关于学科思想的本质探讨与研究
由春燕供稿
　　编者按：《减负与提质：基于学科思想方法的整合性教学》这篇文章讲述了在学科的道路上应该如何认识到其中的本质与内涵，不妨一起来随作者们看看吧。
　　一般说来，知识、能力与思想方法是学科的三大要素。然而，我国中小学一直强调基础知识和基本技能的&双基&教学，普遍忽视了学科思想方法的教学。这种状况导致学生在浅表、零散和庞杂的水平上学习学科，严重制约了学生学科综合素养、探究能力和创造性思维的发展。鉴于此，本文拟就基于学科思想方法的整合性教学做粗浅探讨。
　　学科教学的精髓和灵魂是什么?
　　&只要不考试，就总有讲不完的知识和做不完的习题&。这是许多教师特别是毕业班教师的深切感受。是否真的有那么多知识需要教师不辞辛劳地讲解?是否真的有那么多习题需要学生不厌其烦地训练?与此相反，某些著名教师所教的学生在高二就可以参加高考，而且成绩还很优秀!这是为什么?这两者的根本区别到底在哪里?更进一步，学科教学的精髓和灵魂究竟是什么?一致的答案便是：学科思想方法。苏霍姆林斯基曾经说道：&思想好比火星：一颗火星会点燃另一颗火星。一个深思熟虑的教师和班主任，总是力求在集体中创造一种共同热爱科学和渴求知识的气氛，使智力兴趣成为一些线索，以其真挚的、复杂的关系&&即思想的相互关系把一个个的学生连接在一起。&[1]事实上，谁把握住了学科思想方法这一精髓和灵魂，谁就能举重若轻地组织教学;谁缺乏对学科思想方法的把握，谁就只能被迫陷入学科知识的汪洋大海之中，眼前总有讲不完的知识和练不完的习题。
　　&哪里有思想，哪里就有威力&(雨果语)。知识、思想和能力是学科教学的三大要素，学科思想方法则是学科教学的精髓和灵魂，它在很大程度上决定了学生知识储存的状况和能力发挥的状况，同时在学生以后的学习、生活和工作中长期发挥着作用。布鲁纳早就明确指出：&学生对所学材料的接受必然是有限的，怎样能使这种接受在他们以后一生的思考中有价值?回答是：不论他们选取什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。&[2]布鲁纳认为，每一门学科中都存在着某些广泛和强有力的适应性观念，这些观念形成着学科的深层结构。&掌握某一学术领域的基本观念，不但包括掌握一般原理，而且还包括培养对待学习和调查研究、对待推测和预感、对待独立解决难题的可能性态度。&[3]可见，布鲁纳极力主张教给学生的学科基本结构其实就是学科的基本观念、基本的思想方法，而不仅是处于表层的基本概念和原理体系。如果教学仅仅停留于知识体系的掌握和解题技巧的训练，学生就只能获得学科的表层结构，而不能理解学科的思想方法，从而使培养学生的问题解决能力、创造性思维和学科综合素养成为一句空话。
　　然而，中小学学科教学普遍忽视了学科思想方法这一精髓和灵魂的教学：强调知识的教学，却又使学生的知识学习陷入庞杂、零散而缺乏整合;强调解题技巧的训练，却又使学生的技能学习停留于浅表、机械的水平而缺乏创造。既然学科思想方法在学科教学中如此重要，那广大教师为什么又偏偏忽视学科思想方法的教学呢?这主要有两个方面的原因：1、&双基&教学的惯性影响。众所皆知，从上世纪70年代开始，人们就一直强调基础知识和基本技能的教学。从教材的理解与处理到教学目标的分析与确定，从教学内容的组织到教学方法的选用，从一堂好课的评估标准到最后的考试评价，人们都将&双基&作为一个基本的判断依据，从而遮蔽和阻挡了教师对学科思想方法的关注和思考。2、对学科基本结构的表面化理解。应当承认，我们一直强调学科基本结构的教学，但我们通常将学科结构理解为&各种基本概念、基本原理以及它们相互之间的规律和联系&。[4]这是一种表面化的理解。按照施瓦布的观点，学科基本结构由三部分组成：(1)实质结构，即一门学科的基本概念、原理和理论;(2)句法结构，即一门学科收集数据、检验命题和对研究结果做出概括的方式;(3)组织结构，即一门学科不同于其他学科的基本方式和这门学科的探究界限。[5]显然，我们强调更多的是学科实质结构的教学，对学科句法结构和学科组织结构的关注甚少。这又在一定程度上致使学科教学成为了没有灵魂的教学。
　　学科思想方法的内涵、构成与特征是什么?
　　&学科思想&是指由学科专家提出的对尔后学科发展和学科学习最具影响力的那些观念、思想和见解，比如数学学科中的转换思想、变式思想、数形结合思想，化学学科中的守衡思想、动态平衡思想、量变质变思想，等等。&学科方法&是根据学科内在的规律和特点，总结和归纳出来的思维方法、研究方法与学习方法，比如数学学科中的化归法、递推法、列举筛选法，化学学科中的等效法、终态法等。一般而言，学科思想对学科方法起着指导作用，学科方法则是学科思想的具体化反映。在很多时候，学科思想与学科方法并没有确定的界限，比如数学中的&数形结合&既是一种学科思想，又是一种学科方法，因而人们通常将学科思想与学科方法统称为学科思想方法[6]。概言之，所谓学科思想方法就是指能够反映学科知识本质、学科思维特点和学科学习规律，对分支学科发展和学生学科综合素养发展起着决定性作用的那些基本的观念、思想和方法。
　　强调学科思想方法的教学，必须弄清学科思想方法的内容、类型与构成。
　　根据学科思想方法的不同层次，学科思想方法可以分为哲学思想方法、一般思想方法和具体思想方法三个层次：(1)哲学层次的学科思想方法，如辩证思想、系统与联系思想、量变与质变互变思想、一般与特殊思想等。(2)一般意义的学科思想方法，如抽象与具体、分析与综合、归纳与演绎、假设与验证等。(3)具体学科的学科思想方法，如化学学科中的统摄思想方法、控制变量法，数学学科中的化归法、列举筛选法等。
　　根据学科思想方法的外延，学科思想方法又可以分为宏观、中观与微观三种类型：(1)宏观的学科思想方法，主要包括学科的起源与发展、学科的本质与特征、学科与现实世界的关系等。(2)中观的学科思想方法，主要涉及学科的文化地位、学科方法的认识论价值与方法论价值、学科内部间的辨证关系与美学研究等。(3)微观的学科思想方法，即一门学科各特定内容中所蕴涵和体现的思想方法。
　　实际上，各个学科在自身的发展过程中都与哲学、文学、艺术、历史等其他学科有着密切的联系，因而蕴涵着丰富的学科思想方法。那么，教师如何研究和挖掘学科思想方法呢?关于这个问题，施瓦布的观点或许对我们有所启发。如何分析和确定对学生而言最有价值的课程知识呢?施瓦布在借鉴泰勒课程论思想的基础上提出了这个分析问题的逻辑起点：(1)存在哪些学科?这些学科彼此间是如何关联的?(2)获得有根据的知识运用了哪些方法?(3)指导探究的学科概念有哪些?它们如何导致了不同的结构?[7]这三个问题实际上是要揭示学科思想方法的三个方面，即学科组织结构方面的思想方法、学科句法结构方面的思想方法和学科实质结构方面的思想方法。
　　其中，学科组织结构方面的思想方法是要解决学科类型及其逻辑关系的问题。对于此，施瓦布归纳出了四个基本依据:(1)学科的内容，即学科的研究对象是什么，或者对什么起作用;(2)研究者，即需要什么能力和习惯能从事该项活动;(3)研究方法，即研究者需要用什么方法才能够对学科内容施加影响，(4)研究目的，即通过研究要获得什么知识或得到什么结果[8]。学科句法结构方面的思想方法则是学科的方法论，它意味着如何在课程中再现特定问题的研究历史，如何使学科方法的教学和学科内容的教学保持一致。不同学科的句法结构差异很大，课程设计应避免句法结构的形式化。学科实质结构方面的学科思想方法是关于指导学科探究的概念组成及其结构组织，它意味着在课程中选择恰当的概念结构,并使学习者了解这些概念在指导学科探究中的价值。如同科学知识体系一样，学科实质结构方面的思想方法也具有可修正性和多样性，教师不能坦然地从学科结构中选择一些自以为对学生有用的片言只语，因为&一种纯粹教条式的、灌输式的课程是危险的&。[9]
　　作为学科教学的精髓和灵魂，学科思想方法具有以下几个基本特征：(1)深刻性。学科思想方法反映了学科内在的规律和特点，体现了学科知识的本质和价值，引导着学科的发展和充实，学科的许多具体内容都可在学科思想方法的框架下得到解释，因而具有深刻性。(2)内隐性。学科思想方法不是具体的学科知识，而是从具体的学科知识之中提炼出来的，常常蕴涵于学科概念、法则、定律等基础知识的形成过程中，因而具有内隐性。(3)稳定性。学科思想方法是对学科知识内容和所使用方法的本质的认识，它是从某些具体学科认识过程中提炼出来的一些观点，在后继研究和实践中被反复证实其正确性之后，就带有了一般意义和相对稳定的特征。(4)整合性。作为学科的深层结构，学科思想方法以基本观念和基本方法为核心，是学科知识结构的组织线索和转换依据，对学科的知识体系、教师的教学内容、学生的学科学习和学科能力发展都具有整合功能，因而具有很强的整合性。
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第二章 图形与几何
一、学习目标
通过本章的学习，力求达到如下目标：
初步识记初中几何课程内容的组成及其特点，领会初中几何课程从经验几何发展为演绎几何的发展变化的基本特点；
识记直观几何、实验几何、度量几何、变换几何、演绎几何的研究特点和学科属性；
在比较分析中，领会经验几何、变换几何、演绎几何、度量几何各自的研究侧重点；
初步识记数学课程标准下的初中几何课程各主要部分编排的基本思路，领会各部分内容研究侧重点的变化和发展的缘由。
