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什么是电荷的量子化？你能举出其他具有量子化的物理量吗？
&答：电荷具有的只能取离散的、不连续量值的性质称为电荷的量子化。其他具有量子化的物理量有“角动
量”“能量”“电子绕原子核运动的轨道半径”“干涉、衍射光谱的位置”等等。
两静止点电荷之间的相互作用力遵守牛顿第三定律吗？
答：遵守。牛顿第三定律适用于一切同性质的力。
5-3 设电荷均匀分布在一空心均匀带电的球面上，若把另一点电荷放在球心上，这个电荷能处于平衡状态
吗？如果把它放在偏离球心的位置上又将如何呢？
答：把一点电荷放在均匀带电球面的球心上或者放在偏离球心的位置上，该电荷均能处于平衡状态，因为均
匀带电球面内的场强处处为零，由
F=qE 可知，处于均匀带电球面内的任一点电荷均不受电场力的作用。
在电场中某一点的电场强度定义为
，若该点没有试验电荷，那么该点的电场强度又如何？为什
答：该点的电场强度不变。因为电场中某一点的电场强度反映的是电场对放置在该点的单位电量电荷的作用
情况，电场强度属于电场所具有，与放置试验电荷与否无关。
5-5 有人说，点电荷在电场中一定是沿电场线运动的，电场线就是电荷的运动轨迹，这样说对吗，为什么？
答：引入电场线的目的是为了形象地反映电场方向、强弱和电场的分布范围，与放入电荷与否无关。点电荷
在电场中的运动轨迹除了与所受到的电场力有关外，还与点电荷进入电场时的初速度有关，一般情况下不与电场
5-6 我们分别介绍了静电场的库仑力的叠加原理和电场强度的叠加原理。这两个叠加原理是彼此独立没有
联系的吗？
答：不是。当真空中存在由
n 个点电荷构成的电荷源时，则在场点
P 处的电场强度可由作用在试验电荷
上的库仑力按叠加原理得到
即点电荷系的电场强度在某场点的场强等于各个点电荷在该点场强的矢量和需要指出的是：电场强度的叠加
原理似乎是库仑力叠加原理的推论，但从场的观点看遵从叠加原理应属于电场的一个基本性质，正是电场遵从叠
加原理才导致电场力遵从叠加原理。
在点电荷的电场强度公式
r→0，则电场强度 E 将趋于无限大，对此，你有什么看法呢？
答：当一个带电体本身的线度比所研究的问题中涉及的距离（如带电体间的距离、场点和带电体之间的距离）
小很多时，该带电体的形状与电荷在其上的分布状况均对受力分析无影响，该带电体才可看作一个带电的点。上
面的点电荷的电场强度公式也只能在这样的情况下才能成立。当
r→0 时，带电体已不能看作点电荷了，所以上
述的场强公式也就不再适用了。
5-8 电场是矢量场，你能举出另外两个矢量场的名字来吗，如果你目前尚举不出，学完大学物理后应当能
举出来，对吗？
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物理竞赛专题(高中)
最新高中物理竞赛讲义（完整版）专题 物理竞赛 物理竞赛专题 （高中版）1 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）目录最新高中物理竞赛讲义（完整版）....................................................... 1 第 0 部分 绪言....................................................................................... 3一、高中物理奥赛概况..................................................................... 3 二、知识体系..................................................................................... 3 第一部分 力＆物体的平衡................................................................... 4第一讲 力的处理............................................................................... 4 第二讲 物体的平衡........................................................................... 6 第三讲 习题课................................................................................... 7 第四讲 摩擦角及其它..................................................................... 10 第二部分 牛顿运动定律..................................................................... 13第一讲 牛顿三定律......................................................................... 13 第二讲 牛顿定律的应用................................................................. 14 第二讲 配套例题选讲..................................................................... 22 第三部分 运动学................................................................................... 22 第一讲 基本知识介绍................................................................... 22第二讲 运动的合成与分解、相对运动......................................... 24 第四部分 曲线运动 万有引力......................................................... 26第一讲 基本知识介绍..................................................................... 26 第二讲 重要模型与专题................................................................. 27 2 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）第三讲 典型例题解析..................................................................... 36 第五部分 动量和能量........................................................................... 36 第一讲 基本知识介绍..................................................................... 36 第二讲 重要模型与专题................................................................. 38 第三讲 典型例题解析..................................................................... 50 第六部分 振动和波............................................................................... 51 第一讲 基本知识介绍..................................................................... 51 第二讲 重要模型与专题................................................................. 55 第三讲 典型例题解析..................................................................... 63 第七部分 热学....................................................................................... 64 一、分子动理论............................................................................... 64 二、热现象和基本热力学定律....................................................... 66 三、理想气体................................................................................... 68 四、相变........................................................................................... 74 五、固体和液体............................................................................... 78 第八部分 静电场................................................................................... 79 第一讲 基本知识介绍..................................................................... 79 第二讲 重要模型与专题................................................................. 82 第九部分 稳恒电流............................................................................... 92 第一讲 基本知识介绍..................................................................... 92 第二讲 重要模型和专题................................................................. 96 第十部分 磁场..................................................................................... 105 3 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）第一讲 基本知识介绍................................................................... 105 第二讲 典型例题解析................................................................... 109 第十一部分 电磁感应......................................................................... 115 第一讲、基本定律......................................................................... 115 第二讲 感生电动势....................................................................... 118 第三讲 自感、互感及其它........................................................... 