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微分方程与差分方程
第九章 微分方程与差分方程范例1 解2 2 2例2解析求微分方程 ( xy + x) dx + ( y ? x y ) = 0 的通解. 以 (1 + y )(1 ? x )( x ≠ ±1) 除方程两端，分离变量，得xdx ? ydy = 2 1? x 1+ y2两端积分，得方程的通解 ? 即( x ≠ ±1).ln(1 ? x 2 ) ln(1 + y 2 ) ln | c | =? + . 2 2 2ln |1+ y2 |= ln | c |, 故 y 2 + 1 = c(1 ? x 2 ) 为所求的通解. 1 ? x2易验证 x = ±1 为原方程的解，但不包含在上述通解之中，因此方程的全部解为y 2 + 1 = c(1 + x 2 ) 及 x = ±1 .注意 例2 解 在分离变量时要求 Q ( x) ≠ 0, M ( y ) ≠ 0, 因此可能会丢失原方程的某些解. 求微分方程 sec x tan ydx + sec y tan xdy = 0 的通解.2 2将原方程变形为 sec y tan xdy = ? sec x tan ydx 分离变量，得2 2sec 2 y sec 2 x dy = ? dx. tan y tan x两边积分，得sec 2 y sec 2 x dy = ? ∫ tan y ∫ tan x dx,∫ tan y d tan y = ? ∫ tan x d tan x,π4下的特解.11ln(tan y ) = ? ln(tan x) + ln C , 故通解为 tan x tan y = C.例3 解 求微方程 cos ydx + (1 + e ) sin ydy 在 y (0) =?x ?x原方程变形为 (1 + e ) sin ydy = ? cos ydx, 分离变量，得sin y 1 dy = ? dx, cos y 1 + e? x两边积分，得sin y d (e x + 1) ∫ cos y dy = ?∫ e x + 1 ,? ln | cos y |= ? ln(e x + 1) + ln C ,398故通解为ex + 1 π = C. 由 y (0) = , 得 C = 2 2, 从而特解为 4 cos y(e x + 1) sec y = 2 2.例4 解 试求一微分方程， 使其通解为 ( x ? C1 ) + ( y ? C2 ) = 1, 其中 C1 , C2 为任意常数.2对所给隐式通解关于 x 求导，得2( x ? C1 ) + 2( y ? C2 ) y′ = 0. 2 + 2( y′) 2 + 2( y ? C2 ) y′′ = 0, 由此有 1 + ( y′) 2 y ? C2 ) = y′′ y′[1 + ( y′) 2 ] ? = x C 将 (2) 代入 (1) ，得 1 y′′关于 x 再求导，得(1)(2)(3)将 (2) ， (3) 代入原隐式通解中消去任意常数 C1 , C2 , 即得所求微分方程( y′′) 2 = [1 + ( y′) 2 ]3 .注意 已知通解，求其所满足的微分方程，是通常的求给定微分方程的通解的递向 过程，只要对所给通解求若干次导数，以消去所有任意常数即可. 例5dy = y. dx dy dy 1 解 若 y & 0, 则原方程为 = y , 分离变量得 =dx 积分得通解为 y= ( x +C ) 2 , dx 4 y求解微分方程使分母y = 0 的 y = 0 显然也是原方程的解. dy dz 1 若 y&0, 则原方程为 = ? y , 令 z= ? y, 则方程化为 = ? dx, 积分得 z= (C?x 2 ), dx 4 z 1 2 故原方程的通解为 y = ? (C ? x ). 4注意 例6 解 当微分方程中含有段函数时，应逐段分别求解相应的微分方程. 求微分方程dy y ? x 2 ? y 2 的通解. = dx x当 x & 0 时，原方程可化为x 2 (1 + y 2 / x 2 ) y dy y y = ? = ? 1 + ( )2 . dx x x x x dy du = u + x . 于是有 故所给方程为齐次微分方程.令 y = ux, 则 dx dx399u+x其通解为du dx du = u ? 1+ u2 , 即 =? , 2 dx x 1+ u C . xln(u + 1 + u 2 ) = ? ln x + C , 即 u + 1 + u 2 =代回原变量，得通解为 y +x 2 + y 2 = C ( x & 0)当 x & 0 时，原方程的通解与 x & 0 时相同. 例7 解下列微分方程2(1) y′ ? 