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二项式定理知识点及典型题型总结
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二项式知识点+十大问题+练习(含答案)
1．二项式定理：0 1 r n (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n ?1b ? ? ? Cn a n ?r b r ? ? ? Cn b n (n ? N ? ) ，2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做 ( a ? b) 的二项展开式。nr ②二项式系数:展开式中各项的系数 Cn (r ? 0,1, 2, ???, n) .③项数：共 (r ? 1) 项，是关于 a 与 b 的齐次多项式r ④通项： 展开式中的第 r ? 1 项 Cn a n ? r b r 叫做二项式展开式的通项。 Tr ?1 ? Cn a 用rn?rb r 表示。3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有 (n ? 1) 项。 ②顺序：注意正确选择 a , b ,其顺序不能更改。 ( a ? b) 与 (b ? a ) 是不同的。n n③指数： a 的指数从 n 逐项减到 0 ，是降幂排列。 b 的指数从 0 逐项减到 n ，是升幂排列。 各项的次数和等于 n .0 1 2 r n ④系数： 注意正确区分二项式系数与项的系数， 二项式系数依次是 Cn , Cn , Cn , ???, Cn , ???, Cn .项的系数是 a 与 b 的系数（包括二项式系数） 。 4．常用的结论： 令 a ? 1, b ? x, 令 a ? 1, b ? ? x,0 1 2 r n (1 ? x) n ? Cn ? Cn x ? Cn x 2 ? ? ? Cn x r ? ? ? Cn x n (n ? N ? ) 0 1 2 r n (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x 2 ? ? ? Cn x r ? ? ? (?1)n Cn x n (n ? N ? )5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0 n k ?? k Cn ? Cn ，? Cn ? Cn ?1 0 1 2 r n ②二项式系数和： a ? b ? 1 ,则二项式系数的和为 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n ， 令 1 2 r n 变形式 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n ? 1 。③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：1 2 3 在二项式定理中， a ? 1, b ? ?1 ， Cn ?Cn ?Cn ?Cn ? ?? ( 1Cnn?n ? 1 ? n0 令 则 0 ? ) ( ) 1，0 2 4 2 1 3 2 从而得到： Cn ? Cn ? Cn ??? ?Cn r ? ??? ? Cn ? Cn ? ? ? Cn r ?1 ? ??? ?1 n ? 2 ? 2n ?1 2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0 1 2 n (a ? x) n ? Cn a n x 0 ? Cn a n ?1 x ? Cn a n ? 2 x 2 ? ? ? Cn a 0 x n ? a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? ? ? an x n 0 1 2 n ( x ? a ) n ? Cn a 0 x n ? Cn ax n ?1 ? Cn a 2 x n ? 2 ? ? ? Cn a n x 0 ? an x n ? ? ? a2 x 2 ? a1 x1 ? a0令x ? 1, 则a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an ? (a ? 1) n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① 令x ? ?1, 则a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? (a ? 1) n ? ? ? ? ? ? ? ?② (a ? 1) n ? (a ? 1) n (奇数项的系数和) 2 (a ? 1) n ? (a ? 1) n ① ? ②得, a1 ? a3 ? a5 ? ? an ? (偶数项的系数和) 2 ① ? ②得, a0 ? a2 ? a4 ? ? an ?n⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式系数 Cn2 取 得最大值。n ?1如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数 Cn 2 ,Cn ?1 2 同时取得最大值。 nn⑥系数的最大项：求 (a ? bx) 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项 系数分别 为 A1 , A2 , ???, An ?1 ，设第 r ? 1 项系数最大，应有 ?? Ar ?1 ? Ar ，从而解出 r 来。 ? Ar ?1 ? Ar ? 2专题一题型一：二项式定理的逆用；1 2 3 n 例： Cn ? Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? ? ? Cn ? 6n ?1 ?.0 1 2 3 n 解： (1 ? 6) n ? Cn ? Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? Cn ? 63 ? ? ? Cn ? 6n 与已知的有一些差距，1 2 3 n ? Cn ? Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? ? ? Cn ? 6n ?1 ?1 1 2 n (Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? ? ? Cn ? 6n ) 6 1 0 1 1 1 2 n ? (Cn ? Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? ? ? Cn ? 6n ? 1) ? [(1 ? 6) n ? 1] ? (7 n ? 1) 6 6 6.1 2 3 n 练： Cn ? 3Cn ? 9Cn ? ? ? 3n ?1 Cn ? 1 2 3 n 解：设 Sn ? Cn ? 3Cn ? 9Cn ? ? ? 3n ?1 Cn ，则1 2 3 n 0 1 2 3 n 3Sn ? Cn 3 ? Cn 32 ? Cn 33 ? ? ? Cn 3n ? Cn ? Cn 3 ? Cn 32 ? Cn 33 ? ? ? Cn 3n ? 1 ? (1 ? 3) n ? 1? Sn ?(1 ? 3)n ? 1 4n ? 1 ? 3 3题型二：利用通项公式求 x n 的系数；例：在二项式 ( 41 3 2 n ? x ) 的展开式中倒数第 3 项的系数为 45 ，求含有 x 3 的项的系数？ x2 ? 45 ，即 Cn ? 45 ，? n2 ? n ? 90 ? 0 ，解得 n ? ?9(舍去)或n ? 10 ，解：由条件知 Cn 由n?2Tr ?1 ? C ( x )r 10?1 4 10?r(x ) ? C xr 102 3 r10? r 2 ? ? r 4 3，由题意 ?10 ? r 2 ? r ? 3, 解得r ? 6 ， 4 36 则含有 x 3 的项是第 7 项 T6?1 ? C10 x 3 ? 210 x 3 ,系数为 210 。1 9 ) 展开式中 x 9 的系数？ 2x 1 r 1 1 r r r 解： Tr ?1 ? C9 ( x 2 )9?r (? ) ? C9 x18?2 r (? )r x ? r ? C9 (? )r x18?3r ，令18 ? 3r ? 9 ,则 2x 2 2 r ?3 1 3 21 9 3 故 x 的系数为 C9 (? ) ? ? 。 2 2练：求 ( x 2 ? 题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式 ( x 2 ?1 2 x)10 的展开式中的常数项？r 解： Tr ?1 ? C10 ( x 2 )10? r (5 20 ? r 5 r 1 ) r ? C10 ( )r x 2 ，令 20 ? r ? 0 ，得 r ? 8 ，所以 2 2 2 x145 8 1 T9 ? C10 ( )8 ? 2 256 1 6 练：求二项式 (2 x ? ) 的展开式中的常数项？ 2x 1 1 r r 解：Tr ?1 ? C6 (2 x)6?r (?1)r ( ) r ? (?1) r C6 26?r ( ) r x 6?2 r ，令 6 ? 2 r ? 0 ，得 r ? 3 ，所以 2x 23 T4 ? (?1)3 C6 ? ?20练：若 ( x 2 ? ) n 的二项展开式中第 5 项为常数项，则 n ? ____.4 4 解： T5 ? Cn ( x 2 ) n ? 4 ( ) 4 ? Cn x 2 n ?12 ，令 2n ? 12 ? 0 ，得 n ? 6 .1 x1 x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项； 例：求二项式 ( x ? 3 x )9 展开式中的有理项？r r 解：Tr ?1 ? C9 ( x 2 )9?r (? x 3 )r ? (?1)r C9 x 1 1 27 ?r 6， 令27 ? r ? Z ,( 0 ? r ? 9 )得 r ? 3或r ? 9 ， 627 ? r 3 ? 4 ， T4 ? (?1)3 C9 x 4 ? ?84 x 4 ， 6 27 ? r 9 当 r ? 9 时， ? 3 ， T10 ? (?1)3 C9 x3 ? ? x3 。 6所以当 r ? 3 时， 题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和； 例：若 ( x 2 ?13x 12) n 展开式中偶数项系数和为 ?256 ，求 n .解：设 ( x 2 ?3x2) n 展开式中各项系数依次设为 a0 , a1 , ???an ,令x ? ?1 ,则有 a0 ? a1 ? ???an ? 0, ①， 令x ? 1 ,则有a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? (?1) n an ? 2n , ②将①-②得： 2(a1 ? a3 ? a5 ? ???) ? ?2n , ? a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? ?2n ?1 , 有题意得， ?2n?1 ? ?256 ? ?28 ，?n ? 9 。练：若 ( 31 5 1 n ? ) 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024 ，求它的中间项。 