请问圆的极坐标方程表达式？
圆心在原点，半径为R的圆，X^2+Y^2=R^2
用极坐标表示为：ρ=R；
圆经过原点,圆心在X轴上,半径为R的圆，X^2+Y^2=2RX
用极坐标表示为：ρ=2Rcosθ；
圆经过原点,圆心在Y轴上,半径为R的圆，X^2+Y^2=2RY
用极坐标表示为：ρ=2Rsinθ；
其它位置的圆，在极坐标下的方程形式比较复杂。
标准方程: X^2+Y^2+2MX+2NY+Q=0, ( M^2+N^2>Q )
圆心坐标: (-M,-N,), 半径: R=√(M^2+N^2-Q)
用极坐标表示为：ρ^2+2ρ(Mcost+Nsint)+Q=0
其他答案（共1个回答）
θ；
圆心在(-a,0)，半径为a的圆，在极坐标下的方程是：ρ=-2acosθ；
圆心在(0,a)，半径为a的圆，在极坐标下的方程是：ρ=2asinθ；
圆心在(0,-a)，半径为a的圆，在极坐标下的方程是：ρ=-2asinθ.
其它的圆，在极坐标下的方程形式比较复杂...
圆心在原点，半径为R的圆，在极坐标下的方程是：ρ=R；
圆心在(a,0)，半径为a的圆，在极坐标下的方程是：ρ=2ac相关信息θ；
圆心在(-a,0)，半径为a的圆，在极坐标下的方程是：ρ=-2acosθ；
圆心在(0,a)，半径为a的圆，在极坐标下的方程是：ρ=2asinθ；
圆心在(0,-a)，半径为a的圆，在极坐标下的方程是：ρ=-2asinθ.
其它的圆，在极坐标下的方程形式比较复杂，通常不用。
如果你没有打算用，这非常简单，圆(x-a)^2+(y-b)^2=R^2，化为极坐标方程为：
(ρcosθ-rcost)^2+(ρsinθ-rsint)^2=R^2，这里(r,t)是点(a,b)的极坐标。
设圆心的极坐标为（p0,α),则圆心的直角坐标为（p0cosα,p0sinα).
设圆的半径为r，则有圆的直角坐标系方程为：
(x-p0cosα)^2+(y-p...
最简单的方法是：
已知圆的方程标准化：(X-3)²+(Y-3)²=2²
∴圆心O(3,3)
设：过已知点A(-3,-5)与已知圆O...
x^2+y^2-x+2y=0
(X-1/2)^2+(Y+1)^2=5/4
Ｃ＇的方程
(X+2)^2+(Y-3/2)^2=5/4
1. 定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹...
答: 还好,把你这个也算不算很短了,但是现在一定要尽量多吃点有营养的东西,多吃一些孕妇奶粉之类的,这样的话宝宝很快就会涨上去。
答: x->0:lim(1+x)^(-1/x)
=1/[x->0:lim(1+x)^(1/x)
x->∞:limxsin(1/x)
=1/x->0:lim[...
答: 计算科学是一门什么样的学科？
答：计算学科（通常也称作计算机科学与技术）作为现代技术的标志，已成为世界各国经济增长的主要动力。但如何认识这门学科，它究竟属于理科...
答: 补课是比较错误的方式。我一直到高中毕业没补过课。爸妈也不管我，随我学什么。我打游戏和化学都挺好。现在在大学读书，很深刻地感受到教育是钱买不来的。在实验室做小型的...
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这个不是我熟悉的地区3被浏览885分享邀请回答28 条评论分享收藏感谢收起0添加评论分享收藏感谢收起写回答老师：
&br/&您好！
&br/&在华东师大《&span class='hot-word'&数学&/span&分析》上参变量函数的导数一节中，关于极坐标中向径与切线的夹角的概念是否和数学中夹角的概念一致？一般夹角应该小于等于90度，但是此处的公式表明这个夹角可能是钝角。这样是否出现矛盾？此处夹角的说法是否不合适，是否可以理解为向径到切线的到角呢？
这里讨论的是两个方向的夹角，不是两条直线的夹角，故应取零到180度范围的角。按照书中的叙述，这里指径向到切向（沿辐角增加的方向）的角，属两个方向的夹角。只是推导繁琐，且有缺点，例如，此时y对x的导数不必存在等。其实，在极坐标下引入微分三角形后，该结论是显然的。
p^2cosa-p=0 ==& p(pcosa-1)=0,p=0时轨迹是一个点即原点;pcosa-1=0时,轨迹是一条垂直于X轴的直线x=1。
设所求直线上任一点P(ρ,θ)
这直线与极轴交点到极点距离1
由直角三角形可得
设所求圆上任一点P(ρ,θ)
此圆过极点O，直径为2
k值就是1，它的角度决定k的值，即sina=k，a代表角度
该圆过(0,0)
∠PON=θ-1---&ρ/2=|OM|=|ON|cos(θ-1)
---&圆的方程：ρ=2cos(θ-1)
这样给你解释好了：
对于任何正数a（a事先可以任意取，一旦选出，就固定），然后把实数集R分成若干长为a的左开右闭的线段，线段的端点分别为
…… -3a，-2a，...
答: 34周做胎心监护结果是155，但是线路有点平大多直在150-155。有问题吗？
答: x->0:lim(1+x)^(-1/x)
=1/[x->0:lim(1+x)^(1/x)
x->∞:limxsin(1/x)
=1/x->0:lim[...
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&&&&&&&&第四章光在各向异性介质中的传播&&&&&&&&?教师：张旨遥?办公地点：光电楼321室?E-mail:zhangzhiyao@&&&&&&&&&&&&本章主要内容&&&&?介电张量单色平面波在晶体中的传播单轴晶体和双轴晶体的光学性质晶体光学性质的图形表示平面波在晶体表面的反射和折射晶体光学器件偏振光和偏振器件的矩阵表示偏振光的干涉电光效应声光效应磁光效应&&&&&&&&&&&&前言&&&&?各向同性：介质的光学性质与方向无关。?例如：石英玻璃和石英光纤等可以看作各向同性介质（isotropicmedium）。?各向异性：介质的光学性质（介电常数等）在不同的方向（x，y，z）上有不同的值，或者至少有两个彼此不相等。?晶体就是一种典型的均匀的、透明的各向异性介质（anisotropicmedium）。?介质的各向异性和介质的均匀性是不同的概念。&&&&&&&&&&&&?晶体结构的特点：组成晶体的各基元（原子、分子、离子或其集团）在空间排列组合时，表现出一定的空间周期性和对称性。?上述结构特点导致了晶体宏观性质的各向异性，自&&&&&&&&然，其光学特性也就表现出各向异性。&&&&?光的偏振与各向异性的晶体有着密切联系：一束非&&&&&&&&偏振光入射到晶体上，一般将分解为两束偏振光。&&&&?最重要的偏振器件是由晶体制成的。&&&&&&&&&&&&7.1介电张量&&&&一、张量的概念&&&&?在晶体中，描述光学特性的参量与方向有关，因方向而异，它们是一些张量。?标量（实际上就是零阶张量）：与测量方向无关的量，由给定的某个数值完全确定。例如：物体的质量、体积、温度等。?矢量（实际上就是一阶张量）：与测量方向有关的量，当坐标轴选定后，它由这些轴上的三个分量完全确定，具有确定的数值和方向。?张量（通常指二阶及其以上张量）：使一个矢量与一个（或多个）矢量间相关联的量。&&&&&&&&&&&&?例如：矢量p与矢量q有关，则其一般关系应为&&&&p?T?q&&&&&&&&式中T是关联p和q的二阶张量。&&&&?在直角坐标系O-xyz中，上式可表示为&&&&?pxTxxTxyTxzqx?p?TTTyyyzqyyyxqz?pz?TzxTzyTzz?px?Txxqx?Txyqy?Txzqzpy?Tyxqx?Tyyqy?Tyzqz?p?Tq?Tq?Tqzxxzyyzzz?z&&&&&&&&piTijqj&&&&j&&&&&&&&?i,j?x,y,z?&&&&&&&&如果T是张量，则p的某个坐标分量不仅与q的同一坐标分量有关，还与其另外两个分量有关。&&&&&&&&&&&&?如果矢量p与两个矢量v和u有关，其一般关系式为&&&&p?T:vu&&&&&&&&式中T是三阶张量。&&&&&&&&?在直角坐标系O-xyz中，三阶张量可表示为&&&&?TxxxTxyyTxzzTxyzTxzyTxzxTxxzTxxyTxyx?TTyxxTyyyTyzzTyyzTyzyTyzxTyxzTyxyTyyxTzxxTzyyTzzzTzyzTzzyTzzxTzxzTzxyTzyx?&&&&&&&&运算规则为&&&&pi?Tijkvjuk&&&&jk&&&&&&&&?i,j,k?x,y,z?&&&&&&&&&&&&二、张量的变换&&&&?由于张量的分量与坐标有关，所以当坐标系发生变化时，张量的表达式也将发生变化。?假设某张量在原坐标系O-xyz中的表达式为T，在新坐标系O-x’y’z’中的表达式为T，则当原坐标系与新坐标系的坐标变换矩阵为a时，有&&&&?TxxaxxTxyTxz?TTT?yyyzyx?ayxTzx?azxTTzyzz?&&&&&&&&axyayyazy&&&&&&&&axzTxxayzTyx?azz?Tzx&&&&&&&&TxyTxzaxxTyyTyzaxy?TzyTzz?axz&&&&&&&&ayxayyayz&&&&&&&&azxazy?azz&&&&&&&&Tij?aikajlTkl&&&&lk&&&&&&&&?i,j,k,l?x,y,z?&&&&&&&&&&&&?如果考虑矢量，则新坐标系中的矢量表达式A与原&&&&&&&&坐标系中的表达式A之间的矩阵变换关系为&&&&?AxaxxAy?ayx?Azazx?&&&&&&&&axyayyazy&&&&&&&&axzAxayzAy?azzAz&&&&&&&&AiaijAj&&&&j&&&&&&&&?i,j?x,y,z?&&&&&&&&&&&&三、对称张量&&&&?一个二阶张量Tij，如果有Tij?Tji，称为对称张量，它只有六个独立分量。&&&&&&&&?二阶对称张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有三个对角分量非零，为对角化张量。&&&&?当对坐标系进行主轴变换时，二阶对称张量可实现对角化。&&&&&&&&?张量与矩阵是有区别的，张量代表一种物理量，因此在坐标变换时，改变的只是表示方式，其物理量本身并不变化，而矩阵则只有数学意义。&&&&&&&&&&&&?例如，某一对称张量&&&&?TxxTxyTxzTxyTyyTyzTxzTyzTzz?&&&&&&&&经主轴变换后，可表示为&&&&?Tx000Ty000?Tz&&&&&&&&&&&&四、各向异性介质的介电张量&&&&?与分析各向同性介质的光波传输问题一样，分析各向异性介质中光波的传输依然以麦克斯韦方程组、物质方程和电磁场边界条件为基础。?各向异性介质通常指电学性质上的各向异性（磁各向同性的），即介电常数是各向异性的。&&&&D0?r?E&&&&&&&&Di0ijEj&&&&j&&&&&&&&?i,j?x,y,z?&&&&&&&&xx?Dx?Dy?0yxzxDz?&&&&&&&&?xy?xzEx?yy?yzEyzy?zzEz&&&&&&&&通常情况下，电位移矢量D和电场矢量E具有不同方向。&&&&&&&&介电张量&&&&&&&&&&&&五、介电张量的对称性&&&&?电磁场能量守恒定律的微分表达式为&&&&?w?S?0?t&&&&&&&&S?E?H：玻印廷矢量1we?E?D：电能密度2&&&&&&&&w?we?wm：电磁能密度1wm?H?B：磁能密度2&&&&&&&&假设晶体是均匀的非导体，且磁各向同性，只是电各向异性，则&&&&1we0?Ei?ijEj2i,j&&&&1wmH22&&&&&&&&因此&&&&&&&&?Ej?1?HEi1?0ij?Ej?Ei2i,jt?t?t?2&&&&&&&&2&&&&&&&&S?0&&&&&&&&&&&&?矢量恒等式&&&&E?H?H?E?E?H&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&考虑麦克斯韦方程组以及玻印廷矢量的定义，有&&&&?D?BEHS?0?t?t&&&&&&&&?0?Ei?ij&&&&i,j&&&&&&&&?Ej&&&&&&&&?HH?S?0?t?t&&&&?&&&&2H?1?&&&&&&&&?0?Ei?ij&&&&i,j&&&&&&&&?Ej?t&&&&&&&&2&&&&&&&&?t&&&&&&&&?S?0&&&&&&&&&&&&?对比从电磁场能量守恒定律以及从矢量恒等式推导出来的两个等式，可以得到&&&&?0?Ei?ij&&&&i,j&&&&&&&&?Ej&&&&&&&&?Ej?Ei10ij?Ej?Eit2i,jt?t?&&&&&&&&整理后得到&&&&?Ej?Ei?ij?Ej?Ei0ti,jt?&&&&&&&&交换i和j的顺序，上式仍然成立&&&&EjEi?ji?Ei?Ej0ti,jt?&&&&&&&&&&&&?以上两式相加得到&&&&&&&&?&&&&i,j&&&&&&&&ij&&&&&&&&ji&&&&&&&&?&&&&&&&&?Ej?EiEj?jiijEi?0?t?ti,j&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&上式对任意电场成立，唯一的可能是&&&&?ijji&&&&&&&&即介电张量是对称二阶张量。?经过主轴变换后，介电张量可以表示为&&&&x000&&&&&&&&?y0&&&&&&&&00z&&&&&&&&?x,?y,?z：主介电常数&&&&nii&&&&&&&&?i?x,y,z?：主折射率&&&&&&&&?xyz：各向同性介质&&&&&&&&&&&&?在各向异性介质中，D和E平行的条件当?xyz时（双轴晶体）电场偏振方向沿任意一主轴，可以保证电位移矢量与电场矢量平行。