图说、故事趣说“周长一定时，何种封闭的平面图形面积最大？”
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图说、故事趣说“周长一定时，何种封闭的平面图形面积最大？”
1 小欧拉改羊圈瑞士数学家（）小时候一边放羊，一边读书。他读的书中，有不少数学书。他放的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，他爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米（15+15+40+40=110）父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美。父亲终于同意让儿子试试看。小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原来40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米边长延长，增加10米，变成25米。经这样一改，原来的羊圈变成了25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了。”父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上篱笆，100米长篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴。孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息。父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生。2 正方形VS长方形当周长一定时，围成一个方形，两边的关系与两边形成的面积有何相关关系，我可以先讨论两边相等时（正方形），与两边不等时（长方形）形成的面积对比关系。设周长为C，正方形边长为a，长方形长为b、宽为c。①根据正方形周长公式C=4a，则正方形边长a=C/4根据正方形面积公式S1=边长2，则正方形面积S1=（C/4）2=C2/16②根据长方形周长公式C=（b+c）×2，则b+c=C/2根据长方形面积公式得S3=bc因为a=C/4，所以a=C/2×1/2=（b+c）×1/2=（b+c）/2则S1-S3=a2-bc=（b+c）2/4-bc=（b+c）2/4-4bc/4=【（b+c）2-4bc】/4=（b2+2bc+c2-4bc）/4=（b2-2bc+c2）/4=（b-c）2/4因为b≠c，所以（b-c）2＞0则（b-c）2/4＞0即S1-S3＞0所以S1＞S3所以周长相等的长方形和正方形，正方形的面积大于长方形的面积。类似地，可以看到，b和c越接近（也就是长方形越接近正方形），其周长一定时组成的面积最大。3 图形证明当周长一定时，正方形面积&长方形面积注意到△ABC∽△DBA ,可以很轻松地得到AB=√ab。设想周长=2*(a+b)时，所组成的方形的面积。长方形的面积＝a*b=线段AB长的正方形的面积。可以看到，當周长=2*(a+b)、a和b相等时，也就是线段AB的长＝(a+b)/2(圆半径)时，面积最大。几何平均值小于算术平均值：几何平均数（geometric mean）是指n个观察值连乘积的n次方根。是不等式中最重要和基础的等式。几何平均数体现了一个几何关系，即过一个圆的直径上任意一点做垂线，直径被分开的两部分为a,b,那么那个垂线在圆内的一半长度就是根号ab,并且(a+b)/2&=根号ab!这就是它的几何意思，也是称之为几何平均数的原因。(作一正方形，使其面积等于以a,b为长宽的矩形，则该正方形的边长即为a、b的几何平均数.)以下图形也可以直观地看到这种关系：4 正方形、圆面积比较设长度为a，若是正方形，边长是a/4，的面积是a2/16，而圆的半径是a/2π，面积则是a2/4π，π=3.14，面积约是a2/12，故周长一定时，圆的面积最大。5 正多边形、圆面积比较正N边形的所有顶点都在同一个外接圆上，将正N边型的顶点都与外接圆的圆心相连将正N边型分成N个全等等腰的三角形，等腰三角形的顶角为2π/N，可求得小等腰三角形的面积为0.5sin(2π/N)R2，再乘以等腰三角形的个数N即得。正弦定理对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：sinA / a = sinB / b = sinC/c也可表示为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC其中R是三角形的外接圆半径。它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a是通过A,B和C三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中（1）已知两个角和一个边求未知边和角（2）已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角测量中常见情况。三角函数正弦定理可用于求得三角形的面积：S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB正多邊形面積S＝N*0.5sin(2π/N)R2，当N趋近于无穷大时，sin(2π/N)=2π/N（这是高数里面的等价无穷小），那么得到的就是圆的面积S=πR2。根据古典神话，公元前年，泰雅国的公主黛多为逃避同胞哥哥的追杀，跟随一些卫士逃离了国家。他们坐船来到非洲，见到了非洲的雅布王。肯求雅布王给他一些土地。雅布王很同情她们，想给他们一些土地，但又怕他们所要更多的土地就想出了一个妙计。他给了黛多公主一块牛皮，说：“你们用这块牛皮圈土地，我会把圈到的土地给你们的。”卫士们一听，很生气。一张小小的牛皮能圈多大的土地？但是，黛多公主并不生气，带着卫士们圈地去了。雅布王暗喜，这下不会损失太多的土地了。可是，不一会儿，仆人来报告：“黛多公主圈的地已经有整个国家的三分之一大了”。雅布王大吃一惊，急忙赶去看，原来黛多公主并没有把牛皮直接铺在地上，而是把牛皮搓成牛皮绳，用牛皮绳沿着海岸线圈出了一块很大的半圆形土地。雅布王很佩服她的智慧，心甘情愿的给了她那块土地。结论：周长一定的平面封闭图形以圆的面积最大。.参考：/view/c30c.html