x x20 2 4 2 1 3 2 解：? Cn ? Cn ? Cn ??? ?Cn r ? ??? ? Cn ? Cn ? ? ? Cn r ?1 ? ??? ? 2n ?1 ，? 2n?1 ? 1024 ，解得 n ? 11 所以中间两个项分别为 n ? 6, n ? 7 ， T5?1 ? Cn ( 351 6 5 1 5 ) ( 2 ) ? 462 ? x ?4 ， x xT6?1 ? 462 ? x1 2?61 15题型六：最大系数，最大项； 例：已知 ( ? 2 x) n ，若展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展 开式中二项式系数最大项的系数是多少？4 6 5 解：? Cn ? Cn ? 2Cn ,? n 2 ? 21n ? 98 ? 0, 解出 n ? 7或n ? 14 ，当 n ? 7 时，展开式中二3 项式系数最大的项是 T4和T5 ?T4的系数 ? C7 ( ) 4 23 ?1 235 ,， 24 1 T5的系数 ? C7 ( )3 24 ? 70, 当 n ? 14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8 ， 2 7 1 ?T8的系数 ? C14 ( )7 27 ? 3432 。 2练：在 (a ? b) 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？2n解：二项式的幂指数是偶数 2n ，则中间一项的二项式系数最大，即 T2 n2?1? Tn ?1 ，也就是第n ? 1项。练：在 (x 1 ? 3 ) n 的展开式中，只有第 5 项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 2 x解：只有第 5 项的二项式最大，则n ? 1 ? 5 ，即 n ? 8 ,所以展开式中常数项为第七项等于 21 C86 ( ) 2 ? 7 2例：写出在 ( a ? b) 的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？7解：因为二项式的幂指数 7 是奇数，所以中间两项( 第4,5项 )的二项式系数相等，且同时3 4 取得最大值，从而有 T4 ? ?C7 a 4b3 的系数最小， T5 ? C7 a 3b 4 系数最大。例：若展开式前三项的二项式系数和等于 79 ，求 ( ? 2 x) n 的展开式中系数最大的项？1 20 1 2 解：由 Cn ? Cn ? Cn ? 79, 解出 n ? 12 ,假设 Tr ?1 项最大，? ( ? 2 x) ? ( ) (1 ? 4 x)1 2121 21212r r ?C12 4 r ? C12?1 4 r ?1 ? Ar ?1 ? Ar ? ?? ?? r r ，化简得到 9.4 ? r ? 10.4 ，又? 0 ? r ? 12 ， r ?1 r ?1 ? Ar ?1 ? Ar ? 2 ?C12 4 ? C12 4 ?1 10 ? r ? 10 ，展开式中系数最大的项为 T11 ,有 T11 ? ( )12 C12 410 x10 ? 1练：在 (1 ? 2 x) 的展开式中系数最大的项是多少？10解：假设 Tr ?1 项最大，? Tr ?1 ? C10 ? 2 xr rrr ?1 r ?1 ? r r ? Ar ?1 ? Ar ? 2(11 ? r ) ? r ?C10 2 ? C10 2 ?? ?? r r 解得 ? ，化简得到 r ?1 r ?1 ?r ? 1 ? 2(10 ? r ) ? Ar ?1 ? Ar ? 2 ?C10 2 ? C10 2 , ?6.3 ? k ? 7.3 ，又? 0 ? r ? 10 ，?r ? 7 ，展开式中系数最大的项为7 T8 ? C10 27 x 7 ? 15360 x 7 .题型七：含有三项变两项； 例：求当 ( x ? 3x ? 2) 的展开式中 x 的一次项的系数？2 5r 解法①：( x ? 3x ? 2) ? [( x ? 2) ? 3x] ，Tr ?1 ? C5 ( x 2 ? 2)5? r (3x) r ， 当且仅当 r ? 1 时，25251 Tr ?1 的展开式中才有 x 的一次项，此时 Tr ?1 ? T2 ? C5 ( x 2 ? 2) 4 3x ，所以 x 得一次1 4 项为 C5C4 243x 1 4 它的系数为 C5C4 243 ? 240 。解法②：0 1 5 0 1 5 ( x 2 ? 3x ? 2)5 ? ( x ? 1)5 ( x ? 2)5 ? (C5 x5 ? C5 x 4 ? ??? ? C5 )(C5 x5 ? C5 x 4 2 ? ??? ? C5 25 )故展开式中含 x 的项为 C5 xC5 2 ? C5 x 2 ? 240 x ，故展开式中 x 的系数为 240.4 5 5 4 4练：求式子 ( x ?1 ? 2)3 的常数项？ x解： ( x ?1 1 6 ? 2)3 ? ( x ? ) ，设第 r ? 1 项为常数项，则 x x6?rr Tr ?1 ? C6 (?1) r x(1 r 6?2 r r ) ? (?1)6 C6 x ，得 6 ? 2r ? 0 , r ? 3 , x3 ?T3?1 ? (?1)3 C6 ? ?20 .题型八：两个二项式相乘； 例： 求(1 ? 2 x) (1 ? x) 展开式中x 的系数.3 4 2解：? (1 ? 2 x) 的展开式的通项是C3 ? (2 x) ? C3 ? 2 ? x ,3 m m m m m(1 ? x)4的展开式的通项是Cn ? (? x)n ? Cn ? ?1n ? x n , 其中m ? 0,1, 2,3, n ? 0,1, 2,3, 4, 4 4令m ? n ? 2, 则m ? 0且n ? 2, m ? 1且n ? 1, m ? 2且n ? 0,因此(1 ? 