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高等数学常用极限求法[1]1
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幂指型函数极限的求法
高航·浙江大学
阅读数3148
这里我把幂指函数和幂指数列统称为&幂指型&，简单地说，幂指型就是指底数和指数上都出现未知量的形式。如果用严格的定义叙述的话，我们把可以表示为\(y=f(x)^{g(x)}(f(x)&0)\)的函数称为幂指函数，把可以表示为\(a_n=f(n)^{g(n)}(f(n)&0)\)的数列称为幂指数列。求解幂指型的极限是高等数学中的一个难点，我们并不是很喜欢这种形式。因此，无论是研究生考试，还是大学生数学竞赛，计算幂指型极限的问题经常出现。那么，解决这一类问题有什么技巧呢？本文介绍的是幂指型函数求极限的方法。
幂指型函数\(y=f(x)^{g(x)}(f(x)&0)\)，如果这里\(f(x),g(x)\)的极限都存在，那么这个问题就很简单了，我们可以证明，如果\(f(x),g(x)\)的极限分别是\(A,B\)，那么幂指型的极限是\(A^B\)。这个证明并不困难，本文不予赘述。如果\(f(x)\)的极限是0，而\(g(x)\)的极限是\(+\infty\)，也可以证明这个幂指型的极限是0.因此，上面提到的两种问题比较简单，一般来说竞赛中不会遇到。所以竞赛中如果遇到这种幂指型的问题，基本上不要想着试图分别求出底数和指数的极限这样的&美差事&了。我们面对的往往是&\(\infty^0\)&&\(1^\infty\)&&\(0^0\)&这三种&未定型&。下文将要介绍的是&未定幂指型&函数极限的求法。
方法一：取对数法
这是&幂指型&函数极限求解最普遍、最一般的方法，利用的是幂指型通过取对数可以转化为复合函数的特点。由于\(\ln f{(x)^{g(x)}} = g(x)\ln f(x)\)，\(f{(x)^{g(x)}} = {e^{g(x)\ln f(x)}}\)。由于指数函数的连续性，求解幂指型\(f(x)^{g(x)}\)的极限的问题就归结为求\(g(x)\ln f(x)\)的极限问题。至于\(g(x)\ln f(x)\)这种极限到底该怎么求，这里方法就由取对数后式子的特征来决定了，本文不予赘述。很多参考书在这里直接从原来的幂指型开始变形，这样后面每一步计算都带着底数\(e\)，会显得计算比较复杂。这里我推荐的做法是&先取对数再说&，即先对原来的幂指型取对数，然后设法求取完对数后式子的极限，最后得到答案，不要忘了这个答案是取过对数的，最终需要加上底数\(e\)。这样的好处是容易对取完对数后式子进行分析，不会因为式子太复杂而迷糊。取对数之前，指数的位置上有自变量，这让我们束手无策。而取完对数以后就把自变量从指数的位置上&放下来&，这是取对数法最大的好处，起到了删繁就简的效果，这是对问题的解决有所裨益的地方。此方法可以用一句口诀概括：&幂指型求极限，先取对数再说&。接下来我们看一些例子：
例1：计算极限\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(x + {e^x})^{\frac{1}{x}}}\)
分析：先取对数 \(\ln {(x + {e^x})^{\frac{1}{x}}} = \frac{{\ln (x + {e^x})}}{x}\)
取对数后的形式是\(\infty\over\infty\)型且不难求导数，洛必达法则是很好的方法。
最后不要忘了1不是最终的结果，是取过对数后式子的极限。因此原来的幂指型极限是\(e\)。
\(\therefore \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {x + {e^x}} \right)^{\frac{1}{x}}} = {e^1} = e\)
一般的参考书或教科书，过程是这么写的：
这么书写看起来非常流畅，一气呵成，但是关键的变形一直在指数上，而书写的时候指数是比较小的。幸好这个式子并不复杂，我们可以看清楚。如果式子复杂一些，我们看的时候可能就存在一些困难了。所以单独把取完对数的形式拉出来，后面的思路可以看得更清晰。这是我比较喜欢的过程，也可以很好地体现取对数的作用。
例2：（第一届大学生数学竞赛（非数学组）预赛）
求极限\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{{e^x} + {e^{2x}} + \cdots + {e^{nx}}}}{n}} \right)^{\frac{e}{x}}}\)，其中\(n\)是给定的正整数。
分析：虽然出现了\(x \)和\(n\)但是\(n\)可以当作常数来对待。式子是幂指型，因此先取对数再说。要注意的是虽然分子可以看成等比数列求和的形式，但是现在我们不清楚是否求和后的形式更利于解决问题，所以先放着，不要过于着急变形。
取对数后结果是：\(\frac{{e\ln \left( {\frac{{{e^x} + {e^{2x}} + \cdots + {e^{nx}}}}{n}} \right)}}{x}\)，这个形式是\(0\over0\)型，求导数没有太大的难度，所以用洛必达法则。由于分子接下来考虑进行求导，这里上面用等比数列求和并没有太大的意义。在解题的时候着急地进行变形并不是一种很好的习惯，一定要看有没有需要。
例3：（第二届大学生数学竞赛（非数学组）预赛）
求极限\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {e^{ - x}}{(1 + \frac{1}{x})^{{x^2}}}\)
分析：如果看成\(\frac{{{{(1 + \frac{1}{x})}^{{x^2}}}}}{{{e^x}}}\)，这里分子求导很麻烦，洛必达法则看起来前途黯淡。虽然出现了\({\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x}\)但是暂时也看不到怎么用。这里出现了幂指型，还是先取对数再看情况。
取对数后得到的是\( - x + {x^2}\ln (1 + \frac{1}{x})\)，作变量代换\(t={1\over x}\)是比较好的一种思路。读者可以思考一下其他的思路。
通过这个题目，我们可以再次领略到先取对数的好处。
方法二：等价代换法
利用等价无穷小（或无穷大）作代换是很重要并且有技巧性的一种求极限的方法。由于\(\ln f{(x)^{g(x)}} = g(x)\ln f(x)\)，如果\(f(x)\sim\phi (x),g(x)\sim\psi (x)\)，自然有\(g(x)\ln f(x)\sim\psi (x)\ln \phi (x)\)，于是\(f(x)^{g(x)}\sim\phi(x)^{\psi(x)}\).