122 第十二部分 量子论............................................................................. 125 第一节 黑体辐射........................................................................... 125 第二节 光电效应........................................................................... 128 第三节 波粒二象性....................................................................... 134 第四节 测不准关系....................................................................... 1374 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）第 0 部分 绪言一、高中物理奥赛概况 1、国际（International Physics Olympiad 简称 IPhO） ① 1967 年第一届， （波兰）华沙，只有五国参加。 ② 几乎每年一届，参赛国逐年增加，每国代表不超过 5 人。 ③ 中国参赛始于 1986 年的第十七届，此后未间断，成绩一直辉煌。 ④ 1994 年第二十五届，首次在中国（北京）承办。 ⑤ 考试内容：笔试和试验各 5 小时，分两天进行，满分各为 30 分和 20 分。 成绩最佳者记 100% ，积分在 90%以上者获金奖，78%~89 者获银奖，65~77%者获 铜奖。 2、国家（Chinese Physics Olympiad 简称 CPhO） ①1984 年以前，中学物理竞赛经常举行，但被冠以各种名称，无论是组织， 还是考纲、知识体系都谈不上规范。 ② 1984 年开始第一届 CPhO，此后每学年举办一届。 ③ 初赛：每年九月第一个星期天考试。全国命题，各市、县组考，市统一 阅卷，选前 30 名（左右）参加（全省）复赛。 复赛：九月下旬考试。全省命题，各省组织。理论考试前 20 名参加试验 考试，取理论、试验考试总分前 10 名者参加省集训队。集训队成员经短期培训 后推荐 3~7 名参加（全国）决赛。 决赛：全国统一组织。按成绩挑选 15~25 名参加国家集训队，到有关大学 强化训练，最后从中选拔 5 名优秀队员参加 IPhO 。 ④ 满分 140 分。除初赛外，均含理论和试验两部分（试验满分 60 分） 。 3、湖南省奥赛简况 ① 至 1998 年，湖南选手获 CPhO 决赛一等奖 29 人次，占全国的 18.24% ； 在 IPhO 中获金牌 5 枚、银牌 2 枚、铜牌 2 枚，居各省之首。 ② 题型与风格：初赛第十一届（1992 年）开始统一，只有天空和计算。复 赛第十三届（1994 年）开始统一，只有计算题六个，考试时量均为 3 小时。二、知识体系 1、高中物理的三档要求：一般要求（会考）→高考要求→竞赛要求。 竞赛知识的特点：①初赛――对高中物理基础融会贯通，更注重物理方法的 运用；②复赛――知识点更多，对数学工具的运用更深入。 2、教法贯彻 ① 高一：针对“高考要求” ，进度尽量超前高一新课，知识点只做有限添加。 目标瞄准初赛过关。 ② 高二：针对“竞赛要求” ，瞄准复赛难度。高二知识一步到位，高一知识 做短暂的回顾与加深。 ③ 复赛对象在约 15 天的时间内模拟考试，进行考法训练。5 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）3、教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》 ，知识出版社，2002 年 8 月第一版。 推荐典型参考书目―― ① 孙尚礼 毛 瑾主编《高中物理奥林匹克基础知识及题解》 （上、下册） ， 科学技术出版社，1994 年 10 月第一版； ② 张大同主编《通向金牌之路》 ，陕西师范大学出版社（版本逐年更新） ； ③ 湖南省奥林匹克竞赛委员会物理分会编《物理奥林匹克竞赛教程》 ，湖南 师范大学出版社，1993 年 6 月第一版； ④ 湖南省奥林匹克委员会物理分会、湖南省物理奥林匹克培训基地编《新 编物理奥林匹克教程》 ，湖南师范大学出版社，1999 年 5 月第一版； ⑤ 舒幼生主编《奥林匹克物理》 （分 1、2、3 … 多册出版） ，湖南教育出版 社，第一册 1993 年 8 月第一版。 第一部分 力＆物体的平衡第一讲 力的处理 一、矢量的运算 1、加法 ? ? ? 表达： a + b = c 。 ? 名词： c 为“和矢量” 。 法则：平行四边形法则。如图 1 所示。 和矢量大小：c = ? ? 中α为 a 和 b 的夹角。 ? ? ? ? 和矢量方向： c 在 a 、 b 之间，和 a 夹角β= arcsin 2、减法 ? ? ? 表达： a = c － b 。 b sin α a + b 2 + 2ab cos α2其 a 2 + b 2 + 2ab cos α ，? ? ? 名词： c 为“被减数矢量” ， b 为“减数矢量” ， a 为“差矢量” 。 法则：三角形法则。如图 2 所示。将被减数矢量和减数矢 量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时 量的时量，即是差矢量。 ? ? 差矢量大小：a = b 2 + c 2 ? 2bc cos θ ，其中θ为 c 和 b 的夹角。6 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）差矢量的方向可以用正弦定理求得。 一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。 例题：已知质点做匀速率圆周运动，半径为 R ，周期为 T ，求它在 在 1 T 内的平均加速度大小。 2 解说：如图 3 所示，A 到 B 点对应 1 1 T 的过程，A 到 C 点对应 T 的过程。这 4 2 1 T 内和 4? ? ? 三点的速度矢量分别设为 v A 、 v B 和 v C 。根据加速度的定义 ? ? ? ? vC ? vA vB ? vA ? ， a AC = t AB t AC ? ? vt ? v0 ? ? a = 得 ： a AB = t? 由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量 ?v1 =? ? ? ? ? v B － v A ， ?v 2 = v C － v A ，根据三角形法则，它们? 在图 3 中的大小、方向已绘出（ ?v 2 的“三角形”已被拉伸成一条直线） 。 本题只关心各矢量的大小，显然：vA = vB = vC =2πR ， 且： ?v1 = T2 vA =2 2πR 4πR ， ?v 2 = 2 v A = T T所以： a AB =?v1 t AB2 2πR 4πR ?v 2 8 2πR 8πR T = = ， a AC = = T = 。 2 T T t AC T T2 4 2（学生活动）观察与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是 匀变速运动？ 答：否；不是。 3、乘法 矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数 的乘法有着质的不同。 ⑴ 叉乘 ? ? ? 表达： a × b = c ? 名词： c 称“矢量的叉积” ，它是一个新 的矢量。7 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）? ? ? 叉积的大小：c = absinα，其中α为 a 和 b 的夹角。意义： c 的大小对 ? ? 应由 a 和 b 作成的平行四边形的面积。 ? ? 叉积的方向：垂直 a 和 b 确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向，如图 4 所示。 ? ? ? ? ? ? ? ? 显然， a × b ≠ b × a ，但有： a × b = － b × a ⑵ 点乘 ? ? 表达： a ? b = c 名词：c 称“矢量的点积” ，它不再是一个矢量，而是一个标量。 ? ? 点积的大小：c = abcosα，其中α为 a 和 b 的夹角。 二、共点力的合成 1、平行四边形法则与矢量表达式 2、一般平行四边形的合力与分力的求法 余弦定理（或分割成 RtΔ）解合力的大小 正弦定理解方向 三、力的分解 1、按效果分解 2、按需要――正交分解第二讲 物体的平衡 一、共点力平衡 1、特征：质心无加速度。 ? 2、条件：Σ F = 0 ，或 ΣFx = 0 ， ΣFy = 0 例题：如图 5 所示，长为 L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子 与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重 心位置。 解说：直接用三力共点的知识解题，几何 关系比较简单。 答案：距棒的左端 L/4 处。 （学生活动）思考：放在斜面上的均质长 方体，按实际情况分析受力，斜面的支持力会 通过长方体的重心吗？ 解：将各处的支持力归纳成一个 N ，则长方体受三 个力（G 、f 、N）必共点，由此推知，N 不可能通过 长方体的重心。正确受力情形如图 6 所示（通常的受力 图是将受力物体看成一个点，这时，N 就过重心了） 。8 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）答：不会。 二、转动平衡 1、特征：物体无转动加速度。 ? 2、条件：Σ M = 0 ，或ΣM+ =ΣM如果物体静止，肯定会同时满足两种平衡，因此用两种思路均可解题。 3、非共点力的合成 大小和方向：遵从一条直线矢量合成法则。 作用点：先假定一个等效作用点，然后让所有的平行力对这个作用点的和 力矩为零。第三讲 习题课 1、如图 7 所示，在固定的、倾角为α斜面上，有 一块可以转动的夹板（β不定） ，夹板和斜面夹着 一个质量为 m 的光滑均质球体， 试求： β取何值时， 夹板对球的弹力最小。 解说：法一，平行四边形动态处理。 对球体进行受力分析，然后对平行四边形中的 矢量 G 和 N1 进行平移，使它们构成一个三角形，如图 8 的左图和中图所示。 由于 G 的大 小和方向均不 变，而 N1 的方向 不可变，当β增 大导致 N2 的方向 改变时，N2 的变 化和 N1 的方向变 化如图 8 的右图 所示。 显然，随着 β增大，N1 单调 减小，而 N2 的大 小先减小后增大，当 N2 垂直 N1 时，N2 取极小值，且 N2min = Gsinα。 法二，函数法。 看图 8 的中间图，对这个三角形用正弦定理，有： N2 G G sin α = ，即：N2 = ，β在 0 到 180°之间取值，N2 的极值讨 sin α sin β sin β 论是很容易的。 答案：当β= 90°时，甲板的弹力最小。 2、把一个重为 G 的物体用一个水平推力 F 压在竖直的足够高的墙壁上，F 随时 间 t 的变化规律如图 9 所示，则在 t = 0 开始物体所受的摩擦力 f 的变化图线是 图 10 中的哪一个？9 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）解说：静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题，但本题是一个例外。 物体在竖直方向的运动先加速后减速，平衡方程不再适用。如何避开牛顿第二定 律，是本题授课时的难点。静力学的知识，本题在于区分两种摩擦的不同判据。 水平方向合力为零，得：支持力 N 持续增大。 物体在运动时，滑动摩擦力 f = μN ，必持续增大。但 物体在静止后静摩擦力 f′≡ G ，与 N 没有关系。 对运动过程加以分析，物体必有加速和减速两个过程。 据物理常识，加速时，f ＜ G ，而在减速时 f ＞ G 。 答案：B 。 3、如图 11 所示，一个重量为 G 的小球套在竖直放置的、半 径为 R 的光滑大环上，另一轻质弹簧的劲度系数为 k ，自由 长度为 L（L＜2R） ，一端固定在大圆环的顶点 A ，另一端与 小球相连。环静止平衡时位于大环上的 B 点。试求弹簧与竖 直方向的夹角θ。 