2 xy =解(2) y′ +1 y = x2 y 4 . x2(1) 这是一阶线性非齐次微分方程， p ( x) = ?2 x, q ( x) = e x cos x, 由通解公式 y = e∫2 xdx( ∫ e x cos xe ∫2 2?2 xdxdx + C )= e x ( ∫ e x cos x ? e? x dx + C )2 2= e x ( ∫ cos xdx + C ) = e x (sin x + C ).2 21 = x 2 , 注意到 ( y ?3 )′ = ?3 y ?4 y′, x 1 ?3 ?3 2 将上方程两端乘 (?3), 得 ( y )′ + (?3) y = ?3 x ( y ≠ 0). x ?3 令 z = y , 则上方程可化为关于 z 的一阶线性方程 dz 1 ? 3 z = ?3 x 2 . dx x (2) 将方程改写为 y ?4 y′ + y ?3由通解公式z=e∫ x dx3( ∫ ?3 x 2 e?∫ x dx3dx + C1 )= x 3 ( ∫ ?3 x 2 ?1 dx + C1 ) = x3 (?3ln x ? ln C 3 ) 3 x1 ( y ≠ 0) 与 y = 0. 3ln( xc)= ?3x3 ln(Cx).将 z = y 代入得原方程通解为 y = 例8 解 求微分方程 y′ =?3?x3y 的通解. y?xdx 1 + x = 1. dy y如果将 x 看作 y 的函数，原方程可化为这是一阶线性方程，其中 p ( y ) =1 , q ( y ) = 1, 由通解公式，得 y400x=e例9 解 量,得?∫ y dy11 ? dy 1 1 ( ∫ e ∫ y + C ) = ( y 2 + C ). y 2求解 xy′′ + y′ = 0, y |x =1 = 1, y′ |x =1 = 2. 所给方程不含未知函数 y, 令 y′ = p, 则 y′′ = p′, 原方程化为 xp′ + p = 0, 分离变dp 1 = ? dx, 两边积分得 ln| p |+ln| x |=ln | C1|, 即 px = ±C1. 由 y′ |x =1 = 2, 得 C1 = 2, 所 p x 2 2 以 p = , 即 y′ = , 于是 x x 2 y = ∫ dx = 2 ln | x | +C2 , 由 y |x =1 = 1, 得 C2 = 1, x故所求特解为 例 10 解y = 2 ln | x | +1.dp , 代入原方程，得 dy求解 y ′′ = 3 y , y |x = 0 = 1, y′ |x =0 = 2.所给方程不显含 x ，令 y′ = p, 则 y′′ = pp分离变量，得 pdp = 3 ydy, 两边积分，得dp = 3 y, dyp 2 = 4 y 3/ 2 , 即p2 = 2 y 3/ 2 + C1. 由 x = 0 时， y = 1, y′(0) = p(1) = 2, 得 C1 = 0, 于是 2 dy p= = ±2 y 3/ 4 . 再由初始条件 p(1) = 2, 得 p = 2 y 3/ 4 , ( p = ?2 y 3/ 4 dx y ?3/ 4 dy = 2dx不满足条件 p(1) = 2). 分离变量，得 两边积分，得4 y1/ 4 = 2 x + C2 . x 24由 x = 0 时 y = 1, 得 C2 = 4, 于是所求的特解为 y = (1 + ) . 例 11(1) 设连续函数 f ( x) 满足关系式 f ( x) =∫( B) e 2 x ln 2; f ′( x) = 2 f ( x), (C ) e x + ln 2; f (0) = ln 2.2x01 f ( t )dt + ln 2, 则 f ( x) 等于 2 ( D) e 2 x + ln 2..( A) e x ln 2;解(1) 对所给的关系式两边求导，得一阶可分离微分方程2x由此求得它的解为 y = eln 2, 故选 ( B).401例12设二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′ + py′ + qy = re 的一个特解为 y = ex2x+ (1 + x)e x . 试确定该微分方程，并求该方程的通解.解 将特解 y = e2x+ (1 + x)e x 代入原非齐次微分方程得(4 + 2 p + q )e 2 x + (3 + 2 p + q )e x + (1 + p + q) xe x = re x .比较系数，得方程组?2 p + q = ?4, ? p = ?3; ? ? ?2 p + q ? r = ?3, ? ?q = 2; ? p + q = ?1, ?r = ?1. ? ?于是原微分方程为y′′ ? 3 y′ + 2 y = ?e x . y = C1e x + C2 e 2 x .