5人站成一排照相，甲不站在排头的排法有A.24种B.72种C.96种D.120种
试题“5人站成一排照相，甲不站在排头的排法有A.24种B...”；主要考察你对
等知识点的理解。
观察下面各算式：甲：
．对于甲、乙两种解法，下面说法正确的是（　　）
A．甲、乙两种解法都正确
B．甲种解法正确，乙种解法错误
C．甲种解法错误，乙种解法正确
D．甲、乙两种解法都错误
甲、乙、丙、丁四名运动员参加4×100米接力赛，甲必须为第一接力棒或第四接力棒的运动员，那么这四名运动员在比赛过程的接棒顺序有（　▲　）
甲、乙、丙、丁四人一起到冰店买红豆与桂圆两种棒冰。四人购买的数量及总价分别如表所示。若其中一人的总价算错了，则此人是（
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5人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有________种．
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5人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有________种．
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1由数字0,1,2,3,4,5可以组成：(1)多少个没有重复数字的六位偶数；(2)多少个没有重复数字的比102345大的自然数．2安排5名选手的演讲顺序时，要求某名选手不第一个出场，另一名选手不最后一个出场，则不同排法的总数是________(用数字作答)．3由数字1,3,4,6，x五个数字组成没有重复数字的五位数，所有这些五位数各位数字之和为2640，则x＝________.4有5个人并排站成一排，如果B必须站在A的右边，(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有________种．
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排列组合学案
课10． 题： 10．2 排列 (一)3（1） A16 ； 例 1．计算：（2） A6 ；6（3） A6 ．4（1）若 An = 17 × 16 × 15 × L × 5 × 4 ，则 n = 例 2．m，m =．（2）若 n ∈ N , 则 (55 ? n)(56 ? n) L (68 ? n)(69 ? n) 用排列数符号表示．（1）从 2,3, 5, 7,11 这五个数字中，任取 2 个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？ 例 3． （2）5 人站成一排照相，共有多少种不同的站法？ （3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有 14 队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛 1 次，共进行多少 场比赛？课堂练习： 课堂练习 1．四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（） A ．8 种 B ．10 种 C ．12 种 D ．16 种 2．信号兵用 3 种不同颜色的旗子各一面，每次打出 3 面，最多能打出不同的信号有（ ） A ．3 种 B ．6 种 C ．1 种 D ．27 种 3． k ∈ N + , 且 k ≤ 40, 则 (50 ? k )(51 ? k )(52 ? k )L (79 ? k ) 用排列数符号表示为（ ）50 ? A ． A79 ? kk 29 B ． A79 ? k 30 C ． A79 ? k 30 D ． A50 ? k4．5 人站成一排照相，甲不站在排头的排法有（ ） A ．24 种 B ．72 种 C ．96 种 D ．120 种 5．给出下列问题：①有 10 个车站，共需要准备多少种车票？②有 10 个车站，共有多少中不同的票价？ ③平面内有 10 个点，共可作出多少条不同的有向线段？④有 10 个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话 多少次？⑤从 10 个同学中选出 2 名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？以上问题中，属于排列问题 的是 （填写问题的编号）新疆 王新敞奎屯6．若 x ∈ {x |∈ Z ,| x |& 4} ， y ∈ { y | y ∈ Z ,| y |& 5} ，则以 ( x, y ) 为坐标的点共有个新疆 王新敞 奎屯7．从参加乒乓球团体比赛的 5 名运动员中选出 3 名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不同的方 法？ 8．从 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种植在不同土质的 3 块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？ 9．计算： （1） 5 A5 + 4 A43 21 2 3 4 （2） A4 + A4 + A4 + A410．分别写出从 a, b, c, d 这 4 个字母里每次取出两个字母的所有排列； 11．写出从 a, b, c, d , e, f 这六个元素中每次取出 3 个元素且必须含有元素 a 的所有排列新疆 王新敞奎屯-1-课10． 题： 10．2 排列 (二)8!+ A66 (m ? 1)! ；② ． 例 1．计算：① 2 4 n ?1 A8 ? A10 Am ?1 (m ? n)!例 2．解方程：3 Ax = 2 Ax +1 + 6 Ax ．3 2 2例 3．解不等式： A9 & 6 A9xx ?2．（1） An = An ? An ? m ； （2） 例 4．求证：n mn?m(2n)! = 1 ? 3 ? 5L (2n ? 1) ． 2n ? n !说明： （1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数 An 中， m, n ∈ N 且 m ≤ n 这些限制条件，要注意含排m?列数的方程和不等式中未知数的取值范围； （2）公式 An = n( n ? 1)( n ? 2)L ( n ? m + 1) 常用来求值，特别是 m, n 均为已知时，公式 An =m mn! ，常用来 (n ? m)!证明或化简新疆 王新敞奎屯例 5．化简：⑴1 2 3 n ?1 n ?1 1 1 + + +L + ；⑵ 1× 1!+ 2 × 2!+ 3 × 3!+ L + n × n ! 说明： = ? ． 2! 3! 4! n! n! (n ? 1)! n !新疆 王新敞 奎屯课堂练习： 课堂练习 1．若 x =3 7n! ，则 x = 3!（ ）3 ( A) An( B ) Ann ?3(C ) A3n3 ( D ) An ?32．与 A10 ? A7 不等的是 （ ）5 39 8 10 ( A) A10 ( B ) 81A8 (C ) 10 A99 ( D ) A103．若 Am = 2 Am ，则 m 的值为 （ ） 4．计算：5 2 A9 + 3 A96 = 6 9!? A10( A) 5( B ) 3 (C ) 6( D) 7 (m + 1)! ≤ 42 ，则 m 的解集是 ． m? Am ?117；(m ? 1)! = A ? (m ? n)!n ?1 m ?1．5．若 2 &6． （1）已知 A10 = 10 × 9 ×L × 5 ，那么 m =m； （2）已知 9! = 362880 ，那么 A9 =2 2；（3）已知 An = 56 ，那么 n =2； （4）已知 An = 7 An ? 4 ，那么 n =．7． 一个火车站有 8 股岔道， 停放 4 列不同的火车， 有多少种不同的停放方法 （假定每股岔道只能停放 1 列火车） ？ 8．一部纪录影片在 4 个单位轮映，每一单位放映 1 场，有多少种轮映次序？-2-课10． 题： 10．2 排列 (三)（1）有 5 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？ 例 1． （2）有 5 种不同的书，要买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从 5 本不同的书中选出 3 本分送给 3 位同学，各人得到的书不同， 属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从 5 种不同的书中任选 1 种，各人得到那种书相互之 间没有联系，要用分步计数原理进行计算 例 2．某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂 1 面、2 面或 3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？新疆 王新敞奎屯例 3．将 4 位司机、 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票 员，共有多少种不同的分配方案？ 