特地把这些都发在BBS上，让大家看看，世界一流的数学家是如何一个一个的从莫斯科大学走出的。&/p&&p&邓小平有句话说足球要从娃娃抓起，莫斯科大学则是数学要从娃娃抓起。每年暑假，俄罗斯各个大学的数学力学系和计算数学系（俄罗斯的大学没有我们这样 的数学学院，如莫斯科大学，有18个系和2个学院，和数学有关的是数学力学系（Mеханико-математический факультет）和计算数学与自动控制系（Факультет вычислительной математики и кибернетики），数学力学系下设数学部（Отделение математики）和力学部（Отделение механики），其中的力学部和我国的力学系大不相同，倒接近于应用数学系，计算数学与控制论系（Факультет вычислительной математики и кибернетики）包括计算数学部和控制论部2个部，计算数学部和我国的信息与计算科学专业相当，控制论部接近于我国的自动化系。&/p&&p&但是数学学的很多，前二年数学力学系及计算数学与控制论系一起上课，第三年数学力学系和计算数学与控制论系一起学计算数学方面的课程，到大四大五才 单独上专业课）都要举办数学夏令营（Летний математический лагерь），凡是喜欢数学的中小学生都可以报名参加，完全是自愿的。由各个大学的数学教授给学生讲课做数学方面的讲座和报告。莫斯科大学的数学夏令营 是最受欢迎的，每年报名的人都是人满为患，大家都希望能一睹数学大师们的风采，听数学大师讲课，做报告，特别是苏联著名的数学家柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）和维洛格拉托夫（И. М. Виноградов），吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）（苏联有了微型电子计算机后，吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）经常在夏令营里教人玩计算机）几乎每年都参加夏令营的活动。&br&&br&
数学夏令营和我国的奥数班不同，他的目的不是让学生参加什么竞赛，拿什么奖，而是培养学生对数学的兴趣，发现有数学天赋的学生，使他们能通过和数学家的接触，让他们了解数学，并最终走上数学家的道路。&br&&br&
在柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）的提议下，从70年代开始，苏联的各个名牌大学大多举办了科学中学，从夏令营中发现的有科学方面天赋的学生都能报名进入科学中学， 由大学教授直接授课，他们毕业后都能进入各个名牌大学。其中最著名的当属莫斯科大学的柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）科学中学（Школа Колмогорова- специализированный учебно-научный ценр МГУ имени М. В. Ломоносова）。这所学校从全国招收有数学、物理方面天赋的学生，完全免费。对家境贫寒的学生还发给补助，尽管莫斯科大学现在经济上困难重重，但 这点直到现在都没变。事实上科学中学的学生成才率相当高，这点是有目共睹的。到80年代末，90年代初，已经有几个当年的柯尔莫哥罗夫科学中学的学生成了 科学院院士。&br&&br&
中国的大学，近年来常爆出招生中走后门的丑闻。其实以前就有高干子弟，成绩不好，居然能进名牌大学的事情。象50-60年代的北京大学、科技大学、清华大 学都有这样的学生。南京大学当年被院系调整搞得乱七八糟，从当家老大变成二流重点大学。现在，大概没那个中央领导的子弟看的上，估计这样的学生是没有的。 反观莫大，那可是非硬功夫进不去的，就算你是苏共总书记的儿子也一样。&/p&&p&莫大敢如此硬气，其实是其前校长彼得罗夫斯基（И. Г. Петровский）（我们对这位大数学家不会陌生吧！）利用担任最高苏维埃主席团成员（член Президиума Верховного Совета СССР）以及和苏共的各个高级官员的良好关系争来的尚方宝剑有关。&/p&&p&苏联有明确规定，包括莫大在内的几个名牌大学招生只认水平不认人（其它大学，高级官员的子女同等条件优先），必须是择优录取。莫大的生源好，和苏联 的整体基础教育水平高也有关。苏联有一点值得中国学习，苏联的中小学的教学大纲和教材都是请一些有水平的科学家编写的，像数学就是柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）、吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）和庞特里亚金（Л. С. Понтрягин）写的，而且苏联已经把微积分、线性代数、欧氏空间解析几何放到中学教了。大学的数学分析、代数、几何就可以在更高的观点上看问题了 （其实和美国的高等微积分、初等微积分的方法相似）。&br&&br&