解说：平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角 形中去讨论，解三角形的典型思路有三种：①分割成直角三 角形（或本来就是直角三角形） ；②利用正、余弦定理；③利用力学矢量三角形 和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。 分析小球受力→矢量平移，如图 12 所示，其中 F 表示弹簧弹力，N 表示大环 的支持力。 （学生活动）思考：支持力 N 可不可以沿图 12 中的反 方向？（正交分解看水平方向平衡――不可以。 ） 容易判断，图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形 ΔAOB 是相似的，所以： F AB = G R 由胡克定律：F = k（ AB - R） 几何关系： AB = 2Rcosθ 解以上三式即可。 ⑴ ⑵ ⑶10 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）答案：arccoskL 。 2(kR ? G )（学生活动）思考：若将弹簧换成劲度系数 k′ 较大的弹簧，其它条件不变，则弹簧弹力怎么变？环 的支持力怎么变？ 答：变小；不变。 （学生活动）反馈练习：光滑半球固定在水平面 上，球心 O 的正上方有一定滑轮，一根轻绳跨过滑轮 将一小球从图 13 所示的 A 位置开始缓慢拉至 B 位置。 试判断：在此过程中，绳子的拉力 T 和球面支持力 N 怎样变化？ 解：和上题完全相同。 答：T 变小，N 不变。 4、如图 14 所示，一个半径为 R 的非均质圆球，其重心不在球心 O 点，先将它置 于水平地面上，平衡时球面上的 A 点和地面接触；再将它置于 倾角为 30°的粗糙斜面上，平衡时球面上的 B 点与斜面接触， 已知 A 到 B 的圆心角也为 30°。 试求球体的重心 C 到球心 O 的 距离。 解说：练习三力共点的应用。 根据在平面上的平衡，可知重心 C 在 OA 连线上。根据在斜 面上的平衡，支持力、重力和静摩擦力共点，可以画出重心的 具体位置。几何计算比较简单。 答案：3 R 。 3（学生活动）反馈练习：静摩擦足够，将长为 a 、厚为 b 的砖块码在倾角为θ的斜面上，最多能码多少块？ 解：三力共点知识应用。 a 答： ctgθ 。 b 4、两根等长的细线，一端拴在同一悬点 O 上，另一端各系一个小球，两球的质 量分别为 m1 和 m2 ，已知两球间存在大小相等、方向 相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为 45 和 30 °，如图 15 所示。则 m1 : m2 为多少？ 解说：本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学 问题。 对两球进行受力分析，并进行矢量平移，如图 16 所示。11 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）首先注意， 图 16 中的灰 色三角形是等腰三角形，两 底角相等，设为α。 而且，两球相互作用的 斥力方向相反，大小相等， 可用同一字母表示，设 为 F 。 对左边的矢量三角形用 正弦定理，有： m1g sin α ① 同 理 ， 对 右 边 的 矢 量 三 角 形 ， 有 ： ② 解①②两式即可。 答案：1 ： 2 。 （学生活动）思考：解本题是否还有其它的方法？ 答：有――将模型看成用轻杆连成的两小球，而将 O 点看成转轴，两球的重 力对 O 的力矩必然是平衡的。这种方法更直接、简便。 应用：若原题中绳长不等，而是 l1 ：l2 = 3 ：2 ，其它条件不变，m1 与 m2 的比值又将是多少？ 解：此时用共点力平衡更加复杂（多一个正弦定理方程） ，而用力矩平衡则 几乎和“思考”完全相同。 答：2 ：3 2 。 5、如图 17 所示，一个半径为 R 的均质金属球上固定着一根长为 L 的轻质细杆， 细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板 下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为 μ） ，所 以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为 F 的水平拉力。试问：现要将 木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？ 解说：这是一个典型的力矩平衡的例题。 以球和杆为对象，研究其对转轴 O 的转动 平衡，设木板拉出时给球体的摩擦力为 f ， 支持力为 N ，重力为 G ，力矩平衡方程为： f R + N（R + L）= G（R + L） ① 球和板已相对滑动，故：f = μN ② 解①②可得：f = ?G (R + L) R + L + ?R m 2g sin α = F sin 30° = F sin 45°12 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）再看木板的平衡，F = f 。 同理，木板插进去时，球体和木板之间的摩擦 f′= R + L + ?R F 。 R + L ? ?R ?G (R + L) = F′。 R + L ? ?R答案：第四讲 摩擦角及其它 一、摩擦角 1、全反力：接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力，一般用 R 表 示，亦称接触反力。 2、摩擦角：全反力与支持力的最大夹角称摩擦角，一般用φm 表示。 此时，要么物体已经滑动，必有：φm = arctgμ（μ为动摩擦因素） ，称 动摩擦力角；要么物体达到最大运动趋势，必有：φms = arctgμs（μs 为静摩 擦因素） ，称静摩擦角。通常处理为φm = φms 。 3、引入全反力和摩擦角的意义：使分析处理物体受力时更方便、更简捷。 二、隔离法与整体法 1、隔离法：当物体对象有两个或两个以上时，有必要各个击破，逐个讲每 个个体隔离开来分析处理，称隔离法。 在处理各隔离方程之间的联系时，应注意相互作用力的大小和方向关系。 2、整体法：当各个体均处于平衡状态时，我们可以不顾个体的差异而讲多 个对象看成一个整体进行分析处理，称整体法。 应用整体法时应注意“系统” 、 “内力”和“外力”的涵义。 三、应用 1、物体放在水平面上，用与水平方向成 30°的力拉物体时，物体匀速前进。 若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面 之间的动摩擦因素μ。 解说：这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。可以通过不同解法的比较 让学生留下深刻印象。 法一，正交分解。 （学生分析受力→列 方程→得结果。 ） 法二，用摩擦角解题。 引进全反力 R ， 对物体两个平衡状态进 行受力分析，再进行矢量平移，得到图 18 中的左图和中间图 （注意： 重力 G 是不变的， 而全反力 R 的方向不变、F 的大小不变） ， φm 指摩擦角。 再将两图重叠成图 18 的右图。由于灰 色的三角形是一个顶角为 30°的等腰三角 形，其顶角的角平分线必垂直底边……故 有：φm = 15°。13 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）最后，μ= tgφm 。 答案：0.268 。 （学生活动）思考：如果 F 的大小是可以选择的，那么能维持物体匀速前进 的最小 F 值是多少？ 解：见图 18，右图中虚线的长度即 Fmin ，所以，Fmin = Gsinφm 。 答：Gsin15°（其中 G 为物体的重量） 。 2、如图 19 所示，质量 m = 5kg 的物体置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面 的、大小 F = 30N 的推力推物体，使物体能够沿斜面向上匀速运动，而斜面体始 2 终静止。已知斜面的质量 M = 10kg ，倾角为 30°，重力加速度 g = 10m/s ， 求地面对斜面体的摩擦力大小。 解说：本题旨在显示整体法的解题 的优越性。 法一，隔离法。简要介绍…… 法二，整体法。注意，滑块和斜面 随有相对运动，但从平衡的角度看，它 们是完全等价的，可以看成一个整体。 做整体的受力分析时，内力不加考 虑。受力分析比较简单，列水平方向平 衡方程很容易解地面摩擦力。 答案：26.0N 。 （学生活动）地面给斜面体的支持力是多少？ 解：略。 答：135N 。 应用：如图 20 所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜 面的倾角为θ。另一质量为 m 的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力 F 作用 在滑块上，使之能沿斜面匀速上滑，且要求斜面体静止不动，就必须施加一个大 小为 P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于 斜面体。使满足题意的这个 F 的大小和方 向。 解说：这是一道难度较大的静力学题， 可以动用一切可能的工具解题。 法一：隔离法。 由第一个物理情景易得，斜面于滑块的 摩擦因素μ= tgθ 对第二个物理情景，分别隔离滑块和斜面体分析受力，并将 F 沿斜面、垂直 斜面分解成 Fx 和 Fy ，滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示（N 表示正压力和弹力，f 表示摩擦力） ，如图 21 所示。 对滑块，我们可以考查沿斜面方向和 垂直斜面方向的平衡―― Fx = f + mgsinθ Fy + mgcosθ= N 且 f = μN = Ntgθ 综合以上三式得到： Fx = Fytg θ + 2mgsin θ14 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）① 对斜面体，只看水平方向平衡就行了―― P = fcosθ+ Nsinθ 即：4mgsinθcosθ=μNcosθ+ Nsinθ 代入μ值，化简得：Fy = mgcosθ ② ②代入①可得：Fx = 3mgsinθ 最后由 F = Fx2 + Fy2 解 F 的大小，由 tgα= 面的夹角） 。 1 答案：大小为 F = mg 1 + 8 sin 2 θ ，方向和斜面夹角α= arctg( ctgθ )指向 3 斜面内部。 法二：引入摩擦角和整体法观念。 仍然沿用“法一”中关于 F 的方向设置（见图 21 中的α角） 。 先 看 整 体 的 水 平 方 向 平 衡 ， 有 ： Fcos( θ - α ) = P ⑴ 再隔离滑块，分析受力时引进全反力 R 和摩擦角φ，由于简化后只有三个力 （R、mg 和 F） ，可以将矢量平移后构成一个三角形，如图 22 所示。 Fy Fx 解 F 的方向（设α为 F 和斜在图 22 右边的矢量三角形中， 有： ⑵ 注 ⑶ 解⑴⑵⑶式可得 F 和α的值。 意 ： φ = arctgF mg mg = = sin(θ + φ) sin[90° ? (α + φ)] cos(α + φ) μ = arctg(tg θ ) = θ第二部分 牛顿运动定律15 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）第一讲 牛顿三定律 一、牛顿第一定律 1、定律。惯性的量度 2、观念意义，突破“初态困惑” 二、牛顿第二定律 1、定律 2、理解要点 a、矢量性 b、独立作用性：ΣF → a ，ΣFx → ax … c、瞬时性。合力可突变，故加速度可突变（与之对比：速度和位移不可突 变） ；牛顿第二定律展示了加速度的决定式（加速度的定义式仅仅展示了加速度 的“测量手段” ） 。 3、适用条件 a、宏观、低速 b、惯性系 对于非惯性系的定律修正――引入惯性力、参与受力分析 三、牛顿第三定律 1、定律 2、理解要点 a、同性质（但不同物体） b、等时效（同增同减） c、无条件（与运动状态、空间选择无关）第二讲 牛顿定律的应用 一、牛顿第一、第二定律的应用 单独应用牛顿第一定律的物理问题比较少，一般是需要用其解决物理问题中 的某一个环节。 应用要点：合力为零时，物体靠惯性维持原有运动状态；只有物体有加速度 时才需要合力。有质量的物体才有惯性。a 可以突变而 v、s 不可突变。 1、如图 1 所示，在马达的驱动下，皮带运输机上方的皮带以恒定的速度向 右运动。