2 x)3 (1 ? x) 40 2 1 1 0 的展开式中x 2的系数等于C3 ? 20 ? C4 ? (?1)2 ? C3 ? 21 ? C4 ? (?1)1 ? C32 ? 22 ? C4 ? (?1)0 ? ?6. 练： 求(1 ?3x )6 (1 ?41 10 ) 展开式中的常数项. xm n 4 m ?3 n ? 1 10 m 3 n m n 4 解： (1 ? x ) (1 ? ) 展开式的通项为C6 x ? C10 x ? C6 ? C10 ? x 12 4 x 3 6?m ? 0, ?m ? 3, ?m ? 6, 其中m ? 0,1, 2, ???, 6, n ? 0,1, 2, ???,10, 当且仅当4m ? 3n, 即 ? 或? 或? ?n ? 0, ?n ? 4, ?n ? 8,0 0 3 4 6 8 时得展开式中的常数项为C6 ? C10 ? C6 ? C10 ? C6 ? C10 ? 4246 .练：已知(1 ? x ? x 2 )( x ?解：1 n ) 的展开式中没有常数项, n ? N *且2 ? n ? 8, 则n ? ______ . 3 x(x ?1 n ) 展开式的通项为Cr ? x n?r ? x ?3r ? Cr ? x n?4 r , 通项分别与前面的三项相乘可得 n n 3 xr r Cr ? x n?4 r , Cn ? x n?4 r ?1 , Cn ? x n?4 r ? 2 ,?展开式中不含常数项, 2 ? n ? 8 n? n ? 4r且n ? 4r ? 1且n ? 4r ? 2，即n ? 4,8且n ? 3,7且n ? 2,6,? n ? 5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和； 例：在( x ? 2)2006的二项展开式中, 含x的奇次幂的项之和为S ,当x ? 2时, S ? _____ .解： 设( x ? 2)2006=a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? ? ? a2006 x 2006 -------①(? x ? 2) 2006 =a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? ? ? a2006 x 2006 -------②① ? ②得2(a1 x ? a3 x3 ? a5 x5 ? ? ? a2005 x 2005 ) ? ( x ? 2) 2006 ? ( x ? 2) 20061 ? ( x ? 2)2006 展开式的奇次幂项之和为S ( x) ? [( x ? 2)2006 ? ( x ? 2)2006 ] 23? 20061 2 2 当x ? 2时, S ( 2) ? [( 2 ? 2) 2006 ? ( 2 ? 2) 2006 ] ? ? 2 2题型十：赋值法；? ?23008例：设二项式 (3 3 x ? ) n 的展开式的各项系数的和为 p ，所有二项式系数的和为 s ,若1 xp ? s ? 272 ,则 n 等于多少？解：若 (3 3 x ? ) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ??? ? an x n ，有 P ? a0 ? a1 ? ??? ? an ，0 n S ? Cn ? ?? ?Cn ? 2n ，1 xn 令 x ? 1 得 P ? 4 ，又 p ? s ? 272 ,即 4 ? 2 ? 272 ? (2 ? 17)(2 ? 16) ? 0 解得n n n n2n ? 16或2n ? ?17(舍去) ，?n ? 4 .练：若 ? 3 x ? ?? ?1 ? ? 的展开式中各项系数之和为 64 ，则展开式的常数项为多少？ ? x?nn? 1 ? ? 的展开式中各项系数之和为 2n ? 64 ，所以 n ? 6 ，则展开 解：令 x ? 1 ，则 ? 3 x ? ? ? x? ?式的常数项为 C6 (3 x ) ? (?3 31 3 ) ? ?540 . x例：若(1 ? 2 x)2009 ? a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? a3 x3 ? ? ? a2009 x 2009 ( x ? R), 则解： 令x ?a a1 a2 ? 2 ? ??? ? 2009 的值为 2 2 22009a a a a a a 1 , 可得a0 ? 1 ? 2 ? ??? ? 2009 ? 0,? 1 ? 2 ? ??? ? 2009 ? ?a0 2
2 2 2 2 2 22009 a a a 在令x ? 0可得a0 ? 1,因而 1 ? 2 ? ??? ? 2009 ? ?1. 2 2 2 220095 5 4 3 2 1练： 若( x ? 2) ? a5 x ? a4 x ? a3 x ? a2 x ? a1 x ? a0 , 则a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ____ . 解： 令x ? 0得a0 ? ?32, 令x ? 1得a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ?1,? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 31.题型十一：整除性；例：证明： 3 证： 32n?22n?2? 8n ? 9(n ? N * ) 能被 64 整除? 8n ? 9 ? 9n?1 ? 8n ? 9 ? (8 ? 1)n?1 ? 8n ? 90 1 n ?1 n n ?1 ? Cn ?18n?1 ? Cn ?18n ? ??? ? Cn ?1 82 ? Cn ?181 ? Cn ?1 ? 8n ? 