四年级奥数训练题_学霸学习网
四年级奥数训练题
内容：1、 “中环杯”四年级思维训练 2、中环杯练习题 3、四年级数学奥林匹克教材 4、世界数学竞赛（中国赛区）专题讲座以上四个内容共 200 页 第十届“中环杯”四年级思维训练如果你想学好数学首先要会算，而且要算得准确、合理、简便、迅速。必须积极开动脑筋， 善于运用运算定律和性质，多练习，多总结，只有这样才能提高运算能力。 例 1.计算 99+ 解：∵19=20-1，运用凑整法莱解将十分方便。 ∴99+ =（）+（20000-1）+（2000-1）+（200-1）+（20-1） =00+-5 = =222215 例 2.计算：339+340+341+342+343+344+345 解①：这七个数均差为 1，且个数为 7 个。所以中间数就是这七个数的平均数，平均数乘 以份数得总数。 339+340+341+342+343+344+345=342×7=2394 解②：339+340+341+342+343+344+345 =（342-3）+（342-2）+（342-1）+342+（342+1）+（342+2）+（342+3） =342×7-3-2-1+1+2+3 =342×7 =2394 例 3. +第 1 页 共 200 页解：+ =22+ =3333×（3×） =3333×（） = =例 4.（445+443+440+439+433+434）÷6 解：（445+443+440+439+433+434）÷6 =[（440+5）+（440+3）+440+（440-1）+（440-7）+（440-6）] ÷6 =（440×6+5+3-1-7-6）÷6 =（440×6-6）÷6 =440×6÷6-6÷6 =440-1 =439 平均数 1.小明期末考试中语文、思想品德、英语的平均成绩是 86 分，数学成绩公布后，他的平均 成绩提高了 3 分，问小明的数学成绩是多少分。 分析：根据平均数的概念，利用移多补少的方法，语文、思想品德、英语、数学在 86 分的 基础上均提高了 3 分，所以数学成绩是 86+3×4。 如图：第 2 页 共 200 页解：86+3×4=98（分） 答：小明数学考了 98 分。 2.已知 A、B、C、D 四人的平均分是 75 分，A、C、D、E 四人的平均分是 70 分，A、D、E 三 人的平均分是 60 分，B、D 的平均分是 65 分，那么 A 得了几分？ 分析：通过平均分算出他们的总分，然后利用相互的关系求出 A 的得分。解：A+B+C+D=75×4=300 分 A+C+D+E=70×4=280 分 B+D=65×2=130 分 （2）-（3）得 C=100 分 ∵ B+D=130（1） （2） （3）∴ B+C+D=130+100=230,而 A+B+C+D=300 分 ∴A=70 分3.六位同学英语考试的平均成绩是 90.5 分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的 98 分， 最低的 74 分，那么按从高到低的顺序，居第四位的同学至少得多少分？分析： 根据 “总数=平均数×总份数” 可求出六名同学的总分。又根据题意第四名尽可能少， 则第二第三名尽可能地多，第二名最多 97 分，第三名最多 96 分，这样第四名第五名的总 分为 90.5×6-98-97-96-74=178，所以第四名至少 90 分。解： 90.5×6=543 分，543-98-97-96-74=178 分，178÷2=89 分，89+1=90 分 答：第四名同学至多得 90 分。第 3 页 共 200 页
流水问题 例 1.静水在红两船的速度分别是每小时 22 千米，18 千米，水速是每小时 4 千米，两船分 别从某港扣顺水开出，慢船早出发 2 小时，快船开出后几小时可以追上慢船？ 分析:慢船早开 2 小时， 且顺水开， 所以 2 小时候与快船就形成了追及距离。 当快船开出后， 快船追慢船。这时是在同一条河流中，所以与水速无关。 解：追及距离：（18+4）×2=44（千米）；追及时间：44÷（22-18）=11（小时）。 答：快船开出后 11 小时可以追上慢船。例 2.轮船从 A 地到 B 地需要 2 天，从 B 地到 A 地需要 3 天。如果从 A 地放一个无动力的木 筏，漂到 B 地需要多少天？ 分析：此题看上去很难，其实吧等式列出来后利用和差原理即可求出。 解：设两地距离为 S，船速为 V 船，水速为 V 水。 ∴ S=（V 船+V 水）×2 S=（V 船-V 水）×3 由（1）×3 和（2）×2 得 3S=6V 船+6V 水 2S=6V 船-6V 水 ∴S=12 V 水 ，即木筏漂到 B 地需 12 天 答：木筏漂到 B 地需 12 天。 （1） （2）例 3.某船从 A 码头顺流航行到 B 码头，然后逆流返航到 C 码头，共航行 9 小时。已知船在 静水中每小时航行 7.5 千米，水流速度是每小时 2.5 千米，若 A、C 码头相距 15 千米，那 么 A、B 相距多少千米。 分析：此题主要是将 C 码头在 A、B 中间和 C 码头在 A、B 之外分开计算，很多同学往往忽 视第二种情况。 解（1）：设 BC 两码头之间的距离为 x。 ∴（15+x）÷(7.5+2.5)+x÷(7.5-2.5)=9 (15+x) ÷10+x÷5=9第 4 页 共 200 页(15+x)+2x=90 x=25 即 B、C 两码头相距 25 千米。则 A、B 两码头相距 25+15=40 千米。 解（2）：设 A、B 两码头之间的距离为 x。 ∴x÷(7.5+2.5)+(15+x) ÷(7.5-2.5)=9 x÷10(15+x) ÷5=9 x+2×(15+x)=90 x=20 答：A、B 两码头相距 20 千米或 40 千米。 余数问题 1. 8×8×8×。。。×8 的积的个位数是几？ 2010 个 8 分析：本体不可能把所有的 8 乘起来，而应从几个 8 相乘中找出其中的规律。如 1 个 8 的 个位是 8,2 个 8 相乘个位是 4,3 个 8 相乘个位 2,4 个 8 相乘个位是 6,5 个 8 相乘个位是 8??. 从中可以看出积的个位数按每 4 个 8 连乘为一个循环，每个循环中积的个位数为 8、4、2、 6。要求 2010 个 8 相乘的积的个位数是几,只要将 2010 去除以 4，从余数就能确定积的个 位是几。 解:??2 ∴2010 个 8 连乘的积的个位数是 4。 答：积的个位数是 4。2. 250 与 200850 的和除以 7 的余数是几？ 分析：因为 250 与 200850 两个数很大，要求和除以 7 的余数，我们先分别求两个数除以 7 的 余数，然后再将余数相加。 2 除以 7 余 2， 22 除以 7 余 4,23 除以 7 余 1,24 除以 7 余 2,25 除以 7 余 4,26 除以 7 余 1。 。 。 。 。 。 250=23×16+2，除以 7 余 4。同理，200850 除以 7 余 1。 解：250 与 200850 的和除以 7 的余数是 4+1=5。 答：250 与 200850 的和除以 7 的余数是 5。第 5 页 共 200 页3.×963487 的和除以 13 余几？分析：本题可以把每个因数分别除以 13，然后把余数乘起来再求和，用和再除以 13 即可。 解：714852 除以 13 余 8；673695 除以 13 余 9；485721 除以 13 余 2；963487 除以 13 余 5； ∴（8×9+2×5）÷13=6。。。。。。4 答：×963487 的和除以 13 余 4。 模拟练习题 在右图中，正方形 ABCD 的面积是正方形 EFGH 面积的 4 倍，正方 形 AMEN 的周长是 4 厘米，而且四个角上的小正方形面积相等，那 么正方形 ABCD 的周长是多少厘米。答案：解：16。因为正方形 ABCD 的面积是正方形 EFGH 面积的 4 倍，所以 AD=2EH。推知 AD=4AN,所以正方形 AMCD 的周长是正方形 AMEN 周长的 4 倍，是 4×4=16 厘米。 巧算 1.计算 482×59+41×59-323×59 分析：先改变运算顺序，把 41×159 与 323×59 交换位置。因为 482×59 与 323×59 都有 公共因数 59，所以将 482×59 与 323×59 的差算出后，再与 41×159 求和。 解：482×59+41×59-323×59 =482×59-323×59+52×269 =59×（482-323）+41×159 =59×159+41×159 =159×（59+41） =159002.计算（1+16+37）×（16+37+56）-（1+16+37+56）×（16+37） 分析：遇到这类题千万不要把括号内的算式算出来，否则将非常繁琐且容易出错。可将某 些括号内的数用字母代替，设 16+37+56=a，16+37=b，这样就达到简便的目的。 设 16+37+56=a，16+37=b。 ∴（1+16+37）×（16+37+56）-（1+16+37+56）×（16+37）第 6 页 共 200 页=（1+b）×a-(1+a) ×b =a+ab-b-ab =a-b(a,b 分别用原数代入) =16+36+56-16-37 =56 3.计算：10-09 分析：仔细观察每一个数，找出它们的共同特点。 可 分解 ，这时四位数的复写。如：abcd×10001=abcdabcd,三位数的复写 abc× 1001=abcabc,二位数的复写 ab×101=abab,这个规律在简便运算中经常用到。解：原式=××=0（由于被减数中的每个因数与减数中 的每个因数相等，所以差为零）。模拟练习题 1.小明有 8 张连在一起的电影票（如右图）,他要自己留下四张连在一起的 票，其余的送给别人。他留下的四张票可以有几种不同的情况。2.在右图的立方体上画有三条粗线段。下面的三个图形都是它的展开图， 并各画上了其中一条线段。请将另外 2 条粗线段在各图中补上。答案： 1.25 中。3种 2.10 种6种6种第 7 页 共 200 页
动手动脑题 1.利用编号 1、3、6、8、9、10 的拼板拼出一个 6 ×5 的长方形； 2.利用编号为 2、4、6、7、8、10 的拼板拼出一 个 6×5 的长方形。答案： 49 6 1 10 8 3 2 10 687（1）（8 ）第 1 题，应该先拼较难的 6 号、9 号，再拼上 3 号以及 8 号和 1 号，再拼 10 号即可。 第 2 题，先拼 6 号、7 号，再拼上 8 号对住 7 号的两个缺口。8 号的一格缺口用 4 号卡进， 6 号的两格缺口用 10 号卡进，4 号、10 号形成的五格缺口正好放进 2 号，完成。模拟练习题 观察右图中数字的摆放规律，由此得到 A= 答案：3。 解：每一长条里数字的积有规律，两个数的积是一个数的 2 倍，三个数 的积是两个数的 2 倍，所以四个数的积食三个数积的 2 倍。 A=(1×3×8)×2÷(1×2×8)=3. 。第 8 页 共 200 页利用编号为 1~6 的拼板围出尽可能大的一块空地。 答案：1 342 6 5围 23 格 相遇问题 例（1）甲、乙两人从 A、B 两地骑车同时出发，相向而 行， 2 小时候相遇。 相遇后乙继续向 A 地前进， 甲则返回。 当甲到达 A 地时，乙距离 A 地还有 4 千米。已知 A、B 两地距离相距 80 千米，求甲、乙两人各自的速度。 分析：从图上知，甲、乙在 C 点相遇后，甲返回，乙继续走。甲到 A 点时乙离 A 点还有 4 千米， 而甲从 C 点回到 A 点的时间同样为 2 小时。 说明 2 小时内甲比乙多走 4 千米。 80-4=76 （千米），乙要走 4 小时，这样即可求出乙速。乙速求出后加上 2 千米就是甲速。 解：乙速：（80-4）÷（2+2）=19（千米/小时）；甲速：19+2=21（千米/小时） 答：甲、乙两人的速度分别为 21 千米/小时和 19 千米/小时。