现将一工件（大小不计）在皮带左端 A 点轻轻放下，则在此后的过程中 （ ） A、 一段时间内， 工件将在滑动 摩擦力作用下，对地做加速运动 B、当工件的速度等于 v 时， 它 与皮带之间的摩擦力变为静摩擦 力 C、当工件相对皮带静止时， 它 位于皮带上 A 点右侧的某一点 D、工件在皮带上有可能不存在与皮带相对静止的状态16 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）解说：B 选项需要用到牛顿第一定律，A、C、D 选项用到牛顿第二定律。 较难突破的是 A 选项，在为什么不会“立即跟上皮带”的问题上，建议使用 反证法（t → 0 ，a → ∞ ，则ΣFx → ∞ ，必然会出现“供不应求”的局面） 和比较法 （为什么人跳上速度不大的物体可以不发生相对滑动？因为人是可以形 变、重心可以调节的特殊“物体” ） 此外，本题的 D 选项还要用到匀变速运动规律。用匀变速运动规律和牛顿第 二定律不难得出 v2 只有当 L ＞ 时 （其中μ为工件与皮带之间的动摩擦因素） ， 才有相对静 2?g 止的过程，否则没有。 答案：A、D 2 思考：令 L = 10m ，v = 2 m/s ，μ= 0.2 ，g 取 10 m/s ，试求工件到达 皮带右端的时间 t（过程略，答案为 5.5s） 进阶练习：在上面“思考”题中，将工件给予一水平向右的初速 v0 ，其它 条件不变，再求 t（学生分以下三组进行）―― ① v0 = 1m/s (答：0.5 + 37/8 = 5.13s) ② v0 = 4m/s (答：1.0 + 3.5 = 4.5s) ③ v0 = 1m/s (答：1.55s) 2、质量均为 m 的两只钩码 A 和 B，用轻弹簧和轻绳连接，然后挂在 天花板上，如图 2 所示。试问： ① 如果在 P 处剪断细绳，在剪断瞬时，B 的加速度是多少？ ② 如果在 Q 处剪断弹簧，在剪断瞬时，B 的加速度又是多少？ 解说：第①问是常规处理。由于“弹簧不会立即发生形变” ，故剪 断瞬间弹簧弹力维持原值，所以此时 B 钩码的加速度为零（A 的加速度 则为 2g） 。 第②问需要我们反省这样一个问题： “弹簧不会立即发生形变”的 原因是什么？是 A、B 两物的惯性，且速度 v 和位移 s 不能突变。但在 Q 点剪断弹簧时，弹簧却是没有惯性的（没有质量） ，遵从理想模型的 条件，弹簧应在一瞬间恢复原长！即弹簧弹力突变为零。 答案：0 ；g 。 二、牛顿第二定律的应用 应用要点：受力较少时，直接应用牛顿第二定律 的“矢量性”解题。受力比较多时，结合正交分解与 “独立作用性”解题。 在难度方面， “瞬时性”问题相对较大。 1、滑块在固定、光滑、倾角为θ的斜面上下滑， 试求其加速度。 解说：受力分析 → 根据“矢量性”定合力 方向 → 牛顿第二定律应用 答案：gsinθ。 思考：如果斜面解除固定，上表仍光滑，倾 角仍为θ，要求滑块与斜面相对静止，斜面应具 备一个多大的水平加速度？ （解题思路完全相同，17 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）研究对象仍为滑块。但在第二环节上应注意区别。答：gtgθ。 ） 进阶练习 1：在一向右运动的车厢中，用细绳悬挂的小球呈现如图 3 所示的 稳定状态，试求车厢的加速度。 （和“思考”题同理，答：gtgθ。 ） 进阶练习 2、如图 4 所示，小车在倾角为α的斜面上匀加速运动，车厢顶用 细绳悬挂一小球，发现悬绳与竖直方向形成一个稳定的夹角β。试求小车的加速 度。 解：继续贯彻“矢量性”的应用，但数学处理复杂了一些 （正弦定理解三角形） 。 分析小球受力后，根据“矢量性”我们可以做如图 5 所示 的平行四边形，并找到相应的夹角。设张力 T 与斜面方向的夹 角为θ，则 θ = （ 90 ° + α ） - β = 90 ° - （ β - α ） （1） 对灰色三角形用正弦定理，有ΣF sin β（2） 解（1） （2）两式得：ΣF ==G sin θmg ? sin β cos(β ? α)最后运用牛顿第二定律即可求小球加速度（即小车加速度） 答： sin β g 。 cos(β ? α)2、如图 6 所示，光滑斜面倾角为θ，在水平 地面上加速运动。 斜面上用一条与斜面平行的细绳 系一质量为 m 的小球，当斜面加速度为 a 时（a＜ ctgθ） ， 小球能够保持相对斜面静止。 试求此时绳 子的张力 T 。 解说：当力的个数较多，不能直接用平行四边 形寻求合力时， 宜用正交分解处理受力， 在对应牛 顿第二定律的“独立作用性”列方程。 正交坐标的选择，视解题方便程度而定。 解法一：先介绍一般的思路。沿加速度 a 方向 建 x 轴， 与 a 垂直的方向上建 y 轴， 如图 7 所示（N 为斜面支持力） 。于是可得两方程 ΣFx = ma ，即 Tx － Nx = ma ΣFy = 0 ， 即 Ty + Ny = mg 代入方位角θ，以上两式成为 T cosθ － N sinθ = ma （1） T sinθ + Ncosθ = mg （2）18 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）这是一个关于 T 和 N 的方程组，解（1） （2）两式得：T = mgsinθ + ma cosθ 解法二：下面尝试一下能否独立地解张力 T 。将正交分解的坐标选择为：x ――斜面方向，y――和斜面垂直的方向。这时，在分解受力时，只分解重力 G 就行了，但值得注意，加速度 a 不在任何一个坐标轴上，是需要分解的。矢量分 解后，如图 8 所示。 根据独立作用性原理，ΣFx = max 即：T － Gx = max 即：T － mg sinθ = m acosθ 显然，独立解 T 值是成功的。结果与解法一相同。 答案：mgsinθ + ma cosθ 思考： 当 a＞ctgθ时， 张力 T 的结果会变化吗？ （从支持力的结果 N = mgcosθ－ma sinθ看小球 脱离斜面的条件，求脱离斜面后，θ条件已没有意 义。答：T = m g 2 + a 2 。 ） 学生活动：用正交分解法解本节第 2 题“进阶 练习 2” 进阶练习：如图 9 所示，自动扶梯与地面的夹 角为 30°，但扶梯的台阶是水平的。当扶梯以 a = 2 4m/s 的 加速度向 上 运 动 时，站在 扶梯上质量为 60kg 的人相对扶梯静止。 2 重力加速度 g = 10 m/s ，试求扶梯对人 的静摩擦力 f 。 解：这是一个展示独立作用性原理 的经典例题， 建议学生选择两种坐标 （一 种是沿 a 方向和垂直 a 方向，另一种是 水平和竖直方向） ， 对比解题过程， 进而 充分领会用牛顿第二定律解题的灵活性。 答：208N 。 3、 如图 10 所示， 甲图系着小球的是两根轻绳， 乙图系着小球的是一根轻弹簧和轻绳， 方位角θ已 知。现将它们的水平绳剪断，试求：在剪断瞬间， 两种情形下小球的瞬时加速度。 解说：第一步，阐明绳子弹力和弹簧弹力的区 别。 （学生活动）思考：用竖直的绳和弹簧悬吊小 球，并用竖直向下的力拉住小球静止，然后同时释 放，会有什么现象？原因是什么？ 结论――绳子的弹力可以突变而弹簧的弹力不能突变（胡克定律） 。 第二步， 在本例中， 突破 “绳子的拉力如何瞬时调节” 这一难点（从 即将开始的运动来反推） 。19 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）知识点，牛顿第二定律的瞬时性。 答案：a 甲 = gsinθ ；a 乙 = gtgθ 。 应用：如图 11 所示，吊篮 P 挂在天花板上，与吊篮质量相等的物体 Q 被固 定在吊篮中的轻弹簧托住，当悬挂吊篮的细绳被烧断瞬间，P、Q 的加速度分别 是多少？ 解：略。 答：2g ；0 。 三、牛顿第二、第三定律的应用 要点：在动力学问题中，如果遇到几个研究对象时，就会面临如何处理对象 之间的力和对象与外界之间的力问题，这时有必要引进“系统” 、 “内力”和“外 力”等概念，并适时地运用牛顿第三定律。 在方法的选择方面，则有“隔离法”和“整体法” 。前者是根本，后者有局 限，也有难度，但常常使解题过程简化，使过程的物理意义更加明晰。 对 N 个对象，有 N 个隔离方程和一个（可能的）整体方程，这（N + 1）个 方程中必有一个是通解方程，如何取舍，视解题方便程度而定。 补充：当多个对象不具有共同的加速度时，一般来讲，整体法不可用，但也 有一种特殊的“整体方程” ，可以不受这个局限（可以介绍推导过程）―― ? ? ? ? ? Σ F外 = m1 a 1 + m2 a 2 + m3 a 3 + … + mn a n? 其中Σ F外 只能是系统外力的矢量和，等式右边也是矢量相加。1、如图 12 所示，光滑水平面上放着一个长为 L 的均质直棒，现给棒一个沿 棒方向的、大小为 F 的水平恒力作用，则棒中各部位的张力 T 随图中 x 的关系怎 样？ 解说：截取隔离对象，列整体方程和隔 离方程（隔离右段较好） 。 F 答案：N = x 。 L 思考：如果水平面粗糙，结论又如何？ 解：分两种情况， （1）能拉动； （2）不能拉动。 第（1）情况的计算和原题基本相同，只是多了一个摩擦力的处理，结论的 化简也麻烦一些。 第（2）情况可设棒的总质量为 M ，和水平面的摩擦因素为μ，而 F = μ l Mg ，其中 l＜L ，则 x＜(L-l)的右段没有张力，x＞(L-l)的左端才有张力。 L 答：若棒仍能被拉动，结论不变。 l 若棒不能被拉动，且 F = μ Mg 时（μ为棒与平面的摩擦因素，l 为小于 L F L 的某一值，M 为棒的总质量） ，当 x＜(L-l)，N≡0 ；当 x＞(L-l)，N = 〔x l 〈L-l〉 〕 。 应用：如图 13 所示，在倾角为θ的固定斜面上，叠 放着两个长方体滑块，它们的质量分别为 m1 和 m2 ，它们 之间的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分别为μ1 和μ2 ，20 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）系统释放后能够一起加速下滑，则它们之间的摩擦力大小为： A、μ1 m1gcosθ ； B、μ2 m1gcosθ ； C、μ1 m2gcosθ ； D、μ1 m2gcosθ ； 解：略。 答：B 。 （方向沿斜面向上。 ） 思考： （1）如果两滑块不是下滑，而是以初速度 v0 一 起上冲，以上结论会变吗？（2）如果斜面光滑，两滑块 之间有没有摩擦力？（3）如果将下面的滑块换成如图 14 所示的盒子，上面的滑块换成小球，它们以初速度 v0 一起 上冲，球应对盒子的哪一侧内壁有压力？ 解：略。 答： （1）不会； （2）没有； （3）若斜面光滑，对两内 壁均无压力，若斜面粗糙，对斜面上方的内壁有压力。 2、如图 15 所示，三个物体质量分别为 m1 、m2 和 m3 ，带滑轮的物体放在光 滑水平面上，滑轮和所有接触面的摩擦均不计，绳子的质量也不计，为使三个物 体无相对滑动，水平推力 F 应为多少？ 解说：此题对象虽然有三个， 但难度 不大。隔离 m2 ，竖直方向有一个平衡方 程；隔离 m1 ，水平方向有一个动力学方 程；整体有一个动力学方程。就足以解 题了。 答案：F = (m 1 + m 2 + m 3 ) m 2 g 。 m1思考：若将质量为 m3 物体右边挖成 凹形，让 m2 可以自由摆动（而不与 m3 相碰） ，如图 16 所示，其它条件不变。是 否可以选择一个恰当的 F′， 使三者无相对运动？如果没有， 说明理由； 如果有， 求出这个 F′的值。 解：此时，m2 的隔离方程将较为复杂。 设绳子张力为 T ，m2 的受力情况如图，隔 离方程为： T 2 ? (m 2 g ) 2 = m2a 隔离 m1 ，仍有：T = m1a 解以上两式，可得：a = m22 m1 ? m2 2g最后用整体法解 F 即可。 答：当 m1 ≤ m2 时，没有适应题意的 F′；当 m1 ＞ m2 时，适应题意 的 F′= (m 1 + m 2 + m 3 ) m 2 g2 m1 ? m2 2。3、一根质量为 M 的木棒，上端用细绳系在天花板上，棒上有一质量 为 m 的猫， 如图 17 所示。现将系木棒的绳子剪断，同时猫相对棒往上爬，21 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）但要求猫对地的高度不变，则棒的加速度将是多少？ 解说：法一，隔离法。需要设出猫爪抓棒的力 f ，然后列猫的平衡方程和棒 的动力学方程，解方程组即可。 法二， “新整体法” 。 ? ? ? ? ? 据Σ F外 = m1 a 1 + m2 a 2 + m3 a 3 + … + mn a n ，猫和棒的系统外力只有两者 的重力，竖直向下，而猫的加速度 a1 = 0 ，所以： （ M + m ）g = m?0 + M a1 解棒的加速度 a1 十分容易。 