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高数 【下】二重积分------习题课
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第七章 重积分 二重积分习题课一、内容提要 （一）二重积分的概念、性质 1、定义D →0∫∫ f ( x, y)dσ = lim∑ f (ξ ,η )?σ λ2、几何意义：曲顶柱体的体积 3、性质i =1 i ini1（二）二重积分的计算 1 、直角坐标系中 (1) 积分区域D的类型： X―型区域，Y―型区域,一般区域分划。y = ?2( x)yy dx =ψ1( y)Dy = ?1( x)cDx =ψ2 ( y)o abxox2积分区域的不等式表示的是二重积分化为 二次积分确定积分限的基本依据。 (2) 积分顺序的确定 先积y还是先积x，要结合被积函数f (x,y) 及积分区域两个方面的特点加以考虑。 首先是“能积出”，其次是“易积出”。 如仅从积分区域的特点看，D是X ―型区域时 先积y；D是Y ―型区域先积x。D既是X ―型区域又是Y ―型区域时,选定限时不需分块或分块较少的积分顺序。3若 D: ? ?a ≤ x ≤ b??1( x) ≤ y ≤ ?2 ( x)φ2 ( x)y = ?2( x),则y∫∫ f ( x, y)dσ = ∫DbDy = ?1( x)adx∫φ1 ( x)f ( x, y)dyo a y dx =ψ1( y)bx?ψ1( y) ≤ x ≤ψ2 ( y) ,则 若 D: ? ?c ≤ y ≤ dD∫∫ f ( x, y)dσ = ∫Ddcdy∫ψ2 ( y)x =ψ2 ( y)ψ1 ( y)f ( x, y)dxco x4(3) 交换积分顺序 由所给的二次积分的顺序及积分限，确定积分 区域 D（画出图形），再按新的积分顺序将D用 新的不等式表出，即定出新的积分限。 2、利用极坐标计算二重积分 (1) 积分顺序通常是先 r后θ (2) D的极坐标表示5(1) 极 在 外 点 DD :?1(θ ) ≤ r ≤ ?2 (θ ),α ≤ θ ≤ βr = ?2(θ)Dβ(2) 极点在D 边界上时 的D :0 ≤ r ≤ φ(θ ),α ≤ θ ≤ β (3) 极点在D 内部时 的 D :0 ≤ r ≤ φ(θ ),0 ≤ θ ≤ 2π如 D 的边界是由直角坐标方 程:y =f (x) 给出，通常可从 几何意义去确定 D的极坐标表示 （图形是重要的）或利用 x=rcosθ，y=rsin θ进行变换。Oαr = ?1(θ)x r = ?2(θ) Dβr = ?1(θ)αOxr = ?(θ )o Dx6(3)坐 系 选 坐 标 的 取当D 边界用极坐标表示比较简单或D是 的 圆域、圆的一部分时,? x? ? y? 当被积函数形如f ( x + y )、f ? ?、f ? ?时 ? x? ? y? 可考虑选用极坐标系。2 27（三）有关二重积分的对称性的应用 1、若D关于y轴对称 即当(x,y)∈D时，必有(?x,y) ∈D，则∫∫ f ( x, y)dσ?0, ? = ?2 f ( x, y)dσ , ? ∫∫ ? D1其中D1是D的右半区域8D当f (?x, y) = ? f ( x, y)时 当f (?x, y) = f ( x, y)时2、若D关于x轴对称 即当(x,y)∈D 时，必有(x,? y) ∈D ， 则∫∫ f ( x, y)dσD?0, ? = ?2 f ( x, y)dσ , ? ∫∫ ? D1若f ( x, ? y) = ? f ( x, y) 若f ( x, ? y) = f ( x, y)D1是D的上半部分区域93、若D关于原点对称， 即当(x,y)∈D时，必有(? x,?y)∈ D，则∫∫ f ( x, y)dσD?0, ? = ?2 f ( x, y)dσ , ? ∫∫ ? D1若f (? x, ? y) = ? f ( x, y) 若f (? x, ? y) = f ( x, y)其中D1是D的上半部分（或右半部分）区域。