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华师大版八年级下册18.3《一次函数》精品教案（5课时）
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(最新最全)2012年全国各地中考数学解析汇编第十八章一次函数
（最新最全）2012 年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第十八章 18.1 变量与函数 18.2 一次函数的图象 18.3 一次函数的性质 18.4 一次函数与一元一次不等式 (2012 江苏苏州，2，3 分)若式子 A． x＜2 B． x≤2一次函数在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ C． x＞2 D． x≥2）分析： 根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可求解． 解答： 解：根据题意得：x2≥0，解得：x≥2． 故选 D． 点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． (2012 江苏苏州，7，3 分)若点（m，n）在函数 y=2x+1 的图象上，则 2mn 的值是（ A． 2 B． 2 C． 1 D． 1 ）分析： 将点（m，n）代入函数 y=2x+1，的到 m 和 n 的关系式，再代入 2mn 即可解答． 解答： 解：将点（m，n）代入函数 y=2x+1 得， n=2m+1， 整理得，2mn=1． 故选 D． 点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要明确，一次函数图象上的点的坐标符 合函数解析式．（2012 北海,15，3 分）15．函数 y＝ 2 x ? 1 的自变量 x 的取值范围是___________。 【解析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，既：2x-1≥0，解得：.x≥ 【答案】 x ?1 。 21 2【点评】本题主要考察了二次根式有意义的条件和解不等式的方法。需要注意的是移项要 变号。难度较小。 （2012 黑龙江省绥化市， 3 分） 2， 函数 y ? 3x ? 1 的自变量 x 的取值范围是 【解析】 解：由题意 3x-1≥0 得 x≥ 【答案】 x≥ ．1 ． 31 ． 3【点评】 本题主要考查了函数自变量的取值范围．对于此类题型主要有三种情况：①函数 是自变量的整式形式，自变量取一切实数；②函数是自变量的分式形式，自变量取保证分母 不为 0 的实数；③函数是自变量的二次根式形式，自变量取保证被开方数非负的实数．复杂 点就是将三者混合在一起考．难度较小． （2012 江西，6，3 分）某人驾车从 A 地上高速公路前往 B 地，中途在服务区休息了一段时 间．出发时油箱中存油 40 升，到 B 地后发现油箱中还剩油 4 升，则出发后到 B 地油箱中所1剩油 y (升)与时间 t (小时)之间函数的大致图象是( A. B.) ． C. D.解析：分析题干条件，从 A 地上高速公路到中途在服务区，油箱中所剩油逐渐减少，在服 务区休息的这段时间，油箱中所剩油不变，从服务区到 B 油箱中所剩油逐渐减少到 4 升， 结合图象的意义，即可找出答案． 解答：解：选项 A、B 中，在服务区休息的这段时间，油箱中所剩油在减少，不符合实际意 义，选项 D 中，从服务区到 B 油箱中所剩油逐渐增加，也不符合实际意义，只有 C 正确． 故选 C． 点评：本题考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理 解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． （2012 黑龙江省绥化市，18，3 分）如图，A、B、C、D 为圆 O 的四等分点，动点 P 从圆? 心 O 出发，沿 OC ? CD ? DO 的路线作匀速运动．设运动时间为 t 秒，∠APB 的度数为 y度，则下列图像中表示 y（度）与 t（秒）之间的函数关系最恰当的是（ ）【解析】解：当动点 P 在 OC 上运动时，∠APB 逐渐减小；当 P 在 CD 上运动时，∠APB 不变；当 P 在 DO 上运动时，∠APB 逐渐增大．故选 C．． 【答案】 C． 【点评】本题主要考查学生对圆周角、圆内的角及函数图象认识的问题．要能根据几何图形 和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件， 结合实际意义画出正确的图 象． （2012 黑龙江省绥化市，19，3 分）甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛 时的路程 s(米)与时间 t(分钟)之间的函数关系如图所示，请你根据图像判断，下列说法正确 的是（ ）A．甲队率先到达终点 C．乙队比甲队少用 0.2 分钟 比甲队的速度大B．甲队比乙队多走了 200 米 D．比赛中两队从出发到 2.2 分钟时间段，乙队的速度2【解析】解：A、由函数图象可知，甲走完全程需要 4 分钟，乙走完全程需要 3.8 分钟，乙 队率先到达终点，本选项错误；B、由函数图象可知，甲、乙两队都走了 1000 米，路程相 同，本选项错误 C、因为 4-3.8=02 分钟，所以，乙队比甲队少用 0.2 分钟，本选项正确；D、 根据 0～2.2 分钟的时间段图象可知，甲队的速度比乙队的速度快，本选项错误；故选 C． 【答案】 C． 【点评】 本题主要考查了函数图象的读图能力． 要能根据函数图象的性质和图象上的数据分 析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．难度中等． （2012 湖南衡阳市，4，3）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ）A．x＞2B．x≥2C．x≠2D．x≥2 解析：根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解． 答案：解：根据题意得，x+2＞0，解得 x＞2． 故选 A． 点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数．（2012 山东莱芜， 9，3 分）下列四幅图像近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将 下面四种情景与之对应排序①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系） ②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系） ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读书与时间的关系） ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系） A． ①②④③ B．③④②① C．①④②③ 【解析】本题考查的是变量关系图象的识别. ①一辆汽车在公路上匀速行驶 （汽车行驶的路程与时间的关系） 路程是时间的正比例函数， ， 对应第四个图象； ②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）,高度是注水时间的的函数，由于 锥形瓶中的直径是下大上小，故先慢后快，对应第二个函数的图象； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系），温度计的读数随时间 的增大而增大，由于温度计的温度在放入热水前有个温度，故对应第一个图象 ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系），水温随时间的增大而减小，由于水冷却到室温 D．③②④①3后不变化，故对应第三个图象 综合以上，得到四个图象对应的情形的排序为③②④① 【答案】D 【点评】本题考察的是变量关系图象的识别，借助生活经验，弄明白一个量是如何随另一个 量的变化而变化是解决问题的关键. A ( 2012 年四川省巴中市,7,3)如图 2，点 P 是等 边△ ABC 的边上的一个作匀速运动的动点，其 由点 A 开始沿 AB 边运动到 B 再沿 BC 边运动 到 C 为止，设运动时间为 t，△ ACP 的面积为 S，S 与 t 的大致图象是（ ） PC 图2BSSSS[来源: 学科网 O t O t O A B C D t ZXXK] O t【解析】从动点运过程中, △ ACP 逐渐增大,达到最大值后又逐渐变小,可排除 B,再通过面积 变化值的对称性,易知 S 与 t 的大致图象是 C.故选 C. 【答案】C 【点评】本题考查函数图象的概念，通过动点问题展现数形结合解决数 学问题的优势. （2012 年广西玉林市，7，3）一次函数 y=mx+Om-1O的图象过点（0，2）且 y 随 x 的增大 而增大，则 m= A．-1 B．3 C．1 D．-1 或 3 分析：把点的坐标代入函数解析式求出 m 的值，再根据 y 随 x 的增大而增大判断出 m＞0， 从而得解． 解：∵一次函数 y=mx+|m-1|的图象过点（0，2），∴|m-1|=2，∴m-1=2 或 m-1=-2，解得 m=3 或 m=-1，∵y 随 x 的增大而增大，∴m＞0，∴m=3．故选 B． 点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，本题难点在于要根据函 数的增减性对 m 的值进行取舍．4（2012 呼和浩特，11，3 分）函数 y ?1 中自变量 x 的取值范围是______ x?2【解析】要使分式有意义，分式的分母不能为 0，xC2≠0，x≠2 【答案】x≠2 【点评】本题考查了分式的性质，及分母不为 0 （2012 陕西 8，3 分）在同一平面直角坐标系中，若一次函数 y ? ? x ? 3与y ? 3x ? 5 图象交 于点 M ，则点 M 的坐标为（） A．（-1，4） B．（-1，2）C．（2，-1）D．（2，1）【解析】把 y ? ? x ? 3与y ? 3x ? 5 联列起来构成方程组： ??x ? 2 ? y ? ?x ? 3 解得 ? ．选 D． ?y ?1 ? y ? 3x ? 5【答案】D 【点评】本题从“数形结合”的角度考查一次函数的图形和性质，要求两个函数图像的交点 就是可以把两个图形的解析式联列起来构成方程组来解决问题.难度中等. 7， （2012 呼和浩特， 3 分） 下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 xC2y=2 的解的是ABCD【解析】将二元一次方程 xC2y =2，整理成一次函数形式： y ? 此函数与 y 轴的交点（0，C1） ，所以 C 选项正确。 【答案】C1 x ? 1，令 x=0，则 y= C1， 2【点评】 本题考查了二元一次方程与一次函数之间的关系， 将二元一次方程变化成一次函数 的形式，并根据一次函数解析式画出其图象，根据图象得出正确结论。 （2012 陕西 6，3 分）下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（） A．（2．-3），（-4，6） B．（-2，3），（4，6） C．（-2，-3），（4，-6） D．（2，3），（-4，6） 【解析】由正比例函数的解析式 y ? kx （k≠0）得y ? k ，若几个点在同一个正比例函数 x图像上则这些点的纵坐标与横坐标的比值是相等的， 通过验算可知， 为正确解． A 选 A． 【答案】A 【点评】本题考查了正比例函数的图象性质及其应用.难度较小.5（2012 山东省滨州，1，3 分）直线 y ? x ? 1 不经过（ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限） D．第四象限【解析】∵ y ? x ? 1 ，∴k＞0，b＜0，∴ y ? x ? 1 的图象经过第一、三、四象限，不经过 第二象限． 【答案】选 B． 【点评】本题考查一次函数的性质．对于 y＝kx+b，若 k&0，b&0，则经过一、三、四象限． （2012 山西，5，2 分）如图，一次函数 y=（m1）x3 的图象分别与 x 轴、y 轴的负半 轴相交于 A．B，则 m 的取值范围是（ ）A． m＞1B． m＜1C． m＜0D． m＞0【解析】解：∵函数图象经过二．四象限，∴m1＜0，解得 m＜1．故选 B． 【答案】B 【点评】 本题主要考查了一次函数图象与系数的关系及数形结合思想， 解决本题的关键是熟 悉一次函数性质，难度较小． （2012，黔东南州，9）如图，是直线 y ? x ? 