在椭圆或双曲线中如何证明焦点三角形S=b^2·cot(C/2)
在椭圆或双曲线中如何证明焦点三角形S=b^2·cot(C/2)要思路就好.
任意一点与2焦点的面积是 b^2*(cot夹角/2)设双曲线上一点与两焦点的连线长分别为m,n由双曲线定义有m-n=2a由余弦定理有m^2+n^2-2mncosC=4c^2将第一式平方后与第二式作差得到mn(1-cosC)=2b^2所以mn=2b^2/(1-cosC)三角形面积S=1/2mnsinC=b^2sinC/(1-cosC)=b^2*2sin(C/2)cos(C/2)/[2(sin(C/2)^2]=b^2*cot(C/2) 再问： 在椭圆中，这个式子也成立吗？ 再答： 不是这个 椭圆焦点三角形面积公式为 S=b²tan(θ/2), 公式的推导： 椭圆：|PF1|+|PF2|=2a,① |PF1|²+|PF2|²-2|PF1||PF2|cosθ=4c² ② ①²-②| 2|PF1||PF2|(1+cosθ)=4(a²-c²)=4b² ∴|PF1||PF2|=2b²/(1+cosθ) ∴S=1/2*|PF1||PF2|sinθ =b²*sinθ/(1+cosθ) =b²*(2sinθ/2cosθ/2)/(2cos²θ/2) =b²*tanθ/2
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与《在椭圆或双曲线中如何证明焦点三角形S=b^2·cot(C/2)》相关的作业问题
是的,它叫通径.其长度为2ep其中,e为离心率,p为焦准距,也就是焦点到准线的距离祝学习愉快!
已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 和 ，若 c 是 a 与 m 的等比中项， n 2 是2 m 2 与 c 2 的等差中项，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． A
焦点相同,焦距相等,c是相等的c=√13∵e=c/a∴二者a之比为7:3,二者a之差为4∴椭圆的a=7,双曲线a=3,椭圆的b=√(7²-13)=6,双曲线b=√(13-3²)=2∴椭圆与双曲线的方程:x²/7²+y²/6²=1,x²/3²
设椭圆的半长轴长,半焦距分别为M（xM,yM）,双曲线的半实轴长,半焦距分别为a2,c,|PF1|=m,|PF2|=n,则 {m+n=2a1 m-n=2a2 m=10 n=2c⇒ {a1=5+c a2=5-c,问题转化为已知1＜ c/5-c＜2,求 c/5+c的取值范围．设 c/5-c=x,则c= 5x/1
你这样算的|F1F2|=4√3了椭圆：X²/49+Y²/37=1c=√(49-37)=2√3|F1F2|=2c=4√3你自己把题目写错了1、焦点相同,焦距相等,c是相等的c=√3因此,二者a之比为7:3,二者a之差为4故,椭圆的a=7,双曲线a=3这可能么,双曲线的a＞c,数据是不是搞错了我先不管你
很多书上都有示意图,我临时画了个粗糙的.按粗虚线切,就出来双曲线,按细虚线切,就是抛物线.你应该也能想出怎么切能切出椭圆、圆了~可以证明但写起来麻烦啊~可以用立体解析几何来证. 再问： 能不能大概说一下？满意我会加分的 再答： 在三维坐标系里表示出圆锥的解析式，然后跟平面解析式联立方程组。平面位置不同，出来的新方程就表
椭圆长轴是双曲线实轴的2倍,即：|PF1+PF2|=2|PF1-PF2|即：((x+1)^2+y^2)^(1/2)+((x-1)^2+y^2)^(1/2)=2|((x+1)^2+y^2)^(1/2)-((x-1)^2+y^2)^(1/2)|① ((x+1)^2+y^2)^(1/2)+((x-1)^2+y^2)^(1/2
用焦半径做
不能互换.因为椭圆的定义要求三角形的两条动边（运动的边）长度之和保持不变,换言之,就是当一条边增长时,另一条边要相应缩短.而双曲线的定义是要求两条动边长度之差不变,当一条边缩短时,另一条边也要相应缩短.所以判断的关键依据是到底是“和”不变还是“差”不变.“和”不变是椭圆,“差”不变是双曲线.
