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几种求极限方法的总结
几种求极限方法的总结摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过 sn 对求极限 的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法. 关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列1 用定义求极限 ?1? 根据极限的定义： 数列{ xn }收敛 ? ? a, ? ? 〉 0, ? N ? N ? ,当 n〉 N 时， 有 xn -a 〈 ? . 例 1 用定义证明 limn ?1 n?? n ? 11 1 n ?1 ? ? ? 成立：解得 n ? ? 1 ,取 N= ? ? 1? ，于 ?1 = n ?1 ? n ?1 ?? ?证明： ?? ? 0, 要使不等式n n ?1 ? ?1 是 ?? ? 0, ? N= ? ? 1? ， ?n ? N ，有 ? 1 ? ? , 即 lim n?? n ? 1 n ?1 ?? ?2 利用两边夹定理求极限 ? ?1? 1 ? 1 1 1 ? ? ? ?? 例 2 求极限 lim? ? ? 2 2 2 2 n ?? n ?2 n ?3 n ?n? ? n ?1解：设 cn ?1 n2 ?11 n2 ? n 1 n ?12?1 n2 ? 21 n2 ? n 1 n ?12??1 n2 ? n1 ? n n2 ? n n n ?12则有： cn ???n2 ? n 1 n ?12同时有： cn ????， 于是n n ?n2? cn ?n n2 ? 1,由 n 2 ? n ? n 2 ? 2n ? 1 ? n ? 1, n 2 ? 1 ? n 2 ? n . 有n n n n ? ? cn ? ? ?1 n ?1 n2 ? n n2 ? 1 nn ?1 n?? n ? 1? 已知： lim? 1 ? 1 1 1 ? =1 ? ? ? ? ∴ lim? ? 2 n ??? n2 ? 2 n2 ? 3 n2 ? n ? ? n ?113 利用函数的单调有界性求极限 ? ?实数的连续性定理：单调有界数列必有极限. 例3n ??设 x1 ? a ， x 2 ? a ? a ，? xn ? a ? a ? ? ? a （n=1,2, ? ）( a ? 0 ),求 lim x n 解：显然 ?xn ? 是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见x2 ? a ? x1 ， x3 ? a ? x2 ， ?从而2xn ? a ? xn?1 ， ?xn ? a ? xn?1 ，显然 xn 是单调增加的，所以 xn2 ? a ? xnxn ? a ?1 xn2两段除以 xn ，得? a ? xn ? a ? 1 这就证明了 ?xn ? 的有界性2设 xn ? l ， 对 等 式 xn ? a ? xn?1 两 边 去 极 限 ， 则 有 l i m xn ? a ? l i m xn?1n?? n??? l 2 ? l ? a 解得 l ?l ? 4a ? 1 24 利用无穷小的性质求极限 ?2 ? 关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数 f(x)(x ? a ) 是无穷小， 函数 g(x)在 U（ a,? ) 有界，则函数 f(x)*g(x)(x ? a ) 是无穷小. 例 求极限 lim (cos x ? 1 ? cos x)x ???解 4 cos x ? 1 ? cos x ? ?2 sin(x ?1 x ? ) ?2 2 2 x ?1 x ? )? 2 2x ?1 x x ?1 x ? ) sin( ? ) 2 2 2 2? ? 2 sin(而x ?1 x 1 ? ? 2 2 2( x ? 1 ? x)0 ? sin(而 limx ??1 2( x ? 1 ? x )? 0, 故 limn??x ?1 _ x ?0 25 应用“两个重要极限”求极限 ?2 ?lim sin x 1 ? 1, lim(1 ? ) x ? e x ?0 x ?? x x例 5 求 lim(sinx ??1 1 ? cos ) x xsin 2 x解1 1 1 1 ? 2 sin 2 ? (sin ? cos ) x ? ?(sin ? cos ) 2 ? ? (1 ? sin ) x x x x x ? x ?sin 1 2 xx 212 x2 sin ∴原式= lim (1 ? sin ) x x ?? x22 x?e6 利用洛必达法则求极限 ?2 ??例 6 求 lim 2x ??? arctanx 1 sin x0 （ ) 0?