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概率论与数理统计试题
概率论与数理统计复习大纲 一、概率论的基本概念 内容随机事件与样本空间 概率 条件概率 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念和基本性质 古典型概率 几何型概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考点 1．掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率， 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立 性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算．二、随机变量及其分布 内容随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布考点 1．理解随机变量的概念，理解分布函数 F ( x) ? 机变量相联系的事件的概率计算方法．P{ X ? x}(?? ? x ? ?) 的概念及性质，掌握与随2． 理解离散型随机变量及其概率分布的概念及性质， 掌握 0－1 分布、 二项分布 B(n,泊松 （Poisson p) 、2分布． 3． 理解连续型随机变量及其概率密度的概念及性质， 掌握均匀分布 U ( a, b) 、 正态分布 N (? , ? 指数分布，其中参数为?? e ? ? x f ( x) ? ? ?0 若x&0 若x ? 0)、? (? ? 0) (注： 此时? ? 1/ ? )的指数分布E (? )的概率密度为4．掌握离散型随机变量函数的分布律求法，掌握连续型随机变量函数的概率密度求法 (分布函数法和单调函 数下的公式法)．三、多维随机变量及其分布 内容多维随机变量及其分布函数 分布 两个随机变量的函数的分布 考点 1．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度及其性质，掌握二维随 机变量的边缘分布（离散型下边缘分布律、连续型下边缘密度的计算） ． 2．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的判别方法，理解随机变量的不相 关性与独立性的关系．3. 掌握与二维随机变量相联系的事件的概率计算方法. 4．掌握由两个离散型随机变量的联合分布律求其函数的分布律方法,会根据两个连续型随机变量的联合 概率密度求其函数的概率密度．5. 会计算二维随机变量分量的条件分布. 四、随机变量的数字特征 内容随机变量的数学期望（均值）方差及其性质 随机变量函数的数学期望协方差、相关系数及其性质 考点 1 理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的 基本性质，并掌握常用分布的期望、方差．2．掌握随机变量及其函数的数学期望求法． 3. 利用协方差或相关系数判别随机变量是否不相关. 五、大数定律及中心极限定理 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布、条件分布 随机变量的独立性和不相关性 二维连续型 随机变量的概率密度、边缘概率密度、条件概率密度 常见二维随机变量的1考点 1. 掌握切比雪夫不等式的表达．2. 了解大数定律和中心极限定理内容. 六样本及抽样分布 内容总体 个体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩 ? 分布2t 分布分位点正态总体的常用抽样分布 考点 1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义 为 S2 ?1 n ? ( X i ? X )2 n ? 1 i ?12 22．了解产生 ? 变量、 t 变量的典型模式；了解标准正态分布、 ? 分布、 t 分布的上侧 ? 分位点. 3．掌握单个正态总体的样本均值、样本方差的抽样分布（定理 1-3）,了解两个正态总体均值差和方差 比的抽样分布（定理 4）. 七、参数估计 内容点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 区间估计 考点 1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法和最大似然估计法． 3. 掌握估计量的无偏性和有效的概念并会做出判断. 4. 掌握单个正态总体均值和方差的双侧置信区间求法. 5. 了解单个正态总体均值和方差的单侧置信区间求法， 了解两个正态总体均值差、 方差比的置信区间求 法. 八、假设检验 内容原假设 备择假设 检验统计量 否定域 检验水平 显著性 两类错误 考点 1. 了解假设检验的两类错误. 2. 掌握单个正态总体方差已知和未知两种情况下关于均值的双边检验， 了解对应问题的单边检验． 3. 掌 握单个正态总体方差的双边检验，了解该问题的单边检验． 4. 了解两个正态总体均值差和方差比的假设检验. 5. 知道假设检验和参数区间估计的对偶关系. 概率论与数理统计复习知识点 第一章 随机事件及其概率 一、随机事件及其运算 1. 样本空间、随机事件 ①样本点：随机试验的每一个可能结果，用 ? 表示；②样本空间：样本点的全集，用 ? 表示； 注：样本空间不唯一.③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用 A,B,C,?表示； ④必然事件就等于样本空间；不可能事件 (?) 是不包含任何样本点的空集； ⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。 2. 事件的四种关系A ? B ，事件 A 发生必有事件 B 发生； ②等价关系： A ? B ， 事件 A 发生必有事件 B 发生，且事件 B 发生必有事件 A ③互不相容（互斥） ： AB ? ? ，事件 A 与事件 B 一定不会同时发生。①包含关系：发生；2④互逆关系（对立） ：A ，事件 A 发生事件 A必不发生，反之也成立；互逆满足 ??A ? A ? ? ? AA ? ?注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。 ） 3. 事件的三大运算A ? B ，事件 A 与事件 B 至少有一个发生。若 AB ? ? ，则 A ? B ? A ? B ； ②事件的交： A ? B或AB ，事件 A 与事件 B 都发生；①事件的并： ③事件的差：A-B ， 事件 A 发生且事件 B 不发生。 4. 事件的运算规律①交换律：A ? B ? ②结合律： ( A ? B) ? C ③分配律：B ? A, AB ? BA? A ? ( B ? C ), ( A ? B) ? C ? A ? (B ? C )A ? ( B ? C) ? ( A ? B) ? ( A ? C ), A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C )④德摩根（De Morgan）定律A ? B ? AB, AB ? A ? B? Ai ? ? Ai ,对于 n 个事件，有i ?1 n i ?1 nnn?A ??Ai i ?1 i ?1i二、随机事件的概率定义和性质 1．公理化定义：设试验的样本空间为 ? ，对于任一随机事件 A ( A ? ?), 都有确定的实值 P(A)，满足下列性质：(1) 非负性： P( A) ? 0; (2) 规范性： P(?) ? 1; (3)有限可加性(概率加法公式)：对于 k 个互不相容事件 A1 , A2 ?, Ak ，有 P( 则称 P(A)为随机事件 A 的概率. 2 ． 概 率 的 性 质 ①?i ?1kAi ) ?? P( A ) .i i ?1kP(?) ? 1, P(?) ? 0②P( A) ? 1 ? P( A)③ 若A? B， 则P( A? )P( 且 B) ,P ? ( B ? A)P B)A ? ? P( ④B )( A ? P( ) P( A) ? P( B) ? P( AB)P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( AB) ? P( BC ) ? P( AC ) ? P( ABC )注： 性质的逆命题不一定成立的. 如若 P( A) ? （×） 若 P( A) ? 0 ， 则 A ?? 。 （×） P( B), 则 A ? B 。三、古典概型的概率计算古典概型：若随机试验满足两个条件： ① 只有有限个样本点,② 每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型, P ( A) 典型例题：设一批产品共 N 件，其中有 M 件次品，从这批产品中随机抽取 n 件样品，则m m n?m (1)在放回抽样的方式下, 取出的 n 件样品中恰好有 m 件次品（不妨设事件 A1）的概率为 P( A1 ) ? C n M ( N ? M ) .?k n。Nn(2)在不放回抽样的方式下, 取出的 n 件样品中恰好有 m 件次品（不妨设事件 A2）的概率为P( A2 ) ?m m n?m Cn AM AN ?M n AN?m n?m CM ? CN ?M n CN.3四、条件概率及其三大公式 1.条件概率： P( B |A) ?P( AB) P( AB) , P( A | B) ? P( A) P( B)2.乘法公式：P( AB) ? P( A) P( B | A) ? P( B) P( A | B) P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )? P( An | A1 ? An ?1 )n n4.全概率公式： 若 B1 , B2 , ?, Bn满足? B ? ?, B Bi i i?j? ?, i ? j， 则 P( A )? ?P ( B ) i ( P| A) Bii ?1。5. 贝 叶 斯 公 式 ： 若 事 件B1 , B2 ,?, Bn和A.如 全 概 率 公 式 所 述 ， 且P(A) ? 0，则 P( Bi | A) ?P( Bi ) P( A | Bi )? P( B ) P( A | B )i ?1 i in五、事件的独立 1. 定义： 若P( AB) ? 推广：若 2. 在P( A) P( B), 则称A,B独立 .A1 , A2 ,?, An 相互独立， P( A1 ? An ) ? P( A1 )?P( An )? A, B? , ? A, B? , ? A, B? , ? A, B? 四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也独立。P( AB) ? P( A) P( B) 注：n 个事件的两两独立与相互独立的区别。 （相 P( BC ) ? P( B) P(C ) P( AC ) ? P( A) P(C )k3. 三个事件 A, B, C 两两独立：互独立 ? 两两独立，反之不成立。 ）4.伯努利概型： P n (k ) ? Cn 第二章 一、随机变量的定义pk qn?k , k ? 0,1,2,?, n, q ? 1 ? p.随机变量及其分布设样本空间为 ? ，变量 X ? X (? ) 为定义在 ? 上的单值实值函数，则称 X 为随机变量，通常用大写英 文字母，用小写英文字母表示其取值。 二、分布函数及其性质 三、1. 定义：设随机变量X，对于任意实数x ? R ，函数 F ( x) ? P{ X ? x} 称为随机变量 X的概率分布函数，简称分布函数。注：当 x1 ? x2 时， P( x1 ? X ? x2 ) ? F ( x 2 ) ? F ( x1 ) F ( x) ? (1)X 是离散随机变量，并有概率函数 p( xi ), i ? 1,2,?, 则有 (2) X 连续随机变量，并有概率密度 f (x)，则 F ( x) ? P( X ? x) ? x f (t )dt ???xi ? x? p( x ).i2. 分布函数性质： （ 1） F (x)是单调非减函数，即对于任意 x 1&x2，有 F ( x1 ) ? F ( x2 ); ； （ 2） 0 ? F ( x) ? 1 ；且 F (??) ? lim F ( x) ? 0 ， F (??) ? lim F ( x) ? 1 ；x??? x???4（ 3）离散随机变量 X， F ( x)是右连续函数 , 即 F ( x) ? F ( x ? 0) ； 连续随机变量 X， F (x)在（ -∞， +∞）上处处连续。 注：一个函数若满足上述 3 个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。 三、离散随机变量及其分布 1. 定义. 设随机变量 X 只能取得有限个数值 x1 , x2 , ?, xn ，或可列无穷多个数值x1 , x2 ,?, xn ,?, 且 P( X ? xi ) ? pi (i ? 1,2,?) ，则称 X 为离散随机变量,pi(i=1,2,?)为 X 的概率分布，或概率函数 (分布律).注：概率函数 pi 的性质: (1) pi ? 0, i ? 1, 2,?; (2) 2. 几种常见的离散随机变量的分布： 3. （1）超几何分布，X~H(N,M,n)， P{ X?pii?1? k} ?k n ?k CM ? CN ?M n CNk ? 0,1, 2,?, n（2）二项分布，X~B(n.,p)， P( Xk k ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k k ? 0,1,?, n当 n=1 时称 X 服从参数为 p 的两点分布（或 0－1 分布） 。 若 X (i=1,2,?,n)服从同一两点分布且独立，则iX ? ? X i 服从二项分布。i ?1n（3）泊松(Poisson)分布， X 四、连续随机变量及其分布~ P(? ) ， P{ X ? k} ?? k e? ?k!(? ? 0), k ? 0, 1, 2, ...1.定义.若随机变量 X 的取值范围是某个实数区间 I，且存在非负函数 f(x)，使得对于任意区间 (a, b] ? I ， 有 P(a ? X ? b) ?? f (x)dx, 则称 X 为连续随机变量; 函数 f (x)称为连续随机变量 X 的概率密度函数，简称ab概率密度。注 1：连续随机变量 X 任取某一确定值的 x0 概率等于 0, 即 P( X ? x0 ) ? 0; 注 2： P( x1 ? X ? x 2 ) ? P( x1 ? X ? x 2 ) ? P( x1 ? X ? x 2 ) ? P( x1 ? X ? x 2 ) ? 2. 概率密度 f (x)的性质：性质 1： f ( x) ? 0; 性质 2：?x2x1f ( x)dx?????f ( x)dx ? 1.注 1：一个函数若满足上述 2 个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。 注 2：当 x1 ? x2 时， P( x1 ? X ? x2 ) ? F ( x 2 ) ? F ( x1 ) ? 且在 f(x)的连续点 x 处，有 F ?( x) ? f ( x). 3.几种常见的连续随机变量的分布：? 1 ? ， a? x?b f ( x) ? ? b ? a ? 