9 0 1 n ?1 ? Cn ?1 8n ?1 ? Cn ?18n ? ??? ? Cn ?1 82 ? 8(n ? 1) ? 1 ? 8n ? 90 1 n ?1 ? Cn ?1 8n ?1 ? Cn ?1 8n ? ??? ? Cn ?1 82由于各项均能被 64 整除? 32n?2? 8n ? 9(n ? N * )能被64整除1、(x－1) 展开式中 x 的偶次项系数之和是 1、设 f(x)=(x-1) , 偶次项系数之和是 2、 Cn ? 3Cn ? 3 Cn ? ? ? 3 Cn ?0 1 2 2 n n1111f (1) ? f (?1) ? (?2)11 / 2 ? ?1024 22、4n3、 ( 3 5 ?1 20 ) 的展开式中的有理项是展开式的第 5项王新敞奎屯新疆3、3,9,15,21 4、(2x-1) 展开式中各项系数绝对值之和是 4、(2x-1) 展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 展开式系数之和，故令 x=1，则所 5 求和为 3王新敞奎屯 新疆5555、求(1+x+x )(1-x) 展开式中 x 的系数 5、1 ? x ? x )(1 ? x ) (22104王新敞奎屯新疆109 必须第一个因式中的 1 与(1-x) ? (1 ? x 3 )(1 ? x )9 ,要得到含 x4 的项，展开式中的项 C9 (? x ) 作积，第一个因式中的－x 与(1-x) 展开式中的项 C9 ( ? x ) 作积，故4 43 91x 的系数是 C9 ? C9 ? 135414王新敞奎屯新疆6、求(1+x)+(1+x) +?+(1+x) 展开式中 x 的系数10 6、 (1 ? x ) ? (1 ? x ) 2 ? ? 1 ? x） ? （2103王新敞奎屯新疆(1 ? x )[1 ? (1 ? x )10 ] ( x ? 1)11 ? ( x ? 1) 3 = ，原式中 x x 1 ? (1 ? x )王新敞奎屯 新疆实为这分子中的 x ，则所求系数为 C11m n477、若 f ( x ) ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) (m ? n ? N) 展开式中，x 的系数为 21，问 m、n 为何值时， x 的系数最小？ 7、由条件得 m+n=21，x 的项为 C m x ? C n x ，则 C m ? C n ? (n ?2 222222221 2 399 ) ? . 因 n∈N， 2 42故当 n=10 或 11 时上式有最小值，也就是 m=11 和 n=10，或 m=10 和 n=11 时，x 的系数最小王新敞奎屯 新疆8、自然数 n 为偶数时，求证：1 ? 2C1 ? C2 ? 2C3 ? C4 ? ? ? 2Cn ?1 ? Cn ? 3 ? 2n ?1 n n n n n n8、原式= (C n ? C n ? C n ? ? ? C n ? C n ) ? (C n ? C n ? C n ? ? ? C n ) ? 2 ? 20 1 2 n 1 3 5 n n ?1 n ?1 n ?1? 3.2 n ?19、求 80 被 9 除的余数11王新敞奎屯新疆9、 80110 1 10 ? (81 ? 1)11 ? C118111 ? C118110 ? ? ? C11 81 ? 1 ? 81k ? 1(k ? Z ) ,∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴ 81 被 9 除余 82 511王新敞奎屯新疆10、在(x +3x+2) 的展开式中，求 x 的系数 10、 ( x ? 3x ? 2) ? ( x ? 1) ( x ? 2)2 5 55王新敞奎屯新疆5在(x+1) 展开式中， 常数项为 1， x 的项为 C 5 ? 5x ， 含 在(2+x) 展开式中， 常数项为 2 =32，15 5含 x 的项为 C 5 2 x ? 80 x1 4∴展开式中含 x 的项为 1 ? (80 x) ? 5x(32) ? 240 x ，此展开式中 x 的系数为 240 11、求(2x+1) 展开式中系数最大的项 11、设 Tr+1 的系数最大，则 Tr+1 的系数不小于 Tr 与 Tr+2 的系数，即有王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆12r r? r r? ?C12 ? 2C121 ? C12 212? r ? C121 213? r ? r 12? r r ?1 11? r ? ? r r ?1 ? C12 12 ? C12 2 ?2C12 ? C121 1 ? 3 ? r ? 4 ,? r ? 4 3 3∴展开式中系数最大项为第 5 项，T5= 16C12 x ? 7920 x4 4 4
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数学知识：和式的处理及二项式系数的运用
这段时间看了一部分《具体数学》上的内容，正如第一章中所说，这本书的主要目的是：
说明不具备超人洞察力的人如何求解问题
也就是说，这本书主要讲述的是“那些本应该被讲授的硬数学技巧”。或者说是一种数学领域的通用技术，这也是“具体数学”名称的来源。
与平时所用的∑nk=1记号不同，这本书建议使用更加方便的形如∑1≤k≤n的记号，这可以使你在变量替换时不容易出错。
一个特殊的地方是逻辑判断深入和式：用方括号包含的逻辑命题，如果为真则为1，如果为假则为0。这对于(cpp)程序编写是非常友好的。
和式满足下面三种基本运算律：
分配律(提公因式)：
∑k∈Kcak=c∑k∈Kak
结合律(和式的合并)：
∑k∈K(ak+bk)=∑k∈Kak+∑k∈Kbk
交换律(变量替换)：
∑k∈Kak=∑p(k)∈Kap(k)
p(k)为一个置换
多重和式具有一些特殊的性质，例如：
