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理论力学答案完整版(清华大学出版社)3
第三章本章要点：一、力系的平衡方程及其应用 1 平衡方程 空间力系:平衡问题：矢量方法∑Fx= 0,∑Fy= 0,∑Fz= 0,∑mx= 0,∑my= 0,∑mz=0MO ≡ 0′ ≡0 FR′ ×k ≡ 0 FR空间平行力系:′ ?k ≡ 0 FR MO × k ≡ 0平面力系:空间汇交力系:空间力偶系:∑F ∑F ∑Fx y=0 =0 =0z∑m ∑m ∑mx y z=0 =0 =0≡0 ≡0∑F ∑m ∑mz x y=0 =0 =0∑F ∑F ∑mx y z=0 =0 =0∑F ∑F ∑Fz≡0∑m ∑m∑mx y∑my≡0平面汇交力系:x y平面平行力系: 平面力偶系:z=0 =0=0∑F ∑mz x=0 =0解题要领： 1 解平衡问题的三部曲：确定研究对象、画受力图、列平衡方程； 2 通常先以整体为研究对象，再以部分为研究对象； 3 平衡方程的两种形式：投影式和对轴的力矩式，两者都与轴有关，选择合适的坐标轴可 避免解联立方程。 4 做一定数量的习题是掌握平衡问题的关键。 2 静定和静不定问题 未知约束力分量的数目等于独立平衡方程的数目，这类平衡问题称为静定问题； 未知约束力分量的数目大于独立平衡方程的数目， 这类平衡问题称为静不定问题， 两者 之差称为静不定次数。这类问题需要补充与静不定次数相同数量的变形协调方程才能求解。 未知约束力分量的数目小于独立平衡方程的数目，这类平衡问题是不存在的。 解题要领： 判定一个力学系统静定与否， 必需比较全部未知约束力分量的数目与全部独立平衡方程 的数目。 二、考虑摩擦的平衡问题 1 滑动摩擦力1维持物块平衡的摩擦力的值只能在零和 Fmax 之间，即 0 ≤ F ≤ Fmax . 库仑摩擦定律: 最大静滑动摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反,其大小与正压力 成正比,而与接触面积的大小无关, 即 Fmax = f s FN . 2 摩擦角与自锁现象 在临界平衡状态下，全反力与正压力的夹角 ? max 称为摩擦角，与摩擦因数 f s 的关系为tan ? max =Fmax = fs ， FN即摩擦角的正切等于静滑动摩擦因数。 当主动力的合力作用线位于摩擦锥内时， 不论这个力多大， 接触面一定能产生与之大小 相等、 方向相反的全反力与之平衡， 这种依靠摩擦力维持平衡而与主动力大小无关的现象称 为自锁。反之，主动力的合力作用线位于摩擦锥外时，不论这个力多小，物体总不平衡。 1 滚动摩擦 维持滚动体平衡的滚阻力偶 M f 的值只能在零和 M f ,max 之间，即 0 ≤ M f ≤ M f ,max . 最大滚阻力偶 M f ,max 与正压力 FN 成正比，即M f ,max = δFN 。解题要领： 1 滑动摩擦问题，要区分三种状态： ）平衡范围之内，即 0 ≤ F & Fmax ，此时，静滑动摩擦力相当于普通的约束力，力矢 的箭头指向可以任意假定； ）临界平衡状态，即 F = Fmax = f s FN ，此时，静滑动摩擦力矢的箭头指向是确定的， 不能任意假定； ）滑动状态，即 F ' = fFN ，此时，动滑动摩擦力矢的箭头指向是已知的。 2 要区分物体维持平衡时的摩擦力与能够产生的最大静摩擦力，两者不可混淆。 3 有摩擦时的平衡问题往往还伴随物体的翻倒问题，要全面考虑，择其合理解。 4 自锁问题通常利用摩擦角概念和二力平衡条件或三力平衡汇交定理解题，具有几何直观、 概念清楚和便于理解的特点。关键是要确定临界平衡时的摩擦角。 5 滚动摩擦问题的考虑类似于滑动摩擦问题。 三、平面桁架的静力计算 桁架是由许多直杆彼此在端部用焊接、铆接、榫接而成的几何不变结构。平面桁架可分 为简单桁架和复杂桁架。平面简单桁架是静定结构，复杂桁架可以是静定的，也可能是静不 定的。主要有两种解法：节点法和截面法。解题要领：1 将组成桁架的各杆进行编号，内力编号与杆号一致， 内力都假设杆是受拉。计算结果内 力为正，表明原先的假设与实际情况相同，即杆受拉，反之，杆受压。杆实际受拉还是受压 十分重要，不可混淆。 2 确定零杆，即内力为零的杆，以简化计算。 3 计算时，先取整体为对象，求出支座反力。 4 节点法是从只有 2 根杆的节点开始，依次列出各节点的平衡方程，解出各杆内力。节点法 可以解出全部杆的内力。 5 截面法是以一假想的截面截取桁架的一部分为研究对象， 只截杆而不可截节点， 最好选择 截面的未知杆数不超过 2。 6 灵活应用截面法和节点法，可以提高计算效率。2第三章 平衡问题：矢量方法数。习题解答3-1 讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次题 3.1 图解： （1）以 AB 杆为对象，A 为固定端约束，约束力有 3 个。如果 DC 杆是二力杆，则 铰 C 处有 1 个约束力，这 4 个力组成平面一般力系，独立平衡方程有 3 个，所以是 1 次静 不定；如果 DC 杆不是二力杆，则铰 C 和 D 处各有 2 个约束力，系统共有 7 个约束力，AB 杆和 DC 杆上的约束力各组成平面一般力系， 独立平衡方程共有 6 个， 所以， 是 1 次静不定。 （2）AD 梁上，固定铰链 A 处有 2 个约束力，辊轴铰链 B、C 和 D 各有 1 个约束力， 共有 5 个约束力，这 5 个约束力组成平面一般力系，可以列出 3 个独立的平衡方程。所以， AD 梁是 2 次静不定。 （3）曲梁 AB 两端都是固定端约束，各有 3 个共 6 个约束力组成平面一般力系，而独 立的平衡方程只有 3 个。所以是 3 次静不定。 （4） 刚架在 A、 B 和 C 处都是固定端约束， 各有 3 个共 9 个约束力组成平面一般力系， 而独立的平衡方程只有 3 个。所以是 6 次静不定。 （5） 平面桁架在 A 处为固定铰链， B 处为辊轴铰链， 共有 3 约束力组成平面一般力系， 而独立的平衡方程也有 3 个，因此，该平面桁架的外力是静定的。 平面桁架由 21 根杆组成，所以有 21 个未知轴力，加上 3 个支座反力，共有 24 个未知 量。21 根杆由 10 个铰链连接，每个铰链受到平面汇交力系作用。若以铰链为研究对象，可 以列出 2×10=20 个平衡方程。所以，此平面桁架的内力是 24-20=4 次静不定。 （6）整体在 A 处为固定铰链，B 处为辊轴铰链，共有 3 约束力组成平面一般力系，而 独立的平衡方程也有 3 个，因此，该系统的外力是静定的。 除了 3 个约束外力外，3 根杆的轴力也是未知的，共有 6 个未知量。AB 梁可以列出 3 个平衡方程，连接 3 根杆的铰链可以列出 2 个平衡方程，共有 5 个方程，所以，该系统的内 力是 1 次静不定。 3-2 炼钢炉的送料机由跑车 A 与可移动的桥 B 组成，如图示。跑车可沿桥上的轨道运 动，两轮间距离为 2 米，跑车与操作架、手臂 OC 以及料斗相连，料斗每次装载物料重 W=15kN， 平臂长 OC=5m。 设跑车 A、 操作架和所有附件总重量为 P， 作用于操作架的轴线。 试问 P 至少应多大才能使料斗在满载时不致翻倒？3解：以送料机为研究对象，受力图如图 示。满载时不致翻倒的临界状态是 FNE = 0 。列平衡方程：∑ mF = 0 ， P × 1 ? W × 4 = 0 ，解得 P = 4W = 4 × 15 = 60( kN) 所以，当 P & 60kN 时，才能使料斗在 满载时不致翻倒。题 3．2 图3-3 梁 AB 用三根杆支承，如图示。已知 F1 = 30kN ， F2 = 40kN ， M = 30kN ? m ，q = 20kN/m 。试求三杆的约束力。(a) 解：以 AB 以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程o o ∑ Fx = 0 ， FC cos 60 + F1 cos 60 = 0 ， FC = ? F1 = ?30 kN∑ mB = 0, ? FA × 8 ? M ? FC sin 60o × 3 + F1 sin 60o × 8+ F2 × 4 + q × 3 × 1.5 = 0 FA = 63.22 kN . o o ∑ Fy = 0, FA + FC sin 60 + FB ? F1 sin 60 ? F2 ? q × 3 = 0 ,FB = 88.74 kN .题 3-3(a)图,（b）解：以 AB 以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程∑ Fx = 0 ， ∑ mC = 0,FD cos 45o ? FB cos 45o ? F2 cos 30o = 0 ，FD sin 45o × 4 + FB sin 45o × 8 ? M ? F1 × 2? F2 sin 30o × 6 = 0, 解得： FB = 8.42 kN, FD = 57.4 kN ； ∑ Fy = 0,FD sin 45o + FB sin 45o + FC ? F1 ? F2 sin 30o = 0 ， 解得： FC = 3.45 kN 。题 3-3(b)图3-4 试求图示多跨梁的支座反力。已知（ a ） M = 8 kN ? m ， q = 4 kN/m ； （b）M = 40 kN ? m ， q = 10 kN/m 。(a) 解： （1）先取 BC 梁为对象，画受力图，列平衡方程 m = ∑ B 0 ， FC × 4 ? q × 6 × 3 = 0 ，4∑ Fy = 0,FC = 18 kN ； FBy + FC ? q × 6 = 0 ， FBy = 6 kN∑ Fx = 0 ， FBx = 0 kN（2）再取 AB 梁为对象，画受力图，列平衡方程 ∑ Fx = 0 ， FAx + FBx = 0 ，∑ Fy = 0,∑ mA = 0 , mA = 32 kN ? m .FAx = ? FBx = 0 kN FAy ? FBy = 0 ， FAy = 6 kN ; mA ? M ? FBy × 4 = 0 ,题 3-4(a) 图(b) 解： （1）先取 CD 梁为对象，画受力图，列平衡方程:∑ mC = 0 , FD × 4 ? q × 2 × 1 ? M = 0 , FD = 15 kN ; ∑ Fy = 0, ? FCy + FD ? q × 2 = 0 , FCy = ?5 kN ∑ Fx = 0 ， FCx = 0 kN（2）再取 AC 梁为对象，画受力图，列平衡方 程:∑ mB = 0 , ? FAy × 2 ? q × 2 × 1 + FCy × 2 = 0 ,FAy = ?15 kN . ∑ Fy = 0, ∑ Fx = 0 ,题 3-4(b)图FAy + FB ? q × 2 + FCy = 0FB = 40 kN . ? FAx + FCx = 0FAx = 0 kN .3-5 梁的支承及载荷如图示。已知： F = qa ， M = qa 。试求支座的约束力。2（a）解： （1）先取 CD 梁为对象，画受力图，列平衡方程:1 2 ∑ mC = 0 ， FD a ? qa ? M = 0 ， 2 3 FD = qa 。 2 ∑ Fx = 0 ， FCx = 0 。5∑ Fy = 0, FCy + FD ? F ? qa = 0 1 FCy = qa 。 22）再取 AC 梁为对象，画受力图，列平衡方程:1 2 ∑ mB = 0 ， ? FAy a ? FCy a ? qa = 0 ， 2 FAy = ? qa 。 ∑ Fx = 0 ， FAx ? FCx = 0 ， FAx = 0 。 ∑ Fy = 0, FAy + FB ? FCy ? qa = 0 ， FB = 5 qa 。 2题 3-5(a)图（b）解： （1）取 BC 梁为对象，画受力图。因分布载荷呈三角形分布，B 点处的载荷集度 为 q/2。列平衡方程:∑ Fx = 0 ， FBx = 0 ∑ mB = 0 ， 1q (2a )2 ? 1 ? q ? 2a ? 2 2a = 0 ， FC 2a ? 22 2 2 3 5 FC = qa 。 6 3 1 ∑ Fy = 0, ? FBy + FC ? q ? 2a ? = 0 ， 2 2 2 FBy = ? qa 3（2）取 AB 梁为对象，画受力图。列平衡方程: ∑ Fx = 0 ， ? FAx + FBx = 0 ，FAx = FBx = 0 .∑ mA = 0 ， M A + FBy ? 2a ?题 3-5(b)图1q 2 ? 2a ? 2 a = 0 , 22 3M A = 2qa 2 . ∑ Fy = 0, FAy + FBy ? FAy = 1q ? 2a = 0 ， 227 qa . 63-6 图示构架中，重物 W 重 1200 N，由细绳跨过滑轮 E 而水平地系于墙上，尺寸为： AD=BD=2 m，CD=DE=1.5 m。不计滑轮和杆的自重，求支座 A 和 B 处的约束力，以及杆 BC 的内力。6解： （1） 以整体为研究对象， 显然 F T = W 。 列平衡方程： ∑ Fx = 0 ， FAx ? FT = 0 ，题 3-6 图∑ Fy = 0,FAy + FB ? W = 0 ，FAx = FT = W = 1200 N 。 ∑ mA = 0 FB × 4 ? W (2 + r ) ? FT (1.5 ? r ) = 0 FB = 0.875W = 1050 N FAy = 0.125W = 150 N 。， ，（2）以 AB 杆为研究对象。列平衡方程： ∑ mD = 0 ， ? FAy × 2 + FB × 2 + FBA sin ? × 2 = 0 ， 其中 sin ? =1.5 1.5 + 22 2=3 。解得 FBA = ?1500 N 。 53-7 一凳子由杆 AB、BC 和 AD 铰接而成，放在光滑的地面上，凳面上作用有力 F 如 图示。求铰链 E 处的约束力。 解： （1）取整体为研究对象。 m ∑ A = 0 ， FND ? 3a ? Fa = 0 ，1 FND = F ； 3（2）取 AB 杆为研究对象。 ∑ mB = 0 ， FAy ? 3a ? F ? 2a = 0 ，FAy =题 3-7 图2 F 3 ? FAy + FEy + FND = 0 ， 1 FEy = F 。 3 3a 3a FEx + FEy + FND 3a = 0 ， 2 2 FEx = F .（3）取 AD 杆为研究对象。∑ Fy = 0,∑ mA = 0 ，AB 杆受力图AD 杆受力图3-8 图示构架由杆 AB、CD、EF 和滑轮以及绳索组成，H、G 和 E 处为铰链，固结在 杆 EF 上的销钉 K 放在杆 CD 的光滑槽内。已知物块 M 重 P 和水平力 Q，尺寸如图示。若 不计其余构件的自重和摩擦，求固定铰链支座 A 和 C 以及杆 EF 上销钉 K 的约束力。 解： （1）取整体为研究对象， FCy ? 4a + Q ? 6a + P ? 3a = 0 ， ∑ mA = 0 ，FCy = ? ∑ Fy = 0,3 (2Q + P ) ； 4 FAy + FCy ? P = 0 ，7题 3-8 图受力图（1）1 (6Q + 7 P ) ； 4 ∑ Fx = 0, FAx + FCx + Q = 0 。 FAy =（ 2 ）取 EF 杆连同轮为研究对象，显然 FT = P 。∑ mH = 0 ， FNK sin 45o × 2a + P ? 3a ? FT ? a = 0 ， FNK = ? 2 P .（3）取 CD 杆为研究对象， ∑ mG = 0 ，受力图（2）受力图（3）? FCx ? 4a + FCy ? 4a ? FNK ? 2 2a = 0 ，代入上面（1）中第 3 式，解得：FCx = ?1 (6Q ? P ) ； 4FAx =1 (2Q ? P ) 。 43-9 滑轮 B 与折杆 AB 和 BC 用铰链连接，如图示。设滑轮上绳的拉力 P=500 N，不计 各构件的自重，求各构件给销钉的力。 解： （1）取轮（不包括销钉）为对象， ∑ mB = 0 ， FT ? r ? P ? r = 0 ，FT = P ； ∑ Fy = 0, FBy ? FT = 0 ，FBy = FT = P ；∑ Fx = 0, FBx ? P = 0 ， FBx = P ； 轮对销钉的作用力是 FBx , FBy 的反作用力。题 3-9 图 受力图（1）（2）取轮连同销钉为对象，折杆 AB 和 BC 都是二力 杆，列平衡方程： ∑ Fx = 0 ， ? FBA cos? + FBC sin ? ? P = 0 ，∑ Fy = 0 ， ? FBA sin ? ? FBC cos? ? FT = 0 ，受力图（2）8其中， sin ? =7 1 4 3 , cos? = 。解得 FBA = ? P, FBC = P 。 5 5 5 5将数据代入，得：FBx = FBy = 500 N, FBC = 100 N, FBA = ?700 N 。3-10 由杆组成的结构如图示。 A 、 B 、 C 、 E 、 G 均为光滑铰链。已知 F=20 kN, q=10kN/m,M=20 kN-m,a=2 m, 不计自重，求 A 和 G 处的约束力以及杆 BE 和 CE 的内力。 