课程介绍：线性代数I
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课程名称：线性代数I
课程编码：W0570
适用专业：工科各专业本科
先修课程：高等数学
课程的性质、目的与任务：
《线性代数I》是高等院校工科各专业的的一门重要的公共必修课和基础理论课。本课程的主要任务是，使学生初步了解线性代数课程的基础概念：行列式和矩阵。掌握行列式的性质与计算方法，以及矩阵的基本运算。利用行列式与矩阵的性质和运算来分析线性方程组解的结构，以及求解线性方程组的解。您现在的位置：
线性代数与解析几何(第2版iCourse教材)
&&&&陈发来、陈效群、李思敏、王新茂编著的《线性代数与解析几何(第2版iCourse教材)》是与爱课程网(http：//www．icourses．cn/)上“线性代数与解析几何”国家精品资源共享课相配套的教材。内容包括：向量与复数，空间解析几何，线性方程组，矩阵与行列式，线性空间，线性变换，欧几里得空间，实二次型等。本书特点是强调几何与代数的贯通与融合，强调从具体到抽象的思维方式，以及从问题出发引入概念与内容的教学模式。&&&&本书适合大学本科非数学类理工科专业学生学习，也可作为各类大专院校师生的参考书。
第一章&&向量与复数&&§1.1&&向量的线性运算&&&&§1.1.1&&向量及其表示&&&&§1.1.2&&向量的线性运算&&&&§1.1.3&&向量的共线与共面&&§1.2&&坐标系&&&&§1.2.1&&仿射坐标系&&&&§1.2.2&&向量的坐标运算.&&&&§1.2.3&&直角坐标系&&§1.3&&向量的数量积&&&&§1.3.1&&数量积的定义与性质&&&&§1.3.2&&直角坐标系下数量积的计算&&§1.4&&向量的向量积&&&&§1.4.1&&向量积的定义与性质&&&&§1.4.2&&直角坐标系下向量积的计算&&§1.5&&向量的混合积&&&&§1.5.1&&混合积的定义&&&&§1.5.2&&直角坐标系下混合积的计算&&&&§1.5.3&&二重向量积&&§1.6&&高维数组向量&&§1.7&&复数&&&&§1.7.1&&复数的四则运算&&&&§1.7.2&&复数的几何表示&&§1.8&&数域&&§1.9&&求和符号&&习题一第二章&&空间解析几何&&§2.1&&直线与平面&&&&§2.1.1&&直线的方程&&&&§2.1.2&&平面的方程&&&&§2.1.3&&点到直线的距离&&&&§2.1.4&&点到平面的距离&&&&§2.1.5&&两直线的位置关系&&&&§2.1.6&&两平面的位置关系&&&&§2.1.7&&直线与平面的位置关系&&§2.2&&空问曲线与曲面&&&&§2.2.1&&曲线与曲面的方程&&&&§2.2.2&&柱面&&&&§2.2.3&&锥面&&&&§2.2.4&&旋转面&&&&§2.2.5&&二次曲面简介&&§2.3&&坐标变换&&&&§2.3.1&&坐标系的平移&&&&§2.3.2&&坐标系的旋转&&&&§2.3.3&&一般坐标变换&&习题二第三章&&线性方程组&&§3.1&&Gauss消元法&&§3.2&&Gauss消元法的矩阵表示&&§3.3&&一般线性方程组的Gauss消元法&&&&§3.3.1&&算法描述&&&&§3.3.2&&线性方程组解的属性&&习题三第四章&&矩阵与行列式&&§4.1&&矩阵的定义&&§4.2&&矩阵的运算&&&&§4.2.1&&加法与数乘&&&&§4.2.2&&矩阵的乘法&&&&§4.2.3&&逆矩阵&&&&§4.2.4&&转置、共轭与迹&&&&§4.2.5&&分块运算&&§