高数二重积分极坐标的二重积分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-04-22 08:34 标签： 二重积分的极坐标转化
专升本高数（8）
二重积分一般有三个考点
给定所求二重积分方程、所围区域D的方程求二重积分的值
这是考的最多的一点
计算?xydσ ，其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域
一般做题思路：
1、闭区域自然是封闭的，在画图之前先求出交点（1,1）（2,2），画出图像
如上图所示，D即是要求的闭区域
2、把D看做X型区域，然后就开始求x，y的范围
因为把D看做X型区域所以1≤x≤2(注意x的上下限都是常数)，1≤y≤x（特别注意D区域因为y=x在上面，y=1在下面所以得到这样的关系）
另外如果把D区域看做Y型区域（可以把上面的图像逆时针旋转九十度）
把D看做Y型区域，然后就开始求x，y的范围
因为把D看做Y型区域所以1≤y≤2(注意y的上下限都是常数)，y≤x≤2（特别注意D区域因为y=2在上面,x=y在下面所以得到这样的关系，与X型区域作比较）
交换二重积分的积分次序
简单的二重积分（x与y的上下限中只有一个函数）
交换下列二重积分的积分次序
由题意，积分区域D为Y型区域，1≤y≤2, 0≤x≤lny
转换成X型区域 想象下 lny函数必定在上面，所以x的最大值在y=2处取得，即x≤ln2
得0≤x≤ln2
x≤lny 化简得 y≥ex
得ex≤y≤2
复杂的二重积分
交换下列二重积分的积分次序
由题意得，积分区域D为X型区域，0≤x≤1，x≤y≤2-x
如上图所示，需要分段，用直线y=1分成D1和D2两部分
D1={(x,y)| 0≤y≤1,0≤x≤y}
D2={(x,y)| 1≤y≤2,0≤x≤2-y}
使用极坐标求二重积分
一般是求圆和圆弧的闭区域
将常规的x,y分别换成ρcosθ,ρsinθ
假设积分局域D可以用不等式 α≤ρ≤β，φ1≤θ≤φ2 ，其他条件忽略
具体步骤不写了~高数叔：二重积分极坐标例题文章转载自网络，作者观点不代表本网站立场，如需处理请联系客服
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高数叔：高数考研每题一日8极坐标变换计算二重积分中积分限转换的一种简单方法--《数学学习与研究》2016年17期
极坐标变换计算二重积分中积分限转换的一种简单方法
【摘要】：在用极坐标变换法计算二重积分时,对于如何转换积分限是难点,本文提出了一种容易理解和掌握的方法.
【作者单位】：
【分类号】：O172.2
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400-819-9993高数｜二重积分大法之对称性
关于二重积分的题目，第一个难点是选择用直角坐标还是极坐标，然后就是确定积分限，但很多时候，当我们已经耗尽内力把积分限确定好之后，刚要计算却发现被积函数是类似
这种令人发指的面相，是可忍叔不可忍，叔可忍姑姑也忍不了！不过小伙伴还是要记住一点，出题的也是人，有些也可能有人性！越是复杂的外表，越是有一颗单纯的心，还记得那年在大明湖畔，叔叔讲过定积分中关于积分限具有对称性的法则么：
当定积分的积分限关于原点对称时：
若f(x)为偶函数，则
若f(x)为奇函数，则
二重积分中，当积分限具有对称性时，也具有类似的法则。今天我们就来讨论二重积分的对称性问题，以缓解大家想一巴掌踢死出题人出题人的心情~
如果你还是对这个公式没印象，请点里看题型五
二重积分对称性大法，对解决积分区域具有对称性的题目非常有帮助。大家在做题时，首先要观察积分区域是否有对称性，再看被积函数或被积函数的某一部分是否具有奇偶性。我们也要注意的是，并不是积分限对称就一定可以用这个方法，比如积分
其积分区域为
虽然积分区域具有明显的对称性，但是被积函数并没有奇偶性，所以很无奈不能使用对称性大法。
最后说个题外话，最近很多人问叔学数学的人是不是都没有对象，这种带有诅咒的逻辑叔也是醉了。叔是一个圆域，各种对称，各个角度都能找到另一半，好么！生活是一个奇函数，找不到另一半是因为你忘记了自己的原点在哪里！
—— 二重积分大法之对称性 ——
姑姑最近很辛苦呢
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x,y换成r, θ表示而已一般设成x=r cos θy=r sin θdx，dy，都可以通过全微分得到（雅可比当然也行）
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