解： lim 2n ??? arctanx sin 1 x1 2 = lim 1 ? x ? 1 n ?? 1 1 ? 2 cos x x ?例 7 求极限 lim ?x? 2? tan x （ ) ? tan3 x解 limx??2tan x = tan3 x(tan x) , (cos3x) 3 ? 6 cos3x sin 3x sin 6 x 6 cos6 x ? 6 lim ? lim ? lim ? lim ? lim ? ?3 ? (tan3 x ) , ? 3(cos x ) 2 ? ? 6 cos x sin x ? sin 2 x ? 2 cos 2 x ?2 x? x? x? x? x?2 2 2 2 27 利用泰勒公式求极限 ?2 ?例 8：求极限 limn ??x2 1 ? x sin x ? cos x中分子为 x ，∴将各函数展开到含 x 项。2 2解 ∵x2 1 ? x sin x ? cos xx?0时当，1?xc1 2 ?o x 2s2?x0 x2( ?从 x2 )而 ? x,cos x ? 1 ? (1 ? cos x) ? 1 ?1 1 2 1? 1 ? x ? 0( x 2 ) ?1 ? ?? x 2 ? 0( x 2 )? ? 0( x 2 ) =1- x 2 ? 0( x 2 ) 4 2 2? 2 ?1 ? x sin x ? 1 ? x 2 ? 0( x 2 ) ? 1 ?1 2 x ? 0( x 2 ) 2x2 x2 ∴原式= lim ? lim n ?? n ?? 3 2 1 2 ? 1 2 2 2 ? x ? 0( x 2 ) 1 ? x ? 0( x ) ? ?1 ? x ? 0( x )? 4 2 ? 4 ?8 利用数列求和来求极限 ?2 ? 有时做一些求极限的题时，若对原函数先做一些变形，化简之后再利用极限性质去求极 限过程简便些。 1 3 2n ? 1 例 9：求极限 lim( ? 2 ? ? ? n ). ?2 ? n ?? 2 2 2 1 3 2n ? 1 1 1 3 5 2n ? 1 解：令 s n ? ? 2 ? ? ? n ，则 s n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2?1? 1? ? ? 2n ? 1 1 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 2 s n ? s n ? ? ? 2 ? ? ? n ?1 - n ?1 = ? * ? ? ? n ?1 , 从而 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 ?1? 1? ? ? ?2? sn ? 1 ? 1 1? 2n ?1n ?1 ? ? ?1? ? 1? ? ? ? n ? 1? 2n ? 1 2? ? ? ? n ?3 ? n ，∴ 原式= lim 1 ? n ?? ? 1 2 ? 2 1? ? ? 2 ? ? ? ?n9 用定积分求和式的极限 ?2 ?1 2 n ?1 n 例 10 设函数 f(x)在 ?0,1? 上连续，且 f(x) ? 0 ,求 lim n f ( ). f ( ) ? f ( )f( ) n?? n n n n 1 2 n ?1 n 解 令 T= lim n f ( ). f ( ) ? f ( ) f ( ) 于是 n?? n n n n1 ? 1 2 n ?1 n ? 1 ? 1 2 n ? lnT= ln ? f ( ). f ( ).? f ( ) f ( )? = ?ln f ( ) ? ln f ( ) ? ? ? ln f ( )? n ? n n n n ? n? n n) n ?n k 1 而 lim ln T ? lim ? ln f ( ). ? ? ln f ( x) dx n ?? n ?? n n 0 k ?1 1?2 ?1 2 n ?1 n 所以 lim n f ( ). f ( ) ? f ( ) f ( ) = ? ln f ( x)dx n?? n n n n 0110 利用定积分求极限 ?4 ? 利用定积分求极限可分为以下两种形式 1 2 3 n f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ??? f ( ) n n n 型. （1） lim n n?? n1 2 3 n f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ??? f ( ) 1 n n n = f ( x ) dx 定理 1 设 f(x)在 ?0,1? 上可积，则有： lim n ? n?? n 0 1 2 3 n ? ? ??? n 例 12 求 lim n n n n?? n?4 ?1 2 3 n ? ? ??? 