解可设椭圆：[x²/(4n)]+[y²/(4n-1)]=1双曲线：(x²/n)-[y²/(1-n)]=1 其中,1/4＜n＜1联立上面两个关于x,y的方程,解得：x²=4n².y²=(4n-1)(1-n).消去参数n,可得轨迹方程：x²+y
已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点,且两条渐近线与以点A（0,√2） 为圆心,1为半径的圆相切,又已知C的一个焦点与A有关直线y=x对称.（1）,求双曲线C的方程；(2)若Q是双曲线C上任一点,F1,F2为双曲线C的左右两个焦点,从F1引角F1QF2的平分线的垂线,求点N的轨迹方程（3）设直线y=mx+
A、B点在同一条直线上,在直角坐标系中的位置是确定的,极坐标确定有什么难的呢?
因为椭圆与双曲线共焦点,所以可设椭圆标准方程为 x^2/(4+k)+y^2/(k-1)=1由 e^2=(c/a)^2=c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=5/9 可得 [(4+k)-(k-1)]/(4+k)=5/9,解得 k=5所以,椭圆方程为 x^2/9+y^2/4=1其准线方程为 x=±a^2/c=±9/√
椭圆中a是半长轴在双曲线中是实轴的一半.椭圆中b是短轴的一半在双曲线中是虚轴的一半.c代表半焦距 椭圆中c平方＝a的平方-b的平方.在双曲线中c平方＝a的平方＋b的平方
知道两点的坐标,也用公式求. 再问： 怎么求啊，能不能详细一点，哪两点，谢谢啊 再答： F点与B点间距离
c=4e1=4/a1 e2=4/a2由e1/e2=1/4,得a1/a2=4,即a1^2=16a2^2b1^2=a1^2-16=16(a2^2-1) b2^2=16-a2^2椭圆;x^2/16a2^2+y^2/16(a2^2-1)=1双曲线;x^2/a2^2-y^2/(16-a2^2)=1 即使两个曲线只含a2一个参数设
方程2x²-5x+2=0因式分解得：(2x-1)(x-2)=0解得：x=1/2或x=2则可知椭圆的离心率e1=1/2,双曲线的离心率e2=2由于椭圆的焦点坐标为(±3,0）,所以有c1=3而e1=c1/a1=1/2,则得：a1=6那么：b1²=a1²-c1²=36-9=27所以椭
设椭圆长半轴为a,双曲线的实半轴为a',椭圆和双曲线的交点为P（x,y）则a=2a‘根据椭圆定义：√[(x+4)²+y²]+√[(x-4)²+y²]=2a根据双曲线定义：｜√[(x+4)²+y²]-√[(x-4)²+y²]｜=2a'所以：√
已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 和 ，若 是 的等比中项， 是 与 的等差中项，则椭圆的离心率是（
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[tuǒ yuán]
（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a&|F1F2|）。
椭圆是的一种，即圆锥与平面的。
椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
椭圆椭圆简介
在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。
椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线（见右图）。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物面和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。
椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点或焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的。
也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。
椭圆在物理，天文和工程方面很常见。例如，我们的太阳系中的每个行星的轨道大约是一个椭圆，其中一个焦点上的行星 - 太阳对的重心。卫星轨道行星和所有其他具有两个天文体的系统也是如此。行星和星星的形状通常被椭球描述。椭圆也出现在平行投影下的圆形图像和透视投影的有界壳体，这是投影锥体与投影平面的简单交点。当水平和垂直运动是具有相同频率的正弦波时，它也是形成最简单的李萨如图。类似的效果导致光学中的光的椭圆偏振。
名叫?λλειψι?（élleipsis，“遗漏”）由佩尔加的Apollonius在他的Conics中给出，强调了曲线与“应用领域”的联系。
椭圆研究历史
