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求函数sin的最大值和最小值求y=3sin(3x+π/4)+2的最大值和最小值,
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sin(3x+π/4),是一个周期函数,取值范围(-1,1)y=3*1+2=5sin(π/2)=1sin(3π/2)=-1
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(最多只允许输入30个字)第１１卷第１期２００９年２月衡水学院学报Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅｎｇｓｈｕｉ ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＶ０１．１１．Ｎｏ．１ Ｆｅｂ．２００９函数最大值及最小值的求法孙兰敏（衡水学院数学与计算机科学系，河北衡水０５３０００）摘要：从初等数学到高等数学，我们经常研究函数的最值问题。数学中的最值问题在生产实践中有广泛的应用，求函数最值的方法也多种多样．总结了求最值的方法，说明了如何灵活解决最值问题．关键词：函数；最大值；最小值 中图分类号：０１７４１文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－２０６５（２００９）０１－０００７－０２用换元法求最值 用换元法求最值主要有三角换元和代数换元，用换元法时要特别关注中间变量的范围．较常见的是 下面两种形式的换元：?１）Ｙ＝饿＋ｂ＋√蹦＋ｄ，令ｆ＝４ｃｘ＋ｄ将Ｙ转化为ｔ的二次函数，再求最值．２）Ｙ＝ａｓｉｎ ＸＣＯＳＸ＋ｂ（ｓｉｎｘ±ＣＯＳＸ）＋ｅ，令ｔ＝ｓｉｎｘ±ＣＯＳＸ将ｙ转化为ｆ的二次函数，再求最值． 例１ 解求函数Ｙ＝（１＋ｓｉｎｘ）（１＋ＣＯＳ工）的最大值Ｍ和最小值ｍ． Ｙ＝（１＋ｓｉｎ）（１＋ＣＯＳｘ）＝１＋（ｓｉｎ工＋ＣＯＳＸ）＋ｓｉｎｘ ＣＯＳＸ，令ｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸ＝ｔ，则ｆ《一厄、团，ｓｉ耽ｃ。ｓｘ：￡≠，故少：ｉ１，２＋ｆ＋丢：昙（“－１）ｚ，当ｆ＝压时，ｙ取最大值Ｍ，１－Ｌ ２．／－｛ 并且Ｍ＝二Ｌ∑二．当ｆ＝一ｌ时，ｙ取最小值ｍ，并且ｍ＝０．２２用判别式法求最值 主要适用于可化为关于自变量的二次方程的函数．例２求函数Ｙ＝Ｘ＋ｘ］ｘ（２－ｘ）的最大值和最小值．解产ｘ＝压（２一ｘ）两边平方整理得２Ｘ２－－２（ｙ＋１）ｘ＋ｙ２＝０．因为ｘ是实数，故 Ａ＝４（ｙ＋１）２－８Ｙ２≥０，解得１一压≤ｙ≤ｌ＋压．此外由工（２一功≥ｏ，得０≤ｘ≤２于是Ｊ，＝ｘ＋ｘ／ｘ（２－ｘ）≥ｏ，０≤ｙ≤１＋４２．故ｙ。ｉｌＩ＝０‰＝１＋４２．３用函数单调性求最值 先判定函数在给定区间上的单调性，而后依据单调性求函数的最值． 例３已知函数／（工）的定义域是Ｒ，对任意的ｊｃｌ，ｘｚ∈Ｒ，都有／。（厕＋娩）＝ｆ（ｘＯ∥∞）．且ｘ＞Ｏ时，厂＠）＜Ｏ，人１．）＝－２，求，（茗）在区间［－３，３］上的最大值和最小值． 解冬呵ｌ－－－－Ｘ２＝０，贝０／．（０）ｉ厂（Ｏ）十／．（０），故八０）＝０．令ＸＩ＝ｘ，Ｘ２＝一ｘ，则厂＠）＋八一ｘ）：／＇（０）＝０，故—’）＝＿厂Ｏ），且咿（工）是奇函数．设ｘｌ，而∈Ｒ，且ｘｌ＜恐，则．恐—ｘ１＞Ｏ，故ｆ（ｘ２）－ｆ（而）√（娩）√一?）胡恐一工Ｉ）＜０，即厂（娩）＜．厂㈨．所时ｂ）在Ｒ上是减函数． 从而所求的最小值和最大值分别为：八３）钡１＋２）：３ｆ（１－）：－／一－６．收稿日期：２００８—０９—１３基金项目；衡水学院科研基金资助课题（２００８０１２） 作者简介：孙兰敏（１９６３－）。女，河ｊｔ深州市人，数学与计算机科学系教授．万方数据 　８衡水学院学撤第１Ｉ卷４用数形结合法求最值 主要适用于几何图形较明确的函数，通过几何模型，寻找函数的最值．例４求函数／（ｘ）：笺的最大值Ｍ和最小值聊．ＣＯＳＸ—Ｚ ｃｏＳｘ一：ｚ解将ｆ（ｘ）看为单位圆ｘ２＋ｙ２＝１上的点Ｑ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）与定点ｐ（２，２）连线的斜率．令ｋ：凳，则当尼：一ｓｉｎｘ－２取最大值或最小值时，直线Ｊ，一２＝ｋ（ｘ一２）与圆ｘ２＋严：１相切．