分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把 4 位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从 4 个不同元 素中取出 4 个元素排成一列，有 A4 种方法； 第二步：把 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有 A4 种方法， 利用分步计数原理即得分配方案的种数4 4例 4．用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解法 1：用分步计数原理： 解法 2： 解法 3：说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法 直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步， 直接计算符合条件的排列数如解法 1，2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所 有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法 3．对于有限制条件的排列应用题，要恰当 地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏 （1）7 位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ 例 5．新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯（2）7 位同学站成两排（前 3 后 4） ，共有多少种不同的排法？ （3）7 位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ （4）7 位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ （5）7 位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？-3-解法 1（直接法） ： 解法 2： （排除法） 说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法” ，对某些特殊元素可以优先考虑 课堂练习： 课堂练习： 1．将 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，没格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均 不相同的填法（ ）种. A ． 6 B． 9 C ． 11 D ． 23 2．有 5 列火车停在某车站并排的五条轨道上，若快车 A 不能停在第三条轨道上，货车 B 不能停在第一条轨道上， 则五列火车的停车方法有（ ）种. A ．78 B ．72 C ．120 D ．96 3．由 0，3，5，7 这五个数组成无重复数字的三位数，其中是 5 的倍数的共有多少个（ ） A ．9 B ．21 C ． 24 D ．42新疆 王新敞奎屯4．从 ?9, ?5, 0,1, 2,3, 7 七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程 ax + by + c = 0 的系数，则倾斜角为钝角 的直线共有（ ）条. A ． 14 B ．30 C ． 70 D ．60 5．从 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的 3 块土地上进行实验，有 _____种不同的种植方法 6．9 位同学排成三排，每排 3 人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有 种 7． （1）由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个无重复数字的正整数？新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯（2）由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个无重复数字，并且比 13000 大的正整数？ 8．学校要安排一场文艺晚会的 11 个节目的出场顺序，除第 1 个节目和最后 1 个节目已确定外，4 个音乐节目要 求排在第 2、5、7、10 的位置，3 个舞蹈节目要求排在第 3、6、9 的位置，2 个曲艺节目要求排在第 4、8 的位置， 共有多少种不同的排法？9．某产品的加工需要经过 5 道工序， （1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少种排列加工顺序的方法？（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？10．一天的课表有 6 节课，其中上午 4 节，下午 2 节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理六节课，要求 上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有多少种不同的排法？11. 由数字 0，1，2，3，4， （1）可组成多少个没有重复数字且比 20000 大的自然数？（2）2 不在千位，且 4 不在十位的五位数有多少个？小结 ：分析和解决排列问题的基本方法；对于“在”与“不在”的问题的处理方法新疆 王新敞 奎屯-4-课10． 题： 10．2 排列 (四)例 1 从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位 置上，则共有多少种不同的排法？ 解法一： （从特殊位置考虑） 解法二： （从特殊元素考虑） 解法三： （间接法） （1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的 例 2． 7 位同学站成一排， 排法共有多少种？（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ 解法一： 解法二： 解法三： （4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起 说明：对于相邻问题，常用“捆绑法” （先捆后松） ． 例 3．7 位同学站成一排， （1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ 解法一： （排除法） 解法二： （插空法） （2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？新疆 王新敞奎屯说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑） ． （1）男女相间； （2）女生按指定顺序排列 例 4．5 男 5 女排成一排，按下列要求各有多少种排法： 解： （1） （2）方法 1： 方法 2： 课堂练习： 三、课堂练习 1．停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放方法数为新疆 王新敞 奎屯2．五种不同商品在货架上排成一排，其中 A, B 两种必须连排，而 C , D 两种不能连排，则不同的排法共有 3．6 张同排连号的电影票，分给 3 名教师与 3 名学生，若要求师生相间而坐，则不同的分法有 4．某人射出 8 发子弹，命中 4 发，若命中的 4 发中仅有 3 发是连在一起的，那么该人射出的 8 发，按“命中” 与“不命中”报告结果，不同的结果有（ ） A ．720 种 B ．480 种 C ．24 种 D ．20 种 5．设 x, y ∈ N * 且 x + y ≤ 4 ，则在直角坐标系中满足条件的点 M ( x, y ) 共有 个 6．7 人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有 种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种 数有 种 7．一部电影在相邻 5 个城市轮流放映，每个城市都有 3 个放映点，如果规定必须在一个城市的 各个放映点放映完以后才能转入另一个城市，则不同的轮映次序有 种（只列式，不计算） ． 8．一天课表中，6 节课要安排 3 门理科，3 门文科，要使文、理科间排，不同的排课方法有 种；要使 3 门理 科的数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有 种 9．某商场中有 10 个展架排成一排，展示 10 台不同的电视机，其中甲厂 5 台，乙厂 3 台，丙厂 2 台，若要求同 厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？ 10．用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数，其中（1）三个偶数字连在一起的四位数有多少个？ （2）十位数字比个位数字大的有多少个？ 11．