&微分方程&是考研数学&&一元微积分的一个重要应用。微分方程的求解历来都是考研数学的重点内容，而事实上微分方程的求解并不复杂。求解一个微分方程只要两步：一识别，通过形式看微分方程属于哪一种类型;二对号入座代入相应求解办法。大家可以对比一元二次方程，仔细回想为什么你能快速求解这一方程，无外乎，识别其属于一元二次方程，其次代入一元二次方程求解公式。其实，微分方程求解也是如此，只是方程由导数构成。为帮助2019同学掌握微分方程计算的方法，跨考教研室的成建军老师给各位梳理出一个微分方程的计算流程。
　　首先，根据方程导数项的最高阶数，进行微分方程的分类，然后根据其形式与下列方程的形式对照，对号入座，选取对应的计算步骤。
　　下面对一些重要的方程求解方法进行如下的说明。
　　一阶线性微分方程求解公式的推导：常数变易法
　　跨考数学教研室 成建军老师
　　注：本文由跨考教育出品，转载需注明出处
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你的第三步写错了，等式左边求导不等于第二步的等式左边。答案的做法是对的，他好像用到了书上的一个公式同济版高数362页，还有一个做法是令u=sect，公式1+tant的平方=sect的平方，不懂再问！
麻烦能给一下过程吗？思路可以理解，可是做不出答案
我的做法和hjsaga是一样的，还有什么问题吗？
左边求的积分不对，左边利用换元法
则du=sec t tan t dt
带入左边，求得结果后，再将sec t换为u
tan t换为(u 的平方-1）的二分之一次方，最后应为ln|u+(u的平方-1）的二分之一次方|=ln|x|+lnc=ln|cx|
即 u+(u的平方-1）的二分之一次方=cx
即为答案所求
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liuqiong100
liuqiong100
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擅长：暂未定制
我有十五年了没接触，彻底还给老师了，不好意思啊！
来自科学教育类芝麻团
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参与团队：
三角代换，只把左边的u换乘sec a
不大明白。。。
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来源：新东方网整理
　　2018考研数学强化复习进行中，下面整理高等数学相关知识点，帮助大家更好的复习！
&&2018考研数学高数：微分方程
　　每年在微分方程这里出题在5到10分左右，对于数一，数三的同学来说，微分方程是在5分左右，对于数二的同学来说微分方程大约要考10分左右，那么对数二的同学来说，微分方程是每年必考的一道解答题。所以数二的同学在学习这块知识要重视起来。
　　我们先说一下微分方程考试对考生的要求，一是会解微分方程，二是应用，这里的应用是指根据题目中的条件来列出方程。应用部分对知识的要求比较综合，有一定的难度。
　　微分方程在考研中准确的说应该是常微分方程，但是大部分的常微分方程求解是有困难的，要解出这些题需要有很强的方法及技巧，而这些技巧往往是我们想不到的。但是对我们考生来说微分方程这部分知识更好学习，这是因为考试不会出从来没有出现过的类型方程，对于考生来说，只要掌握几种类型方程的解题方法，对这部分知识就迎刃而解。
　　那么我们就是一下，微分方程的类型：一阶微分方程以及二阶微分方程。一阶微分方程包括：可分离变量的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程，伯努利方程以及全微分方程。二阶微分方程包括：二阶线性微分方程，可降解的高阶微分方程以及欧拉方程。前面我们说了，这部分知识对数一，数二及数三的要求是不一样的，所以咱们考生要知道自己考哪个部分，下面我们来说一下，对于一阶微分方程中的可分离变量的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程
　　是数一，数二及数三都要考的部分，伯努利方程是数一，数二要考试的部分，全微分方程只有数一考。二阶微分方程中的二阶线性微分方程是数一，数二及数三都考的部分，对于可降解的高解微分方程是数一，数二考试的内容，欧拉方程是数一的考试部分。对于数三的考生来说，还有一个差分方程需要掌握。
　　这样说很多学生会觉得不是很直观，下面我们给出一个表格：
微分方程在数一，数二及数三中的区别
可分离变量的微分方程
齐次微分方程
一阶线性微分方程
伯努利方程
全微分方程
二阶线性微分方程
可降解的高阶微分方程
　　用红色的√标记出来的是考试范围的要求，希望考生对自己考试的范围有所了解。
　　那么下面我们再说一下，这部分怎么学习。既然方程的类型我们都知道了，那么对考生的要求是能够分辨各种方程的类型，其次是对每一种方程解题步骤要清楚。我们在这里主要说一下一阶微分方程中数一，数二及数三公共考试的内容。
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四六级英语拓展有关微分方程的应用题，首先是建立方程，这要根据题意，分析条件，搞清问题所涉及到的基本物理或几何量的意义，并结合其他相关知识，通过逻辑推理等综合手段，使问题得到解决.