合并和分离：
∑1≤i≤n∑i≤j≤nai,j=∑1≤i≤j≤nai,j
交换求和顺序：
∑1≤i≤n∑i≤j≤nai,j=∑1≤j≤n∑1≤i≤jai,j
一般分配律：
∑j∈J,k∈Kajbk=??∑j∈Jaj??(∑k∈Kbk)
这些性质虽然是显然的，但将在处理时带来巨大的方便。第二条有助于化简和式，第三条则可以在一些“求乘积的和”的计算时减小计算量。
1. 猜测+归纳法
虽然名字不是很好听，但这在OI中是一种实用的策略。因为计算机暴力处理的速度是很快的，如果规律明显，往往可以一眼看出。而归纳证明就非常简单了。
扰动法的动机是在和式中加入一项，并用一个新和式表达之，从而解方程得出通解。用两个例子来解释这种方法：
(一): 几何级数
Sn=∑0≤k≤nak
的封闭形式。
用扰动法加入一项：
Sn+an+1=1+∑0≤k≤nak+1=1+aSn
解方程可以得出 Sn=an+1-1a-1。对这个公式两边微分可以得到一个有用的公式：
∑1≤k≤nkak-1=1-(n+1)xn+nxn+1(1-x)2
当|a|&1时可以收敛成：
∑1≤k≤nkak-1=1(1-a)2
(二): 平方和公式
Sn=∑1≤k≤nk2
的封闭形式。
如果仍然用刚才的思路，我们会发现Sn在两边抵消了。但如果我们用三次方和Vn进行扰动：
Vn+(n+1)3=∑0≤k≤n(k+1)3=∑0≤k≤nk3+3∑0≤k≤nk2+3∑0≤k≤nk+∑0≤k≤n1=Vn+3Sn+3n(n+1)2+n+1
两边的Vn可以抵消，我们解出了Sn。即：
Sn=n(n+1)(2n+1)6
3. 待定系数法
如果已知解的形式，我们可以用待定系数法得到原和式的封闭形式。例如：
∑1≤k≤nk3
先验知识告诉我们答案是一个4次多项式。我们只要代入n=0,1,2,3建立关于一般四次多项式的4个方程即可求解。事实上，如果用拉格朗日插值法或高阶差分法，可以在O(n2)的时间内完成，是非常高效的。
4. 有限微积分
下一部分详细介绍。
有限微积分
有限微积分是离散数学对于微积分的回应，这种技术给出了求解和式的“不需要思考”的系统方法。考虑熟悉的微分算子的定义：
Df(n)=limh→0f(n+h)-f(n)h
而离散中的“极限”就是1，自然地定义差分算子：
Δf(n)=f(n+1)-f(n)
“算子(operator)”这个新概念是作用在函数上的运算，他给出了一个新函数。
简单的公式
微积分之所以方便是因为它有形如：
D(xm)=mxm-1
这样的优美公式，同样，有限微积分也有对应的优美的公式：
Δ(xm--)=mxm-1---
其中：xm--=x(x-1)(x-2)…(x-m+1)(m个)，被称为下降阶乘幂。由于可以证明任何的xk都在O(k2)内可以写成阶乘幂的和（具体方法为从高到低贪心的取），因此他的能力十分强大。
求和——离散的“积分”
微积分中可以用微分算子定义不定积分，也就是：
∫g(x)dx=f(x)+C?g(x)=Df(x)
我们用同样的方式定义不定和式：
∑g(x)δx=f(x)+C?g(x)=Δf(x)
微积分基本定理指出：
∫bag(x)dx=f(b)-f(a)
同样有有限微积分基本定理：
Σbag(x)δx=f(b)-f(a)
但这些记号的直观意义是什么呢？不难证明：
Σbag(x)δx=∑a≤i&bg(i),b≥a
这是最有用的定理之一（如果之前学习过数列差分这几乎是显然的）。我们正要用他解决序列求和的问题。
负指数下降阶乘幂
通过类比可以定义负指数下降阶乘幂：
x-m=1(x+1)(x+2)…(x+m),m&0
可以证明仍然满足差分公式。而且这使得下降幂拥有了良好的性质：
xm+n---=xm--(x-m)n-
重新发现平方和公式
这次我们用新的武器来重新发现这个公式：
Sn=Σn+10x2δx
用下降阶乘幂x2=x2-+x1-，用线性性质：
Sn=Σn+10x2-δx+Σn+10x1-δx
两边的不定和式分别是：
∑x2-δx=13x3-
∑x1-δx=12x2-
那么原和式就变成：
Sn=13(n+1)3-+12(n+1)2-
展开和上面的公式完全相同。（但在具体应用中我们不必展开，因为阶乘幂也可以用类似霍纳法则的方法将求值降到O(n)。）
乘法公式和分部求和公式
微积分中的链式法则在有限微积分中很难推广，唯一的一个是：
fm--(n)=mfm-1---(n)
f(x)是任一函数。但这显然不能满足我们的要求，一个更强大的是乘法公式，即：
Δ(uv)=uΔv+EvΔu
其中Ef(x)=f(x+1)，被称为移位算子。（有趣的是：Δ=E-1）。
证明十分简单，只要从定义出发就可以。我们看一些应用：
练习： 利用乘法公式求ΔkHk，其中Hk是前k个调合数的和。
容易发现：
ΔkHk=kΔHk+Hk+1Δk=kk+1+Hk+1
和从定义出发得到了相同的结果。
这个公式真正有用的地方是推出了广为称道的“分部求和法”，求公式两边求不定和式并整理得到：
∑uΔv=uv-∑EvΔu
这个公式大大拓展了求和的范围。对于两个式子的乘积，先求一个的不定和式，再用公式展开求另一个（特别是负指数阶乘幂时不定和式会降低幂次）。用一个例子来解释：
f(n)=∑0≤k&nHk(k+1)(k+2)
的封闭形式。
利用裂项转化：
f(n)=∑0≤k&nHk(1k+1-1k+2)
注意到（Δ2表示二阶差分，正如D2表示二阶导数）：
-Δ2(Hk)=1k+1-1k+2
则只要求不定和式
-∑HkΔ2(Hk)
利用分部求和公式：
-(HkΔHk-∑Δ(Hk+1)Δ(Hk))
化简后得到
-(Hkk+1-∑1(k+1)(k+2))
用阶乘幂表示并化简
根据有限微积分基本定理：
f(n)=g(n)-g(0)=k-Hkk+1
在后面对二项式恒等式的处理中，也可以看到有限微积分的强大威力。
二、 二项恒等式
二项式系数是最常用的组合数，(nk)表示从n个物品中取出k个的方案数。他的代数定义则更加直接：
(rk)=rk-k!