M+m 答案： g 。 M 四、特殊的连接体 当系统中各个体的加速度不相等时，经典的整体法不可用。如果各个体的加 速度不在一条直线上， “新整体法”也将有一定的困难（矢 量求和不易） 。此时，我们回到隔离法，且要更加注意找 各参量之间的联系。 解题思想： 抓某个方向上加速度关系。 方法： “微元法” 先看位移关系，再推加速度关系。 、 1、如图 18 所示，一质量为 M 、倾角为θ的光滑斜面， 放置在光滑的水平面上，另一个质量为 m 的滑块从斜面顶 端释放，试求斜面的加速度。 解说：本题涉及两个物体，它们的加速度关系复杂， 但在垂直斜面方向上，大小是相等的。对两者列隔离方 程时，务必在这个方向上进行突破。 （学生活动）定型判断斜面的运动情况、滑块的运 动情况。 位移矢量示意图如图 19 所示。根据运动学规律， 加 速度矢量 a1 和 a2 也具有这样的关系。 （学生活动）这两个加速度矢量有什么关系？ 沿斜面方向、垂直斜面方向建 x 、y 坐标，可得： a1y = a2y ① 且 ： a1y = a2sin θ ② 隔离滑块和斜面， 受力 图如图 20 所示。 对滑块， 列 y 方向隔离 方程，有： mgcos θ - N = ma1y ③ 对斜面， 仍沿合加速度 a2 方向列方程，有： Nsinθ= Ma2 ④ 解①②③④式即可得 a2 。22 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）m sin θ cos θ g 。 M + m sin 2 θ （学生活动）思考：如何求 a1 的值？ 解：a1y 已可以通过解上面的方程组求出；a1x 只要看滑块的受力图，列 x 方向 答案：a2 = 的隔离方程即可， 显然有 mgsinθ= ma1x ， 得:a1x = gsinθ 。 最后据 a1 = 求 a1 。 g sin θ M 2 + m(m + 2M) sin 2 θ 。 2 M + m sin θ 2、如图 21 所示，与水平面成θ角的 AB 棒上有一滑套 C ，可以无摩擦地在 棒上滑动，开始时与棒的 A 端相距 b ，相对棒静止。当棒保持倾角θ不变地沿 水平面匀加速运动，加速度为 a（且 a＞gtgθ）时，求滑套 C 从棒的 A 端滑出所 经历的时间。 解说：这是一个比较特殊的“连接体问题” ，寻求运动学参量的关系似乎比 动力学分析更加重要。动力学方面，只需要隔离滑套 C 就行了。 答：a1 =2 2 a1 x + a 1y（学生活动）思考：为什么题 意要求 a＞gtgθ？（联系本讲第二节第 1 题之“思考题” ） 定性绘出符合题意的运动过程图，如图 22 所示：S 表示棒的位移，S1 表示滑 套的位移。沿棒与垂直棒建直角坐标后，S1x 表示 S1 在 x 方向上的分量。不难看 出： S1x + b = S cos θ ① 设全程时间为 t ，则有： 1 2 S = at 2 ② 1 2 S1x = a1xt 2 ③ 而隔离滑套，受力图如图 23 所示， 显然： mgsinθ= ma1x ④ 解①②③④式即可。23 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）答案：t =2b a cos θ ? g sin θ? ?* ?* ? 另解：如果引进动力学在非惯性系中的修正式 Σ F外 + F = m a （注： F为惯性力） ，此题极简单。过程如下―― 以棒为参照，隔离滑套，分析受力，如图 24 所示。 注意，滑套相对棒的加速度 a 相是沿棒向上的，故动力学 方程为： * F cosθ- mgsinθ= ma 相 （1） * 其中 F = ma （2） 而且，以棒为参照，滑套的相对位移 S 相就是 b ，即： 1 2 b = S相 = a相 t （3） 2 解（1） （2） （3）式就可以了。第二讲 配套例题选讲 教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》 ，知识出版社，2002 年 8 月第一版。 例题选讲针对“教材”第三章的部分例题和习题。部分 运动学 第三 第三部分第一讲 基本知识介绍 一． 基本概念 1． 质点 2． 参照物 3． 参照系――固连于参照物上的坐标系 （解题时要记住所选的是参照系， 而不仅是一个点） 4．绝对运动，相对运动，牵连运动：v 绝=v 相+v 牵 二．运动的描述 1．位置：r=r(t) 2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t) 3． 速度： v=limΔt→0Δr/Δt.在大学教材中表述为： v=dr/dt, 表示 r 对 t 求 导数 2 ４．加速度 a=an+aτ。an:法向加速度，速度方向的改变率，且 an=v /ρ,ρ叫做 曲率半径， （这是中学物理竞赛求曲率半径的唯一方法） aτ: 切向加速度，速度24 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）大小的改变率。a=dv/dt 5．以上是运动学中的基本物理量，也就是位移、位移的一阶导数、位移的 二阶导数。可是三阶导数为什么不是呢？因为牛顿第二定律是 F=ma,即直接和加 速度相联系。 （a 对 t 的导数叫“急动度”。 ） 6．由于以上三个量均为矢量，所以在运算中用分量表示一般比较 好 三．等加速运动 2 v(t)=v0+at r(t)=r0+v0t+1/2 at 一道经典的物理问题： 二次世界大战中物理学家曾经 研究，当大炮的位置固定，以同一速度 v0 沿各种角度发射， 问：当飞机在哪一区域飞行之外时，不会有危险？（注： 结 论是这一区域为一抛物线， 此抛物线是所有炮弹抛物线的包 2 络线。此抛物线为在大炮上方 h=v /2g 处，以 v0 平抛物体的 轨迹。 ） 练习题： 一盏灯挂在离地板高 l2,天花板下面 l1 处。灯泡爆裂，所有碎片以同样大小 的速度 v 朝各个方向飞去。求碎片落到地板上的半径（认为碎片和天花板的碰 撞是完全弹性的，即切向速度不变，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非 弹性的，即碰后静止。 ） 四．刚体的平动和定轴转动 1． 我们讲过的圆周运动是平动而不是转动 2． 角位移φ=φ（t）, 角速度ω=dφ/dt , 角加速度ε=dω/dt 3． 有限的角位移是标量，而极小的角位移是矢量 4． 同一刚体上两点的相对速度和相对加速度 两点的相对距离不变， 相对运动轨迹为圆弧， VA=VB+VAB, 在 AB 连线上 n τ τ 投影：[VA]AB=[VB]AB,aA=aB+aAB,aAB=,a AB+,a AB, ,a AB 垂直于 n 2 AB,,a AB=VAB /AB 例：A，B，C 三质点速度分别 VA ，VB ，VC 求 G 的速度。 五．课后习题： 一只木筏离开河岸，初速度为 V，方向垂直于岸边，航行路线如图。经过时 间 T 木筏划到路线上标有符号处。河水速度恒定 U 用作图法找到在 2T，3T，4T 时刻木筏在航线上的确切位置。 五、处理问题的一般方法 （1）用微元法求解相关速度问题 例 1：如图所示，物体 A 置于水平面上，A 前固定一滑轮 B，高 台上有一定滑轮 D，一根轻绳一端固定在 C 点，再绕过 B、D，BC 段 水平，当以恒定水平速度 v 拉绳上的自由端时，A 沿水平面前进， 求 当跨过 B 的两段绳子的夹角为α时，A 的运动速度。 （vA＝ （2）抛体运动问题的一般处理方法 1. 平抛运动v ） 1 + cos α25 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）2. 斜抛运动 3. 常见的处理方法 （1）将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛 运动 （2）将沿斜面和垂直于斜面方向作为 x、y 轴，分别分解初速度和加速度后 用运动学公式解题 （3）将斜抛运动分解为沿初速度方向的斜向上的匀速直线运动和自由落体 运动两个分运动，用矢量合成法则求解 例 2：在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为 h，若出手时的速度为 V0， 求以何角度掷球时，水平射程最远？最远射程为多少？ （α= sin ?1v02 2v 0 + 2 gh、 x=2 v 0 v0 + 2 ghg）第二讲 运动的合成与分解、相对运动 （一）知识点点拨 (1) 力的独立性原理：各分力作用互不影响，单独起作用。 (2) 运动的独立性原理：分运动之间互不影响，彼此之间满足自己的运 动规律 (3) 力的合成分解：遵循平行四边形定则，方法有正交分解，解直角三 角形等 (4) 运动的合成分解：矢量合成分解的规律方法适用 A． 位移的合成分解 B.速度的合成分解 C.加速度的合成分解 参考系的转换：动参考系，静参考系 相对运动：动点相对于动参考系的运动 绝对运动：动点相对于静参考系统（通常指固定于地面的参 考系）的运动 牵连运动：动参考系相对于静参考系的运动 （5）位移合成定理：SA 对地=SA 对 B+SB 对地 速度合成定理：V 绝对=V 相对+V 牵连 加速度合成定理：a 绝对=a 相对+a 牵连 （二）典型例题 （1）火车在雨中以 30m/s 的速度向南行驶，雨滴被风吹向南方，在地球上 。 静止的观察者测得雨滴的径迹与竖直方向成 21 角，而坐在火车里乘客看到雨滴 的径迹恰好竖直方向。求解雨滴相对于地的运动。 提示：矢量关系入图 答案：83.7m/s （2）某人手拿一只停表，上了一次固定楼梯，又以不同方式上了两趟自动 扶梯，为什么他可以根据测得的数据来计算自动扶梯的台阶数？ 提示：V 人对梯=n1/t1 V 梯对地=n/t2 V 人对地=n/t326 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）V 人对地= V 人对梯+ V 梯对地 答案：n=t2t3n1/（t2-t3）t1 (3)某人驾船从河岸 A 处出发横渡，如果使船头保持跟河 岸垂直的方向航行，则经 10min 后到达正对岸下游 120m 的 C 处，如果他使船逆向上游，保持跟河岸成а角的方向航行， 则 经过 12.5min 恰好到达正对岸的 B 处，求河的宽度。 提示：120=V 水*600 D=V 船*600 答案：200m （4）一船在河的正中航行，河宽 l=100m，流速 u=5m/s，并在距船 s=150m 的下游形成瀑布，为了使小船靠岸时，不至于被冲进瀑布中，船对水的最小速度 为多少？ 提示：如图船航行 答案：1.58m/s （三）同步练习 1.一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β1=30°，另一次安 装成倾角为β2=15°。问汽车两次速度之比v1 为多少时，司机都是看见冰雹都是 v2以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的） 2、 模型飞机以相对空气 v=39km/h 的速度绕一个边长 2km 的等边三角形飞行， 设风速 u = 21km/h ，方向与三角形的一边平行并与飞机起飞方向相同，试求： 飞机绕三角形一周需多少时间？ 3.图为从两列蒸汽机车上冒出的两股长幅气雾拖尾的照 片（俯视） 。 两 列 车 沿 直 轨 道 分 别 以 速 度 v1=50km/h 和 v2=70km/h 行驶，行驶方向如箭头所示，求风速。 4、 细杆 AB 长 L ， 两端分别约束在 x 、 y 轴上运动， （1） 试求杆上与 A 点相距 aL（0＜ a ＜1)的 P 点运动轨迹； （2） v1 如果 vA 为已知，试求 P 点的 x 、 y 向分速度 vPx 和 vPy 对杆方 位角θ的函数。v2（四）同步练习提示与答案 1、提示：利用速度合成定理，作速度的矢量三角 形。答案为：3。 2、提示：三角形各边的方向为飞机合速度的方向 （而非机头的指向） ；27 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）? 第二段和第三段 v 合 大小相同。参见右图，显然： v =2v2 合+ u － 2v 合 ucos120°2可解出 v 合 = 24km/h 。 答案：0.2hour（或 12min.） 。 3、提示：方法与练习一类似。答案为：3 4、提示： （1）写成参数方程 ?? x = aL sin θ ? y = (1 ? a ) L cos θ后消参数θ。（2）解法有讲究：以 A 端为参照， 则杆上各点只绕 A 转动。