所著的八册《（Conics）》中首次提出了今日大家熟知的 ellipse（椭圆）、parabola（）、hyperbola（）等与有关的名词，可以说是古希腊几何学的精辟之作。
直到十六、十七世纪之交，（Kepler）行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，是一种以太阳为其一的椭圆。
椭圆第一定义
平面内与两定点
的距离的和等于
）的动点P的轨迹叫做椭圆。
椭圆定义说明
其中两定点
叫做椭圆的，两的距离
叫做椭圆的。
为椭圆的动点。
椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的为，长为
椭圆截两焦点连线的直线所得弦为，长为
椭圆第二定义
椭圆平面内到定点
（c,0）的距离和到定直线
上）的距离之比为常数
，0&e&1）的点的是椭圆。
为椭圆的，定直线
称为椭圆的（该定直线的方程是
（焦点在x轴上），或
（焦点在y轴上））。
椭圆其他定义
根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴（事实上只要是直径都可以）两端点连线的之积是定值，定值为
（前提是长轴平行于x轴。若长轴平行于y轴，比如焦点在y轴上的椭圆，可以得到斜率之积为 -a?/b?=1/（e?-1）），可以得出：
在内，动点（
）到两定点（
）的斜率乘积等于常数m（-1&m&0）
注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，所以
无法取到，即该定义仅为去掉四个点的椭圆。
椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定所得图形。
中心点为（h，k），主轴平行于x轴时，
椭圆标准方程
高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。
椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：
1）焦点在X轴时，标准方程为：
2）焦点在Y轴时，标准方程为：
椭圆上任意一点到F1,F2距离的和为2a，F1,F2之间的距离为2c。而公式中的b?=a?-c?。b是为了书写方便设定的参数。
又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx?+ny?=1(m&0，n&0，m≠n）。即标准方程的统一形式。
椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ
标准形式的椭圆在（x0，y0）点的就是 ：xx0/a?+yy0/b?=1。椭圆切线的是：-b?x0/a?y0，这个可以通过复杂的代数计算得到。
椭圆参数方程
x=acosθ ， y=bsinθ。
求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为问题求解
x=a×cosβ， y=b×sinβ a为长的一半 b为短轴长的一半
椭圆极坐标
（一个焦点在原点，另一个在θ=0的正方向上）
（e为椭圆的=c/a）
椭圆几何性质
椭圆基本性质
1、范围：焦点在
2、：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。
3、：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）
或 e=√（1-b^2/a?）
5、离心率范围：0&e&1
6、离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。
7、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）
（m为实数）为离心率相同的椭圆。
9、P为椭圆上的一点，a-c≤PF1（或PF2)≤a+c。
10.椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
椭圆切线法线
定理1：设F1、F2为椭圆C的两个，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P的两侧，则∠APF1=∠BPF2。（也就是说，椭圆在点P处的切线即为∠F1PF2的外角平分线所在的直线）
定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。
上述两定理的证明可以查看参考资料。
解析几何法求证椭圆切线定理：
解：设C:((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))=1-----式1;
(a^2)-(b^2)=(c^2);
F1(-c,0);F2(c,0);P(xp,yp)
AB:(y-yp)=k(x-xp)=&y=kx+(yp-kxp);令m=yp-kxp=&AB:y=kx+m-----式2;