在上题中，含有 2 和 3 并且 2 和 3 不相邻的四位数有多少个？ 小结 ：1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ①某些元素不能在或必须排列在某一位置；②某些元 素要求连排（即必须相邻） ；③某些元素要求分离（即不能相邻） ．2．基本的解题方法：①有特殊元素或特殊位 置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法） ；②某些元素要 求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称 为“捆绑法” ；③某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插 空法” ；④在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列 问题的根基新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯-5-课（1）解：10． 题： 10．3 组合 (一)4 7（1） C 7 ； （2） C10 ； 例 1．计算： （2）解法 1：m解法 2：例 2．求证： C n =m + 1 m +1 ?C n ． n?mx ?1例 3．设 x ∈ N + , 求 C 2 x ?3 + C x +1 的值2 x ?3新疆 王新敞奎屯（1 例 4． 1）6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学，每人各得 2 本，有多少种不同的分法？ （ （2）从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议，要求至少有 2 名男生和 1 名女生参加，有多少种 选法？ 错解： C5 C4C6 = 240 种选法 引导学生用直接法检验，可知重复的很多2 1 1新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯例 5．4 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？ 解法一： （直接法） 解法二： （间接法） 课堂练习： 课堂练习 1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题： （1）从 4 个风景点中选出 2 个安排游览，有多少种不同的方法？ （2）从 4 个风景点中选出 2 个，并确定这 2 个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 2． 7 名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ） C ．7 A ． 42 B ． 21 D ．6 3．如果把两条异面直线看作“一对” ，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ） C ． 30 对 A ． 15 对 B ． 25 对 D ． 20 对 4．设全集 U = {a, b, c, d } ，集合 A 、 B 是 U 的子集，若 A 有 3 个元素， B 有 2 个元素，且 A I B = {a} ，求集 合 A 、 B ，则本题的解的个数为 （ ） C ．7 A ． 42 B ． 21 D ．3 5．从 6 位候选人中选出 2 人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法 6．从 6 位同学中选出 2 人去参加座谈会，有 种不同的选法 7．圆上有 10 个点： （1）过每 2 个点画一条弦，一共可画 条弦； （2）过每 3 个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯8． （1）凸五边形有条对角线； （2）凸 n 五边形有条对角线 9．计算： （1） C15 ； （2） C6 ÷ C8 ．3 3 4新疆 王新敞 奎屯10． A, B, C , D, E 5 个足球队进行单循环比赛， （1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚 军的可能情况共有多少种？ 11．空间有 10 个点，其中任何 4 点不共面， （1）过每 3 个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每 4 个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？ 12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？ 13．写出从 a, b, c, d , e 这 5 个元素中每次取出 4 个的所有不同的组合新疆 王新敞 奎屯小结 ：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问 题，必要时要利用分类和分步计数原理新疆 王新敞 奎屯-6-课10． 题： 10．3 组合 (二)例 1．一个口袋内装有大小不同的 7 个白球和 1 个黑球， （1）从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？ （2）从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ （1）计算： C 7 + C 7 + C8 + C 9 ； 例 2．3 4 5 6（2）求证： C m + 2 ＝ C m + 2C m + C m ． （1） C13 = C13 例 3．解方程：x +1 2 x ?3nnn ?1n?2； （2）解方程： C x + 2 + C x + 2 =x ?2x ?31 3 Ax + 3 ． 10课堂练习： 课堂练习 1．方程 C28 = C28x 3 x ?8的解集为（ ）A ． {4}2．式子 C10m+2B ． {9}C ．φD ． {4,9}17 + C10 ? m （ m ∈ N ? ）的值的个数为 （ ）A ．19 9B ．28C ．3； ；D．43．化简： Cm ? Cm +1 + Cm = 4．若 Cn = Cn ，则 C20 的值为10 8 n5．有 3 张参观券，要在 5 人中确定 3 人去参观，不同方法的种数是 ； 6．要从 5 件不同的礼物中选出 3 件分送 3 位同学，不同的方法种数是 ； 7．5 名工人分别要在 3 天中选择 1 天休息，不同方法的种数是 ； 8．集合 A 有 m 个元素，集合 B 有 n 个元素，从两个集合中各取出 1 个元素，不同方法的种数是 9．从 1, 2,3,L , 20 这 20 个数中选出 2 个不同的数，使这两个数的和为偶数，有_ 种不同选法 10．正 12 边形的对角线的条数是 11．已知 C17 = C17 ，求 C8 的值；2x x x+2新疆 王新敞奎屯．．12．解方程： C4 + C42x2 x ?15 = C6 ? C66 ．13．6 人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？14．在所有的三位数中，各位数字从高到低顺次减小的数共有个新疆 王新敞 奎屯小结 ：组合数的两个性质；从特殊到一般的归纳思想；常用的等式： C k = C k +1 = C k = C k +1 = 10 0 kk +1新疆 王新敞 奎屯-7-课10． 题： 10．3 组合 (三)新疆 王新敞奎屯例 1．100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品 从这 100 件产品中任意抽出 3 件． （1）一共有多少种不同的抽法； （2）抽出的 3 件都不是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？（4）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的取法有多少种？ 解法一： （直接法） 解法二： （间接法） 例 2．从编号为 1，2，3，…，10，11 的共 11 个球中，取出 5 个球，使得这 5 个球的编号之和为奇数，则一共 有多少种不同的取法？例 3．现有 8 名青年，其中有 5 名能胜任英语翻译工作；有 4 名青年能胜任德语翻译工作（其中有 1 名青年两项 工作都能胜任） ，现在要从中挑选 5 名青年承担一项任务，其 中 3 名从事英语翻译工作，2 名从事德语翻译 工作，则有多少种不同的选法？例 4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同 的值周表 ？ 解法一： （排除法） 解法二：分为两类： 例 5．6 本不同的书全部送给 5 人，每人至少 1 本，有多少种不同的送书方法？ 课堂练习： 课堂练习 1．有两条平行直线 a 和 b ，在直线 a 上取 4 个点，直线 b 上取 5 个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角 形共有（ ）C ． 82 A ． 70 B ． 80 D ． 84 2． 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案有 （ ）种4 4 A ． C12C84C4 4 4 B ． 