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信号与系统试题库
例 5．2-10f (t ) ? F ( s ) = h(t ) ? H ( s ) = 1 s1 s +1 y zs (t ) = f (t ) * h(t ) 1 s +11 1 1 = s s +1 s -t ?y zs (t ) = ? (t ) e ? (t ) Yzs ( s ) = F ( s ) H ( s ) =求函数 f(t)= t2e-?t?(t)的象函数 令 f1(t)= e-?t?(t)， 则 F1 ( s ) =1 , Re[ s ] & ? s +?f(t)= t2e-?t?(t)= t2 f1(t)，d 2 F1 ( s) 2 则 F ( s) = = 2 ds (s + ? )2已知 H(s)的零、极点分布图如示，并且 h(0+)=2。 求 H(s)和 h(t)的表达式。jω j2 -1 0 -j2解：由分布图可得σH ( s) ?Ks Ks ? 2 2 ( s ? 1) ? 4 s ? 2s ? 5 Ks 2 ?K s ?? s 2 ? 2 s ? 5根据初值定理，有h(0?) ? lim sH ( s) ? lims ??H ( s) ?2s s ? 2s ? 52H ( s) ?2s 2( s ? 1) ? 2 ? s ? 2s ? 5 ( s ? 1) 2 ? 2 22h(t ) ? 2 *s ?1 2 ? 2 2 ( s ? 1) ? 2 ( s ? 1) 2 ? 2 21= 2e cos2t ? e sin 2t 已知 H(s)的零、极点分布图如示，并且 h(0+)=2。 求 H(s)和 h(t)的表达式。?t?t解：由分布图可得H ( s) ?K ( s 2 ? 1) s( s ? 1)(s ? 2)s ??根据初值定理，有h(0?) ? lim sH ( s ) ?? KH ( s) ?设2(s 2 ? 1) s( s ? 1)(s ? 2)k k1 k ? 2 ? 3 s s ?1 s ? 2H ( s) ?由 k i ? lim( s ? si ) H ( s ) 得：s ? sik 1=1 k 2=-4 k 3=5即H ( s) ?1 4 5 ? ? s s ?1 s ? 2h(t ) ? (1 ? 4e ?t ? 5e ?2t )? (t )二、写出下列系统框图的系统方程，并求其冲激响应。 （ 15 分）2解：x”(t) + 4x’(t)+3x(t) = f(t) y(t) = 4x’(t) + x(t)则：y”(t) + 4y’(t)+ 3y(t) = 4f’(t) + f(t) 根据 h(t)的定义 有 h”(t) + 4h’(t) + 3h(t) = δ (t) h’(0-) = h(0-) = 0 先求 h’(0+)和 h(0+)。 因方程右端有δ (t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含δ (t)，h’(t)含ε (t)，h’(0+) ≠h’(0-)，h(t)在 t=0 连续，即 h(0+)=h(0-)。积分得 [h’(0+) - h’(0-)] + 4[h(0+) - h(0-)] +3 = 1 考虑 h(0+)= h(0-)，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 h’(0+) =1 + h’(0-) = 1 对 t&0 时，有 h”(t) + 4h’(t) + 3h(t) = 0 故系统的冲激响应为一齐次解。 微分方程的特征根为-1，-3。故系统的冲激响应为 -t -3t h(t)=(C1e + C2e )ε (t) 代入初始条件求得 C1=0.5,C2=-0.5, 所以 -t -3t h(t)=(0.5 e C 0.5e )ε (t)三、描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) -t 求当 f(t) = 2e ，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1 时的解； （ 15 分）解: (1) 特征方程为λ 2 + 5λ + 6 = 0 其特征根λ 1= C2，λ 2= C3。 