高数 请问从1到2是怎么画的积分么？ 谢谢 要有详细过程!!_百度知道
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想问这个是怎么积分出来的
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高等数学 ,二重积分 图中这两步怎么倒的？求详解！
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这就是将二重积分转化为单层积分来计算的。积分域为x^2+y^2=r^2,将x^2+y^2代入式中，d6=d(x^2+y^2)=d(r^2)=rdr。就得到了第二步。再计算出来
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用极坐标系用凑微分法可积分的结果
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。计算I= 2重积分（xsinθ/y）dxdy，其中D是由y=x,y=x2围成的平面区域。
点击图片，可以看到清晰大图。
其他答案（共1个回答）
先求两线的交点坐标：
x^2-x-2=0,x1=-1,x2=2.
画示意图，知所求面积
S=∫(x+2-x^2)dx
=(x^2/2+2x-x^3/3)|
假设D_2是右半部分。因为对称所以∫∫_{D_1}f(x,y)dxdy = ∫∫_{D_2}f(x,y)dxdy, 因此 ∫∫_{D}f(x,y)dxdy = ...
该二重积分的值可计算如下:
∫_D ydxdy
=∫_0^1 ydy ∫_0^(y^2+1) dx
=∫_0^1 y(1+y^2)dy
= 1/4 * (1+y...
详细解答如下：
答: 全站仪定向定反了测得的坐标如何转换成正确的？
答: 对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评
答: 很简单,水沸腾也就100度左右,而纸要燃烧的着火点远远高于100度,在纸远达不到着火点的时候,纸锅上的水就因为水对流把热量带走,使纸锅底的温度远低于纸着火点温度...
答: 中国人的数学理应比外国人好！ 这是我的个人观点，这在于中国人对数字的发音是单音，因此，对数字的记忆较为简单，提高了学习数学的效率！
而科学的发展，往往受制于社会...
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多重积分的方法总结
多重积分的方法总结引言： 高等数学是一门严密的学科，在学习高数过程中，我认为应用最为广泛的是 积分，高数中积分包含了曲面积分、曲线积分、二重积分和三重积分等，它们在 许多学科中、生活中应用比较广泛，比如，要计算某个不规则物体的体积就可以 运用积分来求解，很多方面均可以转化成微积分的面积，体积的思维来求，这就 是它的优点，这种面积和体积是一种抽像的概念了，到了更多重积分又会有更多 和意义。那么，下面我将以二重积分和三重积分的定义、计算方法、主要应用公 式和二重积分与三重积分的关系为核心来介绍多重积分。 （其中计算方法将通过 例题来解释） 二重积分 定义： 设二元函数 z=f(x,y)定义在有界闭区域 D 上,将区域 D 任意分成 n 个子 域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi 表示第 i 个子域的面积.在Δδi 上任取一 点(ξi,ηi),作和 lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的 直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数 f(x,y)在区 域 D 上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即 ∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi） 这时,称 f(x,y)在 D 上可积,其中 f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ 称为被积表达 式,dδ 称为面积元素, D 称为积分域,∫∫称为二重积分号. 同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平 面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如 无线电中也被广泛应用。 二重积分的计算方法 1 直角坐标系中累次积分法 对于直角坐标系下的二重积分主要是对于区域的划分， 可以分为如下两类区域 来计算。平面点集 D= ? ( x , y ) | y 1( x ) ? y ? y 2 ( x ), a ? x ? b ? 为 x 型区域；平面点集 D=? ( x , y ) | x1( y )x? x ? x 2 ( y ), c ? y ? d? 为 y 型区域。y 1( x ), y 2 ( x ) 在 ? a , b ? 上 连 续 ， 则型区域:若??Df ( x, y )b a dx ?在 x 型区域 D 上连续，其中y 2( x) f ( x, y )dy y 1( x )2f ( x, y )d?=?试计算：I= ?? x 2 e ? y d ? 的值。D解：画出区域图 1 只能用先对 x 后先对积 y 分，则 I= ?1 0dy ? x e2 0y?y2dx= ? 3 011y e3?y2dy由分部积分法，即可算得：图1 I= 例 2 试将 ??D1 6?1 3ef ( x, y )d?化为两种不同次序的累次积分，其中 D 是y= x 由，y ? 2 ? x 和 x轴所围成的区域.图2 解 首先画出积分区域 D 如图 2， 并求出边界曲线的交点 （1,1） ， （0,0） （2,0） 及 。 则 ?? f ( x , y ) d ? = ?? f ( x , y ) d ? ? ?? f ( x , y ) d ?DD1D2=? 