全国高等教育自学考试高等数学试题（一）(1) Gzu521.com我的学习网
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一、填空题（每小题１分，共１０分） &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&________&&&&&&&&&&&１
&&１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2&&&&＋&&──────&&的定义域为 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&_________ &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&√１－&ｘ2 _______________。 &&２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx&&上点（&０，１&）处的切线方程是______________。 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&ｆ（xo＋２h）－ｆ（xo－３h） &&３．设ｆ（x）在xo可导且ｆ’（xo）＝ａ，则ｌｉｍ&───────────────&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&h→o&&&&&&&&&&&&&&&&&&h ＝&&_____________。 &&４．设曲线过（０，１），且其上任意点（ｘ，ｙ）的切线斜率为２ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 &&&&&&&&&&&ｘ &&５．∫─────ｄｘ＝_____________。 &&&&&&&&&１－ｘ4 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&１ &&６．ｌｉｍ&ｘｓｉｎ───＝___________。 &&&&&&&x→∞&&&&&&&&&&&ｘ &&７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&_______ &&&&&&&&&&&&&&&r&&&&&&&√r2－ｘ2 &&８．累次积分∫&ｄｘ&&∫&&&&&&&ｆ（ｘ2&＋&ｙ2&&）ｄｙ&化为极坐标下的累次积分为 ____________。 &&&&&&&&&&&&&&&0&&&&&&&&0 本文共17页: 第 1
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分类：数学
dy＝｛1/√［1－（x^2－1）］｝d［√（x^2－1）］＝［1/√（2－x^2）］｛1/［2√（x^2－1）］d（x^2－1）＝｛x/√［（2－x^2）（x^2－1）］｝dx
由向量a,b的坐标可知a与x轴夹角为α.b与x轴夹角为-α故ab夹角为2α
因为不知道cosθ/2的x是在根号内还是外.所以大体跟你说下步骤.sinθ/2平方+cosθ/2平方等于1.可得sinθ/2的值（带x的.应该后面能约掉.）sinθ=2sinθ/2cosθ/2既可.
x∈【0,π/2】,则cosx∈【0,1】,因此,f(x)=sin（cosx）∈【0,sin1】.f(x)最大值为sin1,最小值为0.x∈【0,π/2】,则sinx∈【0,1】,因此,g(x)=cos（sinx）∈【cos1,1】.g(x)最大值为1,最小值为cos（1）
1.a,b,c成等比数列 bb=ac 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC 2(sinB)^2=2sinAsinC=cos(A-C)-cos(A+C)=cos(A-C)+cosB2(sinB)^20即证得02.sinBcosB/(1+sinB+cosB) sinB＋cosB＝t tt－1＝2sinBcosB 2sinBcosB/2(1+sinB+cosB) ＝(tt-1)/2(1+t) =(t-1)/2 =[sinB＋cosB-1]/2 0100
已知函数f（x）=sin?x+根号3sinxcosx,x∈R （1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间（2）函数f（x）的图像可以由函数y=sin2x的图像如何让变换得到的
f(x)=1/2-1/2cos2x+√3/2(2sinxcosx)=1/2-1/2cos2x+√3/2sin2x=1/2+(√3/2sin2x-1/2cos2x)=1/2+(sin2xcosπ/6-cos2xsinπ/6)=1/2+sin(2x-π/6),所以最小正周期为2π/2=πf(x)的单调增区间为-π/2+2kπ
