怎么用ps画函数图象2X十1二0画图象法解方程

根据所给的材料,设所求方程的根为,再表示出,代入原方程,整理即可得出所求的方程.
解:设所求方程的根为,则所以.把代入已知方程,得,故所求方程为;设所求方程的根为,则,于是把代入方程,得去分母,得.若,有,即,可得有一个解为,不符合题意,因为题意要求方程有两个不为的根.故,故所求方程为.
本题是一道材料题,考查了一元二次方程的应用,以及解法,是一种新型问题,要熟练掌握.
3748@@3@@@@一元二次方程的应用@@@@@@248@@Math@@Junior@@$248@@2@@@@一元二次方程@@@@@@50@@Math@@Junior@@$50@@1@@@@方程与不等式@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
第三大题,第4小题
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第三大题,第8小题
求解答 学习搜索引擎 | 请阅读下列材料:问题:已知方程{{x}^{2}}+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.解:设所求方程的根为y,则y=2x所以x=\frac{y}{2}.把x=\frac{y}{2}代入已知方程,得{{(\frac{y}{2})}^{2}}+\frac{y}{2}-1=0化简,得{{y}^{2}}+2y-4=0故所求方程为{{y}^{2}}+2y-4=0.这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为"换根法".请用阅读村料提供的"换根法"求新方程(要求:把所求方程化为一般形式):(1)已知方程{{x}^{2}}+x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别为己知方程根的相反数,则所求方程为:___;(2)己知关于x的一元二次方程a{{x}^{2}}+bx+c=0有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是己知方程根的倒数.一次函数_百度百科
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一次函数的性质一般指一次函数
一次函数是函数中的一种,一般形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),其中x是,y是因变量。特别地,当b=0时,y=kx(k为常数,k≠0),y叫做x的(direct proportion function)。一次函数及其图象是的重要内容,也是高中解析几何的基石,更是中考的重点考查内容。
一次函数函数由来
“函数”一词最初是由德国的数学家在17世纪首先采用的,当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂,即x2,x3,….接下来莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的变量.就这样“函数”这词逐渐盛行。
在中国,古时候的人将“函”字与“含”字通用,都有着“包含”的意思,清代数学家、天文学家、翻译家和教育家,近代科学的先驱者给出的定义是:“凡式中含天,为天之函数。”中国的古代人还用“天、地、人、物”4个字来表示4个不同的未知数或变量,显然,在李善兰的这个定义中的含义就是“凡是公式中含有变量x,则该式子叫做x的函数。”这样,在中国“函数”是指公式里含有变量的意思。
瑞士数学家雅克·柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义.1718年,雅克·柏努意的弟弟约翰·柏努意给出了函数了如下的函数定义:由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数.换句话说,由x和常量所构成的任一式子都可称之为关于x的函数。
1775年,把函数定义为:“如果某些变量:以某一种方式依赖于另一些变量.即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们把前面的变量称为后面变量的函数.”由此可以看到,由莱布尼兹到欧拉所引入的函数概念,都还是和解析表达式、曲线表达式等概念纠缠在一起。
首屈一指的法国数学家引入了新的函数定义:“在某些变数间存在着一定的关系,当一经给定其中某一变数的值,其它变数的值也可随之而确定时,则将最初的变数称之为‘自变数’,其它各变数则称为‘函数’”.在柯西的定义中,首先出现了“自变量”一词。
1834年,俄国数学家进一步提出函数的定义:“x的函数是这样的一个数,它对于每一个x都有确定的值,并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的”.这个定义指出了对应关系。即条件的必要性,利用这个关系以求出每一个x的对应值。
1837年德国数学家认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的,所以他的定义是:“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,则y是x的函数。”
德国数学家引入了函数的新定义:“对于x的每一个值,y总有完全确定了的值与之对应,而不拘建立x,y之间的对应方法如何,均将y称为x的函数。”
