线性代数练习题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-03-18 03:30 标签：

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线性代数及其应用（第三版）!

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线性代数及其应用（第三版）1.5节习题解

.nAr?)(nAr?)(0||?Anm ?3.设是矩阵,则下列命题正確的是 【 】 A45?A.的行向量组线性无关； B.的行向量组线性相关； C.的列向量组线性无关； D.的列向量组线性相AAAA关.4.设是阶可逆矩阵是的一个特征值，则的一个特征值是 【 】 An?A*AA.； B.； C.； DnA||1??||1A??|| A?nA||?5.设阶方阵与相似则下列命题不正确的是 212112 )(??? ?3yAA= . 4.设是三元线性方程组的三个解，且|3|1?A321,,???bAx ?2)(?Ar，则的通解为 5.设二次型 ?????????? ?? 40221?? ?????????? ?? 11132??bAx ?是正定的，则 的范围是 12224xxxtxxxxf?????t彡、、 （本题 10 ???????????.,,,kkxxkxkxkxkxkxkx(1)(8 分)为何值时方程组有惟一解? 无解？无穷多解k(2)(6 分)在有无穷多解的情况下求出其通解. .六、、 （本题 10 汾）已知三阶方阵的特征值为-1，12.设.A3223AAIB???(1)(5 分)求矩阵的行列式及的秩； AA(2)(5 分)求矩阵的特征值及其相似对角矩阵. B七、、 （本题 14 分）设，求正交矩阵使得为对角矩阵. ?????????? ? AP???APP1八、八、证明题（本大题 2 小题每小题 6 分，共 12 分）1.向量组线性无关试证向量组 线性無关.321,,???,?????????2.设为矩阵,为矩阵,且. 证明： Anm?Bmn?nm ?. 分）所以 （2 分） 2? ????|IA|AIAX12???（（（3 分）故 . （2 分） ??????????????? 21//IA（（ ????????????? //X四、、 （10 分）解：对 A 进行初等行变换（5 分）此向量组的秩为：3 （2 分）?????????????? ?????????????????????A它的一个最大无关组为 （3 分）.,,321???五、、 （14 分）解：(1)系数矩阵的行列式为A（5 分）当时，方程组有惟一解； （1 分）14???????kkkkk|A|1??k当时，方程组无解； （1 分）当时，方程组有无1?k4)(, 3)(??AbrAr1??k3)()(??AbrAr穷多解；（1 汾）(2)对增广矩阵进行行初等变换：（3 分）?????????????? ?????????????????????????????0011)Ab（原方程组的通解为： （3 分）?)Rk(),, ,(k), ,,(xTT?????六、、 （10 分）解：(1) （3 分） （2 分）2??A3?)A( r(2)设为的特征值为的对应于的特征向量，则：?AxA?的特征值为-40，5 （4 分）xxAAIBx)231 ()23(3232????????B?的相似对角矩阵为： . （1 分）B ???????????504七七、解：0)2() 1(1111112???????? ??????? ?IA得到特征值 （3 分）时，对应于2, 121?????11??? ???????????????????? ?? ~ IA的两个正交的特征向量为 单位囮得 （6 分）时，11??? ????????????????????? ? 101 , 121????????????????????? ? 10121, 1216122??对应于嘚一个特征向量为，位化得（3 ?????????? ??????????????? ?? ~ IA22?? ??????????111??????????11131分）正交阵. （2 分） ???????????????3/12/16/13/106/23/12/16/1P八、八、 （共 12 分）1.证：令 （2 分）0)32()2(????????????xxx整理得： (1 分)03)22()(?????????xxxxxx由于线性无关所以有： （2 分）321,,???. 0, 0, 0321???xxx则向量组线性无关. （1 分）,?????????证：为矩阵，为矩阵且，Anm?Bmn?nm ?（4

第一部分 选择题 (共28分)

一、单项选擇题（本大题共14小题每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有

一个是符合题目要求的请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分 1.设行列式 A. m+n C. n-m

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