3C12C84C4 4 3 C ． C12C84 A3D．4 4 C12C84C4 3 A33． 5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同分法的种数为 C ． 120 A ． 480 B ． 240 D ． 96 4．已知甲、乙两组各有 8 人，现从每组抽取 4 人进行计算机知识竞赛，比赛成员的组成共有 种可能 5．在一次考试的选做题部分，要求在第 1 题的 4 个小题中选做 3 个小题，在第 2 题的 3 个小题中选做 2 个小题， 第 3 题的 2 个小题中选做 1 个小题，有 种不同的选法 6．从 1，3，5，7，9 中任取 3 个数字，从 2，4，6，8 中任取 2 个数字，一共可以组成 个没有重复数字 的五位数新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯7．正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中三个点为顶点的三角形共有 个新疆 王新敞 奎屯-8-8．从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛 （1）如果 4 人中男生和女生各选 2 人，有 种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法； （3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内，有 种选法； （4）如果 4 人中必须既有男生又有女生，有 种选法 9．在 200 件产品中，有 2 件次品 从中任取 5 件， （1） “其中恰有 2 件次品”的抽法有 种； （2） “其中恰有 1 件次品”的抽法有 种； （3） “其中没有次品”的抽法有 种； （4） “其中至少有 1 件次品”的抽法有 种 10．某科技小组有 6 名同学，现从中选出 3 人去参观展览，至少有 1 名女生入选时的不同选法有 16 种，求该科技 小组中女生的人数新疆 王新敞奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯排列、 组合问题解题方法比较灵活， 问题思考的角度不同， 就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当， 小结 ： 则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一 个问题进行认识思考，才能得到最优方法 课后作业： 五、课后作业 个 1．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 2．以一个正方体的 8 个顶点连成的异面直线共有 对 3．⑴6 本不同的书全部送给 5 人，有多少种不同的送书方法？新疆 王新敞奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯⑵5 本不同的书全部送给 6 人，每人至多 1 本，有多少种不同的送书方法？⑶5 本相同的书全部送给 6 人，每人至多 1 本，有多少种不同的送书方法？课后记： 课后记：在世界杯足球比赛中,五大洲共有32支球队有幸参加，他们先分成8个小组循环赛，决出16强（每队均与 本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强） ，这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要 决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？-9-课10． 题： 10．3 组合 (四)例 1．6 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人 2 本； （2）分为三份，每份 2 本； （3）分为三份，一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本； （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少 1 本 例 2．身高互不相同的 7 名运动员站成一排， （1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？ （2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？ 解： （法一） （1） ： （法二） ： （2） （插空法） （1） 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？ 例 3． （2） 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？ 解： （1） （2） （捆绑法） 例 4．马路上有编号为 1，2，3，…，10 的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中 3 盏灯关掉，但不 可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？ 解： （插空法） 例 5．九张卡片分别写着数字 0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果 6 可以当作 9 使用， 问可以组成多少个三位数？新疆 王新敞奎屯课堂练习： 课堂练习 开演前又增加了两个教师节目 如果将这两个教师节目 1． 某班元旦联欢会原定的 5 个学生节目已排成节目单， 插入原节目单中，那么不同插法的种数为 C ． 20 A ． 42 B ． 30 D ． 12 2．从 7 人中选派 5 人到 10 个不同的交通岗的 5 个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有 （ ）新疆 王新敞 奎屯5 5 5 A ． C7 A10 A55 5 5 B ． A7 C10 A55 5 C ． C10C75 5 D ． C7 A103．某班分成 8 个小组，每小组 5 人，现要从中选出 4 人进行 4 个不同的化学实验，且每组至多选一人，则不同 的安排方法种数是 （ ）4 A ． C84 A4 4 1 B ． C84 A4 C5 4 C ． 54 C84 A4 4 4 D ． C40 A44．5 个人分 4 张同样的足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是 ． 种邀 5．某学生要邀请 10 位同学中的 6 位参加一项活动，其中有 2 位同学要么都请，要么都不请，共有 请方法 6．一个集合有 5 个元素，则该集合的非空真子集共有 个 7．平面内有两组平行线，一组有 m 条，另一组有 n 条，这两组平行线相交，可以构成 个平行 四边形 8．空间有三组平行平面，第一组有 m 个，第二组有 n 个，第三组有 t 个，不同两组的平面都相交，且交线不都 平行，可构成 个平行六面体新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯9 ． 在 某 次 数 学 考 试 中 ， 学 号 为 i (i = 1, 2, 3, 4) 的 同 学 的 考 试 成 绩 f (i ) ∈ {85,87,88,90, 93} ， 且 满 足f (1) ≤ f (2) & f (3) & f (4) ，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有新疆 王新敞 奎屯种新疆 王新敞 奎屯10．某人制订了一项旅游计划，从 7 个旅游城市中选择 5 个进行游览 如果其中的城市 A 、 B 必选，并且在旅游 过程中必须按先 A 后 B 的次序经过 A 、 两城市 A 、 两城市可以不相邻） 则不同的游览路线有 B （ B ， 种- 10 -新疆 王新敞奎屯11．高二某班第一小组共有 12 位同学，现在要调换座位，使其中有 3 个人都不坐自己原来的座位，其他 9 人的 座位不变，共有 种不同的调换方法 12．某兴趣小组有 4 名男生， 5 名女生： （1）从中选派 5 名学生参加一次活动，要求必须有 2 名男生， 3 名女生， 种选派方法； （2）从中选派 5 名学生参加一次活动， 要求有女生但人数必须少于 且女生甲必须在内，有 男生，有____种选派方法； （3）分成三组，每组 3 人，有 种不同分法 小结 ： 1．按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法； 2．对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置； 3．对于含“至多”“至少”的问题，宜用排除法或分类解决； 、 4．需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合问题，如：将 3 个人分成 3 组，每组一个人，新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞奎屯1 1 显然只有 1 种分法，而不是 C1 ?C ?C =6种 3 2 1新疆 王新敞 奎屯一般地，将 m ? n 个不同元素均匀分成 n 组，有m m Cmn C(m ?1) m L Cm n m Am新疆 王新敞 奎屯种分法；5．