上面函数概念的演变,我们可以知道,函数的定义必须抓住函数的本质属性,变量y称为x的函数,只须有一个法则存在,使得这个函数取值范围中的每一个值,有一个确定的y值和它对应就行了,不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式。
由此,就有了我们课本上的函数的定义:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有惟一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。
一次函数表示方法
一次函数有三种表示方法,如下:
用含x的式子表示函数的方法叫做解析式法。
把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。
用图象来表示的方法叫做图象法。
一次函数解析式
一次函数的解析式为:
其中m是,不能为0;x表示自变量,b表示y轴截距。且m和b均为。先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的斜率,从而得出解析式。该解析式类似于直线方程中的斜截式。
一次函数基本性质
一次函数函数性质
1. y的变化值与对应的x的变化值成,比值为k
即:y=kx+b(k≠0) (k不等于0,且k,b为常数)。
2. 当x=0时,b为函数在y轴上的交点,坐标为(0,b)。
当y=0时,该函数图象在x轴上的交点坐标为(-b/k,0)。
3. k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanθ(角θ为一次与x轴正方向夹角,θ≠90°)。
4. 当b=0时(即 y=kx),一次函数图象变为,正比例函数是特殊的一次函数。
5. 函数图象性质:当k相同,且b不相等,图像平行;
当k不同,且b相等,图象相交于Y轴;
当k互为负倒数时,两直线垂直。
6. 平移时:上加下减在末尾,左加右减在中间。
一次函数图像性质
1. 作法与图形:通过如下3个步骤:
(1)列表:每确定自变量x的一个值,求出因变量y的一个值,并列表;
(2)描点:一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理,即在中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点。
一般地,y=kx+b(k≠0)的图象过(0, b)和(-b/k, 0)两点即可画出。
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线,一般取(0, 0)和(1, k)两点画出。
(3)连线:可以作出一次函数的图象——一条。因此,作一次函数的只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-与(
,0),(0,b))
2. 性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(
,0)的图象都是过原点。
3. 函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4. k,b与函数图象所在:
y=kx时(即b等于0,y与x成正比,此时的图象是一条经过原点的直线)
当k&0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k&0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
y=kx+b(k,b为常数,k≠0)时:
当 k&0,b&0, 这时此函数的图象经过一,二,三象限;
当 k&0,b&0, 这时此函数的图象经过一,三,四象限;
当 k&0,b&0, 这时此函数的图象经过一,二,四象限;
当 k&0,b&0, 这时此函数的图象经过二,三,四象限。
当b&0时,直线必通过一、二;
当b&0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图象。
这时,当k&0时,直线只通过一、三象限,不会通过二、四象限。当k&0时,直线只通过二、,不会通过一、三象限。
5. 特殊位置关系
当中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等。
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值的乘积为-1。
6. 直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示:
k&0,b&0:经过第一、二、三
k&0,b&0:经过第一、三、四象限
k&0,b=0:经过第一、三象限(经过原点)
结论:k&0时,图象从左到右上升,y随x的增大而增大。
k&0,b&0:经过第一、二、四象限
k&0,b&0:经过第二、三、四象限
k&0,b=0:经过第二、四象限(经过原点)
结论:k&0时,图象从左到右下降,y随x的增大而减小。
7. 将函数向上平移n格,函数解析式为y=kx+b+n,将函数向下平移n格,函数解析式为y=kx+b-n,将函数向左平移n格,函数解析式为y=k(x+n)+b,将函数向右平移n格,函数解析式为y=k(x-n)+b。
一次函数位置关系
当平面直角坐