特别指出，如果k&0，有(rk)=0。
二项恒等式
下面是十个最重要的二项恒等式。
(nk)=n!k!(n-k)!
对称恒等式：
(nk)=(nn-k)
吸收/提取恒等式：
(rk)=rk(r-1k-1),k≠0
归纳恒等式：
(rk)=(r-1k)+(r-1k-1)
上指标反转：
(rk)=(-1)k(k-r-1k)
三项式版恒等式：
(rm)(mk)=(rk)(r-km-k)
二项式定理：
(x+y)n=∑0≤k≤n(nk)xkyn-k
平行求和法：
∑k≤n(r+kk)=(r+n+1n)
上指标求和：
∑k≤n(km)=(n+1m+1),m,n≥0
范德蒙德卷积公式
∑k(rk)(sn-k)=(r+sn)
有限微积分证明二项恒等式
如果我们发现了一个不是很好处理的二项式，却又恰巧忘记了对应的恒等式，那么处理就变的棘手了。幸而我们有有限微积分的强大武器。
不用归纳法，证明上指标求和法：
∑0≤k≤n(km)=(n+1m+1)(*)
解：设f(x)=∑(km)δk，有
(*)=f(n+1)-f(0)
而根据有限微积分：
∑(km)δk=∑km--m!δk=1m!1m+1km+1=1(m+1)!km+1=(km+1)
(*)=f(n+1)-f(0)=(n+1m+1)
一个陷阱： 和微积分一样，要注意常量和变量的区别，否则将得出错误的答案。
利用标准技术求解惊悚的和式
这是一个实际问题：求
S=∑0≤k≤nk(m-k-1m-n-1)
的封闭形式。
解：考虑两个东西乘积的和，首先考虑用吸收恒等式将其合并，而方法就是凑出上指标。不难发现：
S=∑0≤k≤n(m-(m-k))(m-k-1m-n-1)
展开并整理，得到：
S=∑0≤k≤nm(m-k-1m-n-1)-∑0≤k≤n(m-k)(m-k-1m-n-1)
前后分别处理，第一个和式考虑用上指标求和，替换枚举变量k→m-k-1以便在上面得到简单的形式：
u=m∑0≤m-k-1≤n(km-n-1)
化简得到：
u=m∑m-n-1≤k≤m-1(km-n-1)
这次可以动用上指标求和法：
这时在考虑第二部分，用吸收恒等式化简之，得到：
v=(m-n)∑0≤k≤n(m-km-n)
仍然仿照上面的处理，得到：
v=(m-n)(m+1m-n+1)=(m-n)(m+1)m-n+1(mm-n)
S=u-v=m(m-n+1)-(m-n)(m+1)m-n+1(mm-n)=nm-n+1(mn)
二项式反演
有时候一个问题是难于求解的，但其容斥的结果是便于求解的，也就是说，待求解的函数g(n)和一个简单的函数f(n)构成：
f(n)=∑0≤k≤n(-1)k(nk)g(k)
的关系，就可以用解方程的手段在O(n3)求得g(n)。但反演定理允许我们在O(n)的时间内解决这一问题（不包含预处理组合数），即：
g(n)=∑0≤k≤n(-1)k(nk)f(k)
这个公式前后完全对称，既具有美感又便于记忆。下面我们考虑用已有的知识证明之。
证明反演定理
注意：在证明中我们更关心细节和过程，以便在遇到更复杂的问题时尽快找到突破口。
f(n)=∑0≤k≤n(-1)k(nk)g(k)?g(n)=∑0≤k≤n(-1)k(nk)f(k)
由于定理左右对称，只需要证明=>即可。根据定义，右边=
∑0≤i≤n(-1)i(ni)∑0≤j≤i(-1)j(ij)g(j)
∑0≤i≤n∑0≤i≤j(-1)i+j(ni)(ij)g(j)
我们不希望一个未知的g(n)深入在和式中，而希望将他提出内层和式，从而用已有知识处理后面的部分，运用三项式版恒等式，并交换求和次序，提公因式后得到：
∑0≤j≤n(nj)g(j)∑j≤i≤n(-1)i+j(n-ji-j)(*)
这时后面的部分就独立出来了，我们只需要处理后半部分。我们希望二项式下边尽可能简单，以便使用平行求和法。替换循环变量i→i-j，并化简后得到：
∑0≤i≤n-j(-1)i+2j(n-ji)
为了处理讨厌的(-1)i+2j，应该提出一个(-1)i来消去之，对内部翻转上指标：
∑0≤i≤n-j(-1)2i+2j(i-(n-j)-1i)
整理得到：
∑0≤i≤n-j(i+(-n+j-1)i)
终于发现了熟悉的平行求和法的形式，这一项的结果可以立即书写出，就是：
(jn)=[j=n]
即当且仅当j=n时，该式为1，则原式：
(*)=∑0≤j≤n(nj)g(j)[j=n]=g(n)
因此原命题成立。
错排公式——二项式反演的应用
考虑一个问题：n个人将帽子高高扔起，并捡起一个帽子，问每个人都不拿到自己帽子的情况有多少种。
这个问题等价于问不存在长度为1的循环的置换总数的计数。一种方便的解决方案是：设f(n)为n个帽子的情况总数，则有递推式：
f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))
这个递推式很容易找到一个组合解释，但这不在本文讨论的范畴。现在我们要用二项式反演的技术来解决这个问题，设f(n)为n排列的总数，显然为f(n)=n!；设g(n)为n错排公式。记K(i)为“至少有i个错排的排列方案数”，则根据定义有
K(i)=(ni)g(i)×(n-i)!
