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二元函数连续、偏导数与可微的关系
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二元函数连续、偏导数与可微的关系
第２３卷第３期 ２００７年９月沧州师范专科学校学报Ｊｏｕｍａｌ ｏｆ Ｃａｎｇｚｈｏｕ Ｔｅａｃｈｅｒｓ’ＣｏｌｌｅｇｅＮｏ．３、，＇０１．２３ Ｓｅｐ．．２００７二元函数连续、偏导数与可微的关系杨凯１，王焕东２（１．洞ＨＥ：１２－－争计经系团委，河北沧州０６１００１；２．河北工专数学教研室，河北沧州０６１００１）摘要：一元函数可微与可导等价，可导必连续，但二元函数并非如此。给出了二元函数的连续、偏倒数、 可微之间的关系，并给出了简洁全面地证明。 关键词：二元函数；连续；偏导数；可微；Ｄ＠（ｘ）） 中图分类号：０１７４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８４７６２（２００７）０３－００３１－０２ 二元函数的连续、偏导数、可微关系如图：其中Ｐ＝√（缸）２＋（缈）２，即１ｉｍ＃Ａｚ－Ａ ｘ－ＢＡｙ：０玺：８√（缸）２＋（△ｙ）２匪困Ｉ出简洁全面证明二、三个概念之间的关系③毒①定理ｌ若ｚ＝，（ｘ，Ｙ）在点（ｘ，Ｙ）可微，则ｚ＝，（ｚ，Ｙ）在点（ｚ，），）处一定连续。证明：因为ｚ＝ｆ（ｘ，Ｙ）在点（五Ｙ）可微，即 △ｚ＝，（ｘ＋Ａｘ，Ｙ＋△ｙ）一，（ｚ，Ｙ）＝ＡＡｘ＋ＢＡｙ＋ｏ（ｐ）④偏导数连续所以当Ａｘ－÷０，Ａｙ一０时，有＆一Ｏ，即ｚ＝ｆ（ｘ，Ｙ）在该点连续。证毕。有些教材有类似的图形但都没有ｉ羊细的解释证明，在此给 一、二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 二元函数的连续、偏导数、可微的概念都是用极限定义的， 不同的概念对应不同的极限。考虑函数厂（工，），）在（确，蜘）点的 情形，则它们分别为：１．③ｊ②定理２若Ｚ＝ｆ（ｘ，Ｙ）在点（ｘ，Ｙ）可微，则ｚ＝，（ｘ，Ｙ）在点＠，），）处的两个偏导数都存在，且Ａ＝警，Ｂ警。ｏ％ｃｒｙ证明：因为ｚ＝ｆ（ｘ，Ｙ）在点（五Ｙ）可微，即 Ａｚ＝，（工＋Ａｘ，Ｙ＋Ａｙ）一厂（ｘ，）Ｉ）ｉｉ ＡＡｘ＋Ｂ△岁＋ｏ（ｐ） 若令上式中的△ｙ＝０，则ｆ（ｘ，Ｙ）在点（托，湘）连续定义为：ｌｉｍ，（ｚ，Ｙ）＝ｆ（ｘｏ，ｙｏ）Ｘ－．－－）ＸＯ所以ｌｉｍ』！兰±垒！ｚ２二』！兰！塑：ｈｍ―ＡＡｘ＋―ｏ（１△ｄｃ）Ｉ：ＡＡｘｅ０＆＝ｆ（ｘ＋Ａｘ，Ｙ）一ｆ（ｘ，Ｙ）＝ＡＡｘ＋ｏ（］酬）ＡｘＡｘ－－｝ＯＹ－｝ＹｏＡｘ五（％，ｙｏ）：１ｉｍ―ｆ（ｘ，ｙｏ）－―ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）Ｌ（ｘｏ，ＹＯ）２血ｌｉ＿÷ｍｏＡｘＹ－－＞Ｙｏ２．ｆ（ｘ，Ｙ）在点（ｚｏ，Ｙｏ）存在偏导数定义为：即当：Ａ，类似地可证当：Ｂ。证毕。 ｄｘｄ》④ｊ③裳理３若Ｚ＝，（工，Ｙ）在点（工，Ｙ）处的两个偏导数连续，则ｚ＝厂（ｚ，Ｙ）在该点一定可微。 证明 将＆ 写成如下形势：：ｆ（ｘｏ＋血，ｙｏ）一ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）Ａｚ＝ｆ（ｘ＋Ａｘ，Ｙ＋缈）一ｆ（ｘ，ｙ）或＾（ｘｏ，Ｙｏ）：１ｉｍ丛丝坚丛坠堂Ｙ―ｙＯｆｙ（ｘｏ，ｙｏ）：ｎｍ丝必兰坚逝世Ｙ－＇＊Ｙｏ＝［厂（ｚ＋Ａｘ，Ｙ＋△ｙ）一ｆ（ｘ＋Ａｘ，ｙ）］＋［厂（ｘ＋缸，ｙ）一厂（工，ｙ）】由假设Ｓｘ及ｉｙ都存在，所以当△工，Ａｙ充分小时，将中值定 理（见［ｅｌＰ。。）