联立式1和式2消去y得:((k^2)+((b^2)/(a^2)))(x^2)+2kmx+((m^2)-(b^2))=0;
因为直线AB切椭圆C于点P，所以上式只有唯一解，则：
4((km)^2)-4((k^2)+((b^2)/(a^2)))((m^2)-(b^2))=0=&m^2=((ak)^2)+(b^2);
m^2=(yp-kxp)^2=((yp)^2)+((kxp)^2)-2kxpyp=((ak)^2)+(b^2);
=&((a^2)-(xp^2))(k^2)+2xpypk+((b^2)-(yp^2));
由根的判别式得：4((xpyp)^2)-4((a^2)-(xp^2))((b^2)-(yp^2))=0;
所以k值有唯一解：k=(-2xpyp)/(2((a^2)-(xp^2)))=-xpyp/((a^2)-(xp^2));
由式1得：(a^2)-(xp^2)=(ayp/b)^2=&k=-(xp(b^2))/(yp(a^2));
m=yp-kxp=(((ypa)^2)+((xpb)^2))/(yp(a^2))=((ab)^2)/(yp(a^2))=(b^2)/
设A0F1、B0F2分别过F1、F2垂直AB于A0、B0；
A0F1:(y-0)=(-1/k)(x+c)=&x+ky+c=0-----式3；
联立式2和式3消去y得：x=-(km+c)/((k^2)+1);
联立式2和式3消去x得：y= (m-kc)/((k^2)+1);
则：A0:(-(km+c)/((k^2)+1),(m-kc)/((k^2)+1));
|A0F1|^2=((m-kc)^2)/((k^2)+1));
同理：B0F2:(y-0)=(-1/k)(x-c);
=&B0:((c-km)/((k^2)+1),(m+kc)/((k^2)+1));
|B0F2|^2=((m+kc)^2)/((k^2)+1));
|PF1|^2=((xp+c)^2)+(yp^2);
|PF2|^2=((xp-c)^2)+(yp^2);
证明:若∠APF1=∠BPF2，则直角三角形A0PF1与直角三角形B0PF2相似；
=&|A0F1|/|PF1|=|B0F2|/|PF2|
=&(|A0F1|^2)/(|PF1|^2)=(|B0F2|^2)/(|PF2|^2)
=&(|PF2|^2)/(|PF1|^2)=(|B0F2|^2)/(|A0F1|^2)
((m+kc)^2)/((m-kc)^2)=(((xp-c)^2)+(yp^2))/(((xp+c)^2)+(yp^2));-----式4
m+kc=(b^2)/yp-(xpc(b^2))/(yp(a^2))=((a^2)-xpc)(b^2)/(yp(a^2));-----式5
m-kc=(b^2)/yp+(xpc(b^2))/(yp(a^2))=((a^2)+xpc)(b^2)/(yp(a^2));----式6
把式5和式6代入式4得:
(((a^2)-xpc)^2)/(((a^2)+xpc)^2)=(((xp-c)^2)+(yp^2))/(((xp+c)^2)+(yp^2));
=&(((a^2)-xpc)^2)(((xp+c)^2)+(yp^2))=(((a^2)+xpc)^2)(((xp-c)^2)+(yp^2))
=&(((a^2)-xpc)^2)((xp+c)^2)+(((a^2)-xpc)^2)(yp^2)=(((a^2)+xpc)^2)((xp-c)^2)+(((a^2)+xpc)^2)(yp^2)
=&[(((a^2)-xpc)^2)((xp+c)^2)-(((a^2)+xpc)^2)((xp-c)^2)]=[(((a^2)+xpc)^2)-(((a^2)-xpc)^2)](yp^2)
=&[((a^2)-xpc)(xp+c)+((a^2)+xpc)(xp-c)][((a^2)-xpc)(xp+c)-((a^2)+xpc)(xp-c)]=4xpc(ayp)^2
=&(2(a^2)xp-2(c^2)xp)(2c(a^2)-2c(xp^2))=4xpc(ayp)^2
=&4xpc(b^2)((a^2)-(xp^2))=4xpc(ayp)^2
=&(b^2)((a^2)-(xp^2))=(ayp)^2
=&(ab)^2=((ayp)^2)+((bxp)^2)
=&((xp^2)/(a^2))+((yp^2)/(b^2))=1等式成立，∠APF1=∠BPF2得证
椭圆内点外点
设F1、F2为椭圆C的两个，P为C上任意一点，则在椭圆焦点三角形F1PF2中，分别称∠F1PF2的内角平分线，外角平分线与椭圆长轴的交点为内点，外点。（如右图中的N,M点为内点，外点）