齐次解为 yh(t) = C1e-2t+ C2e-3t当 f(t) = 2e C t 时，其特解可设为 yp(t) = Pe 将其代入微分方程得 Pe -t + 5(C Pe-t) + 6Pe-t = 2e-t 解得 P=1 于是特解为 yp(t) = e-t3-te?s (1 ? e ? s ? s e ? s ) s2全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e-2t + C2e-3t + e-t 其中 待定常数 C1,C2 由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y’(0) = C2C1 C3C2 C1= C1 解得 C1 = 3 ，C2 = C 2 最后得全解 y(t) = 3e C 2t C 2eC 3t+ eC t, t≥0四、如图信号 f(t)的拉氏变换 F(s) =e?s (1 ? e ? s ? s e ? s ) ，试观 2 s察 y(t)与 f(t)的关系，并求 y(t) 的拉氏变换 Y(s) （10 分）A 卷 【第 2 页共 3 页】解 y(t)= 4f(0.5t) Y(s) = 4×2 F(2s)?8 e ?2 s (1 ? e ?2 s ? 2s e ?2 s ) 2 ?2s ?2 e ?2 s (1 ? e ? 2 s ? 2s e ? 2 s ) s2?六、有一幅度为 1，脉冲宽度为 2ms 的周期矩形脉冲，其周期为 8ms，如图所示, 求频谱并画出频谱图频谱图。 （10 分）1 f(t) 0 … T t-T??2?2解：付里叶变换为4?1 e T ? jn?? jn?t?2 ??2?2 Tsin(n?? ) 2 n?Fn 为实数，可直接画成一个频谱图。1 4Fn?2?02?4????ω六、有一幅度为 1，脉冲宽度为 2ms 的方波，其周期为 4ms，如图所示,求频谱 并画出频谱图。 （10 分）解： ? =2 ? * ?付里叶变换为??4 sin(2n ? 1)500?t ( 2 n ? 1 ) ? n ?1?Fn 为实数，可直接画成一个频谱图。5或幅频图如上，相频图如下：如图反馈因果系统，问当 K 满足什么条件时，系统是稳定的？其中子系统的系统函数 G(s)=1/[(s+1)(s+2)]F(s)∑ KG(s)Y(s)解：设加法器的输出信号 X(s) X(s)=KY(s)+F(s) Y(s)= G(s)X(s)=K G(s)Y(s)+ G(s)F(s) H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/[1-KG(s)]=1/(s2+3s+2-k) H(s)的极点为p1, 23 ?3? ? ? ? ? ? ?2?k 2 ?2?2为使极点在左半平面，必须(3/2)2-2+k&(3/2)2, k&2，即当 k&2，系统稳定。6如图离散因果系统框图 ，为使系统稳定，求常量 a 的取值范围2 F(z ) ∑ a z ?1 ∑ Y(z )解：设加法器输出信号 X(z) X(z)=F(z)+a/Z*X(z) Y(z)=(2+1/z)X(z)= (2+1/z)/(1-a/z)F(z) H(z)= (2+1/z)/(1-a/z)=(2z+1)/(z-a) 为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位园内， 故|a|&1 周期信号 f(t) = 1 ?1 2? ? 1 ? ? ?? ?? cos? t ? ? ? sin? t ? ? 2 3 ? 4 ?3 6? ?4试求该周期信号的基波周期 T， 基波角频率Ω ， 画出它的单边频谱图， 并求 f(t) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写 f(t)的表达式，即1 2? ? ?? ?? ? 1 ?? f (t ) ? 1 ? cos? t ? ? ? ? ? cos? t ? ? ? 2 3 6 2? ?4 ? 4 ?3显然 1 是该信号的直流分量。1 ?? ?? cos? t ? ? 2 3? ?42 2的周期 T1 = 81 ? ? 2? ? cos? ? ? 4 ?3 3 ?