它对应的齐次方程的特征根为 λ1 = 1, λ2 = 2, 其通解为 设非齐次方程的特解为 y = Axe , 代入非齐次方程，得 A = 1. 故该微分方程的通解x?为 例13 解y = C1e x + C 2 e 2 x + xe x .求微分方程 y′′ ? 3 y′ + 2 y = 4 x + e2x+ 10e? x cos x 的通解.2它相应的齐次方程 y′′?3 y′+2 y=0 的特征方程为 r ? 3r + 2 = 0, 特征根 λ1 = 1,*λ2 = 2, 则此齐次方程的通解为 y = C1e x + C2 e2 x .因 α = 0 不是特征根，故设非齐次方程 y′′ ? 3 y′ + 2 y = 4 x 有特解 y1 = Ax +B ，把它 代入该非齐次方程得 A = 2, B = 3, 则其特解 y1 = 2 x + 3. 因 α = 2 是单特征根，故设非齐*次方程 y′′ ? 3 y′ + 2 y = e 有特解， y2 = Axe , 把它代入该非齐次方程得 A = 1 ，则其特2x*2x故设非齐次方程 y′′ ? 3 y′ + 2 y = 10e C3 x 有特 解为 y2 = xe . 因 α = ?1 + i 不是特征根，* 2x ?x解 y3 = e ( A cos x + B sin x), 把 它 代 入 该 非 齐 次 方 程 得 A = 1, B = ?1, 则 其 特 解*?x* y3 = e x (cos x ? sin x) .根据解的叠加性质与通解结构定理得原非齐次方程的通解为y = C1e x + C2 e 2 x + (2 x + 3) + xe2 x + e ? x (cos x ? sin x).例 14 解 求解 y′′ + 2 y′ + 2 y = e ( x cos x + 3sin x).?x 2它对应的齐次方程 y′′ + 2 y′ + 2 y = 0 的特征方程为 λ + 2λ + 2 = 0, 有特征根λ = ?1 ± i, 则齐次方程的通解为 y = e? x (C1 cos x + C2 sin x).因 ?1 + i 是单特征根，故设原非齐次方程的特解为y* = xe ? x [( A0 x + A1 ) cos x + ( B0 x + B1 ) sin x].402把它代入原非齐次方程得4 B0 x cos x + 2(A0 +B1 ) cos x ? 4 A0 x sin x + 2( B0 ? A1 ) sin x = x cos x + 3sin x, 5 1 比较系数得 A0 = 0, A1 = ? , B0 = , B1 = 0, 则原非齐次方程有特解 4 4 5 1 * y = xe ? x (? cos x + x sin x). 4 4根据通解结构定理得原非齐次方程的通解为1 x( x sin x ? 5cos x)]. 4 π π 例 15 求解初值问题 y′′ + 4 y = 3 | sin x |, y ( ) = 0, y′( ) = 1, ?π ≤ x ≤ π . 2 2 解 题给微分方程的齐次方程为 y′′ + 4 y = 0, 它的特征根 λ = ±2i, 故此齐次方程的 y = e ? x [C1 cos x + C2 sin x +通解为 y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x. 当 0 ≤ x ≤ π 时，所考虑的非齐次方程为 y′′+4 y=3sin x. 它有特解 y1 =Asin x + Bcosx,*把它代入上式得 A = 1, B = 0. 于是它的通解为 y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x + sin x. 由初始条 件得 C1= 1, C2 = ?1 1 , 则在 0 ≤ x ≤ π 上的特解为 y = cos 2 x ? sin 2 x + sin x. 由该特解得 2 2*y (0) = 1, y′(0) = 0. 把它作为在 ?π ≤ x ≤ 0 上非齐次方程 y′′ + 4 y = ?3sin x 的初始条件，该非齐次方程有特解 y2 =Asin x + Bcosx, 把它代入上式得 A=1, B=0. 于是在 ?π ≤ x ≤ 0 上 它有通解 y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x ? sin x. 由 y (0) = 1, y′(0) = 0. 得 C1 = 1, C2 = ? . 则 在 ?π ≤ x ≤ 0 上特解为 y = cos 2 x +1 21 sin x ? sin x. 于是原方程的特解为 21 ? cos 2 x + sin 2 x ? sin x, ? π ≤ x ≤ 0; ? ? 