可以证明以下命题：在椭圆焦点三角形中： （ 1）内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为e（离心率）（2）内心将内点与非焦顶点连线段分成定必e （3）半焦距为内点，外点到椭圆中心距离的比例中项 证明：（1）：在椭圆焦点三角形F1PF2中，设N为内点， 由内角平分线性质和合比性质得 ： NF1 /PF1= NF2/PF2=(NF1+NF2 )/(PF1+PF2)=2C/2a=e (2) ：设 内心为Q,则F1Q是∠F2F1P的内角平分线 ，则在△F1PN中，有QP/PF1=QN/NF1 ∴QN/QP=NF1/PF1 由（1）知NF1 /PF1=e 故QN/QP=e （3）：设M是外点，由外角平分线和内角平分线性质：MF1/MF2=PF1/PF2=NF1/NF2 故（OM-c）/（OM+c）=(c-ON)/(c+ON) 故ON×OM=c?
椭圆光学性质
椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。
椭圆相关公式
椭圆面积公式
分别是椭圆的长半轴、短半轴的长），或
分别是椭圆的长轴，短轴的长）。
的面积，由于图形的对称性可知，只要求出第一象限的面积乘以4即可。
在第一象限
椭圆计算公式：L=T(r+R)
T为椭圆，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。
附椭圆系数简表：
椭圆系数简表r / R系数r / R系数r / R系数r / R系数0.013.0.263.0.513.0.763.0.023.0.273.0.523.0.773.0.033.0.283.0.533.0.783.0.043.0.293.0.543.0.793.0.053.0.33.0.553.2081480.83.0.063.0.313.0.563.0.813.0.073.0.323.0.573.0.823.0.083.0.333.0.583.0.833.0.093.0.343.0.593.0.843.0.13.0.353.0.63.0.853.0.113.0.363.0.613.0.863.0.123.0.373.0.623.0.873.0.133.0.383.0.633.0.883.0.143.0.393.0.643.0.893.0.153.0.43.0.653.0.93.0.163.0.413.0.663.0.913.0.173.0.423.0.673.0.923.0.183.0.433.0.683.0.933.0.193.0.443.0.693.0.943.0.23.0.453.0.73.0.953.0.213.0.463.0.713.0.963.0.223.0.473.0.723.0.973.0.233.0.483.0.733.0.983.0.243.0.493.0.743.0.993.0.253.0.53.0.753.1π工程运用椭圆系数简表r / R系数r / R系数r / R系数r / R系数1π0.47873.240.20113.50.07393.760.95553.1420.45993.250.19463.510.07033.770.91883.1430.44223.260.18843.520.06663.780.89513.1440.42633.270.18243.530.06313.790.87643.1450.41113.280.17643.540.05953.80.86073.1460.39663.290.17073.550.05613.810.84683.1470.38293.30.16513.560.05263.820.84333.1480.36993.310.15953.570.04933.830.82313.1490.35773.320.15413.580.04613.840.81263.150.34593.330.14893.590.04283.850.76893.1550.34143.340.14373.60.03963.860.73473.160.32393.350.13873.610.03643.870.70583.1650.31363.360.13373.620.03333.880.68063.170.30363.370.12893.630.03033.890.65843.1750.29413.380.12423.640.02733.90.63833.180.28483.390.11953.650.02443.910.61993.1850.27593.40.11493.660.02153.920.60283.190.26743.410.11053.670.01863.930.58713.1950.25913.420.10623.680.01583.940.57223.20.25113.430.10193.690.01313.950.55833.2050.24323.440.09773.70.01033.960.54523.210.23573.450.09353.710.00773.970.53283.2150.22843.460.08953.720.00513.980.50973.2250.22123.470.08553.730.00253.990.49893.230.21433.480.08163.740.00123.9950.48863.2350.20763.490.07773.750.00023.999椭圆与三角函数的关系