但鉴于杆子的 实际运动情形如右图，应有 v 牵 = vAcosθ， v 转 = vAcos 2 θ ，可知 B 端相对 ．．A ．的 ．转动线速 sin θ度为：v 转 + vAsinθ= P 点的线速度必为vA 。 sin θ av A = v sin θ相所以 vPx = v 相 cosθ+ vAx ，vPy = vAy － v 相 sinθ 答案： （1）x2 (aL) 2+y2 = 1 ，为 (1 ? a ) 2 L2椭圆； （2）vPx = avActgθ ，vPy =（1 － a）vA第四部分 曲线运动 万有引力第一讲 基本知识介绍 一、曲线运动 1、概念、性质 2、参量特征 二、曲线运动的研究方法――运动的分解与合成 1、法则与对象 2、两种分解的思路 a、固定坐标分解（适用于匀变速曲线运动） 建立坐标的一般模式――沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标；提 高思想――根据解题需要建直角坐标或非直角坐标。 b、自然坐标分解（适用于变加速曲线运动） 基本常识：在考查点沿轨迹建立切向τ、法向 n 坐标，所有运动学矢量均 沿这两个方向分解。28 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）? ∑ F = ma τ 动力学方程 ? τ ，其中 a τ 改变速度的大小（速率） ， a n 改变速度的 ?∑ Fn = ma n 方向。且 a n = m v2 ，其中ρ表示轨迹在考查点的曲率半径。定量解题一般只涉 ρ及法向动力学方程。 三、两种典型的曲线运动 1、抛体运动（类抛体运动） 关于抛体运动的分析，和新课教材“平跑运动”的分析基本相同。在坐标 的选择方面，有灵活处理的余地。 2、圆周运动 匀速圆周运动的处理：运动学参量 v、ω、n、a、f、T 之间的关系，向心 力的寻求于合成；临界问题的理解。 变速圆周运动：使用自然坐标分析法，一般只考查法向方程。 四、万有引力定律 1、定律内容 2、条件 a、基本条件 b、拓展条件： 球体（密度呈球对称分布） 外部空间的拓展----对球体外一点 A 的吸引等 效于位于球心的质量为球的质量的质点对质点 A 的吸引； 空间的拓展“剥皮法则”-----对球内任一 球体（密度呈球对称分布）内部 内部空间 距球心为 r 的一质点 A 的吸引力等效于质量与半径为 r 的球的质量相等且位于 球心的质点对质点 A 的吸引； 球壳（密度呈球对称分布） 外部空间的拓展----对球壳外一点 A 的吸引等 效于位于球心的质量为球壳的质量的质点对质点 A 的吸引； 空间的拓展-----对球壳内任一位置上任一 球体 （密度呈球对称分布） 内部 内部空间 质点 A 的吸引力都为零； 并且根据以为所述，由牛顿第三定律，也可求得一质点对球或对球壳的吸 引力。 c、不规则物体间的万有引力计算――分割与矢量叠加 3、 万有引力做功也具有只与初末位置有关而与路径无关的特征。 因而相互 作用的物体间有引力势能。在任一惯性系中，若规定相距无穷远时系统的万有引 力势能为零，可以证明，当两物体相距为 r 时系统的万有引力势能为 EP = － G m1 m 2 r五、开普勒三定律 天体运动的本来模式与近似模式的差距，近似处理的依据。 六、宇宙速度、天体运动 1、第一宇宙速度的常规求法 2、从能量角度求第二、第三宇宙速度29 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）万有引力势能 EP = －Gm1 m 2 r3、解天体运动的本来模式时，应了解椭圆的数学常识 第二讲 重要模型与专题一、小船渡河 物理情形：在宽度为 d 的河中，水流速度 v2 恒定。岸边有一艘小船，保持相 对河水恒定的速率 v1 渡河， 但船头的方向可以选择。 试求小船渡河的最短时间和 最小位移。 模型分析：小船渡河的实际运动（相对河岸的运动）由船相对水流速度 v1 和水相对河岸的速度 v2 合成。可以设船头与河岸上游夹角为θ（即 v1 的方向） ， 速度矢量合成如图 1 （学生活动）用余弦定理可求 v 合的大小2 v 合= v 1 + v2 2 ? 2 v1 v 2 cos θ（学生活动）用正弦定理可求 v 合的方向。令 v 合与河岸下游夹角为α，则 α= arcsin v1 sin θ2 v1 + v2 2 ? 2 v 1 v 2 cos θ1、求渡河的时间与最短时间 由于合运动合分运动具有等时性，故渡河时间既可以根据合运动求，也可以 根据分运动去求。针对这一思想，有以下两种解法 解法一： t = S合 v合其中 v 合可用正弦定理表达， 故有 t = d / sin α d = v1 sin θ v1 sin θ sin α t = S1 v1 =解法二：30 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）d / sin θ d = v1 v1 sin θ 此外，结合静力学正交分解的思想，我们也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐 标 x、y，然后先将 v1 分解（v2 无需分解） ，再合成，如图 2 所示。而且不难看出， 合运动在 x、y 方向的分量 vx 和 vy 与 v1 在 x、y 方向的分量 v1x、v1y 以及 v2 具有以 下关系 vy = v1y vx = v2 - v1x 由于合运动沿 y 方向的分量 Sy ≡ d ，故有 解法三： t = Sy vy = d d = v 1y v1 sin θt (θ)函数既已得出，我们不难得出结论 当θ= 90°时，渡河时间的最小值 tmin = d v1（从“解法三”我们最容易理解 t 为什么与 v2 无关，故 tmin 也与 v2 无关。这 个结论是意味深长的。 ） 2、求渡河的位移和最小位移 在上面的讨论中，小船的位移事实上已经得出，即 S合 = d = sin α d v1 sin θ v合 =2 d v1 + v2 2 ? 2 v 1 v 2 conθv1 sin θ但 S 合（θ）函数比较复杂，寻求 S 合的极小值并非易事。因此，我们可以从 其它方面作一些努力。 将 S 合沿 x、y 方向分解成 Sx 和 Sy ，因为 Sy ≡ d ，要 S 合极小，只要 Sx 极小 就行了。而 Sx（θ）函数可以这样求―― 解法一： Sx = vxt =（v2 - v1x） Sy vy =（v2 C v1cosθ）d v1 sin θ为求极值，令 cosθ= p ，则 sinθ= 得到1 ? p 2 ，再将上式两边平方、整理，2 2 2 2 2 2 2 2 v1 (S 2 x + d ) p ? 2 v1 v 2 d p + d v 2 ? S x v1 = 0这是一个关于 p 的一元二次方程，要 p 有解，须满足Δ≥0 ，即2 2 4 2 2 2 2 2 2 4v1 v 2 d ≥ 4v1 (S 2 x + d )(d v 2 ? S x v 1 ) 2 2 2 2 整理得 S 2 x v1 ≥ d ( v 2 ? v1 )31 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）所以，Sxmin=v d 2 ，代入 Sx（θ）函数可知，此时 cosθ= 1 v2 2 ? v1 v1 v22 S2 x min + S y =最后，Smin=v2 d v1此过程仍然比较繁复，且数学味太浓。结论得出后，我们还不难发现一个问 题：当 v2＜v1 时，Smin＜d ，这显然与事实不符。 （造成这个局面的原因是：在以 上的运算过程中，方程两边的平方和开方过程中必然出现了增根或遗根的现象） 所以，此法给人一种玄乎的感觉。 解法二：纯物理解――矢量三角形的动态分析 从图 2 可知，Sy 恒定，Sx 越小，必有 S 合矢量与下游河岸的夹角越大，亦即 v 。 合矢量与下游河岸的夹角越大（但不得大于 90°） 我们可以通过 v1 与 v2 合成 v 合矢量图探讨 v 合与下游河岸夹角的最大可能。 先进行平行四边形到三角形的变换，如图 3 所示。 当θ变化时，v 合矢量的大小和方向随之变化，具体情况如图 4 所示。 从图 4 不难看出，只有当 v 合和虚线半圆周相切时，v 合与 v2（下游）的夹角 才会最大。此时，v 合⊥v1 ，v1、v2 和 v 合构成一个直角三角形，αmax = arcsin v1 v2并且，此时：θ= arccosv1 v2 v2 d v1有了αmax 的值，结合图 1 可以求出：S 合 min =最后解决 v2＜v1 时结果不切实际的问题。从图 4 可以看出，当 v2＜v1 时，v 合 不可能和虚线半圆周相切（或αmax = arcsin 90° 即：v2＜v1 时，S 合 min = d ，此时，θ= arccos v2 v1 v1 无解） ，结合实际情况，αmax 取 v232 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）结论：若 v1＜v2 ，θ= arccosv1 v 时，S 合 min = 2 d v2 v1 v2 时，S 合 min = d v1若 v2＜v1 ，θ= arccos二、滑轮小船 物理情形：如图 5 所示，岸边的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引 水中的小船，设小船始终不离开水面，且绳足够长，求汽车速度 v1 和小船速度 v2 的大小关系。 模型分析： 由于绳 不可伸长，滑轮右边 绳子缩短的速率即是 汽车速度的大小 v1 ， 考查绳与船相连的端 点运动情况，v1 和 v2 必有一个运动的合成 与分解的问题。 （学生活动） 如果 v1 恒定不变， v2 会恒定 吗？若恒定，说明理 由；若变化，定性判断变化趋势。 结合学生的想法，介绍极限外推的思想：当船离岸无穷远时，绳与水的夹角 趋于零， v2→v1 。 当船比较靠岸时， 可作图比较船的移动距离、 绳子的缩短长度， 得到 v2＞v1 。故“船速增大”才是正确结论。 故只能引入瞬时方位角θ，看 v1 和 v2 的瞬时关系。 （学生活动）v1 和 v2 定量关系若何？是否可以考虑用运动的分解与合成的知 识解答？ 针对如图 6 所示的两种典型方案，初步评说――甲图中 v2 = v1cosθ，船越 靠岸，θ越大，v2 越小，和前面的定性结论冲突，必然是错误的。 错误的根源分析：和试验修订本教材中“飞机起飞”的运动分析进行了不恰 当地联系。 仔细比较这两个运动的差别， 并联系 “小船渡河” 的运动合成等事例， 总结出这样的规律―― 合运动是显性的、轨迹 实在的运动，分运动是隐性 的、需要分析而具有人为特 征（无唯一性）的运动。 解法一：在图 6（乙）中， 当我们挖掘、分析了滑轮绳 子端点的运动后， 不难得出： 船的沿水面运动是 v2 合运 动，端点参与绳子的缩短运 动 v1 和随绳子的转动 v 转 ，从而肯定乙方案是正确的。 即：v2 = v1 / cosθ33 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）解法二：微元法。从考查位置开始取一个极短过程，将绳的运动和船的运动 在图 7（甲） 中 标 示 出 来，AB 是绳 的 初 识 位 置，AC 是绳 的末位置， 在 AB 上 取AD = AC 得D 点， 并连接 CD。显然， 图中 BC 是船 的位移大小，DB 是绳子的缩短长度。由于过程极短，等腰三角形 ACD 的顶角∠A →0，则底角∠ACD→90°，△CDB 趋于直角三角形。将此三角放大成图 7（乙） ， 得出：S2 = S1 / cosθ 。 鉴于过程极短，绳的缩短运动和船的运动都可以认为是匀速的，即：S2 = v2 t ，S1 = v1 t 。 所以：v2 = v1 / cosθ 三、斜抛运动的最大射程 物理情形：不计空气阻力，将小球斜向上抛出，初速度大小恒为 v0 ，方向 可以选择，试求小球落回原高度的最大水平位移（射程） 。 模型分析：斜抛运动的常规分析和平抛运动完全相同。 设初速度方向与水平面夹θ角，建立水平、竖直的 x、y 轴，将运动学参量 沿 x、y 分解。针对抛出到落回原高度的过程 1 2 0 = Sy = v0y t + （-g）t 2 Sx = v0x t 解以上两式易得：Sx =2 v0 sin2θ g 2 v0 g结论：当抛射角θ= 45°时，最大射程 Sxmax =（学生活动）若 v0 、θ确定，试用两种方法求小球到达的最大高度。 运动学求解――考查竖直分运动即可；能量求 解――注意小球在最高点应具备的速度 v0x ，然后 对抛出到最高点的过程用动能定理或机械能守恒。 结论：Hm =2 v0 sin 2 θ 。 