104、若D关于直线 y =x对称， 即当(x,y)∈D时，必有(y,x)∈D，则∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f ( y, x)dσD1 = ∫∫ [ f ( x, y) + f ( y, x)]dσ 2DD（四）有关二重积分的一些证明题 中值定理、变上限积分、换元等111 (0,1) , 2 , 例 设D 是以 为中心 边长为 的正方形 1 D2, D3分别为D的内切圆和外接圆 1 2 2 ? x2 ? y2 f ( x, y) = (2 y ? x ? y )ey 2Ik = ∫∫ f ( x, y)dσ (k = 1,2,3)DkD 1 D3x试比较I1 , I2 , I3之大小。D2 1o解 函数f (x, y)连续f ( x, y) = [1? x ? ( y ?1) ]e2 2? x2 ? y2因为在D 内部f 因为在 2内部 (x,y)&0; & 所以有在D2外部f(x,y)&0 外部 &I3&I1&I2（也可用“≤”）。122 例 设f (x, y)是有界闭域D : x + y ≤ a 上的 , 连续函数 则求极限lim 1 2 ∫∫ f (x, y)dxdy 。 a→0 π a D 解 利用积分中值定理 1 1 f ( x, y)dxdy = 2 ? f (ξ ,η)σ 2 ∫∫ πa πa D 1 = 2 ? f (ξ ,η)πa2 = f (ξ ,η) ((ξ ,η) ∈ D) πa 1 ∴lim 2 ∫∫ f ( x, y)dxdy= lim f (ξ ,η) = f (0,0) a→0 a→0 π a D2 2 2(∵ f ( x, y)是连续函数)。133 , 例 把∫∫ f (x, y)dσ表为极坐标下的二次积分D其中D : x ≤ y ≤ 1, ?1 ≤ x ≤ 1 。2解 D的图形如下,将D分 成三个部分区域。sinθ π D2 D :0 ≤ r ≤ ,0 ≤ θ ≤ ; 1 2 cos θ 4 D3 D 1 1 π 3π D2 :0 ≤ r ≤ , ≤θ ≤ ; ?1 O 1 sinθ 4 4 sinθ 3π D3 : 0 ≤ r ≤ , ≤θ ≤ π 2 cos θ 4y 1x14∴∫∫ f ( x, y)dσ= ∑∫∫ f ( x, y)dσi =1 Diy 1D 3D2 D3?1OD 11x= ∫ dθ ∫4 03π 4πsinθcos2 θ 0f (r cosθ , r sinθ )rdrf (r cosθ , r sinθ )rdrf (r cosθ , r sinθ )rdr。15+∫π dθ ∫41 sinθ 0+∫π 3π d4θ∫sinθcos2 θ 0例4 计算下列二重积分(1)sin x3dxdy, D : x = y, x = 1, y = 0所围。 ∫∫Dy2 ? 22 ∫∫ （） eDdxdy, D : y = x, x = 1, y = 0 所围。yx= y解(1) D的图形如右。 应先积y1 x2I = ∫ dx∫ sin x3dy= ∫ x2 sin x3dx00 10Ox1 1 3 = ? cos x = (1? cos1)。 3 3 01612 ∫∫ （） edxdy, D : y = x, x = 1, y = 0 所围。 y D y= x D : y2 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 11 1 y2 ? 2y2 ? 2应先积xI = ∫ dy∫ 2 e0 ydxOy2 1 ? 2 0xy2 ? 2= ∫ (1 ? y )e2 01y2 ? 2dy = ∫ e? y 2 1 02dy + ∫ y ? dey 221=∫ e01 ?y 220dy + ye?∫ e01 ?dy = yey2 ? 2 1 0=e 。17?1 25 例 把积分∫a0dx∫x0x2 + y2 dy化为极坐标, 形式 并计算积分值。