0 ， 其它 ? ?0, ?x?a ? F ( x) ? ? , ?b ? a 1 , ? ? x ? a ? x ? x ? b.?x2x1f ( x)dx(1)均匀分布X ~ U (a, b)，(2)指数分布X ~ e(? ),? ?0? ??e ??x， x ? 0 f ( x) ? ? ? ?0 ， x ? 0? ?1 ? e ??x , x ? 0, F ( x) ? ? ? x ? 0. ? 0,5(3) 正态分布 X ~ N ( ? , ? 2 ) ， ? ? 0f ( x) ?1 2? ?e?( x?? )2 2? 2，F ( x) ?1 2? ??x??e?(t ? ? ) 2 2? 2dt,? ? ? x ? ??第三章 随机变量的数字特征 一、期望（或均值）1．定义： EX ,? ? ? ? xk pk , 离散型 EX ? ? k ?1 ? ?? xf ( x)dx, 连续型 ? ???2．期望的性质： (1) E (C ) ? C , (C为常数)(2)E(CX)=CE(X) (3)E(X ? Y)=E(X)? E(Y) (4)若X与Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y),反之结论不成立.? ? ? ? g ( xk ) pk , X 离散型 3. 随机变量函数的数学期望 E[ g ( x)] ? ? k ?1 ? + ? g(x)f(x)dx，X 连续型 ? ?- ?4. 计算数学期望的方法(1) 利用数学期望的定义；(2) 利用数学期望的性质； 常见的基本方法： 将一个比较复杂的随机变量 X 拆成有限多个比较简单的随机变量 Xi 之和,再利用期望性质 求得 X 的期望.(3)利用常见分布的期望；? ? ? 2 二、方差 1．方差 D( X ) ? E[ X ? E ( X )] ? ? ? ? ?2?i ??? [ x ? E( X )]2p i , 离散型??[ x ? E ( X )] 2 f ( x)dx, 连续型注： D(X)=E[X-E(X)] ≥0； 它反映了随机变量 X 取值分散的程度,如果 D(X)值越大(小)， 表示 X 取值越分散(集 中 )。 2．方差的性质 (1) D (C ) ? 0, (C为常数)(2)D(CX)=C2 D(X) (3)若X与Y相互独立，则D(X ? Y)=D(X)+D(Y)(4) 对于任意实数 C∈R，有 E ( X-C ) ≥D( X )当且仅当 C = E(X)时, E ( X-C ) 取得最小值 D(X). (5) (切比雪夫不等式):设 X 的数学期望 E(X) 与方差 D(X) 存在,对于任意的正数 ?， 有22P (| X - E ( X ) |? ε ) ?D( X ) .或 ε2P (| X - E ( X ) |& ε ) ? 1 -D( X ) . ε23. 计算(1) 利用方差定义；(2) 常用计算公式 D( X ) ? E( X 2 ) ? [ E( X )]2 . (3) 方差的性质； (4) 常见分布的方差.注：常见分布的期望与方差 1. 若 X～B(n, p), 则 E(X)=np, D(X) =2. 若 X ~ P(? ), 则E ( X ) ? D( X ) ? ?; 3. 若X～U(a,b),则E( X ) ?(b ? a) 2 a ?b , D( X ) ? ; 2 124.若X ~ e(? ), 则E ( X ) ?5. 若1?, D( X ) ?1?2;X ~ N (?,? 2 ), 则E( X ) ? ?, D( X ) ? ? 2 .三、原点矩与中心矩（总体）X 的 k 阶原点矩： vk ( X )? E( X k )6（总体）X 的 k 阶中心矩： uk ( X )? E[ X ? E( X )]k第四章 正态分布一、正态分布的定义 1. 正态分布⑴X ~ N (? , ? 2 ) ，其概率密度为( x? ? )2 2? 2f ( x) ?? 1 e 2? ?, ? ? ? x ? ?? , 其 分 布 函 数 为F ( x) ?1 2? ??x??e?(t ? ? )2 2?2dt 注 ：F (? ) ?1 . 21 2? ?( x?? )2 2? 2正态密度函数的几何特性： (1) 曲线关于x ? ?对称； （ 2 ） 当x ? μ时， f ( x)取得最大值；(3) 当x ? ??时，f ( x) ? 0，以x轴为渐近线； (4)1 2? ???? ?( x?? )2 2? 2??edx ? 1 ???? ???edx ? 2? ? ;（ 5 ） 当固定σ， 改变μ的大小时，f(x)的 图形不变，只是沿着 y轴作平移变化. （6） 当固定μ， 改变σ的大小时，f ( x)对称轴不变而形状在改 变， σ越小,图形越高越瘦；σ越大,图形越矮越胖.2. 标准正态分布 当 ? ? 0, ? ? 1 时， X ~ N (0, 1), 其密度函数为? ( x) ?1 2?e?x2 2, ? ? ? x ? ??. 且其分布函数为?( x) ?1 2??e??x ?t2 2 dt.1 ?( x) 的性质： (1) ?(0) ? ; 2(2) ?(??) ? ??? ?? x ?? ? 1 ? x2 e dx ? 1 ? ? e 2 dx ? 2? ?? 2?2 2(3) ?(? x) ? 1 ? ?( x).3.正态分布与标准正态分布的关系 定 理 ： 若X ~ N (?, ? 2 ),则 Y ?X ???~ N (0, 1) . 定 理 ： 设X ~ N (?, ? 2 ), 则P( x1 ? X ? x2 ) ? ?(x2 ? ??) ? ?(x1 ? ??).二、正态分布的数字特征 设X ~ N (?, ?2), 则 1. 期望 E(X) ? ? E( X ) ?1 2? ??xe???? ?( x?? )2 2? 2dx ? ?2 2.方差 D(X) ? ? D( X ) ?2? ? ?1????(x ? ?) e2?( x?? )2 2? 2dx ? ? 2 3.标准差 ? ( X ) ? ?三、正态分布的性质 1．线性性. 设 X ~ N (? , ? ), 则 Y ? a ? bX ~ N (a ? b?, b 2? 2 )，(b ? 0) ；22 2 2 2 2． 可加性. 设 X ~ N (? x , ? x 则 Z ? X ? Y ~ N (? x ? ? y , ? x ), Y ~ N (? y , ? y ), 且 X 和 Y 相互独立， ?? y );73．线性组合性 设 X i 四、中心极限定理~ N (? i , ? i2 ), i ? 1,2, ?, n ，且相互独立，则 ? ci X i ~ N (? ci ?i , ? ci2? i2 ).i ?1 i ?1 i ?1nnn1.独立同分布的中心极限定理设随机变量X 1 , X 2 ,?, X n ,?相互独立，服从相同的分布，且E( X i ) ? ?, D( X i ) ? ? 2 , i ? 1,2,?, n,?;则对于任何实数 x，有? n ? ? ? X i ? nμ ? i ?1 ? l i mP ? x? ? ? ? n ?? nσ ? ? ? ? 1 2? ?x ? (t ? ? )2 2? 2???edt定理解释：若有 X 1 , X 2 ,?, X n 满足上述条件， 当n充分大时，（ 1 ）Y ?* n?Xi ?1ni? nμ ~ AN (0,1)；nσ(2) Yn* ? ? X i ~ AN (n? , n? 2 )i ?1n； （ 3 ）X?1 n ?2 X ~ AN ( ? , ) ? i n i ?1 n2. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 设 Yn~ B(n, p), 则 l i mP ? ?n ??? ?Yn ? np? ? x? ? ? np(1 - p) ?1 2? ??x??e?(t ? ? )2 2? 2dt定理解释： 若 Yn~ B(n, p),当 n 充分大时，有（1）Yn ? np np(1 ? p)（2） Yn ~ AN (np, np(1 ? p)) ~ AN (0,1) ； 第五章 数理统计的基本知识一、总体 个体 样本 1.总体：把研究对象的全体称为总体 (或母体).它是一个随机变量，记 X. 2.个体：总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值. 3.样本：从总体 X 中，随机地抽取 n 个个体 X 1 , X 2 , ?, X n , 称为总体 X 的容量为 n 的样本。 注：⑴ 样本 ( X 1 , X 2 , ?, X n ) 是一个 n 维的随机变量； ⑵ 本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足 2 个特性： ① 代表性： X 1 , X 2 , ?, X n 中每一个与总体 X 有相同的分布. ② 独立性： X 1 , X 2 , ?, X n 是相互独立的随机变量. 4.样本 ( X 1 , X 2 , ?, X n ) 的联合分布设总体 X 的分布函数为 F(x)， 则样本 ( X 1 , X 2 , ?, X n ) 的联合分布函数 为 F ( x1 , x2 ,?, xn ) ?? F ( x ); 设 总 体i i ?1 inX 的 概 率 密 度 函 数 为 f (x), 则 样 本 的 联 合 密 度 函 数 为f ( x1 , x2 ,?, xn ) ?? f ( x ); (2) 设总体 X 的概率函数为 p( x), ( x ? 0,1,2,?) , 则样本的联合概率函数为i ?1n8p( x1 , x 2 , ?, x n ) ?? p( x );i i ?1n二、统计量 1. 定义 不含总体分布中任何未知参数的样本函数 g ( X 1 ,X 2 ,? ,X n ) 称为统计量,g ( x1 , x2 ,?, xn ) 是 g ( X 1,X 2 ,? ,X n ) 的观测值.注： （1）统计量 g ( X 1 ,X 2 ,? ,X n ) 是随机变量；（2）统计量 g ( X 1 ,X 2 ,? ,X n ) 不含总体分布中任何未知参数； （3）统计量的分布称为抽样分布.2. 常用统计量（1）样本矩①样本均值 X ?1 n?i ?1nX i ； 其观测值x?1 n?xi ?1ni.可用于推断：总体均值E(X).②样本方差 S 2 ?n n 1 1 (X i ? X )2 ? (? X i2 ? nX 2 ) ; ? n ? 1 i ?1 n ? 1 i ?1其观测值s2 ?1 n ?1?(x ? x)i i ?1n2?n ? 1 ? ? xi2 ? nx 2 ? . ? n ?1 ? ? i ?1 ??可用于推断：总体方差 D(X). ③样本标准差 S ?S2 ?1 n ?1?(Xi ?1n ini? X )2 ?1 ? ? n ?1 ? ?1 ? ? n ?1? ?n?Xi ?12 in2 i? ? nX 2 ? . ? ?其观测值s?s2 ?1 n ?1?(xi ?1? x)2 ??xi ?1? ? nx 2 ? . ? ?nn ④样本 k 阶原点矩 V ? 1 k ? X ik , (k ? 1,2,?) 其观测值nvk ?i ?11 n?xi ?1k i⑤样本 k 阶中心矩 Uk?1 n?(Xi ?1ni? X ) k , (k ? 1,2, ?)其观测值uk ?21 n?(xi ?1ni? x)k注：比较样本矩与总体矩，如样本均值 X 和总体均值 E(X)；样本方差 S 与总体方差 D(X)； 样本 k 阶原点矩 Vk?1 n ? X ik , (k ? 1,2, ?) 与总体 k 阶原点矩 E( X k ), (k ? 1,2, ?) ；样本 k 阶中心 n i ?1矩U k?1 n ( X i ? X ) k , (k ? 1,2, ?) 与总体 k 阶原点矩 E[ X ? E( X )]k , (k ? 1,2, ?) . ? n i ?1样本方差， ? ?, DX ? ? 2 ，X , S 2 为样本均值、前者是随机变量，后者是常数. (2)样本矩的性质:设总体 X 的数学期望和方差分别为 EX 则1o E ( X ) ? ? ; 2 o D( X ) ?1 2 o ? ; 3 E(S 2 ) ? ? 2 . n3.抽样分布：统计量的分布称为抽样分布.2 3 大抽样分布 1. ? 分布 定义.设 X 1 , X 2 , ?, X k 相互独立，且 X i ~ N (0,1), i ? 1,2, ?, k ，则 192 2 2 ? 2 ? X 12 ? X 2 ? ?? X k ~ ? 2 (k ) 注：若 X ~ N (0,1), 则 X ~2 2 ?1 和? 2? 2 (1).2 ?12 ~ ? 2 (k1 ), ? 2 ~ ? 2 (k 2 ),（ 2 ） 性 质 （ 可 加 性 ） 设2 2 ?1 ? ?2 ~ ? 2 (k1 ? k2 ).相 互 独 立 ， 且则2. t 分布设 X 与 Y 相互独立,且 X ~ N (0,1), Y ~ ? 2 (k ), 则 t ?X Y/k~ t ( k ).注：t 分布的密度图像关于 t=0 对称；当 n 充分大时，t 分布趋向于标准正态分布 N(0,1). 3. F 分布（1）定义. 设 X 与 Y 相互独立，且 X ~ ? 2 (k1 ), Y ~ ? 2 (k2 ), 则 F ? (2) 性质. 设 X~F(k1 , k 2 ), 则 1 / X ~ F (k 2 ,k1 ) . 四、分位点定义：对于总体 X 和给定的 ? (0 ? ?X / k1 ~ F ( k1 , k 2 ). Y / k2? 1), 若存在 x? ，使得 P( X ? x? ) ? ?则称 x? 为 X 分布的 ? 分位点注：常见分布的分位点表示方法 （1）?22 (k ) 分布的 ? 分位点 ? ? (k ); （2）t (k ) 分布的 ? 分位点 t? (k ),其性质：t1?? (k ) ? ?t? (k );（3） F?(k1 , k 2 ),分布的 ? 分位点 F? (k1 , k 2 ),其性质 F1?? (k1 , k 2 ) ?1 ; F? (k 2 , k1 )（4）N(0,1)分布的 ? 分位点 u? , 有 P( X? u? ) ? 1 ? P( X ? u? ) ? 1 ? ?(u? ),第六章 参数估计一、点估计 1. 定义 设 ( X 1 , X 2 , ?, X n ) 为来自总体 X 的样本，? 为 X 中的未知参数，( x1 , x 2 , ?, x n ) 为样本值，构造?( X , X ,?, X ) 作 为 参 数 某个统计量 ? 1 2 n?( X , X ,?, X ) 为 ? 的 点 估 计 量 ， ? 的估计，则称 ? 1 2 n?( x , x ,?, x ) 为 ? 的估计值.2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法. ? 1 2 n二、矩估计法 1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩. 2.求总体 X 的分布中包含的 m 个未知参数 ?1 , ? 2 ,?, ? m 的矩估计步骤： ① 求出总体矩 , 即 E( X k )或E[ X ? E( X )]k , k ? 1,2,? ；② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：1 n?Xi ?1nk i? E( Xk)或1 n?( Xi ?1ni? X ) k ? E[ X ? E ( X )]k , k ? 1,2, ?? ?? ? ( X , X ,?, X ), i ? 1,2,?, m ③ 解上述方程（或方程组）得到 ?1 , ? 