3 的图象，点 P（2， m ）在该直线的上方， 则 m 的取值范围是（ ）A、 m &-3 B、 m &-1 C、 m &0 D、 m ＜3 解析：当 x =2 时， m =2-3=-1，要使点 P 在该直线的上方， m &-1. 答案：B. 点评：本题考查了一元函数的性质，难度较小. x 中自变量的取值范围是____________ 1-3x( 2012 年四川省巴中市,14,3)函数 y=1 1 【解析】由分母 1－3x≠0,得 x≠ ,故应填 x≠ . 3 3 1 【答案】x≠ 3 【点评】在求自变量的取值范围的问题中,要求分母不等于零及被开方数大于等于零是解决6此类问题的切入点. （2012 北海,18，3 分）18．如图，点 A 的坐标为（－1，0），点 B 在直线 y＝2x－4 上运 动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标是___________。yB A Ox第 18 题图 【解析】如图，当 AB 最短时 AB⊥直线 y＝2x－4，设直线与 x 轴、y 轴的 交点分别为点 C、D，过点 B，作 BE⊥AC 于 E，易知△ABC∽△DOC，对CA BC ，AC=3，易求 OC=2，CD= 2 5 ，可以求出 ? CD OC 3 3 EC BC 5 ，又有△ABC∽△BEC，根据 BC= ，可求出 CE= ，所以 ? 5 5 BC AC 6 3 7 点 B 的横坐标为 2 ? ? ， 代入表达式中就可以求出点 B 的纵坐标为 ? 。 5 5 5应线段成比例，即 【答案】 （6 7 ，－ ） 5 5【点评】本题是一道综合性比较强的“小题” ，涉及到的知识点有勾股定理、相似的判定和 性质、垂线段最短、一次函数的相关知识，教学时，多进行一些综合性的训练。此题难度 较大。 （2012 江苏省淮安市，18，3 分）如图，射线 OA、BA 分别表示甲、乙两人骑自行车运动 过程的一次函数的图象，图中 s、t 分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相 差 km/h．【解析】根据图象可以确定甲 5 个小时走了 100km，乙 5 个小时走了 80km，由此可知他们 的速度分别为 20km/h 和 16km/h，故两人骑自行车的速度相差 4km/h． 【答案】47【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义， 理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． （2012 河南，7，3 分）如图函数 y ? 2 x 和 y ? ax ? 4 的图象相交于 A ( m,3),则不等式2 x ? ax ? 4 的解集为 3 A． x ? B． x ? 3 2C． x ?3 2D． x ? 3解析：根据函数图象上面的点的坐标应该满足函数的解析式，求出 a ?3 ，且不等式的 2解集是函数 y=2x 的函数值小于 y=ax+4 的函数值时自变量的取值范围.从图象上可以看出当 x＜3 时，函数 y=2x 小于 y=ax+4 的函数值. 2解答：A．[来源:Z#xx#k.Com]点评： 本题考查了一次函数与一次不等式的关系， 利用图象解不等式实质就是取相应函 数值时自变量的取值范围. 7， （2012 呼和浩特， 3 分） 下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 xC2y=2 的解的是ABCD【解析】将二元一次方程 xC2y=2，整理成一次函数形式： y ? （0，C1） ，所以 C 选项正确。 【答案】C1 x ? 1，这个一次函数必过 2【点评】本题考查了二元一次方程与一次函数之间的关系，并考查了一次函数图象。 （2012?湖北省恩施市，题号 15 分值 4） 如图 6，直线 y=kx+b 经过 A（3,1）和 B（6,0） 两点，则不等式 0＜kx+b＜1 x 的解集为________. 381 1 x ，即直线 y=kx+b 和 y= x 交点为 A， 3 3 1 由图象知当 x＜6 时，y=kx+b 的值大于 0，即 0＜kx+b，当 x＞3 时，y=kx+b 的值小于 y= x 3 1 的值，综上所述，3＜x＜6 是不等式 0＜kx+b＜ x 的解集 3【解析】过点 A（3,1）和原点的直线表达式为 y= 【答案】3＜x＜6 【点评】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式（组）的关系.解答此类题目一般不 直接解不等式（组），只要找准两个图象的交点坐标，数形结合问题可迎刃而解。 （2012 湖南衡阳市，18，3）如图，一次函数 y=kx+b 的图象与正比例函数 y=2x 的图象平 行且经过点 A（1，2） ，则 kb= ．解析：根据两条平行直线的解析式的 k 值相等求出 k 的值，然后把点 A 的坐标代入解析式 求出 b 值，再代入代数式进行计算即可． 答案：解：∵y=kx+b 的图象与正比例函数 y=2x 的图象平行， ∴k=2， ∵y=kx+b 的图象经过点 A（1，2） ， ∴2+b=2， 解得 b=4， ∴kb=2×（4）=8． 故答案为：8． 点评：本题考查了两直线平行的问题，根据两平行直线的解析式的 k 值相等求出 k=2 是解 题的关键． (2012 贵州六盘水，9，3 分)图 2 是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离 y（千 米）与时间 t(分钟)之间的函数图像，根据图像信息，下列说法正确的是（） A.张大爷去时用的时间省于回家的时间 B.张大爷在公园锻炼了 40 分钟 C.张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路 D.张大爷去时的速度比回家时的速度慢9分析： 根据图象可以得到张大爷去时所用的时间和回家所用的时间， 在公园锻炼了多少分钟， 也可以求出去时的速度和回家的速度，根据 C 的速度可以判断去时是否走上坡路，回家时 是否走下坡路． 解答：解：如图， A、张大爷去时所用的时间为 15 分钟，回家所用的时间为 5 分钟，故选项错误； B、张大爷在公园锻炼了 4015=25 分钟，故选项错误； C、据（1）张大爷去时走下坡路，回家时走上坡路，故选项错误．只能说明张大爷回家时 速度较快。 D、本选项正确； 故选 D． 点评：本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理 解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． （201 2 湖北武汉，11，3 分）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 500m，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 2s．在跑步过程中，甲、乙两人的距离 y(m) 与乙出发的时间 t(s)之间的关系如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123．其 中正确的是【 】A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③ 解析：根据题意结合图像，甲先出发 2s 走了８米，甲的速度为４m/s，乙跑完全程用时 100s, 乙的速度为 5m/s,速度差为 1m/s,乙追上甲的时间为ａ＝8÷１=８ｓ， ①正确； 乙到达终点时 甲、乙两人的距离 b=(100-8)×1=92,②正确;甲到达终点时离已出发时间 c=500÷4-2=123, ③正确;故选 A。 答案：A． 点评：本题在于考察函数图象的理解以及行程问题相关数量关系的理解，图象中隐含信 息比较多，需要学生细心寻找，解题的关键还在于将图像于实际意义相结合，难度较大． （2012 河南，19，9 分）甲、乙两人同时从相距 90 千米的 A 地前往 B 地，甲乘汽车，乙骑 摩托车，甲到达 B 地停留半个小时后返回 A 地，如图是他们离 A 地的距离 y （千米）与 x10（时间）之间的函数关系图像 （1）求甲从 B 地返回 A 地的过程中， y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取 值范围； （2）若乙出发后 2 小时和甲相遇，求乙从 A 地到 B 地用了多长时间？解析： （1）由图象可知 y 与 x 之间是一次函数关系式，选择图象上两点代入 y ? kx ? b 即可； （2）将 x=2 代人到甲返回时距离和时间的关系中求出离开 A 地的距离，计算出乙的速 度，从而算出时间. 解（1）设 y ? kx ? b ，根据题意 得?3k ? b ? 0 ?k ? ?60 ，解得 ? ? ?1.5k ? b ? 90 ?b ? 180y ? ?60 x ? 180(1.5 ? x ? 3).（2）当 x ? 2 时， y ? ?60 ? 2 ? 180 ? 60 ∴骑摩托车的速度为 60 ? 2 ? 30 （千米/时） ∴乙从 A 地到 B 地用时为 90 ? 30 ? 3 （小 时） 点评：关于一次函数图象及应用的问题，一般都是利用图象上的点求出图象的解析式， 然后再利用解析式的意义，已知一个变量时求出另一个变量的值解决问题. （2012 湖北武汉，18，6 分）在平面直角坐标系中，直线 y＝kx＋3 经过点 A（-1，１）， 求关于 x 的不等式 kx＋3＜0 的解集． 解析：根据，将点 A 代入直线 y＝kx＋3，有 1＝－k＋3，k=2,有 2x+3＜0，x＜－ 解： 解：将(－1，1)代入 y＝kx＋3 得 1＝－k＋3 所以 k＝2 所以 2x＋3＜0 解得 x＜－3 23 2点评：本题在于考察待定系数法以及一元一次不等式的求解。难度较低。 （2012?湖北省恩施市，题号 22 分值 8）小丁每天从报社以每份 0.5 元买进报纸 200 份，11然后以每份元卖给读者，卖不完，当天可退回，但只按 0.2 退给，如果平均卖出 x，纯收入 为y （1）求 y 与 x 之间的函数关系式（要求写出自变量 x 的取值范围）； （2）如果每月 30 天计算，至少要买多少才能保证每月收入不低于 2000 元？ 【解析】（1）因为小丁每天从某市报社以每份 0.5 元买出报纸 200 份，然后以每份 1 元卖 给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份 0.2 元退给小丁，所以如果小丁平 均每天卖出报纸 x 份，纯收入为 y 元，则 y=（1-0.5）x-（0.5-0.2） （200-x）即 y=0.8x-60， 其中 0≤x≤200 且 x 为整数； （2） 因为每月以 30 天计， 根据题意可得 30 （0.8x-60） ≥2000， 解之即可求解． 【答案】解：（1）y=（1-0.5）x-（0.5-0.2）（200-x） =0.8x-60（0≤x≤200）； （2）根据题意得： 30（0.8x-60）≥2000， 解得 x≥1581 ．故小丁每天至少要买 159 份报纸才能保证每月收入不低于 2000 元． 3【点评】此题主要考查了一次函数的应用，首先要正确理解题意，然后仔细分析题意，正确 列出函数关系式，最后利用不等式即可解决问题． （2012 江苏省淮安市，26，10 分） 国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩 地每年发放种粮补贴 120 元．种粮大户老王今年种了 l50 亩地，计划明年再承租 50～150 亩 土地种粮以增加收入．考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本 y(元)与种粮面积 x(亩)之间 的函数关系如图所示： (1)今年老王种粮可获得补贴多少元? (2)根据图象，求 y 与 x 之间的函数关系式； (3)若明年每亩的售粮收入能达到 2140 元， 求老王明年种粮总收入 W(元)与种粮面积 x(亩) 之间的函数关系式．当种粮面积为多少亩时，总收入最高？并求出最高总收入．【解析】（2）通过图象判断为一次函数，用待定系数法求得函数关系式；（3）根据等量关 系“种粮总收入 W(元)= 每亩种粮成本 y(元)× 种粮面积 x(亩)”列出函数关系式并求得最 大值． 【答案】解：（1）120× 150=18000（元）． 答：今年老王种粮可获得补贴 18000 元． （2）由图像知，y 与 x 之间的函数是一次函数．设所有关系式为：y=kx+b（k≠0）．将12? k?4 ?205k ? b ? 1000 （205,1000），（275,1280）两点坐标代入得： ? ，解得 ? ．这样所求 ?b ? 180 ?275k ? b ? 1280的 y 与 x 之间的函数关系式为 y=4x+180． （3）W=(2140-y)x=(0)x=-4x2+1960x． 