4.3&&行列式&&&&§4.3.1&&行列式的定义&&&&§4.3.2&&行列式的展开式&&&&§4.3.3&&行列式的计算&&&&§4.3.4&&Cramer法则&&§4.4&&初等变换&&§4.5&&秩与相抵&&&&§4.5.1&&秩与相抵的定义&&&&§4.5.2&&秩的计算&&&&§4.5.3&&相抵标准形的应用&&习题四第五章&&线性空间&&§5.1&&数组空间及其子空间&&§5.2&&线性相关与线性无关&&§5.3&&极大无关组与秩&&§5.4&&基与维数&&§5.5&&线性方程组解集的结构&&&&§5.5.1&&线性方程组解的存在性与唯一性&&&&§5.5.2&&齐次线性方程组解集的结构&&&&§5.5.3&&非齐次线性方程组解集的结构&&§5.6&&一般线性空间&&&&§5.6.1&&一般线性空间的定义&&&&§5.6.2&&一般线性空间的理论&&§5.7&&子空间的运算&&&&§5.7.1&&子空间的交&&&&§5.7.2&&子空间的和&&&&§5.7.3&&子空间的直和&&习题五第六章&&线性变换&&§6.1&&线性变换的定义与性质&&&&§6.1.1&&线性变换的定义.&&&&§6.1.2&&线性变换的性质&&§6.2&&线性变换的矩阵&&&&§6.2.1&&线性变换在一组基下的矩阵&&&&§6.2.2&&线性变换在不同基下的矩阵&&&&§6.2.3&&矩阵的相似&&§6.3&&特征值与特征向量&&&&§6.3.1&&特征值与特征向量的定义&&&&§6.3.2&&特征值与特征向量的计算&&§6.4&&矩阵的相似对角化&&&&§6.4.1&&矩阵相似于对角矩阵的充要条件&&&&§6.4.2&&特征值的代数重数与几何重数&&&&§6.4.3&&相似于上三角形矩阵&&§6.5&&若尔当标准形简介&&习题六第七章&&欧几里得空间&&§7.1&&定义与基本性质&&&&§7.1.1&&欧几里得空间的定义&&&&§7.1.2&&欧几里得空间的性质&&§7.2&&内积的表示与标准正交基&&§7.3&&欧几里得空间中的线性变换&&&&§7.3.1&&正交变换与正交矩阵&&&&§7.3.2&&对称变换与对称矩阵&&&&§7.3.3&&实对称矩阵的对角化&&§7.4&&欧几里得空间的子空间&&§7.5&&酉空间&&&&§7.5.1&&酉空间的基本概念&&&&§7.5.2&&酉空间的基本性质&&&&§7.5.3&&酉变换与酉矩阵&&&&§7.5.4&&Hermite变换与Hermite矩阵&&&&§7.5.5&&规范变换与规范矩阵&&&&§7.5.6&&酉变换和Hermite变换的对角化&&习题七第八章&&实二次型&&§8.1&&二次型的矩阵表示&&§8.2&&二次型的标准形&&§8.3&&相合不变量与分类&&§8.4&&二次曲线与曲面的分类&&§8.5&&正定二次型&&习题八参考文献&&线性代数笔记（&一&）
线性代数笔记（ 一 ）
一、行列式
1、 行列式的来源是解多元一次线性方程组。X1=d1/d; x2=d2/d
2、 全排列。Pn=n! 逆序数。列标排列的逆序数为奇（偶）数的排列叫奇（偶）排列。
3、 行列式的值=不同行不同列的偶排列的三和-不同行不同列的奇排列的和。
4、 行列式的值与转置行列式的值相等。因此行列式中行与列的地位等同。
a) 互换两行，行列式变号。
b) 两行相同，其值为0
c) k 某行= k 行列式
d) 行列式两行成比例，其值为0
e) 行列式相加为两行相加。一个大于n阶的行列式，其中有n个加和行，则能分解成2^n 个行列式的加和。
f) 把一行的整数倍加到另一行上，相当于一个行列式与0相加。其值不变。；