例 2.A、B 两地相距 380 千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，原计划甲每小时行 36 千米， 乙每小时行 40 千米。 但开车时， 甲改变了速度， 也以每小时 40 千米的速度行驶。 这样相遇时乙比原计划少走了多少千米？ 分析：先求甲、乙计划相遇时间与实际相遇时间，再求出乙计划和乙实际走的路程。 解：实际相遇时间：380÷（40+40）=4.75（小时） 原计划相遇时间：380÷（40+36）=5（小时） 乙少走的路程：40×（5-4.75）=10（千米） 答：相遇时，乙车比原计划少走 10 千米。第 9 页 共 200 页例 3.A、B 两人分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。如果两人按原来速度前进，那么 4 小时候相遇； 如果两人各自都比原定速度提高 2 千米/小时， 那么他们经过 3 小时就能相遇。 求甲、乙两地的距离。 分析：由于甲、乙两地的距离不变，可求出 A、B 两人的速度和。则两地的距离也可求出。 解：设两地的距离为 S，A 的速度为 VA,B 的速度为 VB。 ∴ S=(VA+VB)×4 S=(VA+2+VB+2)×3 ∵等式左边相等 ∴等式右边也相等 4VA +4VB =3VA +3VB +12 ∴VA+VB=12 S=12×4=48（千米）答：甲乙两地相距 48 千米.。模拟练习题 1.计算 47×62-841×31+794×62 2.1+2-3+4+5-6+7+8-9+。。。。。。+97+98-99 3.小红和小花玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为 6，则 小红胜，若点数和为 7，则小花胜。试判断两人谁获胜的可能性大？ 答案 1.解答：47×62-841×31+794×62 =62×（47+794）-841×31 =62×841-841×31 =（62-31）×841 =26071 2.解答：1+2-3+4+5-6+7+8-9+。。。。。。+97+98-99 =（1+2-3）+（4+5-6）+（7+8-9）+。。。。。。+（97+98-99） =0+3+6+。。。。。。+96 项数：（96-0）÷3+1=33 和：（0+96）×33÷2=1584 3．解答：先用枚举法，将两枚骰子的点数和分别为 6 与 7 的各种情况都列举出来，再进行 比较。出现 6 的情况有 5 种：1+5=6、2+4=6、3+3=6、4+2=6、5+1=6。出现 7 的情况有 6 种： 1+6=7、2+5=7、3+4=7、4+3=7、5+2=7、6+1=7，可见，小花获胜的可能性大。第 10 页 共 200 页
追及问题 例 1.好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米。劣马先走 12 天，好马几天追上劣马？ 分析：劣马走 12 天，每天走 75 千米。12 天后与好马之间存在的距离为 12×75=900（千 米）。而两种马各跑一天的距离为 120-75=45（千米）。则 900 千米内有多少个 45 千米 就要多少天。 解：75×12÷（120-75）=20（天）。 答：好马 20 天追上劣马。例 2.小红、小东和小明三人从甲、乙两地相向而行。小红以每分钟 70 米的速度，小洞以每分钟 80 米的速度，同时从甲地向乙地行进。小明则 以每分钟 90 米的速度从乙地向甲地行进。 小明遇到小东以后 2 分钟， 又同小红相遇。 则甲、 乙两地的距离为多少米？ 分析：如右图，在相同的时间内小明和小东同时走到 B 点，而小红走到 A 点。这 2 分钟的 路程是小红与小明做相遇运动的路程。所以 A、B 间的距离为（90+70）×2=320（米）。 而这 320 米是小红与小东的追及距离，也就是说小红与小东每分钟差：80-70=10（米）。 那么 320 米内有多少个 10 米就需多少分钟。所以小东走到 B 点的时间为 320÷（80-70） =32（分钟）。而这 32 分钟又是小东与小明的相遇时间。这样即可求出全程。 解：相遇（追及）时间： （70+90）×2÷（80-70）=32（分钟）。甲、乙两地距离： （80+90） ×32=5440（米）。 答：甲、乙两地的距离为 5440 米。例 3.上午 8 时 8 分，小明骑自行车从家出发。8 分钟后，小王骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上小明，然后立即返回小明家。到家后又立即回头去追小明，再追上小明时， 离家恰好是 8 千米。问这时是几时几分？ 分析：小王在小明 走后 8 分钟出发，在离家 4 千米处第一次追上小明。第二次追上小明恰 好离第一次追上小明处有 4 千米。因此小王第一次追上小明后回家，再从家赶到第一次追 上小明处也用 8 分钟。即小王行 4×2=8（千米），用 8 分钟。小王从出发到第二次追上小 明共行 4+4+8=16（千米），应用 16 分钟。 解：8+8+16=32（分钟） 答：这时是 8 时 32 分。第 11 页 共 200 页模拟练习题 1.已知 aΘ b=5a+2b,xΘ 5=60,求 x 的值 2.小明有 4 厘米和 10 厘米的小棒各两根，从中选出 3 根围成一个三角形，这个三角形的 周长是多少厘米？ 答案： 1.解答：5x+5×=60,x=10 2.解答：10×2+4=24（厘米） 对应法解应用题 例 1.小李买 3 千克苹果，2 千克香蕉，共付 12 元；小刘买苹果 3 千克，香蕉 5 千克，共付 21 元；小于买 2 千克苹果，2 千克香蕉，2 千克梨，共付 18 元（三人买的都是同一价格的 苹果和香蕉）。那么梨的单价是多少？ 分析：从小李和小刘买的水果来看，两人买了同样多的苹果，小刘比小李多买 3 千克香蕉， 所以多付 21-12=9（元）。所以香蕉单价：9÷3=3（元），苹果的单价（12-2×3）÷3=2 （元）。这样即可求出梨的单价. 解：香蕉的单价：（21-12）÷3=3（元）；苹果的单价：（12-2×3）÷3=2（元）；梨的 单价：（18-2×2-2×3）÷2=4（元）。 答：梨的单价为每千克 4 元。例 2.水果店的老板花 40 元钱买了一些水果，事实上如果这些水果每斤能再便宜 4 角钱的 话，那 40 元钱就可以多买 5 斤说过。问水果店老板所买的水果是多少钱轶斤？ 分析：这 40 元是总价，应等于数量×单价，将 40 元=400 角全部化成因数×因数，然后找 出哪两对因数差 4 角且数量差 5 斤即可。 解：单价×数量=总价 1×400=400； 2×200=400； 4×100=400； 5×80=400； 8×50=400； 10×40=400； 16×25=400； 20×20=400； 因此单价相差 4 角的有 1 角和 5 角，4 角和 8 角，16 角和 20 角，只有单价由 20 角降为 16 角时，数量由 20 斤增加为 25 斤，所以老板迈进的水果味 2 元一斤。 答：这种水果为 2 元一斤。第 12 页 共 200 页例 3.小李步行速度为 6 千米/时，骑自行车每 1 千米比步行少花 6 分钟。则他骑自行车的 速度为多少？ 分析：小李步行速度为每小时 6 千米，把 1 小时化成 60 分钟也就是 60 分钟行 6 千米，这 样他 10 分钟就行 1 千米。自行车 1 千米比步行少 6 分钟，步行 10 分钟而自行车只要 4 分 钟，所以骑自行车 4 分钟行 1 千米，同时扩大 15 倍，即 60 分钟行 15 千米，自行车的速度 为 15 千米/时。 解：步行 60 分---6 千米 扩大 15 倍 10 分---1 千米 自行车：10-6=4 分---1 千米4×15=60 分---1×15=15 千米∴自行车的速度为 15 千米/时。 桥长与车长问题 例 1.小明坐在行驶的列车上，发现从迎面开来的货车用 6 秒才通过他的窗口，后来又看到 列车通过一座 180 米长的铁桥用了 12 秒。已知火车长 168 米，求货车每秒行多少米？ 分析：从列车通过 180 米长的铁桥用 12 秒可计算出列车的速度，然后假设小明坐在背朝 列车前进的方向或坐在面朝列车前进的方向，分别算出货车的速度。 解：客车的速度：180÷12=15 米/秒 当小明面朝列车前进的方向时，货车的速度：168÷6-15=28-15=13（米/秒） 当小明背朝列车前进的方向时，货车的速度：168÷6+15=28+1=43（米/秒）例 2.一列火车长 400 米，铁路沿线的电线杆间隔都是 40 米。从这列火车车头遇到第一根 电线杆起，到车尾离开第 51 根电线杆，共用了 2 分钟。这列火车每小时行多少千米？ 分析： 这题是车长与桥长问题和植树问题结合在一起，解题时从第一根电线杆到第 51 根电 线杆中间共有多少个段要分清楚。再则，在 2 分钟内火车头不光经过 51 根电线杆，还要再 加上 400 米的车长。 解：火车的车速：[40×（51-1）+400]÷2 =（40×50+400）÷2 =00（米/分钟） ×60=72（千米/时） 答：这列火车每小时行 72 千米。第 13 页 共 200 页例 3.一列客车每分钟行 1000 米，一列货车每分钟行 750 米，货车比客车的车身长 135 米。 两车再平行的轨道上同向行驶，当客车从后面超过货车，它们交叉的时间为 1 分 30 秒，求 货车的长度。 分析：客车追货车的追及距离应是客车车长+货车车长=速度差×追及时间 解：客车车长：[（）×1.5-135]÷2=（375-135）÷2=120（米） ∴货车长：120+135=255（米） 答：货车的长度为 255 米。 运用假设法解应用题 例 1.一辆卡车运矿石，晴天每天可运 16 次，雨天每天只能运 11 次，一连运了 17 天，共 运了 222 次，问这些天中有几天下雨？ 分析：假设这 17 天全是雨天，则只能运 11×17=187（次），而实际运了 222 次，多了 222-187=35（次）。每天多运 5 次（即每天运 16 次）就是一个晴天，35 次中有多少个 5 次，就有多少个晴天。 解：晴天：（222-11×17）÷（16-11）=（222-187）÷5=35÷5=7（天） 雨天：17-7=10（天） 答：这些天中共有 10 天是雨天。例 2.小刚与小明进行射击比赛，规定每打中一发得 20 分，脱靶一发扣 12 分，两人各打 10 发，共得 208 分，其中小刚比小明多 64 分。问小刚打中几发，小明打中几发？ 分析：通过两人共得 208 发，其中小刚比小明多 64 分，则小明得（208-64）÷2=72（分）。 如果小明 10 发全打中。应得 10×20=200 分，而实际只得 72 分，所以少了=128（分），而 每少 20+12=32（分）就脱靶一发，而 128 分钟有几个 32（分）就脱靶几发，所以脱靶 128 ÷32=4（发），打中 10-4=6（发）。同理可求出小刚打中几发。 解：小明得分（208-64）÷2=72（分） 小明没打中：（10×20-72）÷（20+12）=4（发） ∴小明打中：10-4=6（发） 小刚得分：208-72=136（分） 小刚没打中：（200-136）÷（20+12）=2（发） ∴小刚打中 10-2=8（发） 答：小刚打中 8 发，小明打中 6 发。第 14 页 共 200 页例 3.蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 一条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现有这三种动 物共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀，问三种动物各有几只？ 分析：首先把三种动物看成 2 种动物，因为蜻蜓和蝉都是 6 条腿，所以可以把这两种动物 看成一种，这样就简化了。 