1960 4ac ? b 2 0 ? 19602 b W 因为-4＜0， 所以当 x= ? =? =245(亩)时， 最大 = = = ? (?4) 2 ? (?4) 4a 2a （元）． 答：当种粮面积为 245 亩时，总收入最高,最高总收入为 240100 元． 【点评】 主要考查利用函数的模型解决实际问题的能力． 要先根据题意列出函数关系式， 再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题来源于实践用 于实践，在当今社会市场经济的环境下， 应掌握一些有关商品价格和利润的知识， 比如总 利 润等于总收入减去总成本，等等，然后再利用二次函数求最值． （2012 贵州遵义，25, 分）为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶 梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费 y（元）与用电量 x（度）间的函数关系式． （1）根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表： 档次 每月用电量 x（度） 第一档 0＜x≤140 第二档 140＜x≤230 第三档 x＞230（3）求第二档每月电费 y（元）与用电量 x（度）之间的函数关系式； （4）在每月用电量超过 230 度时，每多用 1 度电要比第二档多付电费 m 元，小刚家某月用 电 290 度，交电费 153 元，求 m 的值．解析： （1）利用函数图象可以得出，阶梯电价方案分为三个档次，利用横坐标可得出： 第二档，第三档中 x 的取值范围； （2）根据第一档范围是：0＜x≤140，利用图象上点的坐标得出解析式， 进而得出 x=120 时，求出 y 的值； （3）设第二档每月电费 y（元）与用电量 x（度）之间的函数关系式为： y=ax+c，将（140，63）（230，108）代入得出即可； ， （4）分别求出第二、三档每度电的费用，进而得出 m 的值即可． 答案： 解： （1）利用函数图象可以得出，阶梯电价方案分为三个档次，利用横坐标可得出： 第二档：140＜x≤230，第三档 x＞230； （2）根据第一档范围是：0＜x≤140， 根据图象上点的坐标得出：设解析式为：y=kx，将（140，63）代入得出：k= 故 y=0.45x，13=0.45，当 x=120，y=0.45×120=54（元） ， 故答案为：54； （3）设第二档每月电费 y（元）与用电量 x（度）之间的函数关系式为：y=ax+c， 将（140，63）（230，108）代入得出： ， ，解得：，则第二档每月电费 y（元）与用电量 x（度）之间的函数关系式为：y= x7（140＜x≤230） ；（4）根据图象可得出：用电 230 度，需要付费 108 元，用电 140 度，需要付费 63 元， 故，10863=45（元） ，（度） ， 45÷90=0.5（元） ， 则第二档电费为 0.5 元/度； ∵小刚家某月用电 290 度，交电费 153 元， （度） ，（元） ， 45÷60=0.9（元） ， m=0.90.5=0.4， 答：m 的值为 0.4． 点评： 此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，利用图象获取正确信息 是解题关键． （2012 黑龙江省绥化市，25，8 分）星期天 8：00~8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐 注入天然气，注完气之后，一位工作人员以每车 20 米 3 的加气量，依次给在加气站排队等 候的若干辆车加气．储气罐中的储气量 y(米 3)与时间 x(小时)的函数关系如图所示． ⑴ 8：00~8：30，燃气公司向储气罐注入了 米 3 的天然气； ⑵ 当 x≥8.5 时，求储气罐中的储气量 y(米 3)与时间 x(小时)的函数解析式； ⑶ 正在排队等候的第 20 辆车加完后，储气罐内还有天然气 米 3，这第 20 辆 车在当天 9：00 之前能加完气吗？请说明理由．【解析】解：（1）根据图象可得出：燃气公司向储气罐注入了 =8000（米 3）的 天然气；故答案为：8000；（2）当 x≥8.5 时由图象可设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b，14由已知得： ??8.5k ? b ? 10000 ? k ? ?1000 ，解得 ? ?10.5k ? b ? 8000 ?b ? 18500∴当 x≥8.5 时，储气罐中的储气量 y（米 3）与时间 x（小时）的函数关系式为： y=-， （3）根据每车 20 米 3 的加气量，则 20 辆车加完气后，储气罐内还有天然气： 10000-20× 20=9600（米 3），故答案为：9600， 根据题意得出：x+18500，x=8.9＜9， 答：这第 20 辆车在当天 9：00 之前能加完气． 【答案】⑴8000；⑵ y ? ?1000 x ? 18500 ；⑶9600，能 ． 【点评】 本题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式， 利用图象获取 正确信息是解题关键．难度中等．（2012 湖北荆州，23，10 分）(本题满分 10 分)荆州素有“中国淡水鱼都”之美誉．某水产 经销商在荆州鱼博会上批发购进草鱼和乌鱼(俗称黑鱼)共 75 千克，且乌鱼的进货量大于 40 千克．已知草鱼的批发单价为 8 元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示． (1)请直接写出批发购进乌鱼所需总金额 y(元)与进货量 x(千克)之间的函数关系式； (2)若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出 89%、95%，要使总零售 量不低于进货量的 93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用 是多少？ 批发单价(元)26 24 20 40 进货量(千克)第 23 题图 【解析】首先观察两坐标轴表示的意义，其次观察图象，可得此函数图象分为两段，所以是 一个分段函数，写自变量的取值范围时观察实心圆点和空心圆圈。?26 x (20≤x≤40), (1)y＝ ? ?24 x ( x ? 40).(2)设该经销商购进乌鱼 x 千克，则购进草鱼(75－x)千克，所需进货费用为 w 元．? x ? 40, 由题意得： ? ?89% ? (75 ? x) ? 95% x≥93% ? 75.解得 x≥50． 由题意得 w＝8(75－x)＋24x＝16x＋600．15∵16＞0，∴w 的值随 x 的增大而增大． ∴当 x＝50 时，75－x＝25，W 最小＝1400(元)． 答 ：该经销商应购进草鱼 25 千克，乌鱼 50 千克，才能使进货费用最低，最低费用为 1400 元．21 世纪教育网?26 x (20≤x≤40), 【答案】(1)y＝ ? (2) 该经销商应购进草鱼 25 千克，乌鱼 50 千克，才能使 ?24 x ( x ? 40).进货费用最低，最低费用为 1400 元．21 世纪教育网【点评】解决函数图象有关的实际问题时，首先观察两坐标轴表示的意义，其次观察图象， 可得此函数图象分为两段， 所以是一个分段函数， 写自变量的取值范围时观察实心圆点和空 心圆圈。在利用函数进行方案设计时，要注意关键词语“共、大于、不低于、费用最低”等 关键词语，以列方程、函数、不等式，从而帮助求解。(2012 贵州六盘水，24，10 分)为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯 价”，即当每月用水量不超过 15 吨时，采用基本价收费；当没有用水量超过 15 吨时，超过 部分每吨采用市场价搜费，小兰家四、五月份的用水量及收费情况如下表： 月份 4 用水量（吨） 22 水费（元） 515 20 45 （1）求该市每吨水的基本价和市场价.（4 分） （2）设每月用水量为 n 吨，应缴税费为 m 元，请写出 m 与 n 之间的函数关系式.（4 分） （3）小兰家 6 月份的用水量为 26 吨，则她家要交水费多少元？（2 分） 分析： （1）利用已知得出 4 月份用水 22 吨，水费 51 元，5 月份用水 20 吨，水费 45 元， 求出市场价收费标准为： （5145）÷（2220）=3（元/吨） ，进而得出每吨水的基本价； （2）利用（1）中所求不同水价，再利用当 n≤15 时，m=2n，当 n＞15 时，分别求出即可． （3）根据（1）中所求得出，用水量为 26 吨时要缴水费． 解答：解： （1）根据当每月用水量不超过 15 吨时（包括 15 吨） ，采用基本价收费；当每月 用水量超过 15 吨时，超过部分每吨采用市场价收费， ∵4 月份用水 22 吨，水费 51 元，5 月份用水 20 吨，水费 45 元， ∴市场价收费标准为： （5145）÷（2220）=3（元/吨） ， 设基本价收费为 x 元/吨， 根据题意得出：15x+（2215）×3=51， 解得：x=2， 故该市每吨水的基本价和市场价分别为：3 元/吨，2 元/吨； （2）当 n≤15 时，m=2n， 当 n＞15 时，m=15×2+（n15）×3=3n+15， （3）∵小兰家 6 月份的用水量为 26 吨， ∴她家要缴水费 15×2+（2615）×3=63 元．16点评： 此题主要考查了一次函数的应用关键是分段函数的写法以及求自变量时把函数值正确 代入相对应的函数，此题难度不大，是初中阶段考查重点． （2012 北海,24，8 分）24．大润发超市进了一批成本为 8 元/个的文具盒。调查发现：这种 文具盒每个星期的 销售量 y（个）与它的定价 x（元/个）的关系如图所示：（1）求这种文具盒每个星期的销售量 y（个）与它的定价 x（元/个）之间的函数关系式（不 必写出自变量 x 的取值范围）； （2）每个文具盒定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒（不考虑其他因素）可获得 的利润最高？最高利润是多少？ 【解析】 （1）设出 y 与 x 的函数关系式，利用待定系数法，求出 k 和 b 的值即可。 （2）总利润=单个利润 ? 总数量，列出函数关系式（二次函数） ，根据顶点求出极值即可。 【答案】解：（1）设 y＝kx＋b 1分 由题意得： ??10k ? b ? 200 解之得：k＝－10；b＝300。 ?14k ? b ? 160∴y＝－10x＋300。 4分 （2）由上知超市每星期的利润：W＝(x－8)?y＝(x－8)(－10x＋300) ＝－10(x－8)(x－30)＝－10(x2－38x＋240) ＝－10(x－19)2＋1210 ∴当 x＝19 即定价 19 元/个时超市可获得的利润最高。最高利润为 1210 元。 【点评】系数待定法是确定函数关系式的重要方法，要求学生必须掌握。二次函数求极值也 是中考经常考查的内容，除了顶点极值外，还有非顶点极值。在教学中一定要注意。难度中 等。（2012 四川达州，19，6 分）（6 分）大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投资 销售一种进价为每件 40 元的小家电.通过试营销发现， 当销售单价在 40 元至 90 元之间 （含 40 元和 90 元）时，每月的销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间的关系可近似地看作一 次函数，其图象如图所示. （1）求 y 与 x 的函数关系式. （2）设王强每月获得的利润为 p （元）,求 p 与 x 之间的函数关系式；如果王强想要每 月获得 2400 元的利润，那么销售单价应定为多少元？17解析：对于（1），可由待定系数法可求出 y 与 x 的函数关系式为： y ? ?4 x ? 360 （40≤ x ≤90）；对于（2），利润为 p =销售件数×（售价-进价），若要月获得 2400 元的利润， 即 p =2400，故可列出方程求解。 答案：解（1）设 y 与 x 的函数关系式为：y ? kx ? b(k ? 0) ?由题意得?50 k ? b ? 160 ????????????????????????????..（1 分） ? ?65 k ? b ? 100?解得 ?? k ? ?4 ????????????????????????????. 分） （2 . ?b ? 360?∴ y ? ?4 x ? 360 （40≤ x ≤90）????????????????????（3 分） ?（2）由题意得， p 与 x 的函数关系式为： ? p ? ( x ? 40)(?4 x ? 360 ) = ? 4 x ? 520 x ? 