2 y=? 1 ?cos 2 x ? sin 2 x + sin x, 0 ≤ x ≤ π . ? 2 ?例 16 解 把 设 f ( x ) = x sin x ?∫x0( x ? t ) f (t )dt , 其中 f ( x) 连续，求 f ( x).因为 f ( x) 连续，所以方程的右端是可微的，因而左端的函数 f ( x) 也可微.∫x0( x ? t ) f (t )dt 改写成 x ∫ f (t )dt ? ∫ tf (t )dt 后,两端对 x 求导,则得0 0xxf ′( x) = x co x + sin x ? ∫ f (t )dt.0x同理,方程右端仍可微,所以 f ( x) 存在二阶导数,故有403f ′′( x) = ? x sin x + 2 cos x ? f ( x),即 f ( x) 满足微分方程 y′′ + y = ? x sin x + 2 cos x. 由于此方程的特征根为 ±i, 所以其特解应具形式 y ( x)=x( Ax +B ) cos x + x(Cx + D)*sin x. 代入方程,求出系数 A, B, C , D, 则得其特解为 y* ( x) =的通解为 y = f ( x) =1 2 3 x cos x + x sin x + C1 cos x + C2 sin x. 4 4 注意到 f (0) = 0, f ′(0) = 0. 由 f (0) = 0 ? C1 = 0, 而由 f ′(0) = 0 ? C2 = 0, 所以 1 3 f ( x) = x 2 cos x + x sin x. 4 4例 171 2 3 x cos x + x sin x, 故方程 4 4设 f ( x) 是以 ω 为周期的连续函数,证明:线性方程 y′ + ky = f ( x) 存在惟一的以 ω 为周期的特解,并求此特解,其中 k 为常数. 分析 本题是求该方程的满足某种要求的特解.为此,我们先求通解,然后用确定常数 C 的办法来得到具有周期性的那个特解. 证 由于此线性方程的通解可表示为 y ( x ) = e? kx[C + ∫ f (t )e kt dt ], 而为了使其以0xω 为周期,就应该满足恒等式y ( x + ω ) = e ? kx ? kω [C + ∫即 因为x +ω 0f (t )e kt dt ] = y ( x),C + ∫ f (t )e kt dt = e ? kω [C + ∫0xx +ω0 x +ωf (t )e kt dt ]. f (t )e kt dt ]C + ∫ f (t )e kt dt = e ? kω [C + ∫0 t = s +ωx0e ? kω [C + ∫0 ?ωx?ωf ( s + ω )e ks + kω ds ]x= Ce ? kω + ∫所以若令f ( s )e ks ds + ∫ f ( s )e ks ds.0C=0 1 f ( s )e ks ds ? kω ∫?ω 1? e ω 1 = kω f (t )e kt dt , ∫ 0 e ?1s = t ?ωe ? kω 1 ? e ? kω∫ω0f (t )e kt dt则此特解就是以 ω 为周期的函数,由于这样的常数只有一个,所以周期解也只有一个. 例 18 求下列一阶线性差分方程的解404(1)2 yn +1 + 10 yn ? 5n = 0; (3) yn +1 ? yn = 2n ? 1, y0 = 3.1 (2)3 yn +1 ? 2 yn = (? ) n + 3n 2 ; 45 5 n. 从而 a= ?5, f (n)= n, 对应的齐次方程的通解 2 2 5 5 n * , A1= , 为 yn =C (?5) . 非齐次方程的特解应具有形式 yn =A0 + A1n. 代入原方程,得 A0 =? 72 12 5 1 (n ? ) + C (?5) n (C 为任意常数). 于是原方程的通解为 yn = 12 6 2 (2)所给方程对应的齐次方程的特征方程为 3λ ? 2 = 0, 特征根为 λ = , 故其通解为 3 2 yn = C ( ) n (C 为任意常数）. 3解 (1)方程可化为 yn +1+ 5 yn = 由叠加原理,原方程可拆成两个方程,即1 3 yn +1 ? 2 yn = (? ) n 与 3 yn +1 ? 2 yn = 3n 2 , 4 1 4 * n * 2 分 别 令其 特解 为 yn = A(? ) 与 yn = Bn + Cn + D, 代 入方 程 , 则 得 A = ? , B = 3, 4 11C = ?18, D = 45. 从而原方程的通解为 4 1 2 yn = ? (? ) n + 3n 2 ? 18n + 45 + C ( ) n . 11 4 3 (3)原方程对应的齐次方程的特征方程为 λ ? 