假设全是蜻蜓，则应有腿数：18×6=108（条）而实际有腿 118 条，多出 10 条，且每增加 8-6=2（条）腿就是一只蜘蛛，那么 10 条腿中 有多少个 2 条腿，就有多少只蜘蛛。 解：蜘蛛共有：（118-18×16）÷（8-6）=（118-108）÷2=5（只） ∴6 条腿的动物共有 18-5=13（只），同理蜻蜓共有（20-1×13）÷（2-1）=7（只），蝉 共有：13-7=6（只） 答：蜘蛛有 5 只，蜻蜓有 7 只，蝉有 6 只。模拟练习题 1.黑白两种棋子共有 300 枚，按每堆 3 枚分成 100 堆，其中只有一枚白子的共 8 堆，有 2 枚或 3 枚黑子的共 37 堆，有 3 枚白子的堆数与右 3 枚黑子的堆数相同。那么，在全部棋子 中，黑子共有多少枚？ 2.17:28 时，时针与分针的夹角（小于 180?）是多少度？ 答案： 1.解答：1 枚白子的有 18 堆，也就是 2 枚黑子的有 18 堆，所以，3 枚黑子的有 37-18=29 （堆），1 枚黑子的有 100-18-29-29=24（堆）。那么黑子共有 24+18×2+29×3=147（枚）。 2.解答：17:00 时时针与分针的夹角是 360?÷12×5=150?，再过 28 分钟，分钟顺时针旋转 了 360?÷60×28=168?，时针顺时针旋转了 360?÷12÷60×28=14?。此时，时针与分针的 夹角为 168?-150?-14?=4?。 抽屉原理 例 1.在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被 3 整除？ 分析：因为任何自然数除以 3，其余数只有 0、1、2 三种情况，把它们看成三个抽屉，四 个数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放着两个数，也就是说至少有两个数除以 3 的余数 相同，这样它们的差即为零，能被 3 整除。第 15 页 共 200 页解：在任意的四个自然数中，必有两个数，它们的差能被 3 整除。例 2.旅游团组织 2011 名游客去游览上海博物馆、东方明珠、豫园，规定每人必须去一处， 最多去两处，那么至少几个人游览的地方完全相同？ 分析：首先要构建好抽屉数，然后根据抽屉原理（2），只要商+1 即可。解：构建抽屉：（东方明珠），（豫园），（上海博物馆），（东方明珠，豫园），（东 方明珠，上海博物馆），（豫园，上海博物馆）。 ∴抽屉数为 6,。。。。。。1，至少有：335+1=336（人） 答：至少有 336 人游览的地方相同。例 3.如图十一个 8 行 8 列的方格表，能否在每一个空格中填上 1、2、3 这三个数字中的任 意一个，使得每行每列及对角线 AC、BD 上的各个数字的和互不相同？请加以说明。 分析：图中 8 行 8 列及每条对角线可以看作 8+8+2=18（个） 事物。1、2、3 所组成的和最小 8 个 1（其和为 8），最大 8 个 3（其和为 24），共有 24-8+1=17（个），看作 17 个抽屉。 解：把 8 行 8 列及两条对角线共 18 个看作 18 个事物。把从 8 到 24 共 17 个和看作 17 个抽屉。 ∴18÷17=1。。。。。。1，必有一个抽屉中有 2 个事物。即 必有两个和是相同的。所以此命题不成立。 盈亏问题 例 1.红星小学三、四年级的同学乘汽车春游，如果每车 45 人，有 10 人不能坐车；如果每 车多坐 5 人，又多出一辆汽车。问一共有多少辆汽车？有多少名同学去春游？ 分析：每车多坐 5 人，多出一辆车，说明每车多坐 5 人，还差（455）人正好把车坐完， 又少了一辆车，所以两次乘车的人数相差（45+5+10）人。 解：车辆：（45+5+10）÷（45+5-45）=12（辆）；人数：12×45+10=550（人） 答：一共有 12 辆车，550 人去春游。第 16 页 共 200 页例 2.植树小组去植树，若没人栽 12 棵，则树苗少 28 棵，若没人栽 9 棵，则树苗少 1 棵。 问栽树小组由多少人？树苗共有多少棵？ 分析：此题是双亏问题，所以应（大亏-小亏）÷两次分配的差。第一种亏 28 棵，第二种 亏 1 棵，总差额为 27 棵。根据这一关系即可解题。 解：人数:(28-1)÷(12-9)=9(人)；树苗：9×12-28=80（棵）。 例 3.有红、白球若干，若每次拿出 1 个红球和 1 个白球，当红球被拿完时，还剩下 50 个 白球；若每次拿 1 个红球和 3 个白球，则当白球被拿完时，红球还剩下 50 个。那么红球和 白球共有多少个？分析：第一种情况中，白球多了 50 个。第二种情况中，如果红球也被拿完，白球就少了 3 ×50=150 个。 解：红球：（50+3×50）÷（3-1）=100（个） 白球：100+50=150（个） 两种球共有：100+150=250（个） 答：共有 250 个球。 方阵问题： 常见的方阵有两种：实心方阵和空心方阵 它们都有共同的特点：方阵每边的实物数量相等，里外相邻的两边实物数量相差 2。 例 1.为了庆祝国庆节，同学们组成了一个鲜花队方阵。已知第一横行与第一竖列共有 25 人。这个鲜花队方阵有多少人？ 分析：由已知条件可知，如果增加 1 人，则是 26 人，正好平分在一行一列例，这样就可以 求出每行或每列的人数，从而求出总人数。 解：（25+1）÷2=13（人）；13×13=169（人） 答：这个鲜花队方阵有 169 人。例 2.学校用鲜花在升旗台周围摆成两层空心方阵， 已知最外层 每边有 12 盆鲜花。一共摆了多少盆鲜花？ 分析：根据题意，可以画出示意图（图 3）。如果把这个空心 方阵分成相等的四部分，则从图中可以看出，每个部分的鲜花第 17 页 共 200 页盆数为（12-2）×2=20(盆)，四个部分的鲜花总盆数为 20×4=80（盆）。 解：（12-2）×2×4=80（盆） 答：一共摆了 80 盆鲜花。例 3.在数学活动课上，小华用围棋排成了一个空心方阵，最外层每边有 16 枚棋子，最内 层每边有 8 枚棋子。这个空心方阵一共有围棋子多少枚？ 分析：本题关键是要求出空心方阵的层数：（16-8）÷2+1=5（层），然后用计算空心方阵 总数量的方法即可。解：（16-8）÷2+1=5（层）；（16-5）×5×4=220（枚） 答：一共有围棋子 220 枚。模拟练习题 兄弟五人平分父亲遗留下来的三处房产，由于房子无法拆分，使分别给了老大、老二和老 三。为了补偿，三个哥哥每人付 8 万元给老四和老五，于是，五人所得完全相同。问三所 房子的总价是多少？ 答案： 解答：三个哥哥共给了弟弟 8×3=24（万元），两个弟弟平分后各得 24÷2=12（万元）， 这也就是每个人平分得到的钱数。因此 12×5=60（万元）就是三所房子的总价值。 题目： 1.用数码 0、1、2、3、4 和 5 组成各位数码都不相同的六位数，并按从小到大顺序排列， 第 502 个数是（ ）2.下列图形中，与众不同的图形是（）。ABC第 18 页 共 200 页DE答案： 1.首位分别是 1、2、3、4 的六位数各有 120 个，共 480 个。以 50 开头的六位数有 24 个， 即 504321 是第 504 个数。所以第 503 个数是 504312，第 502 个数是 504231。 2.选 D。A、B、C、E 是同一个图形分别经过旋转而得到的图形。
定义新运算 定义新运算，就是规定一种加、减、乘、除四种运算以外的运算形式，并利用其定义的对应法则进行简单的运算。 定义新运算的关键是抓住定义的本质。a-b例 1.设 a、b 分别表示两个数，如果 a*b 表示 3 ,照这样的规定，3*[6*(8*5)]的结果是什 么？ 分析：按先小括号后中括号，先内后外的运算顺序进行计算。 解答：3*[6*（8*5）]=3*[6*( 3 )]=3*(6*1)=3*( 3 )=3*13=33=9。 例 2．规定 a*b=Aa+ ab ，而且 1*2=2*3，求 3*4 的值。 分析：先由定义的算式和 1*2=2*3 求出 A 的值，以便利用定义式求 3*4。 解答：1*2=A×1+1×2=A+2 2*3=A×2+2×3=2A+6 ∵ 1*2=2*3 ∴ A+2=2A+63+4 2 7 7 3 5 2+3 5 2 1+2 3 a+b 8-5 6-1 2 2 4A=3∴ 3*4=A×3+3×4=3×3+12=212 例 3.有一个数学运算符号“О ”,使下列算式成立：2О 3=6,5О 9=45,6О 7=42,求11О 5的值。 分析：此题定义的新运算不是通过代数式给出的，而是需要我们自己寻找。给出的算式有 以下规律：1 2 3 1+2 2О 3=6=2× 3 4 7 11 4+7 5О 9=45=5× 9 5 1 6 5+1 6О 7=42=6× 7 1 2 3 4 7 11 5 1 6 3 4可以看出，新运算的结果为两分数的分子之和，除以两分数的分母之积。 解答： ∵分析给出等式，可得新运算为：aО b=a×b,∴11О 5=11×5=55。第 19 页 共 200 页cd c+d34 3+47题目： 1.在满足下式的正确填法中，不同的和有（ □+□□+□□□=□□□□）个。2.A、B、C、D、E，表示 5 个互不相同的正整数。将这 5 个数排成一排，如果其中任意相邻 的 3 个数之和都小于 15，那么这 5 个数之和最大是（ ）。 答案： 1.和最小是 1000，最大事 9+99+999=1107，不同的和有 =108（个）。 2.因为任意 3 个相邻数之和最大是 14， 所以可设 （A+B+C） +(C+D+E)=142×2,A+B+2C+D+E=28。 因为要求 5 个数之和最大，所以 C 应当尽量小，C=1,5 个数之和 A+B+C+D+E=28-1=27。
应用题讲解 例 1.实验室里有一只特别的钟，钟面上一圈共有 20 格，每过 7 分钟，指针跳一次，每跳 一次就要跳过 9 格。今天早上 8 点的时候，指针恰好从 0 跳到 9，请问昨天晚上 8 点整的 时候指针指的是几呢？ 分析:这段话的意思就是：一只钟钟面上有 20 个格，每过 7 分钟跳 9 格，在第 6 分 59 秒前 并不跳。所以，只要求出 12 小时跳多少格，再除以这个钟的格数 20 就可以了。 解答： 从昨晚 8 点到今天早上 8 点， 共 12 个小时， 即 60×12=720 （分） ， 720÷7=102 （次） 。 。 。 。 。 。 6（分）。102×7=714（分），所以在 714 分钟前（即昨晚 8:06）一共跳了 102 次，减去 今天早上 8 时那一次， 即 101 次。 又因为指针每跳 20 次就回到原处， 所以 101÷20=5。 。 。 。 。 。 1，所以在昨晚 8:06 时，指针跳到 11 处。而昨天晚上 8 点整的时候指针还没有跳，指针指 着 11-9=2。 例 2.已知三个小组共有 180 人，其中一、二两个小组人数之和比第三小组多 20 人，第一 小组比第二小组少 2 人，求第一小组的人数。 解答：先把一、二两个小组看成一个整体，吧第三小组看成另一个整体，我们把这种方法 叫做 “化三为二” ， 即把三个问题转换成两个问题。 先求出第一、 二小组的总人数： （180+20） ÷2=100（人）。再求出第一小组的人数：（100-2）÷2=49（人）。 题目： 小明骑自行车上学需 36 分钟。坐公交汽车上学与骑车上学走的路程完全相同，其中乘车的 路程是步行路程的 2 倍。如果乘车的速度是骑车速度的 3 倍，步行的速度是骑车速度的一 半，那么小明坐公共汽车上学需（ ）分钟。第 20 页 共 200 页答案： 步行的路程是全程的三分之一，如果骑车需要 36÷3=12（分钟）。步行的速度是骑车速度 的一半，所以步行的时间是 12×2=24（分钟）。乘车的路程是全程的三分之二，如果骑车 需要 36÷3×2=24（分钟）。乘车的速度是骑车速度的 3 倍，所以乘车的时间是 24÷3=8 （分钟）。小明坐公共汽车上学需要 24+8=32（分钟）。 