当?xyz时（单轴晶体）电场偏振方向沿任意一主轴，可以保证电位移矢&&&&&&&&量与电场矢量平行。&&&&电场偏振方向在O-xy平面内，可以保证电位移矢量与电场矢量平行。&&&&&&&&&&&&7.2单色平面波在晶体中的传播&&&&一、晶体中的光波结构&&&&?在晶体中传播的单色平面波：&&&&?EE0?n?D?D0?expit?k0?rcHH?0?&&&&&&&&k0：波法线方向（即等相位面的法线方向）的单&&&&&&&&位矢量，与等相位面或波阵面垂直。&&&&&&&&&&&&?对于单色平面波，时间微分算子和空间微分算子可以做如下替换：&&&&?itnik?i?k0c&&&&&&&&则麦克斯韦方程组可变为&&&&?DHt?BE?t&&&&D?0B?0&&&&ni?k0?Hi?Dcni?k0?E?i0Hcni?k0?D?0cni?k00H?0ccH?k0?DncE?k0?0Hn&&&&&&&&k0?D?0k0?H?0&&&&&&&&&&&&?可以得出如下结论：&&&&D、H、k0呈右手螺旋关系。&&&&H垂直于E、D、k0。&&&&&&&&c?H?k?D0?nE?kc?H00?nk0?D?0?k0?H?0&&&&&&&&?玻印廷矢量：S?E?H?Ss0&&&&s0：能流方向的单位矢量。s0；E、H、s0呈右手螺旋关系。H垂直于E、&&&&D、k0和s0都垂直于H，那么E、D、k0和s0必?既然E、&&&&&&&&定在同一个平面内。&&&&&&&&&&&&?通常在各向异性介质中，E和D是不同向的，所以s0和k0是不同向的，即光波能量传播方向和等相位面传播方向不相同，这是光在各向异性介质中传播的一个重要结论。&&&&&&&&E和D之间的夹角就是s0和k0之间的夹角。E、D、k0、s0共面。&&&&&&&&&&&&二、能量密度&&&&1we?E?D2cH?k0?Dn1wm?B?H2cE?k0?0Hnnnwe?E?H?k0?E?H?k02c2cnn?Ss0?k0?Scos?2c2c&&&&wmnnH?E?k0?E?H?k02c2cnn?Ss0?k0?Scos?2c2c&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&总电磁能量密度：w?we?wm?&&&&&&&&nnSs0?k0?Scos?cc&&&&&&&&&&&&三、相速度与光线速度&&&&?相速度是光波等相位面的传播速度，表达式为：&&&&cvp?vpk0?k0n&&&&&&&&?光线速度是单色光波能量的传播速度，其方向为能流密度（玻印廷矢量）的方向，大小等于单位时间内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量除以能量密度，即&&&&cvr?vrs0?s0?s0wnrS&&&&&&&&nr：光线折射率。&&&&&&&&&&&&Scvr?vrs0?s0?s0nrw&&&&w?nnSs0?k0?Scos?cc&&&&&&&&cvpvrcosvrk0?s0n&&&&&&&&nr?ncos?&&&&&&&&单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方向的投影。&&&&&&&&?可见，在一般情况下，光在各向异性介质中的相速度和光线速度分离，其大小和方向均不相同。&&&&&&&&&&&&四、波法线菲涅耳方程&&&&cH?k0?DncE?k0?0Hn&&&&&&&&D&&&&&&&&n2c?0&&&&2&&&&&&&&?E?kk&&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&n2c?0&&&&2&&&&&&&&k0?k0?E&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&矢量恒等式：ab?cb?a?cc?a?b?则k0k0?E?k0?E?k0k0?k0?Ek0?E?k0?E&&&&c?1&&&&&&&&?0?0&&&&&&&&?因此有&&&&&&&&D0n2?E?k0?Ek0?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&?如果选取主轴坐标系，则有&&&&Di0?iEi&&&&&&&&?i?x,y,z?&&&&&&&&Ek0?E?k0?按照三个主轴分量形式因此，D0n2?&&&&&&&&可以写为&&&&?2?DiDi?n?0Ei0k0?Ek0i?n?0k0?Ek0i?ii?x,y,z?&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&即&&&&&&&&Di?&&&&&&&&?0k0?Ek0i&&&&1&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?i&&&&&&&&?&&&&&&&&1n2&&&&&&&&?i?x,y,z?&&&&&&&&&&&&?由于D垂直于k0，即D?k0?0，因此有&&&&Dxk0x?Dyk0y?Dzk0z?0&&&&&&&&即&&&&&&&&?0&&&&&&&&?&&&&&&&&222kkk0y0z0x0k0?E?n2n2?yz?x?&&&&&&&&?&&&&&&&&通常情况下，E和k0不垂直，即k0?E一般不等于零，&&&&因此可以得到波法线菲涅耳方程如下&&&&2kk0z?0或?1vx?vpvy?vpvz?vp?2?2?2?xn?yn?zn20x&&&&2k0y&&&&&&&&k&&&&&&&&20x&&&&&&&&2k0z&&&&&&&&2k0y&&&&&&&&&&&&2k0x&&&&&&&&1?2?xn&&&&20x&&&&&&&&1&&&&&&&&?&&&&&&&&2k0y&&&&&&&&1?2?yn&&&&2k0y&&&&&&&&1&&&&&&&&?&&&&&&&&2k0z&&&&&&&&1?2?zn&&&&&&&&1&&&&&&&&?0&&&&&&&&2k0kz?0222222vx?vpvy?vpvz?vp&&&&&&&&?从波法线菲涅耳方程可以看出：对于确定的各向异&&&&?y、?z确定），折射率n和相速度vp性介质（即?x、&&&&&&&&随传播方向k0变化。这种沿不同方向传播的光波具&&&&有不同折射率（或相速度）的特性，即是各向异性&&&&&&&&的表现形式。&&&&&&&&&&&&2k0x&&&&&&&&1?2?xn&&&&&&&&1&&&&&&&&?&&&&&&&&2k0y&&&&&&&&1?2?yn&&&&&&&&1&&&&&&&&?&&&&&&&&2k0z&&&&&&&&1?2?zn&&&&&&&&1&&&&&&&&?0&&&&&&&&?波法线菲涅耳方程是n2的二次方程，通常有两个独&&&&&&&&立的实根n和n。因而，对应每一个波法线方向k0，&&&&&&&&有两个具有不同折射率（不同相速度）的光波。&&&&222?k0kk0y0zx?0??2?yn?zn?xn?222kkk?0y0z0x?0??22?yn?zn?xn&&&&&&&&&&&&Di?&&&&&&&&?0k0?Ek0i&&&&1?2?in1&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?i?x,y,z?&&&&&&&&222?x?n2?1?k0?E?nkkE?nk0xk0zEz?0xx0x0yy?2222nkkE?n1?kE?nk0yk0zEz?0?0y0xx0y?y?y?2n2k0zk0xEx?n2k0zk0yEy?z?n2?1?k0zEz?0&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&将n?n和n?n分别代入上面方程组，可求出相应&&&&E:E:E:E:Enn的两组比值xyz和E，从而定出和xyz&&&&&&&&对应的光波的E和E的方向。&&&&&&&&&&&&:E:E由求得的比值Ex和E:Ey:Ezxyz，根据物质方&&&&&&&&程的分量关系Di0?iEi?i?x,y,z?，求出相应的两&&&&:Dy:Dz:D:D组比值Dx和D，从而定出与和nnxyz&&&&&&&&分别对应的D和D的方向。由于E、D各分量之间的比值都是实数，所D、E、以E、E、D、D都是线偏振的。?事实上，D和D还是相互垂直（正交），证明如下：&&&&&&&&&&&&D?&&&&i&&&&&&&&?0k0?Ek0i&&&&1&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?i&&&&&&&&?&&&&&&&&1n&&&&2&&&&&&&&?i?x,y,z?&&&&&&&&D?&&&&i&&&&&&&&?0k0?Ek0i&&&&1&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?i&&&&&&&&?&&&&&&&&1n&&&&2&&&&&&&&?i?x,y,z?&&&&&&&&2D?D0k0?E&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&&&&&k0?E&&&&&&&&?&&&&&&&&2k0x?11112?2?xn?xn?&&&&&&&&22k0yk0z?1??2?22yn?yn?zn?zn?&&&&&&&&&&&&2D?D0k0?E&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&&&&&k0?E&&&&&&&&?&&&&&&&&?222?nnkk0x0x221111?n?n?2?2?xn?xn?&&&&&&&&yk0zk0z?2?nnzz?ynyn?&&&&&&&&方括号中第一、三、五项（紫红色）之和为零，第二、四、六项（蓝色）之和为零。即：&&&&D?D?0，D和D相互垂直。&&&&&&&&&&&&?由此，可以得到晶体光学的一个重要性质：?一般情况下，对应于晶体中每一个给定的波法线方向k0，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，它们的D矢量相互垂直（因而振动面相互垂直），具有不同的折射率或相速度。?由于E、D、k0、s0四个矢量共面，且E?s0，所以这两个线偏振光有不同的光线方向和光线速度。?通常称这两个线偏振光为相应于给定k0方向的两个本征模式。&&&&E&&&&E&&&&&&&&&&&&D&&&&D&&&&&&&&s0&&&&&&&&k0&&&&s0&&&&&&&&&&&&五、光线菲涅耳方程&&&&?重新考虑方程D0n2?Ek0?E?k0?0n2E?&&&&实际上表示E在垂直于k0（即平行于D）方向上的分量，记为E?。&&&&D&&&&&&&&D?&&&&&&&&E?DEcos0n2cos?&&&&?&&&&0&&&&&&&&E?&&&&&&&&?&&&&&&&&E&&&&&&&&1&&&&&&&&?s?D?s&&&&0&&&&&&&&?k?E?k&&&&0&&&&&&&&?0?ncos&&&&1&&&&&&&&2&&&&&&&&Dcos?&&&&&&&&?&&&&&&&&k0s0&&&&&&&&0&&&&&&&&?&&&&&&&&?0?ncos&&&&&&&&2&&&&&&&&D?&&&&&&&&&&&&D&&&&&&&&D?&&&&&&&&cn?vpccnrcosncos?vrvp&&&&0&&&&&&&&E?&&&&&&&&?&&&&&&&&E&&&&&&&&?&&&&&&&&s0?Ds0&&&&&&&&?&&&&&&&&?k?E?k&&&&0&&&&&&&&?&&&&&&&&k0s0&&&&&&&&E?&&&&&&&&1&&&&&&&&?0?ncos&&&&&&&&2&&&&&&&&1DD?2?0nr&&&&&&&&11?E?DD?s0s0?D?22?0nr?0nr&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&?同样选取主轴坐标系，则有&&&&Di0?iEi&&&&&&&&?i?x,y,z?&&&&&&&&1?因此，En2?D?s0s0?D?按照三个主轴分量形式?0r&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&可以写为&&&&?0nr2Ei0?iEi?s0?Ds0i&&&&s?D?s?E&&&&0i2r&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?i?x,y,z?&&&&&&&&即&&&&&&&&?0?ni?&&&&&&&&0i&&&&&&&&?i?x,y,z?&&&&&&&&&&&&?由于E垂直于s0，即E?s0?0，因此有&&&&Exs0x?Eys0y?Ezs0z?0&&&&&&&&即&&&&&&&&?s?D?&&&&0&&&&&&&&?0&&&&&&&&2s0sz22?n2nnxryrz?r20x&&&&&&&&2s0y&&&&&&&&0?&&&&&&&&通常情况下，D和s0不垂直，即s0?D一般不等于零，因此可以得到光线菲涅耳方程如下&&&&22sss0?00zx?0或?2?2nrxnrynrz222vrvxvrvyvrvz20y&&&&&&&&2s0x&&&&&&&&2s0y&&&&&&&&2s0z&&&&&&&&&&&&?类似波法线菲涅耳方程的讨论，可以得到晶体光学的另一个重要性质：?一般情况下，对应于晶体中每一个给定的光线方向s0，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，它们的E矢量相互垂直（因而振动面相互垂直），具有不同的光线折射率或光线速度。