如果先积 x后 积 y , 则 为1 0dx ?x 0f ( x, y )dy ??21d x?2? xf ( x, y )dy0??Df ( x, y )d?=?1 0dy ?2? yf ( x, y )dxy2 极坐标中的累次积分法 当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为 用极坐标变换 T= ? ?x ? r cos ?f (x ? y )2 2时，采? y ? r sin ?0 ? r ? ? ? , 0 ? ? ? 2? ,于是二重积分极坐标形式为??Df ( x, y ) d ? ???Df ( r cos ? , r sin ? ) r d r d ? .例 1 把 ??D2 2f ( x, y )d?化成极坐标系中的累次积分，其中 D 是由圆x ? y ? 2 R y所 围 成 的 区 域解 在极坐标系中画出区域 D 如图并把 D 的边界曲线 x 化为极坐标方程， 即为2+ y2 = 2Ryr ? 2 R sin ?作射线 ? = 0 与 ? = ? 夹紧域 D .在 [0, ?] 中任作射线与域边界交两点 r1 = 0，r2 = 2Rsin? ， 得??Df ( x, y ) d ? ???Df ( r cos ? , r sin ? ) r d r d ? .??? 0d??2 R sin ? 0f ( r cos ? , r sin ? ) r d r .f ( x ? y )d? ,2 2例 22 2在极坐标系中，计算 二重积分 ??D2D 是由 x 2 + y 2? R1 和2x + y ? R 2 ( R 1 ? R 2 )所围成的环形区域在第一象限的部分。解 在极坐标系中画出区域 D ， 如下图， 并把 D 的边界曲线化为极坐标方程， 即 为r ? R 1, r ? R 2,作两条射线 ? = 0 与 ? = 的边界交两点?2夹紧积分域 D . 在 0 与?2之间 任作一射线与域 Dr ? R 1, r ? R 2, 所以有?? ( xD2? y )d?2???D? 2 0r r d r?2R2?如果积分域 D 是整个环形，显然有?d??r dr ?3? 8R1( R 2 ? R 1 ),44?? ( xD2? y )d? ?2??Dr r d r d?2??2?d?R20?R2r dr? 2 [ r ] R24 R3R13? 2? ? ? ? 2r dr ? ? R4 1R11(R4 2).三重积分 定义： 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在，则 称此极限为函数 f(x y z)在闭区域上的三重积分。 体积元素 设三元函数 z=f(x,y,z)定义在有界闭区域 Ω 上,将区域 Ω 任意分成 n 个子 域 Δvi(i=1,2,3,…,n),并以 Δvi 表示第 i 个子域的体积.在 Δvi 上任取一点 (ξi,ηi,ζi),作和 lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi,ζi)Δvi).如果当各个子域的直径 中的最大值 λ 趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数 f(x,y,z)在区域 Ω 上的三重积分,记为∫∫∫f(x,y,z)dv,即 ∫∫∫f(x,y,z)dv=lim n→+∞ （Σf(ξi,ηi,ζi)Δδi） ，其中 dv 叫做体积元素。 三重积分的计算方法 一般来说利用 4 种方法可以解答大多数三重积分的问题，并且它们之间有着 密切的联系。而同一题可以有多种解法，有简有繁，这就要因题而议了。 这四种方法分别是： 1、坐标面投影法要注意围成闭区间的上下两个区面在一个轴平面的投影应该 相同 2、坐标轴投影要注意 Dz (平行于 XY 面的横截面)容易用一个变量 Z 表示。 3、使用柱面参数要特别注意 Z 的上下限的确定，其上下限主要取决此区域是 曲面的那一段（哪一部分曲面） 4、球面坐标法。 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分） 和一个二重积分。从顺序看：z2如果先做定积分 ?z1f ( x , y , z ) dz，再做二重积分 ??DF ( x, y )d?，就是“投影法” ，也即“先一后二” 。步骤为：找 ? 及在面 x o y 投影域 D。多 D 上一点（ x , y ） “穿 线”确定 z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分） ；进而按二重积分的计 算步骤计算投影域 D 上的二重积分，完成“后二”这一步。z2????f ( x , y , z ) dv ???D[ ? f ( x , y , z ) dz ]d ?z1c2如果先做二重积分 ??Dzf ( x, y, z )d?再做定积分 ? F ( z ) dz ，就是“截面法” ，也即c1“先二后一” 。步骤为：确定 ? 位于平面 z ? c 1 与 z ? c 2 之间，即 z ? [ c 1 , c 2 ] ，过 z 作平行于 x o y 面的平面截 ? ，截面 D z 。区域 D z 的边界曲面都是 z 的函数。计算 区域 D z 上的二重积分 ??Dzf ( x, y, z )d?，完成了“先二”这一步（二重积分） ；进c2c2而计算定积分 ? F ( z ) dz ， “后一” 完成 这一步。 ???c1 ?f ( x , y , z ) dv ?? [ ??c1 Dzf ( x , y , z )d ? ] dz当被积函数 f（z）仅为 z 的函数（与 x , y 无关） ，且 D z 的面积 ? ( z ) 容易求出时， “截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下 几点考虑：将积分区域 ? 投影到 x o y 面，得投影区域 D(平面) （1） D 是 X 型或 Y 型，可选择直角坐标系计算（当 ? 