应用于上式中每―个差，就有凸）３．ｆ（ｘ，Ｙ）在点（Ｘｏ，ｙｏ）可微定义为：△ｚ＝ｆ（ｘｏ＋Ａｘ，ｙｎ＋Ａｙ）一ｆ（ｘｏ，ｙｏ）＝ＡＡｘ＋Ｂ△ｙ＋ｏ（ｐ），ａｚ＝ｆｒｏ＋厶，ｙ＋ＯｉＡｙ）Ａｙ＋ｆ。（ｘ＋０２Ａｘ，．ｙ）ｍｃ＋收稿日期：２００７－０３－０３作者简介：杨凯（１９７９一），男，河北泊头人，河北工专计算机经贸系教师。万方数据 　?３ｌ?（０＜０１＜１，０＜０２＜１）不可微（否则，厶（Ｏ，ｏ），，ｖ（０，ｏ）必均存在）。此例说明，连又由假设＾及，ｖ在点（ｘ，ｙ）皆连续，因而有 ，ｖ（ｘ＋Ａｘ，Ｙ＋ｑ△），）＝＾（ｘ，），）＋ｏｃ＾（工＋０２ａｘ，Ｙ）＝＾（ｘ，Ｙ）＋卢 且当Ａｘ＿÷０，ａｙ－÷０时，口，卢都趋于零。于是续不一定可导即①―＿至鸟②，连续不一定可微即①―马③。而当缸－÷ｏ，却＿÷ｏ时，＿了垒笔；磐一ｏ、／（缸）。＋（△ｙ）‘例ｌ：ｆ（ｘ，Ｙ）＝｛∥＋Ｙ‘△ｚ＝￡（ｘ，ｙ）Ａｘ＋Ｙｙ（ｘ，ｙ）△ｙ＋ｆｌａｘ＋ｏ缓ｙ例３：，‘ｚ＇ｙ’２１Ｉ（工２＋），２）ｓｉｎ击，工２＋），２≠ｏ工＋ｙ。，工：＋ｙ２：。有定义可知，ｆ（ｘ，Ｙ）在点（五Ｙ）可微。证毕。 在上述关系中，反方向均不成立。下面用返例，逐一讨论。￡（０，０）：躲丝掣＝磐！≥＝磐商ｎ专＝。ｆ（ｘ，ｙ）一，（０＇０）＝（ｘ２＋ｙ２）ｓｍ≯专』丢，工２＋ｙ２≠ｏ【ｏ，ｘ２＋）＇２＝ｏ由Ｘ，Ｙ的对称性，，ｙ（０，０）２０。所以取Ａ＝＾（０，ｏ）＝Ｏ，Ｂ＝矗（ｏ，ｏ）＝０，则同样加’ｏ）＝器型学＝牌喾＝ｏ删，０）＝牌盟笔≯盟＝牌罢＝ｏ所以ｆ（ｘ，Ｙ）在（０，０）点可导 我们在让（工，Ｙ）沿直线Ｙ＝ｈ趋于（０，０），则枷ｌｉｍ冉ｘｙ≯＝棚ｌｉｍ蒜％２去ｙ＝ｋｘ＝Ａｘ＋Ｂｙ＋（ｘ２＋ｙ２）ｓｉｎ去＝Ａｘ＋Ｂｙ＋ｏ（√ｘ２＋ｙ２） （因为――节―坐：ｌｉｍ√石２＋ｙ２ ｓｉｎ去： ：舞厢咖击：０Ｘｚ √ｆ＋ｙ２ 黜 茹。 所以（工２＋ｙ２）ｓｉｎ击＝Ｄ（√ｚ２＋），２））ｃ鼬枷喾１ｌｉｍ＾―＇Ｖ＋。 Ｙ故ｆ（ｘ，），）在（Ｏ，０）点可微。它将随ｋ的不同而具有不同的值，因此极限１ｉ啦＿‘！了不存且ａｆ（ｏ，ｏ）＝以（ｏ，Ｏ）ｄｘ＋厂ｙ（Ｏ，Ｏ）ｄｙ＝０；瑞ｘ‘＋），‘在，即ｆ（ｘ，Ｙ）在（０，０）点不连续 又因为连续是可微的必要条件，不连续一定不可微，所以 ｆ（ｘ，Ｙ）在（０，０）点不可微。驰劫：ｐｎ南一寿ｃｏｓ南，∥．０【Ｏ，Ｘ２＋），２－－－此例说明，偏导数存不一定连续即②―至壁堕ｊ①，偏导数 存不一定可微即②―至壁蜜一③显然躲正（ｘ，ｙ）＝２ｘｓｉｎ了÷≯＋要ｃ。ｓ专不存在故Ｊｉｍ．Ｌ（ｘ，），）不存在，从而Ｌ（ｘ，ｙ）在（０，Ｏ）点不连续。由ｙ－－－＞Ｏ例２：，（ｘ，）Ｉ）：厨，这是上半圆锥，显然在（ｏ，ｏ）点连续，ｌｉｍｘ－－－｝Ｏｘ，Ｙ的对称性，，ｖ（五ｙ）在（Ｏ，ｏ）点也不连续。此例说明函数ｆ（ｘ，Ｙ）＝０＝ｆ（Ｏ，０）在某点可微．其偏导数不一定连续即③―至壁童一④。．烈ｒ，ｔ ７Ｉ、仟 但丝：Ｑ２二丝堕 ：』￡：｛１’工＞？，故厶（ｎＬ），ｎＬＩ）不存一４－１＝ｏ ＝一２≮Ｉ－１，Ｘ＜０’’“一。Ｊ 工 工【责任编辑：尤书才】由工Ｙ的对称性，，ｙ（ｏ，ｏ）不存在。从而，ｆ（ｘ，）Ｉ）在（ｏ，ｏ）点?