两一次函数平行
标系中两直线平行时,其函数解析式中k的值(即)相等;
当平面中两直线垂直时,其函数解析式中k的值互为相反数。
关于平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为相反数的证明:
如图,这2个函数互相垂直,但若直接证明,存在困难,不易理解,如果平移平面直角坐标系,使这2个函数的交点交于原点,就会更简单。就像这一样,可以设这2个函数的表达式分别为;
y=ax, y=bx。
在x正半轴上取一点(z,0)(便于计算),做与y轴平行的直线,如图,可知OC=z,AC=a*z,BC=b*z,由可得:
OA=√z^2+(a*z)^2
OB=√z^2+(b^z)^2
又有OA^2+OB^2=AB^2,得
z^2+(az)^2+z^2+(bz)^2=(az-bz)^2 (因为b小于0,故为az-bz)
z^2+a^2*z^2+z^2+b^2*z^2=a^2*z^2-2ab*z^2+b^2*z^2
2z^2=-2ab*z^2
所以两个K值的乘积为-1。
注意:与y轴平行的直线没有函数解析式,与x轴平行的直线的解析式为常函数,故上述性质中这两种直线除外。
两一次函数垂直
一次函数学习方法
一次函数知识要点
1.要理解函数的意义。
2.联系实际对函数图象的理解。
3.随图象理解数字的变化而变化。
一次函数误区提醒
1.对一次函数概念理解有误,漏掉不为0这一限制条件;
2.对一次函数图象和性质存在思维误区;
3.忽略一次函数自变量取值范围;(有时x∈Z ,其图象表现为非连续性的点的集合)
4.对于一次函数中,把自变量认为不能等于零。
一次函数和方程的异同
1.一次函数和一元一次方程有相似的表达形式。
2.一次函数表示的是一对(x,y)之间的关系,它有无数对解;一元一次方程表示的是未知数x的值,最多只有1个值 。
3.一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的的根。
一次函数和不等式关系
从函数的角度看,解的方法就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围的一个过程;
从函数图象的角度看,就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合。
对应一次函数y=kx+b,它与x轴交点为(-b/k,0)。
当k&0时,不等式kx+b&0的解为:x&- b/k,不等式kx+b&0的解为:x&- b/k;
当k&0的解为:不等式kx+b&0的解为:x&- b/k,不等式kx+b&0的解为:x&- b/k。
一次函数函数应用
一次函数概括整合
(1)简单的一次函数问题:①建立的方法;②思想的应用。
(2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
一次函数常用公式
1.求函数图象的k值:(y1-y2)/(x1-x2),即k=tanα(α为直线与x轴正方向的夹角)
2.求与x轴段的:(x1+x2)/2
3.求与y轴平行线段的中点:(y1+y2)/2
4.求任意线段的长:√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]
5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式
两个一次函数 y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,令y1=y2,得k1x+b1=k2x+b2。将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1,y2=k2x+b2两式的任一式,得到y=y0,则(x0, y0)即为 y1=k1x+b1与y2=k2x+b2之交点坐标。
6.求任意2点所连线段的中点坐标:( (x1+x2)/2, (y1+y2)/2 )
7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0,则分子为0)
(x,y)的正负性为 +,+(正,正)时该点在第一象限
(x,y)的正负性为 -,+(负,正)时该点在第二象限
(x,y)的正负性为 - ,-(负,负)时该点在第三象限
(x,y)的正负性为 +,-(正,负)时该点在第四象限
8.若两条直线y1=k1x+b1,y2=k2x+b2互相平行,则k1=k2,b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1,y2=k2x+b2互相,则k1×k2=-1
10.设原为y=f(x)=kx+b
y=f(x-n)=k(x-n)+b就是直线向右n个单位
y=f(x+n)=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
y=f(x)+n=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=f(x)-n=kx+b-n就是向下平移n个单位
口诀:左加右减相对于X,上加下减相对于b。
11.直线y=kx+b与x轴的交点:(
,0),与y轴的交点:(0,b)
一次函数生活中的应用
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.如果水池抽水速度f一定,水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