由此我们可以得到：如果\(f(x) & 0,\phi (x) & 0,f(x)\sim\phi (x),g(x)\sim\psi (x)\)，而\(\lim f(x)^{g(x)}\)存在，那么\(\lim \phi(x)^{\psi(x)}=\lim f(x)^{g(x)}\)。这个结论的证明本文不予赘述，有兴趣的读者可以自己推演。这表明，幂指型也可以使用等价替换法求极限。
例4：求极限\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + x)^{\cot x}}\)
分析：这里使用等价无穷小（大）代换将非常简单.
解：\(\because \cot x = \frac{1}{{\tan x}}\sim\frac{1}{x}\)
\(\therefore\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + x)^{\cot x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + x)^{\frac{1}{x}}} = e\)
如果不太习惯直接在幂指型中进行等价代换，我们可以按照上一种思路，先去取对数，再对取对数以后的形式用等价代换。
方法三：配凑法
前面说过，幂指型函数\(y=f(x)^{g(x)}(f(x)&0)\)，如果这里\(f(x),g(x)\)的极限都存在，那么这个问题就很简单了。虽然题目往往不会出现这种好事，但是有时候我们可以对前面的形式进行配凑，强行变成这种形式，然后求极限。
一般来说，配凑法往往利用重要极限\(\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)，所以一般用于求解&\(1^\infty\)&型极限。若\(\alpha(x)&0\)，\(\alpha(x)\)是无穷小量，那么
如果\(\alpha(x)\beta(x)\)的极限存在，那么就达到配凑法求解极限的目的了。因此我们可以考虑先求\(\alpha(x)\beta(x)\)的极限。
例5：求极限\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\frac{{\arctan x}}{x})^{\frac{3}{{x\sin x}}}}\)
分析：这里是&\(1^\infty\)&型，可以尝试用配凑法求极限。
\(\frac{{\arctan x}}{x} = 1 + \frac{{\arctan x - x}}{x}\)，先进行变形，然后进行配凑。
总结：上述三种方法为幂指型函数求极限的主要方法，最常规的方法是取对数法，后面两种方法有一定技巧性，不过也可以归结为取对数的方法。掌握好它们，我们在遇到这类问题的时候就不再会感到非常吃力了。
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感觉是个好东西，算是一个总得整理，对大一刚学极限的同学应该有不少的帮助。
其实很多不会求的题看着这个就觉得简单多了。
这个能解决大部分极限运算吗
继续啊 楼主还有没，不够啊
楼主好人，图片少了几张哇。。。跪求
八呢。。。
这是十三，我找不到八，河海大学学术墙那个，微博用不习惯 @九重の凛
楼主，积分呢
为什么没第八页
只是简单计算的
太伟大了，楼主
楼主咋就到18了呢，后面还有吗
后面还有吗？楼主
我补充点，可以使用一些有用的定理，比如stolz定理，拉格朗日中值定理～一般的求和公式，包括n次方和函数～想到别的在补充
无穷大+sin/cos之类的三角函数=无穷大一般无穷大（tan
x 等等）真伪无穷大之间的合差化简～
有大神能给解释下（7）三角函数恒等变换法里面的题吗？有点看不懂啊。。
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3秒自动关闭窗口2018考研高等数学：极限重点例题解析
来源：新东方网整理
　　高等数学复习，对于重要知识点要结合相关题目来掌握，极限是高等数学重要知识点，下面新东方网考研频道结合例题为大家详细解读这一知识点的应用和考察方式。
极限重点例题解析
　　每年必考题，本身作为微积分最为根本的概念，每年直接考查的就覆盖选择题、填空题和解答题三种题型。因此，不仅要掌握求极限的各类方法，而且快速准确的写出答案，会增加高分的机会。
　　重点分布：
　　(1)求函数极限
　　重点复习幂指函数、变限积分函数的极限
　　(2) 求数列极限
　　重点复习夹逼准则、单调有界收敛准则求极限的方法
　　(3) 根据极限求未知参数
　　【例题】2014年真题(适用数一、数二、数三)
　　【例题】2014年真题(适用数一)
　　【例题】2015年真题(适用数一、数二、数三)
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