解： （1）取整体为研究对象， ∑ mG = 0 ，题 3-10 图受力图（1）FAx ? a + M ? F ? 2a ? 2qa ? a = 0 ， M FAx = ? + 2(F + qa ) = 70(kN ) a ∑ Fx = 0 ， ? FAx ? FGx + F = 0 ， FGx = ?50(kN ) ； ∑ Fy = 0 ， F Ay+ FGy ? 2qa = 0 。（2）取 GE 杆为研究对象，o ∑ Fx = 0 ， ? FGx + FEC sin 45 = 0 ，FEC = ?50 2 (kN )∑ mE = 0 ， FGy a ? M = 0 ，FGy = 10(kN ) ；将此代入（1）中第 3 式，得FAy = 30(kN ) 。FEB = 40(kN)受力图（2）o ∑ Fy = 0 ， FGy + FEB + FEC cos 45 = 0 ，3-11 构架由杆 AB、AC 和 DF 铰接而成，如图示。在杆 DEF 上作用一力偶矩为 M 的力 偶。不计各杆的重量，求杆 AB 上铰链 A、D 和 B 所受的力。 解： （1）取整体为研究对象，支座反力 FC , FB 必 组成力偶。∑ mC = 0 ， FB ? 2a ? M = 0 ， FB =（2）取 DF 杆为研究对象，M ； 2a M ； a M a∑ mE = 0 ， FDy ? a ? M = 0 ， FDy =（3）取 AB 杆为研究对象，∑ Fy = 0 ， FDy + FAy ? FB = 0 ， FAy =∑ mD = 0 ， FAx a = 0 ， FAx = 0 ∑ Fx = 0 ， FAx + FDx = 0 ， FDx = 0 。题 3-11 图和杆件受力图3-12 构架由杆 AB、AC 和 DF 组成，如图示。杆 DF 上的销子 E 可在杆 AC 的光滑槽内9滑动。在水平杆 DF 的一端作用铅直力 F，不计各杆的重量，求杆 AB 上铰链 A、D 和 B 所 受的力。 解： （1）取整体为研究对象， m ∑ C = 0 ， FBy ? 2a = 0 ，FBy = 0 ；（2）取 DF 杆为研究对象， ∑ mE = 0 ， FDy ? a ? F ? a = 0 ， FDy = F ；o ∑ mD = 0 ， FN sin 45 ? a ? F ? 2a = 0 ，FN = 2 2 F = 0 ；o ∑ Fx = 0 ， ? FDx + FN cos 45 = 0 ， FDx = 2 F ；（3）取 AB 杆为研究对象， ∑ mB = 0 ， ? FDx ? a ? FAx ? 2a = 0 ， FAx = ? F ；题 3-12 图和杆件受力图∑ mD = 0 ， ? FBx ? a + FAx ? a = 0 ， ∑ Fy = 0 ， FBy + FDy + FAy = 0 ，FBx = ? F ；FAy = ? FDy = ? F 。3-13 不计图示结构中各杆的重量，力 F=40kN 。求铰链 A、B 和 C 处所受的力。 解： （1）取 DF 杆为研究对象，o ∑ mF = 0 ， FCD × 4 + FBE sin 45 × 2 = 0 ，4 FCD + 2 FBE = 0 ，（2）取 CA 杆为研究对象， ∑ mA = 0 ，（a）? FCD × 6 ? FBE sin 45o × 2 ? F × 4 = 06 FCD + 2 FBE + 4 F = 0 ，由式（a）和（b）联立解得：题 3-13 图和杆件受力图o（b） ，FCD = ?2 FFBE = 4 2 F ； ∑ Fy = 0 ， FBE cos 45 + FAy = 0 ， FAy = ?4 F 。∑ mB = 0 ， ? FCD × 4 + FAx × 2 ? F × 2 = 0 ， FAx = ?3F代入数据，得： FCD = ?80kN ， FBE = 160 2kN ， FAx = ?120kN ， FAy = ?160kN 。 3-14 在图示构架中，A、C、D 和 E 处均为铰链连接，杆 BD 上的销子 B 置于 AC 杆的 光滑槽内，力 F=200 N ，力偶矩 M=100N-m ，不计结构中各杆的重量，求 A、B 和 C 处所 受的力。 解： （1）取整体为研究对象， ∑ mE = 0 ，? FAy × 1.6 ? M ? F (0.6 ? 0.8 cos 60o ) = 0 ，FAy = ?87.5 N 。（2）取 BD 杆为研究对象， ∑ mD = 0 ，题 3-14 受力图 受力图（1） 10? FNB sin 30o × 0.8 ? M ? F × 0.6 = 0 ， FNB = ?550 N ；（3）取 AC 杆为研究对象，o ∑ mC = 0 ， FAx × 1.6 sin 60? FAy × 1.6 cos 60o + FNB × 0.8 = 0 ，FAx = 267 N ；受力图(2) 受力图（3）o ∑ Fy = 0 ， FAy ? FNB sin 30 ? FCy = 0 ，FCy = 187.5 N ； FCx = 209 N 。o ∑ Fx = 0 ， FAx + FNB cos 30 + FCx = 0 ，3-15 用图示三角架 ABCD 和绞车 E 从矿井中吊起重 G=30kN 的重物， △ABC 为等边三 角形，三角架的三只脚和绳索 DE 均与水平面成 60°角，不计三角架的重量，求当重物被 匀速吊起时各脚所受的力。 解：取滑轮和重物连同杆的一部分为研究对象， 受力图及其在水平面的投影如图示，显然有：FT = GH FDBH FDA = FDA cos 60o ， H o o = FDB cos 60 ， FDC = FDC cos 60 。