按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题课10． 题： 10．3 组合 (五)新疆 王新敞 奎屯例 1．某考生打算从 7 所重点大学中选 3 所填在第一档次的 3 个志愿栏内，其中 A 校定为第一志愿；再从 5 所一 般大学中选 3 所填在第二档次的三个志愿栏内，其中 B 、 C 两校必选，且 B 在 C 前 问：此考生共有多少种不同 的填表方法？ A 解：如图是由 12 个小正方形组成的 3× 4 矩形网格， 一质点沿网格线从点 A 到点 B 例 2． 的不同路径之中，最短路径有 条新疆 王新敞 奎屯B例 3．圆周上有 12 个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是多少？变式：本题构造了四边形以求得满足条件的交点，类似的，前面讲过一个问题： 变式 以一个正方体的 8 个顶点连成的异面直线共有 对新疆 王新敞 奎屯例 4．有 10 只不同的试验产品，其中有 4 只次品， 6 只正品，现每次取一只测试，直到 4 只次品全测出为止，求 最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？例 5．在一次象棋比赛中，进行单循环比赛 其中有 2 人，他们各赛了 3 场后，因故退出了比赛，这样，这次比赛 共进行了 83 场，问：比赛开始时参赛者有多少人？新疆 王新敞 奎屯5课堂练习： 课堂练习 B 1.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的 数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 A 向结点 B 传递信息， 信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为 （ ）3 4 7 6612 A6 812- 11 -A ． 26B ． 24C ． 20D ． 192．学校召开学生代表大会，高二年级的 3 个班共选 6 名代表，每班至少 1 名，代表的名额分配方案种数是 （ ） C ． 18 A ． 64 B ． 20 D ． 10 3．3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检，每所学校分配 1 名医生和 2 名护士，不同的分配方法共 有（ ） C ． 270 A ． 90 B ． 180 D ． 540 4．公共汽车上有 4 位乘客，汽车沿途停靠 6 个站，那么这 4 位乘客不同的下车方式共有 种；如果其中任 何两人都不在同一站下车，那么这 4 位乘客不同的下车方式共有 种 5． 4 名男生和 3 名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法： （1）男生必须排在一起 ； （2）女生互不相邻 ； ； （4）女生按指定顺序排列 ． （3）男女生相间 6．有排成一行的 7 个空位置， 3 位女生去坐，要求任何两个女生之间都要有空位，共有 种不同的坐法 7．赛艇运动员 10 人，3 人会划右舷，2 人会划左舷，其余 5 人两舷都能划，现要从中挑选 6 人上艇，平均分配 在两舷上划桨，共有 种选法新疆 王新敞奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯8． A, B , C , D, E 5 位同学进行网页设计比赛，决出了第 1 至第 5 名的名次 A 、 B 两位同学去询问名次，主考官新疆 王新敞 奎屯对 A 说： “很遗憾，你和 B 都未拿到冠军” ；对 B 说： “你当然不会是最差的 ”从这个回答分析， 5 位同学的名次 排列共可能有 种不同的情况 9．学校餐厅供应客饭，每位学生可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的品种，现在餐厅准备了 5 种不同的荤菜，若要保证每位学生有 200 种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备 种不同的素菜种 10．有 10 只不同的试验产品，其中有 4 只次品， 6 只正品，现每次取一只测试，直到测出 1 只次品为止，求第一 只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有 _______种 11．圆周上有 12 个等分点，以其中 3 个点为顶点的直角三角形的个数为 个 小结 ：1．解决有关计数的应用题时，要仔细分析事件的发生、发展过程，弄清问题究竟是排列问题还是组合问 题，还是应直接利用分类计数原理或分步计数原理解决 一个较复杂的问题往往是分类与分步交织在一起，要准 确分清，容易产生的错误是遗漏和重复计数； 2．解决计数问题的常用策略有： （1）特殊元素优先安排； （2）排列组合混合题要先选（组合）后排； （3）相邻 问题捆绑处理（先整体后局部）（4）不相邻问题插空处理； ； （5）顺序一定问题除法处理； （6）正难则反，合理 转化新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯课10． 二项式定理( 题： 10．4 二项式定理(一)1 x4例 1．展开 (1 + ) ． 例 2．展开 (2 x ?1 6 ) ． x12 例 3．求 ( x + a ) 的展开式中的倒数第 4 项新疆 王新敞 奎屯6 （2） (3b + 2a ) 6 的展开式中的第 3 项． 例 4．求（1） (2a + 3b) ，点评： (2a + 3b)6 ， (3b + 2a)6 的展开后结果相同，但展开式中的第 r 项不相同新疆 王新敞 奎屯- 12 -（1）求 ( + 例 5．x 33 9 ) 的展开式常数项； x 3 9 ) 的展开式的中间两项 x（2）求 ( + 课堂练习： 课堂练习x 3新疆 王新敞奎屯1.求 ( 2a + 3b ) 的展开式的第 3 项.62.求 ( 3b + 2a ) 的展开式的第 3 项.63.写出 (3 x ?1 2 x73) n 的展开式的第 r+1 项.4.求 x 3 + 2 x()的展开式的第 4 项的二项式系数，并求第 4 项的系数.5.用二项式定理展开： （1） ( a + 3 b )5 ； （2） (x 2 5 ? ) . 2 x1 26.化简： （1） (1 +x ) + (1 ? x ) ； （2） ( 2 x + 3x5 5?1 2) ? ( 2 x ? 3x41 2?1 2)4lg x 7． x + x() 展开式中的第 3 项为1056，求 x ．1? ? 8．求 ? x ? ? 展开式的中间项 x? ?2n新疆 王新敞 奎屯小结 ：二项式定理的探索思路:观察――归纳――猜想――证明；二项式定理及通项公式的特点新疆 王新敞 奎屯课10． 二项式定理( 题： 10．4 二项式定理(二)（2）求 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数及二项式系数93（1）求 (1 + 2 x ) 7 的展开式的第四项的系数； 例 1．1 x新疆 王新敞 奎屯2 4 例 2．求 ( x + 3 x ? 4) 的展开式中 x 的系数新疆 王新敞 奎屯分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次 二项式定理， ，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开新疆 王新敞 奎屯- 13 -已知 f ( x ) = (1 + 2 x ) + (1 + 4 x ) 例 3．mn2 (m, n ∈ N * ) 的展开式中含 x 项的系数为 36 ， 求展开式中含 x 项的系数最小值新疆 王新敞奎屯分析：展开式中含 x 项的系数是关于 m, n 的关系式，由展开式中含 x 项的系数为 36 ，可得 2m + 4n = 36 ，从2而转化为关于 m 或 n 的二次函数求解新疆 王新敞 奎屯例 4．已知 ( x ?1 2 x4)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列， （1）证明展开式中没有常数项； （2）新疆 王新敞 奎屯求展开式中所有的有理项课堂练习： 课堂练习 1． ( x +2 x) 6 展开式中常数项是（B. 2 C 64 4）A.第 4 项11C. C 64D.2 ）2．(x－1) 展开式中 x 的偶次项系数之和是（ A.-2048 B.-1023 C.-1024 D.1024 3． (1 + A.42 ) 7 展开式中有理项的项数是（B.54）C.6D.72 3 44．设(2x-3) = a 0 + a 1 x + a 2 x + a 3 x + a 4 x ，则 a0+a1+a2+a3 的值为（ A.13）B.16C.-15D.15 ）5 5 D. C11 x17 , ?C11 x135． ( x ?5 121 11 ) 展开式中的中间两项为（ x5 12A. ?C11 x , C11 x 6．