在此基础上，运用初中几何各部分内容的学科特点分析和解决初中数学课程中的几何问题。
二、内容提要
本章主要分析初中几何学所涉及的各分支领域，以及各分支领域的具体的数学内涵，讨论初中几何的学科特点及其在不同领域中的侧重点，研究经验几何（即直观几何 、实验几何）、度量几何、变换几何、演绎几何的学科属性和研究特点，旨在深刻揭示初中几何课程内容的几何学内涵。
三、学法指导
初中数学课程内容的主体之一就是图形与几何（也称之为空间与图形），俗称几何。长期以来，我国初中数学中的几何内容，以综合几何为主体，其核心内容是演绎几何，即以欧几里德《原本》为主要内容、按照公理体系的方式呈现有关内容。进入 21世纪以来，我国初中数学中的几何内容，以经验几何为起点，以演绎几何为终点，涉及到直观几何、实验几何、度量几何、变换几何、演绎几何等几何分支领域。同时，还渗入了坐标几何的基本思想。
本章专门研究经验几何、度量几何、变换几何与演绎几何的基本数学内涵。 由于本章内容涉及几何学的不同分支学科领域，而这些几何分支学科领域对多数人来说是陌生的，因而，相对系统地学习每个分支学科领域就变得十分重要。不仅如此，还需要结合初中几何课程的主要模块，正确认识其课程目标的侧重点。
第一节 初中数学中的几何内容概述
几何学以图形作为重要的研究对象，以空间形式作为分析和探讨的核心。几何学的历史发展对于初中数学中的几何课程内容的设置和编排，起到重要影响。
一、如何理解人类几何学发展的基本脉络 ？
由于人类生产和生活的需要，产生了几何学。 在希腊语中，“几何学”是由“地”与“测量”合并而来的，本来有测量土地的含义，意译就是“测地术”。“几何学”这个名词，系我国明代数学家根据读音译出的，沿用至今。 &
在原始社会里，人类在生产和生活中，积累了许多有关物体的形状、大小和相互之间的位置关系的知识。例如，古代的人们认识他们的猎物的形状、大小，记住它们的居住地与打猎地之间的距离，以及打猎地在居住地的那个方位。
随着人类社会的不断发展，人们对物体的形状、大小和相互之间的位置关系的认识愈来愈丰富，逐渐地积累起较丰富的几何学知识。
相传四千年前，埃及的尼罗河每年洪水泛滥，总是把两岸的土地淹没，水退后，使土地的界线不分明。当时埃及的劳动人民为了重新测出被洪水淹没的土地的地界，每年总要进行土地测量，因此，积累了许多测量土地方面的知识。从而产生了几何学的初步知识。
后来，希腊人由于跟埃及人通商，从埃及学到了测量与绘画等的几何初步知识。希腊人在这些几何初步知识的基础上，逐步充实并提高成为一门完整的几何学。 “ 几何学 ” 这个词，是来自希腊文，原来的意义是“测量土地技术”。“几何学”这个词一直沿用到今天。
公元前 338 年，希腊人欧几里德，把在他以前的埃及和希腊人的几何学知识加以系统的总结和整理，写了一本书，书名叫做《几何原本》。 1607 年，我国的数学家徐光启和西方人利玛窦合作，把欧几里德的《几何原本》第一次介绍到我国。欧几里德的《几何原本》是几何学史上有深远影响的一本书。目前，我们学习的几何学课本多是以《几何原本》为依据编写的。
我国对几何学的研究也有悠久的历史。在公元前一千年前，在我国的黑陶文化时期，陶器上的花纹就有菱形、正方形和圆内接正方形等许多几何图形。公元前五百年，在墨翟所著的《墨经》里有几何图形的一些知识。在《九章算术》里，记载了土地面积和物体体积的计算方法。在《周髀算经》里，记载了直角三角形的三边之间的关系。这就是著名的“勾三股四弦五”的勾股定理，也称为“商高定理”。商高发现了直角三角形的勾股定理。祖冲之的圆周率也是著称世界的。还有我国古代数学家刘徽、王孝通等对几何学都作出了重大的贡献。
随着工农业生产和科学技术的不断发展，几何学的知识也越来越丰富，研究的方面也越来越广阔。
古埃及人的几何学成就，主要有以下两点
1 ．每年的雨季，尼罗河水泛滥，淹没了两岸的耕地。雨季过后河水退去，留下肥沃的土地，古埃及就开始耕种。为了恢复各人田产的界线，就需要重新丈量，这就使得古埃及人的几何学逐渐发达起来。
2 ．古埃及人为死去的法老建造的陵墓金字塔，是由一块块巨石砌成的。在长年累月的建造活动中，埃及人的立体几何学也发展起来，他们能够把很多块巨石精确切割之后运到工地，再砌成雄伟的金字塔。石块之间对接紧密，而且整座金字塔浑然一体，表现出高超的技术水平。
二、 如何理解几何学分支及其产生发展的缘由？
几何学的发展大致经历了四个基本阶段。
1 ．实验几何的形成和发展
几何学最早产生于对天空星体形状、排列位置的观察，产生于丈量土地、测量容积、制造器皿与绘制图形等实践活动的需要，人们在观察、实践、实验的基础上积累了丰富的几何经验，形成了一批粗略的概念，反映了某些经验事实之间的联系，形成了实验几何。我国古代、古埃及、古印度、巴比伦所研究的几何，大体上就是实验几何的内容。
例如，我国古代很早就发现了勾股定理和简易测量知识，《墨经》中载有“圜（圆），一中同长也”，“平（平行），同高也”， 古印度人认为“圆面积等于一个矩形的面积，而该矩形的底等于半个圆周，矩形的高等于圆的半径”等等，都属于实验几何学的范畴。
2 ．理论几何的形成和发展
随着古埃及、希腊之间贸易与文化的交流，埃及的几何知识逐渐传入古希腊。古希腊许多数学家，如泰勒斯（ Thales ）、毕达哥拉斯（ Pythagoras ）、柏拉图（ Plato ）、欧几里德（ Euclid ）等人都对几何学的研究作出了重大贡献。特别是柏拉图把逻辑学的思想方法引入几何学，确立缜密的定义和明晰的公理作为几何学的基础，而后欧几里德在前人已有几何知识的基础上，按照严密的逻辑系统编写的《几何原本》十三卷，奠定了理论几何（又称推理几何、演绎几何、公理几何、欧氏几何等）的基础，成为历史上久负盛名的巨著。
《几何原本》尽管存在公理的不完整，论证有时求助于直观等缺陷，但它集古代数学之大成，论证严密，影响深远，所运用的公理化方法对以后数学的发展指出了方向，以至成为整个人类文明发展史上的里程碑，全人类文化遗产中的瑰宝。
3 ．解析几何的产生与发展
公元 3 世纪，《几何原本》的出现，为理论几何奠定了基础。与此同时，人们对圆锥曲线也作了一定研究，发现了圆锥曲线的许多性质。但在后来较长时间里，封建社会中的神学占有统治地位，科学得不到应有的重视。直到 15 、 16 世纪欧洲资本主义开始发展起来，随着生产实际的需要，自然科学才得到迅速发展。法国笛卡尔（Ｄ escartes ）在研究中发现，欧氏几何过分依赖于图形，而传统的代数又完全受公式、法则所约束，他们认为传统的研究圆锥曲线的方法，只重视几何方面，而忽略代数方面，竭力主张将几何、代数结合起来取长补短，认为这是促进数学发展的一个新的途径。
在这样的思想指导下，笛卡尔提出了平面坐标系的概念，实现了点与数对的对应，将圆锥曲线用含有两面三刀个求知数的方程来表示，并且形成了一系列全新的理论与方法，解析几何就这样产生了。
解析几何学的出现，大大拓广了几何学的研究内容，并且促进了几何学的进一步发展。 18 、 19 世纪，由于工程、力学和大地测量等方面的需要，又进一步产生了画法几何、射影几何、仿射几何和微分几何等几何学的分支。
4 ．现代几何的产生与发展
在初等几何与解析几何的发展过程中，人们不断发现《几何原本》在逻辑上不够严密之处，并不断地充实一些公理，特别是在尝试用其他公理、公设证明第五公设“一条直线与另外两条直线相交，同侧的内角和小于两直角时，这两条直线就在这一侧相交”的失败，促使人们重新考察几何学的逻辑基础，并取得了两方面的突出研究成果。
一方面，从改变几何的公理系统出发，即用和欧氏几何第五公设相矛盾的命题来代替第五公设，从而导致几何学研究对象的根本突破。俄罗斯数学家罗巴切夫斯基用“在同一平面内，过直线外一点可作两条直线平行于已知直线”代替第五公设，由此导出了一系列新结论，如“三角形内角和小于两直角”、“不存在相似而不全等的三角形”等等，后人称为罗氏几何学（又称双曲几何学）。德国数学家黎曼从另一角度，“在同一平面内，过直线外任一点不存在直线平行于已知直线”代替第五公设，同样导致了一系列新理论，如“三角形内角和大于两直角”、“所成三角形与球面三角形有相同面积公式”等，又得到另一种不同的几何学，后人称为黎氏几何学（又称椭圆几何学）。习惯上，人们将罗氏几何、黎氏几何统称为非欧几何学。将欧氏几何（又称抛物几何学）、罗氏几何的公共部分统称为绝对几何学。
另一方面，人们在对欧氏几何公理系统的严格分析中，形成了公理法，并由德国数学家希尔伯特在他所著《几何基础》中完善地建立起严格的公理体系，通常称为希尔伯特公理体系，希尔伯特公理体系是完备的，即用纯逻辑推理的方法，定能推演出系统严密的欧氏几何学。但如果根据该公理体系，逐步推演出欧氏几何中那些熟知的内容，却是一件相当繁琐的工作。
三、如何理解初中数学课程中的几何学内容？
学生的认识规律与人类数学发展的规律呈现极度的相似性，学生对于几何学的学习也是从经验走向抽象、从简单走向复杂、从单一目标走向复合目标。同时，初中生是在小学数学学习的基础上进一步学习几何学，而小学数学已经涉及直观几何、实验几何和初步的推理几何，涉及坐标几何初步，和直观层面的运动几何（即变换几何）。
因而，无论从数学科学发展的视角，还是学生身心发展的视角，初中数学中的几何内容必须立足学生思维发展水平、反映现代数学进展和数学发展的历史，同时，体现现代社会对于学生数学素养的基本要求。