关于椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度的证明：
半径为r的圆柱上与一斜平面相交得到一椭圆，该斜平面与水平面的夹角为α，截取一个过椭圆短径的圆。以该圆和椭圆的某一交点为起始转过一个θ角。则椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度可以得到f(c)=r tanα sin(c/r)
r:圆柱半径
α:椭圆所在面与水平面的角度
c:对应的弧长（从某一个交点起往某一个方向移动）
以上为证明简要过程，则椭圆（x*cosα）^2+y^2=r^2的周长与f(c)=r tanα sin(c/r)的正弦曲线在一个周期内的长度是相等的，而一个周期T=2πr，正好为一个圆的周长。
这是我在工作的时候，偶尔发现的，没有引用，也没有搜索到相关的文献，可能有前辈在我之前就发现了，若有不妥，请谅解。
椭圆离心率
的定义为椭圆上焦距与长轴的比值，（范围：0&X&1）
e=c/a(0&e&1），因为2a&2c。离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。
椭圆的：椭圆的与其相应准线（如焦点（c,0）与准线x=±a^2/c) 的距离为a^2/c-c=b^2/c
椭圆焦半径
焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex(F1,F2分别为左右焦点）
椭圆过右焦点的r=a-ex
过左焦点的半径r=a+ex
焦点在y轴上：|PF1|=a+ey |PF2|=a-ey(F2,F1分别为上下焦点）
椭圆的：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，即|AB|=2*b^2/a
椭圆斜率公式
过椭圆上x?/a?+y?/b?=1上一点（x，y）的斜率为 -b?X/a?y
焦点三角形面积
若有一三角形两个顶点在椭圆的两个焦点上，且第三个顶点在椭圆上
那么若∠F1PF2=θ，则S=b?tan（θ/2）。
椭圆曲率公式
K=ab/[(b?-a?）（cosθ）2+a?]3/2
椭圆准线方程
（焦点在x轴上）
（焦点在y轴上）
椭圆准圆方程
从准圆上任一点向椭圆引两条切线，这两条切线垂直。
（除圆外）中，过并垂直于轴的弦
椭圆中的通径是通过焦点最短的弦
椭圆几何关系
椭圆点与椭圆
点M（x0，y0） 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1
点在圆内：x02/a2+y02/b2&1
点在圆上：x02/a2+y02/b2=1
点在圆外：x02/a2+y02/b2&1
跟与直线的位置关系一样的
椭圆直线与椭圆
x2/a2+y2/b2=1 ②
由①②可推出x2/a2+（kx+m)2/b2=1
相离△&0无交点
相交△&0 可利用：设A(x1,y1） B(x2,y2）
求中点坐标
根据 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
代入直线方程可求出 (y1+y2)/2=可求出中点坐标。
|AB|=d = √（1+k2）[(x1+x2）2-4x1*x2] = √（1+1/k2）[(y1+y2）2-4y1y2]
例如：有一个，被截得到一个，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：
将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。
设两点为F1、F2
对于截面上任意一点P，过P做圆柱的Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2
则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2
由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点
用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆
例：已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a&b&0）的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.
1．求椭圆C的方程.
2．直线l：y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值.
3．在⑵的基础上求△AOB的面积.