2g四、物体脱离圆弧的讨论 物理情形：如图 8 所示，长为 L 的细绳一端固34 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）定，另一端系一小球。当小球在最低点时，给球一个 vo = 2 gL 的水平初速， 试求所能到达的最大高度。 模型分析：用自然坐标分析变速圆周运动的典型事例。能量关系的运用，也 是对常规知识的复习。 （学生活动） 小球能否形成的往复的摆动？小球能否到达圆弧的最高点 C ？ 通过能量关系和圆周运动动力学知识的复习，得出：小球运动超过 B 点、但 不能到达 C 点（vC ≥ gL ） ，即小球必然在 BC 之间的某点脱离圆弧。 （学生活动）小球会不会在 BC 之间的某点脱离圆弧后作自由落体运动？ 尽管对于本问题，能量分析是可行的（BC 之间不可能出现动能为零的点， 则 小球脱离圆弧的初速度 vD 不可能为零） ，但用动力学的工具分析，是本模型的重 点―― 在 BC 阶段，只要小球还在圆弧上，其受力分析必如图 9 所示。沿轨迹的切 向、法向分别建τ、n 坐标，然后将重力 G 沿τ、n 分解为 Gτ和 Gn 分量，T 为绳 子张力。法向动力学方程为 T + Gn = ΣFn = man = m v2 r由于 T≥0 ，Gn＞0 ，故 v≠0 。 （学生活动：若换一个 v0 值， 在 AB 阶段，v = 0 是可能出现的；若将绳子换成轻杆，在 BC 阶 段 v = 0 也是可能出现的。 ） 下面先解脱离点的具体位置。设脱离点为 D，对应方位角为 θ，如图 8 所示。由于在 D 点之后绳子就要弯曲，则此时绳子的 张力 T 为零，而此时仍然在作圆周运动，故动力学方程仍满足 Gn ① 在再针对 A→D 过程，小球机械能守恒，即（选 A 所在的平面为参考平面） ： 1 1 2 m v0 + 0 = mg ( L + Lsinθ) + m v 2 ② D 2 2 代入 v0 值解①、②两式得：θ= arcsin 2 ， （同时得到：vD = 3 2 gL ）小球 3 = Gsin θ = m v2 r脱离 D 点后将以 vD 为初速度作斜向上抛运动。它所能到达的最高点（相对 A） 可 以用两种方法求得。 解法一：运动学途径。 先求小球斜抛的最大高度，hm = 代入θ和 vD 的值得：hm = 5 L 27 ( v D cos θ) 2 v 2 (1 ? sin 2 θ) = D 2g 2g35 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）小球相对 A 的总高度：Hm = L + Lsinθ+ hm = 解法二：能量途径50 L 27 2 3 2 gL 。对 A→ 3小球在斜抛的最高点仍具有 vD 的水平分量，即 vDsinθ=最高点的过程用机械能守恒定律（设 A 所在的平面为参考平面） ，有 1 1 2 m v0 + 0 = m（v D sin θ) 2 + mg Hm 2 2 50 容易得到：Hm = L 27 五、万有引力的计算 物理情形： 如图 9 所示， 半径为 R 的均质球质量为 M，球心在 O 点，现在被内 切的挖去了一个半径为 R/2 的球形空腔（球心在 O′） 。 在 O、O′的连线上距离 O 点为 d 的地方放有一个很小 的、质量为 m 的物体，试求 这两个物体之间的万有引 力。 模型分析：无论是“基 本条件”还是“拓展条件” ， 本模型都很难直接符合， 因 此必须使用一些特殊的处理方法。本模型除了照应万有引力的拓展条件之外， 着 重介绍“填补法”的应用。 空腔里现在虽然空无一物，但可以看成是两个半径为 R/2 的球的叠加：一个 的质量为+M/8 ，一个的质量为－M/8 。然后，前者正好填补空腔――和被挖除 后剩下的部分构成一个完整的均质球 A ；注意后者，虽然是一个比较特殊的物 体（质量为负值） ，但仍然是一个均质的球体，命名为 B 。 既然 A、B 两物均为均质球体，他们各自和右边小物体之间的万有引力，就 可以使用“拓展条件”中的定势来计算了。只是有一点需要说明，B 物的质量既 然负值，它和 m 之间的万有“引力”在方向上不再表现为吸引，而应为排斥―― 成了“万有斥力”了。具体过程如下 Mm FAm = G 2 d FBm M ?m Mm 8 = G = －G 2 R R? ? 8(d ? ) 2 ?d ? ? 2 2? ? ?36 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）Mm R 8(d ? ) 2 2 需要指出的是，在一部分同学的心目中，可能还会存在另一种解题思路，那 就是先通过力矩平衡求被挖除物体的重心（仍然要用到 “填补法” 、负质量物体 的重力反向等） ，它将在 O、O′的连线上距离 O 点左侧 R/14 处，然后“一步到 位”地求被挖除物与 m 的万有引力 M ?m F = G 7 R (d + ) 2 14 然而，这种求法违背了万有引力定律适用的条件，是一种错误的思路。 六、天体运动的计算 物理情形：地球和太阳的质量分别为 m 和 M ，地球绕太阳作椭圆运动，轨道 的半长轴为 a ，半短轴为 b ，如图 11 所示。试求地球在椭圆顶点 A、B、C 三点 的运动速度，以及轨迹在 A、C 两点的曲率半径。 模型分析：求解天体运动的本来模式，常常要 用到开普勒定律（定量） 、机械能守恒（万有引力 势能） 、椭圆的数学常识等等，相对高考要求有很 大的不同。 c 地球轨道的离心率很小（其值 ≈0.0167 ， a 其中 c 为半焦距） ，这是我们常常能将它近似为圆 的原因。为了方便说明问题，在图 11 中，我们将 离心率夸大了。 针对地球从 A 点运动到 B 点的过程，机械能守 恒 最后，两物之间的万有引力 F = FAm + FBm = GMm －G d2Mm 1 Mm 1 m v2 ）= m v2 ） A +（－ G B +（－ G 2 a?c 2 a+c比较 A、B 两点，应用开普勒第二定律，有：vA（a－c）= vB（a + c） 结合椭圆的基本关系：c = 解以上三式可得：vA = a 2 ? b2 GM ， a vB = a ? a 2 ? b2 b GM aa + a 2 ? b2 b再针对地球从 A 到 C 的过程，应用机械能守恒定律，有 1 Mm 1 Mm 2 m v2 ）= m vC +（－ G ） A +（－ G 2 a?c 2 a 代入 vA 值可解得：vC = GM a为求 A、C 两点的曲率半径，在 A、C 两点建自然坐标，然后应用动力学（法 向）方程。37 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）在 A 点， F 万 = ΣFn = m an ， 设轨迹在 A 点的曲率半径为ρA ， 即： G v2 m A ρA 代入 vA 值可解得：ρA = b2 aMm = (a ? c) 2在 C 点，方程复杂一些，须将万有引力在τ、n 方 向分解，如图 12 所示。 然后，F 万 n =ΣFn = m an ，即：F 万 cosθ= m2 vC Mm b 即：G 2 ? = m a a ρC 2 vC ρC代入 vC 值可解得：ρC =a2 b值得注意的是，如果针对 A、C 两点用开普勒第二定律，由于 C 点处的矢径 r 和瞬时速度 vC 不垂直，方程不能写作 vA（a－c）= vC a 。 正确的做法是：将 vC 分解出垂直于矢径的分量（分解方式可参看图 12，但分 解的平行四边形未画出）vC cosθ，再用 vA（a－c）=（vC cosθ）a ，化简之后 的形式成为 vA（a－c）= vC b 要理解这个关系，有一定的难度，所以建议最好不要对 A、C 两点用开普勒 第二定律第三讲 典型例题解析 教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》 ，知识出版社，2002 年 8 月第一版。 例题选讲针对“教材”第五、第六章的部分例题和习题。 第五部分 动量和能量第一讲 基本知识介绍 一、冲量和动量38 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）1、冲力（F―t 图象特征）→ 冲量。冲量定义、物理意义 冲量在 F―t 图象中的意义→从定义角度求变力冲量（F 对 t 的平均作用力） 2、动量的定义 动量矢量性与运算 二、动量定理 1、定理的基本形式与表达 2、分方向的表达式：ΣIx =ΔPx ，ΣIy =ΔPy … ?P 3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力。即 =ΣF 外 ?t 三、动量守恒定律 1、定律、矢量性 2、条件 a、原始条件与等效 b、近似条件 c、某个方向上满足 a 或 b，可在此方向应用动量守恒定律 四、功和能 1、功的定义、标量性，功在 F―S 图象中的意义 2、功率，定义求法和推论求法 3、能的概念、能的转化和守恒定律 4、功的求法 a、恒力的功：W = FScosα= FSF = FS S b、变力的功：基本原则――过程分割与代数累积；利用 F―S 图象（或先 寻求 F 对 S 的平均作用力） c、解决功的“疑难杂症”时，把握“功是能量转化的量度”这一要点 五、动能、动能定理 1、动能（平动动能） 2、动能定理 a、ΣW 的两种理解 b、动能定理的广泛适用性 六、机械能守恒 1、势能 a、保守力与耗散力（非保守力）→ 势能（定义：ΔEp = －W 保） b、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达 2、机械能 3、机械能守恒定律 a、定律内容 b、条件与拓展条件（注意系统划分） c、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和。 七、碰撞与恢复系数 1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类） 碰撞的基本特征：a、动量守恒；b、位置不超越；c、动能不膨胀。 2、三种典型的碰撞 a、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失。满足―― m1v10 + m2v20 = m1v1 + m2v239 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）1 1 1 1 2 2 m1 v10 + m2 v 2 m1 v 1 + m2 v 2 2 20 = 2 2 2 2 解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得： v1 = (m1 ? m 2 ) v10 + 2 v 20 ， m1 + m 2 v2 = (m 2 ? m1 ) v 20 + 2 v10 m 2 + m1对于结果的讨论： ①当 m1 = m2 时，v1 = v20 ，v2 = v10 ，称为“交换速度” ； ②当 m1 ＜＜ m2 ，且 v20 = 0 时，v1 ≈ －v10 ，v2 ≈ 0 ，小物碰大物， 原速率返回； ③当 m1 ＞＞ m2 ，且 v20 = 0 时，v1 ≈ v10 ，v2 ≈ 2v10 ， b、非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机制简介 ） ， 只满足动量守恒定律 c、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物 体连为一个整体，故有 v1 = v2 = m1 v10 + m 2 v 20 m1 + m 23、恢复系数：碰后分离速度（v2 － v1）与碰前接近速度（v10 － v20）的比 值，即： e = v 2 ? v1 。根据“碰撞的基本特征” ，0 ≤ e ≤ 1 。 v10 ? v 20当 e = 0 ，碰撞为完全非弹性； 当 0 ＜ e ＜ 1 ，碰撞为非弹性； 当 e = 1 ，碰撞为弹性。 八、 “广义碰撞”――物体的相互作用 1、当物体之间的相互作用时间不是很短，作用不是很强烈，但系统动量仍 然守恒时，碰撞的部分规律仍然适用，但已不符合 “碰撞的基本特征” （如：位 置可能超越、机械能可能膨胀） 。此时，碰撞中“不合题意”的解可能已经有意 义，如弹性碰撞中 v1 = v10 ，v2 = v20 的解。 2、物体之间有相对滑动时，机械能损失的重要定势：－ΔE = ΔE 内 = f 滑? S 相 ，其中 S 相指相对路程。第二讲 重要模型与专题 一、动量定理还是动能定理？ 物理情形：太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略，但是， 飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用。 