1 = 0, 特征根为 λ = 1, 故其通解为y = C ?1n = C (C 为任意常数),由于 yn +1 ? yn = 2n 的特解为 2n , 而 yn +1 ? yn = ?1 的特解为 ? n, 因此,由叠加原理知,原方程的通解为 yn = 2 ? n + C. 由 y0 = 3, 得 C = 2, 故其特n解为 yn = 2 ? n + 2.n例 19 解求 yn + 2 ? 4 yn +1 + 4 yn = 3 ? 2 的通解.n 2由特征方程 r ? 4r + 4 = 0, 得特征根 r1 = r2 = 2, 所以相应的齐次方程的通解为yn = (C1 + C2 n) ? 2n.又 ? ( n) = 3 ? 2 , a = 2 是特征方程的重根.故非齐次方程的特解形式为 yn = A0 n ? 2 .n * 2 n? 4 A0 (n + 1) 2 ? 2n +1 + 4 A0 n 2 ? 2n = 3 ? 2n. 3 3 2 n n 比较系数,得 A0 = , 故原方程的通解为 yn = (C1 + C2 n) ? 2 + n ? 2 . 8 8代入原方程,得 A0 (n + 2) ? 22n+2例 20设 P ( x, y ) 为连续两点 A(0,1) 与 B (1, 0) 的凸孤 AB 上的任意点(如图),已知3凸孤与弦 AP 包围的平面图形的面积为 x ,求凸孤 AB 的方程.405解 设凸孤的方程为 y= f (x), 其中函数 f ( x) 在区间[0,1]上连续.由于梯形 OAPC 的面积为x (1 + f ( x)), 所以 2x x x3 = ∫ f (t )dt ? (1 + f ( x)). 0 2两边对 x 求导,则得 y = f ( x) 所满足的微分方程为xy′ ? y = ?6 x 2 ? 1,其通解为 y = e∫ x dx [C ? (6 x + 1 )e ∫ x dx dx] = Cx ? 6 x 2 + 1. ∫ x11对任意常数 C , 总有 y (0) = 1, 即此曲线族均通过点 A(0,1). 又根据题设,此曲线过点(1,0),即 y (1) = 0, 由此即得 C = 5, 即所求曲线为 1y = 5 x ? 6 x 2 + 1.例 21 在某池塘内养鱼,该池塘最多能养鱼 1000 尾,设时刻 t 池塘中的鱼数 y 是时间t 的函数,即 y = y (t ), 其变化率与鱼数 y 及 100- y 成正比,已知在池塘内放养 100 尾鱼,3个月后池塘内有鱼 250 尾,求 y (t ). 解 根据题设 y (t ) 所满足的方程为dy = ky (1000 ? y ), dt其中 k & 0 为比例常数.这是一个变量可分离的方程,其通解为y (t )
kt = Ce1000 kt , 即 y (t ) = . 1000 ? y (t ) 1 + Ce1000 kt例 22 设某养鱼池一开始有某种鱼 At 条,鱼的平均净繁殖率为 R ,每年捕捞 x 条,要使 n年后鱼池仍有鱼可捞,应满足什么条件? 解 设第 t 年鱼池中有鱼 At 条,则池内鱼数按年的变化规律为At +1 = At (1 + R) ? x, 即 At +1 ? (1 + R ) At = ? x.% = C (1 + R) . 由于 这是一阶非齐次常系数线性差分方程,其相应的齐次方程的通解为 A tt齐次方程的特征根为 1+R≠1, 所以可设非齐次差分方程的特解为 At = A, 把它代入非齐次差*分方程得 A?(1+R ) A= ? x, 即 A= . 因此原非齐次差分方程的通解为 At =C (1 +R ) +tx R初始条件 t = 0 时鱼的条数为 A0 , 得 C = A0 ?x . 故有 Rx .由 R406x x At = ( A0 ? )(1 + R)t + . R R要使 n 年后鱼池仍有鱼可捞,应满足 A & 0, 即x x )(1 + R) n + & 0. R R dp dp 例 23 设某商品的供给函数 S (t )=60 + p + 4 , 需求函数 D(t )=100 ? p + 3 , 其 dt dt ( A0 ?中 p (t ) 表示时间 t 的价格,且 p (0) = 8, 试求均衡价格关于时间的函数,并说明实际意义.dp dp , 需求函数 D(t ) = 100 ? p + 3 , 市场均衡价格时 dt dt dp dp dp S (t ) = D(t ), 即 60 + p + 4 = 100 ? p + 3 , = 40 ? 