３２?万方数据 　二元函数连续、偏导数与可微的关系作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 杨凯， 王焕东 杨凯(河北工专计经系团委,河北,沧州,061001)， 王焕东(河北工专,数学教研室,河北,沧州 ,061001) 沧州师范专科学校学报 JOURNAL OF CANGZHOU TEACHERS'COLLEGE ) 0次相似文献(10条) 1.期刊论文 何鹏.俞文辉.雷敏剑 二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究 -南昌高专学报)本文指出二元函数诸性质间的关系源于二元函数对极限的两种不同推广:二重极限和累次极限,并详细阐明了连续、偏导数存在、可微、偏导连续四 者间的关系.在文章的最后,作者对偏导连续推出可微这一命题的条件作了减弱并予以证明.2.期刊论文 张德利.郭彩梅.ZHANG De-li.GUO Cai-mei 一类二元函数连续性的等价刻画及在三角模上的应用 -模 糊系统与数学)关于二元函数的连续,经典数学分析中有熟知的结果,即&如果二元函数连续,则必关于每个单变量连续.反之,则未必&.本文证明对于单调且对称的二 元函数而言,其二元连续等价于单变量连续,并重新定义了三角模的连续.3.期刊论文 黄激珊 如何判定二元函数的可微性 -考试周刊2010,&&(26)判定二元函数的可微性,关键要理解二元函数连续、偏导数存在、方向导数存在、偏导数存在且连续这四个概念与可微之间的关系.本文着重分析这 四种关系,给出判定二元函数在某点可微的方法.4.期刊论文 樊红云.张宏民.FAN Hong-yun.ZHANG Hong-min 视一元函数为二元函数时的极限与连续 -长春师范学 院学报（自然科学版）)本文讨论了视一元函数u=φ(x)为二元函数u=f(x,y)=φ(x)时的极限与连续.5.期刊论文 郭素霞 二元函数连续与其按单变量连续的关系 -衡水师专学报)若二元函数连续,则二元函数按每一个单变量必连续;反之,二元函数按每一个单变量都连续,但二元函数不一定连续.而补充某些条件后,二元函数就 连续.6.期刊论文 齐小忠 关于二元函数二阶混合偏导数的注记 -许昌学院学报)大多数数学分析教科书讨论二元函数的二阶混合偏导数f'xy(x,y)、f&(x,y)与求导次序有无关系时,都是在其连续的情况下得出与次序无关的结论的 .本文给出了较弱的与求导次序无关的几个结论.7.期刊论文 张仁华.秦建红 二元函数可微的又一充分性条件及证明 -科技信息2009,&&(35)本文对常见教材中二元函数可微的条件进行修改,给出了一个二元函数可微的又一个充分性条件,因而可得二元函数可微的另一个定理.8.期刊论文 闫彦宗 关于二元函数分析性质的讨论 -宜宾学院学报)讨论了二元函数的重极限与累次极限、可微性与偏导数的存在性及函数的连续性、重积分与累次积分之间的关系.9.期刊论文 张骞 二元函数全连续和偏连续关系的探讨 -太原城市职业技术学院学报2005,&&(1)文章根据二元函数全连续性的定义给出了偏连续的定义,并进一步讨论了它们之间的关系.10.期刊论文 赵辉 Mathematica的图形功能在二元函数极限与连续中的应用 -安徽电子信息职业技术学院学报 )在高等数学中,二元函数极限与连续的概念是个难点,本文利用Mathematica软件作出二元函数在案区域的三维图形和等高线,可以更加直观的观察二 元函数当时的变化情况,加深对此概念的理解.本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_czsfzkxxxb-zhb.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：6-48b6-a2b1-9dce00bc1dba 下载时间：日