14400 ????????????????????????..（4 分）2?当 P=2400 时? 4 x 2 ? 520 x ? 14400 ? 2400 ??????????????????????（5 分）解得 x1 ? 60 , x 2 ? 70 ∴销售单价应定为 60 元或 70 元????????????????????..（6 分） 点评：本题将一次函数、列代数式、列方程等问题融于实际问题中，考查了待定系数法、建 立方程模型数学方法及学生用数学方法解决实际问题的能力。 （2012，湖北孝感，23，10 分）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，两名同学 分别做了水龙头漏水实验，他们用于接水的量筒最大容量为 100 毫升． 实验一：18小王同学在做水龙头漏水实验时，每隔 10 秒观察量筒中水的体积，记录的数据如下表（漏 出的水量精确到 1 毫升）： 时间 t（秒） 漏出的水量 V(毫升) 10 20 30 40 50 60 70 2 5 8 11 14 17 20 （1）在图 1 的坐标系中描出上表中数据对应的点；（2 分） （2）如果小王同学继续实验，请求出多少秒后量筒中的水会满面溢出；（精确到 1 秒）(4 分) （3）按此漏水速度，一小时会漏水_______千克（精确到 0.1 千克）（2 分）实验二： 小李同学根据自己的实验数据画出的图象如图 2 所示， 为什么图象中会出现与横轴“平行” 的部分？（2 分） 【解析】（1）根据题意直接描点；（2）根据表格和图象，任取两对应点代入到一次函数的 解析式求出 V 与 t 的函数关系式，再根据题意列出不等式即可． 【答案】解：实验一： （1）画图象如图所示：（2）设 V 与 t 的函数关系式为 V=kt+b，根据表中数据知： 当 t=10 时，V=2；当 t=20 时，V=5； 3 ? ?2 ? 10k ? b ?k ? ∴? ，解得： ? 10 ， ?5 ? 20k ? b ?b ? ?1 ? ∴V 与 t 的函数关系式为 V ? 由题意得：3 t ? 1． 103 1010 2 t ? 1 ? 100 ，解得 t ? ? 336 ， 10 3 3∴337 秒后，量筒中的水会满面开始溢出． （3）1.1 千克 实验二：因为小李同学接水的量筒装满后并开始溢出19【点评】本题考查了一次函数的应用，解决此类题目最关键的地方是经过认真审题，从中整 理出一次函数模型，用一次函数的知识解决此类问题． (2012 广安中考试题第 22 题，8 分)某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子 白板和 一批笔记本电脑。经投标，购买 1 块电子白板比买 3 台笔记本电脑多 3000 元，购买 4 块电 子白板和 5 台笔记本电脑共需 8 万元。 （1 ）求购买 1 块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？ （2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为 396，要求购买的资金不 超过 2700000 元， 并且购买笔记本电脑的台数不超过电子白板数量的 3 倍。 该校有哪几种购 买方案？ （3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？ 思路导引：根据题目信息，构造方程组或者是不等式组确定未知数的解，以及范围， 注意题目中的未知数个数是正整数的条件，确定所有可能的方案，寻找最少，方法多种，可 以从两种商品总个数一定，396 个，两种商品价位大小差别，找出最少的方案，也可以运用 一次函数的性质，进行确定，再者，当所有方案个数不多时，可以分别计算，再进行比较. 解： （1）方法一：构造方程组： 设购买一台笔记本电脑需 x 元，购买 1 块电子白板和需 y 元， 所以得到方程组 ?? y ? 3 x ? 3000 ，解得 x=4000,y=15000, ?5 x ? 4 y ? 80000所以购买买一台笔记本电脑需 4000 元，购买 1 块电子白板和需 15000 元， 方法二：构造一元一次方程 （2）设购买电子白板 z 台，所以笔记本电脑台数是（396－z）台，所以得出不等式组? ? z ) ? 15000 z ≤ 2700000 ，解得： 99 ≤ z ≤101 ， ? ?396 ? z ≤ 3 z∵z 是正整数，∴z 的正整数值是 99、100、101，（396－z）的值分别是 297、296、295， ∴该校有 3 种购买方案：方案一： 即是购买电子白板与电脑分别是 297 与 99， 方案二： 即是购买电子白板与电脑分别是 296 与 100， 方案三： 即是购买电子白板与电脑分别是 295 与 101， （3）方法一：直接判断最少的方案： 上面的购买方案最省钱的方案是总数是 396 的情况下， 购买电子白板最少的情况， 因此是方 案三：即是购买电子白板与电脑分别是 295 与 101， 最省钱方案购买需要钱数是： 15000× 396＋4000× 101=2673000（元）， 方法二：分别计算，比较数额大小；方法三：运用一次函数性质，确定最少的方案： 点评：方程（组）与一元一次不等式组、一次函数构造的方案设计问题，分别结合题目中的 信息，构造方程或者是方程组确定未知数的值，构造不等式组确定某个两的范围，得出所有 方案，结合数据特点、或者是函数性质寻找最佳方案. （2012 湖北咸宁，22，10 分）某景区的旅游线路如图 1 所示，其中 A 为入口，B，C，D 为风景点，E 为三岔路的交汇点，图 1 中所给数据为相应两点间的路程（单位：km）．甲 游客以一定的速度沿线路“A→D→C→E→A”步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当20他回到 A 处时，共用去 3h．甲步行的路程 s（km）与游览时间 t（h）之间的部分函数图象 如图 2 所示．s/(km) D 1 C E A 0 图 ．81 0 ．4 O （第 22 题） 0． 8 图2 1． 8 3 t/(h) 3 2． 6 2 6 ．3 1． B 1 1 4（1）求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象； （2）求 C，E 两点间的路程； （3）乙游客与甲同时从 A 处出发，打算游完三个景点后回到 A 处，两人相约先到者在 A 处等候， 等候时间不超过 10 分钟．如果乙的步行速度为 3km/h，在每个景点逗留的时间与 甲相同，他们的约定能否实现？请说明理由． 【解析】 （1）根据图 2 得到甲从 A 步行到 D，用了 0．8h，步行了 1．6km，可计算出甲步1.6 ＝2（km/h） ，从图象中可得甲步行到 C 共用了 1．8h，步行了 2．6km，于 0.8 2.6－1.6 是甲在 D 景点逗留的时间＝1．8－0．8－ ＝0．5（h） ，即得知甲在每个景点逗留 2行的速度＝ 的时间；同时可知甲在 C 景点逗留 0．5h，从 2．3h 开始步行到 3h，步行了（3－2．3）× 2＝1．4（km） ，即回到 A 处时共步行了 4km，然后依此补全图象； （2）由（1）得甲从 C 到 A 步行了（3－2．3）×2＝1．4（km） ，由图 1 得 C 到 A 的路程 为 0．8km，则 C，E 两点间的路程为 1．4－0．8＝0．6（km） ； （3）由于走 E－B－E－C 的路程为 0．4＋0．4＋0．6＝1．4（km） ，走 E－B－C 的路程为 0．4＋1．3＝1．7（km） ，则乙游览的最短线路为：A→D→C→E→B→E→A（或 A→E→B →E→C→D→A） ，总行程为 1．6＋1＋0．6＋0．4×2＋0．8＝4．8（km） ，于是可计算出 乙游完三个景点后回到 A 处的总时间＝3×0．5＋ 小时，即 6 分钟到 A 处． 【答案】 （1）解法一：由图 2 可知甲步行的速度为4.8 ＝3．1（h） ，即可得到乙比甲晚 0．1 31 .6 ? 2 （km/h）???????? 1 分 ???????? ???????? 0 .8因此甲在每个景点逗留的时间为 2.6 ? 1.6 ??????????? ?????????? ???????? ?????????? ??????????? ??????? 1.8 ? 0.8 ? ? 0.5 （h） ?????????????????????????????3 分 2 解法二：甲沿 A→D 步行时 s 与 t 的函数关系式为 s ? 2t ． ?????????????? 分 ??????????? ?? 1 ?????????? ??? 设甲沿 D→C 步行时 s 与 t 的函数关系式为 s ? 2t ? b ． 则 2 ?1.8 ? b ? 2.6 ． ∴ b ? ?1 ． ∴ s ? 2t ? 1 ． ??????????????????????????????????????2 分 ??????????? ?????????? ??????????? ?????? ?????????? ??????????? ??????????? ????? 当 s ? 1.6 时， 2t ? 1 ? 1.6 ， t ? 1.3 ． 因此甲在每个景点逗留的时间为 1.3 ? 0.8 ? 0.5 （h） ???????????????? 3 分 ． ??????????? ????? ?????????? ?????? 补全图象如下： ????????????????????????????????????? 分 ??????????? ?????????? ??????????? ???? 5 ?????????? ??????????? ??????????? ????21（2）解法一：甲步行的总时间为 3 ? 0.5 ? 2 ? 2 （h） ． ∴甲的总行程为 2 ? 2 ? 4 （km） ???????????????????????????7 分 ．??????????????????????????? ?????????? ??????????? ?????? ∴C，E 两点间的路程为 4 ?1.6 ? 1 ? 0.8 ? 0.6 （km） ???????????????? 8 分 ． ??????????? ????? ?????????? ?????? 解法二：设甲沿 C→E→A 步行时 s 与 t 的函数关系式为 s ? 2t ? m ． 则 2 ? 2.3 ? m ? 2.6 ． ∴ m ? ?2 ． ∴ s ? 2t ? 2 ． ?????????????????????????????????????? 分 ??????????? ?????????? ??????????? ????? 6 ?????????? ??????????? ??????????? ????? 当 t ? 3 时， s ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ． ????????????????????????????? 7 分 ??????????? ?????????? ???????? ?????????? ??????????? ???????? ∴C，E 两点间的路程为 4 ?1.6 ? 1 ? 0.8 ? 0.6 （km） ???????????????? 8 分 ． ??????????? ????? ?????????? ?????? （3）他们的约定能实现． 乙游览的最短线路为：A→D→C→E→B→E→A（或 A→E→B→E→C→D→A） ，总行程为 ． ??????????? ?????????? ??? ?????????? ??????????? ?? 1.6 ? 1 ? 0.6 ? 0.4 ? 2 ? 0.8 ? 4.8 （km） ????????????????????????9 分 4.8 ∴乙游完三个景点后回到 A 处的总时间为 ． ? 0.5 ? 3 ? 3.1 （h） 3 ∴乙比甲晚 6 分钟到 A 处． ?????????????????????????????? 分 ????????????????????????????? 10 ?????????? ??????????? ???????? （说明：图象的第四段由第二段平移得到，第五段与第一、三段平行，且右端点的横坐 标为 3，如果学生补全的图象可看出这些，但未标出 2．3 也可得 2 分．第 3 问学生只 说能实现约定，但未说理由不给分． ） 【点评】 本题主要考查了一次函数的实际应用： 根据一次函数图象的性质能从一次函数图象 中获取实际问题中的相关数据，同时能用一次函数图象表示实际问题中变化情况．（2012 年吉林省，第 18 题、5 分．）