在 ( 2 x ?B. C11 x , ?C11 x6 9 5105 5 C. ?C11 x13 , C11 x 91 7 y) 展开式中，x5y2 的系数是 3新疆 王新敞 奎屯7． C0 + 3C1 + 32 C2 + L + 3n Cn = n n n n 8. ( 3 5 +51 20 ) 的展开式中的有理项是展开式的第 5新疆 王新敞 奎屯项新疆 王新敞 奎屯9．(2x-1) 展开式中各项系数绝对值之和是 10． (1 + 3x + 3x 2 + x 3 )10 展开式中系数最大的项是新疆 王新敞 奎屯小结 ：1．三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配 方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性； 2．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 r 的限制；求有理项时要注意到指数及项- 14 -数的整数性新疆 王新敞奎屯课10． 二项式定理( 题： 10．4 二项式定理(三)n新疆 王新敞 奎屯例 1．在 ( a + b) 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和说明：由性质（3）及例 1 知 Cn + Cn + L = Cn + Cn + L = 20 2 1 37 2 7 例 2．已知 (1 ? 2 x ) = a0 + a1 x + a2 x + L + a7 x ，求：n ?1.（1） a1 + a2 + L + a7 ；（2） a1 + a3 + a5 + a7 ；（3） | a0 | + | a1 | + L + | a7 | .3.求(1+x)+(1+x) +…+(1+x) 展开式中 x 的系数 例 3.2103新疆 王新敞 奎屯4.在(x +3x+2) 的展开式中，求 x 的系数 例 4. 5.已知 ( x ? 例 5.25新疆 王新敞 奎屯2 n ) 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为 14；3，求展开式的常数项 x2新疆 王新敞 奎屯课堂练习： 课堂练习 （1） ( 2 x ? 5 y ) 的展开式中二项式系数的和为20，各项系数的和为，二项式系数最大的项为第项； （2） ( x + ) n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为0 1 2 n 1 2 3 n （3） Cn + 2Cn + 4Cn + L + 2 n Cn = 729 ，则 Cn + Cn + Cn + L + Cn = （1 x． ）A． 63B. 6450C. 31D. 32（4）已知： (2 ? 3x)= a0 + a1 x + a2 x 2 + L + a50 x50 ，新疆 王新敞奎屯求： (a0 + a2 + L + a50 )2 ? (a1 + a3 + L + a49 )2 的值 小结 ：1．性质 1 是组合数公式 Cn = Cnr n?r的再现，性质 2 是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质 3 是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和； 2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系 数和的一种重要方法新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯后记： 后记：新疆 王新敞 奎屯求 0.998 的近似值，使误差小于 0.001 ．6课10． 二项式定理( 题： 10．4 二项式定理(四)2 3n2 n 例 1． 设 (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) +L+ (1 + x ) = a0 + a1 x + a2 x + L + an x ，- 15 -当 a0 + a1 + a2 + L + an = 254 时，求 n 的值新疆 王新敞奎屯点 评 ： 对 于 f ( x ) = a0 ( x ? a ) n + a1 ( x ? a ) n ?1 + L + an ， 令 x ? a = 1, 即 x = a + 1 可 得 各 项 系 数 的 和a0 + a1 + a2 + L + an 的值；令 x ? a = ?1, 即 x = a ? 1 ，可得奇数项系数和与偶数项和的关系1 2 3 n n ?1 例 2．求证： Cn + 2Cn + 3Cn + L + nCn = n ? 2 ．新疆 王新敞 奎屯例 3．已知： ( x + 3 x ) 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大 992 ．2 n2 3（1） 求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项新疆 王新敞 奎屯例 4．已知 S n = 2 + C n 2n 1n ?12 n + C n 2 n ? 2 + L + C n ?1 ? 2 + 1(n ∈ N + ) ，求证：当 n 为偶数时， S n ? 4n ? 1 能被 64 整除新疆 王新敞 奎屯分析：由二项式定理的逆用化简 S n ，再把 S n ? 4n ? 1 变形，化为含有因数 64 的多项式新疆 王新敞 奎屯课堂练习： 课堂练习 1．(x +1) ( x ? 1) 展开式中 x 的系数为4 54，各项系数之和为3 3 n n．62．多项式 f ( x ) = Cn ( x ? 1) + Cn ( x ? 1) + Cn ( x ? 1) + L + Cn ( x ? 1) （ n & 6 ）的展开式中， x 的系数为1 2 23．若二项式 (3 x ?21 n ) （ n ∈ N ? ）的展开式中含有常数项，则 n 的最小值为（ ） 2 x3（ ）A.4 B.5 C.6 D.8 4．某企业欲实现在今后 10 年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 A.低于 5％ B.在 5％～6％之间 C.在 6％～8％之间 D.在 8％以上 5．在 (1 + x ) n 的展开式中，奇数项之和为 p ，偶数项之和为 q ，则 (1 ? x 2 ) n 等于（ ） A.0 B. pq C. p 2 + q 2 D. p 2 ? q 26．求和：n +1 1 ? a 0 1 ? a 2 1 1 ? a3 2 1 ? a 4 3 n 1? a n Cn ? Cn + Cn ? Cn + L + ( ?1) Cn ． 1? a 1? a 1? a 1? a 1? a7．求证：当 n ∈ N 且 n ≥ 2 时， 3 & 2n?n ?1( n + 2) ．- 16 -8．求 ( 2 + x ) 的展开式中系数最大的项10新疆 王新敞奎屯小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二 项展开式中的项和系数的综合问题， 只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破， 对于与组合数 有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用 课后作业： 课后作业新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞奎屯? 16 2 1 ? 2 n x + 1．已知 ( a + 1) 展开式中的各项系数的和等于 ? ? 的展开式的常数项，而 (a + 1) 展开式的系数的 x? ? 52 n5最大的项等于 54 ，求 a 的值 2．设 (1 ? x )5新疆 王新敞 奎屯(3 + 2x )9= a0 ( x + 1) + a1 ( x + 1) + L + a13 ( x + 1) + a1414 13求：① a0 + a1 + L + a14② a1 + a3 + L + a13 ．0 1 3 5 6 7 8 9 3．求值： 2C9 ? C9 + 2C92 ? C9 + 2C94 ? C9 + 2C9 ? C9 + 2C9 ? C9 ．4．设 f ( x) = ( x 2 + x ? 1)9 (2 x + 1) 6 ，试求 f ( x ) 的展开式中： （1）所有项的系数和； （2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和新疆 王新敞 奎屯课新 疆 王 新敞 奎 屯题： 小结与复习 (一)1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类一、知识点： 识点：办 法 中 有 m2 种 不 同 的 方 法 ， … … ， 在 第 n 类 办 法 中 有 mn 种 不 同 的 方 法 那 么 完 成 这 件 事 共 有新疆 王新敞 奎屯N = m1 + m2 + L + mn 种不同的方法新 疆 王 新敞 奎 屯2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m 2 种 不同的方法，……，做第 n 步有 m n 种不同的方法，那么完成这件事有 N = m1 × m2 ×L × mn 种不同的方法新 疆 王 新敞 奎 屯3．