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线性代数复习题
线性代数复习主要参考资料1、王萼芳.线性代数习题集 北京清华大学出版社，、教材编写委员会.高等代数. 北京 开明出版社，1999.63、顾敦和.线性代数 . 北京高等教育出版社，2002.14、赵树嫄.线性代数. 北京 中国人民大学出版社 ，2002.1 一、课程性质、目的课程性质线性代数是计算机系计算机专业的基础课程，是为培养学生有关线性代数的基本理论、运算方法和应用能力而设置的一门专业基础课程。设置目的使学生比较系统地掌握线性代数的基本概念、基本理论和运算方法，能熟练地运用其基本概念和运算方法解决一些实际问题。通过线性代数的学习，培养学生的运算能力、逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力，以便更好地适应现代社会的需要。二、教学内容第一章 线性方程组本章教学要求通过本章的学习，学会应用消元法求解线性方程组；理解线性方程组的矩阵的概念，并学会应用矩阵以及矩阵的初等变换求解线性方程组；了解线性方程组有解判别定理及解的个数；了解数域的定义。第一节 消元法一、n 元线性方程组的概念二、消元法的基本思想消元法的基本思想是把方程组中一部分方程变成未知量较少的方程，从而判断原方程是否有解，并在有解时求出解来。三、线性方程组的初等变换1、用一个非零的数乘一个方程；2、用一个数乘一个方程后加到另一个方程上；3、互换两个方程的位置。四、应用阶梯形方程组判断线性方程组解的情况1、如果 d r1≠0,则线性方程组无解。2、如果 d r10,则线性方程组有解。此时，如果 rn，则线性方程组有唯一解；如果rn，则线性方程组有无穷多解。第二节 线性方程组的矩阵一、矩阵的概念sxn 矩阵，系数矩阵，增广矩阵，矩阵的初等行变换，阶梯形矩阵，约化阶梯形矩阵，零矩阵二、矩阵的秩的概念三、线性方程组有解判别定理及解的个数线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵 A 与增广矩阵 A′有相同的秩。线性方程组有解时，如果它的系数矩阵的秩 r 等于未知数个数 n，则线性方程组有唯一解；如果 rn，则线性方程组有无穷多个解。第三节 齐次线性方程组一、齐次线性方程组的概念二、齐次线性方程组有非零解的判定条件齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数矩阵的秩 r 小于未知量个数 n。如果齐次线性方程组中方程的个数少于未知量的个数，那麽它有非零解。第四节 数 域一、数域的定义二、任何一个数域都包含有理数域第二章 n 维向量空间本章教学要求通过本章的学习，了解 n 维向量空间的定义，理解并掌握线性相关、线性表出、极大线性无关组和向量组的秩等基本概念，学会判断向量组的线性相关性，理解基础解系的定义，学会用基础解系表示出线性方程组的全部解。第一节 n 维向量及其运算一、n 维向量的概念n 维向量、行向量、列向量、相等的向量二、向量的运算1、 向量的加法、减法与数乘运算2、零向量与负向量的定义3、向量的线性运算的一些基本规律三、数域 p 上的 n 维向量空间的定义第二节 线性相关性一、线性表出与等价1、线性表出的定义2、β 可以由向量组 α 1，α 2，,α s线性表出的充要条件β 可以由向量组 α 1，α 2，,α s线性表出的充要条件是非齐次线性方程组有解。3、n 维基本向量的定义4、等价的定义二、线性相关性1、线性相关与线性无关的定义2、向量组 α 1，α 2，,α s线性相关的充要条件向量组 α 1，α 2，,α s线性相关的充要条件是齐次线性方程组有非零解向量组 α 1，α 2，,α s线性相关的充要条件是 α 1，α 2，,α s中有一个向量可以被其余的向量线性表出。第三节 向量组的秩一、极大线性无关组的定义向量组的一个部分组称为它的一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，但是再从原向量组的其余向量（如果还有的话）中任取一个添进去以后，所得到的部分组都线性相关。二、极大线性无关组的求法三、向量组的秩的定义向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩只含零向量的向量组的秩规定为零等价的向量组有相同的秩四、向量组的秩的计算方法矩阵 A 的秩等于它的行向量组的秩第四节 线性方程组解的结构。一、齐次线性方程组解的结构1、齐次线性方程组的解的性质（1）齐次线性方程组两个解的和还是方程组的解（2）齐次线性方程组一个解的倍数还是方程组的解2、基础解系的定义及其求法设 α 1，α 2，,α t是齐次线性方程组的一组解，如果（1）α 1，α 2，,α t 线性无关；（2）方程组的任一个解都能表成 α 1，α 2，,α t 的线性组合。