应用题讲解 例 1.“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒求的数量相等。花球原 价 1 元钱 2 个，白球原价 1 元钱 3 个。因节日商店优惠销售，两种球的售价都是 2 元钱 5 个，结果小明少花了 4 元钱。那么小明共买了多少个球？ 解答：根据题意我们可知，盒内的球的数量一定是 2、3、5 的倍数。假设 1 份球的个数是 30 个，原来各买一份要 30÷2+30÷3=15+10=25（元），现在要（30+30）÷5×2=24（元）。 即小明每买 30+30=60（个）球，就可以少花 1 元钱，那么小明一共就买了 4×60=240（个） 球。 例 2.有 20 人修筑一条公路，计划 15 天完成。动工 3 天后抽出 5 人指数，留下的人继续修 路。如果每人工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？ 解答：此题因中途抽出 5 人指数，修路的总人数发生变化。但前 3 天并未变化。我们并不 需要知道每人每天的工作量， 不妨把它设为 “1” ， 那么这条路的工作总量就是 20×15=300,3 天后已经完成的工作量是 20×3=60，还剩下 300-60=240 的工作量由剩下的 15 人完成，所 以还需要 240÷15=16（天），即修完这段公路实际用 16+3=19（天）。 模拟练习题 有 50 名学生参加联欢会，第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只差一 个男生没握过手，第三个到会的女生只差两个男生没握过手。。。。。。以此类推，最后 一个到会的女生同 7 个男生握过手。问这些学生中有多少个男生？ 答案： 这是和差问题。我们可以这样想：如果这个班再多 6 个女生的话，最后一个女生就应该只 与 1 个男生握手，这时，男生和女生就一样多了，所以原来男生比女生多（7-1）=6（个） 人。男生人数就是：（50+6）÷2=28（人）。第十届“中环杯”四年级 思维训练营 09 年 10 月 28 日刊第 21 页 共 200 页应用题讲解 例 1， 两袋盐的重量相等，甲袋取出 24 千克，乙袋装入 28 千克，这时乙袋中盐的重量是 甲袋中的盐的重量的 3 倍，请问甲、乙两袋中的盐原来各重多少克？ 分析：两袋盐的重量相等，但是从甲袋取出 24 千克，往乙袋放入 28 千克后，乙袋的重量 是甲袋的 3 倍，应把变化后的甲袋重量看作 1 倍，而 24+28=52（千克） 正好相当于甲袋剩下重量的 2 倍。所以当从甲袋取出 24 千克后，剩下的重量是多少就可以 求出来了，那么甲乙两袋盐的原有重量也可以求出了。 解答：甲袋盐剩下的重量：（24+28）÷（3-1）=26（千克） 每袋原有盐的重量：26+24=50（千克）例 2、有两列火车，一列长 102 米，每秒钟行 12 米；一列车长 120 米，每秒钟 9 米。若两 车同向而行，从第一列车追及第二列车到两车离开需要多少秒？ 分析：此题是两列车的追及问题，这里“ 追及”就是指第一列车的车头追及第二列车的车 尾，“离开”就是指第一列车的车尾离开第二列车的车头。在这个过程中第一列车的车头 以两车速度差的速度赶超第二列车的车头，两车头的路程差等于两车的长度和，从追及到 离开所需的时间就等于它们的长度和除以它们的速度差， 就是追及到离开的时间=长度和÷ 速度差。 解答；（102+120）÷（12-9）=222÷3=74(秒)例 3、聪聪用棋子排成一个两层的空心方阵，最外面一层每边有棋子 12 枚。那么聪聪摆这 个方阵共用了多少枚棋子？ 分析：根据中空方阵总数=（每边个数－层数）×层数×4 进行计算。 解答：（12－2）×2×4=80(枚)四年级模拟练习题 1、105÷72＋498÷72＋477÷72＝（ ）第 22 页 共 200 页2、小明站在铁路边，一列火车从他身边开过用了 2 分钟，已知这列火车长 900 米，以同样 的速度通过一座大桥用了 5 分钟。问这座大桥长多少米？ 答案：1、105÷72＋498÷72＋477÷72 =（105+498+477）÷72 = 2、火车的速度是 900÷2=450（米/分） 大桥的长度是 450×5－900=1350（米）。第十届“中环杯”四年级 思维训练营 09 年 11 月 4 日刊巧拼长方形 题目：有许多边长为 1 厘米、2 厘米、3 厘米的正方形硬纸片。用这些硬纸片拼成一个长 5 厘米。宽 3 厘米的长方形纸板，共有多少种不同的拼法（通过旋转及翻转能相互得到的拼 法认为是相同的拼法。 解答：1 有一个边长 3 里面的正方形纸片有如下 3 种拼法：2、有两个边长 2 厘米纸片的有如下 4 种拼法：3、有一个边长 2 厘米纸片的有如下 2 种拼法：4、全由边长 1 厘米纸片拼成的有如下 1 种拼法：所以共有 10 种不同的平法。第 23 页 共 200 页模拟练习题：四年级 1、 利用公式 1×1＋2×2＋??＋n×n＝n×(n＋1) ×(2×n＋1) ÷6 计算 15×1516×16??＋21×21＝（ ）2、有一列由三个数组成数组（称为三元数组），它们以此为（1、4、8），（2、8、16）， （3、12、24），??第 302 个数组内的 3 个数之和是（ ）。答案：1、15×15＋16×16＋??＋21×21＝21×（21＋1）×(2×21＋1) ÷6－14×(14＋ 1) ×(2×14＋1) ÷6==2296。 2、因为第一个数组内三个数的和为 13.，第二个数组内的三个数的和为 6，第三个数组内 三个数的和味 39，有此可知第 302 个数组内三个数的和为（1＋4＋8）×302＝3926第十届“中环杯”四年级 思维训练营 09 年 11 月 11 日刊四年级 容斥问题 容斥原理 1：如果被计数的事物有 A、B 两类，那么 A∪B=A＋B－A∩B。 容斥原理 2：如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么 A∪B∪C=A＋BC－A∩B－B∩ C－C∩A＋A∩B∩C。 题目 例 1：在 1 到 1000 的自然数中，能被 3 或 5 整除的数共有多少个？不能被 3 或 5 整除的数 共有多少个？ 分析：显然，这是一个重复计数问题（当然如果不怕麻烦，你可以分别去数 3 的倍数、5 的倍数）。我们可以把“能被 3 或 5 整除的数”分别看成类元素和 B 类元素，能“同时被 3 或 5 整除的数（15 的倍数）”就是被重复计算的数，即“即是 A 类又是 B 类的元素”。求的是 A 类或是 B 类的元素得个数”。现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。 3??1，能被 3 整除的数有 333 个。同理，可以求出其他的条件。 题目 例 2、分母是 1001 的最简单真分数一共有多少个？第 24 页 共 200 页分析：这一题实际上就是找分子中不能整除的 1001 的数。由于 ×13，所以就 是找不能被 7、 11、 13 整除的数。 题目 例 3、某班有学士 54 人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的 25 人，参 加排球队的有 22 人，参加游泳队的有 34 人，足球、排球都参加的有 12 人，足球、游泳都 参加的 18 人，排球、游泳都参加的 14 人。问：三项都参加的有多少人？ 分析：，参加足球队的 25 人为 A 类元素，参加排球队的有 22 人 B 类元素，参加游泳队的 有 34 人 C 类元素，即是 A 类又是 B 类为足球、排球都参加的有 12 人， 即是 A 类又是 C 类的为足球、游泳都参加的 18 人，即是 B 类又是 C 类的为排球、游泳都 参加的 14 人,，三项都参加的是 A 类 B 类 C 类的总和设为 x.。 解答：25＋22＋34－12－18－14＋x＝54 x=17题目 例 4、如图在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片，它们的面积都是 100圆重叠的面积是 20 ，A、C 两圆重叠的面积是 45 个圆共同重叠的面积是 15 并知 A、B 两 ，三 。，B 、C 两圆重叠的面积是 31 ，求盖住桌子的总面积是（ ）解答：A∪B∪C=A＋BC－A∩B－B∩C－C∩A＋A∩B∩C=100×3－20－45－31＋15=219（）。模拟练习题：四年级 一个四位数，去掉个位上的数后是一个三位数，原四位数减去这个三位数的差是三位数的 9 倍。去掉的数字是（ ）。答案：因为原四位数减去这个三位数的差是这个三位数的 9 倍，这个三位数本身是 1 倍， 差加这个三位数的和就是这个三位数的 10 倍， 也就是原来的四位数， 由此可知去掉的是 0。第 25 页 共 200 页第十届“中环杯”四年级 思维训练营 09 年 11 月 18 日刊四年级 树形枚举 树有树根、树枝、树叶。在数学中借助树的分叉特征构造出树形图往往能帮助我们更好地 解决某些数学问题，比如枚举问题。 题目 例 1、 甲乙俩人进行乒乓球比赛，规定谁先胜。第一场甲胜，问到决出最后胜负为止，共 有几种不同的情形？其中甲胜得情形有几种？ 解答：采用树形图可以很好地刻画出比赛的整个对弈过程。作树形图如下：从树形图中可以清楚滴看到，到决出最后胜负，共有 10 中不同的情形，其中甲胜得情形有 6 种。 题目： 例 2、 下图中有 6 个点，9 条线段。一只蚂蚁从Ａ点出发，要沿着某条线段爬到Ｃ点。行 进中，同一个点或同一条线段只能经过一次。这只蚂蚁最多有多少种不同的爬法？解答： 根据题目要求， 发的多种不同的爬法第 26 页 共 200 页把起点 A 设置成“树根”，从 A 出 例举如下：模拟练习题：四年级 往一个篮子里放鸡蛋，假定篮子里鸡蛋数目每分钟增加 1 倍，这样放下去，10 分钟时，篮 子放满了。那么（ ）分钟后，恰好放入半篮子鸡蛋。答案： 用逆推还原方法思考，可得当 9 分钟时，恰好放入半篮子鸡蛋。第十届“中环杯”四年级 思维训练营 09 年 11 月 25 日刊四年级 盈亏问题 题目 例 1、 幼儿园老师拿来一筐橘子分给小朋友吃，每人分 2 个则多 3 个，每人分 3 个则差 4 个，问小朋友共有几个？ 分析：盈亏问题有一个很重要的公式：当分配给同一批人相同的货物时 人数=（盈数＋亏数）÷（两次分法的差） 可以通过方程来进行证明。那么就可以马上计算出小朋友饿总人数。 解答 根据盈亏问题的一般公式，小朋友的总人数为：（3＋4）÷3（3-2）=7（人）。 题目第 27 页 共 200 页例 2、 一堆香蕉分给一群猴子，如果每只猴子分 10 根香蕉，则有两只猴子没有分到，如 果每只猴子如果每只猴子分 10 根香蕉，则刚好分完。求有多少只猴子，多少根？ 分析：每只猴子分 10 根香蕉，有两只猴子没有分到，意味着少了 20 根香蕉。刚好分完， 可以看成多出了 0 根。然后用盈亏问题的一般公式来计算。 解答 猴子的数量：2×10÷（10－8）=10（只） 香蕉的数量：8×10＝80（根） 题目 例 3、 例 3、王老师给小朋友分苹果和橘子，橘子每人分 3 只，多 4 只：苹果每人分 7 只， 则少 5 只。问有多少个人小朋友，多少只苹果和橘子？ 分析：对于分两种不同的物品，想办法转换为同种物品来进行分配。题中苹果数是橘子数 的 2 倍，那么当橘子每人分 3 只，多 4 只时，分苹果的话就是每人 6 只，多 8 只。这就转 换成一般的盈亏问题了。 解答 小朋友的人数：（4×2+5）÷（7-3×2）＝13（人） 橘子数：13×3＋4=43（只） 苹果数：43×2=86（只） 模拟练习题：四年级 今年是 2009 年，父母的年龄之和是 78 岁，兄弟的年龄之和是 17 岁。四年后，父亲的年龄 是弟弟年龄的 4 倍，母亲的年龄是哥哥年龄的 3 倍。那么当父亲的年龄是哥哥的年龄的 3 倍时是（ ）年。 