以上是行列式关于行或关于列的三种云算：交换行、行乘法、行变换。用其法可以将行列式变为上三角行列式。可证明，任何行列式都可以化成上三角行列式。[这是因为上三角能完全地表达不同行不同列之间的关系。]
h) 行列式的结构：分块行列式：
i. 分块的上三角：D=D1 D2
i) 变换行列式的常用方法&&递推
5、 代数余子式：A_ij = （-1）^(i+j) M_ij,
有定理：一个行列式可以按照行或列展开为其行或列的各元素与代数余子式的乘积的加和。证明可用：矩阵行对换、分块矩阵、矩阵加法。-1的幂j+j
是由调换了i+j+2次决定的。此法常用来手工计算行列式的值。
范德蒙特行列式 vandermonde。下一行的幂数比上一行大1。, 它的值为：，其中有一个特点，就是如果存在任意的ai=aj ,
那么其值为零。可以用归纳法证明其成立：首先是D2。然后假定Dn-1成立，推导Dn。推导时，先用行变换法把第一列除第一行以外的元素清零。然后展开。展开以后得到了Dn=()()()&()
Dn-1 从而因为已经假定Dn-1成立，所以Dn成立。
非对应的行（列）的代数余子式的展开的值是0。这是因为非对应的某行的元素与代数余子式中的那一行元素相同。因此，代数余子式所在行的元素能够被代数余子数的系数任意地替代，从而用代数余子式的系数构成一个新的行列式。
8、 克莱姆法则：x_i=D_1/D ，D&&0
此法则可用来解线性方程组。从而可以讨论线性方程组的解的结构。若D&&0
，则解存在，且唯一。若D=0，则解要么不存在，要么有两个不同的解。
矩阵是m行n列数表。表示上，行列式两边是竖线，矩阵两边是方括号。矩阵中的数，可以是：复数、实数、无理数、有理数、整数，等。表示法：（a_ij）
(a_ij)_m*n A_m*n . n阶方阵记为：A_n
。单行矩阵叫行向量，单列矩阵叫列向量。行列数相等的矩阵叫做同型矩阵。同型矩阵且对应相等的矩阵叫做互相相等的矩阵。元素都是0的矩阵叫做零矩阵。记作0。
矩阵的特点是其用途。矩阵中的一个值有三层含义：2个属类，方向，以及标量值。例如，我们用矩阵表示多元一次线性方程组的系数，并且存在任何行列式都可以用那些不改变多元一次方程组的解的变换&&行变换的方式&&来化成三角行列式。我认为这说明行列式中的元素没有方向上的区别。即：ij
与ji 相同。
a) 用来记录数据
b) 用来解方程
c) 用来记录逻辑01
用来对向量进行变换&&线性变换。线性变换中，内部的关系可以是相等、加、减、倍数。两个变量之间能够相互加减，但不能相乘除。
i. 可以是多变量变换
ii. 可以表示二维空间的多种操作：影射、旋转等。
3、 矩阵的运算
a) 加法：定义为同型矩阵的对应元素相加。有交换律、结合律。
b) 减法：一个矩阵加上另一个矩阵的负矩阵。负矩阵就是对矩阵中的每个元素都取负号。
c) 数与矩阵相乘：与每个元素相乘。有交换律、结合律、分配律
d) 以上统称线性运算。
矩阵互乘：可以类比为连续变换。因此是位置敏感的。变换操作的先后顺序决定了变换的结果。并且要求前后衔接的变换具有相同的&接口&。变换的结果是一个行数等于最后变换矩阵行数，列数等于最初变换矩阵列数的矩阵。单位列向量可变成一个数。单位行向量却不可变成一个数字，只能变成多个数字或多个向量。C_ij=&Sa_ik
b_kj, 。 矩阵乘法有结合律、分配律、可提取公因数，但没有交换律。
矩阵乘法的应用。乘法的含义：m*n意为m个n相加，或n个m相加。A*B的含义为B的列向量与A的行向量对应相乘，然后相加。其结果保留A的行数，B的列数。其中每个元素的乘法和整数的乘法含义是相同的。并且按A行进行加总。