的周期 T2 = 6所以 f(t)的周期 T = 24，基波角频率Ω =2π /T = π /12，根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P=1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 37 1? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 ? 321 ?? ?? cos? t ? ? 2 3? ?4是 f(t)的[π /4]/[π /12 ]=3 次谐波分量；1 ? ? 2? ? cos? ? ? 4 ?3 3 ?是 f(t)的[π /3]/[π /12 ]=4 次谐波分量；画出 f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图AnA0 2?n1 211 4?3o?3?12?6?4 ? 2? 3?3ωo?12?6?4ω (b)(a)7二、计算题（共 15 分）已知信号 f (t ) ? t? (t )1 、 分 别 画 出f1 (t ) ? t ? t 0 、f 2 (t ) ? (t ? t 0 )? (t ) 、f 3 (t ) ? t? (t ? t 0 ) 和（5 分） f 4 (t ) ? (t ? t 0 )? (t ? t 0 ) 的波形,其中 t 0 ? 0 。 2、指出 f 1 (t ) 、 f 2 (t ) 、 f 3 (t ) 和 f 4 (t ) 这 4 个信号中，哪个是信号 f (t ) 的延时 t 0 后的波形。 并指出哪些信号的拉普拉斯变换表达式一样。 （4 分） 3、求 f 2 (t ) 和 f 4 (t ) 分别对应的拉普拉斯变换 F2 (s) 和 F4 (s) 。 （6 分）1、 （4 分）2、 f 4 (t ) 信号 f (t ) 的延时 t 0 后的波形。 （2 分） 3、 F2 ( s) ? F1 ( s) ?F4 ( s ) ?1 t0 ? （2 分） s2 s1 ? st 0 e 。 （2 分） s2三、计算题（共 10 分）如下图所示的周期为 2? 秒、幅值为 1 伏的方波 u s (t ) 作用于 RL电路，已知 R ? 1? ， L ? 1H 。 1、 写出以回路电路 i (t ) 为输出 的电路的微分方程。 2、 求出电流 i (t ) 的前 3 次谐波。解“8? ? ? 1, ? t ? ? 2 2 1、 u s (t ) ? ? 。 （2 分） ? ? ?0,?? ? t ? ? , ? t ? ? 2 2 ?2、 u s (t ) ?5 1 a0 ? ? a n cos(nt) 2 n ?1?1 5 2 n? 1 2 2 2 ?? sin( ) cos(nt) ? ? cos(t ) ? cos(3t ) ? cos(5t ) 2 n?1 n? 2 2 ? 3? 5?（3分） 3、 i ?(t ) ? i(t ) ? u s (t ) （2 分） 4、 i (t ) ?1 1 1 1 1 ? cos( t ) ? sin( t ) ? cos( 3t ) ? sin( 3t ) （3 分） 2 ? ? 15? 5?四、计算题 （ 共 10 分 ）已知有一个信号处理系统，输入信号 f (t ) 的最高频率为f m ? 2? ?m ，抽样信号 s (t ) 为幅值为 1，脉宽为 ? ，周期为 TS （ TS ? ? ）的矩形脉冲序列，经过抽样后的信号为 f S (t ) ，抽样信号经过一个理想低 通滤波器后的输出信号为 y(t ) 。 f (t ) 和 s (t ) 的波形分别如 图所示。 1、试画出采样信号 f S (t ) 的波形； （4 分） 2、若要使系统的输出 y(t ) 不失真地还原输入信号 f (t ) ，问 该理想滤波器的截止频率 ?c 和抽样信号 s (t ) 的频率 f s ，分 别应该满足什么条件？（6 分） 解：1、 （4 分）2、理想滤波器的截止频率 ?c ? ?m ,抽样信号 s (t ) 的频率 f s ? 2 f m 。 （6 分）y ??(t ) ? 5 y ?(t ) ? 6 y(t ) ? 2 f ?(t ) ? 6 f (t ) 。 五、 计算题 （共 15 分） 某 LTI 系统的微分方程为：9已知 f (t ) ? ? (t ) ， y(0 ? ) ? 2 ， y ?(0 ? ) ? 1 。 求分别求出系统的零输入响应、零状态响应和全响应 y zi (t ) 、 y zs (t ) 和 y(t ) 。