2 ,?, ? m 的矩估计量为： ? i i 1 2 n ? ?? ? ( x , x ,?, x ), i ? 1,2,?, m ④ ?1 , ? 2 ,?, ? m 的矩估计值为： ? i i 1 2 n3. 矩估计法的优缺点：优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式. 缺点：没有充分利用总体分布提供的信息；矩估计量不具有唯一性；可能估计结果的精度比其它估计法的 低 三、最大似然估计法101. 直观想法：在试验中，事件 A 的概率 P(A)最大, 则 A 出现的可能性就大；如果事件 A 出现了，我们认 为事件 A 的概率最大. 2. 定义 设总体 X 的概率函数或密度函数为 p( x, ? ) （或 f ( x,? ) ） ，其中参数 ? 未知，则 X 的样本n( X 1 , X 2 , ?, X n ) 的联合概率函数（或联合密度函数） L(? ) ??i ?1np( xi , ? ) L(? ) ?? f ( x ,? ) 称为似然函i i ?1数.3. 求最大似然估计的步骤： （1）求似然函数:X 离散： L(? ) ?? p( x ,? ) X 连续：i i ?1nL(? ) ?? f ( x ,? )i i ?1n（2）求 ln L(? ) 和似然方程：? ln L(? ) ? 0, i ? 1,2,?, m ?? i? ?? ? ( x , x ,?, x ), i ? 1,2,?, m （3）解似然方程，得到最大似然估计值： ? i i 1 2 n ? ?? ? ( X , X ,?, X ), i ? 1,2,?, m （4）最后得到最大似然估计量： ? i i 1 2 n4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体 X 的分布形式. 四、估计量的评价标准 1.无偏性? 设θ?( X ,? , X ) 是未知参数 θ 的估计量，若 E(θ ? ?θ ?( X ,? , X ) 是 θ 的无偏估 ?) ? θ ，则 θ ?θ 1 n 1 n ?(x ,?, x ) 是 θ 的无偏估计值。 ?θ 1 n ? ?θ ? ( X ,?, X ) 是未知参数 θ 的无偏估计量， ? ( X ,?, X ) 和 θ ?θ 1 1 n 2 2 1 n? 计量， θ? 1. 有效性设 θ 1? )? 若 D(θ 1? ) ? θ ，则称 θ ? 比θ ? 有效。 D(θ 2 1 2概率论与数理统计真题单选题一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 1 分，共 10 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或 均无分。 1、将 3 粒黄豆随机地放入 4 个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ）3 3 1 1 A 、 32 B 、 8 C 、 16 D 、 82、随机变量 X 和 Y 的? XY ? 0, 则下列结论不正确的是（与Y）A 、 D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) B 、 X ? a? b 必相互独立C、X与 Y 可能服从二维均匀分布D 、 E ( XY ) ? E ( X ) E (Y )，3、样本X 1 , X 2 ,?, X n 来自总体 XE( X ) ? ? , D( X ) ? ? 2 , 则有（B、X是）A 、 X i (1 ? i ? n) 都是 ?2 C 、 X i (1 ? i ? n) 是 ? 22的无偏估计?的无偏估计2的无偏估计D 、 X 2 是?11的无偏估计4、设 的是（X 1 , X 2 ,?, X n 来自正态总体 N (?,? 2 ) 的样本，其中 ?）n已知， ?2未知，则下列不是统计量A 、 1?i ? nmin X iB 、X ?? C 、??i ?1XiD 、 X n ? X1）5、在假设检验中，检验水平 ? 的意义是（A 、原假设 H 0 成立，经检验被拒绝的概率B 、原假设 H 0 不成立，经检验被拒绝的概率C 、原假设 H 0 成立，经检验不能拒绝的概率D、原假设 6、设H 0 不成立，经检验不能拒绝的概率） B 、 P( A ? B ) ?A ， B 为任二事件，则（A、 P( A ? B) ? C、 P( AB) ? 7、设事件P( A) ? P( B)P( A) ? P( B)P( A) P( B)D、 P( A) ? P( AB) ? P( AB) ）A 与 B 互为对立事件，且 P( A) ? 0, P( B) ? 0, 则下列命题不成立的是（B、A 与 B 相互独立 C、A 与 B 不独立A、A 与 B 不相容A与B2 3D、互不相容8、匣中 4 只球,其中红,黑,白球各一只,另有一只红黑白三色球,现从中任取两只,其中恰有一球上有红色 的概率为( 9、设 )A、1 6B、1 3C、1 2D、X ~ N (0,1) ,又常数 c 满足 P? X ? c? ? P? X ? c? ,则 c 等于（B、 1 C、）A、 01 2D、 ? 110、 设y) ? ? ? X , Y ? 的联合概率密度为 f ( x ，0 ? y ?1 ?4 xy ， 0 ? x ? 1， ，若 F ( x ， y ) 为分布函 其它 ? 0，C、2) ? 数，则 F (0.5，1B 2B 3B?5A? A、 06D 7BB、1 41 16D、14C8D 9A 10B1 、每张彩票中奖的概率为 0.1 ，某人购买了 20 张号码杂乱的彩票，设中奖的张数为 （ ）分布。 A、 0 ? 1 B、 二项 C、泊松 D、指数.X，则X服从12?0 ? 3 2、设随机变量 X 的分布函数为 F ? x ? ? ? x ?1 ?A、x?0 0 ? x ? 1 ，则 E( X ) ? ? x ?1C、?xdxD、??? 0x 4 dxB、?1 03x3dx?1 0x4 dx ???? 1??? 03x3dx3、设 X ～ b( n,p) 且 E ( X ) ? 6， D( X ) ? 3.6 ，则有（ ? 0.6B、 n ? 20， p） C、 n ? 15， p ? 0.4 D、A、 n ? 10， p? 0.3n ? 12， p ? 0.54、由 E ( XY ) ?E( X ) E(Y ) 可断定(B、 X 与 Y 不独立) C、 X 与 Y 不相关 D、 X 与 Y 相关 ） 。A、 X 与 Y 相互独立 5、设X1 , X 2 , X 3 , X 4 为总体 X的样本，则总体均值的最有效的估计量为（1 1 1 1 1 1 1 1 X 1 ? X 2 ? X 3 ? X 4 B、 X 1 ? X 2 ? X 3 ? X 4 3 6 3 6 2 3 12 12 1 1 1 7 1 1 1 1 X 4 D、 X 1 ? X 2 ? X 3 ? X 4 C、 X 1 ? X 2 ? X 3 ? 3 6 9 18 4 4 4 4 6、设随机事件 A 与 B 互不相容，且 P( A) ? P( B) ? 0 ，则（ ） 。A、 Ａ.P( A) ? 1 ? P( B)A.B.P( AB) ? P( A) P( B)1 C2 C 42Ｃ.P( A ? B) ? 1Ｄ.P( AB) ? 17、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ ） 。2! 2! D. 2 4! P4 8、已知随机变量 X 的概率密度为 f X ( x) ，令 Y ? ?2 X ，则 Y 的概率密度 f Y ( y) 为（ ） 。 y 1 y 1 y f X (? ) f X (? ) A. 2 f X (?2 y) B. f X ( ? ) C. ? D. 2 2 2 2 2 9、设随机变量 X ~ f ( x) ，满足 f ( x) ? f (? x) ， F ( x ) 是 x 的分布函数，则对任意实数 a 有（ a a 1 A. F (?a) ? 1 ? ? f ( x)dx B. F ( ? a ) ? ? ? f ( x ) dx C. F (?a) ? F (a) 0 0 2 F ( ?a ) ? 2 F ( a ) ? 1 10、设 ? ( x ) 为标准正态分布函数，B. C.22 42） 。 D.?1, 事件 A发生； Xi ? ? i ? 1, 2, ?, 100, 且 0 ， 否则； ?P( A) ? 0.8，X 1，X 2， ?，X 100B ） 。 A ?( y)相互独立 。令Y ? ? Xii ?1100，则由中心极限定理知 Y 的分布函数 D． ?(4 y ? 80) 6D 7A 8D 9B 10DF ( y) 近 似 于 （B ． ?(y ? 80 ) 4C． ?(16 y ? 80) 1B １、设 2B 3C 4C 5D。 A ， B 为随机事件， P( B) ? 0 ， P( A | B) ? 1 ，则必有（ ） A. P( A ? B) ? P( A) B. A ? B C. P( A) ? P( B) D. P( AB) ? P( A) ２、 某人连续向一目标射击， 每次命中目标的概率为 3 4 ， 他连续射击直到命中为止， 则射击次数为 3 的概率是 （ 13） 。3 A.（ ）3 42 B.（ ） ?3 41 42 C.（ ） ?1 43 42 2 D. C（ ） 41 4X1 , X 2 是来自总体 X 的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是( 1 2 ? 1 ? 1 ? ? X1 ? X 2 ? ? X1 ? X 2 A. B. C. 2 2 3 3 3 ? 2 ? ? X1 ? X 2 5 5 4、设 ? ( x ) 为标准正态分布函数，3、设)。???1 3 X1 ? X 2 4 4D.?1, 事件 A发生； ?，X 100 相 互 独 立 。 令 Xi ? ? i ? 1, 2, ? , 100, 且 P( A) ? 0.1 ， X 1，X 2， 0 ， 否则。 ?Y ? ? X i ，则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F ( y ) 近似于（i ?11 0 0） 。y ? 10 ) C． ?(3 y ? 10) 3 2 5、设 ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 为总体 N ( 1, 2 ) 的一个样本， XA.?( y)B． ? (D． ?(9 y ? 10) 为样本均值，则下列结论中正确的是（ ； C. ） 。 ； D.A.X ?12/ n 1 n ( X i ? 1) 2 ~ ? 2 ( n ) ； ? 4 i ?1~ t (n)；B.1 n ( X i ? 1) 2 ~ F ( n , 1) ? 4 i ?1X ?1 2/ n~ N ( 0 , 1)6、已知 A、B、C 为三个随机事件，则 A、B、C 不都发生的事件为（。 A.A BCB.ABCC. A+B+C ） 。 B.D. ABC7、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ A.x?0 ? ?0 F ( x) ? ? x x?0 ? ?1 ? x 3 1 ?x arctgx , ? ? ? x ? ? C. F ( x) ? e ,?? ? x ? ? D. F ( x) ? ? 4 2? 8、 ( X , Y ) 是二维随机向量，与 Cov( X , Y ) ? 0 不等价的是（ ） A. E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) B. D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) C. D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) D. X 和 Y 相互独立 9、设 ? ( x ) 为标准正态分布函数， ?1, 事件 A发生 Xi ? ? i ? 1, 2, ?, 100, 且 P( A) ? 0.2 ， X 1，X 2， ?，X 100 相 互 独 立 。 令 ?0， 否则F ( x) ? 1 ,?? ? x ? ? 1? x2Y ? ? X i ，则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F ( y ) 近似于（i ?1100） 。y ? 20 ) C． ?(16 y ? 20) D． ?(4 y ? 20) 4 2 10、 设总体 X ~ N ( ? , 2 ) ， 其中 ? 未知，X 1 , X 2 , ?, X n 为来自总体的样本， 样本均值为 XA.?( y)B． ? (， 样本方差为 s ，2则下列各式中不是统计量的是（ ） 。 A.2X1AB.s2 ?28D 9B 10CC.X ???D.(n ? 1) s 2?22C 3A 4D 5D 6A 7B141、若随机事件 A.。 A 与 B 相互独立，则 P( A ? B) ＝（ ） P( A) ? P( B) B. P( A) ? P( B) ? P( A) P( B)2C.P( A) P( B)D.P( A) ? P(B)2、设总体 X 的数学期望 EX＝μ ，方差 DX＝σ ，X1，X2，X3，X4 是来自总体 X 的简单随机样本，则下列μ 的估计量中 最有效的是（ ）1 1 1 1 X1 ? X2 ? X3 ? X3 6 6 3 3 3 4 1 1 C. X1 ? X2 ? X3 ? X4 5 5 5 5 A. 1 1 1 X1 ? X2 ? X3 3 3 3 1 1 1 1 D. X1 ? X2 ? X3 ? X4 4 4 4 4 B.1, 3 、设 ? ( x ) 为标准正态分布函数， X ? ? ? i100事件 A发生?0， 否则i ? 1, 2, ?, 100, 且 P( A) ? 0.3 ，） 。X 1，X 2， ?，X 100 相互独立。令 Y ? ? X i ，则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F ( y ) 近似于（i ?1y ? 30 ) D． ?( y ? 30) 21 k ?1 4、设离散型随机变量的概率分布为 P ( X ? k ) ? ， k ? 0,1,2,3 ，则 E ( X ) ＝（ 10A.?( y)B． ? (y ? 30 ) 21C． ? (） 。A. 1.8 B. 2 5、在假设检验中, 下列说法错误的是（ A. C. D. A. A.C. ） 。2.2D. 2.4H 1 真时拒绝 H 1 称为犯第二类错误。 B. H 1 不真时接受 H 1 称为犯第一类错误。 设 P{拒绝H 0 | H 0 真} ? ? ， P{接受H 0 | H 0不真 } ? ? ，则 ? 变大时 ? 变小。 ，当样本容量一定时， ? 变大时则 ? 变小。 ? 、 ? 的意义同（C）） 。 C.6、若 A 与 B 对立事件，则下列错误的为（P( AB) ? P( A) P( B)B ? BA ? BAB.B.P( A ? B) ? 1） 。 C.P( A ? B) ? P( A) ? P( B)D.D.P( AB) ? 07、下列事件运算关系正确的是（ 8、设 ? ( x ) 为标准正态分布函数，B ? BA ? B AB ? BA ? B AB ? 1? B?1, 事件 A发生 Xi ? ? ?0， 否则100 i ?1i ? 