在如图所示的三个函数图像中，有两个函 数图像能近似地刻画如下 a、b 两个情境：情境 a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本 再去学校； 情境 b:小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．22（1） 情境 a，b 所对应的函数图像分别为_______,______.(填写序号) （2） 请你为剩下的函数图像写出一个适合的情境． 【解析】（1）根据如图所示图③符合情境 a 小芳的行程；图①符合情境 b 的小 芳的行程． （2）图像②所显示的是小芳离开家走了一段路程后，中途停止了一段时间行 走．接着又返回家中． 【答案】 （1）③ ① （2） 小芳离开家走了一段路程后来到一个报亭，在报亭读了一段时间报 后，按原速回家了． （答案不唯一） 【点评】主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了 数形结合思想，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目 （2012 年吉林省，第 24 题、7 分．）如图 1，A, B, C 为三个超市，在 A 通往 C 的道路（粗实线部分）上有一 D 点，D 与 B 有道路（细实线部分）相通．A 与 D， D 与 C，D 与 B 之间的路程分别为 25km，10km，5km．现计划在 A 通往 C 的道路上 建一个配货中心 H,每天有一辆货车只为这三个超市送货．该货车每天从 H 出发， 单独为 A 送货 1 次，为 B 送货 1 次，为 C 送货 2 次．货车每次仅能给一家超市送 货， 每次送货后均返回配货中心 H.设 H 到 A 的路程为 xkm．这辆货车每天行驶的 路程为 ykm. (1)用含 x 的代数式填空： 当 0≤x≤25 时，货车从 H 到 A 往返 1 次的路程为 2x km. 货车从 H 到 B 往返 1 次的路程为_______km. 货车从 H 到 C 往返 2 次的路程为_______km. 这辆货车每天行驶的路程 y=__________. 当 25&x≤35 时，这辆货车每天行驶的路程 y=_________; (2)请在图 2 中画出 y 与 x（0≤x≤35）的函数图像； (3)配货中心 H 建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？23y/km25020015010050O5101520253035s/km【解析】 （1）当 0≤x≤25 时，从 H 到 D 的路程为 25-x,从 D 到 B 的路程为 5cm 所以从 H 到 B 往返 1 次的路程为 2（25-x+5）,即 60-2x；从 H 到 D 的路程为 25-x,D 到 C 的路程是 10km,所以从 H 到 C 的往返 2 次的路程是 4（25-x+10）,即 140-4x.因 此，这辆货车每天行驶的路程 y=60-2x+2x+140-4x=200-4x. 当 25 ＜x ≤35 时， C 到 H 的路程为 35-x；D 到 H 的路程为 x-25; 所以 y=4(35-x)+2x+2(x-25+5)=100 （2） 作出分段函数的图像．即 0≤x≤25 和 25＜x≤35 时的图像． （3） 从图像中可以看出，当 H 点修在 CD 段时货车每天行驶的路程最短． 【答案】 （1）60-2x 140-4x 200-4x （2）根据 0≤x≤25 时，y=-4x+200， x=0，y=200，x=25，y=100， 25＜x≤35 时，y=100；作出图像． （4） 当 H 建在 CD 段时，这辆货车每天所行驶的路程最短．y/km25020015010050O5101520253035（5） 【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及画函数图象和列代数式，利用已知 分别表示出从 H 到 A，B，C 距离是解题关键．26. （2012 四川泸州，26，8 分）如图，直线 y=kx-6 经过点 A（4，0） ，直线 y=-3x+3 与 x 轴交于点 B，且两直线交于点 C. （1）求 k 的值； （2）求△ABC 的面积. 解析： （1）将点 A（4，0）代入数学表达式24s/kmy=kx-6 求出 k； （2）先求出点 B 坐标，再求 出线段 AB 长与点 C 坐标既可求出△ABC 面积. 解： （1）∵直线 y=kx-6 经过点 A（4，0） ， ∴4k-6=0，即 k=3 ； 2（2）∵直线 y=-3x+3 与 x 轴交于点 B，根据在 x 轴上的点纵坐标 y=0，在 y 轴上的点横坐标 x=0. ∴-3x+3=0，解得 x=1. 点 B 坐标为（1，0）. 由于两直线交于点 C，所以有3 ? ?x ? 2 ?y ? x ? 6 ，解得 ? . 2 ? ? y ? ?3 ? y ? ?3 x ? 3 ?∴点 C 坐标为（2，-3）.1 1 9 ? AB ? ? 3 = ? 3 ? ? 3 ? （或 4.5） 2 2 2 9 答：△ABC 的面积为 （或 4.5）. 2∴△ABC 面积为： 点评：本题考察了一次函数图象及其性质综合运用.待定系数法求直线解析式与两直线交点 中体现了数形结合与方程思想方法. （2012 陕西 20，8 分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭 间的距离，他先在湖岸上的凉亭 A 处测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位于北偏东 65? 方向，然 后，他从凉亭 A 处沿湖岸向正东方向走了 100 米到 B 处，测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位于 北偏东 45? 方向（点 A、B、C 在同一水平面上）．请你利用小明测得的相关数据，求湖心 岛上的迎宾槐 C 处与湖岸上的凉亭 A 处之间的距离（结果精确到 1 米）． （参考数据： sin 25? ? 0.4226， 25? ? 0.9063， 25? ? 0.4663， 65? ? 0.9063 ， cos tan sin ） cos65? ? 0.4226， 65? ? 2.1445 tan 【解析】作 CD ? AB 于点 D .在 Rt△ ACD 和 Rt△ BCD 中，用 AC 的代数式表示出 AD、 BD、CD，再由 AB+BD=AD 列出方程求解. 【答案】解：如图，作 CD ? AB 交 AB 的延长线于点 D ， 则 ?BCD ? 45?，?ACD ? 65? ． 在 Rt△ ACD 和 Rt△ BCD 中， 设 AC ? x ，则 AD ? x sin 65? ，BD ? CD ? x cos65? ． ∴ 100 ? x cos 65? ? x sin 65? ． 100 ∴x? ? 207 （米）． sin 65? ? cos 65? 答：湖心岛上的迎宾槐 C 处与凉亭 A 处之间距离约为 207 米．【点评】 本题考查了解直角三角形的应用， 解题的关键是根据给定角的三角函数表示出相关 的量，列出关于所求量为未知数的方程.难度中等.25（2012 陕西 21，8 分）科学研究发现，空气含氧量 y （克/立方米）与海拔高度 x （米）之 间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为 0 米的地方，空气含氧量约为 299 克/ 立方米；在海拔高度为 2000 米的地方，空气含氧量约为 235 克/立方米． （1）求出 y 与 x 的函数表达式； （2）已知某山的海拔高度为 1200 米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？ 【解析】（1）设出一次函数解析式，由条件得方程组求解；（2）把 x ? 1200 代入所求的 函数关系式求出 y 即可.4 ? b ? 299, ， ? ?k ? ? 【答案】解：（1）设 y ? kx +b ，则有 ? 解之，得 ? 125 ?2000k ? b ? 235. ? b ? 299. ?∴y??4 x ? 299 ． 125（2）当 x ? 1200 时， y ? ?4 ?1200 ? 299 ? 260.6 （克/立方米）． 125∴该山山顶处的空气含氧量约为 260.6 克/立方米． 【点评】此题主要考查待定系数求函数解析式以及一次函数的应用.难度中等. （2012 南京市，23，7）看图说故事. 请你别写一个故事，使故事情景中出现一对变量 x、y 满足图示的函数关系，要求：①指出 变量 x、 的含义； y ②利用图像中的数据说明这对图像变化过程的实际意义， 其中须涉及 “速 度”这个量.2O51115解析：根据情景说明函数关系，注意只有两变量，涉及其它的量必须是常量. 答案： （1）略. （2）如：公共汽车从 A 站出发，5 分钟内速度由 0 逐渐增加到 2m/s,然后匀速运动， 到 11 分钟时开始减速第 15 分钟停靠 B 站. 点评：此类题目属于开放性问题，答案不唯一，考察学生知识应用的情况. 18.1 变量与函数 （2012 四川成都，2，3 分）函数 y ?A． x ? 2 B． x ? 2 解析：在函数解析式中，自变量的取值范围就是使函数解析有意义范围，因为本题的解析式 是一个分式，所以，要使分母不为 0，即 x ? 2 ? 0 ，所以 x ? 2 。[来源:Zxxk.Com] 答案：选 C。 点评：函数自变量的取值范围一般要考虑两个因素：一是自变量要有意义；二是实际问题要 有意义。 考虑第一个因素时， 除了要使分母不为 0 外， 还要注意使被开方数是非负数。1 中，自变量 x 的取值范围是（ x?2 C． x ? 2 D． x ? ?2）26（2012 山东省聊城，5，3 分）函数 y ? A. x＞2 B. x＜21 x?2中，自变量 x 取值范围是（ ） D. x≥2C. x≠2解析：式子 x ? 2 要有意义，则 x≥2，由于在函数中的分母处，所以 x≠2.因此函数的自 变量取值范围是 x＞2. 答案：A 点评：在没有表示实际问题时，若函数表达式是整式，自变量取值范围是全体实数；若函数 表达式是分式，自变量取值范围是分母不能为 0；函数表达式是二次式，自变量取值范围是 被开方数为非负数；若函数表达式既有分式又有二次根式，要两者兼顾.(2012 四川省南充市，8，3 分) 在函数 y ?1? 2x 中，自变量 x 的取值范围是（ 1 x? 2C．x&）A．x≠1 2B． x ?1 21 2D． x ?1 2?1 ? 2 x ? 0 1 ? 解析：要使函数有意义，则 ? ，所以 x ? . 1 2 ?x ? 2 ? 0 ?答案：C 点评：对复杂的函数解析式，要使其有意义，既要保证分子的二次根式有意义，还要考 虑分母不能为零。（2012 湖南湘潭，3，3 分）下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x ≥ 3 的是 A． y ?1 x?3B. y ?1 x?3C. y ? x ? 3D. y ?x?3【解析】 y ?1 的自变量 x 的取值范围是 x ≠ 3 ； y ? x?31 x?3的自变量 x 的取值范围是 x ＞ 3 ； y ? x ? 3 的自变量 x 的取值范围是 x 为一切实数； y ? 取值范围是 x ≥ 3 。x ? 3 的 自变量 x 的【答案】选 D。 【点评】此题考查函数的自变量 x 的取值范围，要注意，分母不能为 0，二次根式的被 开方数为非负数。]（2012 浙江省衢州， 3 分） 4， 函数 y＝ x ? 1 的自变量 x 的取值范围在数轴上可表示为()27A. B. C. D. 【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0，即 x ? 1 ? 0 可以求出 x 的范围． 【答案】D 【点评】本题主要考查了函数自变量的范围的确定． 一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． (2012 重庆，8，4 分)2012 年“国际攀岩比赛”在重庆举行．小丽从家出发开车前去观看， 途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后 聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为 t，小丽与比赛现 场的距离为 S．下面能反映 S 与 t 的函数关系的大致图象是( )解析：注意此题中的 s 代表小丽与比赛场地的距离，根据每一阶段，她与比赛场地距离的变 化趋势，即可求出答案。 答案：最初小丽开车前往比赛场地，说明这一阶段时间她离比赛场地越来越近，在坐标系里 应为直线从左往右是向下的， 途中发现忘带门票， 车往回开， 此时， 她离比赛场地越来越远， 在坐标系里应为直线从左往右是向上的，和妈妈聊天，此时，和比赛场地距离没变，此时， 在坐标系里应为直线从左往右是水平的，接着继续开车前往比赛现场，这一阶段，她和比赛 场地的距离是越来越近的，在坐标系里应为直线从左往右是向下的。