因三，角架的三只脚和绳索 DE 均与水平面成 60°角， 有∑ Fz = 0 ， (FDB + FDC + FDA + FT )sin 60o + G = 0 ，[F题 3-15 图及其构件的受力图FDB + FDC + FDA = ?2.15G ； ∑ Fx = 0 ， FDC ? (FDC + FDA ) cos 60 = G ； ∑ Fy = 0o（a）DC? FT ? (FDC + FDA )cos 60o cos 60o = 0（b） ， ，](FDC ? FDA )cos 60o sin 60o = 0FDC = FDA ；（c） 由式（a） 、 （b）和（c）解得： FDA = FDB ? 31.55kN, FDC = ?1.55kN .3-16 重物 M 放在光滑的斜面上，用沿斜面的绳 AM 和 BM 拉住。已知物重 W=1000 N, 斜面的倾角 ? = 60 ，绳与铅垂面的夹角分别为 β = 30 和 γ = 60 。如果物体的尺寸忽略o o o不计，求重物对于斜面的压力和两绳的拉力。 解：取重物 M 为研究对象，画受力图，建立 M-xyz 直角坐标系，其中 xy 沿斜面，z 轴与斜面垂直。 ∑ Fz = 0 ， FN ? W cos? = 0 ，FN = W cos ? ； ∑ Fy = 0 ， FA sin β ? FB sin γ = 0 ，题 3-16 图 重物的受力图∑ Fx = 0 ， FA cos β + FB cos γ ? W sin ? = 0 ，11sin γ sin ? sin β sin ? W , FB = W, sin(γ + β ) sin(γ + β ) 将数据代入，得 FA = 750 N ， FB = 433 N ， FN = 500 N 。解得： FA = 3-17 图示一空间桁架， 由六根杆组成。 一力 P=10 kN ， 作用于节点 A， 此力在 ABNDC 铅垂面内，且与铅垂线 CA 成 45°角。△EAK 和△FBM 相等，皆为铅垂等腰直角三角形， 并与 ABNDC 直交，其余见图示。求各杆的内力。 解： （1）取节点 A 为研究对象，o ∑ Fy = 0 ， P sin 45 + F3 = 0 ，2 P； 2 o o ∑ Fx = 0 ， F1 cos 45 ? F2 cos 45 = 0 ， F3 = ?题 3-17 图F1 = F2 ；o o o ∑ Fz = 0 ， F1 cos 45 + F2 cos 45 + P cos 45 = 0 ， 1 F1 = F2 = ? P 。 2（2）取节点 B 为研究对象，o ∑ Fy = 0 ， F6 sin 45 ? F3 = 0 ， o oF6 = P ；节点的受力图F4 cos 45 ? F5 cos 45 = 0 ， F4 = F5 ； ∑ Fx = 0 ， ∑ Fz = 0 ， F4 cos 45o + F5 cos 45o + F6 cos 45o = 0 ， 1 F4 = F5 = ? P 。 2代入数据得：F1 = F2 = ?5 kN ， F3 = ?7.07 kN ， F4 = F5 = ?5 kN ， F6 = 10 kN 。3-18 三脚圆桌的半径 r=50 cm，重为 G=600 N，圆桌的三脚 A、B 和 C 形成一等边三角 形。如在中线 CO 上距圆心为 a 的点 M 处作用一铅垂力 P=1500 N，求使圆桌不致翻倒的最 大距离 a 。 解：取三脚圆桌为研究对象，∑ mAB = 0 FNC ? r + r sin 30o + P a ? r sin 30o() (? Gr sin 30o = 0圆桌不致翻倒的条件： FNC ≥ 0 ，题 3-18 图 圆桌受力图)，，Gr sin 30o ? P a ? r sin 30o ≥ 0 a≤ r (G + P ) 2P = 35 cm 。()，代入数据，得使圆桌不致翻倒的最大距离为 amax123-19 手摇钻由支点 B、 钻头 A 和一个弯曲的手柄组成。 当支点 B 处加压力 Fz 和 Fx , Fy ， 以及手柄上加力 F 后， 即可带动钻头绕轴 AB 转动而钻空。 已知：Fz = 50 N ，F = 150 N ， 求： （1）钻头受到的阻抗力偶矩 M； （2）材料对钻头的约束力 FAx , FAy , FAz 的值； （3）力Fx , Fy 的值。解:取手摇钻为研究对象, 钻头在 A 点受到阻 碍其移动的约束力和阻碍其绕 z 轴转动的约束 力偶作用,受力图如图示. ∑ Fz = 0 , FAz ? Fz = 0 ,题 3-19 图 摇钻受力图FAz = Fz = 50 N ; ∑ mz = 0 , M A ? F × 0.15 = 0 , M A = F × 0.15 = 22.5 N ? ∑ m y = 0 , Fx × 0.4 ? F × 0.2 = 0 ,Fx =∑ Fx = 0 , FAx + Fx ? F = 0 , FAx = ? Fx + F = 75 N . Fy = 0 N . ∑ mx = 0 , Fy × 0.4 = 0 ,F = 75 N . 2∑Fy= 0 , FAy + Fy = 0 ,FAy = 0 N3-20 图示水平轴 AB 作匀速转动，其上装有齿轮 C 及带轮 D，齿轮直径为 240mm。已 知胶带紧边的拉力为 200 N，松边的拉力为 100 N，尺寸如图示。求啮合力 F 及轴承 A 和 B 处的约束力。 解: 取水平轴连同齿轮及带轮为研究对象, ∑ my = 0 ,题 3-20 图水平轴连同齿轮及 带轮受力图F cos 20o × 0.12 ? (200 ? 