1, 2, ?, 100, 且 P( A) ? 0.4 ，） 。X 1，X 2， ?，X 100 相互独立。令Y ? ? X i ，则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F ( y ) 近似于（A.y ? 40 y ? 40 ) ) C． ?( y ? 40) D． ? ( 24 24 9、若 E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ，则（ ） 。 D( XY ) ? D( X ) D(Y ) A. X 和 Y 相互独立 B. C. D. X 与 Y 不 相 关 D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) 10、若随机向量（ X , Y ）服从二维正态分布，则① X , Y 一定相互独立； ② 若 ? XY ? 0 ，则 X , Y 一定相互独 立；③ X 和 Y 都服从一维正态分布；④若 X , Y 相互独立，则?( y)B． ? (Cov (X, Y ) =0。几种说法中正确的是（ A. ① ② ③ ④ B. ② ③ ④ 1B 2D 3B 4B 5C 6A 7A 1、设随机事件 A、B 互不相容， P( A) ? A. A. C.） 。 C. ① ③ ④ 8B 9D 10BD. ① ② ④p, P( B) ? q ，则 P( AB) ＝（C.） 。(1 ? p)qB.pqqD. B. D.p2、设 A，B 是两个随机事件，则下列等式中（）是不正确的。P( AB) ? P( A) P( B) ，其中 A，B 相互独立 P( AB) ? P( A) P( B) ，其中 A，B 互不相容P( AB) ? P(B)P( A B) ，其中 P( B) ? 0P( AB) ? P( A)P(B A) ，其中 P( A) ? 03、设 ? ( x ) 为标准正态分布函数，15?1, 事件 A发生 Xi ? ? ?0， 否则100 i ?1?，X 100 相 互 独 立 。 令 i ? 1, 2, ?, 100, 且 P( A) ? 0.5 ， X 1，X 2，） 。Y ? ? X i ，则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F ( y ) 近似于（A.?( y)B． ? (y ? 50 ) 5C． ?( y ? 50)D． ? ( ）y ? 50 ) 254、设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，则 Y = 5 ― 2X 的密度函数为（1 y ?5 f (? ) 2 2 1 y ?5 C. ? f (? ) 2 2 A. ? B.1 y ?5 f (? ) 2 2 1 y ?5 D. f (? ) 2 25、设 x 是一组样本观测值，则其标准差是（ , x , ? , x 1 2 n A.） 。 C.1 n ?1?( xi ? x )2i ?1nB.1 n ( xi ? x )2 ? n ? 1 i ?1） 。1 n ( xi ? x ) 2 ? n i ?1D. ） 。D.1 n ? ( xi ? x ) n i ?16、若 A、B 相互独立，则下列式子成立的为（ A.B. P( AB) ? 0 C. P( A | B) ? P( B | A) P( AB) ? P( A) P( B) 7、若随机事件 A , B 的概率分别为 P( A) ? 0.6 ， P( B ) ? 0.5 ，则 A 与 B 一定（ A. 相互对立 B. 相互独立 C. 互不相容 D.相容 8 、设 ? ( x ) 为标准正态分布函数， X ? ? iP( A | B) ? P( B)?1,100事件 A发生?0， 否则i ? 1, 2, ?, 100, 且 P( A) ? 0.6 ，） 。X 1，X 2， ?，X 100 相互独立。令 Y ? ? X i ，则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F ( y ) 近似于（i ?1A.?( y)B． ? (y ? 60 ) 249、设随机变量 X ～N(μ ，81)，Y ～N(μy ? 60 ) 24 ，16)，记 p1 ? P{X ? ? ? 9}, p2 ? {Y ? ? ? 4} ，则（C． ?( y ? 60) D． ? (） 。A. p1&p2 B. p1＝p2 C. p1&p2 D. p1 与 p2 的关系无法确定 10、设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，则 Y = 7 ― 5X 的密度函数为（ ）1 y?7 f (? ) 5 5 1 y?7 C. ? f ( ? ) 5 5 A. ? 1 y?7 f (? ) 5 5 1 y?7 D. f (? ) 5 5 B.1C2C 3B4C5B6A7D8B 9B10B1、对任意两个事件。 A 和 B ， 若 P( AB) ? 0 ， 则（ ） A. AB ? ? B. A B ? ? C. P( A) P( B) ? 0 D. P( A ? B) ? P( A) 2、设 A 、 B 为两个随机事件，且 0 ? P( A) ? 1 ， 0 ? P( B) ? 1 ， P( B | A) ? P( B | A ) ， A. P( A | B) ? P( A | B) B. P( AB) ? P( A) P( B) C. P( AB) ? P( A) P( B) 不相容 3、设 ? ( x ) 为标准正态分布函数，?1, 事件 A发生 Xi ? ? ?0， 否则100 i ?1则必有（ ） 。 D.A、B互i ? 1, 2, ?, 100, 且P( A) ? 0.7 ， X 1，X 2， ?，X 100 相互独立。令） 。Y ? ? X i ，则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F ( y ) 近似于（A.?( y)3B． ? (y ? 70 ) 21C. 10C． ?( y ? 70)D． ? (y ? 70 ) 214、已知随机变量 X 和 Y 相互独立，且它们分别在区间[－1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则 E ( XY ) A. A. B. 6 B. p1＝p2 D. 12 5、设随机变量 X ～N(μ ，9)，Y ～N(μ ，25)，记?（） 。p1 ? P{X ? ? ? 3}, p2 ? {Y ? ? ? 5} ，则（D. p1 与 p2 的关系无法确定） 。p1&p2C. p1&p2 16） 。 A1 , A2 两个随机事件相互独立，当 A1 , A2 同时发生时，必有 A 发生，则（ A. P( A1 A2 ) ? P( A) B. P( A1 A2 ) ? P( A) C. P( A1 A2 ) ? P( A) D. P( A1 ) P( A2 ) ? P( A) 7、已知随机变量 X 的概率密度为 f X ( x) ，令 Y ? ?2 X ? 3 ，则 Y 的概率密度 f Y ( y) 为（ ） 。 1 y ?3 1 y ?3 1 y?3 1 y?3 f X (? ) B. f X (? ) C. ? f X ( ? ) f X (? ) A. ? D. 2 2 2 2 2 2 2 2 8、两个独立随机变量 X , Y ，则下列不成立的是（ ） 。 A. EXY ? EXEY B. E ( X ? Y ) ? EX ? EY C. DXY ? DXDY D. D( X ? Y ) ? DX ? DY 6、设 9 、设 ? ( x ) 为标准正态分布函数，?1, 事件 A发生 Xi ? ? ?0， 否则100 i ?1i ? 1, 2, ?, 100,且P( A) ? 0.9 ，） 。X 1，X 2， ?，X 100 相互独立。令 Y ? ? X i ，则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F ( y ) 近似于（A.?( y)B． ? (y ? 90 ) 3C． ?( y ? 90)2D． ? (y ? 90 ) 910、设总体 X 的数学期望 EX＝μ ，方差 DX＝σ ，X1，X2，X3 是来自总体 X 的简单随机样本，则下列μ 的估计量中最有 效的是（ ）1 1 1 X1 ? X2 ? X3 4 2 4 3 4 2 C. X1 ? X2 ? X3 5 5 5 A. 1 1 1 X1 ? X2 ? X3 3 3 3 1 2 1 D. X1 ? X2 ? X3 6 6 2 B.1D2B3B4A5B6A7A8C9B10B ）1.设 A 与 B 互为对立事件，且 P（A）&0，P（B）&0，则下列各式中错误 的是（ ．． A.P（A）=1-P（B）B.P（AB）=P（A）P（B）C.P ( AB) =1 D.P（A∪B）=1 2.设 A，B 为两个随机事件，且 P（A）&0，则 P（A∪B｜A）=（ A.P（AB）B.P（A）C.P（B） 3.下列各函数中可作为随机变量分布函数的是（ A. F1 ( x ) ? ? D.1 ）x ? 0； ?0, B. F ( x ) ? ? x , 0 ? x ? 1 ； ? 2 ? ?1, x ? 1.）?2 x , 0 ? x ? 1 ； 其他. ? 0,x ? ?1; ； ?1? x ?1 x ? 1.C.?? 1, ? F3 ( x ) ? ? x , ? ? 1,D.? 0, ? F4 ( x ) ? ?2 x , ? ?2,x ? 0; 0 ? x ?1； x ? 1.4.设随机变量 X 的概率密度为?x ? , ? f ( x ) ?? ? ?4 ? ?0, ?? 2 ? x ? 2; 则 P{-1&X&1}=（ 其他,）A.1 1 3 B. C. 4 2 4Y X0 1D.15.设二维随机变量（X，Y）的分布律为 -1 0.1 0.2 0 0.3 0.1 D.0.7 1 0.2 0.1 ， 则 P{X+Y=0}=（ ）A.0.2B.0.3C.0.517c, 6.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f ( x , y ) ? ? ?? 1 ? x ? 1,?1 ? y ? 1; 则常数 c=（ 其他 ,）?0,7.A.1 1 B. C.2 4 2D.4 ）27.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，则下列结论中正确的是（A.E（X）=0.5，D（X）=0.5B.E（X）=0.5，D（X）=0.25C.E（X）=2，D（X）=4 D.E（X）=2，D（X）=2 8.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X~N（1，4） ，Y~N（0，1） ，令 Z=X-Y，则 E（Z ）=（ A.1B.4C.5D.6 9.已知 D（X）=4，D（Y）=25，Cov（X，Y）=4，则ρ XY=（ A.0.004B.0.04C.0.4 D.4 ） ）10.设总体 X 服从正态分布 N（μ ，1） ，x1，x2，?，xn 为来自该总体的样本， x 为样本均值，s 为样本标准差， 欲检验假设 H0∶μ =μ 0，H1∶μ ≠μ 0，则检验用的统计量是（ A. ）x ? ?0 s/ n1BB. n ( x ? ? 0 ) C. 2D 3B 4Ax ? ?0 s / n ?15C 6A 7D 8DD. n ? 1( x ? ? 0 ) 9C 10B ） 。1、若事件 A.A1 , A2 , A3 两两独立，则下列结论成立的是（A1 , A2 , A3 相互独立 B. A1 , A2 , A3 两两独立 C. P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) D. A1 , A2 , A3 相互0 ? f ( x) ? 1 B. D. 在定义域内单调不减x ???独立 2、连续型随机变量 X 的密度函数 f(x)必满足条件（ ） 。A. C.?????f ( x)dx ? 1lim f ( x) ? 13、设A. C.X 1 , X 2 是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1 ( x) 和 f 2 ( x) ，分布函数分别为 。 F1 ( x) 和 F2 ( x) ，则（ ） B. F1 ( x) ? F2 ( x) 必为分布函数 f1 ( x) ? f 2 ( x) 必为密度函数 D. f1 ( x) ? f 2 ( x) 必为密度函数 F1 ( x) ? F2 ( x) 必为分布函数） 。4、设随机变量 X, Y 相互独立，且均服从[0，1]上的均匀分布，则服从均匀分布的是（ A.XY B. （X, Y） C.X ― YD.X + Y 5、设 ? ( x ) 为标准正态分布函数，?1, 事件 A发生 Xi ? ? ?0， 否则n i ?1i ? 1, 2, ?, n,且P( A) ? p，X1，X 2， ?，X n相 互 独 立 。 令Y ? ? X i ，则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F ( y ) 近似于（?( y)B． ? (） 。 D． ?(A. 6. 事件表达式 A?B 的意思是 ( (A) 事件 A 与事件 B 同时发生y ? np ) np(1 ? p))C． ?( y ? np)y ? np ) np(1 ? p)(B) 事件 A 发生但事件 B 不发生 (D) 事件 A 与事件 B 至少有一件发生 ) (D) 是必然事件2 2(C) 事件 B 发生但事件 A 不发生 7. 假设事件 A 与事件 B 互为对立，则事件 A?B( (A) 是不可能事件(B) 是可能事件(C) 发生的概率为 1 (A) 自由度为 1 的? 分布(B) 自由度为 2 的? 分布 (C) 自由度为 1 的 F 分布2 28. 已知随机变量 X,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则 X ＋Y 服从 ()(D) 自由度为 2 的 F 分布 )9. 已知随机变量 X,Y 相互独立，X~N(2,4),Y~N(? 2,1), 则( 18(A) X+Y~P(4)(B) X+Y~U(2,4)2(C) X+Y~N(0,5) )(D) X+Y~N(0,3)10. 样本(X1,X2,X3)取自总体 X，E(X)=?, D(X)=? , 则有( (A) X1+X2+X3 是?的无偏估计 (C)2 是? X22(B) X 1 ? X 2 ? X 3 是?的无偏估计 32 (D) ? X 1 ? X 2 ? X 3 ? 是? 的无偏估计 ? ? 3 ? ?的无偏估计 4B 5B 6D 7A 8B 9C21B2C 3B10B1．设 A 与 B 是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是（）A. P( A) ? 1 ? P( B) B. P( A ? B) ? P( B) C. P( AB) ? P( A) P( B) D. P( A ? B) ? P( A) 2．设 A，B 为两个随机事件，且 B ? A, P( B) ? 0 ，则 P( A B) ? （ A.1B. P ( A) C. P ( B ) 3．下列函数中可作为随机变量分布函数的是（ A. F1 ( x) ? ? D. P( AB) ） ）x ? 