3.当弹簧原长度b(未挂重物时的长度)一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+b(k为任意正数)。
一次函数常见题型
常见题型一次函数及其图象是的重要内容,也是高中解析几何的基石,更是中考的重点考查内容。
其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对大家的学习有所帮助。
一. 定义型
例1. 已知函数
是一次函数,求其解析式。
解:由一次函数定义知
,故一次函数的为y=-6x+3。
注意:利用定义求一次函数y=kx+b解析式时,要保证k≠0。如本例中应保证m-3≠0。
二. 点斜型
例2. 已知一次函数y=kx-3的图象过点(2, -1),求这个函数的解析式。
解: 一次函数 的图象过点(2, -1),
,即k=1。故这个一次函数的解析式为y=x-3。
变式问法:已知一次函数y=kx-3 ,当x=2时,y=-1时,求这个函数的解析式。
三. 两点型
例3.已知某个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4),则这个函数的解析式为_____。
解:设一次函数解析式为y=kx+b
故这个一次函数的解析式为y=2x+4。
四. 图像型
例4. 已知某个一次函数的图象如图所示,则该函数的解析式为__________。
解:设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数 的图象过点(1, 0)、(0, 2)
故这个一次函数的解析式为y=-2x+2。
五. 斜截型
例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行,且在y轴上的截距为2,则直线的解析式为___________。
解析:两条直线
。当k1=k2 ,b1≠b2时,
直线y=kx+b与直线y=-2x平行,
直线y=kx+b在y轴上的截距为2,故直线的解析式为y=-2x+2或y=-2x-2。
六. 平移型
例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图象解析式为___________。
解析:设为 y=kx+b,
直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行
直线y=kx+b在y轴上的截距为 b=1-2=-1,故图象解析式为
七. 实际应用型
例7. 某油箱中存油20升,油从管道中匀速流出,流速为0.2升/分钟,则油箱中剩油量Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系式为___________。
解:由题意得Q=20-0.2t ,即Q=-0.2t+20
故所求函数的为 Q=-0.2t+20(
注意:求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围,别忘了考虑变量存在等于0的情况。
八. 面积型
例8. 已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线解析式为__________。
解:易求得直线与x轴交点为
,所以|k|=2 ,即
故直线解析式为y=2x-4或y=-2x-4。
九. 对称型
与直线y=kx+b关于
(1)x轴对称,则直线
的为y=-kx-b;
(2)y轴对称,则直线
的解析式为y=-kx+b;
(3)直线y=x对称,则直线
的解析式为
(4)直线y=-x对称,则直线
的解析式为
(5)原点对称,则直线
的解析式为y=kx-b。
例9. 若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称,则直线l的解析式为____________。
解:由(2)得直线l的解析式为y=-2x-1。
十. 开放型
例10. 已知函数的图象过点A(1, 4),B(2, 2)两点,请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式,并简要说明解答过程。
(1)若经过A、B两点的函数图象是直线,由两点式易得y=-2x+6
(2)由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4,所以经过A、B两点的函数图象还可以是双曲线
,解析式为
(3)其它(略)
十一. 几何型
例11. 如图,在平面直角坐标系中,A、B是x轴
上的两点,
,以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点,若C点的坐标为(0, 3)。(1)求图象过A、B、C三点的二次函数的,并求其对称轴;(2)求图象过点E、F的一次函数的解析式。
解:(1)由的知识易得点A(-3√3, 0)、B(√3, 0),由可求得二次函数解析式为
,对称轴是x=-√3  (2)连结OE、OF,则
。过E、F分别作x、y轴的垂线,垂足为M、N、P、G,易求得E
,由待定系数法可求得一次函数解析式为
十二. 方程型
例12. 若方程x2+3x+1=0的两根分别为
,求经过点P
的一次函数图象的解析式
解:由根与系数的关系得
点P(11, 3)、Q(-11, 11)
设过点P、Q的一次函数的解析式为y=kx+b
故这个一次函数的解析式为