排列的概念：从 n 个不同元素中，任取 m （ m ≤ n ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺 ．．．． 序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 ． ．．．． 4．排列数的定义：从 n 个不同元素中，任取 m （ m ≤ n ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m新疆 王新敞 奎屯元素的排列数，用符号 An 表示m新疆 王新敞 奎屯- 17 -5．排列数公式： An = n( n ? 1)( n ? 2)L ( n ? m + 1) （ m, n ∈ N , m ≤ n ）m?6 阶乘： n ! 表示正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘 规定 0! = 1 ．新疆 王新敞奎屯新疆 王新敞奎屯7．排列数的另一个计算公式： An =mn! (n ? m)!新 疆 王 新敞 奎 屯新 疆 王 新敞 奎 屯8 组合的概念：一般地，从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m新 疆 王 新敞 奎 屯个元素的一个组合新疆 王新敞 奎屯9．组合数的概念：从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的组合数．用符号 C n 表示． ．．．m 10．组合数公式： Cn = m An n(n ?1)(n ? 2)L(n ? m +1) = m Am m!m或C n=mn! (n, m ∈ N ? , 且m ≤ n) m!(n ? m)!m n?m新 疆 王 新敞 奎 屯新 疆 王 新敞 奎 屯11 组合数的性质 1： C n = C n新 疆 王 新敞 奎 屯．规定： C n = 1 ；012．组合数的性质 2： C n +1 ＝ C n + C nmmm ?1新 疆 王 新敞 奎 屯二、解题思路： 解题思路： 解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有 序”的还是“无序的” ，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些 复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法： 特殊优先法 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特 殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用 0、1、2、3、4 这 5 个数字， 组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个.（答案：30 个） 科学分类法 对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有 条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生 例如：从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任取 5 台，其中至 少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种.（答案：350） 插空法 解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决 例如：7 人站成一 行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______.(答案:3600) 捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列， 然后再局部排列 例如：6 名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.（答案：240） 排除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法. b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性， 解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取 3 个元 素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.（答案：30） 讲解范例： 三、讲解范例： 例 1 由数字１、２、３、４、５、６、７组成无重复数字的七位数 (1）求三个偶数必相邻的七位数的个数； （2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯- 18 -例２将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，共有多少种不同的分法？例 ３ 一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？四、课堂练习： 课堂练习 1.从{1、2、3、4、…、20}中任选 3 个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有（ ） 90 个 （B）180 个 （C）200 个 （D）120 个 2.男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，且从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有（ ） 2 人或 3 人 （B）3 人或 4 人 （C）3 人 （D）4 人 3.从编号分别为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 的 11 个球中，取出 5 个小球，使这 5 个小球的编号之和 为奇数，其方法总数为（ ） （A）200 （B）230 （C）236 （D）206 4.兰州某车队有装有 A，B，C，D，E，F 六种货物的卡车各一辆，把这些货物运到西安，要求装 A 种货物，B 种 货物与 E 种货物的车，到达西安的顺序必须是 A，B，E（可以不相邻，且先发的车先到） ，则这六辆车发车的顺 序有几种不同的方案（ ） （A）80 （B）120 （C）240 （D）360 5.用 0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数 是（ ） （A）48 （B）36 （C）28 （D）12 6.某药品研究所研制了 5 种消炎药 a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , 4 种退烧药 b1 , b2 , b3 , b4 , 现从中取出两种消炎药和一种退烧 药同时使用进行疗效实验，但又知 a1 , a 2 , 两种药必须同时使用，且 a 3 ,b4 两种药不能同时使用，则不同的实验方 案有（ ） （A）27 种 （B）26 种 （C）16 种 （D）14 种 7.某池塘有 A，B，C 三只小船，A 船可乘 3 人，B 船可乘 2 人，C 船可乘 1 人，今天 3 个成人和 2 个儿童分乘这 些船只，为安全起见，儿童必须由成人陪同方能乘船，他们分乘这些船只的方法共有（ ） 120 种 （B）81 种 （C）72 种 （D）27 种 8.梯形的两条对角线把梯形分成四部分，有五种不同的颜色给这四部分涂色，每一部分涂一种 颜色，任何相邻（具有公共边）的两部分涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） 180 种 （B）240 种 （C）260 种 （D）320 种 9.将 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这九个数排成三横三纵的方阵，要求每一竖列的三个数从 前到后都是由从小到大排列，则不同的排法种数是__ 10.10 个相同的小球放入编号为 1，2，3 的三个盒子内，要求每个盒子的球数不小于它的编号数，则不同的放法 C1 D1 共有 ______ 种， 11.过正方体的每三个顶点都可确定一个平面，其中能与这个正方体的 12 条棱所成的角都相 A1 B1 等的不同平面的个数为 _______ 个 D 12.从单词“equation”中选取 5 个不同的字母排成一排，含有“qu” （其中“qu”相连且顺序 C 不变）的不同的排列共有（ ） A B 120 个 （B）480 个 （C）720 个 （D）840 个 13.