0; x ? 0; ?0, ?? 1, ?1, 0 ? x ? 1; ? B. C. F ( x) ? ? x, 0 ? x ? 1; D. F ( x ) ? x , 0 ? x ? 1 ; ? ? 3 2 其他. ?0,? 1, ? x ? 1.?1, ?x ? 1.?0, ? F4 ( x) ? ? x, ?2, ?x ? 0; 0 ? x ? 1; x ? 1.4．设离散型随机变量 X 的分布律为 则 P?? 1 ? X ? 1? ? （ A.0.3B.0.4C.0.6 5．设二维随机变量（X，Y）的分布律为（ ） ）X P-1 0.10 0.21 0.42 0.3Y X0 1010.10.1ab且 X 与 Y 相互独立，则下列结论正确的是 A.a=0.2,b=0.6B.a=-0.1,b=0.9C.a=0.4,b=0.4 D.a=0.6,b=0.2?1 0 ? x ? 2, 0 ? y ? 2; 则 P{0&X&1,0&Y&1}=（ 其他,6．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f ( x, y) ? ? , ?4? ? 0,A.1 1 3 B. C. D.1 4 2 4 1 的指数分布，则 E（X）=（ 2）7．设随机变量 X 服从参数为 A.1 1 B. C.2D.4 4 2）8．设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X~N（0，9） ，Y~N（0，1） ，令 Z=X-2Y，则 D（Z）=（ A.5B.7C.11D.13 9．设（X，Y）为二维随机变量，且 D（X）&0，D（Y）&0，则下列等式成立的是（ A.E（XY）=E（X） ?E（Y）B.Cov ( X ,Y ) ? ? XY ? D( X ) ? D(Y ) 19 ）C. D（X+Y）=D（X）+D（Y）2D.Cov(2X,2Y)=2Cov(X,Y)210．设总体 X 服从正态分布 N（ ? ,? ） ，其中 ? 未知，x1,x2,?，xn 为来自该总体的样本， x 为样本均值，S 为样本标准差，欲检验假设H 0 : ? ? ?0 ， H 1 : ? ? ? 0 ,则检验统计量为（）A. nx ? ?0?B.nx ? ?0 C. s6An ?1( x ? ?0 )7C 8DD.n ( x ? ?0 )1D2DA 3C 4C 5C9B 10B1.设离散随机变量 X 的概率函数为f (k ) ? c ?C.?kk!, k ? 0,1,2,?, ? ? 0 ，则 c 的值为( )D.A.e? ;B.1 ? e? ;e? ? ;1 ? e?? .3? ]. 2).2.设在[a, b]上，随机变量 X 的密度函数为 f(x)=sinx，而在[a, b]外，f(x)=0，则区间[a,b]等于：() A.[0, ]; 2?B.[0, ? ];C.[??2,0];D.7/9D.[ 0,3.设随机变量 X~B(2, p), 随机变量 Y~B(3, p),若 P(X≥1)=5/9, 则 P(Y≥1)=( A. 1/27; A. B. 19/27; B. C. 1/9; ) 4．设 A, B 为两事件，则 P(A-B)等于 ( P(A)-P(B)P(A)-P(B)+P(AB) C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB)5． 以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销” ，则其对立事件A为()A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销” C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 6．若 A, B 为两随机事件，且 B A.? A ，则下列式子正确的是P(B|A)=P(B) D.() P(B-A)=P(B)-P(A) ( )P(A∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A)C.7．设 P( A ? B) ? a, A. 8P( A) ? b, P( B) ? c ，则 P( AB ) 等于B.(a ? c)ca ? c ?1C.a ? b ? c D. (1 ? b)c则 n,X ~ B(n, p), EX ? 2.4, DX ? 1.44,A. 4, 0.6； B. 6, 0.4；p 的值为（B ） D. 24, 0.1C.8, 0.3；9.随机变量 X 的数字期望为 2，方差等于 4，则 E[D(X)], D[E(X)]的值分别为( ) A. X, X； A. 0； 1C 2A 3B B. 2, 4； B. 8； 4C 5D 6A C. 4, 2； C. 12； 7B 8B 9D D. 4, 0. D. 无法计算. 10C 10 两个独立的随机变量 X, Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 X-2Y 的方差等于:( )第二部分 非选择题 概率论与数理统计真题填空题 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 1 分，共 10 分） 11 、A 、B 是两个随机事件，已知 p(A)? 0.4, P( B) ? 0.5, p( AB) ? 0.3，则 p(A ? B) ?0.6 ,p(A - B) ? ， P( A ? B ) =, p(A B) ? 。2012、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只。 （1）从中不放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色 球的概率为： 。 （2）若有放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 。 （3）若第一次取一只 球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色 球的概率为： 。 13、设随机变量 X 服从 B（2，0.5）的二项分布，则 p? X ? 1 ? ? 0.75, Y 服从二项分布 B(98, 0.5), X与 Y 相互独立, 则 X+Y 服从，E(X+Y)=，方差 D(X+Y)= 。 14、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为 0.1、0.15．现从由甲厂、乙厂的产品 分别占 60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 （1）抽到次品的概率为： 。 （2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： ． 15、 设二维随机向量 ( X , Y ) 的分布律如右， 则a 协方差为: -，? E ( X ) ? ，X与Y 的YX-1010.2 0.40.3Z ? X ?Y2的分布律为:z概率1 0.62 0.41a16、若随机变量 X ~ N (2, 4) 且 ?(1)? 0.8413， ?(2) ? 0.9772,则 P{?2 ? X ? 4} ? ， ?Y) ?E (2 X 17、 随机变量 X、 Y 的数学期望 E(X)= -1， E(Y)=2, 方差 D(X)=1， D(Y)=2, 且 X、 Y 相互独立， 则：- 4 ， D(2 X?Y) ?6 。（X） ? 18、设 D（X ? Y） ? 25 ， D （Y） ? 1， Cov( X , Y ) ? 2 ，则 D219、设 X 1 ,?, X 26 是总体 N (8,16) 的容量为 26 的样本， X 为样本均值， S 为样本方差。则：X ~N（8， ） ，25 2 X ?8 S ~ ? 2 (25) ， ~ t (25) 。 16 s / 2520、假设检验时，易犯两类错误，第一类错误是： ”弃真” ,即 H0 为真时拒绝 H0, 第二类错误是： “取伪”错 误。一般情况下，要减少一类错误的概率，必然增大另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以 控制，使之&a， 而不考虑犯第二类错误的概率，这种检验称为：检验。 11( 0.1,0.4,0.6 ) 0.2 ) 12(1/3 ,9/25 ,21/55 ) 17 (0.815 ) 13 B((100,0.5) ,50 18(30 ) 19 ( , 25)14( 0.12 ,0.5) ) 20 显著性 15(0.1,0.4, 16( 5 ， 16 ) 8/1311. 设随机试验 E 对应的样本空间为 S。 与其任何事件不相容的事件为 本事件发生的概率为。 12． P( A)不可能事件， 而与其任何事件相互独立的事件为 必然事件；设 E 为等可能型试验，且 S 包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基? 0.4, P( B) ? 0.3 。若 A 与 B 独立，则 P( A ? B) ? ；若已知 A, B 中至少有一个事件发生 ? ， P( A B) ? 。的概率为 0 .6 ，则 P( A ? B)13、一个袋子中有大小相同的红球 5 只黑球 3 只，从中不放回地任取 2 只，则取到球颜色不同的概率为： 。若 有放回地回地任取 2 只，则取到球颜色不同的概率为： 。2114、E ( X ) 15、 设X? D( X ) ? 1。 若X服从泊松分布， 则 P{ X? 0} ? ； 若X服从均匀分布， 则 P{ X? 0} ? 。且 P{ X ? 2} ? P{ X ? 2}, P{2 ? X ? 4} ? 0.3 ， 则? ? ； P{ X ? 0} ? 。 ~ N (? ,? 2 ) ，16、某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为 4 元，二等奖 2 元，假设中一、二等奖的概率分别为 0.3 和 0.5, 且每张彩票卖 2 元。是否买此彩票的明智选择为： （买，不买或无所谓） 。 17、若随机变量 X 18 、 设6~ U (1,5) ，则 p? 〈 0 X〈4? ? ； E (2 X ? 1) ? ___， D(3 X ? 1) ? ．， 则X ~ b(n, p), E( X ) ? 2.4, D( X ) ? 1.44P{ X ? n} ?， 并 简 化 计 算?kk ?02? 6 ? k 6? k ? ?k ? ?0.4 0.6 ? 。 ? ??Y) ? ，E (2 X 19、 随机变量 X、 Y 的数学期望 E(X)= -1， E(Y)=2, 方差 D(X)=1， D(Y)=2, 且 X、 Y 相互独立， 则： D(2 X ? Y ) ? 。20、设 X 1 ,?, X 16 是总体 N (20,4) 的容量为 16 的样本， X 为样本均值， S 为样本方差。2则：XX ? 20 15 2 2 ~N （20，） ，p X ? 20 ? 1 =， S ~ ? (15) ， 此题中 ?(2) ? 0.9772。 ~ )。 16 s / 15??11(1/10) 16( 买 ) 19( -4 ,6 ) 11、随机变量 X12( 28 , 0.3,1/3 ) 17( 0.75 ,7,12 ) 20(13( 15/28,15/32 18 ()14( 0 )15( 2,0.8) )0.4 3 , 6 ? 0.4 ? 0.6 ? (6 ? 0.4) 2 ? 7.21/4,0.0556 , t(15 )的概率密度??e ? ?x , f ( x) ? ? ?0,x?0 x?0，则称 X 服从指数分布， E ( X )?。12、做假设检验时，容易犯两类错误，第一类错误是： ”弃真” ,即 H0 为真时拒绝 H0, 第二类错误是：错误。 一般情况下，要减少一类错误的概率，必然另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制， 使之《a， 而不考虑犯第二类错误的概率，这种检验称为显著性检验，a 称为。 13、设二维随机向量 ( X , Y ) 的分布律是：X Y0 101则 X 的方差 D( X )?；0.4 0.30.3 0X与Y 的相关系数为: ? XY ? 。14、A、B 是两个随机事件，已知 p(A) a) 若 b) 若? 0.5, p(B) ? 0.3，则A, B 互斥，则 p(A - B) ? ; A, B 独立,则 p(A ? B) ? ;22c) 若p( A ? B) ? 0.2 ,则 p(A B) ?.15、袋子中有大小相同的红球 7 只，黑球 3 只， (1)从中不放回地任取 2 只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 。 (2)若有放回地任取 2 只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 。 (3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜 色不同的概率为： .16、设随机变量 X 服从泊松分布 ? (? ), p{ X? 7} ? P{X ? 8} ，则 E? X?? .17、设随机变量 X 服从 B（2，0. 8）的二项分布,则 与 Y 相互独立，则 P{ Xp?X ? 2? ?, Y 服从 B（8，0. 8）的二项分布, 且 X? Y ? 1} =， E ( X ? Y ) ? 。18 设某学校外语统考学生成绩 X 服从正态分布 N（75，25） ，则该学校学生的及格率为，成绩超过 85 分的学 生占比 P{ X? 85} 为。其中标准正态分布函数值 ?(1)? 0.8413 , ?(2) ? 0.9772 , ?(3) ? 0.9987.19、设二维随机向量 ( X , Y ) 的分布律是有 则a?， X的数学期望 E ( X )? _________， X与Y 的相X Y-1 101 关系数? xy ?______。 20、 设 X 1 ,..., X 16 及 Y1 ,...,Y8 分别是总体 N (8,16) 的容量 独立样本， 则：0.3 0.30.3a为 16， 8 的两个X ,Y分别为样本均值， S122 分别为样本方差。 , S2X ~ ， X ? Y ~ ， p X ? Y ? 2 1 .5??= ，F(15,7) 。 此 题 中15 2 S1 ~ 16? 2 (15)，S12 ~ 2 S2?(1) ? 0.8413 , ?(2) ? 0.9772 , ?(3) ? 0.998711 (1?) 12( 取伪,增加,显著水平 ) 13( 0.21 ,3/7 ) 14( 0.5,0.65,3/7) 15( 7/15 ,21/50 ,21/55 ) 16(8) 17(0.64,1-0.210,8) ) 18( 0.8 ) 19(_0.1,0.4,-0.25 ) 20(N(8,1) ,N(0,1.5),0.045611.设事件 A，B 相互独立，且 P（A）=0.2，P（B）=0.4，则 P（A∪B）=___________。 12.从 0，1，2，3，4 五个数中任意取三个数，则这三个数中不含 0 的概率为___________。 13.设 P（A）=1 1 ，P（A∪B）= ，且 A 与 B 互不相容，则 P（ B ）=___________。 2 32314.一批产品，由甲厂生产的占1 2 ，其次品率为 5%，由乙厂生产的占 ，其次品率为 10%，从这批产品中随 3 3机取一件，恰好取到次品的概率为___________。 