则该问题转化为求斜率ｋ使直线ｙ一２＝ｋ（ｘ一２）与圆工２＋严＝ｌ相切． １２—２ｋｌ如果直线Ｙ一２＝ｋ（ｘ一２）与圆ｘ２＋少＝ｌ相切，则圆心Ｄ到直线的距离为１，即与—＝寻＝ｌ，亦即、／ｌ＋ｋ‘３Ｈ２艄．０，㈣：半．批Ｔ４＋４７ ｍ半．５用导数方法求最值设函数ｆ（ｘ）在【口，６】上连续，则／Ｏ）在［ｇｌ，６］上一定存在最大值和最小值，且求最大值和最小值步骤为：第一步：找出厂＠）在【ａ，ｂ］内所有可能的极值点，即驻点和一阶不可导点； 第二步：求出厂Ｏ）在上述点和两个端点ａ与ｂ处的函数值；第三步：将函数值进行比较，最大者即为最大值，最小者即为最小值．函数／Ｏ）在非闭区间上的情况较闭区间复杂，我们只举例说明半开区间和无穷区间连续函数的最值求法。例５讨论／ｏ）＝２ｔａｎｘ—ｔａｎ２ｘ在【ｏ，姜）上的最值． 解／ｏ）在［ｏ，芸）内连续，ｆ’Ｇ）＝２ｓｅｃ２—２ｔａｎｘ．ｓｅｃ２ｘ＝２ｓｅｅ＝ｘ（１一ｔａｎｘ），令／，（ｘ）＝０，得驻点ｘ＝要，对ｏ）在ｘ＝三Ａ处取得极大值，并且极值点只有一个，故／（导）也是ｆ（ｘ）在［ｏ，争上。４一。、４’＇７的最大值，由ｌｉｍ／（ｘ）＝－－００氮Ｉｆ（ｘ）在【ｏ，姜）上无最小值． ｚｘｔ例６讨论ｆ（ｘ）＝ｘｅ吖‘在㈤舯）上最值．解ｆ（ｘ）＝ｘｅ一，在（咖枘）上连续，Ｋｌｉｍｘｅ～＝０，ｆ７（ｘ）＝ｅ～一２ｘ２ｅ一＝ｅ一，（１—２ｘ２）．令ｍ）＝。，得驻点毕一万１，ｘ：＝万１．而厂（一去）＝一击ｅ｛，厂（击）＝万Ｉ …ｌｉｍｆ（ｘ）＝娥舱～＝。．故体）在一万１处取最，Ｊ、值一万１ ｅ一，在击处取最大值击ｅ～．ｅ～， Ｔｈｅ ＣａｌｅｕｌａｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｍａｘｉｍｕｍ ａｎｄ ＭｉｎｉｍｕｍＳｋＩＮ Ｌａｎ．ｍｉｎｏｆ ｔｈｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｅｎｇｓｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｎｇｓｈｕｉ，Ｈｅｂｅｉ ０５３０００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｒｏｍ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｔｏ ａｄｖａｎｃｅｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ｗｅ ｈａｖｅｂｅｅｎ ｓｔｕｄｙｉｎｇ ｔｈｅ ｉｓｓｕｅ ｏｆ ｔｈｅａｆｅｍａｘｉｍｕｍａｎｄｍｉｎｉｍｕｍ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓ ｉｓｓｕｅ Ｃａｎ ｂｅ ｗｉｄｅｌｙ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ．Ｔｈｅｒｅｖａｒｉｏｕｓ ｗａｙｓ ｏｆ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｔｈｅｍａｘｉｍｕｍ ａｎｄ ｍｉｎｉｍｕｍ ｏｆｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓ ｔｈｅｓｉｓ ｓｕｍｓ ｕｐ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｗａｙｓ ｏｆ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓ ｔｈｅ ｆｌｅｘｉｂｌｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｍａｘｉｍｕｍ；ｍｉｎｉｍｕｍ（责任编校：耿春红 英文校对：杨敏）万方数据 　函数最大值及最小值的求法作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 孙兰敏， SUN Lan-min 衡水学院,数学与计算机科学系,河北,衡水,053000 衡水学院学报 JOURNAL OF HENGSHUI UNIVERSITY )本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_hsszxb.aspxwode函数的最大值与最小值_中华文本库