的边界曲面中有较多的平 面时，常用直角坐标系计算） （2） D 是圆域（或其部分） ，且被积函数形如f (x2? y ), f (2y x) 时，可选择柱面坐标系计算（当 ? 为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算） （3） ? 是球体或球顶锥体，且被积函数形如 f ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 时，可选择球面坐 标系计算 以上是一般常见的三重积分的计算方法。对 ? 向其它坐标面投影或 ? 不易作 出的情形不赘述。 三重积分的计算方法例题： 1：计算三重积分 I ? ??? zdxdydz ，其中 ? 为平面 x ??y ? z ? 1 与三个坐标面围成的闭区域。 解 1“投影法” 1.画出 ? 及在 x o y 面投影域 D.x ? 0, y ? 0, z ? 02. “穿线” 00 ? x ?1 0 ? y ?1? x? z ?1? x ? yX型D：0 ? x ?1∴?：0? y ?1? x0 ? z ?1? x ? y11? x1? x ? y11? xI ?????zdxdydz??0dx?0dy?0zdz ??0dx?01 2(1 ? x ? y ) dy ?21 21? [( 1 ?0x ) y ? (1 ? x ) y22?1 3y ]031? xdx?11? (1 ? 60x ) dx ?31 6[x ?3 2x2? x ?31 4x ]0 ?4 11 24解 2“截面法”1.画出 ? 。2. z ? [ 0 ,1] 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 ? 得 D z 。 D z 是两直角边为 x , y 的直角三角形， x ? 1 ? z , y ? 1 ? z1 1 1I ?????zdxdydz?? [ ?? zdxdy ] dz ?0 Dz?0z [ ?? dxdy ] dz ?Dz? zS0Dzdz1?? z( 2011xy ) dz ? ? z01 2(1 ? z )( 1 ? z ) dz ?11 2? (z ? 2z 20? z ) dz ?31 242：计算 ???x2? y dv2，其中 ? 是 x 2? y2? z2和 z=1 围成的闭区域。解 1“投影法” 1.画出 ? 及在 x o y 面投影域 D.?z ? x2 ? 2 y2 ? 由?z ? 1消去 z，? 1即得x2? y2D： x 2? y2?12. “穿线”x2? y2? z ? 1，X型D： ??? 1 ? x ? 1 ? ?? ? 1? x2? y ?1? x2∴?? 1 ? x ? 1 ? ? 2 2 ? : ?? 1 ? x ? y ? 1 ? x ? 2 2 ? x ? y ? z ?1 ?3.计算1 1? x 1 1 1? x2????x2? y dv ?2? dx ??1 ? 1? x2dy?x ?y2 2x2? y dz ?2? dx ??1 ? 1? x2x2? y (1 ?2x2? y )dy ?2?6解 2“截面法” 1.画出 ? 。2.z ? [ 0 ,1]x2过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 ? 得 D z ：2? y? z2Dz：? 0 ? ? ? 2? ? ?0 ? r ? z? 0 ? ? ? 2? ? ? : ?0 ? r ? z ?0 ? z ? 1 ?用柱坐标计算4.计算：1 1 2? z 2 1????x2? y dv ?2? [ ??0 Dzx2? y dxdy ] dz ?2? [ ? d? ? r0 0 0dr ] dz ?? 2? [ 3 r013] 0 dz ?z2 31??z03dz ??6在曲面积分中用到了二重积分计算的方法， 而在区间闭曲面的曲面积分和三重积 分之间存在着一定的关系，这就是高斯公式 高斯公式 定义：设空间区域 V 由分片光滑的双侧封闭曲面 S 围成.若函数 P，Q,R 在 V 上连 续偏导数，则??? ( ? xV?P??Q ?y??R ?z)dxdydz=? ??SP dydz ? Q dzdx ? R dxdy（1）其中 S 取外侧.（1）式称为高斯公式 例 1 计算? ??Sy ( x ? z )dydz ? x dzdx ? ( y ? xz 0dxdy ,2 2其中 S 是边长为 a 的正立方体表面并取外侧 解 应用高斯公式，所求曲面积分等于??? [( ? x ( y ( x ? z )) ?V?? ?y(x ) ?2a? ?za( y ? x z )] d x d y d z2= ??? ( y ?Vz )dxdydz ??a 0dz ? dy ? ( y ? x )dx0 0=a?a 0(ay ?1 2a )dy ? a .2 4还有大量的习题可以运用高斯公式来计算，它给我们的计算带来了方便，它 是联系空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的纽带。 总结： 二重积分、三重积分和多重积分三者差不多，形式上是一个数值函数乘以微 元（面积或体积），再积分。所以可以用它们求质量，等等。只要是已知被积区 域每点对应一个数值，而且需要求整个被积区域的这个数值的和（就是积分）， 就用二重或多重积分。其计算方法就是拆成几个普通定积分，这需要写出被积区 域的范围，这就是一个区域，一般做多重积分就是要把被积区域化成这种形式， 有一个坐标的范围是常数到常数， 另一个坐标的范围中只包含前一个坐标和常数， 再另一个坐标的范围中只包含常数和前两个坐标……再依次积出来就好了。 其实我个人觉得后边这些二重，多重，曲线，曲面，本质都差不多，都是每点 对应一个函数，再求和，所以需要做积分，只不过这个函数可能是数值函数，也 可能是向量值函数。 当每点对应一个向量值函数时， 还要考虑方向对乘积的影响， 这些在计算的时候可以反映出来。以上就是我对多重积分方法的总结！
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