2 p, dt dt dt dp 分离变量,得 = 2dt , 20 ? p解 因为 S (t ) = 60 + p + 4 两边积分,得∫ 20 ? p = = 2∫ dt ,ln(20 ? p ) = ?2t + ln c = ln e ?2t + ln c = ln(ce ?2t ), 20 ? p = ce ?2t , p = 20 ? ce ?2t .dp将 p (0)=8 代入,得 8=20 ? c×e ,?c = 12, 因此均衡价格关于时间的函数是 p (t )=20 ? 12e0?2 t.在此题中, lim p (t ) = 20, 这意味着这个市场对于该商品的价格稳定,可以认为随着t →+∞时间的推移,此商品价格逐渐趋向于 20.407自2 2y 3测ax题1.求微分方程 x e dy = ( x + 1) dx 在 y (1) = 0 下的特解. 2.试确定函数 u = u ( x), 使 y = u ( x)e 为微分方程3.求方程 xdy = y (ln y ? ln x) 的通解. dx2y′′ ? 2ay′ + a 2 y = (1 + x + x 2 + L + x100 )eax 的一个解.4.求微分方程 (sin y + x cot y ) y′ = 1 的通解. 5.求解微分方程 y′′ = 2 yy′, y |x = 0 = 1, y′ |x = 0 = 2. 6.求微分方程 y′′( x) ? ay ( x) = 0 的通解,其中 a 为常数. 7.求 y′′ ? 2 y′ + y = 5 xe 满足初始条件 y (0) = 1, y′(0) = 2 的特解.x8.求微分方程 y′′ + y = sec x 的通解. 9.求差分方程 yn +1 ? yn = n 2 的通解.n10.某房屋总价 8 万元,先付一半就可入住,另一半由银行以年利率 4.8%贷款,五年付 清,问平均每月需付多少元?共付利息多少元?自测题参考答案x3 + 1 dx, x2 1 1 2y 1 2 1 2y 两边积分,得 ∫ e dy = ∫ ( x + 2 ) dx, 即 e = x ? + C. 2 2 x x 1 2y 1 2 1 2 2y 2 由 y (1) = 0, 得 C = 1. 故特解为 e = x ? + 1, 即 e = x ? + 2. 2 2 x x解1 分离变更,得 e dy =2y解2y′ = [u′( x) + au ( x)]e ax , y′′ = [u′′( x) + 2au′( x) + a 2u ( x)]eax .2 100把它们代入原方程,得 u ′′( x) = 1 + x + x + L + x 积分两次,得 u ( x) =2 3 102.x x x + +L + + C1 x + C2 . 1? 2 2 ? 3 101?102 dy y y 解 3 原方程可化为 = ln . dx x x dy du du 令 y = ux, 则 = u + x , 代入上方程,得 u + x = u ln u, dx dx dx408分离变量,得1 1 du = dx, u (ln u ? 1) x 1 1 du = ∫ dx 两边积分,得 ∫ u (ln u ? 1) x d (ln u ? 1) 1 ∫ ln u ? 1 = ∫ x dx ln(ln u ? 1) = ln x + ln C = ln(Cx) ln u ? 1 = Cx, ln u = Cx + 1, y y y Cx +1 Cx +1 ,故通解为 y = xe . 将 u = 代入,得 ln = Cx + 1, = e x x x dx 解 4 原方程可化为 ? cot y ? x = sin 2 y. dy2这是一阶线性方程， P ( y ) = ? cot y, q ( y ) = sin y,x = e∫cot tdy( ∫ sin 2 ye ∫? cot ydydy + C )= eln sin y ( ∫ sin 2 ye ? ln sin y dy + C ) = sin y ( ∫ sin ydy + C ) = sin y ( ? cos y + C ).解5 所给方程不显含 x ，令 y′ = p, 则 y′′ = pdp , 代入原方程，得 dy dp dp = 2 y. p = 2 yp, 即 dy dy分离变量，得 两边积分，得dp = 2 ydy, p = y 2 + C1 , 由 x = 0 时， y = 1, y′(0) = p(1) = 2, 得 C1 = 1, 于是 p = y 2 + 1, 即 y′ = y 2 + 1. arctan y = x + C2 .两边积分，得由 x = 0 时 y = 1, 得 C2 = 解6π4, 故通解为 arctan y = x +π, 即 y = tan( x + ). 4 42 axπ这是常系数线性方程齐次微分方程，它的特征方程为 r ? a = 0.当 a & 0 时，特征根 r = ± a , 原方程的通解为 y = C1e+ C2 e ?ax.