答案：四年后，父母的年龄之和是 78＋8＝86 岁，兄弟的年龄之和是 17＋8=25 岁。父=4 ×弟，母=3×兄，那么父+母=3×（弟+兄）弟，所以弟弟是 11 岁，哥哥是 25－11=14 岁，父亲是 11×4＝44 岁，母亲是 14×3＝42 岁。 显然，再过 1 年，父亲 45 岁，哥哥 15 岁，父亲的年龄是哥哥年龄的 3 倍。所以，当父亲 的年龄是哥哥的年龄的 3 倍时是 4＋1=5（年）后，即 2014 年。第十届“中环杯”四年级 思维训练营 09 年 12 月 2 日刊四年级 标数法 题目 例 1、 按图中箭头所指的方向行走，从 A 到 I 共有多少条 不同的路线？第 28 页 共 200 页解答：第一步：在起点 A 处标 1。再观察点 B，要想到达 点 B，只有一个入口 A，所以在点 B 处也标 1。第二步：再观察点 C,要想到达点 C，有两个入口 A 和 B， 所以在点 C 处标 1+1=2。同理，给点 F、点 D、点 E、点 G、点 H、点 I 也标上数字，得从 A 到 I 共有 29 条不同的 路线。第 29 页 共 200 页模拟练习题：四年级 一只蜜蜂从 A 处出发，前往 B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧临近的峰房而不准逆行， 共有多少种不同的方法？答案：“蜜蜂”每次只能从一个蜂房爬向右邻近的蜂房而不准逆行“，这意味着它只能从 小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房，明确了行走路径的方向，就可运用标数法进行计 算。如图所示：蜜蜂从 A 处出发到 B 处共有 89 种不同的方法。，第十届“中环杯”四年级 思维训练营 09 年 12 月 9 日刊四年级 鸡兔同笼问题 题目 例 1、 鸡兔同笼共有 100 个，腿 316 条，求鸡、兔各有多少只？ 分析：鸡和兔都只有一个头，但是兔子有 4 条腿，鸡有 2 条腿，于是问题就化解为鸡和兔 共有 100 只，316 条腿，，问鸡、兔各有多少只。采用假设全是鸡或全是兔的方法来计算。 解答：假设 100 只全是兔子，那么一共有 100×4＝400（条）腿，而现在只有 316 条腿， 差额就是兔子比鸡多出来的腿的数量。 所以鸡的数量为（4×100－316）÷（4－2）=42（只）第 30 页 共 200 页兔子的数量为 100－42=589（只）。 题目 例 2、鸡兔共有腿 100 条，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有腿 92 条，求鸡、兔各有多少 只？。 分析：鸡兔原来共有 100 条腿，但是变换过程只有 92 条腿，那么意味着原来的兔子比鸡 多。剩下的部分则为兔子比鸡多的部分。兔子和鸡一样多的部分，变换前后两者的数量都 是相同的。现在变换过后，腿的数量少了 8 条，则兔子比鸡多的部分在变换后腿的总数少 了。那么我们就很容易求出条兔子比鸡多的数量。 解答：兔子比鸡多的数量：（100－92）÷（4－2）=4（只） 鸡的数量：（100－4×4）÷（42）=14（只） 兔子的数量：14＋4=18（只） 题目 例 2、 东湖路小学六年级举行数学竞赛，共 20 道试题，做对一题得 5 分，没有做或做错 一题都要倒扣分。刘钢得了 60 分，问他做对了几道题？ 分析：可以把这道题看做鸡兔同笼的问题来分析。同样采用假设的分析方法，先假设全做 对，然后来计算做错的题数。要注意的是，做对一题于做错一题之间相差的分数为 8 分， 不是 3 分，因为做错不仅不得分，反而要倒扣 3 分。 解答；做错的题数：（20×5－60）÷（5＋3）=5（题） 做对的题数： 20－5=15(题) 模拟练习题：四年级 1、把 21 分成若干个互不相等的自然数的和，这些自然数的乘积最大是（ 发现任何两人中总有一人没有中奖，那么有（ 大乘积是 2×3×4×5×7＝840。 2、 1 人。可以根据“任何两人中总有一人没有中奖”这句话推导得出。 ）人中奖了。 ）。 2、有 52 人购买了福利彩票，每人只买了一张，开奖后，有人中奖，有人没有中奖，后来 答案：1、因为 2×3＋4＋5＋6=21，所以把 21 坼分成 2＋3＋4＋5＋7，其乘积为最大，最第十届“中环杯”四年级 思维训练营 09 年 12 月 16 日刊四年级 加法原理第 31 页 共 200 页加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同方法，在第二类方 法中有 m2 种不同方法???在第 n 类方法中有 mn 种不同方法，那么完成这件任务共有： 种不同的方法。 题目 例 1、 从 1―10 中，每次取两个不同的自然数相加，和大于 10 的取法有多少种？ 解答：我们可以根据第一个数的大小，将和大于 10 的取法分成 9 类： 第一个数 第1类 第2类 第3类 第4类 第5类 第6类 第7类 第8类 第9类 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第二个数 10 10、9 10、9、8 10、9、8、7 10、9、8、7、6 10、9、8、7 10、9、8 10、9 10 有几种 1 2 3 4 5 4 3 2 1因此根据加法原理，共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25（种）取法使和大于 10。 题目 例 2、 在四位数中，各位数之和是 4 的四位数有多少个？ 解答：以个位数的值为分类标准，可以分成以下几类情况来考虑： 第 1 类：个位数字是 0，满足条件的数共有 10 个。 其中：（1）十位数字为 0，有 4000、 3100、 2200、 1300，共 4 个： （2）十位数字为 1 （3）十位数字为 2 （4）十位数字为 3 有 3010、 2110、 1210、 有 2020、 1120、 共 2 个； 有 1030、 共 1 个。 共 3 个；第 2 类：个位数字是 1，共 6 个。 其中： （1）十位数字为 0、有 3001、 2101、 1201、 （2）十位数字为 1 （3）十位数字为 2 有 2011、 1111、 共 2 个； 有 1021，满足条件的的数共有 1 个。 共 3 个；第 3 类：个位数字是 2， 满足条件的数共有 3 个。 其中： （1）十位数字为 0、有 2002、 1102，共 2 个；第 32 页 共 200 页（2）十位数字为 1 其中：有 1012、 共 1 个。第 4 类：个位数字是 3， 满足条件的数共有 1 个。 十位数字为 0、有 1003，共 1 个。 根据上面分析，由加法原理可以求出满足条件的数共有 10+6+3+1=20（个） 模拟练习题：四年级 1、在数列 3、 8、 15、 24、 35??中，第 78 个数是（ 均分是 70 分，男生比女生多（ 答案： 1、 ??则第 78 个数是）2、某校有 100 名学生参加数学考试，平均分是 63 分，其中男生平均分是 60 分，女生的平 ）人。2、男生：（70×100－63×100）÷（70－60）=70（人） 女生：100－70＝30（人 ） 男生比女生多 70-30=40（人）第十届“中环杯”四年级 思维训练营 09 年 12 月 23 日刊四年级 乘法原理 如果完成一件任务要分成 n 个步骤进行，做第 1 步有 种方法，第 2 步总有 种方法， 那么完成这件任务共有 关键问题：确定工作的完成步骤。 题目 例 1、“数学”这个词的英文单词是“MATH”用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色分别给字母 染色，每个字母的颜色都不一样，这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？ 分析：为了完成对单词“MATH”的染色，我们可以按字母次序把这个染色过程分四步依 次完成： 第 1 步：对字母“M”染色，此时有 5 种颜色可以选择： 第 2 步：对字母“A”染色，由于字母“M”已经用过一种颜色，所以对字母“A”第 33 页 共 200 页种方法， 不管第 1 步用哪一种方法。??不管前面 n-1 步用哪种方法，第 n 步总有种不同的方法。染色只有 4 种颜色可以选择： 第 3 步：对字母“T”染色，由于字母“M”和“A”已经用去了 2 种颜色，所以对字母“T” 染色只剩 3 种颜色可以选择： 第 4 步：对字母“H”染色，由于字母“M”、 “A” “T”染色已经用去了 3 种颜色， 所以对字母“H”染色只剩 2 种颜色可以选择： 解答：由乘法原理，共可以得到 5×4×3×2＝120（种）不同的染色方式。 题目 例 3、 在下面一排数字中间的任意两个位置写上两个“＋”，可以得到 3 个自然数相加的 加法算式，一共可以得到多少个不同的加法算式？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 分析：填入两个“＋”号，显然要分两步完成。 第一个“＋”号可以填在上面 8 个空格中的任何一个，有 8 种方法。还剩 7 个空格，因此 第二个加号只剩 7 个位置可以选择。 运用分步计数原理，共有 8×7=56（种）方法。 但这时有重复发生，比如可以把第一个加号放在“2”前面，第二个加号放在“5”前面； 也可以把一个加号放在“5”前面，而把第二个加号放在“2”前面，这样得到的加法算式 是相同的，而我们刚才却算作了两种。因此要将结果除以 2。 解答：一共可以得到 8×7÷2=28（个）不同的加法算式。模拟练习题：四年级 用 5 支不同颜色的水彩书写“中环杯”，要求不同文字用不同颜色的笔写，共可以写出 （ ）种不同颜色搭配的“中环杯”。 答案： 5×4×3=60（种） 巧填数字 题目 例 1. 把 1、4、7、10、13、16、19 七个数填入图一中 的 7 个圆里，使每条直线上三个数的和相等。分析第 34 页 共 200 页每条直线上有三个数字，中间数字唯一，要使三个数的和相同，只需直线两端 的两个数之和相等即可。显然，中间数取的是 7 个数的中间数 10，直线上三 个数，两边的数分别填：1、19；4、16；7、13。 解答题目 例 2. 在图二空格中分别填入 2~10 的 9 个数， 使横行、 竖行中的五个数的和相 同。问每行的和是多少？分析横竖两行的共同数字亦在图形的中心，所以要想使横竖的数之和相等，中间位 置应该取 2~10 的中间数 6；剩余数字从两边开始一一对应，分别填入对称的格子即可。 解答 因为中间数在相加时被使用了两次， 所以在计算横竖两行数之和时应该多加一 个 6，（2+3+4+5+6+7+8+9+10+6）÷2=30。 题目第 35 页 共 200 页例 3. 把 6、8、10、12、14、16、18 七个数填在图三的圆中，使每排三个数及 外圆上三个数的和都是 32。分析 本题中已经给出了每行三个数之和 32，中间三条直线的和为 32×3=96。在相 加的过程中，中间的数被用了三次，其他数字均被使用了一次，所以中间数可 以利用三排直线的和与 7 个数字和之差进行计算。 6+8+10+12+14+16+18=12×7=84，由于中间数在计算三排直线的和时被使用了 三次，所以要减去重复的 2 次。计算出中间数，（96-84）2=6，中间数应该填 6，剩下的 6 个数分为和相等的 3 组：8、18；10、16；12、14。 另已知条件中还要求外圆上的和是 32，因此，8、10、14 三个数应该填在外圈 上。 解答 等间隔问题第 36 页 共 200 页解决等间隔问题， 关键在于找到其中的一个不变量作为下手点。有时候我们也 可以通过图示法来加以解决。 题目 例 1. 某人沿着电车线路走，每 12 分钟有一辆电车从后面追上，而每 4 分钟有 一辆电车迎面开来。假设每两辆电车的发车间隔是相同的，求发车间隔 时间。 解答 假设电车速度为 x，而人的速度是 1。这样两辆电车之间的路程差为 4（1+x） =12（x-1），x=2，且路程差为 12。我们可以发现，间隔时间就是 122=6（分 钟）。 题目 例 2.某人从 A 地走到 B 地，需要 40 分钟，而 AB 两地之间有公共汽车经过。 公共汽车 10 分钟可以开完这段路程，每 5 分钟发车一次。当此人从 A 地出发 时，刚好有一辆车回到 A 地，问此人在从 A 地走到 B 地的过程中，迎面一共 遇上多少辆公共汽车？ 解答 此题可以用和例 1 相同的方法来解决，通过假设总路程为 40，可以分别得到 人和车的速度为 1 和 4，以及两辆车的间隔为 20，不难发现此人每 20（4+1） =4（分钟）遇到一辆车，所以 404+1=11（辆）车。 这里介绍一种新的解法，叫做图示法。第 37 页 共 200 页通过数交点，可以很快得到相遇的次数。 模拟练习题 将 1 到 9 这九个数分别填入右图的 9 个圆中， 使三角形每条边上四个数的和等 于 19，且有一个顶点的数字为 1。答案