一 分析短轴的到左右的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等（椭圆的定义），可知a=√3，又c/a=√6/3，代入得c=√2，b=√（a^2-c^2）=1，方程是x^2/3+y^2/1=1，
二 要求，显然以ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有√（1+k^2））[x2-x1]（中括号表示绝对值）弦长=3√2/2，对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大，过p做弦的，可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m，利用判别式等于0，求得m=2,-2.结合图形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p（1.5,-0.5），
三 直线方程x-y+1=0，利用点到直线的距离公式求得√2/2，面积1/2*√2/2*3√2/2=3/4,
椭圆手工画法
椭圆手绘法一
画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。⑵：连接AC。⑶：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。⑷：以C为，CE为半径作与AC交于F点。⑸：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。⑹：截取H，G对于O点的对称点H’，G’ ⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。
用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点，此步骤需要多次定位，直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点，用笔带住线，直接画出椭圆：）使用细铜丝最好，因为线的较大画出来不一定准确！
椭圆手绘法二
椭圆的│FF'│（Z）定义，为已知椭圆所构成的长轴X(a
已知长轴与短轴尺寸，两焦点焦距尺规作图法
b）与短轴Y(cd）则以长轴一端A为圆心短轴Y为半径画弧，从长轴另一段点B引出与弧相切的线段则为该椭圆焦距，求证公式为2√{(Z/2）^2+(Y/2）^2}+Z=X+Z（平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a（2a&|FF'|）的动点P的轨迹叫做椭圆），可演变为z=√x^2-y^2(x&y&0）。Z两端点F、F'为定点。取有韧性切伸缩系数越小越好的线，环绕线段AF'或者FB线段任意一组为长度，以该长度为固定三角形，以F、F'　为定点、取构成该三角形上的第三点为动点画弧则构成该椭圆。
椭圆手绘法三
椭圆示意图
。根据椭圆的图形特征，采用环线表示动点与焦点间的距离关系，形成统一的圆形环线作图法。具体方法简介：（1）作图工具为笔、大头针、直尺和环形线。（环形线制作：取一段长度（30—50cm）和粗细适中弹性小的软线、一段8mm长细电线空塑料管，软线从塑料管中相向窜过，塑料管将软线夹紧，但用力可以抽动，形成能收缩和放长的环形线）。（2）在作图平面上作出各种圆形的定点和动点。（3）将大头针分别直立、固定在定点上；（4）将符合长度的环形线套在大头针外，画笔由内向外拉直环线，通过调整环线的长度使笔尖刚好落在动点上；（5）将画笔移动一周，即可作出各种圆的图形。
环线作图方法的最大特点，就是把圆形的动点与焦点间的距离关系以环线的方式联系起来，而不受焦点数目的影响，环线内可以容纳任意焦点数目，为探讨3个及其3个以上焦点数目的提供有效方法。环线作图方法，属于连续移动作图法，适合不同大小的圆、椭圆和等作图。
若用该方法画规定半长轴a和半短轴b的椭圆，则
椭圆计算机方面
Ellipse函数
该函数用于画一个椭圆，椭圆的中心是限定矩形的中心，使用当前画笔画椭圆，用当前的画刷填充椭圆。
BOOL Ellipse(HDC hdc,int nLeftRect,int nTopRect,nRightRect,int nBottomRect).
hdc：设备环境。
nLeftRect：指定限定椭圆左上角的X坐标。
nTopRect：指定限定椭圆左上角的Y坐标。
nRightRect：指定限定椭圆右下角的X坐标。
nBottomRect：指定限定椭圆右下角的Y坐标。
如果调用成功，非零；如果函数失败，返回值是0。
计算机图形学约束
椭圆必须一条直径与x轴，另一条直径y轴平行。不满足此条件的几何学椭圆在计算机上视作一般封闭曲线。
刘绍学．高中数学选修2-1：人民教育出版社，2005
刘绍学．高中数学选修4-1 几何证明选讲：人民教育出版社，2005
阿波罗尼奥斯．圆锥曲线论：陕西科学技术出版社，2007
张维善．高中物理必修2：人民教育出版社，2010
苏教版高中数学教材编写组．数学选修2-1：江苏教育出版社，2013：30
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北京邮电大学
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