则α 1，α 2，,α t称为方程组的一个基础解系。3、齐次线性方程组的全部解的结构二、一般线性方程组的解的结构1、 导出组的定义2、一般线性方程组的解与它的导出组的解之间的关系（1）一般线性方程组的两个解的差是它的导出组的解 （2）一般线性方程组的一个解与它的导出组的一个解的和还是一般线性方程组的一个解3、一般线性方程组的全部解的结构第三章 行列式本章教学要求通过本章的学习，理解 n 阶排列的定义和 n 阶排列的一些基本性质；掌握 n 阶行列式的定义；掌握行列式的性质；理解余子式和代数余子式的定义；掌握行列式按一行（列）展开的公式，学会利用公式和行列式的性质计算行列式。掌握 k 阶子式的定义和克莱姆法则；学会利用克莱姆法则求线性方程组的解。第一节 2 阶和 3 阶行列式一、2 阶行列式和 3 阶行列式的概念二、2 阶和 3 阶行列式对线性方程组的应用第二节 n 阶排列一、n 阶排列的一些定义排列，逆序，逆序数，齐排列，偶排列二、n 阶排列的一些性质 第三节 n 阶行列式的定义一、n 阶行列式的定义二、一些特殊的行列式上三角行列式，下三角行列式，对角行列式三、应用行列式的定义计算行列式第四节 行列式的性质一、行列式的性质1、行列互换，行列式不变；2、用一个数乘行列式的某一行（列）就等于用这个数乘此行列式；3、如果行列式中第 i 行（列）的元素是两组数的和，则这个行列式就等于两个行列式的和，这两组数分别是这两个行列式第 i 行（列）的元素，除去第 i 行（列）外，这两个行列式其他各行（列）的元素与原行列式的元素都是相同的；4、对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号；5、如果行列式中有两行（列）成比例，则行列式等于零；6、把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式不变。二、应用行列式的性质计算行列式第五节 行列式按一行（列）展开公式一、余子式和代数余子式的概念在 n 阶行列式 D 中，划去元素 aij所在的行列，剩下的元素按原来的排列构成的 n-1阶行列式称为元素 aij的余子式，记为 Mij.； 代数余子式 Aij-1ijMij.二、行列式按一行（列）展开的公式 三、应用按一行（列）展开的公式计算行列式第六节 克莱姆法则一、克莱姆法则如果线性方程组的系数行列式 D≠0，则这个方程组有解，并且解是唯一的，可表示成 xjDj/D j1,2,,n 其中 D 是系数行列式；D j是把 D 中第 j 列（即 x j 的系数）的元素换成常数 bii1,2,,n所构成的行列式。二、克莱姆法则应用于齐次线性方程组三、应用举例（用克莱姆法则求解线性方程组）第四章 矩阵本章教学要求通过本章的学习，掌握矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法、矩阵的转置等矩阵的运算定义；掌握应用矩阵的分块运算计算矩阵的方法；理解可逆矩阵和伴随矩阵的定义；掌握逆矩阵的求法。 第一节 矩阵的运算一、矩阵的加法定义及其应用举例矩阵的加法 a ijsnbijsnaijbijsn二、矩阵的乘法定义及其应用举例矩阵的乘法 a ijsn*bijnmcijsm其中 i1,2,,s; j1,2,,m. 三、矩阵与数的乘法定义kaijkaij四、矩阵的转置定义及其应用举例 矩阵的转置 a ijsnTa’ijns其中 a ’ijaji i1,2,,s; j1,2,,n. 第二节 矩阵的分块一、矩阵的分块运算用分块矩阵作矩阵的加法用分块矩阵作矩阵的乘法二、矩阵分块运算的应用举例第三节 矩阵的逆一、矩阵的逆的定义对于矩阵 A，如果有矩阵 B，使得 ABBAE.则 A 称为可逆的；B 称为 A 的逆矩阵，记作 A-1.二、逆矩阵存在的条件三、求逆矩阵的方法 三、实践环节无四、学时分配章次 内容 学时分配第一章 线性方程组 6第二章 n 维向量空间 10第三章 行列式 14第四章 矩阵 6总计 36撰稿人李立红审定人钱国梁系主任侯冬梅
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线性代数练习题求助求方程组：①X1-X2-X3+X4=0;②X1-X2+X3-3X4=0;③X1-X2-2X3+3X4=0的通解.麻烦写下解题过程，谢谢~
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系数矩阵=1 -1 -1 11 -1 1 -31 -1 -2 3r2-r1,r3-r11 -1 -1 10 0 2 -40 0 -1 2r2*(1/2),r1+r2,r3+r21 -1 0 -10 0 1 -20 0 0 0方程组的通解为:c1(1,1,0,0)'+c2(1,2,0,1)'.
