高等数学随堂讲义求导法则_百度文库
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高等数学随堂讲义求导法则
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同济版高等数学 函数的求导法则
第二节 函数的求导法则一、和、差、积、商的求导法则二、反函数的导数三、复合函数的求导法则 四、初等函数的求导问题 五、小结及作业1导数概念的回顾f ( x ? ?x ) ? f ( x ) 1、导数的定义 f ?( x ) ? lim ?x ? 0 ?x2、导数几何意义f ?( x0 )表示曲线 y ? f ( x )在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率。3、求导公式(C )? ? 0 (sin x )? ? cos x(cosx)? ? ? sin x2? ?1 ? ( x ) ??x .( ? ? R)?(a )? ? a ln a.xx(e )? ? e .xx1 . (loga x)? ? x ln a 1 (ln x)? ? . x3一、和、差、积、商的求导法则定理 如果函数 u( x ), v ( x )在点 x处可导, 则它们的和、差、积、商 (分母不为零)在点 x处也 可导, 并且(1) [u( x ) ? v( x )]? ? u?( x ) ? v?( x );(2) [u( x ) ? v( x )]? ? u?( x )v( x ) ? u( x )v?( x );u( x ) u?( x )v( x ) ? u( x )v?( x ) (3) [ ]? ? v( x ) v 2 ( x) (v( x ) ? 0).4证(1)、(2)略. u( x ) u?( x )v( x ) ? u( x )v?( x ) 证（3） [ ]? ? 2 v( x ) v ( x) u( x ) 设 f ( x) ? , (v ( x ) ? 0), v( x ) f ( x ? h) ? f ( x ) f ?( x ) ? lim h? 0 hu( x ? h) u( x ) ? v ( x ? h) v ( x ) ? lim h? 0 h(v( x ) ? 0).u( x ? h)v ( x ) ? u( x )v ( x ? h) ? lim h? 0 v ( x ? h)v ( x )h5[u( x ? h) ? u( x )]v ( x ) ? u( x )[v ( x ? h) ? v ( x )] ? lim h? 0 v ( x ? h)v ( x )hu( x ? h) ? u( x ) v ( x ? h) ? v ( x ) ? v ( x ) ? u( x ) ? h h ? lim h? 0 v ( x ? h)v ( x )u?( x )v ( x ) ? u( x )v ?( x ) ? [v ( x )]2所以f ( x)在x处可导，且有u( x ) u?( x )v( x ) ? u( x )v?( x ) [ ]? ? v( x ) v 2 ( x)(v( x ) ? 0).6(1) [? fi ( x)]? ? ? fi?( x);推论nn( 2) [Cf ( x )]? ? Cf ?( x );(3) [? fi ( x)]? ? f1? ( x) f 2 ( x)i ?1 ni ?1i ?1f n ( x) ? f1 ( x) f 2 ( x) f n?( x)? f1 ( x) f 2? ( x)n n i ?1 k ?1 k ?if n ( x) ?? ?? fi ?( x) f k ( x);如( f1 ( x) f2 ( x) f3 ( x))? ? f1? ( x) f 2 ( x) f3 ( x) ? f ( x ) f ? ( x ) f ( x ) ? f ( x) f ( x) f ? ( x)1 2 31237例1 解求 y ? x ? 2 x ? sin x ? cos3 22 ? y ? 3 x ? 4 x ? cos x .?5的导数 .例2 求 y ? sin 2 x ? ln x 的导数 . 解： 因为y ? 2 sin x ? cos x ? ln x所以 y? ? 2 cos x ? cos x ? ln x ? 2 sin x ? (? sin x) ? ln x1 ? 2 cos 2 x ln x ? sin 2 x. x1 ? 2 sin x ? cos x ? x8例3 求 y ? tan x 的导数 . 解sin x y ? ? (tan x )? ? ( )? cos x(sin x )? cos x ? sin x(cos x )? ? cos 2 x1 cos 2 x ? sin2 x 2 ? ? sec x ? 2 2 cos x cos x因此同理可得1 2 ? (tan x ) ? ? sec x. 2 cos x 1 2 ? (cot x ) ? ? 2 ? ? csc x. sin x9例4 求 y ? sec x 的导数 .