《全日制义务教育数学课程标准》规定，初中数学中的几何与图形内容主要涉及直观几何、演绎几何、度量几何、运动几何（即变换几何）、坐标几何五个领域的几何学内容。
（一）直观几何
几何学是其中研究“形”的分支。几何学是人类的理性文明，是人类和大自然中的万物共存于其中的空间的认识论。形者，几何图形也。几何图形最初来自客观世界中物体的形状，但它们比现实原型更典型、更纯粹、更一般。
例如，初升的太阳、十五的月亮、水中的波纹……都能给人以圆的形象，而几何中圆的定义是“到定点的距离等于定长的点的集合”，它是从太阳、月亮、波纹等具体的实物模型中抽象出集中刻画圆的形状特点的一般概念。
几何图形可以直观地表示出来，人们认识图形的初级阶段，主要依靠形象思维。 正如英国数学家阿蒂亚 (M.Atiyah)指出， 几何直觉仍是增进数学理锵力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养 。同时，他还指出， 几何并不只是数学的一个分支，而且是一种思维方式，渗入到数学的所有分支。在几何中视觉思维占主导地位，而代数中有序思维占主导地位 。 所以，几何中首先用到的是最直接的形象思维，用形象思维洞察 。这里的“形象思维”也就是强调几何直观。
远古时期人们对几何图形的认识始于观察、测量、比较等直观实验手段，现代儿童认识几何图形亦如此，人们可以通过直观实验了解几何图形，发现其中的规律。
例如，认识一些常见的空间图形和平面图形，大多采用观察、操作的方法而获得。首先是维数的概念。然后是认识不同几何图形的形状（长方体、球体、柱体、锥体，平面上的长方形、平行四边形、梯形、圆、椭圆等）。再次，也要涉及立体图形的平面表示，分析三视图，以及各种图形的拼接、密铺等直观操作活动。同时，也要涉及折纸、展开等实际操作。在这些活动中， 学生通过对现实空间中物体的形状、大小及其所处方位的感知，对物体的视图的初步认识和常见的平面图形的了解，积累丰富的几何事实，获得对简单几何体和平面图形的直观经验，进而理解现实的三维世界，形成初步的空间观念和一定的几何直观。
与其同时， 通过观察、操作等活动，进一步认识三角形、平行四边形、梯形、长方体、正方体等几何形体，利用学生周围常见的事物，引导学生感受和探索图形的特征，丰富空间与图形的经验，建立初步的空间观念和几何直观。
更进一步地，以大量丰富的实例为背景，通过观察、操作来探索认识基本图形的性质。这些基本图形主要包括点、线、面、角、平行线、相交线、三角形四边形、圆等，除此之外，还包括尺规作图、视图和投影等。 这些内容构成直观几何的重要组成部分。与此相对应，这部分内容体现在义务教育数学课程标准中就是“图形的认识”领域。
值得一提的是，初中生多处于认识方法发生升华阶段，他们对事物的认识已不满足于表面的、孤立的层次，而有了向更深层次发展的要求，即向往“由此及彼，由表及里”的思维方式。学生从小学开始已经通过直观实验这种主要方式学习了基础的图形知识，在他们的头脑中已经积累了关于图形的初步感性认识，在初中阶段应该进一步丰富业已初步建立的几何直观，进一步丰富几何活动经验，同时，在“为什么”的层面上认识图形。而单纯的直观实验的学习方式需要发生改变，因而，在实验几何中渗透推理的内涵，就变成初中几何课程教学的一个重要内容；同时，更进一步地，在初中的中后期，需要过渡到演绎几何、坐标几何。
（二）演绎几何
因为几何图形本身具有抽象性和一般性，一种几何概念可能包含无限多种不同的情形，例如，有无数种形状不同的三角形。对一种几何概念所包含的一部分具体对象进行直观实验所得到的认识，一定适合其他情况吗？这是直观实验回答不了的问题。因此，一般地，研究图形的形状、大小和位置关系时，不能仅仅依靠直观实验的方法，而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括逻辑推理。
这种几何学以欧几里得《原本》为基本蓝本，以一些原始概念和公理为出发点，逐步对一些几何概念做比较逻辑化的描述，进行一些基本推理和论证。虽然也借助直观和少量代数公理，但是，主要立足逻辑进行几何概念及其性质的分析研究，这就是演绎几何，它从《原本》产生，持续了两千多年。
20 世纪中叶的国际数学界，由于形式化思想处于主导地位，用严密的逻辑定义确定“线段”、“直线”，“射线”、“平行”、“垂直”等概念，以及用演绎方法推理而获得几何结论的处理方法，逐渐进入中小学数学课程内容之中。
但是，经过国内外的深入研究，特别是 20世纪 60 年代以来的国际数学教育改革发展，过度形式化的做法受到广泛批评，遂有逐渐消退之势。
（三）度量几何
亦即，对一些图形进行度量，包括长度，面积，体积，角度等，并进行适当的延伸。这是中小学数学中的几何学的重要组成内容之一，也是义务教育阶段学生力所能及的数学学习内容，更是现代社会公民所必须的基本素养之一。
（四）变换几何
也叫运动几何。这个领域主要讨论平移、旋转、反射等刚体运动，以及相似变换、拓扑变换，并借以研究图形的全等、对称等概念，了解变换之下的不变量。
无论是作为几何学分支出现的变换几何，还是作为现代社会公民基本素养的重要内容之一的变换几何素养，这部分内容都是其他几何学内容所无法替代的。从动态的视角分析处理基本的平面图形及其要素之间的关系，运用运动、变化的观点分析处理生活中的一些重要现象，不仅是初中生力所能及的，而且更是他们乐于参与的数学活动。
（五）坐标几何
即解析几何。在解析几何中，首先是建立坐标系。取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系 oxy 。利用坐标系可以把平面内的点和一对实数 (x ， y) 建立起一一对应的关系。除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。在空间坐标系中，还有球坐标和柱面坐标。坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的。
解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此曾经作过评价，“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了， …… ”。
解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。在平面解析几何中，除了研究直线的有关性质之外，主要研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。
在初中数学课程中，坐标几何不仅涉及坐标系的基础知识，而且将其与图形的变换融合在一起，研究坐标的变化对图形的影响，以及图形的变化（主要涉及图形的平移、旋转、轴对称和简单的压缩）对坐标的影响。当然，这些内容都是最基本的，难度较低。同时，小学、初中数学中的坐标几何，首先是从方格纸上开始的，逐步过渡到平面几何坐标系。但是，严格的平面直角坐标系直到初中后期（作为一次函数、抛物线的基础的必备知识）才正式出现。
第二节 经验几何
一、如何理解经验几何的基本涵义？
所谓经验几何，通常是直观几何、实验几何的通称，它特别关注学生几何活动经验的积累，以及几何直觉的发展。而这里的直观几何，是指作为直观层面的几何学，实验几何意指作为一种实验活动出现的几何学，而人们熟知的综合几何，特指以往所指的几何学，它以论证几何为主体，综合利用几何方法，并借助一些代数公理和几何直观。
《直观几何》一书就是直观几何课程设计的典型代表，而《发现几何》作为美国核心课程出版社出版的一本初中几何教科书，它具有鲜明的归纳、探究、实验的特征，而《原本》可以作为综合几何的典型代表和直接源头。
二、如何理解经验几何的作用？
从人类发展史上看，几何学是研究现实世界物体的形状、大小和位置关系的学科 ,而后发展成为研究一般空间结构、图形关系的学科。
有学者将几何发展史分为四个阶段，即“实验几何的形成与发展；理论几何的形成与发展；解析几何的产生与发展；现代几何的产生和发展”，而“实验几何的形成与发展经历了漫长的历史阶段…人们在观察、实践、实验的基础上积累了丰富的几何经验，形成了一些粗略的概念，反映了某些经验事实之间的联系，形成了实验几何。我国古代、古埃及、古印度、巴比伦所研究的几何，大体上就是实验几何的内容”。
这种观点在一定程度上反映了几何学的发展脉络。当然，这里的“实验几何”究竟是叫直观几何还是实验几何，还是兼而有之，尚可以商榷、斟酌。
对于实验几何的作用和功能，有学者认为，“首先，通过对几何图形的旋转、翻折、平移、拼接或拆分等各种运动，发现一些几何事实或几何关系；其次，通过一些开放性的几何问题进行猜想结论或探求条件，培养学生对开放性问题的灵活、主动，富有创造性的思维能力；第三，对于问题从多角度进行综合思维、尝试，寻求多解的渠道或研究几个问题的共同本质，发现规律，获得统一的结论；最后，解决处理应用问题，主要包括一些实际问题引出的几何问题，或有应用背景的几何问题和一些可以用几何方法解决的实际问题”。这些观点的确反映了实验几何的一些作用和功能。
自《原本》诞生的两千多年来，关于几何课程的研究一致持续不断，尤其是，近年来，国际教育界关于几何课程设计方式的研究有了突出进展，不同于《原本》的综合几何课程设计风格的新型设计方式（如，直观几何、实验几何）逐渐趋于完善。作为义务教育阶段的几何课程设计，自然有多种设计方式，直观几何、实验几何与综合几何就是差异较大的课程设计风格。从课程设计的视角看，直观几何、实验几何具有论证几何（综合几何）无法取代的课程功能和教育作用，这些功能和作用集中体现在诸多方面。