列方程，建立数学模型，是考查考生综合应用能力的重要方面，是考试的重点内容之一，同时也是考生的难点，考生要通过练习，结合自己的实际，总结建立微分方程的步骤及注意事项(例如正负号的处理).
有些微分方程可能是数学问题中提供的，例如有的微分方程是由积分方程提出的，有的来自线积分与路径无关的充要条件，或微分式子是某个原函数的全微分.此时应转化成微分方程来求解，同时还应注意到所给条件中可能还提供了函数的某个函数值、导数值(即初始条件)等信息.
首先，应掌握方程类型的判别，因为不同类型的方程有不同的解法，同一个方程，可能属于多种不同的类型，则应选择较易求解的方法.对于一阶方程，通常可按可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程的顺序进行，特别是一阶线性方程和伯努利方程还应注意到有时可以以x为因变量，y为自变量得到，对于高阶方程，一般可按线性方程、欧拉方程、高阶可降阶的方程进行，
第二，是求解方程，不同类型的方程有不同的求解方法，应该熟练掌握，典型方程可用固定的变量置换化简并求解(如齐次方程、线性方程、伯努利方程、高阶可降阶方程、欧拉方程等)，如用公式求解一阶线性方程，则应注意公式应用的条件&&方程应化成标准形式，对于线性方程，应搞清解的结构理论及齐次线性常系数方程的特征方程及非齐次方程的特解的设定等.
第三，对于不属于典型方程的方程，作变量代换是一个有效途径，作什么样的变量代换要结合具体方程的特点来考虑，一般以克服求解方程的困难为目标，选择变量代换可采用试探方式，合适的、使方程得到化简并顺利求解的则采用，否则应重新选择，平时应多练习，这样可以帮助你选择合适的变量代换.
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400-883-2220大一高等数学第十二章微分方程习题_中华文本库
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一、主要内容一阶方程 类 型1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程基本概念二阶常系数线性 方程解的结构特征方程法高阶方程 可降阶方程待 特征方程的根 定 及其对应项 系 数 法 f(x)的形式及其线性方程 解的结构定理1;定理2 定理3;定理47.伯努利方程特解形式欧拉方程微分方程解题思路分离变量法一阶方程作 降 变 阶 换作变换非非 变全 全微分方程 量微 积分因子 可 分 分方 常数变易法 离程高阶方程特征方程法 幂级数解法 待定系数法1、基本概念微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解． 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解． 初始条件 用来确定任意常数的条件.初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．2、一阶微分方程的解法(1) 可分离变量的微分方程形如 g( y )dy ? f ( x )dx解法? g( y )dy ? ? f ( x )dx分离变量法dy y (2) 齐次方程 形如 ? f( ) dx x y 解法 作变量代换 u ? x(3) 可化为齐次的方程dy ax ? by ? c 形如 ? f( ) dx a1 x ? b1 y ? c1当c ? c1 ? 0时, 齐次方程． 否则为非齐次方程．解法令x ? X ? h, y ? Y ? k，化为齐次方程．（其中h和k是待定的常数）(4) 一阶线性微分方程形如dy ? P ( x ) y ? Q( x ) dx上方程称为齐次的． 上方程称为非齐次的.? P ( x ) dx当 Q ( x ) ? 0,当 Q ( x ) ? 0,解法 齐次方程的通解为 y ? Ce ?.（使用分离变量法）非齐次微分方程的通解为? P ( x )dx dx ? C ]e ? ? P ( x )dx y ? [ ? Q( x )e（常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程dy n 形如 ? P ( x ) y ? Q( x ) y dx( n ? 0,1)当n ? 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n ? 0,1时， 方程为非线性微分方程.解法需经过变量代换化为线性微分方程．令z ? y 1? n ,y 1? n ? z ?e ?? ( 1? n ) P ( x ) dx? ( 1? n ) P ( x ) dx dx ? c ). ( ? Q( x )(1 ? n)e(6) 全微分方程 形如P ( x , y )dx ? Q( x , y )dy ? 0其中 du( x , y ) ? P ( x , y )dx ? Q( x , y )dy注意： 全微分方程 ??P ?Q ? ?y ?x解法 ?应用曲线积分与路径无关.u( x , y ) ? ?x P ( x , y )d x ? ?y Q( x0 , y )dyx y0 0? ? Q ( x , y )dy ? ? P ( x , y0 )d x ,y x y0 x0通解为u( x ,
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