《线性代数》常见证明题型及常用思路；二、证明题；题型1．关于?1,?（1）设?1?1,?m线性相；，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：；????m?m?0如果能证明?1,?,?m必全为；?1,?,?m使得等式成立，则?1,?,?m线性；（2）?1,?,?m线性相关当且仅当其中之一可用；n（3）如果?1,?,?m?F，则可通过矩阵的秩；（4）如果我们有
《线性代数》常见证明题型及常用思路 二、证明题 题型1．关于?1,?（1）设?1?1,?m线性相关性的证明中常用的结论 ，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：????m?m?0如果能证明?1,?,?m必全为零，则?1,?,?m线性无关；如果能得到不全为零的?1,?,?m使得等式成立，则?1,?,?m线性相关。 （2）?1,?,?m线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。 n（3）如果?1,?,?m?F，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 （4）如果我们有两个线性无关组，?1,?,?m?W1,?1,?,?t?W2,且W1,W2是同一个线性空间的两个子空间，要证?1,?,?m,?1,?,?t这种情况下，有些时候我们设 线性无关。?1?1????m?m??1?1????t?t?0,???1?1????m?m,???1?1????t?t。 根据题设条件往往能得到????0，进而由?1,?,?m?W1,?1,?,?t?W2的线性无关得到系数全为零。 题型2. 关于欧氏空间常用结论 （1）内积的定义 （2）单位正交基的定义 （3）设B?{?1,?,?n}是单位正交基， uB?(x1,?,xn),vB?(y1,?,yn)。则(u,v)?x1y1???xnyn5 题型3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论 （1）初等变换不改变矩阵的秩 （2）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 （3）阶梯形的秩 （4）几个公式（最好知道如何证明）：常用来证明关于秩的不等式
r(A?B)?r(A)?r(B);r(AB)?min{r(A),r(B)};r(A)?r(A)?r(AA);?AT?max{r(A),r(B)}?r(A,B)?r?T??r(A)?r(B);?B??Ar?????r(A)?r(B);B????r(A)?r(B)?r(C);B? TT?Ar(A)?r(B)?r??CAm?nB?0?r(A)?r(B)?n（5）利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩（常用来证明关于秩的不等式） 例：证明：r(Am?n)证： ?r(B)?n?r(AB)。 ??En??r?AB??A??AB? ?Enn?r(AB)?r???En?r??A?B???r(A)?r(B)0?A上面第二个等号是用左乘第一个分块矩阵的第一行，然后加到第二行所得；第三个等号是用?B又乘第二个分块矩阵的第一列，然后加到第二列所得。 （6）利用齐次线性方程组解的结构（dimN(Am?n)?n?r(A)），此方法也可以用来证明关于向量组的秩方面的的问题。 （7）利用向量组的秩与维数
主要是两个结论：（i）矩阵的秩=列秩=行秩
（ii）dimker??dimIm??dimker??r(?)??的定义域
的维数 （8）利用行列式秩 （9）利用相抵标准形 题型4. 关于可逆矩阵常用结论 （1）结论： A可逆?AX?b有唯一解?|A|?0。