当 a & 0 时，特征根 r = ± ? ai, 原方程的通解为 y = C1 cos ? ax + C2 sin ? ax. 当 a = 0 时，特征根 r = 0 是二重根，原方程的通解为 y = C1 + C2 x. 注意 对微分方程中的参数，应分各种情形加以讨论.409解7特征方程为 λ + 2λ + 1 = (λ ? 1) = 0, 特征根 λ1 = λ2 = 1, 此时可设非齐次方2 2 ? 2 x程的特解为 y ( x) = x ( Ax + B )e , 代入原方程得 A =y ( x) =5 3 x x e + (C1 + C2 x)e x . 65 , B = 0. 故该方程的通解为 6再利用初始条件，得 C1 = C2 = 1, 于是满足初始条件的特解为5 3 x x e + (1 + x)e x . 6 解 8 它对应的齐次方程 y′′+ y=0 的特征根 λ = ±i, 故其通解为 y=C1sin x +C2 cos x. y ( x) =′( x) sin x + u2 ′ ( x) cos x = 0, ?u1 ? ′( x) cos x ? u2 ′ ( x) sin x = sec x. ?u1令原非齐次微分方程的解为 y = u1 ( x) sin x + u2 ( x) cos x, 则有′ ( x) = 1, u2 ′ ( x) = ? tan x. 积分后取 u1 ( x) = x, u2 ( x) = ln | cos x |, 于是原非齐次方 由此得 u1程有一特解 y ( x) = x sin x + cos x ln | cos x | . 这样，原非齐次方程的通解为?y = C1 sin x + C2 cos x + x sin x + cos x ln | cos x | .解 9 原方程对应的齐次方程的特征方程为 λ?1=0, 特征根为 λ=1, 故其通解为 y=C ?1 =n n ? nC(C 为任意常数）.由于 λ = 1 ≠ b = 2, f ( n) = n 2 , 因此可设特解具有形式 yn = ( B0 + B1n)2 , 代入方程 得 B0 = 2, B1 = 1, 所以原方程的通解为 yn = C + ( n ? 2) ? 2 .n解 10设每月应偿还 x 万元，且贷款 4 万元，月利率是0.048 = 0.004. 12第一步计算第 1 个月应付的利息 y1 = 4 × 0.004. 第二步计算第 2 个月应付的利息.第 1 个月偿还 x 万元后，还需偿还的贷款是 4 ? x+4 × 0.004, 故第 2 个月应付的利息为 y2 = (4 ? x + 4 × 0.004) × 0.004= 4 × 0.004 + 4 × 0.0042 ? 0.004 x = (1 + 0.004)(4 × 0.004) ? 0.004 x = (1 + 0.004) y1 ? 0.004 x = 1.004 y1 ? 0.004 x.类似地，可推导出yn +1 = 1.004 yn ? 0.004 x.r = 1.004.这是一个差分方程，由特征方程 r ? 1.004 = 0, 解得特征根 相应齐次方程的通解是yn = C × 1.004n. 因为410f (n) = ?0.004 x(= ?0.004 x ×1n ), b = 1 ≠ r ,所以非齐次方程特解形式为* yn = A0 .代入方程 yn +1 = 1.004 yn ? 0.004 x, 比较系数，得A0 = 1.004 A0 ? 0.004 x,所以非齐次方程特解 原方程通解为* yn = x.A0 =0.004 x = x, 0.004yn = C ×1.004n + x. 4 × 1.004 = C ×1.004 + x, C = 4 × 0.004 ? x 1.004将 y1 = 4 × 1.004 代入,得所以,满足初始条件的特解为yn =4 × 0.004 ? x ×1.004n + x 1.004= 4 × 0.004 × 1.004n ?1 + x ? 1.004n ?1 x.5 年的利息之和为I = y1 + y2 + L + y60= 4 × 0.004 × (1 + 1.004 + 1.0042 + L + 1.00459 ) + 60 x ? x(1 + 1.004 + 1.0042 + L + 1.00459 ) = 4 × 0.004 × 1.00460 ? 1 1.00460 ? 1 + 60 x ? x × 1.004 ? 1 1.004 ? 1 60 1.004 ? 1 = 4 × 1.00460 ? 4 + 60 x ? x. 0.004 I = 4 ×1.00460 + I ? 1.00460 ? 1 x. 0.004 4 ×1.00460 × 0.004 万元=0.075119 万元=751.19 元. x= 1.00460 ? 1上式中 60 x 是 5 年(60 个月)还款总数,4 是贷款数,故 60 x ? 4 是利息 I ,上式可写成I = 751.19 × 60 ? 40 000 = 5071.40 元.因此,五年付清,平均每月付 751.19 元,共付利息 5071.40 元411