15.设随机变量 X~N（2，2 ） ，则 P{0&X≤4}=___________。 （附：Φ （1）=0.8413） 16.设连续型随机变量 X 的分布函数为?1 ? e ?3 x , F( x ) ? ? 0, ? x ? 0; x ? 0,210、在假设检验中，容易犯两类错误，第一类错误是指： 则当 x &0 时，X 的概率密度 f(x)=___________。 18.设（X，Y）的概率密度为?1 ? xy , f ( x, y ) ? ? 4 ? ? 0,则 P{X≤1，Y≤1}=___________。0 ? x ? 2 ,0 ? y ? 2; 其他 ,19．设 X~B（4，1 2 ） ，则 E（X +1）=___________。 2) 13( 5/6) 14( 1/ 12 ) 15( 0.) 16( 3e-3x 20( 2 ) )20.设 E（X）=2，E（Y）=3，E（XY）=7，则 Cov（2X，Y）=___________。 11( 0.52 ) 12( 0.4 17( H0 成立的条件下拒绝 H0 的错误 ,也称为弃真错误。) 18(1 / 16 )11 、已知 P(A)=P(B)=P(C)= 0.25 ，P(AC)=0 ，P(AB)=P(BC)= 0.15 ，则 A 、B 、C 中至少有一个发生的概率 为 。 。 。12、A、B 互斥且 A=B，则 P(A)=13、设 A、B 为二事件，P(A)=0.8,P(B)=0.7，P(AO B )=0.6，则 P(A∪B)=U (0,3) ,Y 的概率密度为 14、 设 X、 Y 相互独立，X ~D(2 X ? 3Y ? 4) ?。? ?1 e f ( x) ? ? 4 ? ?0?1 x 4,x?0, 其它2X 5 ?Y 3 ? ) ? ， 则 E(，15、设某试验成功的概率为 0.5，现独立地进行该试验 3 次，则至少有一次成功的 概率为 16、已知E ( X ) ? 3 ， D( X ) ? 2，由切比雪夫不等式估计概率。 (P( X ? 3 ? 4) ?17、设X ? B(100, 0.2) ，则概率 P( X ? 20 ? 4) ≈?(1) ? 0.84) 。?0, ? F ( x) ? ? 1 1? 2 , ? ? x 18.设 X 的分布函数19.已知随机变量 X ~x ?1 x ?1，则E( X ) ?。20、设N (?, ? 2 ) 且 P( X ? 2) ? 0.5, P( X ? 5) ? ?(?1) ， ? ? 2 , ? 2 ?D( X ) ? 2 随机变量 X 服从[0，2]上均匀分布，则 [ E ( X )] 。11( 0.45 ) 12( 0 )13(0.88 )14( -14 ,147 )15( 0.875 )16( 0.125 )17( 0.68 )18( 2 )19( 9 )20(1/3 ) 概率论与数理统计真题判断题 三判断题（本大题共 5 小题，每题 2 分，共 10 分）2421. 概率函数与密度函数是同一个概念。 （） )22.当 N 充分大时，超几何分布 H (n, M, N)可近似成泊松分布。( 23.设 X 是随机变量，有 P(a ? 24.若 X 的密度函数为X ? b) ? P(a ? X ? b) 。()?f ( x) = cos x, x ? [0, ] ，则 P(0 ? X ? ? ) ? ? cos tdt. 0 224.X 25X?( )25 事件的对立与互不相容是等价的。 （） 21X 22X 23X21.若 P( A) ? 0, 则A??。 （）22 若P( A) ? 0.1, P(B) ? 0.5, 则P ( AB ) ? 0.05 。()23.A,B,C 三个事 ABC ? 24 n 个事件若满足 ?i, 25 当 A ? 21X 22XABC ? ABC 件恰有一个发生可表示为。()j, P( Ai Aj ) ? P( Ai ) P( Aj ) ，则 n 个事件相互独立。()24.X 25∨ ) )B 时，有 P(B-A)=P(B)-P(A)。 （）23∨21.只要是随机变量，都能计算期望和方差。(22.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。() 23.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。( 24.方差的实质是随机变量函数的期望。() 25.对于任意的 X,Y，都有 D( X 21X 22∨ 23X 24.∨? Y ) ? DX ? DY 成立。(25X)21.若 X 22.若 X~ N (0, 1), Y ~ N (2, 1), 则 X ? Y ~ N (?2, 2).（ ）~ N (?, ? 2 ), 则 P(X ???? 0) ?1 . 2（ ） （ ）23 若 ( X 1 ,X 2 ,?, X n ) 是来自总体 X 的样本，则 X 1 , X 2 ,?, X n 相互独立.） 25X24 不含总体 X 的任何未知参数的样本函数 g ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 就是统计量. ( ) 25 样本矩与总体矩是等价的。 （ 21X 22∨ 23∨ 24.∨21 矩估计法的基本思想是用总体矩代替样本矩，故矩估计量不唯一.( ) 22 设总体X ~ N (?, ? 2 ),其中?，? 2 未知 ，则估计量 ? ??2 ? ? X，?1 n ? ( X i ? X ) 2 分别是 n i ?1?，? 2 的无偏估计量.()23 事件的对立与互不相容是等价的。 （）24.若 P( A) ? 0, 则 A ? ? 。 （）25. 若P( A) ? 0.1, P(B) ? 0.5, 则P ( AB ) ? 21X 22X 23X 24.X25X0.05 。()概率论与数理统计真题计算题 四．计算题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分) 31. 口袋中有 7 个白球，3 个黑球. (1) 每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数 X 的概率分布；25(2) 如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，求此时 X 的概率分布.故 X 的概率分布为 32． 设 X 的概率分布是 P ( X1 1 ? ?1) ? , P( X ? 1) ? , 求它的分布函数。 2 2 ? 1) ? P( A1 ) ? 7 , 1031 解：X 的首次取到白球的取球次数，则 X 的可能取值为 1, 2, 3, 4，记 Ai 为“第 i 次取出的球为黑球”i=1,2,?，10.(1)由乘法公式得 P( XP( X ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 | A1 ) ?3 7 7 ? ? , 10 9 30P ( X ? 3) ? P ( A 1 A2 A 3 ) ? P( A 1 ) P ( A2 | A 1 ) P( A 3 | A 1 A2 ) ? 3 2 7 7 ? ? ? , 10 9 8 120P( X ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A4 | A1 A2 A3 ) ? 3 2 1 7 1 ? ? ? ? , 10 9 8 7 120故 X 的概率分布为X P1 7/10234 1/1207/30 7/120(2) 如果取出黑球不放回，而另外放入一个白球，则由乘法公式得：P ( X ? 1) ? P ( A1 ) ?7 3 8 6 , ? ? , 10 P ( X ? 2) ? P ( A1 A2 ) ?10 1025P ( X ? 3) ? P ( A1 A2 A3 ) ?3 2 9 27 ? ? ? , 10 10 10 500P ( X ? 4) ? P ( A1 A2 A3 A4 ) ?1 32 解 ： 当 X P 7/103 2 1 10 3 ? ? ? ? , 10 10 10 10 5002 3 4x ? ?1时，6/2527/5003/5001 F ( x) ? P( X ? x) ? 0; 当 ? 1 ? x ? 1 时， F ( x) ? P( X ? x) ? P( X ? ?1) ? ; 2 1 1 当 x ? 1 时， F ( x) ? P( X ? x) ? P( X ? ?1) ? P( X ? 1) ? ? ? 1; 2 2故x ? ?1 ; ? 0, ?1 F ( x) ? ? , ? 1 ? x ? 1 ; ?2 1 , x ? 1 . ?3 31. 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ? ? Ax (1 ? x ) , 0 ? x ? 1; ? 0, 其他 ?26求常数 A；(2) 求 X 的分布函数；(3) 求 P(X&1) 32已知P( A) ? 0.5, P( A ? B) ? 0.8, 在下列情况下 (1) A, B不相容; (2) A, B相互独立 ;(3) A ? B. 求P( B).31 解: (1)由概率密度的性质得?????f ( x)dx ? ? Ax(1 ? x) 3 dx ? 10 1 1 0 01?故 A=20.10Ax(1 ? x)3 dx ? ? A? (1 ? x) 4 dx ? A? (1 ? x)3 dx ? ? P( X ? x) ? ? 0dx ? 0?? xA A A ? ? , 5 4 20(2)当 x&0 时， F ( x) ? 当 0≤x&1 时， F ( x) ? 当 x ≥ 1 时 ,P( X ? x) ? ? 0dx ? ? 20t (1 ? t )3 dt ? 1 ? (1 ? 4 x)(1 ? x) 4?? 00xF ( x) ? P( X ? x) ? ? 20x(1 ? x)3dx ? 101所 以X的 分 布 函 数 为x ? 0; ?0, ? F ( x ) ? ? 1 ? (1 ? 4 x )( 1 ? x ) 4 , 0 ? x ? 1; ?1, x ? 1. ?(3) P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 1) ? 1 ? F (1) ? 1 ?1 ? 0.32解：(1) 因为A，B不相容，有 P( A ? B) ? 所以 P( B) ?P( A) ? P( B)P( A ? B) ? P( A) ? 0.8 ? 0.5 ? 0.3(2) 因为 A，B 独立，所以P( B) ? P( A ? B) ? P( A) ? P( A) P( B) ? 0.8 ? 0.5 ? 0.5 ? P( B)? P( B) ? 0.6.(3) 因为 A ? B, 所以 A ? B ? B , P( B) ? P( A ? B) ? 0.831 已知 P( A) ? 0.1,P( B) ? 0.4, 且 P( A | B) ? 0.2, 求 P( A ? B) 的值.32. 设有来自三个地区的各 10 名,15 名和 25 名考生的报名表, 其中女生的报名表分别为 3 份,7 份和 5 份随 机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. 求先抽到的一份是女生表的概率 p。 31 解：由概率乘法公式得P( AB) ? P( B) P( A | B) ? 0.4 ? 0.2 ? 0.08,? P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P ( AB ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.08 ? 0.4232 解: 设 Ai 表示 “第 i 次取出的报名表是女生表” , i=1,2 B j 表示 “报名表是取自第 j 区的考生” , j=1,2,3. 根 据 题 意 得P( B1 ) ? P( B2 ) ? P( B3 ) ? 1 3P( A1 | B1 ) ? 3 10, P( A1 | B2 ) ? 7 15, P( A1 | B3 ) ? 5 25.273 1 3 7 5 29 p ? P( A1 ) ? ? P( A1 ) P( A1 | B j ) ? ( ? ? ) ? 3 10 15 25 90 i ?131、已知离散型随机变量的分布律为求： X 的分布函数， （2 ） 32、已知连续型随机变量 X 的分布函数为 （2） 31 答;?0 ? P?X ? 1? ? 0.2 ? F ( x) ? ? ? P?X ? 1? ? P?X ? 2? ? 0.5 ? ? p?X ? 1? ? P?X ? 2? ? P?X ? 3? ? 1 x ?1 1? x ? 2 2? x?3 x?3D( X ) 。F ( x) ? A ? B arctanx, x ? (??, ?) ，求（1）常数 A 和 B ，p(?1 ? X ? 1) ， f ( x) 。 （3）概率密度D( X ) ? E( X 2 ) ? E 2 ( X ) ? 3.6lim F ( x) ? 0, lim F ( X ) ? 1.x ??32 解（1）因为 x ???所以x ? ??lim ( A ? B arctan x) ? A ? 1 2 1?2B ? 0, lim( A ? B arctan x) ? A ?x ???2B ? 1.A?解得B??（2）1 1 1 1 1 p(?1 ? X ? 1) ? F (1) ? F (?1) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 4 2 4 2f ( x) ? F ?( x) ?（3）1 , ? ? ? x ? ?? ? (1 ? x 2 )31、设随机变量X ~ U[0,6], X 2 X 1 , X 2 , X 3 相互独立， 其中 1 服从??1 2的指数分布，X 3 ~ ? (3) ，计算D( X 1 ? 2 X 2 ? 3X 3 ) 。 X1 , X 2 ? X n是总体 X 的样本，求 X 的数学期望32、设?和方差 ?2的矩估计量。 也相互独立。 ， 所 以31 解 ： 因 为 随 机 变 量X1, X 2 , X 3相互独立，所以随机变量X 1 ,?2 X 2 ,3 X 3D( X 1 ? 2 X 2 ? 3X 3 ) ? D( X 1 ) ? 4D( X 2 ) ? 9D( X 3 )D( X 1 ) ? (6 ? 0) 2 12又 由 于X 1 ~ U [0,6]由于X2??服从1 2的指数分布，所以D( X 2 ) ? 4( 6 ? 0) 2 X ~ ? (3) ，所以 D( X 3 ) ? 3 D( X 1 ? 2 X 2 ? 3X 3 ) = 12 + 4 ? 4 ? 9 ? 3 ? 46 由于 328E( X ) ? ?, E( X ) ? D( X ) ? [ E( X )] ? ? ? ? 32 解：2 2 21 n ? ?? ? n ? X i ? i ?1 ? 1 2 2 ?? ? ? 2 ? ? n ??Xi ?1n2 i?? ?解得：1 n 1 n n ?1 2 2 ? X ? X , ? ? ( X i ? X )2 ? S ? ? i n i ?1 n i ?1 nN (0,1) 分布，求随机变量 Y ? e X 的概率密度函数。31、设随机变量 X 服从32 假设一批产品中一、二、三等品各占 60%、30%、10%，从中随机取出一件，结果不是三等品，求取到的产 品是一等品的概率。