巧算乘除法 题目 例 1. 计算：125×25×32 解答 原式=125×25×8×4=（125×8）×（25×4）=100000 题目第 38 页 共 200 页例 2. 计算 7÷5 解答 原式=（75÷5）×（）=15×8=120 题目 例 3. 计算
解答 原式=1475×（1000-1）=5=1473525 题目 例 4. 计算：解答题目 例 5. 计算：908 解答第 39 页 共 200 页这道题目如果直接去计算的话，运算量太大了。我们利用分配率，设而不求， 可以建华解题的过程。 原式=（）×（）-09-1-000 模拟练习题 1. 把 1 至 8 的 8 个数字填入右图中，使每边 3 个数的和等于 13。2. 把 5、6、7、8、9、10 这六个数填入右图三角形三条边的○内，使得每条 边上的三个数的和是 21。答案 1.2.第 40 页 共 200 页
题目 例 1. 如图 1，A、B、C 分别代表面积为 9,8,11 的三个圆，A、B、C 三圆所构 成的图形面积是 18，A 与 B，B 与 C,C 与 A 公共部分面积分别为 5、3、 4。求 A、B、C 三圆公共部分的面积。解答 我们先用 x 表示 ABC 三圆公共部分的面积。这一图形面积可以按下述方法计 算：1 先“包容”：把ABC 的面积相加，即 9+8+11=28。2 再“排斥”：由于每两圆相交部分的面积都重复计算了一次，因此要排除掉，即 28-5-3-4=16。3再“包容”：这样一来，又多排除掉一块三圆公共部分的面积 x，因此还要 补回来，即：16+x=18，所以 x=2。所以这三个圆的公共部分面积为 2。 题目第 41 页 共 200 页例 2. 如图 2 所示，A、B、C 分别是面积为 12、28、16 的三张不同形状的纸 片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为 38。若 A 与 B，B 与 C 的公 共部分的面积分别为 8、7、A、B、C 这三张纸片的公共部分面积为 3。 求 A 与 C 公共部分的面积是多少？解答 设 A 与 C 公共部分的面积为 x，由容斥原理可得：1先“包容”：把图形 ABC 的面积相加：12+28+16，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了 1 次，因此要排除掉。2再“排斥”：12+28+16-8-7-x，这样一来，三个图形的公共部分面积被全部减掉，因此还要再补回。3 再“包容”：12+28+16-8-7-x+3，这就是三张纸片覆盖的面积。根据上面的分析得 12+28+16-8-7-x+3=38，解得 x=6。 模拟练习题 1.11113=（ ）2. 在 222=8,333=27,444=64,555=125 ， 666=216 ， ? ? 这 些 算 式 中 ， 8,27,64,125,216，?? 叫做完全立方数。那么，不超过 2009 的最大的完全平 方数是（ 答案 1.第 42 页 共 200 页）。2..7第十届“中环杯”中小学生思维能力训练活动决赛阶段的动手动脑内容很有特色，参赛的 小选手需要先动手、后动脑，充分发挥空间想象力才能解决问题。一、题目要求 三、四年级题目 图一中编号 1~4 的立体图形，分别是由 3 个或 4 个棱长为 1 的小正方体组成的，请你按照 图二中的折叠方法，制作出这 4 个几何体，并将它们拼成如图三的立体图形。每个几何体第 43 页 共 200 页必须且只能用一次，可翻转拼搭。请在图三上用粗线条画出你的拼法，并标上每个几何体 的编号。二、题目分析 这一类型的动手动脑题首先测试的是小朋友的试图能例与动手能力，因此你一定要学会读 懂材料提供给你的图示，比如：虚线、实线表示什么？应该如何折叠，何处粘贴？动手制 作几何体同样重要，它是解题的第一步，也是最关键的一步。只有顺利制作出几何体，才 可能按题目要求拼搭出模型。 拼搭立体模型需要小朋友有较强的空间思维能力。小朋友们在选取几何体拼搭时，应该先 分析题目要求拼搭的立体模型的特征。在本题中，图三是一个由 15 个 1×1×1 小方块组成 的立体模型，图四是一个由 19 个 1×1×1 小方块组成的立体模型。 然后在分析各块几何体的形状特点。以 4 号为例，不管你怎么放置拼搭它都要涉及上下二 层，因此小朋友们要记住：一定要把它放在立体模型（图三、图四）的一端角上，接着再 找出与它可以拼搭成一组的几何体。之后，我们就可以比较轻松第按题目要求完成拼搭了。 如果小朋友是用做好的几何体拼搭模型的，那么，拼搭完成后写编号的步骤就会变得很简 答，不容易发生差错。 三、答案 填空题：亮亮骑着自行车，以每分钟 400 米的速度，从 46 路汽车的始发站出发，沿 46 路车的线路前进。当他骑出 1400 米时，一辆 46 路车从始发站开出，已知这辆 车每分钟行 600 米， 每 4 分钟到达一站并停车 1 分钟。 那么汽车开出 （ 分钟后能追上亮亮。 答案：13。第 44 页 共 200 页）分析： 第一个 4 分钟， 汽车开了 600×4=2400 （米） ， 此时和亮亮相距
×4- （米） 。 由于停车 1 分钟， 和亮亮距离增大到 600+400=1000 （米） 。 1000÷（600-400）=5（分钟），即第二次停车前还无法追上。这个 5 分钟后， 汽车离亮亮的距离还有
× 5-600 × 4=600 （米），所以还要 600 （600-400）=3（分钟）才能追上。所以一共要用 5+5+3=13（分钟）。 动手动脑题 1. 一块长方形铁皮，长 130 厘米，宽 90 厘米。现在要把这块铁皮制成一个深 为 10 厘米的无盖长方体铁盒（焊接处与铁皮厚度忽略不计），求这个长方 体铁盒的容积最大是多少立方厘米？并请你画出铁皮的分割方法，标上数 据。 答案：最大容积为 90×90×10=81000（立方厘米）。分割方法如图。2. 一个小孩在沙滩上把 16 个贝壳分成 8 个、3 个、5 个共三堆，按照下面的 规则进行移动；取其中的任意两堆贝壳，记为 1 号堆和 2 号堆，且 1 号堆 的贝壳不少于 2 号堆， 然后从 1 号堆拿取与 2 号堆相同数量的贝壳， 放入 2 号堆。经若干次这样的移动，使所有的贝壳成为一堆。以下是一种移动方 法：（8,3,5）――&（8,6,2）――&（8,4,4）――&（8,8,0）――&（16,0,0）， 共移动了 4 次。现在把这 16 个贝壳分成 9 个、5 个、2 个共三堆，那么按 照上面的规则，最少移动多少次，就能使所有的贝壳成为一堆？请写出移 动过程。第 45 页 共 200 页答案：最少移动 4 次：（9,2,5）――&（4,2,10）――&（4,4,8）――&（0,8,8） ――&（0,0,16）。
容斥原理 题目 例：在一个自助果园里，只摘山莓的人数是只摘李子人数的两倍；摘了草莓、 山莓和例子的人数比只摘李子的人数多 3 人； 只摘草莓的人数比摘了山 莓和草莓但没有摘李子的人数多 4 人；50 个人没有摘草莓；11 个人摘 了山莓和李子但没有摘草莓；总共有 60 人摘了李子。如果参与采摘水 果的总人数是 100 人，请回答下列问题： （1） 有多少人摘了山莓？ （2） 有多少人同时摘了三种水果？ （3） 有多少人只摘了山莓？ （4） 有多少人摘了李子和草莓，而没有摘山莓？ （5） 有多少人只摘了草莓？ 分析 我们分别用 3 个圆表示摘山莓、草莓、李子的人数，根据题意，应把题目中不 同的对象与图中不同的区域的对应关系搞清楚。如图所示：第 46 页 共 200 页1. 只摘山莓的人数是只摘李子的人数的两倍，说明 A=2C； 2. 摘了草莓、山莓和例子的人数比只摘李子的人数多 3 个，说明 G-C=3； 3. 只摘草莓的人数比摘了山莓和草莓但没有摘李子的人数多 4 人，说明 B-E=4； 4. 50 个人没有摘草莓，说明 A+D+C=50; 5. 11 个人摘了山莓和李子但没有摘草莓，说明 D=11; 6. 总共有 60 人摘了李子，且参与摘水果的总人数是 100，说明 C+D+F+G=60 及 A+B+E=40。用代入法可求得 A=26,B=9,C=13,D=11,E=5,F=20,G=16。 解答 （1） 有 A+D+E+G=26+11+5+16=58（人）摘了山莓。 （2） 有 16 人同时摘了三种水果。 （3） 有 26 人只摘了山莓。 （4） 有 20 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓。 （5） 有 9 人只摘了草莓。 模拟练习题 已知 2009 年 12 月 20 日是星期日， 上海世界博览会将在 2010 年 5 月 1 日召开， 那天是星期（ 答案 这是余数与周期问题。 因为 2009 年 12 月 20 日再过 11+31+28+31+30+1=132（天）是 2010 年 5 月 1 日，132÷7=18??6，所以 2010 年 5 月 1 日是星期六。
几何图形计算第 47 页 共 200 页）。题目 例 1. 如图一所示，甲、乙、丙、丁四个长方形围成一个正方形 EFGH。已知 甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是 32cm2，四边形 ABCD 的面积是 20cm2。1 求正方形 EFGH 的面积；2 求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的 总和。解答 观察图一可知阴影部分的面积和为 32÷2=16（cm2） 进一步可以得到中间小正方形的面积为 20-16=4（cm2） 这样，正方形 EFGH 的面积就等于 32+4=36（cm2），同时正方形 EFGH 的 边长就等于 6cm。 为了求甲乙丙丁四个长方形周长的总和，我们来观察图二。 从图二中可以看出， 甲乙丙丁四个长方形周长的总和= （a+b+c+d+e+f+g+h） ×2=正方形周长的 2 倍=64÷2=48（cm）。题目第 48 页 共 200 页例 2. 用四个相同的长方形围拼成一个面积为 100 cm2 的大正方形 （图三） ， 每个长方形的周长是多少厘米？解答 如图四，设长方形的宽为 a，长为 b。 大正方形面积为 100cm2.，而 100=10×10。那么，大正方形边长为 10cm，即 a+b=10。长方形周长为 2×（a+b）=2×10=20（cm）。 几何图形计算 题目 例 1. 如图一所示，长方形 ABCD 的周长为 16 米，在它的每条边上各画一个 以该边为边长的正方形。 已知这四个正方形的面积之和是 68 平方米， 求 长方形 ABCD 的面积。分析第 49 页 共 200 页在解决几何图形计算问题的过程中， 首先要学会充分挖掘已知条件所蕴涵的几 何含义，然后再通过观察图形，找出已知条件与图形的对应关系，根据图形结 果特征挖掘出新的条件。 解答 我们可在原图的左下角补上一个长方形（图二）。因为长方形 ABCD 的周长是 16 米，所以长方形长与宽的和为 16÷2=8（米）， 即正方形 EGID 的边长为 8 米。 从已知条件出发可知，正方形 EFBA 和正方形 BHIC 的面积之和为 68÷2=34 （平方米）。 于是，便可求出长方形 ABCD 的面积为（8×8-68÷2）÷2=15（平方米）。 题目 例 2. 如图三，在平行四边形 ABCD 中，BC 长 10 厘米，直角三角形 ECB 的 边 EC 长 8 厘米，已知阴影部分的总面积比三角形 EFG 的面积大 10 平 方厘米，求平行四边形 ABCD 的面积。分析 根据条件，我们能挖掘出一下关系： S?ABF+S?GDC-S?EFG=10第 50 页 共 200 页（S?ABF+S?GDC+SFGBC）-（S?EFG+SFBCG）=10 即 S□ABCD-S?EBC=10。 解答 ? EBC 的面积为 10×8÷2=40（平方厘米） 所以，平行四边形 ABCD 的面积=40+10=50（平方厘米）。 模拟练习题 A、B、C、D 四个班级中的任何一个班级的人数都不超过 50 人，已知四个班 的平均人数为 46 人。但各班之间的人数差却不同，如 A 班与 B 班之间的人数 差为 4 人，B 班与 C 班之间的人数差为 3 人，C 班与 D 班之间的人数差为 2 人。 人数最多的班级是 A 班。 那么， A、 B、 C、 D 各班的人数分别是 （ （ 答案 48、44、47、45．