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函数的最大值与最小值与导数1yf ?(a) ? 0f ?( x ) ? 0f ?( x ) ? 0 f ?( x ) ? 0f ?( x ) ? 0f ?(b) ? 0Oabx函数f ( x)在x 处的导数f ( x ) ? 0,0 01)如果在x 附近的左侧f ' ( x) ? 0，右侧f ' ( x) ? 0，0那么f ( x )是极大值02)如果在x 附近的左侧f ' ( x) ? 0，右侧f ' ( x) ? 0，0那么f ( x )是极小值0注意：（1）函数的极值是就函数在某一点附近的 小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多 个极大值或极小值 （2）极大值不一定比极小值大(3) f ' ( x ) ? 0是x 是f ( x)的极值点的必要条件0 0在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.观察右边一个定义 在区间[a,b]上的函数 y=f(x)的图象，你能 找出函数y=f（x）在 区间[a，b]上的最大 值、最小值吗？yax1oX2X3bxf(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值，_________ 发现图中____________ 是极大 f(b)，最小值是 值，在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。 _______问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解: y? ? 4 x 3 ? 4 x.令 y? ? 0 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, y?, y 的变化情况如下表: x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y’ 0 + 0 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表可知,最大值是13,最小值是4.一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值 的步骤如下： ①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数的最值时,应注意以下几点: (1)函数的极值是一个局部概念,而最值是对整个定义 域而言, 是一个整体性的概念. (2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b) 内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此 极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个 , 而极值则可能不止一个,也可能没有例2、函数y = x? + 3 x? －9x在[－4 , 4 ]上的最大值 为 ,最小值为 .例2、函数y = x? + 3 x? －9x在[－4 , 4 ]上的最大值 为 ,最小值为 . 分析:(1) 由 f ?(x)=3x? +6x－9=0, 得x1=－3，x2=1 当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表： x -4 (-4,-3) -3 (-3,1) 1 (1,4) 4 y′ + 0 0 + 0 y 20 76 27 -5 (2) 区间［－4 , 4 ］端点处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76 可知函数在［－4 , 4 ］上的最大值为 f (4) =76， 最小值为 f (1)=－5练习1求最大值与最小值。（1）y=x-x3（2）y=x3+x2 -xx∈[0,2]x∈[-2,1]注意：在求函数f(x)在[a,b]最值过程中，判断极值比较 麻烦，可改求可导函数
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