&&&&&&&&?这两个线偏振光有不同的波法线方向和折射率。&&&&?通常称这两个线偏振光为相应于给定s0方向的两个本征模式。&&&&D&&&&D&&&&&&&&&&&&E&&&&E&&&&&&&&k0&&&&&&&&s0&&&&k0&&&&&&&&&&&&六、菲涅耳方程的对偶规则&&&&?实际上，在各向异性介质中，对于基本方程有如下对偶规则：&&&&EDDE&&&&&&&&k0&&&&&&&&s0&&&&&&&&c&&&&&&&&?0&&&&&&&&?&&&&&&&&vp&&&&&&&&n&&&&&&&&?x&&&&&&&&?y&&&&&&&&?z&&&&&&&&?s0?k01c1?01?1vr1nr1?x1?y1?z&&&&&&&&?例如：波法线菲涅耳方程与光线菲涅耳方程就满足上述对偶规则。2&&&&2k0x&&&&&&&&波法线菲涅耳方程：&&&&&&&&1?2?xn&&&&20x&&&&&&&&1&&&&&&&&?&&&&&&&&k0y&&&&&&&&1?2?yn&&&&2s0y&&&&&&&&1&&&&&&&&?&&&&&&&&2k0z&&&&&&&&1?2?zn&&&&&&&&1&&&&&&&&?0&&&&&&&&光线菲涅耳方程：&&&&&&&&2s0sz?0222nrxnrynrz&&&&&&&&&&&&7.3单轴晶体和双轴晶体的光学性质&&&&一、晶体的光学分类&&&&?自然界的七大晶系（按空间对称性划分）&&&&晶系在主轴坐标系中&&&&x000&&&&&&&&光学分类&&&&&&&&三斜单斜正交&&&&三方四方六方&&&&&&&&?y0&&&&&&&&00z&&&&&&&&双轴晶体&&&&&&&&立方&&&&&&&&x00?0?0x00?zx0000x00?x&&&&&&&&单轴晶体&&&&&&&&各向同性&&&&&&&&&&&&?单轴晶体：?xyz&&&&?xyz?正单轴晶体：&&&&&&&&例如：水晶、冰、硫化锌等。&&&&?xyz?负单轴晶体：&&&&&&&&例如：KDP（KH2PO4，磷酸二氢钾）、冰洲石、铌&&&&&&&&酸锂（LiNbO3）等。&&&&?晶体中存在一个特殊方向，当光线在晶体内沿着这一特殊方向传播时不发生双折射，该特殊方向就是晶体的光轴（它是一个方向，不特指某条直线）。?单轴晶体中的z方向就是光轴，也是单轴晶体中唯一&&&&&&&&的光轴。&&&&&&&&&&&&?xyz，通常记为?xyz。例如：?双轴晶体：&&&&&&&&云母、亚硝酸钠、蓝宝石和石膏等都是双轴晶体。?双轴晶体有两条光轴。?对于各向同性介质来说，可以认为它有无数条光轴。&&&&&&&&双折射现象&&&&&&&&&&&&二、光在各向同性介质中的传播&&&&波法线菲涅耳方程：1&&&&k&&&&20x&&&&&&&&1?2?xn&&&&&&&&?&&&&&&&&2k0y&&&&&&&&1?2?yn&&&&&&&&1&&&&&&&&?&&&&&&&&2k0z&&&&&&&&1?2?zn&&&&&&&&1&&&&&&&&?0&&&&&&&&2n各向同性介质的主介电系数满足xyz0&&&&&&&&并且有k02x?k02y?k02z?1因此，波法线方程有重根n?n?n0?在各向同性介质中，沿任意方向传播的光波折射率都等于主折射率n0。&&&&&&&&&&&&Di0?iEi&&&&&&&&?i?x,y,z?&&&&&&&&2?xyz?n0&&&&&&&&D?k0?Dxk0x?Dyk0y?Dzk0z?0&&&&&&&&Exk0x?Eyk0y?Ezk0z?0即E?k0?0也即E?k0&&&&&&&&因此有ED&&&&&&&&s0k0&&&&在各向同性介质中，沿任意方向传播的光波，允许有两个传播速度相同的线性不相关的偏振态（两偏振方向正交），相应的振动方向不受限制，并不局限于某一特定方向上。&&&&&&&&&&&&三、光在单轴晶体中的传播主折射率&&&&?对于单轴晶体，主介电常数?xyz&&&&nxx三个主折射率：&&&&no?ne：正单轴晶体&&&&z&&&&k0z&&&&&&&&nyy&&&&&&&&nzz&&&&&&&&nz?ne，则no?ne令nx?ny?no，no?ne：负单轴晶体&&&&&&&&k0&&&&&&&&k0x?0&&&&&&&&?&&&&k0y&&&&y&&&&&&&&k0y?sin?&&&&k0z?cos?&&&&&&&&x&&&&&&&&&&&&波法线菲涅耳方程：1&&&&&&&&2k0x&&&&&&&&1?2?xn&&&&&&&&?&&&&&&&&2k0y&&&&&&&&1?2?yn&&&&&&&&1&&&&&&&&?&&&&&&&&2k0z&&&&&&&&1?2?zn&&&&&&&&1&&&&&&&&?0&&&&&&&&整理后得到：&&&&&&&&?y?z?k02y?k02z?z?x?k02z?k02x?x?y?z?0&&&&k0y?sin?&&&&k0z?cos?&&&&&&&&?xk0kk?nk?kxy0yz0z0yxy0x&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&波法线分量：k0x?0&&&&2n主介电常数：xyo&&&&&&&&?z?ne2&&&&&&&&?ne?n4?nosin2necos2?n2no?nsinncosnoeone?0&&&&&&&&?n&&&&&&&&2&&&&&&&&nonnsinncosnoeone0?&&&&&&&&&&&&方程有两个不相等的实根：&&&&n?no&&&&&&&&&&&&n?&&&&&&&&&&&&none&&&&2nosin2ne2cos2?&&&&&&&&对于任何一个给定的波法线方向k0，单轴晶体中可以有两个不同的折射率。其中一种光波的折射率与波法线k0的方向无关，恒等于no，这束光波称为寻常光，即o光，与这个光波对应的光线称为o光线，即寻常光线。另一种光波的折射率随着k0与z轴的夹角?而变化，称为非寻常光，即e光，与这个光波对应的光线称为e光线，即非寻常光线。&&&&&&&&&&&&z&&&&k0z&&&&&&&&k0&&&&&&&&n?no&&&&y&&&&&&&&?&&&&k0y&&&&&&&&n?&&&&&&&&&&&&none&&&&2nosin2ne2cos2?&&&&&&&&x&&&&&&&&n?no。可见，当k0与z轴方向一致时，当0时，即光波沿z轴方向传播时，光的传播特性如同在各向z轴方向同性介质中一样，不会发生双折射。因此，就是单轴晶体的光轴方向。&&&&n90当时，?ne。n?n?ne。当0?90时，o&&&&&&&&&&&&光波的偏振方向&&&&222?x?n2?1?k0?E?nkkE?nk0xk0zEz?0?x?x0x0yy?2222nkkE?n1?kE?nk0yk0zEz?0?0y0xx0y?y?y?2n2k0zk0xEx?n2k0zk0yEy?z?n2?1?k0zEz?0&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&2?z?ne2?xy?no&&&&&&&&k0x?0&&&&&&&&k0y?sin?&&&&&&&&k0z?cos?&&&&&&&&2?no?n2?Ex?0?2222n?ncos?E?n?ysin?cos?Ez?0o?2222nsin?cos?E?n?nsinEz?0?e?y?&&&&&&&&&&&&?对于寻常光波&&&&22?n?n?oo?Ex?02222n?ncos?E?n?yosin?cos?Ez?0oo?2222nsin?cos?E?n?nsinEz?0yeo?o&&&&&&&&Ey?Ez?0&&&&&&&&为了使E有非零解，只有Ex?0&&&&Dx0?xEx对于D，显然有Dy?Dz?0，&&&&&&&&因此，对于o光，有DE，且两者都沿x轴方向偏振，即垂直于yz平面（波法线与光轴组成的平面）。&&&&&&&&&&&&?对于非寻常光波&&&&&&&&n?&&&&&&&&&&&&none&&&&2nosin2ne2cos2?&&&&&&&&22?no?nEx?02222?no?ncos?Ey?nsin?cos?Ez?0n2sin?cos?E?n2?n2sin2?E?0yez&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&0&&&&Ex?0&&&&&&&&n?no&&&&&&&&Dx0?xEx?0&&&&&&&&第二、第三个方程的系数行列式为零，因此Ey和Ez有非零解。e光的E或D位于yz平面内，它们与o光的E或D垂直。&&&&&&&&&&&&第二、第三个方程可写为&&&&422?nosin2?nonesin?cos?E?Ez?0y?nosinnecosnosinnecos2242nnsin?cos?ncosoeeEy?2Ez??nosinnecosnosinnecos?&&&&&&&&因此有&&&&2Eznosin?2Eynecos?22Dz?zEznenosin?sin22Dy?yEynonecos?cos?&&&&&&&&可见，e光的E和D的方向一般不一致，因此，e光&&&&的波法线方向与光线方向一般也不一致。&&&&&&&&&&&&z&&&&EeDe&&&&&&&&?&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&sek0&&&&y&&&&&&&&so&&&&&&&&EoDo&&&&&&&&x&&&&&&&&&&&&?晶体光学中，把光波波法线方向与光线方向之间的夹角称为离散角。?在实际问题中，确定离散角对于晶体光学元件的制作和许多应用非常重要。?对于单轴晶体，o光的离散角恒等于0；e光的离散角为?。&&&&22Ensin?notan?z?o?tan?22Eynecos?ne&&&&&&&&tantan?tantan1?tan?tan?&&&&&&&&&&&&2no?1?2?tan?netan2no1?2tan2?ne&&&&&&&&?111cos?sin?sin22?2222nnnneoe?o?&&&&22&&&&&&&&?1&&&&&&&&?当0或90时，即波法线方向k0平行或垂直于0；此时，k0与s0、E与D方向重合。光轴时，&&&&0，e光的光线较其波?对于正单轴晶体（ne?no），&&&&&&&&法线更靠近光轴。&&&&0，e光的光线较其波?对于负单轴晶体（ne?no），&&&&&&&&法线远离光轴。&&&&&&&&&&&&d?d由?对?求导得d1?d?&&&&&&&&2no因为arctan?2tan?ne?&&&&&&&&dd?&&&&&&&&1&&&&4no1?4tan2?ne&&&&&&&&222nonone12?1?tan?22442necos?ne?notan?&&&&&&&&22noned?d?2?11?1?tan?0令?442d?d?ne?notan?&&&&&&&&ne得tanno&&&&22ne?no最大离散角?M?arctan2none&&&&&&&&&&&&?在实际应用中，经常要求晶体元件工作在最大离散&&&&&&&&角的情况下，同时满足正入射条件。&&&&光轴&&&&&&&&?&&&&入射光&&&&&&&&?&&&&&&&&e光&&&&&&&&?&&&&晶体&&&&&&&&o光&&&&&&&&空气&&&&&&&&通光面（晶面）&&&&&&&&tantan?90cot&&&&&&&&n1?otan?ne&&&&&&&&&&&&四、光在双轴晶体中的传播&&&&?双轴晶体（?xyz）有两个光轴，当光沿该两光轴方向传播时，其相应的两特许线偏振光波的传播速度（或折射率）相等。&&&&nztannx&&&&2n2?nyx&&&&&&&&nz2?n2y&&&&&&&&正双轴晶体：45负双轴晶体：45&&&&&&&&由两个光轴构成的平面称为光轴面。&&&&&&&&&&&&如果波法线方向k0与两光轴方向的夹角为?1和?2时，相应的两特定线偏振光的折射率满足关系：&&&&12?212?cos?sin?1222n2nxnz2&&&&2&&&&&&&&当?12，即当波法线k0在两光轴角平分面时，有&&&&n?nx&&&&n?&&&&&&&&&&&&1cos?sin2nxnz2&&&&22&&&&&&&&E&&&&E&&&&&&&&&&&&&&&&D&&&&D&&&&&&&&s0&&&&&&&&k0&&&&s0&&&&&&&&&&&&7.4晶体光学性质的图形表示&&&&一、引言&&&&?对于光在晶体中的传播规律，除了利用解析方法进行严格讨论外，还可以利用一些几何图形来描述。?几何图形能直观地反应出晶体中光波的各个矢量场间的方向关系，以及与各传播方向相应的光速或折射率的空间取值分布。?几何图形方法仅仅是一种表示方法，它的基础仍然是光的电磁理论基本方程和基本关系。?在传统的晶体光学中，常用的几何图形方法包括：折射率椭球、折射率曲面（波矢曲面）、波法线曲面、菲涅耳椭球、射线曲面和相速卵形面等。&&&&&&&&&&&&二、折射率椭球&&&&?晶体的介电主轴坐标系中，物质方程为&&&&?Dx0?xExDy0?yEy?D?E0zz?z&&&&&&&&晶体中光波的电能密度为&&&&22DyDz2?11?Dxwe?E?D22?0x?y?z&&&&&&&&不考虑晶体对光波的吸收，电能密度为定值，因此&&&&2Dx&&&&&&&&?x&&&&&&&&?&&&&&&&&2Dy&&&&&&&&?y&&&&&&&&?&&&&&&&&Dz2&&&&&&&&?z&&&&&&&&?2?0we?C常数&&&&&&&&&&&&令x?&&&&&&&&DxC&&&&&&&&、y?&&&&&&&&DyC&&&&&&&&z?、&&&&&&&&DzC&&&&&&&&将x、y、z看成空间直角坐标，则&&&&2Dx&&&&&&&&?x&&&&&&&&?