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文档介绍：
1.9 2.2 2.0 1.7 1.3 0.8 0 解答:(计算过程略) ( 1)抛物线法(辛卜生公式):A≈30.67m 2;Q=18.40m 3/s. ( 2)梯形法: A≈30.40m 2;Q=18.24m 3/s. 〔实例 2〕有一条河流,宽为 200 米,从河一岸到正对岸每隔 20米测量一次水深,测的数据如下表。试分别用梯形法和抛物线法求此河床横截面积的近似值。单位: mx i 120 140 160 180 200 y i51163 4 微元法知识的应用微元法在专业基础课和专业课中应用非常广泛,求解物体所受液体的侧压力, 应用微元法知识。此问题主要出现在水利工程专业的《水力学》、《水工建筑物》等课程中,主要应用于计算水闸及输水建筑物(如坝下涵管、隧洞、渠道、管道等)上的闸门所受水压力的大小,作为设计或校核闸门结构的一个重要依据。水闸是一种低水头水工建筑物,既能挡水,又能泄水,用以调节水位,控制泄流量; 多修建于河道、渠系及水库、湖泊岸边,在水利工程中的应用十分广泛。闸门是水闸不可缺少的组成部分,用来调节流量和上、下游水位,宣泄洪水和排放泥沙等。闸门的形式很多,按其结构形式通常分为平面闸门、弧形闸门及自动翻倒闸门等;按其工作条件可分为工作闸门和修理闸门;按其所处的位置不同可分为露顶闸门和潜孔闸门;按其所用的材料可分为钢闸门、钢筋混凝土闸门、钢丝网水泥闸门和木闸门等;按其形状不同又可分为矩形闸门、梯形闸门、圆形闸门和椭圆形闸门等。闸门的主要作用是挡水,承受水压力是其作用荷载之一。运用微元法计算闸门所受水压力时,设受水压力作用的区域与水平面垂直且由曲线 y=f(x) &0,(0 ≤a≤x≤b)x=a,x=b 及x轴所组成。 x轴正向朝下, y轴在水平面上,水的密度为?=1000 ㎏/m 3,则闸门所受的水压力大小为 P=? ba dxx gxf )(?(N). [实例 1] 有一个水平放置的无压输水管道, 其横断面是直径为 6m 的圆,水流正好半满,求此时输水管道一端的竖直闸门上所受的水压力。分析:首先建立合适的直角坐标系,如图所示,则圆的方程为 222ryx??=9. 然后,运用微元法求解即可。解答:(计算过程略) P=1.7 6×10 5N. [实例 2] 某闸门的形状与大小如图所示,其中直线 ox为对称轴,闸门的上部为矩形 ABCD ,下部由二次抛物线与线段 AB 所围成,当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 5:4 ,闸门矩形部分的高 h应为多少米? 分析:把y轴放在水平面上,x轴为闸门的对称轴,正向朝下,于是抛物线 yx x x+dx rO 经过(h,1 ) ,(h,-1),(h+1,0) 三点, 抛物线方程为 x=h+1-y 2。然后, 分别计算闸门上部和下部承受的水压力 P 1、P 2 。最后,根据 P 1:P 2 =5 :4 ,便可解得闸门矩形部分的高 h.解答:(计算过程略) h=2m. [实例 3] 设某水库闸门为椭圆形钢板, 椭圆的长轴平行于水面且离水面的距离为h,求闸门受到的水压力。解答:(计算过程略) P=abh ?.[ 实例 4] 有一个矩形水闸门,宽 20 米,高 16 米,水面与闸门顶齐平,求闸门上所受的水压力。解答:(计算过程略) P=2.5 1×10 7N. C DOyx hB A h+12
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关于有分式的函数的不定积分问题（很基础）题目如图
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第一题可用三角换元.第二题的话不能一步求出结果,只能推导出递推公式(用或不用三角换元也可以)：许多积分的过程都是直接用了这个公式化简的.