将 5 枚相同的纪念邮票和 8 张相同的明信片作为礼品送给甲、 乙两名学生， 全部分完且每人至少有一件礼品， 不同的分法是（ ） （A）52 （B）40 （C）38 （D）11 五、小结 ： m ⑴ｍ个不同的元素必须相邻，有 Pm 种“捆绑”方法新疆 王新敞奎屯新疆 王新敞 奎屯⑵ｍ个不同元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置有 Pn新疆 王新敞 奎屯m种不同的“插入”方法m⑶ｍ个相同的元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置，有 C n 种不同的“插入” 方法新疆 王新敞 奎屯- 19 -⑷若干个不同的元素“等分”为 ｍ个组,要将选取出每一个组的组合数的乘积除以 Pm 六、课后作业： 课后作业m新疆 王新敞奎屯1. ①有 1 元、2 元、5 元、50 元、100 元的人民币各一张,取其中的一张或几张,能组成多少种不同的币值? ②7 个电阻串联在一起连成一串,中间只要有一个坏了,这串电阻就失效,因电阻损坏而失效的可能性种数 是多少?2 在 (2 x ? 3 y )10 的展开式中,求:①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; 与 x 的偶次项系数和.r 分析:因为二项式系数特指组合数 C n ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式 2 x ? 3 y 中的系数无关.④奇数项系数和与偶数项系数和;⑤ x 的奇次项系数和点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开 来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一. 3 已知 (3 x + x 2 ) 2 n 的展开式的系数和比 (3 x ? 1) n 的展开式的系数和大 992,求 (2 x ? 1 ) 2n 的展开式中:①二项式系x数最大的项;②系数的绝对值最大的项.课题： 小结与复习 (二)n?r n b r + L + Cn b n ( n ∈ N ? ) ，一、知识点： 知识点： 1．二项式定理及其特例： （1） ( a + b) = Cn a + Cn a b + L + Cn an 0 n 1 n r n 1 r r（2） (1 + x) = 1 + Cn x + L + Cn x + L + x .n2．二项展开式的通项公式： Tr +1 = Cn arn?rbr新疆 王新敞奎屯新疆 王新敞 奎屯3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的 整数性 4 二项式系数表（杨辉三角）新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯(a + b) n 展开式的二项式系数，当 n 依次取 1, 2,3 …时，二项式系数表，表中每行两端都是1 ，除1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质：新疆 王新敞 奎屯0 1 (a + b) n 展开式的二项式系数是 Cn ， Cn ， Cn2 ，…， Cnn ． Cnr 可以看成以 r 为自变量的- 20 -函数 f ( r ) ，定义域是 {0,1, 2,L , n} ，例当 n = 6 时，其图象是 7 个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵ Cn = Cnm n?m） ．直线 r =n 是图象的对称轴． 2n n ?1 n +1（2）增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间一项 Cn2 取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项 Cn 2 ， Cn 2 取得最 大值． （3）各二项式系数和：1 r ∵ (1 + x ) n = 1 + Cn x + L + Cn x r + L + x n ，令 x = 1 ，则 2 = Cn + Cn + Cn + L + Cn + L + Cnn0 1 2rn新疆 王新敞奎屯新疆 王新敞 奎屯二、讲解范例： 讲解范例： 例 1．①计算: ( x ? 1) 5 + 5( x ? 1) 4 + 10( x ? 1) 3 + 10( x ? 1) 2 + 5( x ? 1)1 2 n ②计算: 1 + 2C n + 4C n + L + 2 n C n分析：本例是二项式定理的逆用.若正用二项式定理,亦可求解,但过程较繁.0 1 10 例 2． 证明恒等式: C10 + C10 + L + C10 = 210分析:本题的证明方法值得注意,它是对二项式定理中的 a 、 b 取某些特殊值.0 1 2 n 引伸:化简 C n x n ? C n x n ?1 + C n x n ? 2 + L + (?1) n C n例 3． 求证 3 2 n + 2 ? 8n ? 9(n ∈ N * ) 能被 64 整除. 分析:考虑到用二项式定理证明,就需要多项式展开后的各项尽量多的含有 8 2 的式子.因此,可将 3 2 n + 2 化成(3 2 ) n +1 = (8 + 1) n +1 再进行展开,化简即可证得.引伸:①求证 9 23 + 1 能被 10 整除;②求 813 除以 9 的余数. 例 4. 求 (1 + x) 2 (1 ? x) 5 的展开式中 x 3 的系数.- 21 -引伸:求 (1 ? x 3 )(1 + x)10 的展开式中 x 5 的系数. 例 5． 求 ( 3 x ?( 答案:207 )1 x)15 的展开式中的常数项和有理项.三、课堂练习： 课堂练习 1.从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有（ ） A.8 种 B.12 种 C.16 种 D.20 种 2.一名数学教师和四名获奖学生排成一行留影，若老师不排在两端，则共有_____种不同的排法. 3. 由数字 1、2、3、4、5、6、7 组成无重复数字的七位数. （1）求有 3 个偶数相邻的 7 位数的个数； （2）求 3 个偶数互不相邻的 7 位数的个数. 答案：用捆绑法可得（1）为 720 个；用插空法可得（2）为 1440 个. 4. 从 5 男 4 女中选 4 位代表，其中至少有 2 位男同志，且至少有 1 位女同志，分别到 4 个不同的工厂调查，不 同的分派方法有（ ） A.100 种 B.400 种 C.480 种 D.2400 种 5. 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法有________种. 12 13 14 16 17 18 6.已知碳元素有 3 种同位素 C、 C、 C，氧元素也有 3 种同位素 O、 O、 O，则不同的原子构成的 CO2 分子有 （ ） A.81 种 B.54 种 C.27 种 D.9 种 7.用 1、2、3、4、5、6 六个数字组成没有重复数字的四位数中，是 9 的倍数的共有（ ） A.360 个 B.180 个 C.120 个 D.24 个 8 .在代数式 ( 4 x ? 2 x ? 5)(1 +21 5 ) 的展开式中，常数项为_____.(答案:15) x23 4 2 29.若 (2x + 3) = a0 + a1x + a2 x + a3 x + a4 x ,则 (a0 + a2 + a4 ) ? (a1 + a3 ) 的值为4 2A.1B.－1C.0D.210．求 (1 + x + x 2 )10 (1 ? x) 6 展开式中各项系数的和. 11．若 (1 ? 2 x) 7 = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L + a 7 x 7 ,则 a 0 + a1 + L + a 7 = , .a0 + a2 + a4 + a6 =, a1 + a 3 + a 5 + a 7 =, a 0 + a1 + L + a 7 =12． (1 + x) + (1 + x) 2 + L + (1 + x) n 的展开式中的各项系数之和为 . 13．设 ( x + 1) 4 ( x + 4) 8 = a 0 ( x + 3)12 + a1 ( x + 3)11 + L + a11 ( x + 3) + a12 , 求:(1) a 0 + a1 + a 2 + L + a12 的值;(2) a 0 + a 2 + a 4 + L + a12 的值. 四、小结 ：1.二项式定理的应用:证明整除问题. 2.通项公式的应用:①通项公式是第 r + 1 项,而不是第 r 项;②运用通项公式可以求出展开式中任意指定的项或具- 22 -有某种条件的项 课后作业： 五、课后作业 1． 已知 ( x +新疆 王新敞奎屯2 n ) 的展开式的第 5 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数之比为 14:3,求展开式中的常数项. x2引伸:条件变为第 5 项的系数与的 3 项的系数之比为 56:3,求展开式的中间项. 2.求 2. (1 + x) + (1 + x) 2 + (1 + x) 3 + L + (1 + x)10 的展开式中含 x 2 项的系数.3. 若 n 是 3 的倍数，求证： 3 ? 1 是 13 的倍数n新疆 王新敞 奎屯- 23 -
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