（一）经验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用，而论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用。
正如丁尔升先生所指出的，实验几何更贴近人类的生活空间和日常经验，同时，可以变高速的论证技巧为不同水平的创造活动，还可以改变以往数学那种枯燥乏味的形象，变几何学习为一种趣味活动，并在这种活动中培养学生的观察能力、实验能力、创造力以及归纳、类比能力，这些一般能力的培养对提高人的素质具有十分重要的意义。《发现几何 : 一种归纳的方法 》一书从更加具体的方面提出了类似的观点。
基于上述观点，国际数学教育界的许多人士主张重视实验几何的教学。与其同时，许多人反对把公理系统过早地引入初中几何，从而使几何的学习成为一种形式的学习，但绝不是取消推理几何、论证几何的初中学习。
（二）经验几何是学习推理论证几何的必要前提。
一方面，图形与空间的学习可分为知觉性的学习、操作性的学习、构图性的学习和论述性的学习。要达到论述性的学习，首先要有充分的知觉性的学习、操作性的学习，才能得心应手。义务教育阶段推理能力的培养必须以学生已有的几何直觉和几何活动经验为先导，但必须强调概念或观念的明确定义，以及几何量的代数运算。因此，学习的内容是由非形式化的推理逐渐提升到形式化的推理，透过直观几何与实验几何的充分学习，对几何对象的熟悉及非形式化的推理，达到知觉性的了解、操作性的了解，进而形成几何推理。
另一方面，我们用来作为推理基础的几何性质，一部分是利用实验归纳的方法得来的，另一部分则是利用已知的几何性质进行“推论”而导出的结果。正如俄罗斯教育家乌申斯基所说的，“儿童一般要依靠形象、色彩、声音和触觉来思考的”，无论几何的哪部分内容，都需要基于学生已有的几何活动经验和体验。在实验几何、直观几何的教科书设计时，对于几何中的结论，教科书多数是先让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索、发现几何的结论，然后再对结论进行说明、解释或论证，以便为由实验几何到论证几何的过渡做好铺垫。
（三）实验几何是几何学习的一个阶段和一种认知水平，更是一种几何学习方法 。
事实上，作为一种教育材料出现的实验几何课程内容，将其作为发现真理、培养思维能力和创造能力的一种有效途径，是课程设计的重要目标之一，也是几何学习的一种认知水平。正所谓实验、归纳、猜测、类比等方法可以发现真理，而论证可以确认真理。
总之，实验几何作为几何学习的一个阶段，在学生几何学习过程中起到承上启下的衔接作用；同时，实验几何是贯穿从直观几何到论证几何学习的一种有益于发现真理、提高几何思维水平的重要方法。
三、 如何理解几何直观？
几何通常被喻为“心智的磨刀石”，几何在数学研究中起着其实、联络、理解、甚至提供方法的作用，而几何直观具有发现功能，同时也是理解数学的有效渠道。数学家依赖直观来推动对数学的思考，数学教育家们依赖直观来加强对数学的理解。直观推动了数学和科学的发展。而数学概念经过多级抽象充分形式化后，有必要以相对直观可信的数学对象为基础进行理性重建，从而达到思维直观化的理想目标和可应用性要求 ,这要求数学的直观与形式的统一，才使得数学的完美。
（一）几何直观的含义
数学家克莱因认为，“数学的直观就是对概念、证明的直接把握” ；而西方哲学家通常认为“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”；心理学家则认为“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力”。徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知 。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。我们认为，空间想象能力（空间观念）是指脱离背景也能想象出图形的形状、关系的能力。直观是在有背景的条件下进行，想象是没有背景的；几何中的推理证明始终在利用几何直观，在想象图形。
《数学课程标准》（修订稿）指出，几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
（二）几何直观的作用
首先，几何直观是一种创造性思维，是一种很重要的科学研究方式，在科学发现过程中起到不可磨灭的作用。对于数学中的很多问题，灵感往往来自于几何直观。数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题，使他们成为数学发现的向导，随着现代科技的发展，几何直观在计算机图形学、图象处理、图象控制等领域都有诱人的前景。
其次，几何直观是认识论问题，是认识的基础 , 有助于学生对数学的理解。
借助于几何直观、几何解释， 能启迪思路 , 可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会，揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程；使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观。
最后，几何直观是揭示现代数学本质的有力工具， 有助于形成科学正确的世界观和方法论。 借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质 。
正如数学中的抽象性带有理论和哲学色彩，几何直观带有经验、思想和感情因素。复数的引入，是因逻辑上的需要而直接引进的“理想元素”，被赋予某种实际意义后，以几何直观解释为中介，同现实世界建立了间接联系，从而提高了它的可信性。复数，在它被引入后的最初两个半世纪中一直“给人虚无缥缈的感觉”，直至维塞尔、高斯等人相继对它作出了几何解释与代数解释，把它与平面向量 a+bi或数偶对应，才“帮助人们直观地理解它的真实意义”，并取得了实际应用．所以，它不仅被数学理论所决定，并随着数学理论的发展而发展，而且它也避免不了当时人类整个文化情境对个人心理上的影响。直观是随着人类理性的进步而进步的。换言之 ,几何直观的建立和发展是一个历史过程。它并不是一个从古到今就一直存在着的永恒的人类用来认识数学现象的中性框架，几何直观是一种进化的产物，可以进行更高层次的创造性活动。因此一个人在不同年龄阶段所表现出的数学直观能力可以看作是整个人类在这方面历史发展过程的缩影。
几何直观已经成为数学界和数学教育界关注的问题，那么如何培养学生的几何直观能力、如何更好地发挥几何直观性的教学价值，是每个数学教育工作者都应该深思的问题。
四、如何理解经验几何的具体研究内容？
几何学起源于人对大自然中物体形象的认识。几何直观是一切几何学的基础。小学、初中数学中的几何学，主要诉诸学生的直观感受，借以识别各种不同几何图形。由于初中生的认知水平基本上处于“具体运算阶段”后期，认识几何图形的主要途径之一就是通过动手操作（做一做、拼一拼、搭一搭、画一画等等活动），进而积累对这些图形的经验，获得感知。初中几何的主要课程教学目标在于，“积累几何活动经验，发展几何直观、空间观念，进一步感受几何推理的魅力，体会几何的美，初步掌握几何推理的基本形式”，而发展几何直观、积累几何活动经验、培养空间观念，则是经验几何的核心目标。
按照初中阶段的经验几何认识过程的不同，通常可以将经验几何的学习内容，分成认识图形、进行立体图形与平面图形的转换、在运动与变换中研究几何图形的有关性质三部分。
（一）认识各种图形
维数的认识
我们的现实空间是三维的。三维空间是立体的。而二维空间是平面，一维空间是平面。零维就是一点。点动成线，线动成面，面动成体。在初中数学学习的初期，用积木、房屋作为模型，就可以较好地识别点、线、面、体的区别。
区别直和曲，识别有限范围内容的几何现象
借助生活经验，无须严格定义，就可以知道笔直与弯曲的差异。而直线和圆是最典型的几何图形。黑板、课桌椅、教科书的边缘是直的，十五的月亮、太阳是圆的，初一的月亮是弯弯的。
同时，中小学阶段所接触的几何现象其实都是在有限范围内的，尚未涉及到无限范围，也就是说，我们仅仅在有限的范围内研究几何现象。如此，对于“在平面内，永远不相交的两条直线叫平行线”很难被学生所理解接受，这种定义方式就是综合几何常用的方式，而在经验几何内，我们一般采用这样的定义方式，即
在平面内，如果两条直线之间的距离处处保持相等，那么，这样的两条直线叫平行线，
在平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线叫做平行线，
这种定义方式是学生可见的、可操作的。
3. 认识简单的空间图形
即通过积木和其他物品，认识长方体，正方体，球，圆柱体，圆锥体，进而可以动态地了解这样一些事实：
长方体不能滚动，圆柱体可以沿着一个方向滚动，球可以沿任何方向滚动。
同时，能够体会“球体在平面上的投影就是一个圆面”、“正方体的截面可以是三角形、四边形围成的图形”等事实。
4. 认识简单的平面图形