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既然很基础, 那么直给你个提示吧, 具体步骤就自己去写吧.第一个, 直接假设u=tanx,
du=sec²x,
原式=∫(sec²x)/(secx)^4dx=∫cos²xdx,
剩下的很简单了.最后不要忘了把u替换回来.第二个,
先提出1/a^(2n),
则积分部分分母变为[(t/a)²+1]^n,
换元t=atanx,
对于三角函数的高次积分一般来说都是化为一次积分来进行的. 比如说cos²x=(cos2x+1)/2,
sin²x=(1-cos2x)/2当然, 你也可以去记现成的公司, 一般的教科书上好像有相关的公式, 但公式也是根据上面的方法推导出来的.
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计算不定积分
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【答案】应助回帖
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这是定积分吧
pi*log(1-k)-pi*log((-1+(1-k^2)^(1/2)+k)/(-1+(1-k^2)^(1/2)))-pi*log(-(-1-(1-k^2)^(1/2)+k)/(1+(1-k^2)^(1/2)))+i*dilog((-1+(1-k^2)^(1/2)+k)/(-1+(1-k^2)^(1/2)))+i*dilog(-(-1-(1-k^2)^(1/2)+k)/(1+(1-k^2)^(1/2)))+1/2*i*pi^2-i*dilog(-(1-(1-k^2)^(1/2)+k)/(-1+(1-k^2)^(1/2)))-i*dilog((1+(1-k^2)^(1/2)+k)/(1+(1-k^2)^(1/2)))
不过，积分后的结果好复杂啊。
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Copyright & 2001-, All Rights Reserved. 小木虫 版权所有第五章不定积分教学安排说明；章节题目：5.1不定积分的概念；5.2不定积分的性质5.3换元积分法5.4分部积；学时分配：共6学时；5.1不定积分的概念1学时；5.2不定积分的性质1学时5.3换元积分法2学时；本章教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的；课堂教学方案（一）；课程名称：5.1不定积分的概念；5.2不定积分的；教学目的与要求：理解并掌握原函数
第五章 不定积分
教学安排说明 章节题目：5.1 不定积分的概念
5.2 不定积分的性质 5.3 换元积分法
5.4 分部积分法 学时分配：共6学时。 5.1 不定积分的概念
1学时 5.2 不定积分的性质
1学时 5.3 换元积分法
5.4 分部积分法
2学时 本章教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法，熟练地利用换元积分法与分部积分法求不定积分。
课 堂 教 学 方 案（一） 课程名称：5.1 不定积分的概念；5.2 不定积分的性质 授课时数：2学时 授课类型:理论课 教学方法与手段：讲授法 教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式，了解不定积分的基本运算法则，能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分 教学重点、难点：教学重点：原函数和不定积分的概念,不定积分的性质及几何意义，不定积分的基本公式；教学难点：不定积分的概念及几何意义和用不定积分的性质求不定积分。 教学内容 5.1 不定积分的概念 1.原函数与不定积分 在微分学中，我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题。但是，在科学、 1
技术和经济的许多问题中，常常还需要解决相反的问题，也就是要由一个函数的已知导数（或微分），求出这个函数。这种由函数的已知导数（或微分）去求原来的函数的运算，称为不定积分，这是积分学的基本问题之一。 定义1
如果函数f(x)与F(x)为定义在某同一区间内的函数,并且处处都有
F'(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx,
则称F(x)是f(x)的一个原函数. ．．根据导数公式或微分公式,我们很容易得出一些简单函数的原函数.如
(sinx)??cosx，
故sinx是cosx的一个原函数；
(sinx?1)??cosx，
故sinx?1也是cosx的一个原函数； (x2)??2x，
故x2是2x的一个原函数； (x2?2)??2x，
故x2也是2x的一个原函数. ．．．．．．
由此可见,一个函数的原函数并不是唯一的.对此有以下两点需要说明： 第一，若在某区间内F(x)为f(x)的一个原函数，即F?(x)?f(x),则对任意常数C, 由于(F(x)?C)??f(x),所以函数F(x)?C都是f(x)的原函数.这说明如果函数f(x)有原函数,那么它就有无限多个原函数. 第二，若在某区间内F(x)为f(x)的一个原函数，那么，f(x)的其它原函数和F(x)有什么关系？ 设?(x)是f(x)在同一区间上的另一个原函数，即??(x)?f(x)，于是有 [?(x)?F(x)]????(x)?F?(x)?0, 由于导数恒为零的函数必为常数，因此
?(x)?F(x)?C1(C1为某个常数)，即?(x)?F(x)?C1.这说明f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数. 因此,如果F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)的全体原函数可以表示为 F(x)?C
(其中C为任意常数). 为了更方便地表述一个函数的全体原函数,我们引入下面不定积分的概念. 2.不定积分的概念 定义2 函数f(x)在某区间内的全体原函数称为f(x)在该区间内的不定积分,记为
f(x)dx， 其中记号?称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.即
?f(x)dx?F(x)?C. 这说明,要计算函数的不定积分,只需求出它的一个原函数,再加上任意常数C就可以了. 例1 求f(x)?2x的不定积分. 解：因为(x2)??2x,所以?f(x)dx??2xdx?x2?C.