故选 B 点评：对照图形联系题意是解答此类问题的关键。（ 2012 湖南益阳，8，4 分）在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度 （T）随加热时间（t）变化的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．【解析】有水在一个标准大气压下的最高温度只能到 100 度，故排除 A、C，再有，在均匀28加热过程中，水温逐渐升高，故选择 B. 【答案】B 【点评】 此题是一个生活中常见的现象， 但还是会有一部分考生对生活不够细心而把它做错， 特别是在均匀加热时，会有考生认为没有升温，而错选 D 。本题体现了数学来源于生活， 而又指导生活的理念。（2012 浙江省绍兴，14，5 分）小明的父母出去散步，从家走了 20 分钟到一个离家 900 米 的报亭，母亲随即按原速度返回家.父亲在报亭看了 10 分报纸后，用 15 分钟返回家.则表示 父亲、母亲离家距离与时间之间的关系的图象分别是 ▲ （只需填写序号）.【解析】从小明的父母散步的时间段看，分为 0-20 分钟散步，然后母亲随即按原速度返回 家也需要 20 分钟，父亲 20-30 分钟在报亭看了 10 分报，然后用 15 分钟返回家．所以表示 父亲、母亲离家距离与时间之间的关系的图象分别是④，②． 【答案】④，② 【点评】 本题考查利用函数的图象解决实际问题． 正确理解函数图象横纵坐标表示的意 义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． （2012 浙江丽水 4 分， 题） 乙两人以相同路线前往学校 12 千米的地方参加植树活动， 14 甲、 图中 l 甲、l 乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶路程 S（千米）随 时间 t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶_______千米.12 12 2 = （千米） ，乙每分钟行驶 =1 18 - 6 30 5 2 3 （千米） ，所以每分钟乙比甲多行驶 1- = （千米）. 5 5 3 【答案】 ： 5【解析】 ：甲每分钟行驶 【点评】 ：本题主要考查从函数图象中获取信息的能力.读懂函数图象是解题的关键. （2012 四川省资阳市，7，3 分）如图所示的球形容器上连接着两根导管，容器中盛满了不 溶于水的比空气重的某种气体， 现在要用向容器中注水的方法来排净里面的气体． 水从左导 管匀速地注入，气体从右导管排出，那么，容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的 大致图象是[来源:%@中~教 *网]29水体 积体 积气体体 积体 积时间时间时间时间ABCD（第 7 题图）【解析】由于球形容器中盛满了不溶于水的比空气重的某种气体，结合物理学知识：从左导 管匀速注入的水的体积与右导管中排出的气体的体积是相等的， 且被匀速的排出， 即单位时 间内排出的体积是相等的，再由刚开始的最大体积到最后的最小体积，故选 C． 【答案】C 【点评】 本题把实际问题与函数图像结合起来， 在解决这类问题是首先要看清横轴与纵轴分 别表示的是哪一个变量，结合实际生活背景来解决.难度中等.（2012 四川内江，7，3 分）函数 y＝1 ＋ x 的图象在 xA．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 【解析】由二次根式及分式的定义，得出 x＞0，则 y＞0，故函数图象上任意点的横、 纵坐标均为正数，所以该函数图象在第一象限． 【答案】A 【点评】二次根式要求被开方数非负，分式要求分母不能等于 0，先由这两点确定自变 量 x 的取值范围， 再得出 y 的正负性即可作出判断， 这当中渗透了点动成线的运动变化的数 学思想．（2012 江苏盐城，9，3 分）若二次根式 x ? 1 有意义，则 x 的取值范围是.【解析】本题考查了二次根式有意义时 x 的取值范围.掌握二次根式有意义的条件是关键. 二次根式有意义的条件是被开方数必须为非负数. 【答案】自变量的取值范围就是使代数式有意义的未知数的值，因此 x 中自变量 x 的取值 范围 x+1≥0，所以 x≥-1. 【点评】 函数中自变量的取值范围是通过函数表达式中每个部分都有意义而共同确定的． 考 查函数自变量的取值范围，这是一道很常见的试题，属于基础题． （ 2012 湖 北 随 州 ， 12,4 分 ） 函 数 y ? ___________________。 解析：要使函数中的二次根式 2 x ? 5 有意义，则 2x+5≥0，即 x≥ ? 答案： x ? ?2x ? 5 中 ， 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是5 。 25 2点评：本题考查了自变量的取值范围。当函数关系式中含有二次根式时，二次根式的被开方 数要为非负数。3018.2 正比例函数与一次函数 (2012 四川省南充市，4，3 分) 下列函数中，是正比例函数的是（ A．y=-8x 解析：B、y= B．y=）[来源:学科网] D．y=-0.5x-1?8 2 ，自变量次数不为-1，故本选项错误；C、 y ? 5 x ? 6 ，自变量次数为 2， x?8 xC． y ? 5 x ? 62故本选项错误；D、y=-0.5x-1 是一次函数， K=-1， 但 故不是正比例函数。D、y=-( 2 +1)x 3 ， 符合正比例函数的含义，故本选项正确． 答案：A 点评： 正确理解正比例函数意义是解答本题的关键， 要明确正比例函数是截距为 0 的一次函 数。 （湖南株洲市 3,12）一次函数 y ? x ? 2 的图像不经过第象限.【解析】因为一次函数 y=x+2 可知 k&0,b&0,所以一次函数图象经过一、二、三象限，所以 不经过第四象限. 【答案】四 【点评】对于一次函数的图象所经过的象限与 k、b 的值有关系，当 k&0,b&0 时,一次函数图 象经过一、二、三象限；当 k&0,b&0 时,一次函数图象经过一、三、四象限; 当 k&0,b&0 时, 一次函数图象经过一、二、四象限；当 k&0,b&0 时,一次函数图象经过二、三、四象限 （2012浙江省嘉兴市， 10， 4分） 如图,正方形ABCD的边长为a,动点P从点A出发,沿折线A→B 一D→ C→A的路径运动,回到点A时运动停止.设点P运动的路程长为x,AP长为y,则y关于x的 函数图象大致是( )【解析】点 P 从点 A 出发, 在 A→B 的过程中,是匀加速运动, y 与 x 的函数图象是一条线段; 在 B 一 D 的过程中, y 随 x 的变化出现了先减后增的变化,图象呈抛物线形;在 D→ C 的过程 中, y 随 x 的增加而增加, ,图象呈上升趋势; 在 C→A 的过程中,又是匀减速运动, y 与 x 的函 数图象是一条线段. 故选 D. 【答案】D. 【点评】本题考查函数图象的识别. 18.3 一次函数的图象31（2012 浙江省温州市，4，4 分）一次函数 y ? ?2 x ? 4 的图象与 y 轴的交点坐标是（ A. （0，4） B.（4，0） C.（2，0） D.（0，2））【解析】一次函数的图象与 y 轴的交点横坐标为 0.令 x=0，代入方程即可求解。 【答案】A 【点评】本题是一次函数的简单应用，关键要把握坐标轴上的点的坐标特征，题的难度较小 18.4 一次函数的性质 （2012 贵州贵阳，13，4 分）在正比例函数 y=-3mx 中，函数 y 的值随 x 的值的增大而增大， 则 P(m,5)在第 象限. 解析：由函数 y 的值随 x 的值的增大而增大，得-3m&0,解不等式得 m&0,故点 P(m,5)在 第二象限内. 答案：二. 点评：本题虽然是一道填空题，但涉及一次函数的性质、不等式的解法、点的坐标与位 置的关系等，较综合，易错点多（三个知识点都是易错点） ，应注意. 18.5 一次函数的应用 （2012 山东省荷泽市，17(1),7）(1)如图，一次函数 y= ? x ? 2 的图象分别与 x 轴、y 轴交 于点 A、B，以线段 AB 为边在第一象限内作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90?，求过 B、C 两点 直线的解析式.2 3【解析】利用三角形全等求出 C 点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式 【答案】(1)解：y= ? x ? 2 与 x 轴、y 轴的交点坐标为(3,0),(0,2)。如图，从 C 作 CD⊥x 轴， 因为 Rt△ABC 是等腰三角形，所以 AB=AC，轩为∠BAO+∠CAD=90?，∠BAO+∠ABO=90?， 所以∠CAD=∠ABO，∠BOA=∠CDA=90?，所以△AOB≌△CDA，所以 AO=CD=3，BO=AD=2，所 以 OD=5,即 C（5，3） 把 B（0，2）与 C（5，3）代入 y=kx+b 得，2 3?1 ? 1 ?k ? 2?b ，解之得： ? 5 ，所以直线解析式 y ? 5 x ? 2 3 ? 5k ? b ?b ? 2 ?32【点评】求一点的坐标，就是求该点到 x 轴、y 轴的距离，求函数的解析式常用的方法是待 定系数法，就是把点的坐标代入关系式，组成关于 k、b 的方程组，求出 k、b 的值即可以确 定关系式. 18.6 一次函数与一元一次方程 （2012 浙江省湖州市，15，4 分）一次函数 y ? kx ? b （k.b 为常数，且 k≠0）的图象如图 所示，根据图象信息可求得关于 x 的方程 kx+b=4 的解为 。【解析】由函数图象得，直线经过（0,1）（2,3）两点，根据待定系数法求得一次函数解析 ， 式，将 y=4 代入所求的解析式，即求得 x 值。 【答案】∵一次函数 y ? kx ? b 过（0,1）（2,3） ， ，∴ ? 析式为 y ? x ? 1 ，当 y=4 时，x=3. 【点评】本题主要考查一次函数解析式的求法及已知函数值求自变量 的值，处理问题的关 键是从图象中挖掘信息（点的坐标），应用待定系数法求得函数解析式，是基础题。 （3） （2012 贵州贵阳，7，3 分）如图，一次函数 y=k1x+b1 的图象 l1 与 y=k2x+b2 的图象 l2 相交于点 P,则方程组 ??b ? 1 ? b ?1 ，解得 ? ，∴一次函数解 ?k ? 1 ?2k ? b ? 3? y ? k1 x ? b1 , 的解是（ ? y ? k 2 x ? b2y）L2 l1 P 3-2 O 第 7 题图x33A. ?? x ? ?2, ?y ? 3B. ?? x ? 3, ? y ? ?2C. ?? x ? 2, ?y ? 3D. ?? x ? ?2, ? y ? ?3解析：由图可知，P 点坐标是（-2，3） ，所以方程组 ?? y ? k1 x ? b1 , ? x ? ?2, 的解是 ? ? y ? 3. ? y ? k 2 x ? b2解答：选 A． 点评：本题主要考查一次函数与一次方程（组）的关系，两个函数的图象的交点坐标就 是联立这两个函数所得方程组的解.同时，本题的求解也体现了数形结合思想，即通过看交 点的坐标确定方程组的解. 10. （2012 四川攀枝花，10，3 分）如图 3，直角梯形 AOCD 的边 OC 在 x 轴上，O 为坐标 原点，CD 垂直于 x 轴，D（5,4），AD=2.若动点 E、F 同时从点 O 出发， E 点沿折线 OA ? AD ? DC 运动，到达 C 点时停止； F 点沿 OC 运动，到达 C 点时停止，它们运动 的速度都是每秒１个单位长度。设 E 运动秒 x 时，△ EOF 的面积为 y （平方单位），则 y 关于 x 的函数图象大致为（ ）【解析】D（5,4）AD=2，A（3，4） ，AO=OC=5，所以当点 E 到达点 A 时，点 F 到达点 C4 2 x ， y ? x 2 ，故 A、B 不对。当点 E 在 CD 5 5 5 55 上运动时，点 F 与点 C 重合，此时 EC=11Cx， y ? ? x ? ，故 C 正确。 2 2且停止运动。当 x≤5 时，OE=OF=x，EG=34yA EDyAD Ex O【答案】C 【点评】本题考查了动点问题。点动与面积变化之间的函数关系。 18.5 一次函数的应用 17.（2012 山东省荷泽市，17(1),7）x O CFGFC(1)如图，一次函数 y= ? x ? 2 的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，以线段 AB 为边在第 一象限内作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90?