y ? 0, FY ( y ) ? P? Y ? y? ? 0, f Y ( y ) ? 0f X ( x) ?31 解1 2?e?x 22y ? 0, FY ( y ) ? P? Y ? y? ? P e X ? y ? P?X ? Lny? ????Lny1 2???e?1 ( Lny ) 2 2.1 y所以1 ? ( Lny ) 2 ? 1 e 2 ? f Y ( y) ? ? 2? ?0 ?y ? 0 y ? 032 解：设 Ai ：表示取到第 i 等品（ i? 1, 2,3 ）P ( A1 A3 ) P ( A1 ) 60% 2 ? ? ? P ( A3 ) P ( A3 ) 1 ? 10% 3A1 ? A3 ，于是 A1 A3 ? A1P ( A1 / A3 ) ?31 已知 P( A)P(B) (2)、 P( A B ) . ? 0.9, P( A ? B) ? 0.4 ，A 与 B 相互独立。求： (1) 、32 设随机变量 X~ N (10, 22 ) ， P? X ? d? ? 0.0668, ?(1) ? 0.8413, ?(1.5) ? 0.9332 ，求 dP( A) P( B) ，.31 解：事件 A 与 B 相互独立，则 P( AB) ?P( A ? B) ? P( A) ? P( AB) ? P( A) ? P( A) P( B) ? 0.9 ? 0.9P( B) ? 0.4于是P( B) ?5 9P( A B ) ?P( AB) P( A ? B) 0.4 9 ? ? ? 5 10 P(B) P(B) 1? 932 解： P? X ? d? ? P ? ?X ? 10 d ? 10 ? d ? 10 ? ） ? 0.0668 ? 1 ? 0.9332 ? ? ?( 2 ? 2 ? 2于是 ? (10-d 10-d ） ? 0.9332 ，则 ? 1.5 ，这样 d ? 7 2 22931 设连续型随机变量 X 的概率密度为0 ? x ? 1, ?x , ? f ( x) ? ?2 ? x , 1 ? x ? 2, ， 求 （1）X ?0 , 其他. ?在 (0,1) 内服从均匀分布，求随机变量 Y的分布函数 F ( x ) ；323? ?1 P ? ? X ? ? 32、设随机变量 X 2? ?2解 ：? ?2 X ? 3 的概率密度31F ( x) ??x??? x 0dt ? 0, x?0 ? ??? 2 ? x x ? ? tdt ? , 0 ? x ?1 ? 0 2 f (t )dt ? ? 1 x x2 ? tdt ? ?1 (2 ? t )dt ? 2 x ? 2 ? 1,1 ? x ? 2 ? ?0 ? 2 x?2 ? ? f (t )dt ? 1, ? 00?0 ? 2 ?x , ? F ( x) ? ? 2 2 ?2 x ? x ?1 , ? 2 ? 1 , ?x ,? ? x ? 1? x ? 2 x ? 2 01即 P{1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 1 3 ? X ? } ? P{ ? X ? } ? F ( ) ? F ( ) ? [2 ? ? ( ) 2 ? 2] ? ( ) 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 432、解： X 在 (0, 2) 内服从均匀分布，于是?1 0 ? x ? 1 ， f X ( x) ? ? 其它 ?0， 则由?1 ? fY ( y ) ? ? 2 ? ?0Y ? ?2 X ? 31? y ? 3 其它有y ? ?2 x ? 3x??y ?3 2x? ? ?1 2，所以31．设 对 于 事 件、有，，，求 、 至少出现一个的概率。 32．设有 10 件产品，其中有 3 件次品,从中任意抽取 5 件，问其中恰有 2 件次品的概率是多少？31 解： 由于 以 从而由性质 4 知， ， 从 而 由 概 率 ，又由概率定义知 的 加 法 公 式 ，所 得32 解：设 共有表示：“任意抽取的 5 件中恰有 2 件次品”。则 种，即 。于是所求概率为。5 件产品中恰有 2 件次品的取法 /31．一批产品共有 10 个正品 2 个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。求： （1）第二次取出的是次品的概率；（2）两次都取到正品的概率； （3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。 32．一批产品共有 10 个正品 2 个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：30（1）至少取到一个正品的概率；（2）第二次取到次品的概率；（3）恰有一次取到次品的概率。 31 解：设 表示：“第 次取出的是正品”（ =1，2），则（1）第二次取到次品的概率为（2）两次都取到正品的概率为 （3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为32 解：设表示：“第 次取出的是正品”（ =1，2），则（1）至少取到一个正品的概率 （ 2 ） 第 二 次 取 到 次 品 的 概 率 为（ 3 ） 恰 有 一 次 取 到 次 品 的 概 率 为31．一批产品共有 10 件正品 2 件次品，从中任取两件，求： （1）两件都是正品的概率；（2）恰有一件次品的概率；（3）至少取到一件次品的概率。 32．一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是 0.6，乙机床和丙机床需要照看的概率分 别是 0.5 和 0.8。求在一小时中， （1）没有一台机床需要照看（2）至少有一台机床不需要照看的概率。 31 解：设 表示：“取出的两件都是正品是正品”； 表示：“取出的两件恰有一件次品”； 表示：“取出的两件至少取到一件次品”；则（1）两件都是正品的概率 （2）恰有一件次品的概率 （ 3 ） 至 少 取 到 一 件 次 品 的 概 率32 解：设表示：“没有一台机床需要照看”； =1，2，3）。则表示：“至少有一台机床不需要照看“； ； 。表示：“第 台机床需要照看”（3131．在某城市中发行三种报纸 报的有 20%，同时订阅 订阅 及、， 经调查， 订阅 及报的有 50%， 订阅报的有 30%， 订阅 及 报的有 5%，同时报的有 10%，同时订阅报的有 8%，同时订阅、 报的有 3%，试求下列事件的概率： 32．一盒子中黑球、红球、白球各占 50%、30%、20%，从中任取一球，结果不是红球，求：（1）取到 的是白球的概率；（2）取到的是黑球的概率。 32． （1）只订阅 3 1 解 ： （ 1 ） 及 报；（2）恰好订阅两种报纸。（2）32 解： 设 问题（2）化为求 （1）分别表示： “取到的是黑球、 红球、 白球” （ =1， 2， 3） ， 则问题 （1 ） 化为求 。由题意 两两互不相容，所以， 。因此由条件概率公式得；（2）31．已知工厂 生产产品的次品率分别为 1%和 2%，现从由 批产品中随机抽取一件，求：（3） 该产品是次品的概率；的产品分别占 60%和 40%的一（4） 若取到的是次品，那么该产品是 工厂的概率 。 32．有两个口袋，甲袋中盛有 4 个白球，2 个黑球；乙袋中盛有 2 个白球，4 个黑球。由甲袋任取一球 放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。 31 解：设 表示“取到的产品是次品”； 工厂的”。则 “取到的产品是 工厂的”； 取到的产品是次品的概率为“取到的产品是（1）（2）若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率为32 解：设表示：“由甲袋取出的球是白球”；表示：“由甲袋取出的球是黑球”；表 示 ： “ 从 乙 袋 取 出 的 球 是 白 球 ” 。 则31．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中 1/2 是第一家工厂生产的，其余两家各生产 1/4，又 知第一、二、三家工厂生产的产品分别有 2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：32（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。 32 三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的 40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为 0.05、0.04、和 0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率；（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 31 解：设事件 （ （1） 表示：“取到的产品是次品”；事件 ）。 则 由全概率公式得 ，且 表示：“取到的产品是第 ， 家工厂生产的”两两互不相容，（2）由贝叶斯公式得32 解：设事件表示：“取到的产品是不合格品”；事件表示：“取到的产品是第 家工厂生产的”（ 式得）。则，且，两两互不相容，由全概率公（ 1 ）（2）由贝叶斯公式得=31．有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为 3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、 轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为 1/4、1/3、1/12、1/8。求： ( 1 ) 此人来迟的概率( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。 32．有两箱同类零件，第一箱 50 只，其中一等品 10 只，第二箱 30 只，其中一等品 18 只，今从两箱中 任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只（有放回），试求： （1）第一次取到的是一等品的概率； （2）两次都取到一等品的概率。 31 解： 设事件 表示： “此人来迟了” ； 事件 分别表示： “此人乘火车、 轮船、 汽车、 飞机来” （ ，4）。则，且 （， 1）由两两互不相容 全概率公式得（2）由贝叶斯公式得 32 则 解： 设 表示： “取到第 （= 箱零件” 1 ） ； 表示： “第 次取到的是一等品” ；33（2）31．设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以 0.03、0.04、0.06 的概率被损 坏而发生断路，求电路发生断路的概率。 32．甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为 0.8，乙击中敌机的概率为 0.5，求下 列事件的概率：( 1 ) 敌机被击中；（2）甲击中乙击不中；（3）乙击中甲击不中。 31 解：设 表示：“第 个电子元件被损坏”（ =1，2，3），则有 。依题意所求概率为 ； ；32 解：设事件 中 ” 。 则表示：“甲击中敌机”；事件 （ 1 ）表示：“乙击中敌机”；事件表示：“敌机被击（2） （3） 31．已知 32．设 3 1 ， ， 解 ， ： ， ，求 由 ，求 。 于 。所32 解： 由于 ，，而， ，。 31．设事件 、 相互独立，已知 ， 。求：（1） ； （2）32．设 （1） 31 解：由、为随机事件，且 。，，，求：；（2）34即 所 以解得32解：（1）（2）31、从一批由 1100 件正品，400 件次品组成的产品中任取 200 件。 （1） （1） 求恰有 90 件次品的概率（2） 求至少有两件次品的概率。 求最小号码为 5 的概率。 （2）求号码全为偶数的概率。90 110 C400 C0032、在房间里有 10 个人，分别佩带从 1 号到 10 号的纪念章，任选 3 人记录其纪念章的号码。31 答： （1），（2） 1 ?200 1 199 C1100 ? C400 C0032 答： （1）最小号码为 5，即从 6、7、8、9、10 里选两个，所求概率为C52 1 = 3 12 C10（2）号码全为偶数，即从 2，4，6，8，10 里选三个，所求概率为3 1 C5 = 3 C10 1231、从 5 双不同的鞋中任取 4 只，求这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率。 32、将 3 个球随机的放入 4 个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为 1，2，3 的概率。1 2 2 C5 C4 2 2 ? C5 31 解： 从 5 双鞋中取 4 只， 至少配成一双的概率为： 或 4 C101?4 4 C5 2 或 4 C101 2 2 C5 C8 ? C5 4 C1032 解：杯中最多有一个球时，概率为3 1 1 A4 6 C32C4 C3 9 ? ;杯中最多有两个球时，概率为 ? ; 3 3 4 16 4 16杯中最多有三个球时，概率为3 1 C3 C4 1 ? ; 3 4 1631、某货运码头仅能容一船卸货，而甲乙两船在码头卸货时间分别为 1 小时和 2 小时。设甲乙两船在 24 小时 内随时间可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。 32、从区间（0，1）内任取两数，求这两个数的积小于 1/4 的概率。 31 解 ： 设X、Y 分 别 为 甲 乙 两 船 到 达 的 时 刻 而 甲 到 乙 未 到 应满 足 Y ? X ? 1 而 乙 到 甲 未 到 应 满 足 X ? Y ? 2 所以它们中任何一船都不需等待码头空出的概率为1 1 24 ? 24 ? ? 22 ? 22 ? ? 23? 23 2 2 =0.8793 P? 24 ? 24 1 3 ? 3 1 1? ? ? ? 32 解：设从区间（0，1）所取两数为 X、Y 要使 XY〈 ， P ? 2 4 2 4 4 1或者 P? 0.56? 1?1 1 1 1 1 ? ?1 dx ? ? ln 2 4 4 4x 4 23531、已知 P?A ? ? 0.3, P?B? ? 0.4 ， P?AB ? ? 0.5 ，求 P?B A ? B ?1 1 1 , , 5 3 4。求密码被破译的概率。32、三个人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 31 解：? P( AB)? P( A) ? P( AB ) =0.7-0.5=0.20.2 P ( AB ) = =0.25 P ( A) ? P ( B ) ? P ( AB ) 0.7 ? 0.6 ? 0.5? P ( B A ? B ) ? P ( AB ) ?P( A ? B )32 解：设 AI?&第i个人能破译 & ，则所求为 P( A1 ? A2 ? A3 )4 2 3 ? ? ? 0.6 5 3 4? 1? P( A 1?A 2 ?A 3 ) ? 1 ? P( A 1 ) P( A 2 ) P( A 3)31：设有 4 张卡片分别标以数字 1，2，3，4，今从中任取一张。设 A 表示事件“取到标有 1 或 2 的卡片” ，B 表示事件“取到标有 1 或 3 的卡片” ，C 表示事件“取到标有 1 或 4 的卡片” 。