（2）结论：（3）结论：（4）结论：A,B?Mn(F)可逆?ABAA可逆。 可逆当且仅当可以写为初等矩阵的乘积。 可逆当且仅当0不是它的特征值。 题型5. 关于矩阵对角化的常用结论 （1）结论： A相似于B??Cs.t.A?C?1BC。 （2）结论：任一个复数域上的方阵都相似于一个若当形矩阵。 （3）特征值与特征向量的定义 （4）结论：?是A的特征值?|?E?A|?0。 （5）结论：属于不同特征值的特征向量线性无关。 （6）结论：特征多项式的常数项就是它的行列式，它的第n-1次项的系数就是对角线上元素之和。 （7）结论：AX??X??h(x)?F[x],h(A)X?h(?)X。 （8）结论：课本P242定理7.8。 （9）结论：课本P242推论。 （10）结论：课本P243定理7.10。 （11）结论：实对称矩阵一定可以通过正交矩阵对角化。 题型6. 关于二次型的常用结论： （1）定义：二次型的矩阵。 （2）定义：相合关系。 （3）实对称矩阵的相似标准形、相合标准形与相合规范形的区别。 （4）定义：课本P263定义7.12与P269定义7.12 （5）实对称矩阵的正、负惯性指数与特征值的关系。 （6）结论：课本P264定理7.17、7.18、7.19 （7）结论：课本P269定义下面的内容 题型1．解线性方程组（必须掌握） 最常用方法：先用高斯消元法化为阶梯形，从而得出自由未知量（设为后对自由未知量赋予任意值，即设xi1,?,xit），然xi1?k1,?,xit?kt，这儿k1,?,kt为任意常数。把赋予自由未知量的值带入方程组，解除方程组的解（是关于式） k1,?,kt的一些表达方法（1）的变形：先用高斯消元法化为阶梯形，从而得出自由未知量（设为设xi1,?,xit）。?1,?,?t?Ft是Ft的一组基（常取自然基）。然后令
(xi1,?,xit)??j,j?1,2,?t一个基础解系）。则可知方程组的解为，分别解得方程组的解：X1,?,Xt，这儿（这是为X?k1X1???ktXtk1,?,kt任意常数。（一般解） Cramer法则。注意：Cramer法则只对系数矩阵可逆的情形适用。 题型2．将??V(F)用?1,?,?m?V(F)线性表示（或求坐标） x1,?,xm使得常用思路：待定系数法。设设条件得到关于??x1?1???xm?m。然后根据题x1,?,xm的一个方程组。解方程组。 方法二：利用课本定理4.10（如果已知在某一组基下的矩阵） 题型3．判断?1,?,?m?V(F)x1,?,xm的线性相关性 常用思路：待定系数法。设设条件得到关于使得0?x1?1???xm?m。然后根据题x1,?,xm的一个方程组。解方程组。如果方程组只有零解，则?1,?,?m?V(F)题型4．求线性相关。反之，线性无关。 ?1,?,?m?V(F)x1,?,xm的极大无关组及秩 使得常用思路：待定系数法。设设条件得到关于0?x1?1???xm?m。然后根据题x1,?,xmxi的一个方程组。用高斯消元法化简方程组，得到自用未知量。不是自用未知量的所对应的?i放到一起，就构成了原向量组的一个极大无关组。 题型4′．求基与维数
常用方法：找到一组有限生成元，转化为题型4。 题型5. 将?1,?,?m?Fn扩充为F一组基 nn常用思路：首先确定出?1,?,?m?Fx1,?,xn的一个极大无关组，设为?1,?,?t?Fn。然后设，构建线性方程组 ?(x1,?,xn)?1?0??????(x,?,x)??0nt?1
（假设?1,?,?m?Fn是列向量）
然后解除上面方程组的一个基础解系，设为定有n?t个）。则么线性无关） X1,?,Xn?t?Fnn （想想为什么一?1,?,?t,X1,?,Xn?t?F
就是一组基（想想为什题型6．Schmidt正交化过程 题型7. 两组基的过渡矩阵（转化为题型2） 题型8. 线性映射（变换）的矩阵
方法一：利用定义，转化为题型2。
方法二：利用课本定理7.4（如果已知在一组基下的矩阵及过渡矩阵） 题型9. 求矩阵的秩（可考虑放弃）
方法一：基于初等变换不改变矩阵得知，利用初等变换把原矩阵化为一个容易看出秩的矩阵（一般为阶梯形）。
方法二：利用分块矩阵。主要基于以下几个公式：
max{r(A),r(B)}?(A,B)?r(A)?r(B)
方法三：利用?A?r(A)?r(B)?r?秩的一些?B??性质，主要是： ?Enn?r(B)?r????B?r(A?B)?r(A)?r(r(AB)?min{r(A),r(A)?r(A)?r(AT?Ar(A)?r(B)?r??C
方法四：利用
方法五：利用???r(A)?r(B)?r(C)B?Am?nB?0?r(A)?r(A)?Ar(A)?A的行/列秩，转化为题型4或利用向量组
的秩的一些性质 的行列式秩
方法六：利用线性方程组解的结构，主要基于： dimN(Am?n)?n?r(A) 题型10. 求可逆矩阵的逆矩阵
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