有一流的生源，不一定能培养出一流的数学家，还必须要有严谨的学风。莫大的规定相当的严格，必修课，一门不及格（不过政治和体育除外，政治是因为学校在这 方面睁一只眼闭一只眼，纯粹是给上面看的），留级，两门不及格，开除，而且考试纪律很严，作弊简直是比登天还难！莫大的考试方法非常特殊，完全用口试的方 式。主课如数学分析或者现代几何学、物理学、理论力学之类，一个学期要考好及次，像数学分析，要考7-8次。考试一般的方法如下：考场里有2-3个考官考 一个学生，第一个学生考试以前，第二个学生先抽签（签上就是考题），考试时间一般是30-45分钟，第一个考试的时候，第二个在旁边准备，其他人在门外等 候，考生要当场分析问题给考官听后，再做解答。据称难度远大于笔试，感觉像论文答辩。&br&&br&
不过莫大有一点是挺自由的，就是转专业，这一般都能成功，像柯尔莫戈罗夫（А. Н. Колмогоров）就是从历史系转到数学力学系，这是尽人皆知的。&/p&&p&中国的数学专业往往是老师满堂灌，学生下面听，最糟糕的是有的老师基本是照本宣科，整一个读书机器。莫大的老师上课，基本不按教学大纲讲课（其实教 学大纲也说教师在满足大纲的基本要求的情况下，应当按自己的理解讲课），也没有什么固定的教材，教师往往同时指定好几本书为教材，其实就是没有教材，只有 参考书！而且莫大的课程都有相应的讨论课，每门课的讨论课和讲课的比例至少是1：1，象外语课就完全是讨论课了！讨论课一般是一个助教带上一组学生，组织 讨论班，像一些基础课的讨论班比如大一，大二的数学分析、解析几何、线性代数与几何（其实讲的是微分几何和射影几何）、代数学、微分方程、复分析、大三的 微分几何与拓扑、大四的现代几何学（整体微分几何）都是以讨论习题和讲课内容为主。为了让学生多做题，做好题，所以教师要准备有足够的高质量的习题资料， 像前面说的各种各样的习题集，就是把其中的一部分题目拿出来出版发行（事实上在打基础的阶段不多练习是不行的）。总的来说，讨论课的数量大于讲授，如 1987年大纲，大一第一学期，每周讲课是13节，讨论是24节（不算选修课）。而且莫大有个好传统就是基础课都是由名教授甚至院士来讲，柯尔莫戈罗夫 （А. Н. Колмогоров），辛钦（А. Я. Хинчин）都曾经给大一学生上过《数学分析》这样的基础课，现在的莫大校长萨多夫尼奇（В. А. Садовничий），目前也在给大一学生讲《数学分析》（不过校长事情太多，不太可能一个人把课给上下来）。&/p&&p&想培养一流数学家，就一定要重视科研训练，包括参加各种学术讨论班和写论文，莫大的学生如果在入学以前参加过数学夏令营，那他在入学以前已经有一定的科研训练，因为，在夏令营就要组织写小论文。&/p&&p&入学以后，学校也鼓励学生写论文，到大三下学期学生要参加至少一个学术讨论班，以决定大四大五是参加哪个教研组（莫大数学部有17个教研室，如数学 分析教研室（Кафедра математического анализа），函数论与泛函分析教研室（Кафедра теории функций и функционального анализа），高等代数教研室（Кафедра высшей алгебры），高等几何与拓扑学教研室（Кафедра высшей геометрии и топологии），微分几何及其应用教研室（Кафедра дифференциальной геометрии и её приложений），一般拓扑与几何学教研室（Кафедра общей топологии и геометрии），离散数学教研室（Кафедра дискретной математики），微分方程教研室（Кафедра дифференциальных уравнений），计算数学教研室（Кафедра вычислительной математики），数理逻辑与算法论教研室（Кафедра математической логики и теории алгоритмов），概率论教研室（Кафедра теории вероятностей），数理统计与随机过程教研室（Кафедра математической статистики и случайных процессов），一般控制问题教研室（Кафедра общих проблем управления），数论教研室（Кафедра теории чисел），智能系统数学理论教研室（Кафедра математической теории интеллектуальных систем），动力系统理论教研室（Кафедра теории динамических систем），数学与力学史教研室（Кабинет истории математики и механики），初等数学教学法教研室（Кабинет методики преподавания элементарной математики）等。每个教研室下设教研组（教研组即是科研单位又是教学单位）的活动（莫大数学系，到了大四大五，学生每学期要参加一个学术讨论班 （семинар）目的是写论文，莫大要求本科毕业生至少要有3篇论文，其中2篇是学年论文，一篇作为毕业论文，毕业论文要提前半年发表在专门发毕业论文 的杂志上，半年内无人提出异议方可进行论文答辩，而且参加答辩的人是从全国随机抽取的。答辩时还要考察一下学生的专业知识，这种答辩又称为国家考试。&br&&br&
对于本科生，需要让他们对数学和相邻学科有个全面的了解，莫大在这点做的很不错，数学系的学生不仅要学习现代几何学，高等代数（内容大概包括交换代数和李 群李代数）等现代数学，也要学习理论力学，连续介质力学，物理学中的数学方法（大概相当于我国物理专业的电动力学，热力学与统计物理，量子力学）等课程。 而且还有一些各种各样的选修课，供学生选择。必修课中的专业课里不仅有纯数学课程也有变分法与最优控制这样的应用数学课程，所以莫大的学生在应用数学方面 尤其出色。&br&&br&
