矩阵的行列式等于特征值乘积的乘积 看图片

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-07-10 08:34 标签： 行列式等于特征值乘积
矩阵的特征值之和等于矩阵的行列式
矩阵的特征值之积等于矩阵的迹
简单的理解证明如下：
1、二次方程的韦达定理：
请思考：x^2+bx+c=0 这个方程的所有根的和等于多少、所有根的积等于多少
2、把二次方程推广到 N 次：
对一个一元n次方程，它的根记作
那么接下来可以类似地来思考：(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-n_N)=0 这个方程的所有根的和对应于等式左边展开后几次项的系数，所有根的积对应等式展开后几次项的系数。
已知一个一元五次方程：
根据高斯的代数原理：上式在复数范围内必可分解成的形式；且x1, x2, x3, x4, x5是该多项式在复数范围内的根。
3、考虑矩阵的特征值问题
设A为n阶方阵，考虑特征多项式|A-λI|的n-1次项，有矩阵 A 的特征值方程：det(A-λI)=0（行列式展开式在这里不作说明，可以参考相关资料），我们可以发现，除了主对角元的乘积 (λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann) 之外，其他展开项的次数都小于 n-1。因此 n-1 次项的系数就是 (λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann) 中 λ^(n-1) 的系数，也就是-(a11+a22+...+ann)。
特征值是特征多项式的根，由韦达定理（根与系数关系）知特征值的和 = a11+a22+...+ann。
4、参考文献：
阅读(...) 评论()在什么情况下 矩阵行列式的值等于特征值之积..【线性代数吧】_百度贴吧
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在什么情况下 矩阵行列式的值等于特征值之积..收藏
有这种情况麽...还是我直接就出发点就错了.
n阶方阵的行列式就等于它n个特征值的积嘛
登录百度帐号1、为什么方阵特征值之积等于行列式值？2、为什么方阵的对角元素【数学吧】_百度贴吧
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1、为什么方阵特征值之积等于行列式值？2、为什么方阵的对角元素收藏
1、为什么方阵特征值之积等于行列式值？2、为什么方阵的对角元素之和等于特征值和？烦请高人给出证明过程或较易理解说明。
书上没证明么？
展开 用推广的韦达定理
登录百度帐号如何利用特征值计算矩阵的行列式 线性代数_百度知道
如何利用特征值计算矩阵的行列式 线性代数
我有更好的答案
第二行加到第四行上--------&
第四行提出1-s,
然后按第一列展开
（1-s）倍的行列式
再减去1倍的行列式
最后对这两个三阶行列式先化简一下， 对上面第一个三阶行列式，第二行减去第一行得 1-s
1 然后按第三列展开。 对第二个三阶行列式，直接计算即可。
采纳率：67%
矩阵的行列式等于其所有特征值的乘积。
本回答被提问者采纳
1.A经过初等变换后可以变为对角阵，P-1AP=diag(r1,r2,...rn)，取行列式后就是|A||P-1||P|=|diag(r1,r2...rn)|，因为P的行列式和P的逆的行列式乘积为1，所以A的行列式等于特征值构成的对角阵的行列式，也就是等于特征值的成绩。2.求|rE-A|，r是特征值，得到的特征方程可以写成(r-r1)(r-r2)...(r-rn)，常数项是r1*r2...*rn，又因为常数项等于|A|，所以A的行列式等于特征值的乘积。
特征值相乘就是矩阵的行列式
如果不说明这个矩阵是对角化的矩阵的话，应该是没办法求出该完整矩阵的。如果知道特征值和特征向量应该可以求出该矩阵。具体操作方式，请看链接例题：
《江雪》作者：柳宗元
所有特征值的积等于行列式值，特征值的和等于矩阵的迹
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如何证得：矩阵特征值之和为对角元素之和，矩阵特征值之积为矩阵的行列式？
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本科学校士大夫打工
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报考学校hit
本科学校hit
这个书上一般都有吧。
你随便找本现代书上边旧有的。
一般是利用特征多项式。
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考研年份123
报考学校北京社会管理职业学院
本科学校北京社会管理职业学院
利用根与系数的关系可以求得，记住就好，不要求会证明！
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考研年份2010
报考学校浙江大学
本科学校西南大学
这个不用证明的吧
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报考学校浙大
本科学校吉林大学
教材里一开始就有，自己找啊~~
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报考学校xxxx
本科学校xxxx
是这样证明的：
我们设方阵为A ，对角线的值为a11,a22......ann，系数行列式为|A - qE | = 0.特征值为q1，q2,...qn
那么|A - qE | = 0 对应q的n-1次（q (n - 1)）的系数为 a11 + a22 + a33 + ... + ann 即
| A - qE | = （-q）n + （a11 + a22 + ... ann）(-q)(n - 1) + ... (其他项我们不需要就不写了)
而我们又有 | A - qE | = （q1 - q）（q2 - q）...( qn - q ) (根据根和项数关系得到)
展开又可得q的n-1次的系数为 q1 + q2 + ...+qn
故：q1 + q2 + ...+qn = a11 + a22 + ... ann
那么第二个就更简单了：
| A - qE | = （q1 - q）（q2 - q）...( qn - q )我们设q = 0 则 |A| = q1*q2*...qn
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报考学校CNU
本科学校-！-
第二个用相似的概念....
|A|=|P1|*|D|*|P2|
其中D特征值的矩阵。P1是特征向量矩阵.P2是P1的逆
|P1|=1/|P2|
就是|A|=|D|了
逃避不一定躲得过.
面对不一定最难受.
得到不一定能长久.
失去不一定不再有.
转身不一定最软弱.

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