解1 y ? ? (sec x )? ? ( )? cos x? (cos x )? sin x ? ? sec x tan x . ? 2 2 cos x cos x因此同理可得(sec x)? ? sec x tan x(csc x )? ? ? csc x cot x .101? t , 求 f ?(4). 例5 已知 f (t ) ? 1? t解：因为f ?(t ) ??1 2 t(1 ? t ) ? (1 ? t ) (1 ? t )21 2 t所以1 f ?( 4) ? ? 1811x, x?0 ? 例6 设 f ( x ) ? ? , 求f ?( x ). ?ln( 1 ? x ), x ? 0解当x ? 0时,f ?( x) ? 1,当x ? 0时,ln( 1 ? x ? ? x ) ? ln( 1 ? x ) f ?( x) ? lim ?x ?0 ?x 1 ?x ? lim ln(1 ? ) ?x ?0 ?x 1? x1 ?x ? lim ln(1 ? ) ?x ?0 1 ? x 1? x1? x ?x1 ? . 1? x12当x ? 0时,(0 ? h ) ? ln(1 ? 0) f ??(0) ? lim ? 1, ? h ?0 hln[1 ? (0 ? h )] ? ln(1 ? 0) f ??(0) ? lim ? 1, ? h ?0 h于是f ?(0) ? 1.1, x?0 ? ? . 所以 f ?( x) ? ? 1 , x?0 ? ?1 ? x13二、反函数的导数连续函数的性质： 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 问题：可导函数的反函数是否为可导函数？定理 设 y ? f ( x ) 为 x ? ? ( y ) 的反函数 , 如果 x ? ? ( y )在 某区间 I y内单调、可导, 且? ?( y ) ? 0 , 那末它的反函数y ? f ( x ) 在对应区间I x ? {x x ? ? ( y ), y ? I y }内也可导 , 且有 1 f ?( x ) ? . ? ?( y )14即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证 由于x ? ? ( y)在I y内单调、可导， 从而单调、连续，所以其反函数 y ? f ( x)在对应区间 I x内也单调、连续， 给x以增量?x（?x ? 0） , 由y ? f ( x)的单调性可知 ?y ? 0,于是有?y 1 ? , ?x ?x ?y因为f ( x)连续, 所以 ?y ? 0 (?x ? 0),又知? ?( y ) ? 0所以1 ?y 1 f ?( x ) ? lim ? lim ? ?x ? 0 ? x ?y ? 0 ? x ? ?( y ) ?y即1 f ?( x ) ? . ? ?( y )15例1 y ?3x 求 y?3? 2 31 解法 1： y? ? ( x )? ? x 3?1 3? 3 x2解 法2： 因为x ? y 3的反函数是 y ? 3 x ,即 f ( x) ? 3 x ,1 1 1 所以f ?( x ) ? ? 2 ? ? ?( y ) 3 y 3? 3 x216例2求函数 y ? arcsin x 的导数.2 2 且 (sin y )? ? cos y ? 0, 所以 在( ?1,1)内有解 因为 x ? sin y在 ( ? ? , ? )内单调、可导 ,1 1 1 1 ? ? (arcsin x )? ? ? 2 (sin y )? cos y 1 ? sin y 1? x2(arcsin x )? ?同理可得(arccos x )? ? ?1 1? x21 1? x2.17例3 y ? arctanx, 求 y?. 解 ：因为y ? arctanx的反函数为x ? tan y,且在(?? ?1 1 由公式知 (arctanx )? ? ? 2 ? (t an y ) sec y, )上单调、可导， (tan y)? ? sec2 y ? 0, 2 2而 sec2 y ? 1 ? tan2 y ? 1 ? x 2所以同理可得1 (arctan x )? ? ; 2 1? x 1 ( arccot x )? ? ? . 2 1? x18例2 求函数 y ? loga x 的导数 . 解因为 x ? a y在(??,??)内单调、可导,1 1 1 ? (loga x ) ? y ? y ? . ( a )? a ln a x ln a 1 (log a x )? ? x ln a且 (a y )? ? a y ln a ? 0, 所以在(0,??)内有,特别地1 (ln x )? ? . x19三、复合函数的求导法则如 y ? sin 2 x 是 y ? sin u和u ? 2 x的复合函数。? cos 2 x (sin 2 x )? = 由两函数相乘的求导法则dy ? (sin 2 x )? ? (2 sin x cos x )? dx所以? 2[cosx cos x ? sin x sin x] ? 