，求过 B、C 两点直线的解析式.2 3【解析】利用三角形全等求出 C 点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式 【答案】(1)解：y= ? x ? 2 与 x 轴、y 轴的交点坐标为(3,0),(0,2) 如图，从 C 作 CD⊥x 轴，因为 Rt△ABC 是等腰三角形，所以 AB=AC，轩为∠BAO+∠CAD=90 ?，∠BAO+∠ABO=90?，所以∠CAD=∠ABO，∠BOA=∠CDA=90?，所以△AOB≌△CDA，所 以 AO=CD=3，BO=AD=2，所以 OD=5,即 C（5，3） 把 B（0，2）与 C（5，3）代入 y=kx+b 得，2 3?1 ? 1 ?k ? 2?b ，解之得： ? 5 ，所以直线解析式 y ? 5 x ? 2 3 ? 5k ? b ?b ? 2 ?【点评】求一点的坐标，就是求该点到 x 轴、y 轴的距离，求函数的解析式常用的方法是待 定系数法，就是把点的坐标代入关系式，组成关于 k、b 的方程组，求出 k、b 的值即可以确 定关系式.3518.6一次函数与一元一次不等式（2011 山东省潍坊市，题号 11，分值 3）11、若直线 y ? ?2 x ? 4 与直线 y ? 4 x ? b 的交点 在第三象限，则 b 的取值范围是（ ） A． ? 4 ? b ? 8 B． ? 4 ? b ? 0 C． b ? ?4 或 b ? 8 D． ? 4 ? b ? 8 考点：一次函数的图像、二元一次方程组的解和解一元一次不等式组。 解答：因为直线 y ? ?2 x ? 4 与直线 y ? 4 x ? b 的交点坐标是就是二元一次方程组?b?4 ? ?? b ? 4 ?x ? 6 ? 6 ?0 ? y ? ?2 x ? 4 ? ? 解得 ? 因为交点在第三象限所以 ? 解得 ? 4 ? b ? 8 ? ? y ? 4x ? b ?y ? b ? 8 ?b ? 8 ? 0 ? ? 3 3 ? ?所以本题正确答案是 A. 点评：本题考查了“一次函数的图像、二元一次方程组的解和解一元一次不等式组”。根据 已知条件得到方程组和一元一次不等式组是解决本题的关键。 （2012 湖北襄阳，24，10 分）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结 合地方实际，决定从 2012 年 5 月 1 日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体 收费标准见下表： 一户居民一个月用电量的范围 不超过 150 千瓦时的 超过 150 千瓦时，但不超过 300 千瓦时的部分 超过 300 千瓦时的部分 电费价格（单位：元/千瓦时） a b a＋0.32012 年 5 月份，该市居民甲用电 100 千瓦时，交电费 60 元；居民乙用电 200 千瓦时， 交电费 122.5 元．设该市一户居民在 2012 年 5 月以后，某月用电 x 千瓦时，当月交电费 y 元． （1）上表中，a＝________；b＝________； （2）请直接写 y 与 x 之间的函数关系式； （3）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时时，其当月的平均 电价每千瓦时不超过 0.62 元？ 【解析】 （1）由 100＜150，得 100a＝60，解得 a＝0.6；由 150＜200＜300，得 15 0× 0.6 ＋(200－150)× b＝122.5，解得 b＝0.65．（2）分 x≤150，150＜x≤300 ，x＞300 三种情况 列函数关系式．（3）分别用（2）中的三个函数关系式与当月总电费建立不等式求解． 【答案】解：（1）a＝0.6；b＝0.65． （2）当 x≤150 时，y＝0.6x． 当 150＜x≤300 时，y＝0.65x－7.5． 当 x＞300 时，y＝0.9x－82.5． （3）当居民月用电量 x≤150 时，0.6x≤0.62x，故 x≥0. 当居民月用电量 x 满足 150＜x≤300 时，0.65x－7.5≤0.62x，解得 x≤250．36当居民月用电量 x 满足 x＞300 时，0.9x－82.5≤0.62x，解得 x≤ 2949 ． 14综上所述，试行“阶梯电价”后，该市一户居民月用电量不超过 250 千瓦时时，其月平 均电价每千瓦时不超过 0.62 元． 【点评】本题主要考查学生的阅读理解能力和应用数学的意识，属于方程、一次函数、 不等式综合应用题，并涉及到分段函数，有较大的难度．解答关键是根据用电数和钱数，看 看在哪个阶段，然后求出解．可以先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解，接着 可求得函数解析式．当已知函数解析式时，再分情况建立不同的不等式解答．其实问题（3） 就是已知函数值的范围求自变量的范围． （2012 四川攀枝花，20，8 分）（8 分）煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业 需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并 纳入企业生产计划。某煤矿现有 1000 吨煤炭要全部运往 A、 两 厂， B 通过了解获得 A、 两厂的有关信息如下表 B （表中运费栏 “元 / t ? km”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用 ）： 厂别 A B 运费（ 元/ t ? km） 0.45 路程（ km ） 200 150 需求量（ t ） 不超过 600 不超过 800a(a为常数)（1）写出总运费 y （元）与运往厂的煤炭量 x （ t ）之间的函数关系式，并写出自变量的 取值范围； （2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费 （可用含 a 的代数式表示） 【解析】 （1）根据总费用=运往 A 厂的费用+运往 B 厂的费用．经化简后可得出 y 与 x 的函 数关系式， （2）根据图表中给出的判定吨数的条件，算出自变量的取值范围，然后根据函数的性质来 算出所求的方案． 【答案】解：（1）若运往 A 厂 x 吨，则运往 B 厂为（1000-x）吨． 依题意得：y=200×0.45x+150×a×（1000-x）=90x-150ax+150000a=（90-150a）x+150000a 依题意得： ?? x ? 600 ?1000 ? x ? 800解得：200≤x≤600． ∴函数关系式为 y=（90-150a）x+150000a， （200≤x≤600） ． （2）当 0＜a＜0.6 时，90-150a＞0， ∴当 x=200 时，y 最小=（90-150a）×200+． 此时，1000-x=． 当 a＞0.6 时，90-150a＜0，又因为运往 A 厂总吨数不超过 600 吨， ∴当 x=600 时，y 最小=（90-150a）×600+000a+54000． 此时，1000-x=． 答： 0＜a＜0.6 时， 当 运往 A 厂 200 吨， 厂 800 吨时， B 总运费最低， 最低运费 000 元． 当 a＞0.6 时，运往 A 厂 600 吨，B 厂 400 吨时，总运费最低，最低运费 6． 【点评】 本题考查了利用一次函数的有关知识解答实际应用题， 一次函数是常用的解答实际37问题的数学模型，是中考的常见题型，同学们应重点掌握． （2012 湖北黄石，23，8 分）某楼盘一楼是车库（暂不出售） ，二楼至二十三楼均为商品房 （对外销售） ．商品房售价方案如下：第八层售价为 3000 元/米 2，从第八层起每上升一层， 每平方米的售价增加 40 元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少 20 元．已知商品 房每套面积均为 120 平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案： 方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的 30%） ，再办理分期付款（即贷款） ． 方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受 8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每 月物业管理费为 a 元） ⑴请写出每平方米售价 y（元/米 2）与楼层 x（2≤x≤23，x 是正整数）之间的函数解析式． ⑵小张已筹到 120000 元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？ ⑶有人建议老王使用方案二购买第十六层， 但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接 享受 9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法． 【解析】⑴注意到 2≤x≤23，分 2≤x≤8 与 9≤x≤23 两种情况考虑． ⑵就 2≤x≤8 与 9≤x≤23 两种情况下，从首付款方面运用不等式知识解决． ⑶列出方案二与老王想法两种情形下所交房款的代数表达式， 并比较两种情形下所交房款的 多少，得出结论． 【答案】 （1）①当 2≤x≤8 时，每平方米的售价应为： 3000－（8－x）× 20＝20x＋2840 (元／平方米) ②当 9≤x≤23 时，每平方米的售价应为：3000＋（x－8）? 40＝40x＋2680(元／平方米) ∴y??20x? 2840,(2 ? x ?8) 40x? 2680,(9 ? x ?23) ， x 为正整数（2）由（1）知： ①当 2≤x≤8 时，小张首付款为（20x＋2840） ?120?30% ＝36（20x＋2840）≤36（20?8＋2840）＝108000 元＜120000 元 ∴2～8 层可任选 ②当 9≤x≤23 时，小张首付款为（40x＋2680） ?120?30%＝36（40x＋2680）元 36（40x＋2680）≤120000，解得：x≤49 1 ? 16 3 3∵x 为正整数，∴9≤x≤16 综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层． （3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为： y1＝(40?16＋2680) ?120?92%－60a（元） 若按老王的想法则要交房款为：y2＝(40?16＋2680) ?120?91%（元） ∵y1－y2＝3984－60a ∴当 y1＞y2 即 y1－y2＞0 时，解得 0＜a＜66．4，此时老王想法正确； 当 y1≤y2 即 y1－y2≤0 时，解得 a≥66．4，此时老王想法不正确． 【点评】此题考查了用一次函数、一元一次不等式(组)来解决实际问题，渗透了分类讨论思 想．难点主要是对文字的阅读理解，分段函数．难度较大． （2012 湖南娄底， 10 分） 24， 已知二次函数 y ? x2 ?(m2?2)x ?2m 的图象与 x 轴交于点 A 1， （x 0）和点 B（x2，0），x1&x2，与 y 轴交于点 C，且满足 （1）求这个二次函数的解析式；381 1 1 ? ? . x1 x2 2（2） 探究： 在直线 y ? x ? 3 上是否存在一点 P， 使四边形 PACB 为平行四边形？如果有， 求出点 P 的坐标；如果没有，请说明理由. yOx图 12 【解析】 （1）当 y=0 时，则 x2 ?(m2?2)x ?2m=0 的两根为 x1，x2，由一元二次方程根与系数 的关系得，x1+x2= m2?2，x1x2= ?2m，根据1 1 1 ? ? 得关于 m 的方程，从而求出 m,得二次 x1 x2 2函数的解析式。 （2）求出平行四边形 PACB 的点 P 的坐标，判断是否在 y ? x ? 3 上即可。 【答案】(2)y=0 时，则 x2 ?(m2?2)x ?2m=0 的两根为 x1，x2，由一元二次方程根与系数的关 系得， 1+x2= m2?2， 1x2= ?2m， x x 因为x +x 1 1 1 1 ? ? ， 2 1= ， 所以 2 x1 x2 xx 21 2m 2 -2 1 解得 m=-2 ? ， -2m 2或 m=1,当 m=-2 时二次函数 y ? x2 ?(m2?2)x ?2m 的图象与 x 轴无交点， 所以 m=1, 二次函数 2 2 的解析式为 y= x +x ?2.（2）由 y= x +x ?2 可得 A（-2，0） ，C（0-2） ，B（1，0） ，当四边 形 PACB 为平行四边形时，点 P 坐标为（-1，2） ，当 x=-1 时，y=2,所以在在直线 y ? x ? 3 上是否存在一点 P（-1，2） ，使四边形 PACB 为平行四边形. 