十三. 综合型
例13. 已知抛物线y=(9-m2)x2-2(m-3)x+3m的顶点D在双曲线
上,直线y=kx+c经过点D和点C(a, b)且使y随x的增大而减小,a、b满足方程组
,求这条直线的解析式。
解:由抛物线y=(9-m2)x2-2(m-3)x+3m的顶点D
在双曲线上,可求得抛物线的解析式为:
y1=-7x2+14x-12,顶点D1(1, -5)及y2=-27x2+18x-18
解方程组得
即C1(-1, -4),C2(2, -1)
由题意知C点就是C1(-1, -4),所以过C1、D1的直线是
;过C1、D2的直线是
一次函数其它相关
函数和方程
1. 从形式上看:一次函数y=kx+b, ax+b=0 。
2. 从内容上看:一次函数表示的是一对(x, y)之间的关系,它有无数对值;一元一次方程表示的是未知数x的值,最多只有1个值 。
3. 相互关系:一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。 例如:y=4x+8与x轴的交点是(-2, 0)、则一元一次方程4x+8=0的根是x=-2。
函数和不等式
解的方法:从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;
从函数图象的角度看,就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合。
对应一次函数y=kx+b,它与x轴交点为(-b/k, 0)。
当k&0时,不等式kx+b&0的解为:x&-b/k,不等式kx+b&0的解为:x&-b/k;
当k&0的解为:不等式kx+b&0的解为:x&-b/k,不等式kx+b&0的解为:x&-b/k。
与二元一次方程的关系
1. 以组ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=(-a/b)x+c/b的图象相同。
2. 二元一次方程组a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2的解可以看作是两个一次函数y=(-a1/b1)x+c1/d1和y=(-a2/b2)x+c2/d2的图象的交点。
把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式,然后作出它们的图象,找出两图像的交点,即可知的解。
二元一次方程有两个,而一次函数只是说未知数的次数为一次,并未限定几个变量,因此二元一次方程只是一次函数中的一种。
1. 面直角坐标系中分别描绘出以二元一次方程的解为坐标的点,这些点都在相应的一次函数的图象上。如2x+y=5有无数组值,像x=1,y=3;x=2,y=1;…以这些解为坐标的点(1, 3),(2, 1)…都在一次函数y=-2x+5的图象上。
2. 一次函数图象上任取一点,它的坐标都适合相应的。如在一次函数y=-x+2的图象上任取一点(3, -1),则x=3,y=-1一定是二元一次方程x+y=2的一组解。
课程教材研究所著.八年级上册数学书人教版:人民教育出版社 ,2013
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21、画出函数y=2x+6的图象,利用图象:(1)求方程2x+6=0的解;(2)求不等式2x+6>0的解.
19、利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时,我们采用的一种方法是:在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1,两图象交点的横坐标就是该方程的解.(1)请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法;(2)已知函数y=x3的图象(如图):求方程x3-x-2=0的解.(结果保留2个有效数字)
利用图象解一元二次方程x2+x-3=0时,我们采用的一种方法是:在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2+x-3图象,图象与x轴交点的横坐标就是该方程的解.也可以这样求解:在平面直角坐标系中画出y=x2和直线u=-x+3,两图象交点的横坐标就是该方程的解.根据以上提示完成以下问题:(1)在图(1)中画出函数y=x2-2x-3的图象,利用图象求方程x2-2x-3=0的解.(2)已知函数y=-的图象(如图2所示),利用该图象求方程-x2-x+6=0的解.
画出函数y=2x+4的图象,利用图象:(1)求方程2x+4=0的解;(2)求不等式2x+4>0的解集;(3)若-1≤y≤2,求x的取值范围.
画出函数y=2x+4的图象,利用图象:(1)求方程2x+4=0的解;(2)求不等式2x+4<0的解;(3)若-2≤y≤6,求x的取值范围.
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0.56那么方程x2+2x-10=0的一个近似根是(  )-4.1-4.2-4.3-4.4-学库宝
已知二次函数y=x2+2x-10,小明利用计算器列出了下表:
0.56那么方程x2+2x-10=0的一个近似根是(  )
A、-4.1B、-4.2C、-4.3D、-4.4
【考点】图象法求一元二次方程的近似根.

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