1 n = xdx = 1 解：设 f(x)=x,f(x)在 ?0,1? 上可积。则 lim n n n ? n?? 2 n o1 2 n （2） lim n f ( ) f ( ) ? f ( ) 型 ?4 ? . n?? n n n?1 ? 1 2 n 定理 2 设 f(x)在 ?0,1? 上可积，则有 lim n f ( ) f ( ) ? f ( ) =epx ?? ln f ( x)dx? n?? n n n ?0 ?n例 13 求 limn ?? nn! n?4 ?解： limn ??1 2 n n! = lim n . ? n n?? n n nn令 f(x)=x,则有 limn ??1 2 n n! ?1 = lim n . ? =exp ? ln xdx = e n n?? n n n 0111 利用数列的递推公式求极限 ?3 ? 这种方法实际上包含有两种方法 （1）利用递推关系求出通项公式，然后求极限。这是基本的解法，它把极限的存在性与 求极限问题一起解决. 例 14 设 a1 =1， a2 ? 2 ，3 an?2 ? 4an?1 ? an ? 0 （ n ? 1) ，求 lim a nn ???3 ?解：递推公式可化为 3（ an?2 ? an?1 ) ? an?1 ? an 设bn ? an?1 ? an，那么bn ?1 1 ? bn 3所以，b1 ? a2 ? a1=1，1 1 1 b2 ? a3 ? a 2 ? , b3 ? a 4 ? a3 ? 2 ? bn ?1 ? a n ? a n ?1 ? n ? 2 3 3 3 1 1 1 1 a n ? a1 ? 1 ? ? 2 ? 3 ? n ? 2 将以上各式相加得 3 3 3 3 1 1 ? n ?1 3 ? 5 ? 1 . 1 ? lim a ? 5 ? an ? 1 ? n n?? 1 2 2 2 3n?2 1? 3（1） 如果数列极限存在设为 A，则根据递推公式求出 A.令数列的第 n 项记为 A+ an ，利 用无穷小和极限的关系，只需证明 an ? 0 （ n ? ?) ，便可确定数列的极限确实 存在且就为 A. 例 15 证明数列 2，2+1 ，2+ 21 1 2? 2， ? 极限存在并求出这个极限 ?3 ? .解：由题意知递推关系为 a n ?1 ? 2 ?1 1 ，若数列的极限存在并设为 A，则 A=2+ A an设 an ? 1 ? 2 ? ? n ，有递推关系得 1+ 2 ? ? n?1 ? 2 ?1 1? 2 ? ?n，即 ? n ?1 ?? n (1 ? 2 ) 1? 2 ? ?n而因为? n ? an ? (1 ? 2 ) ? 2 ?1? 2 1 ? ?n 2 n 21 1 ? (1 ? 2 ) ? 1 ? 2 ? an?1 an?1an ?1 ? 2 ? ? n ? 1 ? ? n ?1 ? ?但 2=1+2 ? ?1 ? ?1 ? 1 ? 2 ， 所 以?1 ?1 1 ? ? n ? n 即 ? n ? 0(n ? ?) 2 2由此推出数列的极限存在并且就为 1+ 212 利用级数收敛的必要条件求极限 ?1? 当计算的题目形式很复杂时，可以作一个级数，看其是否收敛.再根据收敛的必要条件计 算极限. 收敛的必要条件：若级数 ? u n 收敛，则 u ? 0 n (n ? ?)n ?1 ?nn 例 16 计算 lim n?? (n !) 2解：作级数 ?nn nn ，令 u ? n 2 (n !)2 n ?1 ( n!)?limu n?1 n ?? u n? 1? ?1 ? ? e n? ? lim ? ? lim ? 0 ?1 n ?? n ?? n ? 1 n ?1n有达朗贝尔判别法知 ?nn nn 收敛 . 又有级数收敛的必要条件 =0 lim ? 2 n?? (n !) 2 n ?1 ( n!)?参考文献?1? ? 2??3? ?4?陈传璋 金福临 朱学炎 数学分析（第二版）高等教育出版社 .1983.7 解红霞.《浅谈求极限的几种方法》.太原教育学院学报.2001.6 第 19 卷第 2 期 杨曼英 《极限的证明与求极限的方法》娄底师专学报 1994.第 2 期 唐守宪 《几种求极限的方法》沈阳师范学院学报 2003.1 第 22 卷第 1 期