主要包括：通过长方体的表面，看到矩形，正方形，三角形，多边形，用圆规作圆，认识圆的特征，太极图的构成等等，以及简单徽标图案的构成等。
通过七巧板拼接构图
其中，既包括自制七巧板，也包括利用七巧板拼接各式各样的图案，既需要表达图案所包含的蕴意，也需要初步分析图案中的简单的几何图形关系（仅限于角的大小、平行、垂直）。
通过操作初步体会一些立体图形可以通过平面图形的转动而形成
即通过操作，知道长方形通过移动可以形成长方体，圆的移动形成圆柱体，半圆转一周可以形成球，矩形转一周可以成为圆柱，三角形转一周可以成为锥体。
同时，能够体会“点动成线”“线动成面”“面动成体”等现象。
通过直观操作感受椭圆、分形等特殊的图形
随着嫦娥奔月工程的成功实施，椭圆应该进入中小学课程。过去把椭圆放到高中解析几何才接触的处理，忽视了直观地了解椭圆的重要性。按照如下的方法，完全可以将其放入小学、初中几何之中 （如图 2.2-3所示）。
同时，通过简单的操作，学生能够感受简单的分形图形（如图 2.2-4所示）。
事实上，分形图形源于海岸线的长度问题。 1967 年，美籍法国数学家曼德尔勃罗 (B.B.Mandelbrot) 在国际权威的美国《科学》杂志上发表论文《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数》，指出：英国海岸线的长度是不确定的！ 这依赖于测量时所使用的尺度。
原来，海岸线由于海水长年的冲涮和陆地自身的运动，形成了大大小小的海湾和海岬，弯弯曲曲极不规则。测量其长度时如以公里为单位，则几米到几百米的弯曲就会被忽略不能计入在内，设此时得长度 L 1；
如改用米作单位，结果上面忽略了的弯曲都可计入，但仍有几厘米、几十厘米的弯曲被忽略，此时得出的长度 L 2＞ L 1；
同样的，用厘米作单位，所得长度 L 3＞ L 2＞ L 1，…。
采用的单位越小，计入的弯曲就越多，海岸线长度就越大。
1915 ～ 1916年，波兰数学家谢尔宾斯基（ Sierpinski）将三分康托尔集的构造思想推广到二维平面，构造出谢尔宾斯基“垫片”：
设 E 0是边长为 1的等边三角形，将它均分成四个小等边三角形，去掉中间一个三角形得到图形 E 1，对 E 1上的每个小等边三角形进行相同的操作得到图形 E 2，……，这样的操作不断继续下去直到无穷，所得图形称为谢尔宾斯基“垫片”（如图 2.2-3所示）。它的每一小部分都和整体相似。
8. 研究长方体、正方体表面的展开图
正方体与长方体是义务教育阶段学生学习空间中的线线、线面、面面之间关系的重要载体。学习和探究正方体、长方体、圆柱、圆锥等几何体的表面展开图，有助于学生建立空间观念，提高几何思维水平。
以下的图 2.2-4 ． 2.2-5 体现的就是 “正方体的表面展开图”的活动设计：
活动 1 ：如图 2.2-4、 2.2-5所示。
活动 2 ：六连块——六个正方形拼成的 35种图形。
正方体的表面由六个同样大小的正方形组成，也就是说，正方体的表面展开图就是由六个同样大小的正方形组合而成的图形，即六连块。这些不同形状的六连块共有 35种。其中，只有 11个是能折出一个正方体的。当然，这并不是对所有学生的要求，只是有兴趣的学生可以在这方面进行探索。
（二）用平面图形表示立体图形
用平面图形表示立体图形，可以有艺术绘画、工程绘画等专业方式。
其中，艺术绘画是在二维的平面上描绘出可视的物象立体形态，造成空间映象的真实效果，称之为体积感，又称立体感或形体感。而工程绘画则需要在工程图纸上准确无误地描述空间实物的形状和大小。
在义务教育阶段，在平面上表示立体图形，是一项基本技能。但是，并不需要达到艺术绘图、工程绘图等专业水平，而是通常使用斜二侧画法、三视图法、透视画法三种方法，利用平面图形表示立体图形。
斜二侧画法
一般地，人们通常采用斜二侧画法画长方体，这样既简单易行，又看得较为清楚。同样大小的正方形，前后位置不同，画出来的大小也一样。而上下左右的正方形，却变成了平行四边形。
这是用平面表示立体图形的第二种常用方法。
（ 1）基本概念
三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。
将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。
一个物体有六个视图：
从物体的前面向后面投射所得的视图称为主视图 ,它能反映物体的前面形状；
从物体的上面向下面投射所得的视图称为 俯视图，它能 反映物体的上面形状；
从物体的左面向右面投射所得的视图称为左视图，它能反映物体的左面形状。
当然，还有其它三个视图不是很常用的。
三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。
　　一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。
（ 2）三视图的画法
三视图的投影规则是：主视、俯视 长对正；主视、左视 高平齐；左视、俯视 宽相等。
对于组合体，在画组合体三视图之前，首先运用形体分析法把组合体分解为若干个形体，确定它们的组合形式，判断形体间邻接表面是否处于共面、相切和相交的特殊位置；然后逐个画出形体的三视图；最后对组合体中的垂直面、一般位置面、邻接表面处于共面、相切或相交位置的面、线进行投影分析。当组合体中出现不完整形体、组合柱或复合形体相贯时，可用恢复原形法进行分析。
①进行形体分析，即把组合体分解为若干形体，并确定它们的组合形式，以及相邻表面之间的相互位置；
　　②确定主视图，即三视图中，主视图是最主要的视图。
　　首先， 确定放置位置。要确定主视投影方向，首先解决放置问题。选择组合体的放置位置以自然平稳为原则，并使组合体的表面相对于投影面尽可能多地处于平行或垂直的位置。
其次，确定主视投影方向。选最能反映组合体的形体特征及各个基本体之间的相互位置，并能减少俯、左视图上虚线的那个方向，作为主视图投影方向。
再次， 选比例，定图幅。画图时，尽量选用 1:1的比例。这样既便于直接估量组合体的大小，也便于画图。按选定的比例，根据组合体长、宽、高预测出三个视图所占的面积，并在视图之间留出标注尺寸的位置和适当的间距，据此选用合适的标准图幅。
第四，布图、画基准线。先固定图纸，然后，画出各视图的基准线。每个视图在图纸上的具体位置就确定了。基准线是指画图时测量尺寸的基准，每个视图需要确定两个方向的基准线。一般常用对称中心线，轴线和较大的平面作为基准线，逐个画出各形体的三视图。
第五，根据各形体的投影规律，逐个画出形体的三视图。 画形体的顺序：
一般先实（实形体）后空（挖去的形体）；
先大（大形体）后小（小形体）；
先画轮廓，后画细节。
画每个形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线。对称中心线和轴线用细点划线画出。
最后，检查、描深、最后再全面检查。底稿画完后，按形体逐个仔细检查。对形体中的垂直面、一般位置面、形体间邻接表面处于相切、共面或相交特殊位置的面、线，用面、线投影规律重点校核，纠正错误和补充遗漏。按标准图线描深，可见部分用粗实线画出，不可见部分用虚线画出。
如图 2.2-7． 2.2-8． 2.2-9． 2.2-10所示，就是对于汽车、长方体、圆台、六螺母的三视图的画法。
3. 透视画法
这是利用平面图形表示立体图形的第三种方法。我们生活中经常采用这种方法。例如，照相机拍照，近的大，远的小，其实就是透视的效果。观看达·芬奇的名画《最后的晚餐》及其附图（如图 2.2-11所示 ），可以清楚地发现其中的透视效果。
（三）在运动与变换中研究几何图形
几何图形的操作与欣赏，是几何学习的重要内容，而获得直接的经验和体验，是其中的重要目标。在这里，我们来领略几何图形的魅力。
对称与轴对称图形
显然，利用折纸、剪切，我们可以做出图 2.2-12中的三个图案，而这些图案是大自然的杰作——枫叶和蝴蝶图案只有一个对称轴，而冰凌花有三条对称轴。
用正方形、正六边形都可以无缝隙、无重复地铺满整个平面。但是，用正五边形就不行。我们可以设计一些可以铺满整个平面的图形。
例如，著名画家爱舍尔采用黑白两只天鹅图案，可以铺满整个平面（如图 2.2-13所示）。
图 2.2-14是一位俄罗斯小朋友设计的图形，它也可以铺满整个平面。不难发现，这个密铺图案实际上是，基于正方形可以密铺的前提，进行面积相等的等积变形的简单结果（即将其中的某些块剪切、平行移动到另一侧所成的图形） 。
多连块（方），国际上称作 Polyominos，是由美国数学家 S.Golmb1于 1950年发展而来的。在义务教育阶段，很适合于进行几何图形组合能力的培养，并在图形形状、特征、性质（对称性、可拼嵌性、掰开性），关系（相似关系等）方面，突出各种组合的可能性，启发学生积极思考，提高学生分析问题的综合能力。
多连块的实际教学通常分为两个阶段。第一阶段是，学生排出一至五连块的各种可能出现的图形；第二阶段是用正方形组成的多连块，拼合成新的平面图形。 一连块、二连块、三连块、四连块等是 n-连块的特殊情况，全部 n-连块（ n-Ominos）合起来称为聚合块。 n-Ominos的个数到今天还没有现成的公式。但是，有一个归纳作图方法（构造方法），可以从 n-Ominos推导出（ n+1） -Ominos。在中小学数学中，并不要求学生通过活动，归纳得出五连块的个数，以及记忆不同形状的五连块。这里特别重要的是，学生的组合能力与空间观念得到了训练，对几何的专业语言不作要求，不用专业概念，只要求学生动手操作，能够识别。用多连块拼出新的平面图形是多连块活动的第二阶段，即用多连块（例如，一连块、两连块、三连块、……）摆出新的平面图形。