例2 求f(x)?ex的不定积分. 解：因为(ex)??ex,所以?f(x)dx??exdx?ex?C.
3.不定积分学的几何意义
不定积分的几何意义:若F(x)是f(x)的一个原函数，则称y?F(x)的图象为f(x)的一条积分曲线.于是,f(x)的不定积分在几何上表示f(x)的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一组积分曲线组成的曲线族.若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行(如图４-1),任意两条曲线的纵坐 3
标之间相差一个常数.给定一个初始条件,就可以确定一个常数C的值，因而就确定了一个原函数，于是就确定了一条积分曲线． 例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程． 解：设所求的曲线方程为y?f(x),按题设，曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为
dy?2x, dx说明y?f(x)是2x的一个原函数.因为2x的全体原函数为 ?2xdx?x2?C， 所以曲线方程为y?f(x)?x2?C,又由于曲线过点(1,2),故f(1)?2, 1?C?2,解得C?1,于是所求曲线为 y?f(x)?x2?1. 例4 一物体作直线运动，速度为v(t)?2t2?1m/s,当t?1s时，物体所经过的路程为3m，求物体的运动方程。
解：设物体的运动方程为s?s(t).依题意有s?(t)?v(t)?2t2?1,所以
34将t?1,s?3代入上式，得C?,因此，所求物体的运动方程为 324
s(t)?t3?t? 33
s(t)??(2t2?1)dx?一般，若F(x)是函数f(x)的原函数，那么y?F(x)所表示的曲线称为f(x)的一条积分曲线。不定积分?f(x)dx在几何上表示由积分曲线y?F(x)沿y轴方向上下平移而得到的一族曲线，称为积分曲线族。这就是不定积分的几何意义。 课堂练习：填空
2?ex x小结：本节讲述了原函数的概念，不定积分的概念，性质及几何意义。 ??x4
）????csc2x
）4.基本积分表及常用的积分公式 第一节我们知道积分与微分互为逆运算，因此由第二章的导数的基本公式可以相应地写出不定积分的基本公式。列表如下： （1）?kdx?kx?C
(k是常数)； （2）?xudx?1u?1x?C
(???1)； u?11（3）?dx?lnx?C； x1xa?C
(a?0,a??1)； （4）?axdx?lna（5）?exdx?ex?C； （6）?sinxdx??cosx?C； （7）?cosxdx?sinx?C； 1dx??sec2xdx?tanx?C； 2cosx1（9）?2dx??csc2xdx??cotx?C； sinx（8）?（10）?（11）?11?x2dx?arcsinx?C； 1dx?arctanx?C； 1?x2（12）?secxtanxdx?secx?C； （13）?cscxcotxdx??cscx?C； 以上13个基本积分公式是求不定积分的基础,若能熟记,则对不定积分的运算会起到关键性的作用. 以上11个公式是求不定积分的基础，必须熟记。
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