解 积分区域D如图所示y用极坐标表示为: a π D :0 ≤ r ≤ ,0 ≤ θ ≤ ; cosθ 4I = ∫ dx∫0 a x 2 2 0Do2 2axx + y dy = ∫∫ x + y dσa r ? rdr= 33= ∫ dθ ∫4 0πa cosθ 0∫π4 0a dθ = 3 cos θ 33∫π4 0sec θdθ318∵∫ sec3 θdθ = secθ tanθ ? ∫ tanθ ? secθ tanθdθ = secθ tanθ ? ∫ sec3 θdθ + ∫ secθdθ 1 1 3 ∴∫ sec θdθ = secθ tanθ + ln secθ + tanθ + C 2 2于是a3 1 ? a3 ? I = ? ? 2 + ln( 2 + 1)? = ? 2 + ln( 2 + 1)?。 ? 6 ? 3 2196 例 计算I = ∫∫ y2dxdy, 其中D是由x轴和摆线D? x = a(t ? sin t) L: ? (0 ≤ t ≤ 2π ) ? y = a(1? cos t) y 的一拱所围成的区域。 2π a y( x) 2a 2 解I= dx y dyy=y(x)1 2π 3 = ∫ a (1 ? cos t )3 ? a(1 ? cos t )dt 3 0 32 4 π 8 t a4 2π 4 8 t = ∫ 2 sin dt = a ∫0 sin udu(u = ) 3 2 3 0 220∫ 1 π = ∫ 300 2 a∫0y3 ( x)dxoπa2πa xI =∫2π a0dx∫y( x)0y dy232 4 π 8 t = a ∫ sin udu(u = ) 0 3 2 64 4 64 4 π 8 = a ∫ 2 sin tdt = a ? I8 0 3 364 3 7 5 3 1 π 35 4 = a ? ? ? ? ? = πa 。 3 8 6 4 2 2 1221例7计算下列二重积分?x2 + y2 ≤ 2ay 2 (1) ∫∫ ( x + y) dσ , D : ? 2 (a & 0) 2 D ?x + y ≥ ayx y (2) ∫∫ ( 2 + 2 )dσ , a b D D : x2 + y2 ≤ R2(a & 0, b & 0)。2 2(3)∫∫ x ? y dxdy,D : 0 ≤ x ≤ 2, y ≤ 1 。D22解(1) ∫∫ ( x + y)2 dσDy 2a a DD : x2 + y2 ≤ 2ay, x2 + y2 ≥ ay(a & 0), 因为区域D关于y轴对称 2xy关于 y 为奇函数Ox所以∫∫ 2xydσ = 0。D∴∫∫ ( x + y)2 dσ = ∫∫ ( x2 + y2 )dσD D23又因为x + y 关于 x 为偶函数,2 2y 2a a O D若设D 为D x ≥ 0的部分,则 中 1∫∫ ( x + y) dσ = ∫∫ ( x2 D D2+ y )dσ2= 2∫∫ ( x + y )dσ = 22 2 D1∫π2 0dθ ∫2a sinθxa sinθr ? rdr2415a 2 2 4 4 4 4 = ∫ (16a sin θ ? a sin θ )dθ = 2 4 0π∫π2 0sin4 θdθ15a4 3 1 π 45πa4 = ? ? ? = 。 2 4 2 2 3224x y D : x2 + y2 ≤ R2 (2) ∫∫ ( 2 + 2 )dσ , a b D 因为积分区域 D 关于 x 轴, y 轴, 原点都对称, 所以有2 222y D o R x1 2 2 I = ∫∫ x dσ = ∫∫ y dσ = ∫∫ ( x + y )dσ。 2D D D 2 2 x y 1 1 2 2 ∴∫∫ ( 2 + 2 )dσ = 2 ∫∫ x dσ + 2 ∫∫ y dσ a b a D b D D1 1 = ( 1 + 1 ) 1 ( x2 + y2 )dσ = ( 2 + 2 )I 2 2 ∫∫ a b 2D a b25x y ∴∫∫ ( 2 + 2 )dσ a b D22y DR1 1 1 2 = ( 2 + 2 )∫ dθ ∫ r ? rdr 0 2 a b 01 1 1 R = ( 2 + 2 ) ? 