【点评】考查了二次函数、一元二次方程根与系数的关系、坐标条求点的坐标及平行四边形 的有关问题，求二次函数系数时，要注意验证函数图象与 x 轴必须有交点，同时注意四边形 PACB 顶点字母的顺序性。 （2012 北京，17，5）如图，在平面 直角坐标系 xOy 中，函数 y ? 数 y ? kx ? k 的图象的交点为 A ? m ，2 ? . （1）求一次函数的解析式； （2） 设一次函数 y ? kx ? k 的图象与 y 轴交于点 B ， P 是 x 轴上一点， 且满足 △PAB 若 的面积是 4，直接写出点 P 的坐标． 【解析】反比例函数、一次函数 【答案】解（1） 把 A（m,C2）代入 y ?4 x 4 ? x ? 0? 的图象与一次函 x解得 m=2,即 A（2，C2）把 A（2，C2）代入39y ? kx ? k ，解得 k=2，即 y=2xC2(2)y=2xC2 与 y 轴交于点 B B（0，C2） S△PAB=1 1 PC（yACyB）= PC× 4=2PC=4 2 2∴PC=2 ∴P1（C1，0） 2（3，0） ，P 【点评】本题考查了利用反比例函数的知识求点的坐标，并利用点的坐标求出一次函数的 解析式。第二小题中利用割的方法表示出三角形的面积，并求出底的长，从而得到点 P 的坐标。函数 y =1+ 2 x-4 中自变量 x 的取值范围是__________. 【解析】 2 x ? 4 有意义的条件是 2x ? 4 ? 0 ，所以解不等式得 x ? 2 。 【答案】 x ? 2 【点评】本题主要考查根式有意义的条件是：被开方数大于或等于 0.(2012 山东省临沂市，24，10 分）小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市 20 天全部销售完，小明对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量 y（单 位：千克）与上市时间 x（单位：天）的函数关系如图 1 所示，樱桃价格 z（单位：元/千克） 与上市时间 x（单位：天）的函数关系如图 2 所示。（1）观察图象，直接写出日销售量的最大值； （2）求李明家樱桃的日销售量 y 与上市时间 x 的函数解析式； （3）试比较第 10 天与第 12 天的销售金额哪天多？ 【解析】 （1）观察图象 1，可直接得出第 12 天时，日销售量最大 120 千克； （2）观察图象 1 可得，日销售量 y 与上市时间 x 的函数关系式存在两种形式，根据直线所 经过点的坐标，利用待定系数法直接求得函数解析式； （3）观察图象 1，根据（2）求出的函数解析式，分别求出第 10 天和第 12 天的日销售量， 再根据图象 2，求出第 10 天和第 12 天的销售单价，求出第 10 天和第 12 天的销售金额，最 后比较。 解： （1）120 千克；40（2）当 0≤x≤12 时，函数图象过原点和（12,120）两点，设日销售量 y 与上市时间 x 的函数 解析式为 y=kx,由待定系数法得，120=12k,∴k=10,即日销售量 y 与上市时间 x 的函数解析式 为 y=10x； 当 12≤x≤20 时，函数图象过（20,0）和（12,120）两点，设日销售量 y 与上市时间 x 的函数 解析式为 y=kx+b,由待定系数法得， ??12k ? b ? 120 ? k ? -15 ,解得 ? ，即日销售量 y 与上市时间 ?b ? 300 ? 20k ? b ? 0x 的函数解析式为 y=-15x+300； （3）由函数图象 2 可得，第 10 天和第 12 天在第 5 天和第 15 天之间，当 5＜x≤15 时，直线 过（5,32）（15,12）两点，设樱桃价格 z 与上市时间 x 的函数解析式为 z=kx+b,由待定系数 ， 法得， ?? k ? -2 ? 5k ? b ? 32 ，解得 ? ，即樱桃价格 z 与上市时间 x 的函数解析式为 z=-2x+42， ?b ? 42 ?15k ? b ? 12∴当 x=10 时，日销售量 y=100 千克，樱桃价格 z=22 元，销售金额为 22×100=2200 元； 当 x=12 时，日销售量 y=120 千克，樱桃价格 z=18 元，销售金额为 18×120=2160 元； ∵，∴第 10 天的销售金额多. 【点评】本题考查了一次函数的应用，此类题是近年中考中的热点问题．题目还考查了二元 一次方程组的解法， 特别是应用待定系数法求一次函数的解析式时， 此函数是一个分段函数， 同时应注意自变量的取值范围．（2012 浙江省衢州，22，10 分） 在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对 A，B 两村 之间的公路进行改造，并由甲工程队从 A 村向 B 村方向修筑，乙工程队从 B 村向 A 村方向 修筑.已知甲工程队先施工 3 天， 乙工程队再开始施工.乙工程队施工几天后因另有任务提前 离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通.下图是甲乙两个工程队修公路的长 度 y(米)与施工时间 x(天)之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）乙工程队每天修公路多少米？ （2）分别求甲、乙工程队修公路的长度 y(米)与施工时间 x(天)之间的函数关系式. （3）若该工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？【解析】（1）乙工程队一共修公路 720 米，总共修了(9－3)天； （2）观察图象，用待定系数法求修公路的长度 y(米)与施工时间 x(天)之间的函数关系 式. （3）列出一元一次方程求解. 【答案】解：（1）∵720÷(9－3)＝120 ∴乙工程队每天修公路 120 米.?3k ? b＝0 （2）设 y 乙＝kx+b，则 ? ?9k ? b＝72041120 ?k＝ ∴? ∴y 乙＝120x－360 ?b＝ ? 360当 x＝6 时，y 乙＝360 设 y 甲＝kx，则 360=6k，k＝60，∴y 甲＝60x （3）当 x＝15 时，y 甲＝900， ∴该公路总长为：720+900＝1620(米) 设需 x 天完成，由题意得，(120+60)x＝1620 解得 x＝9 答：需 9 天完成 【点评】本题考查了函数的图象和一次函数的应用，培养学生观察图象的能力，分析解决问 题的能力，要培养学生视图知信息的能力．解决此类题目最关键的地方是经过认真审题，从 中整理出一次函数模型，用一次函数的知识解决此类问题． （2012 湖南湘潭，21，6 分）已知一次函数 y ? kx ? b?k ? 0? 图象过点 (0,2) ，且与 两坐标 轴围成的三角形面积为 2 ，求此一次函数的解析式. 【解析】 根据三角形面积确定一次函数 y ? kx ? b?k ? 0? 图象在 X 轴的交点为 （2， 或 0） （― 2，0） ，将两点坐标代入一次函数 y ? kx ? b?k ? 0? 中求出系数 k、b 的值。【答案】解：设一次函数 y ? kx ? b?k ? 0? 图象与 X 轴交点为 D（d,0）,因一次函数y ? kx ? b?k ? 0? 图象过点 (0,2) ，且与 两坐标轴围成的三角形面积为 2 ，则得 d=±2。1 ×2 d =2， 2将两点坐标（0，2） （2，0）代入一次函数 y ? kx ? b?k ? 0? 中，得 b=2，2k+b=0，k=―1。 此一次函数的解析式为 Y=―x+2. 将两点坐标（0，2） （―2，0）代入一次函数 y ? kx ? b?k ? 0? 中，b=2，―2k+b=0，k=1。 此一次函数的解析式为 Y=x+2. 【点评】此题考查一次函数的图象、性质与几何知识的应用，点、图形、点的坐标、方程几42者之间的关系。点在图形上，点的坐标就满足这个解析式（方程） ，利用待定系数法得到方 程组，通过解方程组最终解决问题. (2012 山东省聊城， 23， 分） 8 直线 AB 与 x 轴交于点 A （1， ， y 轴交于点 B 0） 与 （0， .[来 -2） 源:Z*xx*k.Com] （1）求直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 上一点 C 在第一象限，且 S ?BOC ? 2 ，求点 C 坐标.解析： （1）将 A（1，0） ，B（0 ，-2）两点代入一次函数 y=kx+b，先求出 k、b 值； （2） 设点 c 坐标为（m，n） ，结合点 C 在直线上与面积值为 2 即可解题. 解（1）设直线 AB 解析式为 y=kx+b， ∵A（1，0） ，B（0，-2）在直线 AB 上， ∴??k ? b ? 0 ?k ? 2 ，即 ? . ?b ? ?2 ?b ? ?2∴直线 AB 解析式为 y=2x-2. （2）设点 C（m，n） ，该点在直线 y=2x-2 上， ∴n=2m-2. ∵ S ?BOC ? 2 ，∴1 ? m(2m ? 2) ? 2 ，即 m 2 ? m ? 2 ? 0 . 2解此方程得 m1 ? 2, m2 ? ?1 （舍去）. ∴n=2× 2-2=2，点 C 坐标为（2，2）. 点评：本题以一此函数图像为背景，考察了用待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程 等知识，突显函数与方程结合，同时把数形结合思想融为一体. （2012 广州市，23， 12 分）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过 20 吨，按每吨 1.9 元收费：每户每月如果超过 20 吨，未超过的部分按每吨 1.9 元收费，超 过的部分则按每吨 2.8 元收费，设某户每月用水量为 x 吨，应收水费为 y 元。 {1}分别写出每月用水量未超过 20 吨和超过 20 吨时，y 与 x 间的函数关系式： [2]若该城市某户 5 月份水费平均为每吨 2.2 元，求该户 5 月份用水多少吨？ 【解析】 （1）把函数关系式按照自变量的取值范围分为两段， （2）分析得到 5 月份的用水43量超过 20 吨，代入相应关系式可求解。 【答案】 （1） y ? ?x x ?1.9（x＜20） ?1.9（x＜20） 即： y ? ? （x≥20） （x≥20） ? 2.8 x ? 18 ?2.8( x ? 20) ? 1.9 20（2）由于 5 月份水费平均为每吨 2.2 元，超过 1.9 元，用水超过 20 吨，于是有 2.8x－18=2.2×x,解得 x=30 吨。 答：5 月份用水 30 吨. 【点评】本题考查了分段函数，按照自变量分为小于 20 和大于等于 20 吨两段分别列出解 析式； （2）代入相应的解析式列方程求解。 （2012 浙江省义乌市，22，10 分）周末,小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发 0.5 小时后到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地.小明离家 1 小 时 20 分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,如图是他们离家 的路程 y（km）与小明离家时间 x（h）的函数图象．已知妈 妈驾车的速度是小明骑车速度的 3 倍． （1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间； （2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？ （3）若妈妈比小明早 10 分钟到达乙地,求从家到乙地的路程. y(km)10 O 0.5 14 3x(h)【解析】 （1）由图易知小明前 0.5 小时匀速行驶，可求出其速度。 （2）由小明和妈妈骑车的速度，即两图象在 x＞1 时的斜率，可分别设出两个对应的函数关 系式，再分别将（1,10）（ ，4 ，0）代入相应函数解析式即可． 3（3）本题可先设出 E、C 的坐标，再由二者横坐标的关系，列方程求出二者坐标即可。也可 根据路程与速度时间的关系及时间差，求出从家到乙地的路程。10 ? 20(km/ h) 0.5 （2）妈妈驾车速度：20× 3=60（km/h） 设直线 BC 解析式为 y=20x＋b1，把点 B（1,10）代入得 b1=－10 ∴y=20x－10解： （1）小明骑车速度： 设直线 DE 解析式为 y=60x＋b2，把点 D（ 代入得 b2=－80 ∴? ∴y=60x－80 解得 ?在甲地游玩的时间是 0.5（h） ， y(km) E C F4 ，0） 310 OA 0.5B D 1 4 3 x(h)? y ? 20 x ? 10, ? y ? 60 x ? 80? x ? 1.75 ? y ? 25∴交点 F（1.75,25）44答：小明出发 1.75 小时（105 分钟）被妈妈追上，此时离家 25km. （3）方法一：设从家到乙地