题目 例 1. 一辆货车从甲城开往乙城，每小时行 60 千米，12 小时到达乙城。又顺 原路返回甲城， 返回时每小时行 40 千米。 求这辆货车往返一次的平均速 度。 分析 平均速度=行驶的总路程÷行驶的总时间 解答 甲、乙之间的距离：60×12=720（千米） 货车返回甲城所用的时间：720÷40=18（小时）第 51 页 共 200 页） 、）、（）和（）人。货车往返一次的平均速度：720×2÷（12+18）=48（千米/小时） 题目 例 2. 四年级甲乙两班共有 100 位同学，甲班比乙班多 4 人。一次语文测验， 两个班全体同学的平均分为 82 分， 甲班比乙班的平均分高 5 分， 请问两 个班的平均分各是多少？ 分析 首先计算出甲、乙两班的人数以及两班的语文总得分。假设甲班每人去掉 5 分，那么乙班和甲班的平均分就一样了，这部分分数在总分中减去后，剩下的 分数就相当于 100 人的乙班的总成绩。 解答 甲乙两班语文总分：82×100=8200（分） 甲班的人数：（100+4）÷2=52（人） 乙班的平均分：（）÷100=79.4（分） 甲班的平均分：79.4+5=84.4（分） 题目 例 3. 王红同学其中考试语文 84 分，外语 90 分，常识 80 分，体育 76 分，音 乐 86 分，美术 82 分。数学成绩比七科平均成绩高 12 分，求数学成绩和 七科的平均成绩各是多少？ 分析 先计算出前 6 门课的平均分， 数学成绩比 7 门课平均分高出的部分平均分给前 六门课的话，就是 7 门课的平均分。 解答 6 门课的平均分：（84+90+80+76+86+82）÷6=83（分）第 52 页 共 200 页7 门课的平均分：83+12÷6=85（分） 数学的分数：85+12=97（分） 模拟练习题 实验室里有重量分别为 5 克，10 克，20 克的砝码共 19 个，三种砝码的重量共 是 250 克。现将 5 克砝码的个数与 20 克的砝码个数互换；结果三种砝码的总 重量减少到 190 克。 问原来三种砝码的个数各是 （ 个。 答案 4；7；8
统筹规划 题目 例 1. 如果 4 个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，那么现在有 15 个矿泉水瓶， 不交钱的话，最多可以喝矿泉水多少瓶？ 分析 15 除以 4 得 3 余 3，于是第一轮可以换 3 瓶矿泉水。喝掉这 3 瓶矿泉水还有 3 个空瓶，总共 6 个空瓶，于是再用其中的 4 个空瓶换 1 瓶水，这样剩下 3 个空 瓶，没法再换了。这样我们似乎可以得出结论，总共换 4 瓶水。但如果这个时 候我们借一瓶矿泉水，喝掉这瓶矿泉水后，加上前面剩下的 3 个瓶子刚好凑够 4 个，于是可以换回一瓶矿泉水再还回去。这样总共能换 5 瓶矿泉水。 解答 4 个矿泉水瓶=1 瓶矿泉水=1 瓶矿泉水瓶里面的水+1 个矿泉水瓶 即 3 个矿泉水瓶=1 瓶矿泉水瓶里面的水第 53 页 共 200 页） 、 （） 、 （）于是，15 个矿泉水瓶可以换 5 瓶矿泉水。 例 2. 8 个 1 元真币和 1 个 1 元假币混在一起，假币与真币外观相同，但比真 币略重。问一台天平最少称几次就一定可以从这 9 个硬币中找到假币？ 解答 将 9 个硬币摆在一起，如果将它们分为 3 个一组，那么一共 3 组，从其中选出 两组放在天平上，如果左边重，那么假币就在左边的一组；如果右边重，那么 假币就在右边的一组；如果两边一样重，那么假币就在剩下的一组中。将确定 有假币的一组中的 3 个硬币中的两个放上天平，同理可确定出假币。于是总共 只需要称两次。 例 3. 在一条公路上，每隔 100 公里有一个仓库，共有 5 个仓库。1 号仓库存 有 10 吨货物，2 号仓库存有 20 吨货物，5 号仓库存有 40 吨货物，其余 两个仓库是空的。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每 吨货物运输 1 公里需要 0.5 元运输费，则至少需要多少运费？ 分析 在一条线上标明这 5 个仓库， 我们先考虑 1 号仓库的货物都转移到 2 号仓库运 费更低。这样我们就得到 2 号仓库 30 吨和 5 号仓库 40 吨。显然，把 2 号仓库 的货物运到 3 号仓库费用更低。于是， 问题又转换为 3 号仓库和 5 号仓库中的 货物集中起来。同样的，在对问题进行考虑后，我们可以得出把 3 号仓库的货 物运到 4 号更划算。最后比较 4 号和 5 号，得到把所有的货物都运到 5 号仓库 最省钱的结论。 解答 10×0.5×100+（10+20）×0.5×100×3=5000（元） 第 54 页 共 200 页枚举问题 题目 例 1. 将 1 分、2 分、5 分和角的硬币投入 19 个盒子中，使每个盒子里都有硬 币，且任意两个盒子里的硬币的钱数都不相同，那么至少需要投入多少 枚硬币？这时，所有的盒子里的硬币的总钱数至少是多少？ 分析 首先要审清题意， 本题是在保证投入硬币数最少的前提下，去求这些硬币总钱 数的最小值，因此本题的切入点是硬币数。 解答 为了方便，我们将 1 分、2 分、5 分和 1 角分别记做 1、2、5、10。为了使硬 币数最少，那么 1、2、5、10 各放一个盒子，不妨认为就是前 4 个盒子，从而 钱数为 1、2、5、10 的盒子内分别只有一个硬币。这样，如果还有一个盒子内 只有一个硬币，那么必然与前四个盒子中某一个盒子的钱数相同。于是，我们 考 虑 一 个 盒 子 内 有 两 个 硬 币 的 情 况 。1+1=2,1+2=3,1+5=6,1+10=11,2+2=4,2+5=7,2+10=12,5+5=10,5+10=15,10+10=20 。这说明有两个硬币的盒子可能的钱数为 2、3、4、6、7、10、11、12、15、 20，为了不与前 4 个盒子里的钱数相同，1+1，5+5 必须舍去，所以有两个硬 币的盒子共有 8 个。剩下的 7 个盒子中的硬币数显然要≥3，并且这 7 个盒子 的 钱 数 不 能 为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 10 、 11 、 12 、 15 、 20 。 注 意 到 8=1+2+5,9=2+2+5,13=1+2+10,14=2+2+10,16=1+5+10,17=2+5+10 ，这样的话已 经有钱数不与前 12 个盒子相同的 6 个盒子的硬币数为 3，且钱数也是最小的。 但 18、19 都不能由 1、2、5、10 中的任意 3 个组合得到，在确保硬币数最少第 55 页 共 200 页且钱数不能重复的前提下，我们只能取 21=1+10+10 作为第 19 个盒子的放法， 当然 22=2+10+10 也是一种放法，但这样总钱数就不是最小的了。 综上， 至少投入的硬币数是 1×4+2×8+3×7=41， 这时总钱数至少是 1+2+?? +17+20+21=194,1 元 9 角 4 分。 例 2. 有 6 个人都是 4 月 11 日出生，并且都属猴，某一年他们岁数的连乘积 为 ，这一年他们岁数之和是多少岁？ 分析 6 个人的生肖相同说明他们要么岁数相同，要么岁数差是 12 的倍数。 解答 ×72×132×17，质因子数共 8 个。若这 6 个人中没有人是 1 岁的， 那么由抽屉原理， 至少有 4 个人的岁数就是 8 个质因子中的 4 个，而满足要么 岁数相同，那么岁数差是 12 的倍数的 4 个质因子只有 5、5、5、17，因此剩 下的两个人的岁数的乘积肯定是 72×132，但无论是 7、49、91，甚至是 169， 与 5 的差都不是 12 的倍数，因此这 6 个人中必有人是 1 岁的。那么与 1 的差 是 12 的倍数且不超过 100 的数有 13、25、37、49、61、73、85、97。去掉那 些不能被 5、 7、 13、 17 整除的数后， 剩下 13、 25、 49、 85。 注意到 25=5×5,49=7 ×7,85=5×17，因此这 6 个人的岁数分别是 85、49、25、13、13、1，岁数和 是 186 岁。
牛吃草问题 题目 牧场上有一片青草，每天匀速生长。这片青草可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天。请问这片草可供 25 头牛吃多少天？第 56 页 共 200 页分析 由题意可知，牧场上“原有的草量”是一定的，每头牛每天的是草量也是一定 的， 但是 “新生的草” 的总量却是在变化着的， 并且随着吃的时间的长短， “新 生的草”的总量也就增多或减少。因为每天青草生长的速度相同，也就是说每 天“新生的草”的数量是一定的，所以“新生的草”总量的变化只与天数变化 有关，而与其他的因素没有直接的关系。 显然，要求这片青草可供 25 头牛吃几天，就必须知道牧场“原有的草量”和 每天“新生的草”的数量，这时解题的关键所在。题目中没有直接告诉我们。 因此，我们可以先假设每头牛每天的吃草量为 1。这样可以求出 10 头牛 20 天 一共吃掉的青草总量是 10×20=200。 在这 200 份中，既包括了牧场“原有的草量”，也包括了在这 20 天中“新生 的草量”。同样地，我们也可以求出 15 头牛 10 天吃掉的青草总量是 15× 10=150。在这 150 个单位的青草中，既包括了牧场“原有的草量”，也包括了 这 10 天中“新生的草量”。因为牧场上原有的青草量是一定的，并且青草每 天生长的速度相同，所以 200 份与 150 份的差是由于长草的天数不同产生的。 因此，我们就可以求出每天青草的生长量为（200-150）÷（20-10）=5。 解答 第 1 步，求出牧场上每天新生的草量： （10×20-15×10）÷（20-10）=5 第 2 步，求出牧场上原有的草量： 200-5×20=100 或 150-5×10=100 第 3 步，求吃完所有青草所需的时间： 100÷（25-5）=5（天）第 57 页 共 200 页模拟练习题 在一张冬景照片上，人们分别带着帽子，系着围巾和戴着手套。只戴帽子的人 数与只系围巾和只戴手套的人数和相等；只有 4 人没有戴帽子；戴着帽子和系 着围巾，但没有带手套的有 5 人；只戴帽子的人数两倍于只系围巾者；未戴手 套者 8 人，未系围巾者 7 人；三样东西都用上的人比只戴帽子的人多 1 个。那 么，请回答以下问题： （1） 有（ （2） 有（ （3） 有（ （4） 有（ （5） 有（ 答案 （1）3；（2）1；（3）1；（4）4；（5）10。