&&&&&&&&2Dy&&&&&&&&?y&&&&&&&&?&&&&&&&&Dz2&&&&&&&&?z&&&&&&&&?C&&&&&&&&x2&&&&&&&&?x&&&&&&&&?&&&&&&&&y2&&&&&&&&?y&&&&&&&&?&&&&&&&&z2&&&&&&&&?z&&&&&&&&?1&&&&&&&&波法线椭球&&&&&&&&222nnn此外，有xx、yy、zz，则&&&&&&&&x2&&&&&&&&?x&&&&&&&&?&&&&&&&&y2&&&&&&&&?y&&&&&&&&?&&&&&&&&z2&&&&&&&&?z&&&&&&&&?1&&&&&&&&x2y2z2?2?2?12nxnynz&&&&&&&&折射率椭球（光率体）&&&&&&&&对于任一特定的晶体，折射率椭球由其光学性质&&&&&&&&（主介电常数或主折射率）唯一地确定。&&&&&&&&&&&&?折射率椭球的两个重要性质：&&&&&&&&?折射率椭球中任意一条矢径的方向表示D的一个方向，矢径的长度表示D沿该矢径方向振动的光波的折射率，因此折射率椭球的矢径可以表示为r?nd，其中，d是D的单位矢量。&&&&?与波法线方向k0垂直的平面与椭球的截面为一个椭圆，椭圆长轴和短轴的方向对应于波法线方向k0的两个允许存在的D的方向，而长、短轴的长度分别等于两个光波的折射率。&&&&&&&&&&&&?折射率椭球的物理意义：&&&&&&&&?表征了对应某一波长的晶体主折射率在椭球空间的&&&&各个方向上全部取值分布的几何图形（椭球的三个&&&&&&&&半轴长分别等于三个主介电常数的平方根，即主折&&&&射率，其方向分别与介电主轴方向一致）。&&&&&&&&?只要给定晶体的主介电张量，就可以作出相应的折&&&&射率椭球，从而通过几何作图法确定出波法线k0对&&&&&&&&应的两个特定线偏振光的折射率和D的振动方向。&&&&?折射率椭球有时也称为?n,d?曲面。&&&&&&&&&&&&?单轴晶体的折射率椭球方程为&&&&x2y2z2?2?2?12nonone&&&&&&&&正单轴晶体&&&&ne?no&&&&&&&&负单轴晶体&&&&ne?no&&&&&&&&&&&&?折射率椭球在xy平面上的截线是一个圆，其半径为no。表示当光波沿z轴（光轴）传播时，只有一种折射率的光波，其D可取垂直于z轴的任意方向。?折射率椭球在yz平面或者其他包含z轴的平面内的截线是一个椭圆，它的两个半轴长度分别为ne和no。表示波法线方向垂直于光轴方向时，可以允许两种线偏振光传播，一种光波的D平行于光轴方向，折射率为n（ee光）；另一种光波的D垂直于光轴和波法线方向，折射率为n（oo光）。&&&&&&&&&&&&?当波法线方向与光轴成?角时（设在yz平面内），通过椭球中心O且垂直于k0的平面与椭球的截线也是一个椭圆，它的两个半轴长度，一个为no（o光，D平行于x轴），另nnn一个介于o和e之间，记为（e光）。&&&&z&&&&?&&&&&&&&k0&&&&&&&&P点坐标：?yncos?,z?nsin&&&&y2z21y椭圆方程：n2n2oenonen?22nosin2necos2?&&&&&&&&P点n&&&&?&&&&&&&&&&&&?双轴晶体的折射率椭球方程为&&&&x2y2z2?2?2?12nxnynz&&&&&&&&?n&&&&&&&&x&&&&&&&&?ny?nz&&&&&&&&?&&&&&&&&折射率椭球在xz平面的截线（椭圆）方程为&&&&x2z2?2?12nxnz&&&&&&&&任意矢径r与x轴夹角为?，长度为n&&&&n&&&&&&&&?ncos&&&&n&&&&2x&&&&&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&?nsin&&&&n&&&&2z&&&&&&&&2&&&&&&&&?1&&&&&&&&r?nx；r?nz0时，?2时，&&&&&&&&n的大小随?在nx和nz之间变化。&&&&&&&&&&&&由于nx?ny?nz，nx?n?nz，且n随?变化，因此，总可以找到某一矢径r0，其长度为r0?ny。&&&&r0与y轴所组成的平面与折射率椭球的截线为一个圆，&&&&&&&&因此，当光波的波法线方向k0垂直于圆截面时，只有一种折射率（n?ny）的光波，其D在圆截面内振&&&&C1为光轴。动，方向不受限制，&&&&&&&&ny&&&&&&&&&&&&?n&&&&2y2z&&&&&&&&y&&&&&&&&cos?n&&&&2x&&&&2y&&&&&&&&?n&&&&2&&&&2&&&&&&&&y&&&&&&&&sin?n&&&&2z&&&&2x&&&&&&&&?&&&&2z&&&&&&&&2&&&&&&&&?1&&&&&&&&1nn?nntannncos2?&&&&2x&&&&n?nntannn1?tan?yzyxxz&&&&&&&&ny&&&&&&&&nztan?nx&&&&&&&&2n2?nyx&&&&&&&&nz2?n2y&&&&&&&&双轴晶体中存在两个光轴，且对称地&&&&分布在z轴两侧（xz平面内）。&&&&&&&&&&&&三、折射率曲面和波矢曲面&&&&?以晶体内某一固定点为原点，在同一波法线方向k0上画出两个长度分别为折射率n和n的矢径r?nk0，当k0取所有的方向时，矢径端点所形成的双壳层曲面就叫折射率曲面，记作?k0,n?曲面。&&&&&&&&菲涅耳方程：1&&&&&&&&2k0x&&&&&&&&1?2?xn&&&&&&&&?&&&&&&&&2k0y&&&&&&&&1?2?yn&&&&&&&&1&&&&&&&&?&&&&&&&&2k0z&&&&&&&&1?2?zn&&&&&&&&1&&&&&&&&?0&&&&&&&&令r?nk0，x?nk0x，y?nk0y，z?nk0z，得&&&&?z2?n2k0?k?k?nx0y0z&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&22k0y?yn，k0z?znn?y?n2k0x?xn，又?x?nx，，zz，y&&&&&&&&&&&&?直角坐标系中的折射率曲面方程&&&&&&&&?&&&&&&&&222x2nx?y2n2?znzy&&&&&&&&?&&&&&&&&222222x?y?z?nxnynz&&&&&&&&0nn?nx?nn?ny?nn?nzxyzyxzzxy&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&一个平方的二次方程，表示双壳曲面。&&&&&&&&由于r?nk0，矢径直接表示了&&&&&&&&波法线的方向和相应的两个折&&&&射率。&&&&&&&&&&&&?对于立方晶系，有&&&&nx?ny?nz?no&&&&&&&&折射率曲面方程简化为&&&&&&&&?xn&&&&2&&&&&&&&2x&&&&&&&&22?y2n2?znzy2&&&&&&&&222nn?nz?xy&&&&&&&&?&&&&&&&&x?y?znnn?x?n?n?n?y?n?n?n?z&&&&z2y2x2z22z2x2y&&&&&&&&2&&&&&&&&0?&&&&&&&&2x2?y2?z2?no&&&&&&&&显然，折射率曲面是一个半径为no的球面，在所有&&&&&&&&的k0方向上，折射率都等于no，在光学上是各向同&&&&性的。&&&&&&&&&&&&nz?ne，折射率曲面方?对于单轴晶体，有nx?ny?no、&&&&&&&&程简化为&&&&x?y?z?nnx?y?nz?neoo?one0&&&&&&&&2?x2?y2?z2?no即x2?y2z2?n2?n2?1eo?&&&&&&&&半径为no的球面以z轴为旋转轴的旋转椭球&&&&&&&&两个折射率曲面在z轴上相切。&&&&&&&&球面为o光的折射率曲面。&&&&旋转椭球为e光的折射率曲面。&&&&&&&&&&&&z&&&&nonone&&&&y&&&&&&&&y&&&&&&&&nenonone&&&&&&&&x&&&&&&&&正单轴晶体&&&&z&&&&noneno&&&&yynone&&&&&&&&neno&&&&&&&&x&&&&&&&&负单轴晶体&&&&&&&&&&&&?对于双轴晶体，折射率曲面在三个主轴截面上的截线都是一个圆加上一个同心椭圆，方程如下：&&&&22yz22210yz面：?y?z?nx?n2n2?zy&&&&&&&&即&&&&&&&&2?y2?z2?nx?2z2?y?n2?n2?1y?z&&&&&&&&圆椭圆&&&&zny&&&&nxnx&&&&y&&&&&&&&nz&&&&&&&&&&&&zx面：&&&&&&&&?&&&&&&&&22zx222z?x?ny?2?2?10?nxnz?&&&&&&&&?&&&&&&&&即&&&&&&&&?x2?z2?n2y?2z2?x?n2?n2?1x?z&&&&&&&&圆椭圆&&&&z&&&&nynx&&&&&&&&光轴&&&&&&&&光轴&&&&ny&&&&&&&&nz&&&&&&&&x&&&&&&&&四个“脐窝”&&&&&&&&&&&&?y2x2?10xy面：?y?x?n?n2n2?xy&&&&222z&&&&&&&&即&&&&&&&&?x2?y2?nz2?2y2?x?n2?n2?1x?y&&&&&&&&圆椭圆&&&&y&&&&&&&&nz&&&&nx&&&&&&&&ny&&&&&&&&nz&&&&&&&&x&&&&&&&&&&&&?双轴晶体的折射率曲面由内、外两层曲面组成；一般来说，两个曲面相交将得到一条相交曲线；但是双轴晶体的法线面非常特殊，它的内、外两层曲面只有四个共同的交点（称为“脐窝”）；这四个交点都在xz平面内。?折射率曲面在任一矢径末端处的法线方向，即为与该矢径所代表的波法线方向k0相应的光线方向s0。&&&&zny&&&&nxnx&&&&&&&&s0k0&&&&y&&&&&&&&切线&&&&&&&&nz&&&&&&&&&&&&?对于折射率曲面，如果将其矢径长度乘以?c，则构&&&&&&&&成一个新曲面的矢径rn?c?k0，这个曲面称为波&&&&矢曲面。&&&&&&&&?本节介绍了三种描述晶体光学性质的几何图形：&&&&?折射率椭球-----?n,d?曲面&&&&&&&&?折射率曲面-----?k0,n?曲面&&&&?波矢曲面-----?k0,k?曲面&&&&&&&&?折射率曲面对于光在界面上的折射和反射问题的讨&&&&论比较方便；而折射率椭球对于处理偏振效应的问&&&&&&&&题比较方便。&&&&&&&&&&&&7.5平面波在晶体表面的反射和折射&&&&一、光在晶体界面上的双折射和双反射&&&&?当一束单色光从空气入射到晶体表面时，会产生两束同频率的折射光，这就是双折射现象。?当一束单色光从晶体内部射向界面时，会产生两束同频率的反射光，这就是双反射现象&&&&方解石晶体（负单轴晶体）&&&&光轴&&&&&&&&45&&&&&&&&双折射现象&&&&&&&&双反射现象&&&&&&&&&&&&y&&&&&&&&晶体界面上波矢切向分&&&&量相等：&&&&ki&&&&kr&&&&&&&&?k&&&&&&&&r&&&&&&&&?ki?r?0&&&&&&&&?&&&&&&&&?i?r&&&&r&&&&?y?0晶体界面：&&&&&&&&x反射定律的矢量形式；&&&&&&&&反射光与入射光的波矢&&&&?tkt&&&&&&&&z&&&&&&&&差与晶体界面垂直。&&&&&&&&?k?kr?0&&&&ti&&&&&&&&反射光和折射光的波法线&&&&在入射面内。&&&&&&&&折射定律的矢量形式；折射光与入射光的波矢差与晶体界面垂直。&&&&&&&&&&&&kisin?i?krsin?r?krsin?r&&&&&&&&kisin?i?ktsin?t?ktsin?t&&&&&&&&或写为&&&&nisin?i?nrsin?r?nrsin?r&&&&&&&&nisin?i?ntsin?t?ntsin?t&&&&&&&&?r都是针对波法线方向而言的，尽管?式中的?i、?t、&&&&&&&&反射光和折射光的波法线均在入射面内，但它们的光线有可能不在入射面内。&&&&&&&&&&&&?在晶体中，光的折射率因传播方向、电场振动方向而异；?如果光从空气射至晶体，则可能因折射光的折射率nt不同，其折射角?t也不同；?如果光从晶体内部射出，入射光和反射光的折射率不等，所以一般情况下反射角不等于入射角。&&&&&&&&?满足反射定律的nr和?r以及nt和?t都可能有两个&&&&不同值，也就是说可能有两束反射光或两束折射光。&&&&&&&&&&&&?双折射的两种特殊情况：&&&&?tt?0，两束折?正入射情况（即?i?0）：此时，&&&&&&&&射光的波法线方向一致，均垂直于界面?，但是两&&&&&&&&束折射光线的方向并不一定一致，仍然可能产生双&&&&折射。?如果折射光沿双轴晶体波法线光轴方向传播，则折射光只有一个波法线方向和一个相速度，但是如果入射光是具有各种偏振方向的自然光，则相应的折射光线方向将有无穷多个，它们绕着波法线光轴周围形成一个光锥，这就是双轴晶体中的所谓锥光折&&&&&&&&射现象（conicalrefraction）。&&&&&&&&&&&&二、光在晶体界面上的全反射&&&&?对于单轴晶体来说，o光的光线方向和波法线方向一致，因此，对于o光仍可用折射定律来确定临界角，与处理各向同性介质时一样；而e光的光线方向和波法线方向通常不一致，一般不能再使用折射定律进行处理，除非在光轴垂直于入射面这一特殊情况下（此时e光的光线方向和波法线方向是一致的）。&&&&?&&&&空气光轴方解石&&&&&&&&n&&&&&&&&o光临界角满足&&&&?oc&&&&nosin?oc?n&&&&e光o光&&&&&&&&?ec&&&&&&&&e光临界角满足&&&&nesin?ec?n&&&&&&&&&&&&三、斯涅耳作图法&&&&?