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3秒自动关闭窗口线代六大考点及出题形式
　　摘要：线性代数作为数一、数二、数三都考的科目，相对高数来说属于比较简单、容易掌握的知识，所以在考研数学中，线代的学习也是要多加关注的。今天帮帮为大家带来线性代数中重要考点及常考题型，一起巩固学习吧！
　　一、行列式
　　行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少。
　　例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式。
　　如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现。所以要熟练掌握行列式常用的计算方法。
　　1、重点内容：行列式计算
　　(1)降阶法
　　这是计算行列式的主要方法，即用展开定理将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。
　　(2)特殊的行列式
　　有三角行列式、范德蒙行列式、行和或列和相等的行列式、三线型行列式、爪型行列式等等，必须熟练掌握相应的计算方法。
　　2、常见题型：
　　(1)数字型行列式的计算
　　(2)抽象行列式的计算
　　(3)含参数的行列式的计算
　　(4)代数余子式的线性组合
　　二、向量
　　向量部分既是重点又是难点，由于n维向量的抽象性及在逻辑推理上的较高要求，导致考生在学习理解上的困难。考生至少要梳理清楚知识点之间的关系，最好能独立证明相关结论。
　　1、重点内容：
　　(1)向量的线性表示
　　线性表示经常和方程组结合考察，特点，表面问一个向量可否由一组向量线性表示，其实本质需要转换成方程组的内容来解决，经常结合出大题。
　　(2)向量组的线性相关性
　　向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。同学们一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解。
　　(3)向量组等价
　　要注意向量组等价与矩阵等价的区别。
　　(4)向量组的极大线性无关组和向量组的秩
　　(5)向量空间(数一)
　　2、常见题型：
　　(1)判定向量组的线性相关性
　　(2)向量组线性相关性的证明
　　(3)判定一个向量能否由一向量组线性表出
　　(4)向量组的秩和极大无关组的求法
　　(5)有关秩的证明
　　(6)有关矩阵与向量组等价的命题
　　(7)与向量空间有关的命题。
　　三、线性方程组
　　往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容。
　　但也不会简单到仅考方程组的计算，还需灵活运用，比如2014年的线性代数第一道解答题，解矩阵方程，而且系数矩阵是不可逆的，这是考研以来第一次这样考，最后归结为求三个非齐次线性方程组通解。
　　1、重点内容：
　　(1)齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构
　　(2)齐次线性方程组基础解系的求解与证明
　　(3)齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)。
　　2、常见题型：
　　(1)线性方程组的求解
　　(2)方程组解向量的判别及解的性质
　　(3)齐次线性方程组的基础解系
　　(4)非齐次线性方程组的通解结构
　　(5)两个方程组的公共解、同解问题
　　四、特征值与特征向量
　　特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大。
　　1、重点内容：
　　(1)特征值和特征向量的概念及计算
　　(2)方阵的相似对角化
　　(3)实对称矩阵的正交相似对角化
　　2、常见题型：
　　(1)数值矩阵的特征值和特征向量的求法
　　(2)抽象矩阵特征值和特征向量的求法
　　(3)矩阵相似的判定及逆问题(2014出大题)
　　(3)矩阵的相似对角化及逆问题
　　(4)由特征值或特征向量反求A
　　(5)有关实对称矩阵的问题
　　五、二次型
　　由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。
　　1、重点内容：
　　(1)掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念；
　　(2)了解二次型的规范形和惯性定理；
　　(3)掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形；
　　(4)理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法。
　　2、常见题型：
　　(1)二次型表成矩阵形式
　　(2)化二次型为标准形
　　(3)二次型正定性的判别
　　六、矩阵
　　矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础。矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终。这部分考点较多。涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题。
　　有些性质得证明必须能自己推导。这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题。
　　1、重点内容：
　　(1)矩阵的运算
　　(2)伴随矩阵
　　(3)可逆矩阵
　　(4)初等变换和初等矩阵
　　(5)矩阵的秩
　　2、常见题型：
　　(1)计算方阵的幂
　　(2)与伴随矩阵相关联的命题
　　(3)有关初等变换的命题
　　(4)有关逆矩阵的计算与证明
　　(5)解矩阵方程(2013年和2014年连续出大题，要重视)
　　(6)矩阵秩的计算和证明
　　以上就是线性代数的重要考点及常考题型，大家一定要对照着说明学习研究，争取线代少丢分，为取得数学好成绩打好基础。
　　（实习小编：加油猪）
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