2 cos 2 x(sin 2 x )? ? cos 2 xdy du 另一方面 ? ( 2 x )? ? 2 ? (sin u )?? cosu ? cos 2 x dx du dy du ? 因此 ? 2 cos 2 x 复合函数的导数等 du dx 于其组成的简单函数 dy dy du 结论 ? 20 ? ? 2 cos 2 x 导数的乘积 dx du dx定理 如果函数 u ? ? ( x)在点 x可导 , 而y ? f (u ) 在点u可导 , 则复合函数 y ? f [? ( x)]在点x可导, 且其导数为 dy dy du ? ? ? f ?(u ) ? ? ?( x). dx du dx即 函数对自变量求导,等于函数先对中间变量 求导,再乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)21?y 证 由y ? f (u )在点u可导 , 所以 lim ? f ?(u ) ?u ?0 ?u ?y 故 ? f ?(u ) ? ? ( lim ? ? 0) ?u ?0 ?u则所以?y ? f ?(u )?u ? ??u?y ?u ?u lim ? lim[ f ?(u ) ?? ] ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?x ?u ?u ? f ?(u ) lim ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x? 0 ?x? f ?(u )? ?( x).22推广 设 y ? f ( u), u ? ? (v ), v ? ? ( x ),则复合函数 y ? f {? [? ( x )]}的导数为 dy dy du dv ? ? ? . dx du dv dx例3 求函数 y ? ln sin x 的导数 . 解因为 y ? ln u, u ? sin x.dy dy du 1 cos x 所以 ? ? ? ? cos x ? dx du dx u sin x? cot x23例4求函数 y ? tan( 1 ? x ) 的导数 .解 ：因为y ? tanu, u ? 1 ? xdy dy du 1 2 ? sec u ? 所以 ? ? 2 x dx du dx? 1 2 x sec2 (1 ? x )24例5 解求函数 y ? ( x ? 1) 的导数.2 10dy ? 10( x 2 ? 1) 9 ? ( x 2 ? 1)? dx? 10( x ? 1) ? 2 x ? 20 x( x 2 ? 1) 9 .2 9例6 解y ? ln ( x ? x ? 1 ) , 求 y?.2y? ?1 x ? x ?12(1 ?1 2 x ?12? 2 x)?1 x ?1225? 例7 （ 1 ）证明： ( x )??? x? ?1( x ? 0) .? （2）求（ x）x? ? ln x （ 1 ）证明： ( x )? ? (e )??e( 2)x? ln x ? ( ? ln x)?( x )? ? (e?x x ??x x ln x???? ?1)? ? ex ln x? ( x ln x)??xx( ln x ? 1)26例8 y ? arctan 1 ? sin 3解 : dy ?dx1xdy 求 dx( 1 ? sin3 x )?1 ? ( 1 ? sin3 x )21 1 x ? ? ? (1 ? sin3 )? x 2 ? sin3 2 1 ? sin3 x1 1 x x ? ? ? cos3 ? (3 )? x 2 ? sin3 2 1 ? sin3 x1 1 x x ? ? ? cos 3 ? 3 ln3 x 2 ? sin3 2 1 ? sin3 x27例9 y ? ln sin tan 1 ? x2dy 求 dx1 dy ? (sintan 1 ? x 2 )? 解： ? sintan 1 ? x 2 dx??1 sintan 1 ? x 2 1sintan 1 ? x 2? costan 1 ? x 2 ? (tan 1 ? x 2 )?? costan 1 ? x 2 ? se c2 1 ? x 2 ? ( 1 ? x 2 )??cos tan 1 ? x 2 ? sec 2 1 ? x 2 sin tan 1 ? x 2?1 2 1? x2(1 ? x 2 )??cos tan 1 ? x 2 ? sec 2 1 ? x 2 sin tan 1 ? x 2?1 2 1? x2? 2x28x2 ? 1 例10 求函数 y ? ln 3 ( x ? 2) 的导数. x?23 1 1 1 x 1 所以 y? ? ? 2 ? 2x ? ? 2 ? 2 x ?1 3( x ? 2) x ? 1 3( x ? 2)解 因为可变为 y ? 1 ln( x 2 ? 1) ? 1 ln( x ? 2),2例11 求函数 y ? e 解sin 1 xsin1 x的导数.1 sin 1 1 1 x y ? ? e (sin )? ? e ? cos ? ( )? x x x 1 1 sin x 1 ?? 