晶体中非寻常光的折射率大小与波法线方向有关，要写出晶体界面上反射光和折射光方向的显函数关系比较困难。?为此，通常采用几何作图法确定反射光和折射光的方向。?常见的两种几何作图法：惠更斯作图法、斯涅耳作图法。&&&&&&&&?斯涅耳作图法：以反射定律和折射定律为依据的一种利用波矢曲面确定反射光和折射光传播方向的几何作图法。&&&&&&&&&&&&?以平面波从各向同性介质射向晶体表面的双折射为例介质斯涅耳作图法的步骤。&&&&&&&&（1）以界面?上任意一点A为原点，在晶体一侧按同一比例画出入射光所在介质中的波矢面（单位圆）和晶体中的波矢面（双壳层曲面）。&&&&&&&&&&&&（2）自A点延长入射光线方向，与入射光的单位圆波矢面交于Ni点，入射光波矢即为ki?ANi。&&&&&&&&&&&&（3）过Ni点作?面的垂线，与晶体中的波矢面相交&&&&&&&&于Nt和Nt，并将它们与A点相连，即得到透射光波&&&&k?ANk?AN矢tt。每一个折射光对应一个光线方t，t&&&&&&&&向和一个光线速度，这就是双折射现象。&&&&&&&&&&&&?利用斯涅耳作图法处理晶体内部双反射现象的步骤与处理双折射现象的步骤类似，具体步骤如下：?以界面上任意一点为原点，在界面两侧画出晶体的波矢面，其中入射光的波矢面位于晶体外侧，反射光波矢面位于晶体内侧；&&&&&&&&?自原点引出与入射光波法线方向平行的直线，确定&&&&入射波矢，并与入射光的波矢面相交；?过交点作界面的垂线，在晶体内侧交反射光波矢面于两点，从而确定出两个反射光波矢，进而确定反射光线。&&&&&&&&&&&&?利用斯涅耳作图法所确定的两个反射波矢和两个折&&&&射波矢只是允许的或可能的两个波矢，至于实际上&&&&&&&&两个波矢是否同时存在，取决于入射光是否包含有&&&&各反射光或各折射光的场矢量方向上的分量。?斯涅耳作图法的优点：折射光和反射光均位于入射面内，所以只用一张平面图就可以确定两个折射光（反射光）的波法线方向。?知道了两个折射光（反射光）的波法线方向后，由于波矢面的面形较复杂，还需要转换才能知道两个&&&&&&&&折射光（反射光）的光线传播方向（波矢面的切平&&&&面的法线方向）。&&&&&&&&&&&&?平面光波正入射进正单轴晶体，光轴位于入射面内，与晶体界面斜交的情况。o光和e光的波法线方向相同，均垂直于界面，但光线方向不同o光光线方向与波法线方向相同e光光线方向仍在入射面内，但与波法线方向不同&&&&&&&&o光&&&&&&&&e光&&&&&&&&在下通光面上，e光相对于入射光（或o光）有平移。&&&&&&&&&&&&?平面光波正入射进正单轴晶体，光轴平行于晶体界面的情况。&&&&&&&&o光和e光的波法线方向和光线方向均相同，但是传播速度不同。&&&&&&&&如果入射光为线偏振光，从晶体下表面出射的光为偏&&&&振态随晶体厚度变化的椭圆偏振光。&&&&&&&&&&&&?平面光波正入射进正单轴晶体，光轴垂直于晶体界&&&&&&&&面的情况。&&&&波法线方向平行于单轴晶&&&&&&&&体的光轴方向，所以不发&&&&生双折射现象。&&&&&&&&晶体下表面出射光的偏振状态与入射光的偏振状态&&&&相同。&&&&&&&&&&&&?平面光波在单轴晶体主截面内斜入射的情况。&&&&&&&&o光&&&&&&&&e光&&&&&&&&晶体内分为o光和e光，两者波法线方向和光线方向通常不同，但都在主截面（入射面）内。&&&&晶体下表面出射两束振动方向相互垂直的线偏振光，传播方向与入射光相同。&&&&&&&&&&&&?光轴平行于单轴晶体界面，入射面垂直于主截面的情况。&&&&&&&&e光晶体内分为o光和e光；&&&&&&&&o光&&&&&&&&对于o光，其波法线方向与光线方向一致；&&&&e光折射率为常数，与入射角大小无关，所以它的波法线方向与光线方向也相同。&&&&&&&&&&&&7.6晶体光学器件&&&&一、引言&&&&?晶体的光学特性：?双折射（双反射）特性?偏振效应?基于上述光学特性，可以利用晶体制成光学和光电子技术中的多种重要光学元件。?本章将重点介绍以下三种晶体光学器件：?偏振器?波片?补偿器&&&&&&&&&&&&二、偏振器&&&&?能够产生偏振光的装臵，包括仪器、器件等，称为起偏器（Polarizer）。?用来检测偏振光及其偏振方向的装臵，称为检偏器（Analyzer）。&&&&&&&&?起偏器和检偏器无实质性差别，只是用途不同，完全可以互换，统称为偏振器。&&&&?根据工作原理的不同，分为双折射型、反射型、吸收型和散射型偏振器。?反射型和散射型偏振器存在消光比差、抗损伤能力低等缺点，应用受到限制；双折射型和吸收型偏振器得到广泛应用。&&&&&&&&&&&&?根据晶体双折射特性的讨论可知，晶体本身就是偏&&&&&&&&振器，从晶体中射出的两束光都是线偏振光。&&&&?然而，从晶体射出的两束光通常靠得很近，不便于分离应用，因此实际的偏振器通常利用以下两种方法获得其中的一束偏振光：&&&&&&&&?利用两束偏振光折射的差别，使其中一束在偏振器&&&&内发生全反射或散射，而让另一束光通过；?利用某些各向异性介质的二向色性，吸收掉一束线偏振光，而使另一束线偏振光通过。&&&&&&&&&&&&偏振棱镜&&&&?偏振棱镜是利用晶体的双折射特性制成的偏振器，&&&&&&&&通常由两块晶体按一定的取向组合而成。&&&&?常用的几种偏振棱镜：&&&&&&&&?渥拉斯顿（Wollaston）棱镜&&&&?尼科耳（Nicol）棱镜?格兰-汤普森（Glan-Tompson）棱镜?傅科（Foucault）棱镜?洛匈（Rochon）棱镜&&&&&&&&&&&&?渥拉斯顿（Wollaston）棱镜&&&&&&&&由两个直角的方解石（或石英）棱镜胶合而成，且这两个光轴方向相互垂直，又都平行于各自的表面。&&&&no?ne方解石：&&&&&&&&当?不太大时，两束光基本对称分开&&&&?oe?arcsin?no?ne?tan?&&&&&&&&?oe一般为10对于由方解石制成的棱镜，&&&&&&&&40。&&&&&&&&&&&&?尼科耳（Nicol）棱镜?在单轴晶体中，由o光线和光轴组成的平面称为o主&&&&&&&&平面；由e光线和光轴组成的平面称为e主平面；通&&&&常情况下，两者不是重合的。&&&&&&&&?当入射光线在由光轴和晶体表面法线组成的平面内&&&&时，o光线和e光线都在这个平面内，这个平面是o光&&&&&&&&线和e光线共同组成的主平面，称为晶体的主截面。&&&&?实际应用中，均有意选择入射面与主截面重合，以&&&&&&&&使所研究的双折射变得简单。&&&&&&&&&&&&天然方解石晶体的主截面与晶面相交成一个角度为的平行四边形（ABCD），按下图进行打磨。&&&&&&&&长宽比3:1的打磨后的方解石晶体沿垂直于主截面及两端面的平面切开，切面打磨成光学面，再用加拿大树胶（折射率小于o光折射率）粘合。&&&&&&&&&&&&?尼科耳棱镜的孔径角约为14，当入射光超过孔径&&&&&&&&角时，可能出现两种情况：&&&&?o光在胶合层上入射角小于临界角，不发生全发射；&&&&&&&&?e光折射率增大而与o光同时发生全反射，结果没有&&&&光从棱镜输出。?因此，尼科耳棱镜不适合高度会聚或发散的光束。?天然方解石晶体一般比较小，所制成的尼科耳棱镜的有效使用截面都很小，且价格十分昂贵。&&&&&&&&?优点：对可见光透明度高，能产生完善线偏振光。&&&&?因此，对于平行可见光束，在偏振度要求较高的场&&&&&&&&合，尼科耳棱镜是一种比较优良的偏振器。&&&&&&&&&&&&?格兰-汤普森（Glan-Tompson）棱镜&&&&&&&&光轴?由两块直角的方解石棱镜胶合而成。?用加拿大树胶胶合，7630，孔径角为?13。?用加拿大树胶的缺点：对紫外线吸收很厉害，且胶合层容易被大功率激光所破坏。&&&&&&&&&&&&?傅科（Foucault）棱镜&&&&&&&&?空气层代替格兰-汤普森棱镜的加拿大树胶胶合层，&&&&&&&&就得到傅科棱镜。&&&&?能在0.235?m光谱范围内工作，所承受的功率密度&&&&&&&&达到100Wcm2。&&&&&&&&&&&&?洛匈（Rochon）棱镜&&&&nosinnesin?&&&&&&&&光轴&&&&&&&&nesinsin?e&&&&&&&&o光&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&&&&&e光&&&&o光&&&&&&&&?e&&&&&&&&sin?eno?necostan?&&&&&&&&?&&&&光轴&&&&&&&&cos1&&&&&&&&方解石晶体&&&&&&&&sin?eno?ne?tan?&&&&&&&&?白光入射时，得到无偏折出射的白色线偏振光，偏&&&&&&&&离法线的e光是个彩色光斑。&&&&&&&&&&&&偏振片&&&&?由于偏振棱镜的通光面积不大，存在孔径角限制，&&&&&&&&且造价昂贵，所以在许多要求不高的场合，都采用&&&&偏振片产生线偏振光。&&&&&&&&?常用的两种偏振片：&&&&?散射型偏振片&&&&&&&&?二向色型偏振片&&&&&&&&&&&&?散射型偏振片由两片具有特定折射率的光学玻璃（ZK2）夹着一层双折射性很强的硝酸钠（NaNO3）晶体形成。&&&&&&&&利用双折射晶体的选择性散射实现起偏。对于垂直入射的黄绿光，光学玻璃的折射率n?1.5831，&&&&ne?1.3369。硝酸钠晶体主折射率no?1.5854、&&&&&&&&在玻璃与晶体间的粗糙界面，o光无障碍通过，e光受&&&&到界面强烈散射而无法通过。&&&&&&&&&&&&?二向色型偏振片（吸收型偏振片）?晶体对光波的吸收，即取决于光的波长，也取决于&&&&&&&&光矢量相对于晶体的方向。&&&&?如果入射光是复色光，把晶体迎着光传播方向旋转&&&&&&&&时，所观察到的透射光会有不同的强度和颜色，这&&&&种现象称为多向色性。&&&&&&&&?对于单轴晶体，称为二向色性。&&&&?对于双轴晶体，称为三向色性。&&&&&&&&?利用多向色性，可以得到偏振度很高的线偏振光。&&&&&&&&&&&&?电气石、硫酸碘奎宁等晶体对传输光中两个相互垂直的振动分量具有选择吸收的特性，即二向色性。?目前使用较多的二向色性偏振片是人造偏振片。?优点在于：很薄，面积可以做得很大，有效孔径角几乎是180度，工艺简单，成本低。?缺点在于：有颜色，透过率低，出射光偏振度低。强吸收弱吸收&&&&&&&&&&&&三、波片&&&&?能使光矢量相互垂直的两束线偏振光产生相位相对延迟的晶片（晶体薄片），称为波片。?将单轴晶体切割加工成表面平行、厚度均匀的晶体薄片，且光轴与其表面平行，就是一块波片。&&&&&&&&光轴&&&&&&&&&&&&?垂直入射到波片表面上的线偏振光将分成两束振动&&&&&&&&方向相互垂直的线偏振光：o光&&&&和e光；o光和e光的&&&&偏振方向，一个称为快轴，另一个称为慢轴。&&&&&&&&?光矢量沿快轴振动的光比沿慢轴振动的光传播得更&&&&与之垂直的为快轴（负单轴晶体刚好相反）。&&&&e光偏振方向o光偏振方向&&&&&&&&快，即折射率更小；对于正单轴晶体，光轴为慢轴，&&&&&&&&o光、e光传播方向&&&&光轴&&&&&&&&&&&&?o光和e光通过厚度为d的波片后的光程差和相位差分别为&&&&no?ned&&&&&&&&&&&&&&&&2?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&&&&&2?&&&&&&&&?&&&&&&&&no?ned&&&&&&&&?一束线偏振光垂直射入波片，分为同相位、振幅分别为Ao和Ae的o光和e光；穿过波片后，附加一个相位差?，其合成光矢量端点的轨迹方程为&&&&?E1E2?E1E222cossin?AoAe?AoAe?&&&&22&&&&&&&&椭圆方程，说明输出光变成了椭圆偏振光。&&&&&&&&利用波片可以实现线偏振光与椭圆偏振光的转换。&&&&&&&&&&&&?全波片&&&&&&&&光程差：m?&&&&相位差：&&&&2?&&&&&&&&?m?0,?1,?2,&&&&2?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&&&&&?&&&&&&&&no?ned?2m?&&&&2&&&&&&&&?m?0,?1,?2,&&&&&&&&?E1E2?光矢量端点轨迹方程：0?AoAe?&&&&&&&&Ao即：E1?E2?E2tan?Ae&&&&&&&&直线方程。全波片放入光路中，不d?改变光的偏振状态。&&&&m?no?ne&&&&&&&&?m?0,?1,?2,&&&&&&&&&&&&?半波片&&&&1光程差：?m?2&&&&&&&&?m?0,?1,?2,&&&&no?ned2m?1&&&&2&&&&&&&&相位差：&&&&&&&&2?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&&&&&2?&&&&&&&&?&&&&&&&&?E1E2?光矢量端点轨迹方程：0?AoAe?&&&&&&&&AoE1E2?E2tan即：Ae&&&&&&&&直线方程。出射光仍为线偏振光，d?2m?1?no?ne2振动面转过2?角。&&&&&&&&?m?0,?1,?2,&&&&&&&&&&&&?1/4波片&&&&&&&&光程差：&&&&相位差：&&&&&&&&m1?24?&&&&&&&&?m?0,?1,?2,&&&&no?ned2m?1?&&&&&&&&2?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&&&&&2?