设单位体积的太空均匀分布垃 圾 n 颗，每颗的平均质量为 m ，垃圾的运行速度可以忽略。飞船维持恒定的速 率 v 飞行，垂直速度方向的横截面积为 S ，与太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全 粘附住。试求飞船引擎所应提供的平均推力 F 。 模型分析：太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续，如何正40 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）确选取研究对象，是本题的前提。建议充分理解“平均”的含义，这样才能相对 模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时 间”的差异。物理过程需要人为截取，对象是太空垃圾。 先用动量定理推论解题。 取一段时间Δt ，在这段时间内，飞船要穿过体积ΔV = S?vΔt 的空间， 遭遇 nΔV 颗太空垃圾，使它们获得动量ΔP ，其动量变化率即是飞船应给予那 部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力。 ?P ?M ? v m ? n?V ? v m ? nSv?t ? v 2 = = = = nmSv F = ?t ?t ?t ?t 如果用动能定理，能不能解题呢？ 同样针对上面的物理过程，由于飞船要前进 x = vΔt 的位移，引擎推力 F 须 做功 W = F x ，它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量，而飞船的ΔEk 为零， 所 以： W = 1 2 ΔMv 2 1 2 （n m S?vΔt）v 2即： F vΔt = 得到： F =1 2 nmSv 2 两个结果不一致，不可能都是正确的。分析动能定理的解题，我们不能发现， 垃圾与飞船的碰撞是完全非弹性的，需要消耗大量的机械能，因此，认为“引擎 做功就等于垃圾动能增加”的观点是错误的。但在动量定理的解题中，由于 I = ?P Ft ， 由此推出的 F = 必然是飞船对垃圾的平 ?t 均推力，再对飞船用平衡条件， F 的大小就是引擎 推力大小了。这个解没有毛病可挑，是正确的。 （学生活动）思考：如图 1 所示，全长 L、总 质量为 M 的柔软绳子，盘在一根光滑的直杆上， 现 用手握住绳子的一端， 以恒定的水平速度 v 将绳子 拉直。忽略地面阻力，试求手的拉力 F 。 解：解题思路和上面完全相同。 答： Mv 2 L二、动量定理的分方向应用 物理情形：三个质点 A、B 和 C ，质量分 别为 m1 、 m2 和 m3 ， 用拉直且不可伸长的绳子 AB 和 BC 相连， 静止在水平面上， 如图 2 所示， AB 和 BC 之间的夹角为（π－α） 。现对质点 C 施加以冲量 I ，方向沿 BC ，试求质点 A 开 始运动的速度。41 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）模型分析：首先，注意“开始运动”的理解，它指绳子恰被拉直，有作用力 和冲量产生， 但是绳子的方位尚未发生变化。 其二， 对三个质点均可用动量定理， 但是，B 质点受冲量不在一条直线上，故最为复杂，可采用分方向的形式表达。 其三，由于两段绳子不可伸长，故三质点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系。 下面具体看解题过程―― 绳拉直瞬间，AB 绳对 A、B 两质点的冲量大小相等（方向相反） ，设为 I1 ， BC 绳对 B、 C 两质点的冲量大小相等（方向相反） ， 设为 I2 ； 设 A 获得速度 v1 （由 于 A 受合冲量只有 I1 ,方向沿 AB ，故 v1 的反向沿 AB） ，设 B 获得速度 v2（由于 ? ? B 受合冲量为 I1 + I2 ，矢量和既不沿 AB ，也不沿 BC 方向，可设 v2 与 AB 绳夹角为 〈π－β〉 ，如图 3 所示） ，设 C 获得速度 v3（合 ? ? 冲量 I + I2 沿 BC 方向，故 v3 沿 BC 方向） 。 对 A 用动量定理，有： I1 = ① ? ? B 的 动 量 定 理 是 一 个 矢 量 方 程 ： I1 + I2 = m1 v1? m2 v 2 ，可化为两个分方向的标量式，即：I2cos ② I2sinα= m2 v2sinβ ③ 质点 C 的动量定理方程为： I － I2 = m3 v3 ④ AB 绳不可伸长，必有 v1 = v2cosβ ⑤ BC 绳不可伸长，必有 v2cos(β－α) = v3 ⑥ 六个方程解六个未知量（I1 、I2 、v1 、v2 、v3 、β）是可能的，但繁复程 度非同一般。解方程要注意条理性，否则易造成混乱。建议采取如下步骤―― 1、先用⑤⑥式消掉 v2 、v3 ，使六个一级式变成四个二级式： I1 = m1 v1 ⑴ I2cosα－I1 = m2 v1 ⑵ I2sinα= m2 v1 tgβ ⑶ I － I2 = m3 v1(cosα+ sinαtgβ) ⑷ 2、解⑶⑷式消掉β，使四个二级式变成三个三级式： I1 = m1 v1 ㈠ I2cosα－I1 = m2 v1 ㈡ I = m3 v1 cosα+ I2 m 2 + m 3 sin 2 α m2 ㈢ α － I1 = m2 v2cos β3、最后对㈠㈡㈢式消 I1 、I2 ，解 v1 就方便多了。结果为： v1 = Im 2 cos α m 2 (m1 + m 2 + m 3 ) + m1 m 3 sin 2 α42 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）（学生活动：训练解方程的条理和耐心）思考：v2 的方位角β等于多少？ 解：解“二级式”的⑴⑵⑶即可。⑴代入⑵消 I1 ，得 I2 的表达式，将 I2 的 表达式代入⑶就行了。 答：β= arc tg（ m1 + m 2 。 tgα ） m2三、动量守恒中的相对运动问题 物理情形：在光滑的水平地面上，有一辆车，车内有一个人和 N 个铅球，系 统原来处于静止状态。 现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛 出，车子和人将获得反冲速度。第一过程，保持每次相对地面抛球速率均为 v ， 直到将球抛完；第二过程，保持每次相对车子抛球速率均为 v ，直到将球抛完。 试问：哪一过程使车子获得的速度更大？ 模型分析：动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方（或第四、第五方） 为参照物，这意味着，本问题不能选车子为参照。一般选地面为参照系，这样对 “第二过程”的铅球动量表达，就形成了难点，必须引进相对速度与绝对速度的 关系。至于“第一过程” ，比较简单：N 次抛球和将 N 个球一次性抛出是完全等 效的。 设车和人的质量为 M ，每个铅球的质量为 m 。由于矢量的方向落在一条直 线上，可以假定一个正方向后，将矢量运算化为代数运算。设车速方向为正， 且 第一过程获得的速度大小为 V1 第二过程获得的速度大小为 V2 。 第一过程，由于铅球每次的动量都相同，可将多次抛球看成一次抛出。车子、 人和 N 个球动量守恒。 0 = Nm(-v) + MV1 Nm 得：V1 = v ① M 第二过程，必须逐次考查铅球与车子（人）的作用。 第一个球与（NC1）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为 u1 。 ? ? ? 值得注意的是，根据运动合成法则 v 球 →地 = v 球→车 + v 车→地 ，铅球对地的速度并不 是（-v） ，而是（-v + u1） 。它们动量守恒方程为： 0 = m(-v + u1) +〔M +(N-1)m〕u1 m 得：u1 = v M + Nm 第二个球与（N -2）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为 u2 。 它们动量守恒方程为： 〔M+(N-1)m〕u1 = m(-v + u2) +〔M+(N-2)m〕u2 得：u2 = m m v + v M + Nm M + ( N ? 1)m第三个球与（N -2）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为 u3 。 铅球对地的速度是（-v + u3） 。它们动量守恒方程为： 〔M+(N-2)m〕u2 = m(-v + u3) +〔M+(N-3)m〕u343 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）得：u3 =m m m v + v v + M + Nm M + ( N ? 1)m M + ( N ? 2) m以此类推（过程注意：先找 uN 和 uN-1 关系，再看 uN 和 v 的关系，不要急于化 简通分） ……，uN 的通式已经可以找出： V2 = uN = m m m m v + v + … + v + v M + Nm M + ( N ? 1)m M + ( N ? 2) m M+mN即：V2 =∑ M + im vi =1m②我们再将①式改写成：NV1 =∑Mvi =1m①′不难发现，①′式和②式都有 N 项，每项的分子都相同，但①′式中每项的 分母都比②式中的分母小，所以有：V1 ＞ V2 。 结论：第一过程使车子获得的速度较大。 （学生活动）思考：质量为 M 的车上，有 n 个质量均为 m 的人，它们静止在 光滑的水平地面上。现在车上的人以相对车大小恒为 v、方向水平向后的初速往 车下跳。第一过程，N 个人同时跳下；第二过程，N 个人依次跳下。试问：哪一 次车子获得的速度较大？ 解 ： 第 二 过 程 结 论 和 上 面 的 模 型 完 全 相 同 ， 第 一 过 程 结 论 为 V1 =n i =1∑ M + nm vm。答：第二过程获得速度大。 四、反冲运动中的一个重要定式 物理情形： 如图 4 所示， 长度为 L、 质量为 M 的船停止在静水中（但未抛锚） ， 船头上有一个质量为 m 的人，也是静止的。现在令人在船上开始向船尾走动， 忽 略水的阻力，试问：当人走 到船尾时，船将会移动多 远？ （学生活动） 思考： 人可 不可能匀速（或匀加速）走 动？当人中途停下休息，船 有速度吗？人的全程位移大 小是 L 吗？本系统选船为参 照，动量守恒吗？ 模型分析： 动量守恒展示 了已知质量情况下的速度关系， 要过渡到位移关系， 需要引进运动学的相关规律。 根据实际情况（人必须停在船尾） ，人的运动不可能是匀速的，也不可能是匀加 速的,运动学的规律应选择 S = v t 。为寻求时间 t ，则要抓人和船的位移约束 关系。44 / 142最新高中物理竞赛讲义（完整版）对人、船系统，针对“开始走动→中间任意时刻”过程，应用动量守恒（设 末态人的速率为 v ，船的速率为 V） ，令指向船头方向为正向，则矢量关系可以 化为代数运算，有： 0 = MV + m(-v) 即：mv = MV 由于过程的末态是任意选取的，此式展示了人和船在任一时刻的瞬时速度大 小关系。而且不难推知，对中间的任一过程，两者的平均速度也有这种关系。即： m ① 设全程的时间为 t ，乘入①式两边，得：m v t = M V t 设 s 和 S 分别为人和船的全程位移大小，根据平均速度公式，得：m s = M S ② 受 船 长 L 的 约 束 ， s 和 S 具 有 关 系 ： s ③ m L M+m （应用动量守恒解题时，也可以全部都用矢量关系，但这时“位移关系”表 达起来难度大一些――必须用到运动合成与分解的定式。时间允许的话，可以做 一个对比介绍。 ） 另解：质心运动定律 人、船系统水平方向没有外力，故系统质心无加速度→系统质心无位移。先 求出初态系统质心（用它到船的质心的水平距离 x 表达。根据力矩平衡知识，得： 解②、③可得：船的移动距离 S = x= mL ） ，又根据，末态的质量分布与初态比较，相对整体质心是左右对 2(m + M ) + S = L v = M V称的。弄清了这一点后，求解船的质心位移易如反掌。 （学生活动）思考：如图 5 所示，在无风的天空，人抓住气 球下面的绳索，和气球恰能静止平衡，人和气球地质量分别为 m 和 M ，此时人离地面高 h 。现在人欲沿悬索下降到地面，试问： 要人充分安全地着地，绳索至少要多长？ 解：和模型几乎完全相同，此处的绳长对应模型中的“船的 长度” （ “充