100) × 0.08 = 0 ， F = 70.9 N ； ∑ mz = 0 ，? F cos 20o × 0.1 ? FBx × 0.35 = 0 ， FBx = ?19 N ；∑ Fx = 0 ，FAx + F cos 20o + FBx = 0 ， FAx = 47.6 N ；o ∑ mx = 0 ， ? F sin 20 × 0.1 + (200 + 100) × 0.25 ? FBz × 0.35 = 0 ， FBz = 207.4 N o ∑ Fz = 0 ， ? F sin 20 + (200 + 100) + FBz + FAz = 0 ， FAz = ?68.4 N 。3-21 一端有绳子拉住的重 100 N 的物体 A 置于重 200 N 的物体 B 上如图示，B 置于水 平面上并作用一水平力 F。若各接触面的静摩擦因数均为 0.35,试求 B 即将向右运动时力 F 的大小。 解：根据题意，设物体系统处于临界平衡状态，此时各接触面间的摩擦力均达到最大值。 （1）取物体 A 为研究对象，o ∑ Fx = 0 ， FmA ? FT cos 30 = 0 ， o ∑ Fy = 0 ， FNA + FT sin 30 ? G A = 0 ，13补充方程： FmA = f s FNA 。 解得：FNA =3 3 fs G A ， FmA = GA 。 fs + 3 fs + 3（2）取物体 B 为研究对象， ∑ Fy = 0 ， FNB ? FNA ? GB = 0 ，FNB = GB +3 GA ； fs + 3FmA + FmB ? F = 0 ，题 3-21 图物体 A 和 B 的受力图∑ Fx = 0 ，补充方程： FmB = f s FNB 。2 3 fs G A + f s GB 。 fs + 3 代入数据得， F = 128.23 N 。解得： F = FmA + FmB = 3-22 重物 A 与 B 用一不计重量的连杆铰接后放置如图示。已知 B 重 1 kN ，A 与水平 面、B 与斜面间的摩擦角均为 15°。不计铰链中的摩擦力，求平衡时 A 的最小重量。 解： 根据题意， 此时物体系统处于临界平 衡状态， 各接触面间的摩擦力均达到最大 值。 （1）取重物 B 为研究对象， ∑ Fx = 0 ，题 3-22 图物体 A 和 B 的受力图? FAB cos15o ? GB sin 45o + FmB = 0 ， ∑ Fy = 0 ，FAB sin 15o ? GB cos 45o + FNB = 0 ，补充方程： FmB = f s FNB ， 解得： FAB = ?o其中 f s = tan ? s .sin 45 ? f s cos 45o GB 。 cos15o + f s sin 15o 代入数据得： FAB = ?0.5 kN 。 ∑ Fx = 0 ， ∑ Fy = 0 ，补充方程：（2）取重物 A 为研究对象，FAB cos 30o + FmA = 0 ， FAB sin 30o ? GA + FNA = 0 ， FmA = f s FNA ，? ? cos 30o ? sin 30o ? ? 。将数据代入，得： GA = 1.37 kN 。 ? ? fs解得： G A = ? FAB ? ?3-23 利用劈尖原理升高重物的装置如图示。设重物重 20 kN ，各接触面间的摩擦角均 为 12°，不计劈尖的重量，计算图示情况升高重物所需的最小水平力 F。14解：当重物有上升趋势时，劈尖 B 有向右运 动趋势。各接触面间的摩擦力都达到最大值。 （1）取重物连同劈尖 A 为研究对象，o o ∑ Fx = 0 ， FRA1 cos12 ? FRA2 sin 18 = 0 ， ∑ Fy = 0 ，? FRA1 sin 12o + FRA 2 cos18o ?G A = 0 ，解得： FRA 2 = 即题 3-23 图 物体 A 和 B 的受力图FRA2cos12o GA ， cos 30o = 22.59 kN 。（2）取劈尖 B 为研究对象，o o ∑ Fy = 0 ，FRB cos12 ? FRA 2 cos18 = 0 ，o o ∑ Fx = 0 ， F ? FRB sin 12 ? FRA2 sin 18 = 0 ，解得：F=sin 30o FRA 2 。 cos12o代入数据，得： F = 11.55 kN 。3-24 起重绞车的制动装置由带动制动块的手柄和制动轮组成。 已知制动轮半径 R=50cm， 鼓轮半径 r=30 cm，制动轮与制动块间的摩擦因数 f s = 0.4 ，被提升的重物重 G=1000 N ， 手柄长 l = 300 cm, a = 60 cm, b = 10 cm ，不计手柄和制动轮的重量，求能够制动所需。 解：当力 F 为最小值时，制动轮有逆时针 转动趋势，触面间的摩擦力达到最大值。 （1）取制动轮为研究对象， ∑ mO = 0 , F m?R ? G ? r = 0 ,r G, R 摩擦定律： F m= f s FN r ∴ FN = G。 Rf s F m=题 3-24 图 制动轮和手柄的受力图(2) 取手柄连同制动块为研究对象，∑ mA = 0，? F m?b + FN ? a ? F ? L = 0 ，代入数据，得： F = 280 N 。F=r (a ? bf s )G LRf s3-25 砖夹的宽度为 250 mm，曲杆 AGB 与 GCED 在 G 点铰接，尺寸如图所示。设砖重 P=120 N，提起砖的力 F 作用在砖夹的中线上，砖夹与砖间的摩擦因数 f s = 0.5 。求距离 d 为多大时才能把砖夹起。 解：当距离 d 取最大值时， 系统处于临界平衡状态， 此时，全反力与正压力之 间的夹角为摩擦角。 （1） 折杆 GCED 为研究对题 3-25 图 受力图（1） 受力图（2） 15象，此折杆为二力构件，其约束力一定沿着 GD 连线。因此，平衡条件为： ? ≤ ? s ，即，tan ? =b ≤ fs ， 250 ? 30 b ≤ 110 mm .