i. 逻辑矩阵的乘法得到的结果的含义更加丰富。
ii. 矩阵乘法的一个最重要的应用：线性变换。即将一个向量按照一个确定的线性变换规则A变换为另一个向量。
iii. 矩阵的n次幂的证明问题经常用到数学归纳法。
g) 当A为方阵时，与之相乘的单位矩阵可以有交换律。纯量阵即&E也是可以交换的。
h) 幂：只有单位阵才有幂。幂的运算：不可交换的幂的运算没有一般的形式。
i) 转置：A^T ：将A的行换成同序数的列得到的一个新矩阵。
ii. 加法自由位置分配律
iii. 与数乘无关
iv. 乘法倒转位置分配律
v. 特殊的矩阵：A=A^T 对称矩阵。
vi. 特殊的对称阵：H=E- 2 XX^T 且 X^T X =1 且 E 为n阶方阵。 有 H H^T=E
。将一个数称为&一阶方阵。&
j) 方阵的行列式 detA 。 区别：方阵是一个数表；而行列式是一个数。
i. |A^T|=|A| 行列式与转置无关
ii. |&A|=&^n |A| 矩阵的数乘相当于行列式数乘的&的n次幂倍
iii. |AB|=|A||B| 行列式对矩阵乘法可以有分配律
iv. |AB|=|BA| 行列值只与矩阵的乘数因子有关，而与其乘法的顺序无关
v. 可见，行列值具有更大的确定性。
k) 伴随矩阵：A^* 行列式|A| 的各个元素的代数余子式所构成的矩阵。
i. A A^*=A^* A= |A|E 因为&非对应的行（列）的代数余子式的展开的值是0。&所以就有了|A| E
这样的结果。又因为行列式的行与列等价，所以有A A^*=A^*
A。这个矩阵与伴随矩阵相乘相当于反向运用了矩阵的代数余子式展开公式。这样就把矩阵与伴随矩阵的相乘变成了行列式与单位矩阵的相乘结果。
三、逆矩阵
1、 逆矩阵来自于对线性变换的逆运算。用伴随矩阵左乘 Y=AX 两端。A^* Y = |A| X, X= A^*/|A|
2、 定义A^(-1) = A^*/|A| , 有 A A^(-1)=E
3、 矩阵是可逆的充分必要条件是矩阵的行列式的值不为零。这种矩阵就是非奇异矩阵。
4、 B=A*(-1) 的充分必要条件是 AB=E
5、 (A^(-1))^(-1)=A 可逆矩阵的逆的逆是矩阵本身
6、 (&A) ^(-1)=1/& A^(-1) . 逆操作就如同幂一样，对数的乘法有分配律。必要条件：&&0
7、 (AB)^(-1)=B^(-1) A^(-1); 有趣的推论：因为|AB|=|A| |B| ；(AB)^*=B^* A^*
即，对矩阵的乘积的伴随操作得到的结果是交换了位置的伴随矩阵的乘积。之所以会在取伴随矩阵的乘法分配律的时候出现位置的交换是由于伴随矩阵操作包含了取转置操作。伴随矩阵是转置的代数余子式。不仅转置求代数余子式，而且还要根据其位置取正负号。才得到A^*
8、 (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T ； 证明：右边=((A^*)^T)/|A| =
(A^T)^*/|A|=(A^T)^(-1)=左边。这个定理是说逆操作和转置操作的顺序在某种程度上来说是等价的。证明中利用了伴随操作和转置操作的互换。这个从伴随操作的定义可以证明。只要证明(-1)^(i+j)=(-1)^(j+i)即可。
a) 那么伴随和逆是否可以任意调整顺序呢？即((A^*)^(-1)=(A^(-1))^*是否成立？要看|A*|=(|A|)^*
是否成立。因为A A^*=|A|E , 所以|A A^*|=|A|^n, |A| |A^*|=|A|^n,
|A^*|=|A|^(n-1) .