牛吃草问题 题目 例 1.甲、乙、丙三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面一位骑自行 车的人，这三辆车分别用 3 小时、5 小时、6 小时追上骑自行车的人。现知道 甲车每小时行 24 千米，乙车每小时行 20 千米，你能知道丙车每小时行多少钱 千米吗？ 分析 ）人同时用上了帽子、围巾和手套。 ）人只戴了手套。 ）人只系了围巾。 ）人既戴了帽子，又戴了手套，但没有系围巾。 ）人戴着手套。第 58 页 共 200 页从图中的类比我们可以发现： 出发时三辆车与人的距离就相当于 “原有草量” ， 而骑车人的速度就相当于“新草的生长速度”。明确了这一点，我们就不难把 它转化成标准的“牛吃草”问题来解决了。 解答 第 1 步，求骑车人的速度：（20×5-24×3）÷（5-3）=14（千米）。 第 2 步，求三车出发前，车与骑车人的距离：24×3-14×3=30（千米） 第 3 步，求丙车的速度：（30+14×6）÷6=19（千米） 题目 例 3. 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。若 同时开 4 个检票口，从开始检票到等候检票的队伍消失，需 30 分钟。同 时开 5 个检票口，需 20 分钟。如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分 钟？第 59 页 共 200 页分析解答 设 1 个检票口 1 分钟检票的旅客人数为“1”。 第 1 步，求每分钟新来旅客：（4×30-5×20）÷（30-20）=2（人）。 第 2 步，求检票前开始排队的人数：4×30-2×30=60（人）。 第 3 步，求同时打开 7 个检票口检完票所需时间：60÷（7-2）=12（分钟）。 所以，同时打开 7 个检票口 12 分钟后就无人排队了。第 60 页 共 200 页“中环杯”四年级选拔赛活动内容 一、填空题： 1． （1+2+3+4+??+99+100）―（2+4+6+8+??+96+98）=（ ） ）次后结果才2．从 1000 里减去 100，加上 50，再减去 100，再加上 50??这样算下去，要运算（ 是 0。 3．下图中一共有（ 2cm ）条线段，按图上所示的长度数据，这些线段的总长度是（ 2cm 3cm）cm。4．小军比小亮早出生几天，但他俩的生日都在 6 月份，而且都生于星期四，如果两人的生日日期的和 是 34，那么小军的生日是 6 月（ ）日。 5．有 9 位同学在两张乒乓台上打乒乓，一张是单打，一张是双打，他们从上午 11∶30 玩至下午 1∶00， 平均每人打了（ ）分钟。 6．有一根不锈钢钢条长 20 米，小明先锯下两头共 2 米从长的损坏部分，然后把剩下的不锈钢钢条锯成 一样长的几段。他又锯了 5 次，则余下的每段不锈钢条长（ ）米。 7．在 100 米赛跑中，小明到达终点时领先小刚 10 米，这时小王正好跑了 81 米，如果小刚和小王的速 度不变，当小刚到达终点时，小王距终点还有（ ）米。 8．有个小国家，其中有一半人总是说谎，有一半人总是说真话。一天这个国家的一群人来到一个酒店， 围坐在一张圆桌旁。说谎话的人和说真话的人相隔坐（一个说谎话的人旁边是一个说真话的人） 。这时， 其中有一个人对服务员说： “我们每人要 1 杯水，给 13 杯吧。 ”这人是说（ ） 。 （填“谎话”或“真 话” ） 9． M 有 9 张圆形纸片放在桌上（如左图） ，其中有 1 张写 1，2 张写 2， 写 3 和 4 的纸片各有 3 张。规定写有相同数字的纸片不能放在相邻处， 共有（ ）中不同的方法。第 61 页 共 200 页10．五个小朋友围坐在一个大圆桌旁，按顺时针方向一次编为 1、2、3、4、5 号。老师给 1、2、3、4、 5 号小朋友分别发了 1、2、3、4、5 只苹果。从 5 号开始，依次按顺时针方向看，若邻座的苹果比自己 少，则送给对方一个；若邻座的苹果不比自己少就不送。照此下去，到第三圈为止，1、2、3、4、5 号 小朋友手中依次各有（ ） 、 （ ） 、 （ ） 、 （ ） 、 （ ）个苹果。 二、动手动脑题 1．如下图，□、?、○分别代表三个不同的数字，若要使下面的加法算式成立，□=（ ○=（ ） □+□+?+○=16 □+○+?+?=13 ?+○+○+□=11） ，?=（） ，2．下图的两个直观图，从不同的角度反映了同一个立体，该立体可以由 A、B、C、D 四块积木中取出 三块搭成。则它是由（ ）三块积木搭成的（从 A-D 选填三个字母） 。ABCD3．下面是一个正方体的表面展开图。把它再折回成正方体，以下 4 个描述中，哪些情况是正确的？把 正确描述的编号填在括号中。正确的描述有（ ） ① 点 H 与点 C 重合 R S ② 点 D 与点 M、点 R 重合 M N P Q ③ 点 B 与点 Q 重合 A ④ 点 A 与点 S 重合 D E F G H A B C4．现有长 1、2、3、4??8、9 厘米的小木棍各一根，想一想，从中选出若干根，可以围成不同边长的 的正方形共（ ）种，请在下表中写出不同正方形的边长与 a、b、c、d 各边小木棍的不同组成情况。 （如表格不够，请你自己添加格子） d a cb 边长 a b第 62 页 共 200 页cd第一种5．下图是一个八级阶梯的图形，每一级的长和宽都是 1cm。请你按尺寸在发给你的彩纸上画出这一图 形，再将它剪成 3 块，拼成一个正方形。并请你写出拼成的正方形边长是多少？“中环杯”四年级决活动内容 一、填空题 1．200×199－199×198＋198×197－197×196＋??＋2×1=（ 2．x、y 为两个不同的数，规定 x*y=2x+y，已知 x*（2*4）=14，x=（ ） ）3．A、B、C、D 四个数两两配对，可以配成六对，这六队的平均数分别是 12、13、15、17、19、20。 那么原来这四个数的和是（ ） 。 4．2008 年的 5 月 1 日是星期四，小红说： “再过 100 天就是我的生日。 ”小红的生日是星期（ ）5．甲数各位数字之和是 9，乙数各位数字之和是 10，当甲数作为被减数，乙数作为减数，用竖式做减 法运算时，有两次借位。那么甲、乙两数之差的各位数字之和是（ ） 。 6．希望小学四年级有 50 名学生，有 26 人参加乒乓比赛，21 人参加篮球比赛，两项比赛都不参加的有 17 人。两项比赛都参加的有（ ） 。 7．已知两个正方形的边长和为 25 厘米，大正方形的面积比小正方形的面积大 125 平方厘米，那么大正 方形的面积是（ ）平方厘米。 8．甲乙两车同时从 A、B 两站出发，相向而行。两车第一次相遇时，甲车行了 150 千米。两车分别到 达 B 站和 A 站后，立即掉头原速返回。当两车第二次相遇时，甲车距离 A 站 90 千米。A、B 两站的距 离是（ ）千米。第 63 页 共 200 页9．有一种木偶玩具，其中有一个红色按钮、一个黄色按钮和若干个能做能站的小木偶，按一下红色按 钮，就会有一个站着的小木偶坐下。按一下黄色按钮，就使站着的小木偶数量增加一倍。如果要使站着 的小木偶从 3 个增加到 18 个，最少要按（ ）次按钮，依次按的按钮颜色次序分别是（ ） 。 10．有一些小朋友排成一排，从左面第一个人开始，每隔 2 人发 1 个苹果，每隔 3 人发一个桔子，结果 有 4 个小朋友苹果和桔子都拿到了，这些小朋友，至少有（ ）人。最多有（ ）人。 二、动手动脑题 1．如图，在一块长 24 米，宽 16 米的绿地上，有一条宽 2 米的小路。请你列式计算出这条小路的面积。 2 单位：米1624 2、有 7 张纸片，正面分别写着 1、2、3、4、5、6、7，反面分别写着 A、B、C、D、E、F、G。现将它 们按下图所示正面朝上摆在桌子上，请根据下列条件，写出每张纸片反面的字母。 （1）A 与 E 有重叠部分 （2）B 与 D、E、F、G 有重叠部分 3 （3）C 与 E、G 有重叠部分 4 （4）D 与 B 有重叠部分 2 （5）E 与 A、B、C 有重叠部分1576正面数字 反面字母 黑点为顶点的正方形共有 14 个，要使这个图中任意四点都不能组成正方形，至少要拿走（ 点，请你在下右图中的相应位置画出留下的黑点。 1 2 3 4 5 6 7 3、下左 图 中 以 ）个黑4．一张长 14 厘米、宽 11 厘米的长方形纸片，做多能裁出多少条长 4 厘米、宽 1 厘米的纸条？怎样裁？ 请在下面的长方形中画出裁剪示意图。第 64 页 共 200 页5．按提供给你的图纸（下左图）分别从红色卡纸上剪下 8 块拼板，从绿卡纸上剪下 6 块拼板，共 14 块 拼板。从中任意选取若干块，可拼成一个三角形，如下右图，请你另外再找 3 种拼三角形的方法，并画 出示意图。 （选取拼板的颜色、数量、正反面不限，举例的不能再用。若两种方法通过翻转可互相得到， 就视为一种。 ） 红色 绿色“中环杯”四年级模拟题（一） 一、填空题 1．把
与一个一位数相乘（1 除外） ，积由 1-9 这 9 个数字组成，且没有重复，这个一位数可 以是（ ） a b 30 80 2．如果规定 c d =b×c－a×d，那么 53 =（ ） 75 3．在 1，6，11，16，??这个数列中，第 2008 项数是（ ） ）4．爸爸上楼的速度是小明的 2 倍。小明从一楼走到四楼要 6 分钟，那么爸爸从一楼走到六楼要（ 分钟。5．小丁到文具店去买东西。她带的钱可以买 6 支铅笔和 11 本簿子，或者可以买 8 支铅笔和 7 本簿子。 如果小丁把这些钱全部用来买簿子，可以买到（ ）本簿子。第 65 页 共 200 页6．李大爷每天 7:00 准时晨练，出门先走一段长 21 米的平地，然后上山。上山路长 60 米，到达山顶后， 沿原路返回。已知李大爷在平地每分钟走 7 米，上山速度为每分钟 5 米，下山速度为每分钟 10 米，在 李大爷回到家时，应该是（ ） 。 （填时刻） 7．全班共有 48 人，老师出了 2 道题目，没做出第一题的有 8 人，没做出第二题的有 14 人，两题都做 不出的有 6 人。则只做出第一题的有（ ） ，只做出第二题的有（ ） 。 8．下图中共有（ ）个角∠130。 。∠4120。∠260。150∠39．下图为一条长方形的跑道，甲从 A 点出发，已从 C 点出发，都按顺时针方向奔跑，甲每秒跑 5 米， 乙每秒跑 4.5 米，当甲第一次追上乙时，甲跑了（ ）圈。10610．工厂原计划用 24 人做一批零件，按计划工作 5 天后，因为调走了 6 人，于是剩下的工人每人每天 比原定工作量多做一个零件才能如期完成任务。原计划每人每天做（ ）个零件。 二、动手动脑题 1．左图是一个边长为 5cm 的正方形，中间挖去一个 边长为 1cm 的小正方形（见阴影部分） ， 请你将它分成相等的两部分，并拼成一个长方形。2．边长为 1 厘米的正方形，如图这样层层重叠放置，当重叠到第 4 层时，这个立体图形的表面积是多 少？第 66 页 共 200 页3．一个八位数，个位数字为 9，千万位数字为 8，相邻三位的数字和为 20，请问这个数的十万位数字是 几？ 8 94．如下图，要在下面空格中填入适当的数，使每行每列及对角线的 3 个数字之和都相等。求问号处应 填入的数。 8 ？ 11 125．按图制作纸模型也是思维训练动手做的一个方面。这里给你正视图、俯视图、右视图、你能按图纸 与图纸上的尺寸，制作出纸模型吗？30 10 30 10 直径10右视图 正视图3010俯视图“中环杯”四年级模拟题（二） 一、填空题 1．若自然数 n 的各位数码之和为 2008，则 n 的最小值是（ ） 。2．有一个人在草坪上散步，从 A 点出发，面向正东走 3 米，向左转 120 度，然后在向前走 3 米，在向 左转 120 度??，照这样走，这个人走了 2008 米后，离出发点的距离是（ ）米。 3．有 4 个数：a，b6，c98，d553，它们的平均