高等数学 重积分 总结重积分简单应用

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高等数学BIT8-4重积分应用课件.ppt 74页
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期中考试时间定于5月5日，考试范围 6， 7， 8章 (具体时间，地点另通知）
含参积分连续性表明: 例. 定理3. (可导性) 例. 二、积分限含参变量的积分 定理4.(连续性) 定理5. (可微性) 利用复合函数求导法则及变限积分求导, 得 例3. 含参量反常积分 四、重积分的应用 1. 能用重积分解决的实际问题的特点 一、立体的体积 二、物体的质心 三、转动惯量 例.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量. 四、引力 五、小结 z y x Dxy ? ?
A=4A1=2(??2)a2 例2. 求由抛物线 z=x2 上从 x=1 到 x=2 的一段绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积. 解：?: z=x2+y2 Dxy: 1≤x2+y2≤2 z=x2 2 0 1 x y z Dxy ? 例3.
求半径相等且对称轴垂直相交的两个圆柱体的 公共部分的表面积. 解: 设两个圆柱体的方程为 利用对称性, 立体的表面积 其在第一象限内公共部分的表面积 如图所示。 部分的曲面方程为 投影区域为 得 由 由
设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于 ) , ( 1 1 y x ， ) , ( 2 2 y x ， , L ) , ( n n y x 处，质量分别 为 n m m m , , , 2 1 L ．则该质点系的 质心 的坐标为
? ? = = = = n i i n i i i y m x m M M x 1 1 ，
? ? = = = = n i i n i i i x m y m M M y 1 1 ． 2. 质心坐标的计算 设薄板形成的有界区域为 D , 密度 ? ( x , y ) 问题: 计算变密度平面薄板的质心坐标 将 D 划分成 n 个子区域 : 当 ??i 充分小时 ,密度 ? ( x , y )
在 ??i 上近似不变
则有 薄板的质心坐标: (1) 若 ?( x , y) = c , 此时 称为图形 D 的形心坐标 解 例 求曲面
与曲面 所界区域的重心坐标 ( 设密度 ? 为常数 ) 重心坐标
为 由于Ω关于 yz , xz 平面对称 利用柱面坐标计算三重积分 Ω在 xoy 平面上的投影区域 : ? 重心坐标
解: 只需求 质点 A 对于轴 l 的转动惯量 J
惯量可用积分计算.
质点组的转动惯量等于各质点 和 A 与转动轴 l 的距离 r 的平方的乘积, 即
的转动惯量之和, 故连续体的转动 等于 A 的质量 m
设 在该物体位于( x , y , z ) 处取一微元， 因此该物体 对 z 轴 的转动惯量:
对 z 轴的转动惯量为
其体积记为 dV ，质量为
到 z 轴的距离为 从而 为空间物体 V 的密度函数，求 V 对
z 轴的转动惯量.
类似可得: 对 x 轴的转动惯量 对 y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量 一般说来，若 V 中的点 ( x , y , z ) 到转动轴 l 的距离为 则转动惯量为 对坐标平面的转动惯量分别为 对 xy 平面的转动惯量 对 yz 平面的转动惯量 对 xz 平面的转动惯量 如果物体 D 是平面薄片,
则转动惯量的表达式是二重积分. 一般说来，若 D 中的点 ( x , y ) 到转动轴 l 的距离为 则转动惯量为 例4
求密度均匀的圆环 D 对于垂直于圆环面 中心轴的转动惯量 解 设圆环 D 为 密度为ρ，则 D 中任一点
( x , y ) 与转轴的距离为 于是转动惯量 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 则 球体的质量 设球
所占域为 (用球坐标)
* 往年期中试卷在公共邮箱
定义在闭矩形域上的连续函数, 其极限运
算与积分运算的顺序是可交换的.
含参积分可积性表明: 累次积分可交换求积顺序, 解: 由被积函数的特点想到积分: 机动
都在 证: 令 函数,
因上式左边的变上限积分可导,
且有 此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续
求导与求积运算是可以交换顺序的 . 机动
解: 考虑含参变量 t 的积分所确定的函数 显然,
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高等数学 理工类 第三版 吴赣昌 第10章 重积分
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