那么(|A|)^*=1；显然求行列式与求伴随阵这两个操作是不可任意互换的。因为任何一阶方阵即一个数的行列式的值是其本身，而其伴随阵则永远是1。而伴随阵的行列式的值不仅和原矩阵的行列式的值有关，而且与阶数有关。而，求逆的步骤就是求伴随阵/行列式。因此，分子是伴随阵的伴随阵，即(A^*)^*
分子是伴随阵的行列式：|A^*|=|A|^(n-1)。右边分子相同，也是：(A^*)^*，分子是1。那么这个式子只有在A为一阶方阵的情况下才成立。那么我们就证明了伴随和逆是不等价的操作。
进一步我们可以发现，转置操作是比较表面的操作，似乎没有改变矩阵的内部结构。而逆和伴随操作则不同，他们不能互换。从这个|A^*|=|A|^(n-1)公式看出伴随操作一般地增加了矩阵的行列式的值，而伴随矩阵本质上是按行展开的反向操作。A
A^*=|A|E，得到了按行展开的N倍。从而有了A
(A^*/|A|)=E这个式子。其中E代表的含义就是保持原状。|E|=1。从这里我们就探究到了一些行列式的值所代表的矩阵的含义和信息。首先当|E|=0时，这类矩阵具有某种共性。这我们暂且不提。当|A|=1时。这类矩阵可以约化成某种特点，E就是其类的代表。当我们求|
A (A^*/|A|)|
的时候，我们就要注意到其内部的结构。任何数和矩阵相乘，其结构就是和矩阵的每一个元素相乘。然后，如果要再求其行列式的值，就出现了与其阶数相关的一个&^n
则| A (A^*/|A|)|=|1/|A| A A^*|=(1/|A|)^n |A| |A^*|=|A|^(-n ) |A|
|A|^(n-1)=|A|^0=1 。这样，|A^*/|A||=|A|^(-1)
。所以说，伴随操作改变了矩阵的行列式的值。伴随矩阵的作用是先把矩阵的行列式的值增大，得到了|A|E。这样就距离得到A^(-1)进了一步。这进一步就是在指从这个伴随操作中得到E。而且还得到了|A|。
9、 利用逆矩阵可以进行简单的矩阵运算。
这种运算主要运用了矩阵乘法、矩阵的指数运算、&矩阵除法&、加减法、结合律分配律。甚至一些题目设计了伴随、转置、行列式求值等复合运算。
b) 类似初等代数多项式的矩阵多项式：由A^k, A^l, E
构成。由于他们与数类似，都不存在左右搭配的位置上的限制，都是可交换的。因此适用乘法交换律。
c) 幂次不变形式A=P&LP^(-1), A^k=P&L^k P^(-1), 其用途是用来计算幂次变化的A。
d) f(P&LP^(-1))= Pf(&L)P^(-1)
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维向量、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型。这些知识的背后凝结着数学归纳法、等价类、标准形、不变量、数形结合、数学建模等重要的数学思想。本课程不仅适合各类高校理、工、经管等多个专业的学生，也适合其他需要线性代数基础知识的学生、教师、工程技术人员和社会人员。
?周次学习内容1第1讲 线性代数课程绪论第2讲 矩阵的定义及例子第3讲 矩阵的加法及数乘第4讲 矩阵乘法的定义第5讲 矩阵乘法的性质2第6讲 矩阵的转置第7讲 分块矩阵第8讲 矩阵的初等变换第9讲 初等矩阵3第10讲 逆矩阵的定义及性质第11讲 逆矩阵的计算第12讲 求解矩阵方程第13讲 行列式的定义4第14讲 行列式的性质第15讲 行列式按行(列)展开第16讲 行列式的计算第17讲 伴随阵与逆矩阵5第18讲 抽象矩阵的可逆性第19讲 克拉默法则第20讲 矩阵秩的定义第21讲 矩阵秩的等式第22讲 矩阵秩的不等式6第23讲 向量的概念第24讲 向量的线性组合和线性表示第25讲 向量组的秩7第26讲 向量的线性相关性第27讲 线性相关性的等价刻画I第28讲 线性相关性的等价刻画II第29讲 向量组的极大无关组8第30讲 向量空间、基、维数和坐标第31讲 基变换和坐标变换第32讲 内积第33讲 标准正交向量组和正交矩阵9第34讲 线性方程组和Gauss消元法第35讲 齐次线性方程组有非零解的条件第36讲 齐次线性方程组的基础解系10第37讲 非齐次线性方程组的解第38讲 非齐次线性方程组的解的结构第39讲 向量组极大无关组的计算第40讲 线性方程组的最小二乘解11第41讲 相似矩阵的定义及性质第42讲 特征值(向量)的定义第43讲 特征值(向量)的求法第44讲 特征值的性质12第45讲 相似于对角阵的条件第46讲 相似对角化与方阵的幂第47讲 实对称矩阵的相似对角化第48讲 已知特征值(向量)，求矩阵13第49讲 二次型的定义、矩阵表示及标准形第50讲 用正交变换化二次型为标准形第51讲 用配方法化二次型为标准形第52讲 矩阵的合同与惯性定理第53讲 正定二次型定义及判定矩阵理解矩阵的概念，理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义。