解：? ? 1 1 1、 F ( s) ? ? ? (t )e ? st dt ? ? e ? st dt ? ? e ? st |? 。 （2 分） 0 ? 0 0 s s 2、 s 2Y (s) ? sy(s) ? y?(0 ? ) ? 5sY (s) ? 5 y(0 ? ) ? 6Y (s) ? 2sF (s) ? 2 f (0 ? ) ? 6F (s) （ 3 分）3、 Yzi ( s) ?Yzs ( s) ?sy (0 ? ) ? y ?(0 ? ) ? 5 y (0 ? ) 2s ? 11 7 5 ? 2 ? ? 2 s ? 5s ? 6 s ? 5s ? 6 s ? 2 s ? 32（ 2 s ? 3） 1 2 1 1 1 ? ? ? ? ? s ? 5s ? 6 s s ? 2 s s s ? 2 2s ? 11 2s ? 3 1 Yzi ( s) ? 2 ? 2 ? （5 分） s ? 5s ? 6 s ? 5s ? 6 s4、 y zi (t ) ? (7e ?2t ? 5e ?3t )? (t )y zs (t ) ? (1 ? e ?2t )? (t )y(t ) ? (1 ? 6e ?2t ? 5e ?3t )? (t ) （5 分）六、计算题（共 10 分）如下图所示的 RC 低通滤波器网络。已知电容 C 的初始电压为（共 10 分） uC (0 ? ) ? 1V 。 1、 写出该电路的 s 域电路方程，并画出对应的电路图。 （2 分） 2、 写出以电容电压 U C (s) 为输出的电路的系统函数 H ( S ) ? 3、 求出 H ( s ) 的极点，判断该 RC 网络的稳定性。 （2 分） 4、 求出该 RC 网络的频率特性 H ( j? ) 。 （2 分） 5、 求出该 RC 网络的幅频特性 | H ( j? ) | 和相频特性 ? ( j? ) 的表达式，并画出频率特性图。 （2 分）U（ C s) 的表达式。 （2 分） U S ( s)解：101、 U S ( s ) ? ( R ?u (0?) 1 ) I S ( s) ? c 或 U S (s) ? R[sCU C (s) ? uc (0?)] ? U C (s) sC s（2 分）1 2、 H ( S ) ? ? RC （2 分） 1 1 R? s? sC sC 1 3、 H ( s ) 的极点 s1 ? ? ，该 RC 网络是稳定的。 （2 分） RC1 sCz2 已知象函数 F ( z ) ? 求逆 z 变换。 ( z ? 1)(z ? 2)其收敛域分别为： （1）?z?&2 (2) ?z?&1 (3) 1&?z?&2 解：部分分式展开为1 2 F ( z) z ? ? 3 ? 3 z ( z ? 1)( z ? 2) z ? 1 z ? 2F ( z) ? 1 z 2 z ? 3 z ?1 3 z ? 2(1)当?z?&2，故 f(k)为因果序列1 2 f (k ) ? [ (?1) k ? (2) k ]? (k 3 3(2) 当?z?&1，故 f(k)为反因果序列1 2 f (k ) ? [? (?1) k ? (2) k ]? (?k ? 1) 3 3(3)当 1&?z?&2，1 2 f (k ) ? (?1) k ? (k ) ? (2) k ? (?k ? 1) 3 3已知象函数 F ( z ) ?z( z 3 ? 4z 2 ?1 ( z ? )(z ? 1)(z ? 2)(z ? 3) 2(2) 1&?z?&29 1 z? ) 2 z求逆 z 变换。其收敛域分别为： （1）?z?&311解： F ( z ) ??z 2z ?z z ? ? ? z ? 0.5 z ? 1 z ? 2 z ? 3（1）?z?&3 由收敛域可知，上式四项的收敛域满足?z?&3，1 f (k ) ? ?( ) k ? (k ) ? 2? (k ) ? (2) k ? (k ) ? (3) k ? (k 2(2) 1&?z?&2 由收敛域可知，上式前两项的收敛域满足?z?&1，后两项满足?z?&2。1 f (k ) ? ?( ) k ? (k ) ? 2? (k ) ? (2) k ? (?k ? 1) ? (3) k ? (?k ? 1) 212
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