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结构力学虚功原理最小势能原理解题示例
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最小势能原理、虚功原理解题示例最小势能原理：在给定外载荷的作用下，对于稳定平衡系统，在满足位移边界条件的所有各组位移中，实际位移使弹性系统的总势能最小。例2.1如图2.1所示桁架结构，各杆的横截面积均为A，弹性模量均为E，在节点1处作用水平集中力P，试用最小势能原理求各杆的内力。图2.1解：令在外力作用下，节点1在x向的位移为，在y向的位移为。则有：杆号杆长杆变形1-2 2.5a 1-3 2.236a 1-4 2.236a 杆应变能的表达式为：则系统的总势能为：由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：即：解得：杆的内力可由公式：求得，故各杆的内力为：例2.2如图2.2所示的梁，其上作用有均布载荷q，试用最小势能原理求其挠度曲线。图2.2解：令梁的挠度函数为，它必须满足以下几个条件：1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；2、由于有均布载荷q的作用，故应为x的4次多项式。故，考虑到梁左侧为固支，可设：梁右侧需满足：且梁右侧没承受弯矩，有：（力的边界条件）代入边界条件，有：等截面梁的弯曲应变能表达式为：【根据平面假设，梁在受弯曲变形后，其横截面仍保持为平面，它一方面有挠度，一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角度，由于该转角的存在，使得距离中性轴为y处的x方向的位移为，应变，弯曲应力为，因此，等截面梁的弯曲应变能为：】则系统的总势能为：由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：又：【】由于变分可取任意值，故有：所以：虚功原理：当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时，对任意为约束所容许的虚位移，外力虚功等于内力虚功。虚功原理又称为虚位移原理。例2.3 试用虚功原理求如图2.3所示梁的位移。图2.3解：令在外载荷P作用下，梁的转角为，则各杆的变形为：给梁施加一个虚位移：则外力虚功为：虚应变能为：由虚功原理，有：，即：故梁的位移为：图2.4【虚功原理的其它例题可参见理论力学（静力学）第四章第7节】例2.2 若用虚功原理求解，其步骤如下：解：令梁的挠度函数为，它必须满足以下几个条件：1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；2、由于有均布载荷q的作用，故应为x的4次多项式。故，考虑到梁左侧为固支，可设：梁右侧需满足：且梁右侧没承受弯矩，有：代入边界条件，有：等截面梁的弯曲应变能表达式为：给梁施加一个虚位移：则其外力虚功为：虚应变能为：由虚功原理，有：，即：由于虚位移是任意的，故：所以：【由此可以看出，虚位移原理和最小势能原理是一致的，都是从能量的角度来阐述超静定结构在平衡状态所需满足的条件，即用能量方程来替代变形协调条件。在做题时，个人觉得最小势能原理具有更好的操作性。】
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虚功原理不同于最小势能原理
【摘要】：正 虚功原理和最小势能原理是力学中的重要变分原理。许多固体力学文献在引用这两个原理时,常常说它们是“一致的”,“等价的”,“本质上是相同的”等等。本文将指出,它们是不同的。为具体起见,这里用小位移弹性理论来讨论。一、最小势能原理所反映的客观规律首先弄清最小势能原理反映了那些客观规律。弹性体系统的总势能是
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虚心求教能量不等式的物理意义方程如下：Utt-a^2*Uxx=0;（Utt和Uxx分别是对U求t和x的二阶偏导,下同）(U|t=0)=phi(x);(Ut|t=0)=psi(x);真心请教下Ut和Ux有什么物理意义?还有弦内张力T的势能dE=（1/2*T*（Ux）^2）dx是怎么回事?怎么来的?