&&&&&&&&?&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&2E12E2光矢量端点轨迹方程：2?2?1标准椭圆方程AoAe&&&&&&&&2m?1?d?no?ne4&&&&&&&&?m?0,?1,?2,&&&&&&&&&&&&?在使用波片时，需要注意以下三个问题：&&&&&&&&?任何波片都是对特定波长而言的；&&&&?快、慢轴的标定，快轴比慢轴相位超前；?在不考虑波片表面反射的情况下，波片只改变入射光的偏振态，不改变其光强。?晶体的双折射率差很小，所以对应于m=1的波片厚度非常小（微米量级），制作和使用很困难；增加m值（即增加厚度）会导致波片对波长、温度和自&&&&&&&&身方位的变化很敏感；可行的办法是将两块粘在一&&&&起，使它们的厚度差为一个波片的厚度（对应于m=1的厚度），而光轴方向相互垂直。&&&&&&&&&&&&四、补偿器&&&&?能使两个在相互垂直方向上振动的场矢量产生一定&&&&&&&&光程差或相位差的装臵，称为补偿器。&&&&?波片只能对振动方向相互垂直的两束光产生固定的&&&&&&&&相位差。&&&&?补偿器能对振动方向相互垂直的两束线偏振光产生可调谐的相位差。?常见的两种补偿器:?巴比涅（Babinet）补偿器?索列尔（Soleil）补偿器&&&&&&&&&&&&?巴比涅（Babinet）补偿器&&&&由两个方解石或石英劈组成，其光轴相互垂直。&&&&&&&&上劈中的o光和e光进入下劈中分别变为e光和o光。&&&&由于劈尖角很小（约2~3度），厚度也不大，所以在界面上两束光可认为不分离。&&&&&&&&两束振动方向相互垂直的线偏振光之间的相位差为&&&&&&&&2nod1?ned2?ned1?nod2?no?ned1?d2?2?&&&&&&&&&&&&?索列尔（Soleil）补偿器巴比涅补偿器的缺点在于必须使用极细的入射光束，&&&&&&&&因为宽光束的不同部分会产生不同的相位差。&&&&采用下图所示的索列尔补偿器可以弥补这个不足。&&&&&&&&由两个光轴平行的石英劈和一个石英平行平面板组成，石英板的光轴与两劈的光轴垂直。&&&&&&&&&&&&?补偿器的应用：?在任何波长上产生所需要的波片；?可以补偿及抵消一个元件的自然双折射；?在一个光学器件中引入一个固定的延迟偏臵；?经校准定标后，还可以用来测量待测波片的相位延迟。&&&&&&&&&&&&7.7偏振光和偏振器件的矩阵表示&&&&一、偏振光的矩阵表示&&&&?一个偏振器件的作用是对入射偏振光束的光矢量进行一个线性变换，这种变换用矩阵来表示更加方便直观，并且适合于计算机运算。?沿+z轴方向传播的任一理想单色偏振光（不管是线偏振光、圆偏振光还是椭圆偏振光），其光矢量都可分解为光矢量沿x轴和y轴的两束线偏振光：&&&&?Ex?Axexp?it?kzxEy?Ayexpi?t?kz?y?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&可记为&&&&&&&&?ExAxexpi?x?it?kz?expE?Aexp?iyy?y&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?任一偏振光可以用它光矢量的两个分量构成的一列矩阵表示，称为琼斯（Jones）矢量&&&&?ExAxexpi?xE?Ey?Ayexp?i?y&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&入射光光强&&&&I?Ex?Ey?Ax?Ay&&&&2222&&&&&&&&?归一化的琼斯矢量&&&&E?1Ax?A?y22i?Ax?Ay?exp?yx?A?x?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&Ey?0?光矢量沿x轴，振幅为A的线偏振光Ex?A，&&&&?1?归一化的琼斯矩阵为E0?&&&&&&&&?光矢量与x轴成?角，振幅为A的线偏振光&&&&Ex?Acos?&&&&&&&&Ey?Asin?&&&&&&&&?cos归一化的琼斯矩阵为E?sin?&&&&&&&&?右旋圆偏振光，振幅Ax?Ay?A，相位差?yx2&&&&Ex?A&&&&&&&&Ey?Aexpi?2?&&&&&&&&1?1?归一化的琼斯矩阵为E?i?2&&&&&&&&&&&&?用琼斯矢量表示各种偏振态，可以很方便地计算两个或多个给定偏振态相干叠加的结果，也能方便地求得各种偏振器件对输入偏振态的作用。?两个振幅相等、相位相同、光矢量分别沿x轴和y轴的线偏振光叠加&&&&??&&&&&&&&结果为光矢量与x轴成45度角的线偏振光，振幅为单个入射偏振光振幅的2倍。&&&&&&&&&&&&?两个振幅相等的左旋和右旋圆偏振光叠加&&&&?1?1?1?1?1ii2?0?22&&&&&&&&结果为光矢量沿x轴的线偏振光，振幅为圆偏振光振幅的2倍。实际上，叠加结果也可以是光矢量沿y轴或者其他方向的线偏振光，关键看分量之间的相位关系，例如&&&&?0?1i?1?i1?12?1?22&&&&&&&&就是光矢量沿y轴的线偏振光&&&&&&&&&&&&二、正交偏振&&&&?假设两个线偏振光的琼斯矩阵为&&&&?A1?E1B1A2?E2B2?&&&&&&&&它们正交的条件是&&&&E1E2A1&&&&**?A2?**B1*A1A2?B1B2?0?B2?&&&&&&&&?在线性代数中，正交是针对两个不转动的矢量而言的，即两个矢量相互垂直。?上述正交条件可以推广到任何偏振态，包括本身旋转的圆偏振态和椭圆偏振态；&&&&&&&&&&&&?几对典型的正交偏振态&&&&相互垂直的线偏振光&&&&&&&&E1E2&&&&&&&&&&&&&&&&*&&&&&&&&?0?100?1?&&&&&&&&左旋和右旋圆偏振光&&&&&&&&?1?E1E21i0?i?&&&&*&&&&&&&&长短轴交换的左旋和右旋椭圆偏振光&&&&&&&&E1E2&&&&&&&&&&&&&&&&*&&&&&&&&?1?2i0?2i?&&&&&&&&&&&&?任一偏振态都可以分解为两个正交的偏振态分解为两个正交的线偏振光&&&&?A10BA?0B?1?&&&&&&&&分解为两个正交的圆偏振光&&&&?A?1?1?1?1B2?A?iBi2?A?iB?i?&&&&&&&&也可分解为两个正交的椭圆偏振光&&&&?A?1?2?1?1B5?2A?iBi5?A?2iB?2i?&&&&&&&&&&&&三、偏振器件的矩阵表示&&&&?偏振器件的特性可以用一个2×2矩阵描述，称为偏&&&&振器件的琼斯矩阵。&&&&&&&&?琼斯矩阵最重要的应用在于计算偏振光通过偏振器&&&&件后偏振状态的变化。&&&&?A1A2?入射光：E1?出射光：E2B1B2?&&&&&&&&偏振器件的作用是一个线性变换&&&&?A2?g11A1?g12B1B2?g21A1?g22B1&&&&&&&&&&&&?写成矩阵形式为&&&&?A2g11?B?g?221g12A1B?g22?1?&&&&&&&&或记为&&&&E2?GE1&&&&&&&&?偏振器件的琼斯矩阵&&&&?g11G?g21g12?g22&&&&&&&&四个矩阵元一般为复数，具体形式与坐标系的选取有关。&&&&&&&&&&&&?线偏振器的琼斯矩阵设偏振器透光轴与x轴成?角&&&&y&&&&&&&&B1B2&&&&&&&&?&&&&A1A2&&&&&&&&x&&&&&&&&A2A1cosB1sincosB2A1cosB1sinsin?&&&&&&&&?A1?入射光：E1B1A2?出射光：E2B2?&&&&&&&&?A2cos2B2cos?sin?&&&&&&&&cos?sin?A1sin2?B1?&&&&&&&&&&&&?快轴在x方向的1/4波片的琼斯矩阵&&&&?A1?入射光：E1B1A2?出射光：E2B2?&&&&&&&&?A2?A1exp?it?nxk0zx?it?kxzxA1exp?Bexpi?t?nkz?B2?B1expi?t?kz?yy1y0y?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?A2?A1exp?it?nxk0zx?B2?B1expi?t?nxk0zy?exp?iny?nxk0z?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&ny?nx&&&&&&&&?n&&&&&&&&y&&&&&&&&?nxk0z?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&2&&&&&&&&&&&&?A2?A1expit?nxk0zxB2?B1expi?t?nxk0zy?exp?i2&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&1/4波片的作用：使y轴分量相对于x轴分量产生?2的相位延迟。&&&&?A2?A1B2?B1exp?i2iB1?&&&&&&&&?A210A1B?0iB?12&&&&&&&&&&&&?快轴与x轴成?角，产生相位差?的波片&&&&?A1?入射光：E1B1A2?出射光：E2B2?&&&&&&&&入射偏振光在波片快、慢轴上的分量表示为&&&&?A?cosBsin?sin?A1B?cos1?&&&&&&&&通过波片后在快、慢轴上的分量表示为&&&&?A?10AB?0expi?B&&&&&&&&&&&&透射光的光矢量在x轴和y轴上的分量表示为&&&&?A2cosB?sin2&&&&sin?A?cos?B?&&&&&&&&因此有&&&&?A2cosB?sin20cossin?1?0expi?cos?sin?sin?A1B?cos1?&&&&&&&&1?itancos2?2?cos?2?itansin2?2&&&&&&&&itansin2?A1?2?B11?itancos22?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&?偏振光相继通过多个偏振器件&&&&&&&&透射光的琼斯矢量由矩阵相乘得到&&&&Et?GN?G2G1Ei&&&&&&&&矩阵运算必须按照偏振光通过偏振器件的先后顺序进行，不满足交换律。琼斯矩阵只适合偏振光的计算。&&&&&&&&&&&&四、琼斯矩阵的本征矢量&&&&?对于某个偏振器件，如果有一种特殊偏振态，当它通过该器件时保持偏振态不变，则称这种偏振态为该器件琼斯矩阵的本征矢量。&&&&GEE&&&&&&&&即&&&&&&&&?g11?g?21&&&&&&&&g12AAg22BB?&&&&&&&&?称为本征值其中，&&&&&&&&?exp?i&&&&&&&&表示本征矢量通过该器件后振幅变为原来的?倍，相位改变了?。&&&&g11本征方程：g21g12?0g22&&&&&&&&&&&&7.8偏振光的干涉&&&&一、偏振光干涉的概念&&&&?自然光干涉是通过分振幅法或分波面法获得两束相干光，经过不同的传输路径，然后进行干涉。?偏振光干涉是利用晶体的双折射效应，将同一束光分成振动方向相互垂直的两束线偏振光，再经过检偏器将其振动方向引到同一方向上进行干涉，也就是说，通过晶片和一个检偏器即可观察到偏振光干涉现象。&&&&&&&&&&&&二、平行光的偏光干涉&&&&偏光干涉实验装臵&&&&&&&&?起偏器和检偏器的偏振轴相互垂直，称这对偏振器为正交偏振器，如果平行，称为平行偏振器。?以正交偏振器最为常用。&&&&&&&&&&&&?一束单色平行光通过P1变成振幅为E0的线偏振光，然后垂直投射到晶片上，分解为振动方向相互垂直的两束线偏振光（o光和e光）。&&&&Ex1?OB?OAcosE0cosEx3?OC?OAsinE0sin?&&&&&&&&&&&&?这两束线偏振光（o光和e光）到达P2上，只有它们&&&&&&&&在P2透振方向上的分量才能通过。&&&&EP2?E?E&&&&?EOG?OBcosE0cos?cosE?OF?OCsin?expi?E0sin?sin?expi2?nx3?nx1d&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&?检偏器P2透振方向上的两个电场投影分量E和E频率相同、振动方向相同、相位差恒定，满足干涉条件，干涉光强为&&&&*I?EP2?EP22E0?cos?cossin?sin?expi&&&&&&&&cos?cossin?sin?exp?i&&&&2E?cos?cossin?sin?20&&&&&&&&?2cos?cos?sin?sin1?cos?22?I0?cossin2?sin2?sin?2&&&&&&&&&&&&?如果两个偏振器之间没有晶片，则0，所以有&&&&I?I0cos2?&&&&&&&&透射光强与入射光强之比等于两个偏振器偏振轴夹角余弦的平方------马吕斯定律。如果两个偏振器偏振轴平行，透射光强最大；如果两个偏振器偏振轴垂直，透射光强为0。&&&&&&&&&&&&?两个偏振器的偏振轴正交的情况&&&&1?n?2&&&&&&&&其中，n为整数&&&&2&&&&&&&&则I?I0sin2?sin2?sin&&&&&&&&?&&&&2&&&&&&&&对于全波片（2m?,m为整数），无论?和?&&&&的取值如何，均有I0。对于半波片（?2m?1,m为整数），有&&&&I?I0sin2?sin2I0sin22?&&&&&&&&&&&&&&&&?&&&&4&&&&&&&&最大输出光强II0&&&&&&&&&&&&?全波片对光路中的偏振状态无任何影响，因此，在正交偏振器中加入一个全波片，其效果和没有加入时一样，所以透射光强始终等于零。?