理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算。了解分块矩阵的运算性质，掌握常见的分块方法和分块矩阵的运算规则。理解矩阵的初等变换与初等矩阵的概念以及二者之间的联系，理解矩阵等价、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵以及矩阵等价标准形的概念，掌握将一个矩阵化为行阶梯形、行最简形以及等价标准形的方法。理解矩阵的可逆性的概念，掌握判别矩阵是否可逆的方法，掌握逆矩阵的性质，掌握利用初等变换求逆矩阵以及解简单的矩阵方程的方法。理解阶行列式的定义，掌握行列式的性质，掌握低阶行列式及简单的高阶行列式的计算，了解行列式的乘法定理，了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算逆矩阵的方法，理解法则，掌握用法则求解方程组的方法。理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系，掌握关于矩阵的秩的等式和不等式。．维向量理解向量的概念，掌握向量的线性运算的性质，理解线性组合和线性表示的概念。理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质，理解向量组的线性相关性的概念。掌握向量组的线性相关性的判别方法和一些常用的重要结论。理解向量组的极大线性无关组的概念，理解向量组的极大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的极大线性无关组。知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间的基及它们的维数，知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。理解向量的内积、长度及正交性的概念，了解向量内积的基本性质，理解向量空间的标准正交基的概念，熟练掌握正交化方法，理解正交矩阵的概念，了解正交矩阵的性质。线性方程组理解线性方程组的基本概念，掌握消元法。理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法。理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法。了解线性方程组的最佳近似解的概念和求最小二乘解的方法。矩阵的特征值和特征向量理解相似矩阵的概念与性质。理解矩阵的特征值、特征向量的概念，理解特征多项式、特征值、特征向量的性质，熟练掌握矩阵的特征多项式、特征值、特征向量的求法。熟练掌握矩阵相似于对角阵的充要条件，并熟练掌握相应的对角阵及相似变换矩阵的求法。熟练掌握实对称矩阵的性质，熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵的方法。．二次型理解二次型及其矩阵表示的概念，熟练掌握二次型的矩阵的求法。理解二次型的标准形与规范形的概念，理解合同的概念，掌握用配方法化二次型为标准形的方法，理解二次型在正交变换下的标准形与二次型的矩阵的特征值的关系，熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，理解惯性定理以及惯性指数的概念，掌握判断实对称矩阵合同的方法。理解正定性的概念，熟练掌握判断二次型、实对称矩阵是否正定的方法。
多项式、二元一次方程组、平面向量、数学归纳法。
暂无证书。
1. 陈建龙、周建华、张小向、韩瑞珠、周后型编，线性代数（第二版），科学出版社，20162. 周建华、陈建龙、张小向编，几何与代数，科学出版社，20093. 张小向、陈建龙编，线性代数学习指导，科学出版社，2008
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