最后，需要特别指出的是，“正方体的表面展开图”是直观几何知识的重要内容，直观几何是积累学生基本活动经验的有效途径。这种着重观察、识别、操作、活动的几何学内容，正在大量融入义务教育阶段的数学课程。这与从点、线、面的逻辑定义出发，进行演绎式展开的做法，有着本质的不同。
4 ．折纸中的数学
通过折纸活动，分析留在纸张上的折痕，我们能够揭示出大量几何的对象和性质：轴对称、中心对称、全等、相似形、比例及类似于几何分形结构的迭代 (在图案内不断地重复图案 )等几何性质。
折纸过程还能够体现出许多几何概念和规律，诸如正方形、矩形、直角三角形、梯形等几何形状，对角线、中点、垂直平分线等几何名称，全等、勾股定理等几何法则，内接、面积及其他一些几何代数的概念，这些鲜活的、可视的过程，给学生提供了弥补思维过程中的断缺部分，更能符合学生的认知习惯。
折纸可以探索二维和三维图形之间的关系。例如，一张正方形 (二维物体 )的纸张可以折成一个立方体 (三维物体 )。然后，将它摊开 ,研究留在正方形纸上的折痕，正好体现了一个二维物体到三维物体，又回到二维的过程。
在缤纷多彩的折纸活动中，有很多数学活动值得研究。在这里，我们精选了其中的一些，展示如下：
（ 1）从一个矩形式样的纸张 ,折成一个正方形 (如图 2.2-15所示 )。
（ 2）将一张正方形的纸沿着对角线对折 ,变成四个全等的直角三角形 (如图 2.2-16所示 )。
（ 3）找出正方形一条边的中点 (如图 2.2-17所示 )。
（ 5）将一个正方形纸张折叠 ,使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形 (如图 2.2-19所示 ) 。
（ 6）把一个正方形折成两半，那么，折痕将成为正方形两条相对边的垂直平分线 (如图 2.2-20所示 ) 。
（ 7）折出四面体 (按图 2.2-21所示的方法 ) 。
（ 8）折出正方体 (按图 2.2-22所示的方法 ) 。
不仅如此，折纸还可以做出其他的一些重要内容，诸如黄金比等。
（ 9）折出黄金分割比
图 2.2-24所展示的是在长方形纸片的一条边中点折出 60°角的方法： 将一张矩形的纸沿两条较短的边（即宽）对折，折出这张矩形纸的平行于较长边的中线，再将这张纸铺平；用手捏住矩形的一个角，将同一条宽上的另一个顶点折向中线，使其刚好落在中线上，压平。
此时，左上角的 90°角就分成了三个 30°角。
利用图 2.2-24中的 60°角，借助于顶角为 60°的等腰三角形是正三角形，通过连续折叠四个正三角形，还可以做出正四面体。
其实，我们还可以像图 2.2-25这样以正方形的角或中心为顶点，折出 60°或 30°角。即，在正方形纸片 ABFE中，先将对边 AE、 BF重合，折出折痕 DG；如图 2.2-25所示，过顶点 A，将边 AB向上对折，使得 B点刚好落在折痕 DG上，记为 O点。此时，∠ BAO、∠ EAO依次是 60°角、 30°角。
（ 11）将长方形纸片折成三等份大多数人将长方形纸片折成三等份的惯用方法是：
先从纸片的一边开始，估计地叠起纸片的三分之一；然后，将对边也折起来，根据三份是否重合来进行调整。
当然，这种折法蕴涵着朴素的极限思想；反复折叠中，一次比一次地更趋近三等份。
另外一种完全不同的折法是：
如图 2.2-26所示，先将整张纸片 ABCD的一条边 BC对折（使点 B、 C重合），找到其中点 E点；再折出整张纸片的对角线 AC，以及 E点与 D点的连线 ED，两条折痕相交于点 X；最后，过交点 X折叠纸片，使 DG重叠在 AG上、 CE重叠在 BE上。此时，则 DG即为 AG的三分之一。
利用边 BC与 AD平行以及 E点是中点可知⊿ CXE∽⊿ AXD，进而， AG： GD=AG： PC=AX： CX=AD： CE=CB： CE=2。显然，相似三角形的性质是这种折法的核心。
当前，折纸活动被广泛运用于中小学数学教学，包括课堂上的专题讨论，课堂上应用折纸作为辅助教学工具演示几何形态，提供课后学生思考的操作题，出现在试题中的探索、开放性的折纸题（操作 + 分析）等等。
例如，在课堂上讨论“用纸片折几何图形”的课题。其中的问题是：让学生思考能否将一张长方形纸片折出等腰三角形，用直角三角形以及任意三角形纸片折成一个长方形（要求重叠部分只能有两层纸）。学生们通过折纸活动和小组交流，可以发现很多不同的折法，然后各自分别在实物投影上演示折纸过程，并说明理由。实践证实，这种探索对于促进学生的几何学习十分有帮助。
第三节 度量几何
几何学起源于图形大小的度量。根据图形的维数，把度量一维图形大小的数称为长度，而将二维图形的大小用面积来表示，体积则是标志三维图形大小的数。线段长度是一切度量的出发点。
20 世纪以来，有限可加的线段长度，推广到可列可加的测度，图形的维数从整数扩展到分数。度量几何学既是古老的学科，又是新兴的数学生长点。
一、如何理解度量几何？
义务教育阶段数学课程的任务之一是将有关几何图形的长度、面积、体积的经验性知识，进行数学描述。
什么是几何图形的长度、面积、体积？任何几何图形都可以度量吗？在中小学数学里，不可能、也没有必要进行严格的定义和研讨。
我们先将对这种描述作更深入的诠释，而后再给出严格的长度、面积定义以及相关叙述。
（一）长度
1. 长度的含义
《新华词典》的“长度”条目，有三种释义，与数学相关的是第三种解释：线段“两端之间的距离”。所谓距离，《新华词典》的解释是：①在空间或时间上相隔。②相隔的长度。而英汉词典对此的解释是 :distance， range， gap，指事物在空间或时间上的距离，范围，相隔。
由此我们看到，长度用“距离”解释，而距离又说成是相隔的长度，成为循环解释。因此，这里所说的并非严格的逻辑定义，只是经验性的描述。但是，大家也能够大体理解。
人们早在远古时代，就形成了路程的远近，树木的高低，猎物的大小，河床的深浅等有关事物大小的度量观念，并且代代相传。人具有主观能动性，使人在幼儿时期就能分辨苹果的大小，但是无须知道“大小”的严格定义。
大小是一个相对的概念。甲比乙长， A比 B大，都有一个临时的参照物。后来，人们为了使用一个统一的参照标准，来衡量物体的长短、大小，就有了长度的单位。起初的单位，是多样化的，不同地域、不同的人群，往往使用不同的“尺”、“寸”。
古代中国直到秦代，才由秦始皇统一度量衡。全国终于有了大家公认的长度单位。以后的历朝历代，长度单位都在变化。三国时期的张飞使用的“丈八”蛇矛枪，若以今天的尺寸来衡量，三尺为一米，丈八就是 18尺，折合 6米。人怎样使用 6米长的武器呢？可见，古代的尺比今天的小。
现在，由于与国际接轨，我国统一使用“米”作为长度的度量单位。
米是法国科学院在 18世纪法国大革命时制定的，当时把由赤道经巴黎到北极的地球子午线的一千万分之一定为一米。后来演变为存于巴黎近郊 Sè vres的国际权度局（缩写为 BIPM,即法文 Bureau International des Poids et Mesures）中的公尺标准器上两个刻划间的距离。 1870年，马克士威提出以原子光谱的波长定义长度单位的概念，罗兰德（ Rowland）首先使用光栅测量一公尺长度中的波长数。 1960年以后，用激光定义“米”。
目前，国际上采用的长度单位，是在 1983年 10月确定的，即第十七届国际权度大会重新把国际标准制（ SI）中的长度单位──“米（ meter）”定义为：
光于 299,792,458分之 1秒内在真空中所走的长度，称为“米”。
线段长度的度量方法
有了单位长度之后，两点之间的距离就可以用单位加以衡量了。
例如，要度量线段 AB，我们选取线段 a作为长度单位，以 a去截取 AB，得出 AB的长度。其结果有以下三种：
（ 1）长度是整数。
当用单位长度 a 截 AB 若干次后没有剩余，次数（整数）就是长度。例如，截取 3次后没有剩余，即 AB=3a，则称 AB的长度为 3a; 单位是 a. 在单位已经明确的情况下，也说 AB的长度是整数 3.
（ 2）长度是有理数。
当以单位 a，以及 a 的 10 n分之一为单位，陆续截取，于 n = N时正好截完，没有剩余，这时的长度是一个整数加上一个 N位的小数，即有理数。
例如，若用 a截取 AB三次以后，还剩下比 a短的一段，即 3a&AB&4a，我们就说， AB的不足近似值为 3，过剩近似值为 4（准确到单位）。为了进一步度量 AB，可先将 a分为 10等份，取其一份作为新的度量单位，再来度量所剩余的部分，若它恰巧含这一份的 4倍，则 AB的量数为 3.4，或说 AB的长度为 3.4a；若这剩余部分截取一份的 4倍后，还剩下小于一份的一小部分，即 3.4a〈 AB〈 3.5a．
这时，我们就说： AB的不足近似值为 3.4，过剩近似值为 3.5（准确到单位的十分之一）。如果希望更精确地度量 AB，可将 a分为 100等份，以其一份再来度量第二次剩余的部分，如果此时恰好 7次度量完毕而没有剩余。我们就说 AB 的长度是 AB = 3.57.