求问,MATLAB来做三次样条插值,如何得到插值的函数表达式x=[0.2:0.2:1.0];y=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];
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微积分课件1-1 函数
第一节 函 数一、 函数的概念 二、 函数的特性 三、 函数的运算 四、 初等函数 五、 小结与思考判断题一、函数的概念定义1 设 x 和 y 是两个变量， D是一个给定的 数集，如果对于每个数 x ? D，变量 y 按照一定 法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函 数，记作y ? f ( x)数集D叫做这个函数的定义域因变量自变量当 x0 ? D 时，称 f ( x0 )为函数在 x0 的函数值.函数值全体组成的数集W ? { y y ? f ( x ), x ? D} 称为函数的值域.1. 函数的两要素: 定义域与对应法则.(xD对应法则fx0 )f ( x0 )自变量(Wy)因变量约定 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值. 例如 y ? 1 ? x 2 1 例如 y ? 2 1? xD : [?1,1] D : ( ?1,1)2. 单值函数与多值函数 如果自变量在定义域内任取一个数值 时，对应的函数值总是只有一个，这种函 数叫做单值函数，否则叫与多值函数． 例如 x 2 ? y 2 ? a 2 ,y?? a ?x22函数的表示方法： 1）表格法2）图形法3）解析法3. 几个特殊的函数举例 例1 符号函数1 y? 1 当x ? 0 ? y ? sgn x ? ? 0 当x ? 0 ? ? 1 当x ? 0 ?ox-1x ? sgn x ? x例2 取整函数 y=[x][x]表示不超过 x 的最大 整数.-4 -3 -2 -1y 4 3 2 1 o-1 1 2 3 4 5 -2 -3 -4x阶梯曲线 在 x为整数值处,图形发生跳跃,跃度为1.例3狄利克雷函数?1 当x是有理数时 y ? D( x ) ? ? ?0 当x是无理数时y? o 无理数点 有理数点 1x如果函数在不同的定义区间上用不同的解析式 子表示称为分段函数,例1至例3均是分段函数.二、函数的特性1.函数的有界性若X ? D, ?M ? 0, ?x ? X , 有 f ( x ) ? M 成立,则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.yM y=f(x) o -M Myx有界 Xx0o -M X 无界x2．函数的单调性:设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I ? D,恒有f ( x1 ) ? f ( x2 ) (1) 则称函数 f ( x)在区间I上是单调增加的;yy ? f (x)如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 ? x2时,f ( x2 )f ( x1 )oIx设函数 f ( x )的定义域为 , 区间I ? D, D如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 ? x2时,f ( x1 ) ? f ( x2 ) (2) 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的 ;恒有yy ? f (x)f ( x1 )f ( x2 )oIx例如,函数 f ( x ) ? x 在(??,??) 内是单调增 加的.如图所示.3例如,函数 f ( x ) ? x 在(??,0) 内是单调减少 的,在 (0,?? ) 内是单调增加的.如图所示.23．函数的奇偶性:设D关于原点对称, 对于?x ? D, 有 f ( ? x ) ? f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;yy ? f ( x)f (? x )-x o 偶函数 xf ( x)x偶函数的图形关于 y 轴对称.设D关于原点对称, 对于?x ? D, 有f (? x ) ? ? f ( x )称 f ( x )为奇函数;yy ? f ( x)f ( x)-x of (? x )xx奇函数奇函数的图形对称于原点.不满足上述性质的函数为非奇非偶函数.例如f ( x ) ? x 与 f ( x) ? cos x 是偶函数；2f ( x ) ? x 3 与 f ( x ) ? sin x 是奇函数；f ( x) ? sin x ? cos x 与 f ( x) ? sin x ? 1是非奇非偶函数.4．