2π 2 a b 442πoRx26(3)∫∫ x ? y dxdy,D :0 ≤ x ≤ 2, y ≤ 1 。用直线y =x、y =?x 、 y =0将D分成四个小区域。Dy 1 D1 o ?1 D3 D4 D2y=x2 y=?xxD关于x轴对称，被积函数 关于y为偶函数。I = ∫∫ x ? y dxdyD=2∫∫x ? y dxdy27D ∪D2 1y 1 D1 D2y=xI = ∫∫ x ? y dxdyDo ?1 D3 D42 y=?xx= 2∫∫ y ? xdxdy + 2∫∫ x ? ydxdyD1 D2= 2∫ dx∫011xy ? xdy + 2∫ dy∫012yx ? ydx288 例 计算I = ∫∫ x[1+ sin yf (x2 + y2)]dxdy, 其中DD是由y = x3, y = 1, x = ?1所围区域 f 为连续函数。 , y 解法一 利用对称性。 D1 作曲线y =－x3，将区域D分成两部分D1 和D2D1关于y轴对称 D2关于x轴对称?1D2o1x因为连续函数 xsinyf (x2+y2)关于变量 x、 y分别 都是奇函数， x 关于变量x是奇函数，所以有29y∵∫∫ x sin yf ( x2 + y2 )dxdy = 0D 1x sin yf ( x2 + y2 )dxdy = 0 ∫∫D2D1 ?1 D2 o 1 x∫∫ xdxdy = 0 dxdy ∴I = ∫∫ x[1+ sin yf ( x + y )] dxdy = ∫∫ xdxdy + ∫∫ x sin yf ( x + y )]D 122D22DD= ∫∫ xdxdy =∫∫D ∪D2 1xdxdy0= ∫∫ xdxD2= ∫ dx∫ 3?1 xD 0?x32 xdy = ?2∫ x dx = ? 。 ?1 5430解法二 设F(u)是f (u)的一个原函数，y∫∫ xsin yf ( xD1 ?1 11 y32+ y )dxdy2= ∫ dy∫ xsin yf ( x2 + y2 )dx?1= ∫ sin yF( x + y ) dy2 2 ?1 ?11 y3?1o1x= ∫ sin y[F( y + y2 ) ? F(1 + y2 )]dy?112 3= 0 （被积函数为奇函数）2 所以 I = ∫∫ xdxdy = ? 。(不能先积y ) 5 D319 , 例 设f (x, y)连续 D是由y = 0, y = x2, x = 1所围成的区域 且有 ,f ( x, y) = xy + ∫∫ f ( x, y)dxdy(1)yy = x2求f ( x, y)。D解 积分区域D如图所示。因为D是一有界闭区域, f ( x, y)连续, 所以∫∫ f ( x, y)dxdy为一定值I。DOx32设I = ∫∫ f ( x, y)dxdy,则 f ( x, y) = xy + ∫∫ f ( x, y)dxdyDyy = x2= xy + I ∴I = ∫∫ ( xy + I )dxdyDDO1 2x1 = ∫∫ xydxdy + I ∫∫ dxdy ∵∫∫ dxdy = ∫0 x dx = 3 D D D∫∫ xydxdy = ∫ dx∫0 D1x201 1 xydy = ∴I = , 12 8从而得1 f ( x, y) = xy + 。 83310 , 例 已知 f (x)dx = A, f 为连续函数 求证 ∫0 1 1 A2 I = ∫ dx∫ f ( x) f ( y)dy = 0 x 2证明 区域D如图所示。 