验证P( AB) ? P( A) P( B)，P( AC) ? P( A) P(C )，P( BC) ? P( B) P(C ) P( A) P( B) P(C) ? P( ABC)32、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。1 1 1 , P ( BC ) ? ， P ( ABC ) ? , 4 4 4 1 1 1 ? P( AB ) ? P( A) P( B) ? , P( AC ) ? P( A) P(C ) ? , P( BC ) ? P( B) P(C ) ? 4 4 4 1 ? P( ABC ) 而 P ( A) P ( B ) P (C ) ? 831 解：显然 P ( A)? P( B) ? P(C ) ?1 ， 2P ( AB ) ?32 解：设 A=“在三次内能拨通电话” ，Ai ?&第i次 能 拨 通 电 话 “ i=1 ， 2 ， 3 ， 则A ? A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3P( A) ? P( A1 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 A3 )? P( A1 ) ? P( A1 ) P( A2 A1 ) ? P ( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) ?四．综合题(本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分) 33 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10 件产 品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测 量一汽车通过给定点的速度. 34 设 A、B、C 为三个事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 和 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A、B、C 都发生； （4）A、B、C 都不发生； （5）A、B、C 不都发生； （6）A、B、C 至少有一个发生； （7）A、B、C 不多于一个发生； （8）A、B、C 至少有两个发生. 33 解 所求的样本空间如下1 9 1 9 8 1 3 ? ? ? ? ? ? 10 10 9 10 9 8 10概率论与数理统计真题综合题36（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x +y &1}（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10}（4）S= {v |v&0}2 2(1) ABC34 解 所求的事件表示如下(2) ABC (3) ABC (4) ABC (6) A ? B ? C(5) ABC(7) AB ? BC ? AC (8) AB ? BC ? CA33 某旅行社 100 名导游中有 43 人会讲英语，35 人会讲日语，32 人会讲日语和英语，9 人会讲法语、英语和 日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求： （1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率； （2）此人只会讲法语的概率. 34 罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子 4 颗黑子，若从中任取 3 颗，求： （1） 取到的都是白子的概率； （2 ） 33 解： 设 A={此人会讲英语}, (1) P ( ABC ) ? 取到两颗白子，一颗黑子的概率； 取到三颗棋子颜色相同的概率. C={此人会讲法语}根据题意, 可得 （3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4 ） B={此人会讲日语},32 9 23 ? ? P( ABC) ? P( AB) ? P( ABC) 100 100 100 43 35 32 54 ? ? ? ? P( A ? B) ? 0 ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? 1 ? 100 100 100 100 P( AB) ? P( ABC ) ?34 解 (1) 设 A={取到的都是白子} 则P( A) ?3 C8 14 ? ? 0.255 3 C12 55(3)1 C82C4 (2) 设 B={取到两颗白子, 一颗黑子 P( B) ? ? 0.509 . 3 C12 设 C={取三颗子中至少的一颗黑子} P(C ) ? 1 ? P( A) ? 0.7453 3 (4) 设 D={取到三颗子颜色相同} P( D) ? C8 ? C4 ? 0.273 3 C12 33（1）500 人中，至少有一个的生日是 7 月 1 日的概率是多少(1 年按 365 日计算)？ （2）6 个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？ 34. 将 C，C，E，E，I，N，S 7 个字母随意排成一行，试求恰好排成 SCIENCE 的概率 p.33 解(1) 设 A = {至少有一个人生日在 7 月 1 日}, 则 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 364 ? 0.746 5005003654 1 2 (2)设所求的概率为 P(B) P( B) ? C6 ? C12 ?11 ? 0.34 解由于两个 C，两个 E 共有 A2 A2 种排法，而基本事件总数为 33 从 5 副不同的手套中任取款 4 只，求这 4 只都不配对的概率.227 ，因此有 A7 p?2 2 A2 A2 ? 0. A734 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件， 第 i 只零件是不合格的概率为 pi 3，若以 x 表示零件中合格品的个数，则 P(x=2)为多少？ 33 解 要 4 只都不配对，我们先取出 4 双，再从每一双中任取一只，共有 C 5C P (A ) ?4 5?1 1?i， i=1， 2，4? 24 中取法.设 A={4 只手套都不配对}，则有? 244 C 10?80 21034 解 设 Ai = {第 i 个零件不合格}，i=1,2,3, 则 P ( Ai )? pi ?1 i 所以 P ( Ai ) ? 1 ? pi ? 1? i 1? iP( x ? 2) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) 由于零件制造相互独立，有：37P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ， P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 所以, P( x ? 2) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ? 112 3 4 2 3 4 2 3 4命中目标的概率 p. 34 设某种产品 50 件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为 0.35，有 1，2，3，4 件次品的概率分别为 0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取 10 件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概 率. 33 解 设 A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，Bi ={第 i 次击中目标}, i=1,2. 则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式? P ( AB ) ? P ( A) P ( B | A) ? P ( A) P (( B1 ? B2 ) | A)2433 假设目标出现在射程之内的概率为 0.7，这时射击命中目标的概率为 0.6，试求两次独立射击至少有一次P ( B ) ? P ( AB ) ? P ( AB )另外 , 由于两次射击是独立的 ,故 P(B1B2|A)= P(B1|A)P(B2|A) = 0.36 由 加 法 公 式 P((B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A) － P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84 因 此 P(B)= P(A)P((B1+B2)|A)=0.7×0.84 = 0.588 34 解 设 Ai ={一批产品中有 i 件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取 10 件检查出一件次品}, C={产品中次品不超两件},P( B | P( B | P( B | P( B | P( B |由题意? ? 01 9 C 1 C49 10 C50 1 9 C2 C48 10 C50 1 9 C3 C47 10 C50 1 9 C4 C46 10 C50A 0 ) A 1 )? ? ? ?1 5 16 49A 2 ) A 3 ) A 1 )? ? ?39 98 988 2303由于 A0, A1, A2, A3, A4 构成了一个完备的事件组, 由全概率公式P( B) ? ? P( Ai ) P( B | Ai ) ? 0.196 由 Bayes 公式i ?04P ( A0 ) P ( B | A0 ) ? 0 故 P( B) P( A ) P ( B | A ) 1 1 P( A ? 0.255 1 | B) ? P( B) P ( A2 ) P ( B | A2 ) P ( A2 | B ) ? ? 0.333 P( B) P ( A0 | B ) ?P(C ) ? ? P( Ai | B) ? 0.588i ?0233 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏 2%，10%和 90%的概率分别为 0.8，0.15，0.05，现在从 中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后 不影响下一件的概率）. 34 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含 0，1 和 2 件残次 品的箱各占 80%，15%和 5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中 4 只；若未发现残次品，则通过验收，否则要 逐一检验并更换残次品，试求： 33 解 设 B={三件都是好的}，A1={损坏 2%}, 因此有 P(B| A1) = 0.98 ,33A2={损坏 10%}, A1={损坏 90%}，则 A1, A2, A3 是两两互斥, 且3A1+ A2 +A3=Ω , P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05. P(B| A2) = 0.90 , P(B| A3) = 0.1 ,3由全概率公式 P( B) ? ? P( Ai ) P( B | Ai )i ?1? 0.8 ? 0.983 ? 0.15 ? 0.903 ? 0.05 ? 0.103 ? 0.862438由 Bayes 公式,这批货物的损坏率为 2%, 10%, 90%的概率分别为P ( A1 | B ) ? P ( A2 | B ) ? P ( A3 | B ) ?P ( Ai ) P ( B | Ai ) 0.8 ? 0.983 ? ? 0.8731 P( B) 0.8624 P ( Ai ) P ( B | Ai ) 0.15 ? 0.903 ? ? 0.1268 P( B) 0.8624 P ( Ai ) P ( B | Ai ) 0.05 ? 0.103 ? ? 0.0001 P( B) 0.8624由于 P( A1|B) 远大于 P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为 0.2. （1）一次通过验收的概率α ； （2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β . 34 解 设 Hi={ 箱中实际有的次品数 }, i ? 0,1, 2 , A={ 通过验收 }P ( A | H 0 ) ? 1, P ( A | H1 ) ? P( A | H 2 ) ?4 C 23 5 ? , 4 C 24 6 4 C 22 95 ? 4 C 24 138P(H0)=0.8,P(H1)=0.15,P(H2)=0.05, 那么有：(1)由全概率公式 ? ? P( A) ?? P( H ) P( A | H )i ?0 i i2? 0.96(2)由 Bayes 公式 得? ? P( H i | A) ?P( H 0 ) P( A | H 0 ) 0.8 ?1 ? ? 0.83 P( A) 0.9633 一建筑物内装有 5 台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被 使用的概率为 0.1，问在同 一时刻（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？ （2）至少有三台设备被使用的概率是多少？ 34 ? C5 (0.1)3 5 (0.9)2 ? C54 (0.1)4 (0.9)1 ? C5 (0.1)5 (0.9)0 ? 0.00856进行某种试验，设试验成功的概率为 3 1 ， 失败的概率为 ， 以 X 表示试验首次成功所需试验的次数， 试写出 X 的分布律， 并计算 X 取偶数的概率. 4 4 333 解 设 5 台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是 5 重伯努利试验. 由题意，有 p=0.1, q=1 ? p=0.9, 故2 2 3 (1) P 1 ? P 5 (2) ? C5 (0.1) (0.9) ? 0.0729(2) P 2 ? P 5 (3) ? P 5 (4) ? P 5 (5) 34 解?1? X 的分布律为： P( X ? k ) ? ? ? ? 4?k ?1? 3? ? ? , k ? 1, 2,3,? ? 4??? ? ?4?k=1 ?X 取偶数的概率： P{ X 为偶数} ? ? P ( X ? 2k ) ?k=1 ? ? 1 ? ? 3? ? ? k=1 ? 16 ? k??1?2 k ?1?3? ? ? ?4?? 3?1 16 ? 1 5 1? 1 1633 设连续型随机变量 X 的密度函数为? ? F ( x) ? ? ? ?k 1 ? x2 0,,x ?1 x ?1求： （1）系数 k； （2） P ? X ? ??1?； ? （3）X 的分布函数. 2?234.设某台机器生产的螺栓的长度 X 服从正态分布 N(10.05，0