函数的周期性:设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在一个不为零的 数l , 使得对于任一 ? D, ( x ? l ) ? D. 则称f ( x )为周 x 期函数, l称为f ( x )的周期. 且f ( x ? l ) ? f ( x )恒成立.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.?3l 2?l 2l 23l 2例如函数sin x , cos x 都是以 2? 为周期的周期函数.函数 tan x , cot x , | sin x |, | cos x | 都是以 为周期的周期函数.?并非所有的周期函数都有最小正周期.例如函数 f ( x ) ? c ( c 为常数)及狄利克雷 (Dirichlet)函数?1 D( x ) ? ? ?0x为有理数 x为无理数均为周期函数,但没有最小正周期.三、函数的运算对函数除了可以作加，减，乘，除四则运算之 外，还有复合运算与求反函数的运算. 定义2 设函数 y ? f (u) 的定义域与 u ? g( x ) 的值域的交集非空，则y ? f [ g( x )] 是y ? f (u ), u ? g (x ) 的复合函数.2 2 u 例如 y ? arcsinx 可看作由 y ? arcsin , u ? x复合而成.注：不是任何函数都可以复合成一个函数。例4 设 y ? f ( u) ? u , g ( x ) ? sin x , 求 f [ g( x )].2解由于u ? g( x ) ? sin x 的值域 g( D ) ? [?1,1].y ? f ( u) ? u 的定义域 D f 为 (??,??).2显然 g ( D ) ? D f , 故可进行复合运算，即f [ g ( x )] ? f (sin x ) ? sin x2f ( x ) ? x 2 ,? ( x ) ? sin x , 例5 设求f [? ( x )], f [ f ( x )], ? [ f ( x )], ? [? ( x )].解 显然给出的函数符合复合的条件，因此f [? ( x )] ? ? ( x ) ?2 2f [ f ( x )] ? [ f ( x )]2 ? ( x 2 )2 ? x 4 ;? [ f ( x )] ? sin[ f ( x )] ? ? [? ( x )] ? sin[? ( x )] ? sin(sin x ).2y ? f ( u) ? arcsin u, u ? ? ( x ) ? x 2 ? 2, 例6 设求 f [? ( x )].解 由于? ( x ) ? x 2 ? 2，? ( D) ? [2,??) f ( u) ? arcsin u 的定义域 D f 为[?1,1], ? ( D ) ? D f不满足复合函数定义的条件，从而f [? ( x )] ? arcsin( x ? 2)2是没有意义的.1 1 2 例7 已知 f ( x ? ) ? x ? 2 , 求 f ( x ). x x 1 1 1 2 2 解 因为 f ( x ? ) ? x ? 2 ? ( x ? ) ? 2 x x x故f ( x ) ? x 2 ? 2.2例8 函数 y ? ln 1 ? x 成的.是由哪些函数复合而解y ? ln 1 ? x 2 是由 显然， y ? ln u, u ? v , v ? 1 ? x 2复合而成.定义3 设函数 y ? f ( x ), x ? D 的值域为 R， 如果对于每一个 y ? R ，根据关系 y ? f ( x )能 确定唯一的 x ? D ，则称得到的新函数 x ? ? ( x ) ) ?1 为 y ? f ( x ) 的反函数.亦称 y ? f ( x 与 x ? ? ( x ) 互为反函数.函数的反函数常记为 y ? f ( x ). ?1 相对于反函数 y ? f ( x ) 来说，原来的函数 称为直接函数.它们图形的关系如下所示.y函数 y ? f ( x )y反函数 x ? ?( y )WWoDxoDxy反函数y ? ?( x )Q ( b, a )o直接函数y ? f ( x ) P (a , b)x直接函数与反函数的图形关于直线 y ? x 对称.y ? x 2 在 ( ??,?? ) 上没有反函数， 函数但在 (??,0] 及 [0,??) 上分别有反函数 x ? ? y及 x?y.y ? x 2 在 ( ??,?? )上没有反函数， 又 x ? arcsin y只是在 [ ?? ?, ) 上的反函数. 2 2例9解1 x 求函数 f ( x ) ? ( e ? e ? x ) 的反函数. 2 1 x 令 y ? ( e ? e ? x ), 则 2 e 2 x ? 2 ye x ? 1 ? 0ex ? y ?y2 ? 1 y ? 1)2(舍去“-”)x ? ln( y ?将字母 x 与 y 互换,得 即y ? ln( x ?x 2 ? 1)f ?1 ( x ) ? ln( x ? x 2 ? 1)四、初等函数1.