要成为一个合格的数学家，光短短5年的本科是远远不够，还要经过3-4年的副博士阶段的学习和无固定期限的做博士研究，应该说莫大的研究生院在数学方面绝 对是天下第一的研究生院，莫大研究生院在数学方面有门类齐全的各种讨论班，讨论班的组织者都是世界闻名的数学家，参加讨论班的不仅有莫大的学者，还有来自 全苏各个科研机构的学者。经过5年的必修课和专门化课，选修课的学习，凡是到莫大研究生院来的学生都有很扎实的专业知识，所以莫大的研究生是不上课的，一 来就是上讨论班，进行科学研究，同样研究生想毕业也要拿出毕业论文和学年论文，毕业论文要拿到杂志上发表半年以后，有15名来自不同单位的博士签名，才能 参加答辩。答辩的规矩比本科生更严格，只有通过毕业答辩和学年论文的答辩才能拿到数学科学副博士学位。至于数学科学博士（доктор математических наук），则是给有一定成就的科学家的学位，要拿博士至少要有一本合格的专著才行。&br&&br&
如果谁拿到莫大的数学科学博士的学位，那么谁就可以到大多数世界一流大学混个教授（包括助教授）当！但是这个过程是十分难完成的，俄罗斯有种说法，说院士 为什么比一般人长寿，是因为院士居然可以完成从本科到博士这样折磨人的过程，所以身体一定好的很！&br&&br&
说到莫斯科大学的数学,有一个人是不能不提的,那就是数学大师柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）,应该说柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）不仅是数学家,而且是教育家,但是这并不是我在这里要专门介绍他的原因,我专门介绍他是基于以下几个原因：1，如果说使莫斯科大学 的数学跻身于世界一流是在鲁金（Н. Н. Лузин）和彼得罗夫斯基（И. Г. Петровский）的带领之下，那么使莫斯科大学真正成为世界第一数学强校则是在柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）担任数学力学部主任的时期。2，柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）是莫斯科数学学派（Московский математический школа）中承前启后的一代中的领军人物，特别是如盖尔范德（И. М. Гельфанд），阿诺尔德（В. И. Арнольд）等著名数学家都是他的学生。3，柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）虽然没当过莫大校长但是彼得罗夫斯基（И. Г. Петровский）去世后，他在莫大基本上就是太上校长，莫大的一些改革措施都和他多少有些关系。对于数学家柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров），大家一定很熟悉，但是对于教育家柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров），大家就不大清楚了！下面是我从沃尔夫奖得主，日本著名数学家伊藤清写的一篇纪念柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）的文章中摘抄下来的。&br&柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）认为，数学需要特别的才能这种观念在多数情况下是被夸大了，学生觉的数学特别难，问题多半出在教师身上，当然的确学生对数学的适应 性存在差异，这种适应性表现在：1，算法能力，也就是对复杂式子作高明的变形，以解决标准方法解决不了的问题的能力。2，几何直观的能力，对于抽象的东西 能把它在头脑里像图画一样表达出来，并进行思考的能力。3，一步一步进行逻辑推理的能力。&br&&br&
但是柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）也指出，仅有这些能力，而不对研究的题目有持久的兴趣，不做持久的努力，也是无用的。柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）认为，在大学里好的教师要做到以下几点：1，讲课高明，特别是能用其他科学领域的例子来吸引学生，增进理解，培养理论联系实际的能 力。2，以清楚的解释和广博的知识来吸引学生运动。3，善于因材施教。&br&&br&
柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）以为以上三条都是有价值的，特别是3，这是一个好教师必须做到的，那么对于数学力学系或计算数学与控制论系的学生又应当怎样做呢？ 柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）以为除了通常的要求外，有两点要特别强调：1，要把泛函分析这样的重要学科（他说的重要学科恐怕还包括拓扑学和抽象代数）当成日常 工具一样应用自如。2，要重视实际问题。&br&柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）认为，学生刚开始搞研究时，首先必须让学生树立“我能够搞出东西”的自信心，所以教师在帮助学生选课题时，不能光考虑问题的重要性，关键是要看问题是否在学生的能力范围之内，而且需要学生做出最大的努力才能解决问题。&br&&br&