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【求助】求解固定周长的多边形最大面积
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新手, 积分 6, 距离下一级还需 44 积分
本帖最后由 XiXiM_cY9YA 于
10:09 编辑
题有三问 循序渐进，但是我只会第一问，请大神们指教
固定周长的矩形，何时面积最大？ 我假设了周长为2
[x,f1,key]=fminsearch('-x+x^2',0)
得出正方形时面积最大
固定周长的三角形，用heron's formula
我用的nonlinear 的解法 这是式子 但是不会用matlab
Objective Min (-1)*sqrt((1-x1)*(1-x2)*(1-x3))
s.t. -x1-x2-x3&=-2
x1+x2-x3&0
x1-x2+x3&0
-x1+x2+x3&0
x1,x2,x3&0
用Matlab解不出 不知道问题在哪求大神指教
f = @(x)(-1)*sqrt((1-x(1))*(1-x(2))*(1-x(3)));
x0 =[0,0,0];
A = [-1 -1 -1
& & 1 1 -1
& & 1 -1 1
& & -1 1 1
& & 0 0 1];
b = [-2 0 0 0 0 0 0];
x = fmincon(f,x0,A,b);
固定周长的图形，何时面积最大。
虽然知道是圆形面积最大，但是不知道要怎么用matlab解答，求大神帮助
论坛优秀回答者
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关注者： 305
|此回复为最佳答案
本帖最后由 jingzhaos 于
11:39 编辑
你的约束条件不对，
1. A b的不等式要求是&=0，不是&=0
2. X1+X2+X3是等式约束，应该用Aeq=[1 1 1],beq=2
A = -[1 1 -1
& & 1 -1 1
& & -1 1 1
& & 1 0 0
& & 0 1 0
& & 0 0 1];
b = [ 0 0 0 0 0 0];
Aeq=[1 1 1];
beq=2;
x = fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq)复制代码
论坛优秀回答者
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关注者： 114
网上有些简单的证明，但并不是最严谨的，不过高中生都能理解。
首先可以证明，周长为定值L的一切n边形中，正n边形有最大的面积。
分三步证明：
1）面积最大的n边形一定是凸的。
若不然，将凹进去的边对称翻转后，周长仍保持不变，面积却增大了，矛盾，故成立。
2）面积最大的n边形各边一定相等。
若不然，考虑其中一组不相等的相邻边，保持两个边长之和一定，那么顶点轨迹必为椭圆，而底边固定。因此当顶点位于短半轴顶点时面积最大，矛盾，故成立。
3）面积最大的n边形各内角相等。
只需证明任意两相邻内角相等即可。设三条邻边各个顶点分别为A1,A2,A3,A4，连结A1A4，固定A1,A4,A5,...,An。考虑四边形A1A2A3A4，当四边形周长一定时，四边形面积要最大必然是圆内接四边形，考虑到上面的结论1), 2)，可知该内接四边形为等腰梯形，故相邻内角相等。
4）等周长正n边形面积随n(&2)单调递增。
正n边形面积公式Sn=L^2/(4n^2)cot(pi/n),
设 f(x)＝xcotx（x＞0），则f’(x)＝cotx﹣x/sin2x＝(sinxcos﹣x)/sin2x＝(sin2x﹣2x)/(2sin2x)＜0
故f(x)在每个连续定义区间内单减。而Sn＝L2/(4pi)·f(π/n)（n≥3），故Sn随n增大而增大。
由4）可知，n趋于无穷，即等周多边形中圆面积最大。
方法二则更一般，看图说话。
搜狗截图16年10月03日1322_1.png (107.23 KB, 下载次数: 0)
13:45 上传
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问题如果比较复杂或较难，请邮箱联系
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你的约束条件不对，
1. A b的不等式要求是=0
2. X1+X2+X3是等式约束，应该用Aeq=[1 1 1],beq=2
谢谢大神指点
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网上有些简单的证明，但并不是最严谨的，不过高中生都能理解。
感激不尽 答案虽然显而易见，但是并不知道要怎么清楚的证明正n边形 n越大面积越大，有了公式就简单明了了。谢谢大神！
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长方形,正方形,圆形周长相等的情况下,哪个面积大?能总结出有啥规律?只需要说规律!