基本初等函数（1）常数函数 y ? c 如下图所示.ycOx2.幂函数 y ? x ?yy ? x21(?是常数)y? x(1,1)y?xo1 y? x1xx 3.指数函数 y ? a(a ? 0, a ? 1)y ? ex1 x y?( ) ay ? ax(a ? 1)?(0,1)4.对数函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1)y ? ln xy ? log a x(1,0)?(a ? 1)y ? log 1 xa对数函数与指数函数互为反函数.5.三角函数 正弦函数 y ? sin xy ? sin x余弦函数y ? cos xy ? cos x正切函数 y ? tan xy ? tan x余切函数 y ? cot xy ? cot x正割函数 y ? sec xy ? sec x余割函数y ? csc xy ? csc xsin 它们均为周期函数， x ,和 cos x 有界.其余三角函数无界. sin x , tan x , csc x 为奇函数，cos x , cot x , sec x 为偶函数.6.反三角函数反正弦函数 y ? arcsin xy ? arcsin x反余弦函数 y ? arccos xy ? arccos x反正切函数 y ? arctan xy ? arctan x反余切函数 y ? arccot xarctan x , arcsin x 是单调递增的, arccos x , arc cot x 是单调递减的，它们均为有界函数.2.初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算和有限 次复合运算所得到的并可用一个式子表示的函 数，称为初等函数.例如x f ( x) ? , 2 1? xg( x ) ? 2?sin21 x(1 ? x ) ? log 2 (1 ? x ),? ( x) ? e?x21 x2 ? 1 sin 2 ? 2 arctan 2 ?1 x x ?1设u( x ), v ( x ) 都是初等函数，则幂指函数u( x )v ( x )也是初等函数. 应用上还常遇到另一种初等函数.双曲函数与反双曲函数 1.双曲函数e x ? e?x 双曲正弦 sinh x ? 2D : ( ??,?? ),奇函数.y ? cosh x 1 x y? e 2在 ( ??,?? ) 内单调增加.e ?e 双曲余弦 cosh x ? 2x?xy ? sinh x1 ?x y? e 2D : ( ??,?? ),偶函数. 在 (0,?? ) 内单调增加.在 (??,0) 内单调减少.sinh x e x ? e ? x 双曲正切 tanh x ? ? x ?x cosh x e ? eD : ( ??,?? )奇函数, 有界函数,在 ( ??,?? ) 内单调增加.双曲函数常用公式sinh( x ? y ) ? sinh x cosh y ? cosh( x ? y ) ? cosh x cosh y ?cosh x ? sinh x ? 1;2 2sinh 2 x ? 2cosh 2 x ? cosh 2 x ? sinh 2 x .2.反双曲函数反双曲正弦 y ?y ? arsinh x ? ln( x ?D : ( ??,?? )奇函数,y ? ar sinh xx ? 1).2在 (??,??) 内单调增加 .反双曲余弦 y ? ar cosh xy ? arcosh x ? ln( x ? x 2 ? 1).D : [1,?? )y ? ar cosh x在 [1,??) 内单调增加.反双曲正切 y ? ar tanh xy ? artanh x1 1? x ? ln . 2 1? xD : ( ?1,1)奇函数,y ? ar tanh x在 (?1,1) 内单调增加.五小结与思考判断题1.函数的分类初等函数{有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)2.思考判断（1）分段函数都不是初等函数。（2） 由基本初等函数，经过无限次四则 运算而成的函数不是初等函数。 解答：（1）错误.例如 y ?| x | 是分段函数,然 而也初等函数. （2）错误.是初等函数.
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由arcsin(x-2)不等于0 得-1即1定义域为[1,3)又因为01/arcsin(x-2)>=1/π值域为[1/π,正无穷)
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x-1分之2=x?-1分之4的分式方程 1.x?+x分之5-x?-x分之
x-1分之2=x?-1分之4 2（x+1)=4 x+1=2 x=1 经检验x=1是增
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