(2)取图示折杆 AGB 连同折杆 GCED 为研究对象， 由三力平衡汇交定理知， A 处全反力必与 D 处全反力对称地交于一点。因此，当 D 处不滑动时 A 处必也不滑动。 3-26 图示重 100 N、高 H=20 cm、底面直径 d=10 cm 的正圆锥体放在斜面上。静摩擦因 数 f s = 0.5 ， 质心 C 的位置 h=H/4。 求锥体在斜面上保持静止时作用于圆锥顶点的水平力 FP 的大小。 解：取圆锥体为研究对象。 （1）设力 FP 较小，圆锥体有下滑或逆 时针翻倒趋势。 ∑ Fx = 0 ，F + FP cos ? ? G sin ? = 0 ，题 3-26 图 受力图（1） 受力图（2）F = G sin ? ? FP cos ? ； ∑ Fy = 0 ，FN ? FP sin ? ? G cos ? = 0 ，解得：FN = FP sin ? + G cos ? ； Fm = f s FN 。其中 ? 为斜面倾角。最大静滑动摩擦力 不滑动条件： F ≤ Fm = f s FN 。解得： FP ≥ G tan(? ? ? s ) ，其中 ? s 为摩擦角。∑ mO = 0 ， ? FN b ? FP cos ? × H + G sin ? × h = 0 ， H [sin ? cos(? ? ? s ) ? 4 cos? sin (? ? ? s )] . b= 4 cos ? s d 代入数据，得： b = 1.63 cm && = 5 cm ，所以，圆锥在滑动临界状态时不会翻倒。 FP 的 2 下限要求 FP ≥ 6.0 N 。 （2）设力 FP 较大，圆锥体有上滑或顺时针翻倒趋势。 F = ?G sin ? + FP cos ? ， ∑ Fx = 0 ， ? F + FP cos? ? G sin ? = 0 ， FN = FP sin ? + G cos? ； ∑ Fy = 0 ， FN ? FP sin ? ? G cos ? = 0 ，最大静滑动摩擦力Fm = f s FN 。不滑动条件： F ≤ Fm = f s FN 。解得： FP ≤ G tan(? + ? s ) 。∑ mO = 0 ， FN b ? FP cos ? × H + G sin ? × h = 0 ， H [? sin ? cos(? + ? s ) + 4 cos? sin (? + ? s )] . b= 4 cos ? s d 代入数据，得： b = 14.62 cm && = 5 cm 。因此，在没有达到滑动临界状态时，圆锥已 2 d 4 FP cos? ? G sin ? H d ≤ 经。不翻倒的条件是 b ≤ ，即 b = 2 FP sin ? + G cos? 4 216由此得， FP ≤2d cos? + H sin ? G ，代入数据，得 FP ≤ 46.1 N 。 4 H cos? ? 2d sin ? 综上分析， FP 的取值范围为 6.0 N ≤ FP ≤ 46.1 N 。3-27 攀登电线杆的脚套钩如图示。设电线杆的直径 d=300 mm，A 和 B 之间的的垂直距 离 b=-100 mm。若套钩与电线杆之间的摩擦因数 f s = 0.5 。求工人操作时，为了安全，站在 套钩上的最最小距离 l 应为多大。 解：取套钩为研究对象，在平衡状态下，A 和 B 点处的全反力作用线的交点只可能落在图示阴 影区域内，按三力平衡汇交定理，第三个力的 作用线必须穿过这个阴影区域， 最最小距离 l 是 过 C 点。由几何关系得题 3-27 图套购的受力图? d? ? d? ? l + ? tan ? s + ? l ? ? tan ? s = b ， 2? 2? ? ? b 。 实际设计时， 考虑到安全因素， 解得 l = 2 fs须 l&b ，代入数据，得 l & 100 cm 。 2 fs3-28 不计自重的拉门与上下滑道之间的静摩擦因数为 f s ，门高为 h。若在门上 2 h /3 处用水平力 F 拉门而不致被卡住，求门宽 b 的最小值。问门的自重对不被卡住的门宽最小 值有否影响？ 解：取门为研究对象，当门太窄时，在水平力作 用下门有顺时针的角位移， 使门的 A 和 E 点与门 的上下滑道接触，设门处于滑动的临界平衡状 态，受力图如图示，∑ mE = 0 ， FNAb + FmAh + G题 3-28 图门的受力图b 2 + F h =0， 2 3 ∑ Fx = 0 ， FmA + FmE ? F = 0 ， ∑ Fy = 0 ， ? FNA + FNE ? G = 0 ，补充方程： FmA = f s FNA ， FmE = f s FNE 。G 1 f s h + f s2 h 。 F 3 由于门被卡住时平衡已与力 F 的大小无关，令 F → ∞ ，导出门不被卡住时的门宽 b 的最小 1 值 bmin = f s h ，此时与门重无关。 3以上 5 个方程联立，解得： b = 3-29 一半径为 R、重为 P1 的轮静止在水平面上，如图示。在轮上半径为 r 的轴上绕有 细绳，此绳跨过滑轮 A，在端部系一重为 P2 的物体。绳的 AB 部分与铅直线成 ? 角。求轮 与水平面接触点 C 处的滚阻力偶矩、滑动摩擦力和法向反力。 解：取轮为研究对象， FT = P2 。列平衡方程：∑ Fx = 0 ， F ? FT sin ? = 0 ，17∑ Fy = 0 ， FN ? P 1 + FT cos ? = 0 ，滑动摩擦力： F = P2 sin ? ； 法向反力：FN = P 1 ?P 2 cos ? ； ∑ mE = 0 ， M C ? FR + FT r = 0 ，滚阻力偶矩：M C = P2 (Rsin? ? r ) 。题 3-29 图轮的受力图3-30 钢管车间的钢管运转台架，钢管依靠自重缓慢无滑动地滚下，钢管直径 50mm。设 钢管与台架间的滚阻系数 δ = 0.5 mm 。