将所给二次积分写成 二重积分，有y1DoI = ∫ dx∫ f ( x) f ( y)dy0 x11x= ∫∫ f ( x) f ( y)dxdyD再将所给的二次积分中x、y对换34I = ∫ dx∫ f ( x) f ( y)dy0 x11y= ∫∫ f ( x) f ( y)dxdyD D′o= ∫ dy∫ f ( y) f ( x)dx0 yD 11x= ∫∫ f ( x) f ( y)dxdy1 ∴I = [∫∫ f ( x) f ( y)dσ + ∫∫ f ( x) f ( y)dσ ] 2 D D'D'1 1 1 1 = ∫∫ f ( x) f ( y)dxdy = ∫ f ( x)dx∫ f ( y)dy 0 2 D∪D' 2 0 A2 = 235也可借用原函数证明：设F(x)是f (x)的一个 原函数，则 A = 1 f ( x)dx = F(1) ? F(0)∫I = ∫ dx∫ f ( x) f ( y)dy = ∫0 f ( x)F( y) x dx111010x= ∫ f ( x)[F(1) ? F( x)]dx01= F(1)∫ f ( x)dx ? ∫ F( x) f ( x)dx0 01 1 2 = F(1)[F(1) ? F(0)] ? F ( x) 0 2 1 2 1 2 = F (1) ? F(1)F(0) + F (0) 2 2 2 A 1 2 = [F(1) ? F(0)] = 。 2 2361111 , 例 设f (x) 三阶导数连续 且 的 1 f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = ?1, f (2) = ? , 2 试计算积分I = ∫ dx∫02x0(2 ? x)(2 ? y) f ′′′( y)dy。y解积分区域如图2 x 0 0I = ∫ dx∫2 0(2 ? x)(2 ? y) f ′′′( y)dy= ∫ dy∫ (2 ? x)(2 ? y) f ′′′( y)dxy2Do= ∫ (2 ? y) f ′′′( y)dy∫ (2 ? x)dx0 y22x37I = ∫ dx∫02x0(2 ? x)(2 ? y) f ′′′( y)dy2 y3 2y= ∫ (2 ? y) f ′′′( y)dy∫ (2 ? x)dx02Do=∫202 (2 ? y) f ′′′( y) ? (2 ? y) dy 3x2 2 ′′′( y)(2 ? y)2 dy = ∫ f 3 0 2 2 2 2 = [(2 ? y) f ′′( y) 0 + 2∫ (2 ? y) f ′′( y)dy] 0 3 2 2 2 = [4 + 2(2 ? y) f ′( y) 0 + 2∫ f ′( y)dy] 0 3 2 2 = [4 + 4 + 2 f ( y) 0 ] = 6 。 33812 [ , 例 设f (x)为闭区间a, b]上的连续函数 试利用二重积分证明不等式[∫ f ( x)dx] ≤ (b ? a)∫ f 2 ( x)dx2 a abby b证明 选择积分区域如右D2∵0 ≤ ∫ dx∫ [ f ( x) ? f ( y)] dxba b abbao= ∫ dx∫ [ f 2( x) ? 2 f ( x) f ( y) + f 2( y)]dxa b a b2 b b b a a a ab b 2abbx= ∫ dx∫ f ( x)dx ? 2∫ dx∫ f ( x) f ( y)dx + ∫ dx∫ f 2 ( y)dxa a= 2(b ? a)∫ f 2 ( x)dx ? ?2∫ f ( x)dx? ? a ? a ? ? b b 2 , 移项后 消去2 [∫ f ( x)dx] ≤ (b ? a)∫ f 2 ( x)dx 。a a39例13 设 f (x)是[0，1]上的正值连续函数， 且单调减少，求证 y∫ xf ( x)dx ≤ ∫ f ( x)dx ∫ xf ( x)dx ∫ f ( x)dx2 2 0 1 0 0 1 01111 （）o1x证明 在题设条件下， 1 式 ? 在题设条件下， ） （∫10f ( x)dx∫ xf ( x)dx ? ∫ f ( x)dx∫ xf 2 ( x)dx ≥ 02 0 0 0111? I = ∫∫[ yf 2( x) f ( y) ? yf ( x) f 2( y)]dxdyD2 = ∫∫ yf ( x) f ( y)[ f ( x) ? f ( y)]dxdy ≥ 0 （ ）D40其中D : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 。