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额 好像百度就有
好吧，那个我确实之前就看到了，但没看仔细，多谢帮我发现。我还以为没有人会回答。。
居然采纳了！！
其实很多东西都得自己慢慢学 最近在做毕业设计 做iPhone app 什么秘籍都是扯淡。找到apple developer网站一个一个英文单词慢慢看，居然也慢慢看懂了。没有捷径是真的。共勉共勉啊。
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扫描下载二维码近年来，力学界的争论之最小势能原理近年来，力学界的争论之最小势能原理DR电缆百家号引言：不知不觉，自己已经是第六天坐在电脑前写文章了，寒假的生活是轻松而有序的，我可以认真读一些书，看一些论文，正是由于最近对FEA的专注，让我近距离观察了有限元的经典理论“最小势能原理”，发现了一些问题，查找了一些论文，在这里做一下小结，并说说我的看法。首先附上两篇论文链接，第一篇是2011年中科院某所的论文，第二篇是2015年西安电子科技大学的一篇论文，后者对前者进行了全盘的否定，读完后，谈谈我的理解。链接一：对弹性静力学中外力功表达式及相关问题的探讨_图文_百度文库链接二：最小势能原理中总势能表达式的理解问题一的提出：在我们学习材料力学位移求解理论的时候，对于一类简单问题，求给定荷载处的位移，我们可以采用能量守恒进行计算，即W=U，前者是外力功，后者是变形能。这里的外力功的求解有这样的说明：（1）准静态加载，即从零开始缓慢加载；（2）线性变化到终值；故这个外力功的大小为1/2Fd，d为该点的真实位移。那么我们可以得到U-W=0。但是在弹性理论中，我们却说有了最小势能原理，即势能泛函=U-W必须取得最小值，前者相减为实常数0，后者是一个泛函，是否最小势能原理与能量守恒相违背？问题二的提出：最小势能原理中，外力势能的表达项为什么没有乘1/2？没有1/2即不是准静态加载，应该属于冲击荷载范畴。2011年中科院论文的核心概述：（1）弹性力学的边值问题，外力应理解为从零开始准静态加载，不是瞬加；（2）总势能中的外力功的表达不是真实功，而是某种“虚功”，故总势能也不是真实势能；（3）弹性系统的总势能是真实的应变能和非真实的外力势能之和；（4）弹性系统总势能的定义是为了最小势能原理的成立。对以上我提出问题的贡献：（1）解决了能量守恒和最小势能原理的冲突，论文阐述，W=U描述能量守恒过程，完全正确，但最小势能原理中的U-W，W应该是W*，是某种虚功，而不是真实功。（2）没有1/2因为此功并非真实功，而是虚功，如此定义恰好可以通过泛函求解处平衡位置的位移函数，并用一维弹簧来说明，1/2kx-fx=0。我的看法：此问题可以自圆其说，但是对最小势能的定义出现了严重的打击，虚功原理描述了“非真实”的某种可能，描述虚位移，虚应变，而最小势能，各种参考文献中均为“虚”一次，该论文把真实的应变能和虚功加在一起，显然缺乏物理背景，出现了严重的不协调。2015年西安电子科技大学的论文概述：（1）总势能即真实势能，功非虚功，势能也并非某种虚假的势能；（2）这里的外力功并非加载功，而是卸载功。（3）恢复变形时的外力功不光“抵消”了变性能，还有一部分产生动能，整个体系满足能量守恒。对以上我提出问题的贡献：论文作者引发我们思考这样一个问题，什么是外力势能？回忆高中时期，我们对势能的定义，第一步，选取参考点，即零势能位置，从某个位置移动到零势能位置时，所做的功，就是该物体在该力场该位置的该种势能，那么此处的外力势能应该是恢复形变过程的外力功，恢复形变时，外力已经存在，故不可能再线性缓慢卸载，而是以平衡位置的大小作为定值卸载，但是卸载时，恢复过程中的外力功明显是二倍的应变能，U-W的结果应该是-U，而-U应该为卸载后物体产生的动能。整个过程，符合能量守恒，卸载前，处于最小势能状态，即U-W，而卸载后，虽然外力势能和变性能为0，但是动能却为-U。作者也给出了如此状态加载会产生的现象，恒力加载会产生-U大小的动能，但由于真实情况的阻尼影响，动能会衰减。最小势能与虚功原理，一个是变分形式，一个是积分形式，本质完全等价。我的看法：我个人觉得2015年的文章更加合理，更加符合我们传统对势能的定义，也阐述了真实情况下，能量守恒与理论不考虑阻尼的能量守恒的一些差异。存在的一些问题以及我的看法：第一篇文章的逻辑显然有问题，前面已经提及。第二篇文章在思路上已经有了很大的改善，符合理论，传统，与实际。但第二篇文章中存在这样的疏漏，作者已经定义了外力势能，是恢复变形时，外力所做的功，那么为什么还是给W取负值来表达？就我的理解来看，总势能应该等于应变能加外力势能，等于应变能加恢复形变是外力功，等于V+W'。而W'的表达等于-W的原因是因为，功与路径息息相关，这个负号应该是给位移函数加的，因为位移函数我们是原始位置到变形位置的位移函数，而此时的W'是恢复变形的位移函数，所以负号应该给原始的位移函数，从表面上看就有了W'=-W。我的最终梳理：（1）最小势能原理和能量守恒原理相容；（2）最小势能原理中的外力势能的定义应该为卸载时外力做功；（3）卸载时，外力保持平衡位置状态外力的大小；（4）卸载时，功的路径函数，与加载时的位移函数相差符号。这是我对力学领域这个争论一点小的看法，以及提出了我的观点，希望朋友们批评指正。本文仅代表作者观点，不代表百度立场。系作者授权百家号发表，未经许可不得转载。DR电缆百家号最近更新：简介:未来的报告，新领导者的使用寿命作者最新文章相关文章怎么由虚功原理推出最小势能原理_百度知道
怎么由虚功原理推出最小势能原理
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泛函（复合函数）、极值等术语来进行表达和推导,而没有考虑背后的物理含义怎么由虚功原理推出最小势能原理试函数为许可位移场；由求取积分问题的最小值（即使其势能为最小）；整个方法为计算一个全场（几何域）的积分（物理含义为整个区域的能量）,只是用方程,可将原方程的求解化为线性方程组的求解；整个方法的处理流程比较规范.可以看出,以上的变分方法提法完全是从纯数学的角度来描述的.最小势能原理和虚功原理的提法为物理提法,即只需要满足位移条件,而不必满足外力条件；积分中试函数的最高阶导数较低
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