由于“至少有n个”被“至少有n-1个”真包含，因此要用容斥原理。“至少有0个”包含一切，之后符号交替出现，即：
f(n)=∑0≤k≤n(-1)kK(k)
整理后也就是：
f(n)=∑0≤k≤n(-1)k(nk)g(k)(n-i)!
这可以用反演定理变化为：
g(n)(n-n)!=∑0≤k≤n(-1)k(nk)f(k)
g(n)=∑0≤k≤n(-1)k(nk)k!
经过检验，这个方程和上面的递推式在初始的几项有相同的结果。我们大概可以相信获得了一个正确的答案。
高阶差分法
当我们已经知道一个数列符合一个多项式，或者组合数时，如何快速求出数列的通项公式？一个方法是所谓“拉格朗日插值法”，但我们也可以用有限微积分和组合数的武器解决。回忆分析中的泰勒级数：
g(a+x)=∑k≥0Dkg(a)k!xk
应该可以想到有限微积分也有类似的公式“牛顿级数”，形式和泰勒级数相同：
g(a+x)=∑k≥0Δkg(a)k!xk-
为了便于计算取a=0，根据组合数的定义也就是：
g(x)=∑k≥0Δkg(0)(xk)
还记得物理必修一中的“逐差法”测加速度吗？其深层次的数学原理就在于此。用一个小情景来验证这个定理：
y=f(x)=x3+2x2+x+4
取值如下表所示：
Δ0f(0)=4Δ1f(0)=4Δ2f(0)=10Δ3f(0)=6Δ4f(0)=0
根据公式：
f(x)=4(x0)+4(x1)+10(x2)+6(x3)=x3+2x2+x+4
这个方法的一个好处是：一旦通过O(n2)的时间知道了组合数前的系数，由于同一行的组合数可以根据下式线性递推求得，可以在O(n)时间内求出f(x)的值。
(nm)=(n-1m)+(n-1m-1)=m+1n(nm+1)+mn(nm)
(nm)=m+1n-m(nm+1)
在多项式系数中蕴含组合性质是有理由的，因为“多项式乘法”由于二项式定理被赋予了组合性质。更重要的是，两个n次多项式相乘只需要O(nlgn)的时间复杂度。正式的，一个数列?a0,a1,a2,…?的生成函数A(x)为：
A(x)=∑k≥0akxk
生成函数的简单运用可以分为：
利用运算证明恒等式
利用封闭形式求解组合问题
利用多项式乘法（卷积）处理组合问题
证明恒等式
考虑之前的范德蒙德卷积公式：
∑k(rk)(sn-k)=(r+sn)
每当出现k,n-k或k,k-n出现时要考虑卷积。
考虑(1+x)r和(1+x)s所表达的生成函数：
∑0≤k≤r(rk)xk∑0≤k≤s(sk)xk
两式分别相乘，取次数为n的系数，得到：
∑k(rk)(sn-k)=(r+sn)
就是原来的公式。
利用封闭形式解决问题
如果一个生成函数可以被表示成封闭形式，那当然可以为我们解决许多问题。考虑数列?1,1,1,1,…?的生成函数，设其为T，满足：
解得：T=11-x
而数列?1,2,3,4,5,…?，可以通过这个公式两边求导并得到，就是：
∑k≥0kxk-1=1(1-x)2
另一个常用的数列?1,-1,1,-1,1,-1,…?，他的生成函数是：
解得T=11+x。
考虑只包含n的倍数的数列的生成函数，即
∑k≥0[k=np,p∈n]xk
解得：T=11-xn
如果一个数列为二项式系数的一行，即?(n0),(n1),(n2)…?，根据二项式定理，其生成函数为：(1+x)n。
封闭形式的乘积恰好表示了所代表序列的卷积，这是个很好的性质，有时候将帮助我们寻找问题的答案。仍然用那个经典的例题做解释：
例题： 我们要从苹果、香蕉、橘子和梨中拿一些水果出来，要求苹果只能拿偶数个，香蕉的个数要是5的倍数，橘子最多拿4个，梨要么不拿，要么只能拿一个。问按这样的要求拿n个水果的方案数。
解：分别用生成函数表示所有情景：
1+x2+x4+?=11-x21+x5+x10+?=11-x51+x+x2+x3+x4=1-x51-x1+x
将他们全部乘起来，得到：
1+x1-x-x2+x3
由于我们坚信出题人是仁慈的，这个分式一定可以化简。用长除法可以得出：
1(1-x)2=1+2x+3x3+…
这样答案就有了，取n个的方案是n+1。
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