将上式中的x、y对换，有D1 I = ∫∫ yf ( x) f ( y)[ f ( x) ? f ( y)]dxdy ≥ 0yI = ∫∫ [ xf 2 ( y) f ( x) ? xf ( y) f 2 ( x)]dydx o = ∫∫ xf ( y) f ( x)[ f ( y) ? f ( x)]dxdyDD1x1 = ∫∫ f ( x) f ( y)[ f ( x) ? f ( y)]( y ? x)dxdy 2D 由于f (x)单调减且正值，知有f ( x) f ( y)[ f ( x) ? f ( y)]( y ? x) ≥ 0所以I ≥ 0，即(1)式成立。4114 例 空间区域由曲面 (z ? a)?(x) + (z ? b)?( y) , = 0 柱面 x2 + y2 = R2, 平面 z = 0所围 其中?(t) 、 , , 是一正值连续函数 a, b, R为正常数 求所围立体 的体积。解 ∵(z ? a)?(x) + (z ? b)?( y) = 0,?(t) & 0 aφ ( x ) + bφ ( y ) z= &0 φ ( x) + φ ( y) aφ( x) + bφ( y) dxdy ∴V = ∫∫ ( x) +φ( y) D φ又因为D关于直线y = x对称，于是有42aφ( x) + bφ( y) dxdy ∴V = ∫∫ φ( x) +φ( y) D1 ? a?( x) + b?( y) a?( y) + b?( x) ? = ∫∫ ? + ?dxdy 2 D ? ?( x) + ?( y) ?( y) + ?( x) ?1 = ∫∫ (a + b)dxdy 2D=π2(a + b)R243
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高数（二重积分的应用）急！！！！谢谢了！
设f（u）为可微函数，且f（0）=0，求lim┬(t→0^+ )⁡〖(∬_(x2+y^2≤t^2)▒f(√(x^2+y^2 ))dxdy)/(πt^3 )〗
麻烦高手把过程能说一下吗？思路说一下也行
(2/3)*f'(0)
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全部答案（共1个回答）
意义就是两个积分区间围成的面积。
算法上就按照二重积分的定义做就行了：将二重积分转化成累次积分。
当被积函数是1的三重积分时，就是三个积分区间围成的体积。道理是一样的。
画出区域来看,是否是两条函数曲线围成。x型需要区域是左右两条平行于y轴的直线才行
高数课本上不是很多吗?又简单又基础哦~
三角形闭区域D在带型域1≤x+y≤2＜e之间，所以0≤ln(x+y)＜1，于是ln(x+y)＞[ln(x+y)]^3，
所以∫∫ln(x+y)dσ＞∫∫[ln(...
二重积分的几何意义：曲顶柱体的体积，此题的顶即z=1-x-y，
在xOy面的投影为y=1-x。
解：∫&0,1&dx∫&0,1-x&(1-x-y)dy
名词形式，大多数都是。动词原形较少用到
答: 全站仪定向定反了测得的坐标如何转换成正确的？
答: 学习要学好，有三个重要因素：一是兴趣，二是技巧，三是毅力。
先培养孩子对数学的兴趣，比如在孩子解出难题的时候给予表扬，告诉孩子你真聪明、可以把数学学好等，树立孩...
答: 科学总体上分为两大类－－－自然科学与人文科学。
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四六级英语拓展高数二重积分应用题，急在线等！！_百度知道
高数二重积分应用题，急在线等！！
高数:求由z＝x的平方＋y的平方和z=2y所围成的立体的体积
可以转换成柱坐标系，则0≤ρ≤2cosθ,0≤θ≤π,ρ²≤z≤8,然后积分∫∫∫ρdρdθdz,我计算的结果是7π，就是这样了，不知道还有什么要问的没有。
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