依次类推，如果上述过程在若干次的度量后恰好量完，没有剩余，我们就可以得到一个精确到小数点以后某一位的一个“有理数”，这个“数”自然就是线段 AB 的长度。如果度量过程是无限的，但是小数部分是无限循环小数，那么，其长度当然也是有理数。
（ 3）长度是无理数 。
如果可以用一个线段 e 衡量两条线段 M， N，使得 M， N都是 e 的整数倍，我们称两个线段 M， N 是可公度的。
如何寻找公度量 e呢？当然可以用 N（或 M）的 10n分之一的长度去截取，看看是否在某一次能够截完。但是，这个过程可能是一个无限过程（长度是无限循环小数），没完没了，此时，公度量 e不是十进小数。
于是，我们想到辗转相除方法，就是先用 N量 M，剩余的 a1 = M– N 比 N短，再用
a1 量 N，其剩余为
a2 , 这样不断把量测中的各次剩余量，用后次的 a n截取前次的 an -1，即较长的那个线段减去短的那个线段，如此辗转截取，直到两个线段一样长，这个长度就是公度量。
我们可以回想欧几里得求最大公约数时的辗转相除算法，仿照处理，理解这一辗转截取的过程。
早先，人们的直觉认为，用一个单位长度去度量任何一个线段，总会在将单位分为十分之一、百分之一、千分之一……，截取（度量）有限次之后就会终止。或者说，辗转截取时，有限次之后总会没有剩余，即任何两个线段一定是可公度的。但是，这一直觉错了。
古希腊的毕达哥拉斯学派，发现 正方形的边与其对角线不可公度。正五边形的对角线和边长也不可公度。说明如下：
如图 2.2-1， BC是正方形的一边， AC是对角线，现求两者的公度。先在 AC上截取 DC＝ BC，作 DE垂直于 AC，交 AB于 E，易知 AD＝ DE＝ EB． AC截去 DC后剩下的一段 AD&AE&AB＝ BC．下一步应该在 BC上截取等于 AD的线段，但 AB＝ BC，故也可以在 AB上截取．截取 EB＝ AD之后，剩下的 AE正好是以 AD为边的正方形的对角线．于是，情况又和开始时一样，以下的步骤只是重复上述的手续，这种重复永远不会完结。因此，不可能存在公度线段。即 AC与 AB不可通约。
用同样的方法求正五边形的一边与对角线的公度，最后证明公度不存在。正五边形的五条对角线构成一个五角星形，它的中心形成一个小正五边形 (图 2.2-1)。容易证明， AB＝ AD＝ EC， AE＝ DC＝ FG．现在求一边 AB与对角线 AC的公度。先在 AC上截取 AD＝ AB，剩下一小段 DC&EC＝ AB，下一步应该用 DC或 AE去截 AD， AD截去 AE后剩下的 ED是小正五边形的一边，而 FG＝ AE是对角线。接着应该是用 ED去截 AE或 FG．于是，又重复上述求正五边形的一边与对角线的公度的手续，而且永远可以这样重复下去，所以不存在公度线段。
用单位长度衡量一个线段，如果二者是不可公度的，那么，这个线段的长度是无限不循环小数，即无理数。如图 2.3-2所示，用正方形的边长为单位去度量正方形的对角线，余下线段 AD，再用正方形边长 BC的十分之一为单位，度量 AD，仍然不能穷尽。事实上，在 BC作为基本单位的前提下，对角线 AC是不可公度线段。
《新华词典》对周长的解释是“圆、椭圆或其它闭合的曲线的周界长度。”
一般地，周长指封闭曲线一周的长度。
例如，你拿起圆规，在一张白纸上画一个圆，你在画纸上所留下的、连续的、不间断的痕迹，就是你所画的圆的周界，它的长度就是周长。
中小学数学中的平面图形一般都比较简单，因而，周界多半只限于直线段或圆弧。
例如，图 2.3-3中的各个图形的周长就是这些图形的所有边的长度之和，这些边都是外边缘。
（二）面积
面积的概念很早就形成了。在古代埃及，尼罗河每年泛滥一次，洪水给两岸带来了肥沃的淤泥，但也抹掉了田地之间的界限标志。洪水退却后，人们需要重新划出田地的界限，这就必须丈量和计算田地。于是，逐渐有了面积的概念。
1. 面积的含义
物体的表面是一个二维的图形，直观地感觉它所占有的区域具有一定的大小，例如，不同的地块有大小之分。
对一个二维图形的表面进行度量以后，用一个“数”标志它的大小，称这个数为该图形的面积。
在这里，“面”是“有长有宽而没有厚度”的一种“形迹”，而这种形迹并不一定必须是“平面”的。例如，球面具有面积，但不是平面图形。初中主要讨论平面图形的面积。
例如，在图 2.3-4中，各个图形所围成的区域所覆盖的表面的大小分别是矩形、圆、梯形、三角形的面积。而图 2.3-5中的阴影部分就是圆环所围成的区域，其所占区域的大小度量就是它的面积。
人们约定，将边长为 1米的正方形的面积规定为 1平方米。
于是，对于边长为整数 a米、 b米的矩形，总可以将其剖分为若干个边长为 1米的正方形，进而，这个矩形就由 ab个单位正方形组成，从而，这个矩形的面积为 ab平方米（整数）。
如果利用米作为单位，矩形的边长是有限小数，那么，还可以用更小的单位作为面积单位，即用 米（即 1分米）、 米（即 1厘米）等等替代米作为单位，继续度量矩形的边，进而，用平方分米、平方厘米作为面积单位，将矩形分割为若干个面积单位。于是，这个矩形的面积仍是 a b, 它是一个有限小数。
如果矩形的边长是分数（可能是无限循环小数，不能表示为有限小数），那么，矩形的面积仍然是 a b，这是两个分数相乘的结果。这就需要应用极限过程， 但是在初中里不必提及。
例如，矩形的边长是 1 和 ，那么，它的面积用 米（即 1分米）、 米（即 1厘米）……去衡量，得到一串矩形的面积所构成数列 0.3, 0.33, 0.333, ……，它的极限是 。
如果矩形的边长 A， B是无理数，而且仍用边长为 1的正方形去度量，那么，还要使用极限过程，用一列有理数逼近无理数， a n→ A, b n→ B。依据 a n b n→ AB，以及有理数边长的矩形面积公式，最后得出，矩形的面积也是 AB。
这个过程实际上论证了“边长相等的两个矩形的面积的比，等于它们不相等边的长度的比”。
于是，由此可以得出：边长为实数 a、 b的矩形的面积为 ab。
相邻的面积单位间的进率是根据正方形面积计算公式推导出来的。例如，边长 1分米的正方形，它的面积是 1平方分米。它也是边长为 10厘米的正方形，因此，它的面积是 10× 10＝ 100（平方厘米）。由此得出，
1 平方分米＝ 100平方厘米。
同样可以推出： 1平方米＝ 100平方分米。
在现实生活中，面积的测量单位主要包括：平方米、公亩、公顷、平方公理等等，其中的换算关系如下：
平方米——国际标准单位；
公亩—— 100平方米；
公顷—— 10,000平方米；
平方公理—— 1,000,000平方米。
此外，有时也使用面积的市制单位平方市里、平方市尺。其中，一平方市里等于 0.25平方公理， 1平方市尺等于 平方米。
目前，在台湾的土地和房屋买卖中，还使用“甲”、“坪”的面积单位。一个台湾甲，等于 9,699.173平方公尺，一坪等于 3.3058平方公尺。
在香港，也使用平方呎（即平方英尺）作为面积单位。
面积的计算
从矩形的面积公式出发，可以知道，直角三角形的面积是相应的矩形面积的一半。而任意三角形面积，可以通过作高，知道它是“底边长乘以高”的一半。任意凸多边形可以划分为若干个三角形，其面积是这些三角形面积的和。
对于长为 a、高为 h的平行四边形，利用割补的方法（如图 2.3-6所示），可以将其化成边长依次为 a、 h的一个矩形，进而，平行四边形的面积为 ah。
海伦 -秦九韶公式
由已知三角形的三边的长而求其面积，是著名的海伦公式。与之等价的是中国的秦九韶公式。海伦公式又译作海龙公式、希伦公式、希罗公式，传说是古代的叙拉古国王海伦（ Heron）二世发现的（约 1世纪）。但根据 Morris Kline在 1908年出版的著作考证，这个公式其实由阿基米德发现，假托海伦二世的名义发表的。
海伦公式，意指：边长分别为 a、 b、 c的三角形，其面积 S满足：
由于任何 n边的多边形都可以分割成 n-2个三角形，所以，海伦公式可以用来求多边形的面积。比如说，测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测三个顶点之间的两点间的距离，就可以方便地导出答案。
我国南宋时期的数学家秦九韶（约公元 年）独立发现了计算三角形面积的公式。他在《数书九章》一书中写道：
以小斜幂并大斜幂减中斜幂 ,余半之。自乘于上 ,以小斜幂乘大斜幂 ,减上 ,余四约之 ,为实 :一为多隅 ,开平方得积。
这就是说：对于边长依次为 a、 b、 c的三角形，小边平方加上大边平方的和，减去中边平方，将所得的差除于 2，然后将所得商平方，再用小边平方乘大边平方去减，所得差除于 4，开平方后就可得到三角形面积为 。秦九韶把这个公式 称为三斜求积公式，实质上与海伦公式是一样的。由于这两个公式形式不同而实质相同，而且两人又是独立发现的，人们通常称它们为“海伦 -秦九韶公式”。
刘徽用割圆法求圆面积
我国刘徽（约 3世纪）用割圆术求圆的面积方法，成为我国第一位应用极限方法解决数学问题的人。我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”，也就是我们现在所熟悉的这个公式。
为了证明这个公式，我国魏晋时期数学家刘徽于公元 263年撰写《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇 1800余字的注记，这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”。
根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积。应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式。刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积。这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说的“周三径一”，当然不严密。他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的。因此，刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”也就是说，将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差越来越小，其极限值就是所要求的圆面积。
中小学数学中常常使用“印度圆”的方法，解释圆面积公式的来源。
12 世纪前，印度人常用直观的方法去研究几何图形。取两个相等的圆，把它们等分成相同的若干个全等扇形，然后把它们沿半径剖开（但扇形的圆弧仍然连着）、展平成锯齿条形（如图 2.3-10所示），然后，把两个锯齿形互相嵌入即成一个近似的矩形。份数分得愈多，其结果愈接近矩形，这个矩形的高为圆半径 r，底为圆周长 c，面积为 rc，从而得圆面积为
在今天的中小学数学教材中，至今还常用这模型作为讲圆面积计算公式的直观教具。著名的德国天文学家、数学家开普勒（ ）为了得圆面积公式而进一步把圆看作无数个顶点在圆心、底在圆周上的三角形之和。他把圆看成了无数个“微小”三角形面积之和，这已经具有了积分学的萌芽。
阿基米德用穷竭法求抛物弓形面积
大数学家阿基米德 (公元前 287—前 212)用穷竭法求得螺线等曲边图形的面积。阿基米德的求积术导致二千多年后积分术的发现。阿基米德证明了“抛物线弓形面积是同底等高的三角形的 ”（如图 2.3-11所示）。抛物线弓形 P 1VP 2是其内接三角形△ P 1VP 2 面积 S的 ．不断增加如图中的三角形△ P 1Q
2 P 2 等，将得到面积数 ．当 n→ +∞时，就得到了所要求的结果。
如果平行平面无限增加，这些圆台、圆锥的侧面和就无限地接近于半球面，同时， p无限地接近于 R．当 p变为 R时，侧面积的和 S变为 2π R 2，我们把这个和作为半球面的面积。
由此，完成我们的研究任务，可得结论：球面面积等于它的大圆面积的 4倍 4π R 2。
（三）体积
体积 （ volume），是指物质或物体所占空间的大小。
在自然界中，山川、河流、动物、植物、飞鸟、走兽都呈现为丰富多姿的空间形体，各种形体又以高低、厚薄、长短、曲直等或规则或不规则的形态彼此组合。它们所占据的空间位置具有大小的性质，标志这些三维图形大小的量，称为该物体的体积。
度量物体的体积通常有两种方法：
（ 1 ）直接度量法 。把一种叫做“单位正方体”（其大小被看成度量体积的标准，并称之为单位体积）的空间图形尽可能地堆放在要度量的几何体内，如果被度量的几何体恰好被 a 个正方体加上它的
（这里 b 是大于 1 的正整数， c 是非负整数，且 c ＜ b 3 ）所填满，那么这
个几何体的体积就等于
个单位体积，或直接写成
（ 2 ）间接度量法。量出被度量的几何体中某些线段的长度，再利用有关公式计算出这个几何体的体积。中小学数学教科书中讲的主要就是这种度量方法。
度量物体所占空间的大小，要用体积单位来表示。通常以边长为单位长（如 1厘米， 1分米， 1米）的正方体的体积作为体积单位。常用的体积单位有立方米，立方分米，立方厘米。棱长为 1米的正方体，体积是 1立方米。棱长为 1分米的正方体，体积是 1立方分米。棱长为 1厘米的正方体，体积是 1立方厘米。
相邻的体积单位间的进率是根据正方体体积计算公式推导出来的。
例如，棱长 1分米的正方体，它的体积是 1立方分米。它也是棱长为 10厘米的正方体，因此，它的体积是 10× 10× 10＝ 1000（立方厘米）。由此得出 1立方分米＝ 1000立方厘米。同样的方法可以推出 1立方米＝ 1000立方分米。
由此，对于边长为 a的正方体，按照边长的单位将正方体的长、宽、高三边分别分割成 a个基本单位，从而，整个正方体被分割成 a· a· a个单位立方体，进而，得出正方体的体积公式，即正方体的体积 =棱长×棱长×棱长 v=a· a· a。
一些体积公式
从正方体的体积公式出发，利用分割的方法，我们同样可以推出长方体的体积公式：
长方体的体积 =长×宽×高，即 v=a· b· h.