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楼主可以这样想问题：在周长相等的情况下,所围成的图型中,圆的面积是最大的；所以在面积相等的情况下,圆的周长就一定是最短的了.在周长相等的情况下：圆面积&正方形的面积&长方形的面积&周长相等时,等边的图形中正多边形面积最大.而所有的周长相等的正多边形中变数越多面积越大所以长方形&正方形&圆设三者的周长均为m,则：&正方形：边长=m/4,其面积=(m/4)^=m^/16&圆：2πr=m&===&r=m/(2π),其面积=πr^=π*[m/(2π)]^=m^/(4π)&长方形的边长分别为a、b（a≠b）&则,a+b=m/2&又由于a+b&2√(ab)&===&ab&(m/4)^=m^/16&即,长方形面积=ab&m^/16&所以,面积最大是圆,面积最小是长方形根据三角形面积推导公式可知,周长相等的情况下,三角形面积一定小于正方形和长方形；由此再比较圆、正方形及长方形在周长相等的情况下,哪种图形面积最大；设一个圆的半径是1,它的周长是6.28,面积是3.14,和它周长相等的正方形的面积是：（6.28÷4）2=2.4649,和它周长相等的长方形的面积是：6.28÷2=3.14,设这个长方形的长、宽分别为a、b：取一些数字（0.1,3.04）,（0.5,2.64）,（1,2.14）,…（2.14,1）,（2.64,0.5）,（3.04,0.1）可以发现长方形的长和宽越接近,面积就越大,当长和宽相等时,也就是变成正方形了,所以这个长方形的面积一定小于正方形的面积．所以在周长相等的情况下,面积：圆＞正方形＞长方形＞三角形．点评：在周长相等的情况下,在所有几何图形中,圆的面积最大,应当做常识记住．
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周长相等的长方形正方形和圆谁的面积最大
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设它们的周长都是c则圆的s=πr×r=π×（c÷2）×（c÷2）=πc×c÷4正方形的s=a×a=（c÷4）×（c÷4）=c×c÷16长方形的s=a×b＜正方形的s＜圆的s
采纳率：62%
（当且仅当a=b时取等号）　　即周长相等时，正方形的面积＞长方形（非正方形）的面积，且正方形的面积是L&#178;/（4π），看作矩形讨论。　　令它们的周长都为L，矩形的长为a，宽为b，则矩形的面积为ab　　因为2（a+b）=L;）/2;=π×[L/（2π）]&#178;=L&#178;/（4π）　　因为L&#178;/16＜L&#178，也就是说正方形的面积＜圆形的面积　　所以　　周长相等时，　　再令圆形的半径为r，4ab≤（a+b)&#178;=（L/2）&#178;=L&#178;/4　　所以ab≤L&#178;/16;/16，即2ab≤a&#178，　　因为L是定值;　　又因为a&#178;+b&#178;=（a+b)&#178;-2ab　　所以2ab≤（a+b)&#178;-2ab，所以a+b=L/2;+b&#178;+b&#178，所以a+b=L/2是定值　　因当a+b为定值时，ab≤（a&#178，圆形的面积最大　　圆的面积＞正方形的面积＞长方形（非正方形）的面积，论证如下，则2πr=L，r=L/（2π）　　所以圆形的面积=πr&#178，面积越大。　　其实，可以把圆形看作正无限边形，所以周长一定时：　　证明：　　先将长方形和正方形合在一起，圆的面积＞正方形的面积＞长方形（非正方形）的面积拓展：　　正N边形的周长一定时，边数越多
周长相等的长方形正方形和圆，圆的面积大
圆的的面积比较大
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