2e ? cos . x x29例12y ? f (sinmdy x ? 1), 求 . dx2dy 解： ? f ?(sin m dxx 2 ? 1) ? m sinm?1 x 2 ?1 ?2cos x ? 1 ?1 2 x ?122xx dy x 例13 y ? sin ? arctan3 , 求 . 2 dxdy x x x x ? ( sin )? ? arctan3 ? sin ? (arctan 3 )? dx 2 2x 1 x 1 x x ? cos ? ? arct an3 ? sin ? ? 3 ? ln 3 2x 2 2 x 2 1? 3 2 sin 2130四、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式（） 1 (C )? ? 0 ? ?1 ? （2） ( x )? ? ? xx ? (3) (a ) ? a ln a x(7) (sin x)? ? cos x (8) (cos x)? ? ? sin x2 ? (9) (tan x) ? sec x(4) (e x )? ?1 (5) (log a x)? ? x ln aex(10) (cot x)? ? ? csc2 x (11) (sec x)? ? sec x tan x (12) (csc x)? ?? csc x cot x311 (6) (ln x)? ? x(13) (arcsin x )? ?(14) (arccos x )? ? ?1 1 ? x2 1 1 ? x21 (15) (arctan x )? ? 1 ? x21 (16) (arc cot x )? ? ? 1 ? x22.函数的和、差、积、商的求导法则(2) [u( x ) ? v( x )]? ? u?( x) ? v( x) ? u( x) ? v?( x)u ( x ) u?( x )v( x ) ? u( x )v?( x ) (v( x) ? 0) (3) [ ]? ? 2 v ( x) v( x)32? v ( x ) (1) [u( x) ? ? v( x)]? ? u?( x ) ? ?3.复合函数的求导法则 如果u ? ? ( x )在点x可导，而y ? f (u )在点u ? ? ( x )可导，则复合函数 y ? f [? ( x )]在点x可 导，且导数为dy dy du ? ? ? f ?(u) ? ? ?( x ) dx du dx利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.问题：什么是初等函数？33例1y?x ?1 ? x ?1 dy , 求 . x ?1 ? x ?1 dx解:函数可变为22x ? 2 x ? 1 2 y? ? x ? x ?1 2 所以 dy x 1 ? (2 x) ? 1 ? 2 ?1 ? 2 dx x ?1 2 x ?134例2 . y ? e解 : y? ? (sin x 2arctan x ? 1 , 求 y? .2e2 sin x? cos x 2? 2 x) arctan x 2 ? 1?e? 2 x cos x e2sin x 2(1 1 ? ? 2 x ) 2 2 x 2 x ?1sin x 2 arctan x 2 ? 1?1 x x2 ?1esin x 2关键: 搞清函数结构 ,由外向内求导.35例3求函数 y ? f [? (sin x )] 的导数.n n nn ?1 n n n n ? ? y ? nf [? (sin x )] ? f [? (sin x )]解? n?n ?1n n ?1 n ? ? cos x ? nx (sin x ) ? ? (sin x )n? n 3 ? x n ? 1 cos x n ? f n ? 1 [? n (sin x n )] ? ? n ? 1 (sin x n ) ? f ?[? n (sin x n )] ? ??(sin x n ).36五、小结注意:[u( x ) ? v( x )]? ? u?( x ) ? v?( x );u( x ) u ?( x ) [ ]? ? . v( x ) v ?( x )分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则复合函数的求导法则 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函 数的求导公式和上述求导法则求出. 37习题2 ? 2 P 972(2,4,6,8,10), 3(2,3), 5, 6(1,3,5,7,9)7(1,3,5,7,9), 8(2,4,6,8,10), 9, 10(2),11(1,3,5,7,9)38思考题幂函数在其定义域内（ ）.（1）必可导； （2）必不可导； （3）不一定可导；39思考题解答正确地选择是（3）例 f ( x) ? x2 3x ? ( ??,?? )在 x ? 