10 3.1.2 二元函数偏导存在,但不一定连续的举例证明... 11 3.2 二元函数可微性与偏导数存在性的关系及例证... 12 3.2.1 可微与偏导存在关系的举例证明...二元函数的连续性、偏导及可微之间的联系二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的定义 1.二元函数的连续性 定义 设 f 为定义在 D 上的二元函数, P 0 ? D...多元函数的连续及可微――强化我们知道当二元函数的两个偏导数都连续时,函数可...1 一元函数和多元函数可微的联系和区别 一元函数,对于函数 y ? f ( x) ...然 后推广到多元函数,由此来总结有关多元函数的连续性、偏导存在及可微性之 间的关系,并对二元函数具体的实例详细加以证明,建立它们之间的关系图, 这样对有效...多元函数的偏导数 - 多元函数的偏导数 以二元函数为例。 二元函数的偏导数存在、 函数连续、 可微是二元函数微分学的三个重要概念。 . 对于学习数学分析的人来...微积分习题课一(多元函数极限、连续、可微及偏导)题目__理学_高等教育_教育专区。习题课(多元函数极限、连续、可微及偏导)一.累次极限与重极限 1 1 ...3.函数连续、偏导数存在与可微的关系我们以二元函数 z ? f ?x, y ?为例, 验证多元函数连续, 偏导数存在与可微的关系, 取 P0 ?x0 , y0 ? . 极限 ...二元函数z=f(x,y)在(x0,y0)点满足的关系是( )。 A.可微(全微分存在)可导(一阶偏导数存在)连续B.可微可导连续C.可微...多元函数分析性质之间的关系 本文主要介绍了二元函数连续性,偏导性存在及可微性的基础知识,对它们分 别进行了总结证明和进一步的讨论,总结出这三个概念之间的关系,...多元函数的可微性_数学_自然科学_专业资料。摘要对于多元函数的连续性,偏导存在性,可微性等概念和它们之间因果关系的研究是 多元微分学中的一个难点.此文在分别...
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问多元函数偏导数连续与函数可微的关系!还有函数可微与连续、可导的关系呢?急吖!可否给予更充分的证明呢？可以追加分数喔
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1 偏导数存在与连续之间没有任何必然联系2 可微 可以分别推出连续和偏导数存在 反之不成立3 偏导数联系与可微之间的独立关系：偏导数连续推出可微 可微推不出偏导数连续~
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两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分.
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