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分类：数学
ln|lny|=lncxlny=cxy=e^(cx)=ce^x
第一个问题：∵f（x）＝（1/2）x^2－alnx,　∴f′（x）＝x－a/x＝（x^2－a）/x.令f′（x）＝（x^2－a）/x＞0,得：x^2－a＞0、x＞0；或x^2－a＜0、x＜0.∴x^2＞a、x＞0；或x^2＜a、x＜0.考虑到函数的定义域,需要x＞0.　∴只有：x^2＞a、x＞0.考查x^2＞a、x＞0,当a≦0时,x＞0.　当a＞0时,x＞√a.∴当a≦0时,函数的增区间是（0,＋∞）、没有减区间.　当a＞0时,函数的增区间是（√a,＋∞）、函数的减区间是（0,√a）.第二个问题：令F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3.求导数,得：F′（x）＝x＋1/x－2x^2、　F″（x）＝1－1/x^2－4x.显然,当x＞1时,F″（x）＝1－1/x^2－4x＜0,∴当x＞1时,F′（x）＝x＋1/x－2x^2 是减函数,而F′（1）＝1＋1－2＝0,∴当x＞1时,F′（x）＜0,　∴当x＞1时,F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3 是减函数,又F（1）＝1/2＋0－（2/3）＝3/6－4/6＝－1/6＜0,∴当x＞1时,F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3 ＜0,∴（1/2）x^2＋lnx＜（2/3）x^3 .
T/445度>T/4T=2π/w但我看不懂谁能解释下">3.已知函数f(x)=2sinwx在区间【-60度,45度】上的最小值为-2,则w的取值范围是?我们老师给的答案是（-无穷,-2】u 【3/2,正无穷）能算对的给个过程好像不对啊我们老师讲的时候给了我们两个式子60度>T/445度>T/4T=2π/w但我看不懂谁能解释下
有最小值-2说明wx=-90,x=-90/w-60≤x≤45推出-60≤-90/w≤45得到目标
f(x)=√3sin(wx+Φ）-cos（wx+Φ）（0＜Φ＜π,w＞0）=2[√3/2sin(wx+Φ）-1/2cos（wx+Φ）]=2sin(wx+Φ-π/6)∵f(x)是偶函数∴f(-x)=f(x)∴Φ-π/6=kπ+π/2,k∈Z∵0＜Φ＜π∴Φ=2π/3∵周期T=π/2∴2π/w=π/2,w=4∴f(x)=2sin(4x+π/2)=2cos4x∴f(π/8)=2cos(π/2)=0
sinA不等于零.所以cosB.cosC都不等于零.由sinA=3cosBcosC,得sinA=-sin(B+C)=-(sinBcosC+sinCcosB)=3cosBcosC两边同除以cosBcosC得-(tanB+tanC)=3..所以tanB+tanC=-3tan(B+C)=(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)=3
只有五个一 集合与简易逻辑集合具有四个性质 广泛性 集合的元素什么都可以确定性 集合中的元素必须是确定的,比如说是好学生就不具有这种性质,因为它的概念是模糊不清的互异性 集合中的元素必须是互不相等的,一个元素不能重复出现无序性 集合中的元素与顺序无关二 函数这是个重点,但是说起来也不好说,要作专题训练,比如说二次函数,指数对数函数等等做这一类型题的时候,要掌握几个函数思想如 构造函数 函数与方程结合 对称思想,换元等等三 数列这也是个比较重要的题型,做体的时候要有整体思想,整体代换,等比等差要分开来,也要注意联系,这样才能做好,注意观察数列的形式判断是什么数列,还要掌握求数列通向公式的几种方法,和求和公式,求和方法,比如裂项相消,错位相减,公式法,分组求和法等等四 三角函数三角函数不是考试题型,只是个应用的知识点,所以只要记熟特殊角的三角函数值和一些重要的定理就行五 平面向量这是个比较抽象的把几何与代数结合起来的重难点,结体的时候要有技巧,主要就是把基本知识掌握到位,注意拓展,另外要多做题,见的题型多,结体的时候就有思路,能够把问题简单化,有利于提高做题效率高一的数学只是入门,只要把基础的掌握了,做题就没什么大问题了,数学就可以上130
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