其实科研训练应当是越早越好，在学生做习题的时候就要注意进行科研训练了！这也是莫大数学成功的秘诀之一。莫斯科大学讨论课上的习题根本没有我们常见的套 公式，套定理的题目。比如，我的那个亲戚，在莫大读书时担任数学分析课的助教（莫大学数学的学生毕业后大多数是到各个大学担任教师，所以莫大很重视学生的 教学能力，一般，研究生都要作助教，本科生毕业前要进行大学数学的教学实习），据他说，主讲教授每次布置的讨论课题目简直稀奇古怪，比如说有一次，是叫他 让学生利用隐函数定理证明拓扑学中的Morse引理，还有一次，叫他给出有界变差函数的定义，然后证明什么全变差的可加性等等，一直到雅可比分解！基本上 把我们国家的实变函数课中的有关问题都干掉了！总之他们经常叫学生证明一些后续课程中的定理，据他们认为这样做基本等于叫学生做小论文，算是模拟科研，对 以后做科研是有好处的。&/p&
纵观整个20世纪的数学史，苏俄数学无疑是一支令人瞩目的力量。百年来，苏俄涌现了上百位世界一流的数学家，其中如鲁金 （Н. Н. Лузин），亚历山德罗夫（П. С. Александров），柯尔莫戈罗夫（А. Н. Колмогоров），盖尔范德…
&p&强烈推荐 Gilbert Strang的线性代数。他是MIT的数学教授，常年负责教授线性代数等基础科目。&/p&&p&他这门课还有视频： &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Linear Algebra&/a&。&/p&&p&（作为脑残粉，我在10年前还参与发起了这门课视频的字幕听打项目。。。）&/p&&br&&p&盗版书下载链接被举报了。。。已删除&/p&
强烈推荐 Gilbert Strang的线性代数。他是MIT的数学教授，常年负责教授线性代数等基础科目。他这门课还有视频： 。（作为脑残粉，我在10年前还参与发起了这门课视频的字幕听打项目。。。） 盗版书下载链接被举报了。。。已删除
读了一下编剧，著名黑洞物理学家基普.索恩(Kip Thorne)的书，试着解释一下吧。下文中未特别强调的图片，都来自剧照，或索恩的书（&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.amazon.com/The-Science-Interstellar-Kip-Thorne/dp/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Amazon.com: The Science of Interstellar (8): Kip Thorne, Christopher Nolan: Books&/a&），里面的解释大多是根据电影需要给出的，未必在物理上成立。&br&&br&这并非索恩第一次与电影界合作，早在八十年代，著名天文学家、科普界的老前辈卡尔.萨根在创作其名著《接触》时，曾设想利用黑洞和时空弯曲来进行穿越，但他对技术细节不太有把握，所以向索恩求教。索恩建议萨根改用虫洞。在传统的广义相对论中，虫洞研究不受重视。但Thorne经过仔细研究发现，在一定的特定条件下虫洞是可以稳定存在的，只要存在足够多的负能量奇异物质。之后，虫洞的研究成为一个重要的科研对象。负能量的物质虽然未必存在，但是量子力学的卡什米尔效应（Casimir Effect,&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Casimir_effect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Casimir effect&/a&）从效果上看能够产生低于真空的能量。这可能是有史以来，文学艺术第一次反过来影响科学研究。1995年，小说被改编为同名电影《接触》（或《超时空接触》），这次《星际穿越》电影，Thorne的作用更大，很多重要的设定是索恩提出来的，当然导演也有自己一定要坚持的设定，比如末日景象，时间循环，超立方体等等，所以最后的电影，在科学和逻辑上仍有一些漏洞。&br&&br&在影片中，小女孩的书房里出现了奇怪的幽灵，书本会莫名其妙地掉到地上；沙尘暴肆虐而过，在地板上形成了二进制的图案；自动收割机莫名其妙地聚集在房间门口，这一切看似玄幻。在揭秘的过程中，男主角库伯和女儿居然无意中闯入NASA。到此，谜题才揭开。原来，所有的一切，都是源于重力异常（gravity anomaly，不是量子理论中的gravitational anomaly）：由于一些奇怪的原因，地球上不同地方的重力大小发生了改变。这里顺便提一下自动收割机为什么也要收到影响：自动收割机要靠GPS系统来定位，由于GPS卫星是运行在高空的，引力不同与地面，时间流逝速度不同于地表，须考虑广义相对论效应（&a href=&http://www.zhihu.com/question/& class=&internal&&全球定位系统 (GPS) 是相对论的应用吗？&/a&），如果地面附近出现了引力反常，那么GPS系统也会紊乱，所以收割机们都跑到他家门了。请注意，重力异常并未影响电磁场，电子线路还是正常工作的，收割机并非是电路收到干扰而受到影响的。