特别地，当上述数据是有限小数时，由单位立方体以及它的十进制分割的较小单位度量，可以恰好完成度量，没有剩余。当数据是无限小数时，要运用极限方法进行处理，具体做法与面积情况雷同。
按照同样的思想，我们也可以推导出圆柱的体积 =底面积×高。比较复杂的是圆锥和球的体积计算。
圆锥体体积计算公式 V = 底面积 × 高÷ 3,它的推导方式有三种：
(1) 实验方法 ，将一个圆锥，与和它等高等底的圆柱放在一起。用沙子充满圆锥，然后将沙子倒入圆柱体，倒三次后正好充满。中小学数学采用这种方法比较合适。
(2) 利用祖暅原理进行初等方法的推导
这种推导方法类似于求球的体积的推导。这里从略。
(3) 利用微积分方法 。锥体是三角形绕高旋转一周得到的旋转体。可以用定积分中的旋转体体积公式求得。
球体积计算公式是
它的推导方法也可以使用微积分方法，球是半圆绕直径旋转一周得到的旋转体，可以用定积分方法求旋转体的体积。下面介绍借助祖暅原理的初等数学推导方法。
为求半径为 R的球的体积，可以先研究半径为 R的半球，即为应用祖暅原理，需要构造一个易求体积的几何体，使得它和半球可以夹在两个平行平面之间，而且当运用平行于这两平面的任一平面去截它们时，截得的截面积总是相等的。
为此，我们取一个底面半径和高都等于 R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半球放在同一平面。因为圆柱的高为 h，所以，这两个几何体可夹在两个平行平面之间。
用平行于平面 的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环 B．如果截面与平面 相距为 l，那么，截面圆半径 r ＝
. 圆环面的大圆半径为 R，小圆半径
为 l (因为△ O′ O 1B为等腰三角形 )。因此，根据祖口恒原理，这两个几何体体积相等，即
研究几何体的体积时，还要注意体积与容积、容量的区别：容积一般是指器皿所能容纳固体或气体的体积，容量一般是指器皿所能容纳液体的体积。
在测量时，其体积要包含物体的外面量，而算容积、容量是指容器的里面量（例如，容器的瓶壁都有厚度，计算体积必须将容器瓶壁所占的体积也计算在内，而容积仅仅指容器内壁所包含的空间的大小）。在计算方法上虽然相同，但在计量液体的容量时，要用容量单位升和毫升。
二、如何理解“面积公理”与测度公理？
我们前面所说的长度、面积、体积，涉及“大小”、“度量”、“物体”、“表面”等等普通名词，都是一种直观的描述。这一节，我们要讨论“面积公理”、严格的面积定义（长度和体积的定义与此类似），以及面积公理的发展——测度公理。
面积公理的基本想法是：既然图形是一个集合，而相应的图形的面积是一个数，所以，面积是定义在“集合族”之上的一个函数。这个集合函数显然是非负函数，而且正方形的面积是 1。当然，两个不重叠的图形之并的面积，必须等于两个图形的面积之和。最后，如果图形经过移动、旋转、反射，其面积应该不变。这些性质放在一起，就成为面积公理的内容。
（一）面积公理
则称 V为 X上的度量函数。
这里的度量公理，可以作为长度公理、面积公理或体积公理，决定于 M是直线、平面或三维空间。相应地， G 0 分别是单位长度，单位正方形，单位正方体。条件（ 3）中的 G 1≌ G 2的符号≌，是指 G 1通过有限次的平移、旋转或反射可以得到 G 2，即指刚体运动。
在这一节，我们取 M为平面，度量公理就是面积公理。
大家可以看到，在上述的面积公理中，全部使用集合、对应、运动等原始的语言，没有含混不清的名词夹杂其中，所以，这是一个完全形式化的、符合逻辑的面积定义。
细心的读者可能发现，公理中的集合类（集合的集合） X还没有给以说明。我们会问：面积函数 V的定义域是什么？究竟哪些平面上的图形（集合）有面积呢？即何时 G∈ X？这就是我们下一步要阐述的事情。
现在我们把 X中的图形称为“可量集”，即有面积的图形。
显然，条件（ 1）表明， G 0 ∈ X，即单位正方形是可量集。根据公理 2（即条件（ 2）），单位正方形的不相交的并，应该是可量集合。这样，由小数表示的矩形是可量集。进一步，通过极限方法处理有理数、无理数边长的矩形也有面积。于是，由矩形拼接起来的图形都是可量集合。再进一步，三角形是矩形的一半，多边形是三角形的并集，所以，多边形也是可量集合。平行四边形、梯形是特殊的多边形，当然也是可量集合。
在中小学数学里，大家还会遇到圆。圆面积是内接正多边形的面积，当边数无限增大时的极限。于是，圆也成为可量集合。大家学过微积分，知道用定积分方法可以求得许多曲边梯形的面积。它的实质是，在曲边梯形中填进一些矩形，用矩形的有限并的集合的面积来近似刻画，然后越分越细，最后取极限得到曲边梯形的面积。这个过程，可以内填矩形，也可以外包矩形。圆面积可以内接正多边形近似，也可以用外切多边形近似。尤其要注意的是，内填法和外包法所得到的极限值必须相同。这种求面积的极限方法，可以简称为内填外包法。
到此为止，我们可以说，面积公理中的 X，即“可量集合”所组成的面积函数 V的定义域，先由正方形经过有限的并、差、交的运算，使得多边形属于 X，再进一步，通过内填或外包矩形、多边形，然后取极限的方法，把 X扩展到一些曲边的图形。
两个集合的并集、交集、差集，最后都可以化为一些不相交集合的并集。于是，可量集合的并集、交集、差集，以及用它内填外包得出的极限图形，也是可量集合。这样得到的可量集合，其范围已经相当广泛，在实用上，已经足够了。
3. 圆的面积
在这里，我们把圆的面积严格地推导出来。这是数学科学的严谨性所必需的。
定义 ：圆的内接或外切正多边形，当边数无限递增时，其面积的极限叫做圆的面积。
在几何学里，角度、弧度是与长度紧密联系的另两个几何量。同度量线段的长度类似，要度量一个角或一段弧的大小，也要各自取定一个单位。
通常情况下，我们取周角的 360分之一作为角度的单位，其中， 1周角 =360°， 1° =60′， 1′ =60″。这就是角度制。
如果 在单位圆内， 取弧长等于半径的弧所对的圆心角作为角度的单位，叫做 1弧度的角。这就产生了角的弧度制。
弧度制的精髓就在于统一了度量弧与半径的单位。
引入了角的弧度制，其最大的价值在于角与实数集 R之间建立起了一一对应关系：
任何一个角所对应的弧度必定是实数；
任一实数对应的一个弧度，必定是某个角的弧度。
这种对应，是三角函数进一步研究的基础。从而大大简化了有关公式及运算，尤其在高等数学中，其优点就格外明显。例如，在角度制下，函数 （其中， x是介于 0 0与 180 0之间的角）实际上是建立在角的集合 { | 是介于 0 0与 180 0之间的角 }与 [0， 1]之间的一个函数关系；但是，如果换成弧度制，那么，这个函数关系就是建立在 [0，
]与 [0， 1]之间的一个函数关系。
（二）测度公理
1. 不可量的集合
是不是所有的平面集合都有面积呢？即都是可量集合呢？当然不是。例如，正方形以外的图形，面积是无穷大，不算“可量集合”。
但是，即使范围有限的图形，也可以没有面积，即真正的“不可量集合”。
例 1 由狄里赫莱函数 D(x)定义的图形就不是可量集合：
这个函数的图象是集合 {（ x,y） | ，且 x是有理数 }，好象一把梳子。可以想象为，在一个正方形中，在 [0， 1]中的有理数上密密麻麻地竖着一根根的线段，但是无理点上则是空疏的。这是一个抽掉无理数所在的那根线的平面正方形。
大家知道，用矩形去内填一个图形，或用矩形外包这个图形，当分法越来越细的时候，其极限应该相同。但是， D(x)的图象不是如此。这个函数的图形，填不进任何矩形，所以，用内填法得到极限是 0.但是，外包的矩形至少是 1，所以，取极限也将是 1.内填外包不一样，就等于没有极限。所以，这样的函数图象（一个古