试决定台架的最小倾角 ? 的大小。 解：取钢管为研究对象，设钢管重为 G，且 钢管处于临界滚动状态， ∑ Fy = 0 ， FN ? G cos ? = 0 ，FN = G cos? ； ∑ mC = 0 ， M C ? G sin ? ? R = 0 M C = GR sin ?题 3-30 图 钢管的受力图在临界滚动状态，滚动摩阻力偶达到最大值 M C = M其中， f ,max 。Mf ,max= δFN 。 将 FN 代入， 得 tan ? =δR， 代入数据， ?min = 1 9' 。o3-31 汽车 P=15 KN， 车轮的直径为 600 mm，轮自重不计。问发动机应给予后轮多大 的力偶矩，方能使前轮越过高为 80 mm 的阻碍物？并问此时后轮与地面的静摩擦因数应为 多大才不致打滑？ 解： （1）取汽车为研究对象。设汽车处于 将要翻过阻碍物的临界平衡状态，此时， 前轮恰好与地面脱离，后轮的滑动摩擦力 取最大值。 ∑ mE = 0 ，题 3-31 图和汽车的受力图? P(1.2 + 0.3 sin ? ) = 0, (a) 2 11 ， sin ? = 26 。 其中 cos? = 15 15 （2）取车身为研究对象，设 M 为驱动力（b） （c） （d） （e）F NB (2.4 + 0.3 sin ? ) ? FmB ? 0.3(1 ? cos? )偶。∑ mA = 0 ， F By×2.4 ? P × 1.2 ? M = 0 。（3）取车轮 B 为研究对象， ∑ mB = 0 ， F mB×0.3 ? M = 0 ，∑ Fy = 0 ， FNB ? FBy = 0 ，补充方程： FmB = f s FNB ，将方程（a）~（e）联立，解得： M = 1.867 kN ? m, f s = 0.752 。即，发动机应给予后轮的 力偶矩为 M ≥ 1.867 kN ? m ，此时后轮与地面的静摩擦因数须 f s ≥ 0.752 。183-32 试指出图示桁架中的零杆。 解：对节点进行受力分析，可以判断出零杆，研究对象 节点 A 节点 B 节点 C 题 3-32 图 节点 A、B、C 零杆号 1、4 7 9 研究对象 节点 D 整体 节点 E 零杆号 13 14 113-33 计算图示桁架中标号的各杆的内力。各垂直载荷的大小均为 F，已知： a = 3 m ，b = 4 m ， F = 5 kN 。解： （1）取整体为研究对象，∑ mB = 0 6aFA ? Fa(5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 0 ， FA = 2.5 F 。（2）取图示截面为研究对象， ∑ mC = 0 ，，题 3-33 图和整体和截面的受力图∑ Fx = 0 ， Fs1 + Fs 2 sin ? + Fs 3 = 0 ，其中， sin ? =Fs1b + FA 3a ? (1 + 2)aF = 0 ， a Fs1 = ?4.5 F 。 b ∑ mD = 0 ， Fs 3b ? FA ? 2a + F ? a = 0 ， 4a Fs 3 = F。 b a Fs 2 = 0.5 F。 b sin ?3 。代入数据，得： 5 Fs1 = ?16.9 kN, Fs 2 = 3.1 kN, Fs 3 = 15.0 kN 。3-34 试指出图示桁架中的零杆，并求出 AB 杆的内力。 解： （1）由节点的受力分析知， 零杆为 1、2、3、4 号杆。 （2）取整体为研究对象， ∑ mD = 0 ，FCy ? 2a + F ?a = 0， 2 F FCy = ? ； 4（3）取桁架的左半部（去掉零题 3-34 图和受力图杆）为对象，19∑ mE = 0 ， FABa + F5 sin 45o a + FCy a = 0 ， 2 F FAB + 2 F5 = ； 22 F =0； 2（a）（4） 取节点 G 为对象，∑ Fy = 0 ， F8 ?（b）（5）取三角形 BHI 为对象，2 2 F5 a + F8a = 0 ， 2 2 F5 + F8 = 0 ， F 联立方程（a）~（c） ，解得 FAB = ? 。 2∑ mB = 03-35 平面悬臂桁架受力如图示。求杆 1、2 和 3 的内力。（c）解：(1)取Ⅰ截面右半部分为研究对象， ， ∑ mD = 0F2 × 6 ? F (6 + 4 + 2 ) = 0 ， F2 = 2 F ； （拉）（2）取Ⅱ截面右半部分为研究对象， ， ∑ mC = 03 F1 × 3 × + F (2 + 4 + 6) = 0 ， 4 16 F1 = ? F = ?5.33F ； 3（3）取节点 E 为研究对象， ∑ Fy = 0 ， F3 sin ? + F2 ? F = 0 ，题 3-35 图和截面受力图其中，tan ? =1.5 ,? = 36.87o 。解 2得F3 = ?1.67 F3-36 平面桁架受力如图示。ABC 为等边三角形，且 AD=DB。求杆 CD 的内力。 解： （1）取整体为研究对象，o ∑ mB = 0 ， FAy 2a + Fa sin 60 = 0 ，FAy = ?3 F； 4（2）取三角形 ADE 为研究对象，o ∑ m D = 0 ， F1 sin 60 × a + FAy × a = 0 ， F F1 = ； 2（3）取节点 C 为研究对象，题 3-34 图和截面受力图o o ∑ Fx = 0 ， F1 sin 30 ? F4 sin 30 = 0 ，20F1 = F4 ；o o ∑ Fy = 0 ， F1 cos 30 + F4 cos 30 + FCD = 0 ，解得： FCD = ?3 F = ?0.866 F 。 221
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