0 处不可导， (1) ?f ( x) ? x2x ? ( ??,?? )在定义域内处处可导， ( 2) ?40一、填空题： ln x 1 、设 y ? n ，则 y ? =__________. x 1 2 、设 y ? ln cos ，则 y ? =__________. x 3 、设 y ? x ? x ，则 y ? =__________. e t ? e ?t y ? =_________. 4 、设 y ? t ? t ，则 e ?e 5 、设 f ( x ) ? x ( x ? 1)( x ? 2 ) ?? ( x ? 999 ) 则 f ?( 0) =__________.二、求下列函数的导数： 1、 y ? tanh( 1 ? x 2 ) ； 2、 y ? ar sinh ( x 2 ? 1) ；41练 习 题3、 y ? ar cosh ( e 2 x ) ； 4、 y ? sinh xe cosh x ； x 2 5、 y ? (arctan ) ； 2 6、 y ? e ； 2t y ? arcsin 7、 . 2 1? t? sin2 1 x42练习题答案2 x ?1 1 ? n ln x 1 1 一、1、 ； 2、 2 tan ； 3、 ； n?1 x x x 4 x x? x 1 4、 ； 5、-999!. 2 cosh t 2x 2x 二、1、 2、 4 ； 2 2 ； 2 cosh (1 ? x ) x ? 2x ? 2 2e 2 x cosh x (cosh x ? sinh 2 x ) ； 3、 4 x ； 4、e e ?1 1 1 2 ? sin2 x 4 x arctan ； 6、 2 sin ? e 5、 ； 2 x x 2 4? x43? 2 2 , t ?1 2 ? ?1 ? t 7、 y ? ? ? . ?? 2 , t 2 ? 1 ? ? 1? t244思考题若 f ( u) 在u0 不可导，u ? g ( x ) 在x0 可导，且 u0 ? g ( x 0 ) ，则 f [ g( x )] 在x0 处（ ）． （1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导；45思考题解答正确地选择是（3）例 f ( u) ?| u | 在 u ? 0 处不可导，取 u ? g( x ) ? sin x 在 x ? 0处可导，f [ g( x )] ?| sin x | 在 x ? 0 处不可导，(1) ?取 u ? g ( x ) ? x 4 在 x ? 0处可导，( 2) ? f [ g ( x )] ?| x |? x 在 x ? 0处可导，4 446练 习 题一、填空题： 1 、设 y ? ( 2 x ? 5) 4 ,则 y ? =___________. 2 、设 y ? sin 2 x ,则 y ? =____________. 3 、设 y ? arctan( x 2 ) ,则 y ? =____________. 4 、设 y ? ln cos x ,则 y ? =____________. x tan 2 x 5 、设 y ? 10 ，则 y ? =____________. 2 6 、设 f ( x ) 可导，且 y ? f ( x ) ， dy 则 =___________. dx tan k x 7 、设 f ( x ) ? e ,则 f ?( x ) =__________， ?? ? k? ? f ? e ? ? 若 ，则 ___________. 4 ? ?47二、求下列函数的导数： 1 sin 2 x 1 、 y ? arccos ； 2、 y ? ； x x 2 2 3、 y ? ln( x ? a ? x ) ；4、 y ? ln(csc x ? cot x ) ； x arctan x 5、 y ? (arcsin ) 2 ； 6、 y ? e ； 2 1? x arcsin x 7、 y ? ； 8、 y ? arcsin . 1? x arccos x 2 2 三、设 f ( x ) ， g ( x ) 可导，且 f ( x ) ? g ( x ) ? 0 ,求函数 y ? f 2 ( x ) ? g 2 ( x ) 的导数 . 四、设 f ( x ) 在 x ? 0 处可导，且 f ( 0) ? 0 ， f ?( 0) ? 0 , 又F ( x ) 在 x ? 0 处可导，证明F ? f ( x )? 在x ? 0 处 也可导 .48练习题答案2x 一、1、8( 2 x ? 5) ； 2、sin 2 x ； 3、 ； 4 1? x x tan 2 x ln 10(tan 2 x ? 2 x sec 2 2 x ) ； 4、? tan x ； 5、10 1 tan k x k ?1 2 2 ? e ? k tan x ? sec x 2 x f ( x ) 6、 ； 7、 , . 2 x 2 x cos 2 x ? sin 2 x 二、1、 2 ； 2、 ； 2 2 x x x ?1 1 3、 2 ； 4、csc x ； 2 a ?x x 2 arcsin arctan x e 2； 5、 6、 ； 2 2 x (1 ? x ) 4? x3491 7、 ； 8、 . 