求极限的方法总结_数学_自然科学_专业资料。求极限的方法总结 1.约去零因子求...1 x s? in 1) 8.应用两个重要极限求极限 1 1 sin x 两个重要极限是 ...学号: 0 学年论文 求极限的方法总结 Method of Limit 学院 学生 理学院 专业...若用到第一个重要极限来求极 限时,往往要利用三角形公式对变量进行变形,设法...关键词 :函数极限;计算方法;洛必达法则; 四则运算 要 :本文总结出了求极限的几种方法,比如用定义、公式、定理、性质求 The sum of the Method of Computing ...求极限的方法及例题总结_理学_高等教育_教育专区。求极限的方法及例题总结 ...n n lim 十一、利用幂级数的和函数求极限 当数列本身就是某个级数的部分和...考研数学:求极限的16个方法总结_研究生入学考试_高等教育_教育专区。凯程考研集训营,为学生引路,为学员服务! 考研数学:求极限的 16 个方法总结极限的保号性很...求极限的方法及例题总结_高等教育_教育专区。1.定义: 说明: (1)一些最简单的...nn 十一、利用幂级数的和函数求极限 当数列本身就是某个级数的部分和数列时, ...1 。 上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结,由此可以看出,求极限方法灵活多 样,而且许多题目不只用到一种方法,因此,要想熟练掌握各种方法,必须多做练习, ...高数中求极限的16种方法 - 高数中求极限的 16 种方法――好东西 假如高等数学是棵树木得话, 那么极限就是他的根, 函数就是他的皮。 树没有跟, 活不下去,...求极限的方法总结( 求极限的方法总结(一) 1. 利用两个重要极限求极限 1 + an ?1 (n = 1, 2?) , 2 例 1:设 a0 ? 1 an = n →∞ 求: (1)...极限计算方法总结极限计算方法总结隐藏&& 极限计算方法总结靳一东 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分。 求极限方法众多...
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这个数列求极限用夹逼准则怎么做啊
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用普通方法更为简单
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怎么用两边夹定理求这个极限？
夹逼定理：又称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理，是判定极限存在的两个准则之一，是函数极限的定理。定义如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件：当n&N0时，其中N0∈N*，有Yn≤Xn≤Zn，{Yn}、{Zn}有相同的极限a，设-∞&a&+∞则，数列{Xn}的极限存在，且当 n→+∞，limXn =a。证明：因为limYn=a，limZn=a，所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数ε，存在正整数N1、N2，当n&N1时 ，有〡Yn-a∣﹤ε，当n&N2时，有∣Zn-a∣﹤ε，现在取N=max{No，N1，N2}，则当n&N时，∣Yn-a∣&ε、∣Zn-a∣&ε同时成立，且Yn≤Xn≤Zn，即a-ε&Yn&a+ε，a-ε&Zn&a+ε，又因为 a-ε&Yn≤Xn≤Zn&a+ε，即∣Xn-a∣&ε成立。也就是说limXn=a函数的夹逼定理F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A，即x→Xo时, limF(x)=limG(x)=A则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有F(x)≤f(x)≤G(x)则当X趋近Xo,有limF(x)≤limf(x)≤limG(x)即　A≤limf(x)≤A故 limf(Xo)=A简单的说：函数A&B,函数B&C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X ，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理。应用设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a.若存在N，使得当n&N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a.夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限参考资料百度百科—夹逼定理：
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用两边夹定理求数列x(n)极限：已知数列x(n)首项为根号2，递推关系式为x(n+1)=根号下2+x(n) 。
提示：这个数列极限为2是不难知道。证明中这个数列右边&2不难看到，关键是左面怎么找道一个小于x(n)的数列，而且极限也是2。
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