加入半波片时，当?4时，半波片使入射光的偏振方向旋转2?2，恰好为检偏器的偏振轴方向，所以输出光强最大；当0时，半波片使入射光的&&&&&&&&偏振方向旋转20，恰好垂直于检偏器的偏振轴方&&&&向，所以输出光强为零；当?取其他值时，半波片&&&&&&&&使入射光的偏振方向旋转一定的角度，有部分光能&&&&量透过检偏器。&&&&&&&&&&&&?两个偏振器的偏振轴平行的情况&&&&n?&&&&&&&&其中，n为整数&&&&&&&&则&&&&&&&&?22I?I0?1?sin2?sin?2&&&&&&&&对于全波片（2m?,m为整数），无论?的取&&&&值如何，均有I?I0。对于半波片（?2m?1,m为整数），有&&&&I?I0?1?sin22&&&&&&&&&&&&&&&&?&&&&4&&&&&&&&最小输出光强I?0&&&&&&&&&&&&?正交偏振器和平行偏振器两种情况的干涉输出光强&&&&&&&&正好互补。&&&&?在实验中，处于正交偏振器情况下的干涉亮条纹，&&&&&&&&在一个偏振器旋转?2后，将变成暗条纹，而原来&&&&的暗条纹将变成亮条纹。&&&&&&&&?如果晶片厚度一定而用不同波长的光来照射，则透&&&&射光的强弱随波长的不同而变化。（为什么？）&&&&&&&&?白光照射时，不同厚度的晶片出现不同的彩色。&&&&（为什么？）&&&&&&&&&&&&?同一块晶片在白光照射下，偏振器正交和平行时所&&&&&&&&见的彩色不同，但它们总是互补的；把其中一块偏&&&&振片连续转动，则视场中的彩色就跟着连续变化。&&&&&&&&（为什么？）&&&&?偏振光干涉时出现彩色的现象称为显色偏振或色偏&&&&&&&&振。&&&&?显色偏振是检定双折射现象极为有效的方法。只需&&&&&&&&把待检验的物质薄片放在两块偏振器之间，用白光&&&&照射，观察是否有彩色出现，即可鉴定是否存在双&&&&&&&&折射。&&&&&&&&&&&&三、会聚光的偏光干涉&&&&?偏光显微镜是用会聚偏振光干涉研究各种晶片的最有用工具之一&&&&&&&&自然光经起偏器P1和凸透镜C变成高度会聚的偏振光照射到晶片Q上，经过晶片Q后又由物镜L使光束变成平行，在检偏器P2后由透镜B（勃氏镜）把L后焦面成像于观察屏?上，因此，使以相同入射角入射到晶片Q的光线最后会聚到观察屏上同一点，观察到各种角度会聚光的干涉效应。&&&&&&&&&&&&?所观察到的干涉效应与晶片的光轴方向有关，也与&&&&&&&&两个偏振器的透光轴之间的夹角有关。&&&&?这里只考虑最简单的情形：单轴晶片的光轴与表面&&&&&&&&垂直，并且两个偏振器的透光轴正交。&&&&&&&&?沿光轴方向传播的光不发生双折射，其他光线与光轴有夹角，发生双折射。&&&&&&&&?从同一条入射光线分出的o光和e光在射出晶片Q后&&&&仍然平行，会聚到观察屏上的同一点。&&&&&&&&&&&&o光和e光相位差&&&&dn?n?cos?t2?&&&&&&&&?沿着以光轴为轴线的圆锥面入射的所有光线，o光&&&&&&&&和e光有相同的光程差，所以干涉条纹轨迹为&&&&“圆”。&&&&&&&&&&&&dn?no光和e光相位差：?cos?t&&&&&&&&2?&&&&&&&&?随着光线倾角增大，晶片中经过的距离增加，且o光和e光折射率差也增加，所以光程差随倾角非线性地上升，因此，从中心到外干涉环变得越来越密。&&&&&&&&?白光照明时，形成彩色干涉环或“等色线”。&&&&&&&&&&&&?参与干涉的两束光的振幅是随着入射面相对于正交的两个偏振器的透光轴的方位而改变的。观察屏上S点o光和e光的振幅&&&&o&&&&A2e?A2o?Asin?cos?&&&&&&&&A2e和A2o分别趋当入射面趋近于偏振器的透光轴时，&&&&&&&&于零，干涉图样出现暗十字，通常称为“十字刷”。&&&&&&&&&&&&?若将正交偏振器变成平行偏振器，则干涉图样与正交时的图样互补，这时暗十字刷变成亮十字刷。白光照射下的各圆环的颜色也变成其互补色。&&&&&&&&?如果晶片的光轴与其表面不垂直，当旋转晶片时，&&&&&&&&十字刷的中心也随着旋转。根据这一现象可检查晶&&&&片光轴是否与表面垂直。&&&&&&&&&&&&?当单轴晶片表面平行于光轴时，干涉条纹是双曲线形曲线，这种情形下光程差比较大，用白光看到不到干涉条纹，应当用单色光照明。&&&&&&&&&&&&?双轴晶体在会聚光照射下的干涉图样，晶片光轴与晶面垂直，且使用正交偏振器。&&&&&&&&&&&&四、偏光干涉例题分析&&&&?例题：偏振器P1和P2透振方向平行，K是主折射率为no和ne的单轴晶片，其光轴方向平行于波片表面。若波长为?的入射光经过图示系统后被消光，求此波晶片的厚度。&&&&&&&&&&&&7.9电光效应&&&&一、克尔效应和泡克尔（普克尔）效应&&&&?电光效应：外加电场使介质光学性质（折射率）发生变化的效应。&&&&?n?n?En0EE2&&&&&&&&?线性电光效应（Pockels效应）：&&&&?nE&&&&&&&&?：线性电光系数&&&&&&&&中心对称的晶体无一次电光效应。&&&&?二次电光效应（Kerr效应）：?：二次电光系数?nE2&&&&&&&&&&&&二、电光张量&&&&?在晶体外加电场时，折射率椭球可以写为&&&&1122xixj?1n?ij?i,j?n?ij?&&&&&&&&?i,j?1,2,3?&&&&&&&&x1x2x3：晶体的主轴&&&&?1?n2?1n2?iij0&&&&&&&&?i?ji?j?&&&&&&&&ni&&&&&&&&?i?1,2,3?：主轴方向的折射率&&&&&&&&?1?：由外加电场引起?1?的微小增量2n2?nijij&&&&&&&&&&&&?在主轴坐标系中，线性电光效应（泡克尔效应）引&&&&起的折射率变化可以表示为&&&&?1?2?rijkEk?n?ijk&&&&&&&&Ek?k?1,2,3?：外加电场沿三个主轴方向的分量&&&&rijk：电光系数张量（三阶张量）的元素&&&&&&&&共3×3×3=27个元素&&&&&&&&&&&&?在电光系数张量中，元素rijk的前两个下标是对称的，即rijk?rjik，可以利用下标简写法把3×3×3=27个元素简写为6×3=18个元素，规则如下：&&&&l?223?624?&&&&&&&&ij&&&&&&&&?则折射率椭球可以简化为&&&&222x3x1x2?1?2?1?2?1?2?2?2?2?x1?2?x2?2?x32n1n2n3?n?1?n?2?n?3?1?22?x1x3?22?x1x2?1?n?4?n?5?n?6&&&&&&&&&&&&1?n2?1?1?2n?2r111?r?2?21n?3r311?r41?n2?4r51r61?1?2n?5?12n?6&&&&&&&&r12r22r32r42r52r62&&&&&&&&r13?r23?E1?r33?E2?r43E3?r53r63&&&&&&&&或记为&&&&&&&&3?1?2?rlkEk?n?lk?1&&&&&&&&?l?1,2,3,4,5,6?&&&&&&&&&&&&?线性电光效应只存在于没有反演（中心）对称性的&&&&晶体中，具有反演对称的晶体不存在线性电光效应。?即使是一些非中心对称的晶体，考虑到晶体结构的对称性，也只有很少的电光张量元素不为零。?对于能够产生线性电光效应的晶体，不同晶体的电光张量形式各不相同，大多数晶体的电光张量可以通过实验测量得到。&&&&&&&&&&&&LiNbO3&&&&?0?000?r51r22?r22r220rr330?00?0?00r41?0?0&&&&&&&&GaAs&&&&n0?3.340?0r41&&&&&&&&no?2.286ne?2.200&&&&&&&&r33?30.8?10?12mV&&&&r13?8.6?10?12mV&&&&r22?3.4?10?12mVr41?1.6?10?12mV&&&&&&&&r51?28?10?12mV&&&&&&&&&&&&三、KDP晶体的线性电光效应&&&&&&&&KDP晶体的电光矢量和折射率椭球方程&&&&KDP：KH2PO4，磷酸二氢钾&&&&属于四方晶系，在不加外电场情况下为单轴晶体。&&&&&&&&水溶液培养的一种人工晶体，极容易生长成大块均匀晶体，在0.2~1.5μm波长范围内透明度很高，且抗激光破坏阈值很高，所以在光电子技术中有广泛的应用。缺点是易水解。&&&&&&&&&&&&?KDP的线性电光张量矩阵形式为&&&&?0?00?rlk?=?r?41?0??000?0r63&&&&&&&&r41?8.6?10?12mV&&&&&&&&r63?1.06?10?11mV&&&&&&&&&&&&1?n2?1?1?2n?201?0?2?n?301?r41?n2?400?1?2?n5?12n?6&&&&&&&&?1?20?n?1&&&&?Ex?0?Ey?0?Ez?0?r63&&&&&&&&?1?20?n?2?1?20?n?3?1?2r41Ex?n?4?1?2r41Ey?n?5?1?2r63Ez?n?6&&&&&&&&&&&&?由于不加电场时KDP晶体是单轴晶体，光轴为z轴，所以外加电场后KDP晶体的折射率椭球方程为&&&&x2y2z2?2?2?2r41Exyz?2r41Eyxz?2r63Ezxy?12nonone&&&&&&&&表明当外加电场E后，KDP晶体的折射率椭球的主轴方向改变了，不再是原来的x、y、z三个主轴方&&&&&&&&向，而变成了三个新的主轴方向x、y、z。&&&&知道外加电场后折射率椭球新的主轴方向x、y、z以及主轴的半轴长度，就可以确定光波在其中的传播情况。&&&&&&&&&&&&KDP晶体的纵向泡克尔效应&&&&?对于KDP晶体而言，当外加电场E的方向与光的传播方向平行时，晶体所产生的线性电光效应称为纵向泡克尔效应。&&&&&&&&Ex?Ey?0&&&&&&&&Ez?0&&&&&&&&&&&&?KDP晶体纵向泡克尔效应的折射率椭球为&&&&x2y2z2?2?2?2r63Ezxy?12nonone&&&&&&&&坐标系绕z轴旋转?4&&&&x?xcosy?xsin&&&&z?z&&&&&&&&?&&&&4&&&&&&&&?ysin?ycos&&&&&&&&?&&&&4&&&&&&&&?&&&&4&&&&&&&&?&&&&4&&&&&&&&&&&&?在新的主轴坐标系中，KDP晶体纵向泡克尔效应的折射率椭球为&&&&?1?2?1?212?2?r63Ez?x2?r63Ez?y?2z?1ne?nono?&&&&&&&&?&&&&&&&&由于通常情况下有r63Ez&&&&以写为&&&&x&&&&22&&&&&&&&21no，所以折射率椭球可&&&&&&&&?nono?&&&&或记为&&&&22&&&&&&&&?&&&&&&&&y&&&&&&&&22&&&&&&&&?nono?&&&&&&&&z?2?1ne&&&&&&&&2&&&&&&&&xyz?2?2?12nxnynz&&&&&&&&2&&&&&&&&&&&&?利用微分关系&&&&2?1?2?3?nn?n?1?1nn32?2?n?&&&&&&&&得到&&&&&&&&13?nonor63Ez2&&&&&&&&?所以新主轴坐标系下的主折射率为&&&&13nx?no?2nor63Ez?13ny?no?nor63Ez2nz?ne&&&&&&&&&&&&?无外加电场时，KDP晶体为单轴晶体，光轴为z轴，&&&&&&&&折射率椭球与xOy面的交线为一个圆。&&&&?外加电场平行于光轴时，KDP晶体变成双轴晶体，&&&&&&&&折射率椭球与xOy面的交线不再是一个圆，而是一&&&&个主轴在?4方向上的椭圆。&&&&&&&&&&&&?电光延迟&&&&&&&&若沿+z方向加电场，则&&&&折射率：nx?ny&&&&&&&&&&&&相速度：vx?vy&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&即x轴为快轴，y轴为慢轴经过厚度为d的KDP晶体后，沿x和y轴的线偏振光将产生一个附加相位差&&&&&&&&2?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&nx?nyd?&&&&&&&&?&&&&&&&&2?&&&&&&&&?&&&&&&&&3nor63Ezd?&&&&&&&&2?&&&&&&&&?&&&&&&&&3nor63V&&&&&&&&KDP晶体纵向电光效应时，沿z轴在晶体两侧施加的电压&&&&&&&&&&&&两束线偏振光将合成椭圆偏振光，通过偏振器P2&&&&的光强为&&&&3?I?I0sin?I0sin?nor63V?2?&&&&22&&&&&&&&?&&&&&&&&I0：通过起偏器P1的线偏振光强度&&&&&&&&&&&&?半波电压V?晶体的电光系数是衡量晶体材料电光性能的一个重要参数，然而在实际工程中常常使用另一个称为半波电压的参数。晶体电光延迟产生的相位差?等于?所需的电压&&&&&&&&2?&&&&&&&&?&&&&&&&&nrV&&&&&&&&3o63&&&&&&&&V&&&&&&&&?&&&&32nor63&&&&&&&&半波电压可以高达几千伏，例如：块状晶体电光器&&&&&&&&件；也可以低至几伏甚至零点几伏，例如：集成光&&&&波导电光调制器。&&&&&&&&&&&&?沿光轴（z轴）方向加电场并纵向应用的电光晶体&&&&&&&&的半波电压是很高的。在实际应用中，一般将几段&&&&晶体串接起来使用，即在光学上是串联的，在电学&&&&&&&&上是并联的，这样就可以将半波电压降到原来的几&&&&分之一。?晶体加上半波电压V?后，就相当于一个半波片的&&&&&&&&作用，当改变电压时，输出的光强也随之改变（加&&&&起偏器和检偏器）。利用电光晶体的这种特性可以&&&&&&&&做成电光开关、电光调制器等。