2 2 (1 ? x ) 2 x(1 ? x ) 2 1 ? x (arccos x )?三、f ( x ) f ?( x ) ? g ( x ) g ? ( x ) f ( x) ? g ( x)2 2.50思考题3 求曲线 y ? 2 x ? x 上与 x 轴平行 的切线方程.51思考题解答y? ? 2 ? 3 x 2令 y? ? 0? 2 ? 3x2 ? 02 x1 ? 32 x2 ? ? 3? 2 4 6? 切点为 ? , ? ? 3 9 ?2 4 6? ? ?? , ? ? 3 9 ? ? 4 6 4 6 所求切线方程为 y ? 和 y?? 9 952练 习 题一、填空题： 1、设 y ? x ? sin x ，则 y ? = __________. 2 dy x x 2、设 y ? 3a ? e ? ，则 =__________. x dx dy x 2 3、设 y ? e ( x ? 3 x ? 1) ,则 = __________. dx x ? 0 4、设 y ? 2 tan x ? sec x ? 1 ,则 y ? =_________. 3 x2 ? 5、设 y ? f ( x ) ? ,则 f ? ( 0 ) =________. 5? x 5 ? x?0 6、曲线 y ? ? sin x 在 处的切线与 x 轴 正向的 2 夹角为_________.53二、计算下列各函数的导数：10 x ? 1 1 1、 y ? ；2、 y ? x ； 2 10 ? 1 1? x ? x 1? t 2 csc x 3、 y ? ； 4、 f ( x ) ? ,求 f ?( 4) ； 2 1? t 1? x x a b a b x ? ? ? ? ? ? 5、 y ? ? ? ? ? ? ? (a ? 0, b ? 0) . ?b? ? x? ? a ?2 三、求抛物线 y ? ax ? bx ? c 上具有水平切线的点.1 x 四、写出曲线 y ? x ? 与 轴交点处的切线方程. x54练习题答案2 sin x x x 一、1、 x ( ? cos x ) ；2、3a ln a ? e ? 2 ； 2x x 3 ? sec x ( 2 sec x ? tan x ) ? 2 3、 ； 4 、 ；5、 ；6、 . 25 4 1 ? 2x 10 x ? 2 ln 10 二、1、 ； 2、 ； 2 2 x 2 (1 ? x ? x ) (10 ? 1) 1 2 csc x[(1 ? x 2 ) cot x ? 2 x ] 3、 ； 4、 ； 2 2 18 (1 ? x ) a x b a x b a a?b ). 5、( ) ( ) ( ) (ln ? b x a b x 2 b b ? 4ac ). 三、( ? ,? 2a 4a 2x ? y ? 2 ? 0 2x ? y ? 2 ? 0 四、 和 .55
同济大学版高等数学教案第二章,本人整理出该内容的授课方式,授课步骤,授课安排等...但对比较复杂的函数直 接用定义求导往往很困难。下面介绍求导数的几个基本法则...同济版-高等数学-课后习题解析_理学_高等教育_教育...1) 2 (若以后学了洛必达法则( ? lim 书后部分...1 书后部分习题解答 3(关于隐函数求导) P62 页 ...第二章导数与微分 高等数学同济大学第六版_理学_高等教育_教育专区。本课程荣获...第二节 函数的求导法则 要发明,就要挑选恰当的符号,要做到这一 点,就要用含义...同济版 高等数学 课后习题解析_理学_高等教育_教育...1) 2 (若以后学了洛必达法则( ? lim 书后部分...1 书后部分习题解答 3(关于隐函数求导) P62 页 ...高等数学(同济大学教材第五版)复习提 纲 第一章 函数与极限 :正确理解、熟练...导数 基本公式, 熟练掌握 导数的 四则运算法则、 复合函数的求导的链式 法则 ...高等数学(同济大学教材第五版)复习提纲_自然科学_专业资料。高等数学(同济大学...导数基本 公式, 熟练掌握 导数的四则运算 法则、复合函数 的求导的链式法则。 ...高等数学第六版(同济版)第九章复习资料_理学_高等教育_教育专区。引入:在上册.... 第四节 多元复合函数的求导法则 一、 一元函数与多元函数复合的情形 定理 ...同济大学(高等数学)_第四章_不定积分_理学_高等教育_教育专区。第四章 不定...?( x) ,利用复合函数的求导法则显然成立. 注 由此定理可见,虽然不定积分 ? ...同济大学 高等数学(第六版)- 期末复习提纲(表格版本)_理学_高等教育_教育专区...介值定理) 微分法 定义: 复合函数求导:链式法则 u - 4 - 高等数学(一)...高等数学(同济大学教材第五版)复习提纲 第一章 ...各类函数的求导与微分的基本计算 第三章 微分中值定理...6. 极限四则运算 掌握 用极 限的四 则运算法则...
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