&br&&br&地球的重力是由万有引力产生的，由于地球的自转，不同地区的重力加速度数值会略有不同：赤道较小，两极较大；离地心越远，地球的重力加速度也越小。此外，地下所含的矿物的密度不同，也会造成重力加速度的变化。如果地下岩层含有铁矿等密度较大的矿石，那么地表的重力加速度会略高于普通岩层构成的地表；如果地下岩层含有空洞、地下湖泊或者矿物燃料，那么地表的重力加速度会略低。所以，测定地表的重力加速度，反过来可以初步猜测地下有哪些矿物。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/7b3ff26b3_b.jpg& data-rawwidth=&705& data-rawheight=&705& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&705& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/7b3ff26b3_r.jpg&&&/figure&地球的重力加速度，其中蓝色出重力加速度较大，来源：GOCE卫星（地球重力场和海洋环流探测卫星）&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/bd9eb92644aedbc755757adf_b.jpg& data-rawwidth=&234& data-rawheight=&256& class=&content_image& width=&234&&&/figure&&br&重力仪，可用于初步探矿&br&&br&即使在地球同一地点，在不同时刻，重力场的大小也会随着时间而变化。这是由于潮汐作用，由于月球绕地球转动的时间和地球自传的时间不同步，造成地球表面的岩石和海水受到的引力发生周期性变化，产生重力潮，这就是海水为什么每天会涨潮两次的原因。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/de836f06f63d8ae39b99ee_b.jpg& data-rawwidth=&654& data-rawheight=&347& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&654& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/de836f06f63d8ae39b99ee_r.jpg&&&/figure&&br&影片中，当库伯闯入NASA，声称发现重力异常以后，大家都笑了。布兰德教授这才解开谜底，原来，早在五十年前，他们就已经发现重力异常了。最开始，在一些地下油矿的监测设备中，发现重力场在周期性地发生变化，很像潮汐。但是，研究人员仔细分析了所有可能的重力异常起源后，都无法解释。在排除掉所有其他可能性后，加上在土星附近观测到的虫洞，布兰德教授猜测到，很可能是由于我们的宇宙结构导致了重力异常。&br&&br&&br&在现代物理学中，对物质结构和相互作用最透彻的理论是超弦理论，这一理论认为，物质是由非常小的振动的弦构成的，弦的不同振动方式，产生出不同的微观粒子。超弦理论有希望能将传统的广义相对论和量子场论协调起来，所以大家对这一理论抱有着很强的信心。超弦理论中，时空是10维的，其中空间有九维，时间有一维；在这一理论中，不仅存在一维的弦，还存在从-1维到9维的所有客体，一般称为膜（brane）。&br&&br&&br&&p&超弦是十维，而现实世界是四维的(&a href=&http://www.zhihu.com/question/& class=&internal&&为什么空间是三维？ - 物理学&/a&)，为了与这一明显的观测事实相协调，通常认为，其他六维空间是高度卷曲的，通常认为这些卷曲的空间具有一些特定的数学结构（Calabi-Yau），来产生我们所想要的四维模型。这种做法，给很多物理学家以启发，纷纷构造出很多不那么精致的高维时空模型出来，其中最著名的可能是1999年的Randall-Sundrum模型。这一理论认为，时空是5维的，一维时间，再加上四维空间。我们生活在5维时空的一个1+3维超空间上，一个特殊的膜。物质在这个1+3维膜上，物质之间的电磁力，强核力，弱核力都只在膜上传播，不会进入第五维，而引力在所有维空间中传播，所以引力相对其他力很微弱；由于电磁力只存在于膜上，无法进入高维空间，所以影片中自动收割机的电路系统没有发生故障，不受影响。RS模型最初就是为了解释引力为何比其他作用力小很多而提出来的。很快，物理学家们发现，从超弦理论出发，对高维空间的某些维数进行压缩，能够得到RS模型。&/p&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/694a444a0a15cf8573eaa8f1b175d319_b.jpg& data-rawwidth=&258& data-rawheight=&237& class=&content_image& width=&258&&&/figure&&br&&br&不过，RS模型中，由于现在时空结构有所变化，万有引力的表现形式有所不同了。为了让我们熟悉的万有引力与距离平方呈反比这一实验结果还能以很高的精度成立，这就需要对时空结构和膜的特征采取一些限制，在不同的模型中有不同的方案，下图就给出了几个例