&&&&&&&&&&&&KDP晶体的横向泡克尔效应&&&&?对于KDP晶体而言，当外加电场E的方向与光的传播方向垂直时，晶体所产生的线性电光效应称为横向泡克尔效应。&&&&xOy坐标系由xOy坐标&&&&&&&&系顺时针旋转?4得到&&&&P1?P2&&&&&&&&电场沿z轴方向&&&&&&&&x光沿轴方向传播&&&&&&&&&&&&?光波沿x轴方向传播，相应的两个电矢量分量分别&&&&y沿和z轴方向，对应的折射率为&&&&&&&&13ny?no?nor63Ez2&&&&&&&&nz?ne&&&&&&&&它们以不同的速度通过长度为d的晶体后产生的&&&&&&&&相位差为&&&&?3ny?nzdno?ne?d?nor63Ezd?23dno?ne?d?nor63Vh&&&&&&&&&&&&2?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&2?&&&&&&&&自然双折射引起的相位差&&&&&&&&线性电光效应引起的相位差&&&&&&&&&&&&?将晶体加工成扁平形，即dh&&&&&&&&1，就可以大大降低&&&&&&&&半波电压，这是横向电光效应的一个重要优点。&&&&&&&&&&&&?横向电光效应的缺点：总存在一项与外加电场无关的、由自然双折射引起的相位延迟，而自然双折射依赖于温度。?如何克服横向电光效应的上述缺点？&&&&&&&&?恒温控制&&&&?两块等长（d相同）的晶体串联，并旋转?2，即&&&&y使得第一块晶体的轴方向与第二块晶体的z轴方&&&&&&&&向重合。?通常较多采用纵向泡克尔效应制作调制器等。&&&&&&&&&&&&电光效应的应用&&&&?无论纵向泡克尔效应还是横向泡克尔效应，在外加&&&&电场作用下的电光晶体都相当于一个受电压控制的&&&&&&&&波片，改变外加电场就可以改变相应的两个（正交）&&&&偏振光的电光延迟，从而改变输出光的偏振状态。?正是这种外加电压对输出光偏振状态的可控性，使&&&&&&&&得电光效应在光电子技术中获得了广泛应用，例如：&&&&电光调制器、电光开关、电光偏转等&&&&&&&&&&&&?电光调制器&&&&&&&&检偏器P2输出的光强I与通过起偏器P1的输入光强I0之比（光强透过率）为&&&&I2sinI02&&&&&&&&详细的推导过程？&&&&&&&&&&&&V?光路中未插入1/4波片时?V?&&&&&&&&I2?2Vsin?sinI022V?&&&&&&&&外加正弦信号&&&&V?V0sinmt?&&&&?I2V0?sin?sinmtI0?2V&&&&&&&&输出光信号发生了失真&&&&&&&&&&&&?光路中插入1/4波片时&&&&&&&&V?V?2&&&&&&&&I?V?2?2?sin?sin?I0242V?&&&&&&&&外加正弦信号&&&&V?V0sinmt?&&&&?I?V02?sinsinmtI0?42V&&&&&&&&弱信号调制时V0&&&&&&&&V?&&&&&&&&I1?V0sinmt?I022V?&&&&&&&&&&&&?除了在光路中插入1/4波片外，也可以在晶体两侧加&&&&&&&&直流电压使调制器工作在?2附近，从而获得线&&&&性调制。&&&&&&&&?插入1/4波片这种“光学偏臵法”比加直流电压建立&&&&偏臵要简单得多。&&&&&&&&&&&&?电光偏转&&&&&&&&光束通过光楔发生偏转，偏转角为&&&&lnlnl?=tann?1DD?D?&&&&&&&&&&&&两块棱镜的光轴反向下棱镜折射率&&&&h&&&&&&&&l&&&&&&&&13n?no?nor63Ez2&&&&?&&&&&&&&上棱镜折射率&&&&13n?no?nor63Ez2&&&&?&&&&&&&&折射率差:偏转角:&&&&&&&&3?n?nnnor63Ez&&&&&&&&ll3l3?n?nor63Ez?nor63VDDDh&&&&&&&&&&&&?电光开关与电光调Q&&&&&&&&电光调Q激光器&&&&&&&&&&&&7.10声光效应&&&&一、引言&&&&?弹光效应：介质中存在弹性应力或应变时，介质的光学性质（介电常数或折射率）发生变化现象。?声光效应：超声波引起的弹光效应。声光衍射超声波（弹性波，纵波）&&&&&&&&引起介质疏密交替变化运动或静止的光栅&&&&&&&&&&&&二、声光衍射&&&&?弹光效应的描述方法与电光效应相似，同样用折射&&&&&&&&率椭球方程中系数的改变来表示&&&&3?1?2?PijklSkl?n?ijk,l?1&&&&&&&&?i,j?1,2,3?&&&&&&&&Skl?k,l?1,2,3?：应变张量（二阶张量）元&&&&Pijkl：弹光系数张量（四阶张量）元&&&&&&&&共3×3×3×3=81个元素&&&&&&&&&&&&?由于i和j有互换对称性，k和l也有互换对称性，所以独立的弹光张量元减少到36个：?下标i，j缩为m?1,2,3,4,5,6；l缩为n?1,2,3,4,5,6。?下标k，&&&&6?1?2?pmnsn?n?mn?1&&&&&&&&?m?1,2,3,4,5,6?&&&&&&&&?其中sn与Skl的对应关系和电光效应相同。?相应地，pmn与Pijkl的对应关系为：&&&&p11?P22&&&&&&&&p13?P12&&&&&&&&p21?P2211&&&&&&&&p14?P1123&&&&&&&&p15?P1113&&&&&&&&p24?P2223&&&&&&&&&&&&?LiNbO3的弹光张量元矩阵形式&&&&?p11?p?21?p31p41?00p12p11p31?pp0pp410?0?p41p11?p122?00&&&&&&&&&&&&?GaAs的弹光张量元矩阵形式&&&&?p11?p?12?p120?0?0p12p11pp?000?0p44&&&&&&&&&&&&?声光效应的本质：声波传播时，媒质的密度及应变发生正弦形的扰动，因而折射率沿声波传播距离周期性地改变，成为一种相位光栅，使入射的光波在通过相位光栅时发生衍射。?以声波在GaAs中传播为例说明相位光栅（常称为声光栅）的形成，设声波沿001方向（z轴）传播，切变波（弹性媒质中使媒质各部分变形而体积不变的波，是一种横波）的偏振沿010方向（y轴），媒质中质点的位移为&&&&u?z,tyAcost?Kz?&&&&&&&&?与这一切变波相联系的应变场为&&&&s4?KAsint?Kzssint?Kz?&&&&&&&&&&&&1?0?n?1?n?2?n?3?n?5?n?6?1?1?2?000n?2p11p12p120?01?ppp?000n?3p12p12p110?00p4400ssint?Kz1???0?01?2n?5?1111pssint?Kz?244?n2n2n223324?n?6&&&&&&&&&&&&?折射率椭球方程为&&&&x2?y2?z2?2p44ssint?Kz?yz?12n&&&&&&&&?如果将坐标轴绕x轴转过45°，则在新坐标系xyz下的椭球方程可以简化，坐标变换如下：&&&&x?x&&&&&&&&y?ycos45?zsin45&&&&&&&&z?ysin45?zcos45&&&&&&&&代入折射率椭球方程整理后得到&&&&x?1?2?1?22?p44ssint?Kzy2?p44ssint?Kzz?12n?nn?&&&&2&&&&&&&&新的折射率椭球方程写为&&&&&&&&xyz?2?2?12nxnynz&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&&&&&?利用微分关系&&&&2?1?2?3?nn?n?13?1nn2?2?n?&&&&13ny?n?np44ssint?Kz?21nz?n?n3p44ssint?Kz?2&&&&&&&&得到&&&&nx?n&&&&&&&&?这就表明，切变声波通过弹光效应形成了一个折射率作正弦式变化的相位光栅，而这个相位光栅是以相速度vK沿z方向传播的。&&&&&&&&&&&&?设声波沿x轴方向传播，则所引起的折射率变化为&&&&13?1n?x?n2nmsint?Kx?2?n?&&&&13对于GaAs有?nm?np44s2&&&&&&&&?电声换能器在介质中激起沿x轴方向传播的声波&&&&&&&&&&&&?如果平面光波同z轴成?i角入射，通过声波束宽度为L的声波区域，则光波沿z轴方向由声光效应引起的相位变化为&&&&2Lcos?i?n?xmsint?x?2?&&&&&&&&其中相位变化幅度为&&&&?m?L?nmcos?i?Ln3p44scos?i&&&&2?&&&&&&&&?声波对光波的相位产生了调制，使光波发生衍射。&&&&&&&&?受扰动的介质等效为一个“相位光栅”，其光栅常&&&&数等于声波的波长?。&&&&&&&&&&&&?根据声波和光波的波长以及相互作用区域的长度L&&&&&&&&的相对大小，存在两种不同的极端声光衍射现象。&&&&&&&&拉曼-奈斯衍射&&&&&&&&布拉格衍射&&&&&&&&&&&&?通常用如下参量来对声光衍射现象进行分类&&&&Q?2?L&&&&&&&&?&&&&?2&&&&&&&&?当Q射；?当Q&&&&&&&&1（实践证明，当Q?0.3）时，为拉曼-奈斯衍&&&&&&&&1（实际上，当Q?4?）时，为布拉格衍射；&&&&&&&&?中间区域的衍射现象较为复杂，通常的声光器件均&&&&不工作在这个范围。&&&&&&&&&&&&三、拉曼-奈斯衍射&&&&&&&&?假设声波频率较低，声波束宽度（即声光相互作用长度）较小，由于声速（~103ms）比光速（~108ms）小得多，在光波通过介质的时间内，折射率（随时间）的变化可以忽略不计，可以把声光介质看做相对静止的“面相位光栅”。&&&&&&&&?通过光密（折射率大）部分的光波波阵面将滞后，而通过光疏（折射率小）部分的光波波阵面将超前，所以通过声光介质的平面波波面将变为波浪形曲面，根据惠更斯-菲涅尔原理，由出射波阵面上各子波源发出的次波将互相干涉，形成相对于入射方向对称分布的多级衍射条纹，称为拉曼-奈斯衍射。&&&&&&&&&&&&入射光沿z轴方向&&&&?i?0&&&&&&&&?各级衍射极大所对应的方向满足&&&&?sinm?&&&&&&&&m?0,?1,?2?：衍射级次&&&&&&&&?：真空中的光波波长&&&&&&&&&&&&?不存在声波场时光波的固有相位延迟为?0?k0nL?有声波场时光波的附加相位延迟为&&&&?k0?nL?msint?Kx?&&&&&&&&?远场某点P的光场应为到达该点的各子波场的叠加，&&&&取距离光束中心O为x，宽度为dx的子波源，设该子&&&&&&&&波源到P点的距离为R，O点到P点的距离为R0，则&&&&&&&&R?R0?xsin?&&&&&&&&&&&&?该子波源对P点衍射场的贡献为&&&&dE?expi?t0?msint?Kxk0R&&&&&&&&?&&&&&&&&?expit0?k0R0?expik0xsinmsint?Kx?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?略去因子expit0?k0R0?，对整个出射面上所有子波源的贡献求和（积分），即可得到P点处总的衍射光场&&&&EPexpik0xsinmsint?Kx?dx&&&&a2a?2&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&?考虑贝塞尔函数的展开式&&&&expizsin?cos?zsin?isin?zsin?J0?z2?J2m?z?cos?2m?i2?J2m?1?z?sin?2m?1&&&&m?1m?1&&&&&&&&?J0?z?1?Jm?z?exp?imJm?z?expim&&&&mm?1m?1&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?P点衍射光场为&&&&EPexp?ik0xsin?J0?m?1?Jm?m?expimt?Kx?&&&&mm?1a2a?2&&&&&&&&?Jm?m?exp?imt?Kxdxm?1?&&&&&&&&&&&&?进行积分，并考虑相位因子exp?i?t?得到&&&&2sin?k0sin?a2?EP?J0?m?exp?i?t?k0sin?1?&&&&m?1m&&&&&&&&2sink0sinmK?a2?exp?im?t?Jm?m?k0sinmK&&&&&&&&2sink0sinmK?a2?exp?im?t?Jm?m?k0sinmKm?1&&&&&&&&?即P点的光场等于各级衍射光在该点的光场的叠加。?如果P点在某一级衍射方向上，则光场主要由该级衍射光的光场决定，其它级衍射光的光场影响实际上非常小。&&&&&&&&&&&&?各级衍射光的强度为&&&&?Im?J?mJ?Ln3p44s&&&&2m2m&&&&&&&&?m?0,?1,?2&&&&&&&&?不同级次的衍射光虽然仍为单色光，但产生不同的频&&&&率移动，其频率各为&&&&m?&&&&&&&&?m?0,?1,?2&&&&&&&&?由于超声波频率约为109Hz，光波频率则高达1014Hz，&&&&故频移是可以忽略不计的。思考：如何改变某一级衍射光方向和大小？&&&&&&&&&&&&?以上推论是在理想的面光栅条件下进行的，忽略了介质中各衍射光的相互影响，因此，有必要进一步说明拉曼-奈斯多级衍射的条件。&&&&&&&&?设介质光密层和光疏层按层厚?2交替重叠。&&&&&&&&?&&&&&&&&BAA由点向衍射方向引一垂直线交于C点。&&&&&&&&&&&&?当ACn时，由于AB上半部分的每一部分与下半部分的相应部分的光程差均为?2，两者正好抵消，所以在AA方向上衍射最弱，产生第一条暗纹，条件可以写为&&&&sin2n&&&&&&&&?该层与相邻层产生的衍射光互不干涉的最长距离L0应符合条件&&&&?