一个有趣数学问题求解（博弈有关）
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用方程解应用题时，怎样找等量关系？
用方程解应用题时，怎样找等量关系？
　　在解应用题时，常常先找出应用题中数量间的相等关系，也就是通常所说的“等量关系”，然后列方程求解。下面举例说明。
　　（1）只含有三个数量的简单应用题的等量关系和方程。
　　只含有三个数量的简单应用题，已知两个数量，求第三个数量。这类应用题的等量关系比较明显，容易找出。根据三个量间的等量关系，往往可以列出三个等式。在这三个等式里，可选择一个等式作为解答该题的方程，习惯上把未知的数量放在等号的左边，用字母x表示。
　　例1：黄豆和绿豆共重90千克，其中黄豆65千克，绿豆的重量是多个千克？
　　分析：根据这道题里的三个量，可以列出下面三个等式：
　　①共重90千克-黄豆65千克=绿豆重量；
　　②绿豆重量+黄豆65千克=共重90千克；
　　③共重90千克-绿豆重量=黄豆65千克。
　　如果把未知量用x表示，并且把它放在等号的左边，可列出方程：
　　x+65=90或者90-x=65
　　由于题目中说的是“黄豆和绿豆共重90千克”，所以列出的方程以“x+65=90”为好。
　　例2：小侠身高158厘米，比小勇高13厘米。小勇的身高是多少厘米？
　　分析：根据这道题里的三个量，可以列出下面三个等式：
　　①小侠身高158厘米-13厘米=小勇身高；
　　②小侠身高158 厘米-小勇身高=13厘米；
　　③小勇身高+13厘米=小侠身高158厘米。
　　如果把未知量用x表示，按照题目里所说的“小侠的身高是158厘米，比小勇高13厘米”，可列出方程：
　　158-x=13或者x+13=158
　　例3：一辆卡车每小时行驶45千米，几小时可以行驶270千米？
　　分析：根据速度、时间与路程三个量之间常用的数量关系，可以写出下面三个等式：
　　①每小时45千米×小时数=路程270千米；
　　②路程270千米÷每小时45千米=小时数；
　　③路程270千米÷小时数=每小时45千米。
　　如果设x小时走完全程，根据题意可以列出方程：
　　45x=270或者270÷x=45
　　例4：一个长方形的面积是2800平方厘米，它的长是70厘米，宽是多少厘米？
　　分析：有关计算面积、体积的题目的等量关系，就是面积、体积的计算公式。这道题是长方形面积，根据长方形的面积计算公式，可以写出下面三个等式：
　　①长×宽=长方形面积；
　　②长方形面积÷长=宽；
　　③长方形面积÷宽=长。
　　如果设长方形的宽为x厘米，根据题意可列出方程：
　　70x=2800
　　总之，在找等量关系和列方程时，主要是以应用题的数量关系为基础，根据四则运算的意义列成等式。但是，方程解法与算术解法在解题思路上是不同的。算术解法，为了求出未知数，需要把已知数集中起来加以分析，找出未知数与已知数之间的关系，利用已知数与运算符号组成算式，通过计算求出未知数。而列方程解应用题呢，可以用字母表示未知数，例如x、y等，让未知数x和已知数处于同样地位，按照题目中三个数量的等量关系直接参加列式运算。有些在算术中需要“逆解”的题目，用方程解法往往比较容易。
　　（2）含有三个以上数量的应用题的等量关系和方程。
　　遇到含有三个以上数量的应用题，要认真审查题意，弄清题目所说的是怎么一回事，才能分析出已知数量同未知数量间的关系，列出方程。
　　例1：地球绕太阳一周要用365天，比水星绕太阳一周用的时间的4倍多13天。水星绕太阳一周要用多少天？
　　分析：由于列方程解应用题可以让未知数（x）和已知数处于同样地位，直接参加列式运算，我们可以把题目中叙述的条件适当变换一下说法。这道题可以说成：水星绕太阳一周所需时间（x）的4倍再加13天就等于365天。这样，可列出下面的方程：
　　4x＋13=365
　　这道题也可以说成：365天减去水星绕太阳一周所需时间（x）的4倍等于13天。这样，可列出下面的方程：
　　365-4x=13
　　这道题还可以说成：365天减去3天与水星绕太阳一周所需时间（x）的4倍相等。我们把未知数（x）写在等号左边，可列得方程：
　　4x=365-13
　　以上举出的三个不同形式的方程，都是解答这道应用题的方程，在解答这道题时，用哪一个都可以。
　　例2：学校买来5个篮球和7个排球共用去355元，已知每个篮球的价钱是36元，求每个排球的价钱是多少元？
　　分析：这道题，如果按照算术方法去解，是“逆解”的题目； 如果利用方程方法去解，根据题目里的已知条件，就比较容易找出等量关系。
　　已知每个篮球的价钱是36元，如果设每个排球的价钱为x元，那么可列出方程：
　　7x+36×5=355
　　例3：柳长堤小学五、六年级同学今年共植树150棵，六年级植的棵数是五年级的2倍。两个年级各植了多少棵？
　　分析：这道题是常见的一种典型应用题，通常叫“和倍问题”。如果用算术方法解，是有规律的。即：
　　两个数的和÷（倍数+1）=作为1倍的数
　　但是，用方程方法解，可以按照题目里叙述已知条件的顺序直接写出等量关系。
　　为了计算方便，我们常常把“可以作为1份（1倍）”的数设为x，在这道题里，设五年级植树棵数为x棵，那么六年级植树棵数为2x棵。列出方程为：
　　x+2x=150
　　例4：A、B两镇之间的公路长216千米，甲、乙两汽车同时从两镇相对开出，3小时后相遇。甲汽车每小时行38千米，乙汽车每小时行多少千米？
　　分析：甲、乙两辆汽车同时从两镇相对开出，3小时后相遇，这就说明了：甲汽车3小时行的路程+乙汽车3小时行的路程=两镇之间的公路长。设乙汽车每小时行x千米，可列出方程：
　　38×3+3x=216
　　这道题还可以按照下面的等量关系列出方程，即：两镇之间的公路长-乙汽车3小时行的路程=甲汽车3小时行的路程。可列出方程：
　　216-3x=38×3
　　甲、乙两汽车同时开出，相向而行，那么，每小时两辆汽车共走的路程是甲、乙两汽车速度之和。这样，又可以写出一种等量关系，即：甲、乙两汽车速度之和×时间=两镇之间的公路长。可列出方程：
　　（38＋x）×3=216
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离散数学实验之求解关系的闭包运算
我自己写不这么好，说实在的，我也写不出来。这是老师给我们的一个代码。我把他在这上面保存下来，以后可能能用的到。
关系闭包运算
&&&&1、输入构建关系的结点；
&&&&2、程序对结点进行排序，以构造出符合人们表示习惯的关系矩阵；
&&&&3、根据输入的结点输入关系的序偶；
&&&&4、选择命令，执行相应计算。&
/**********************************************************************************
***********关系闭包运算***********
1、输入构建关系的结点；
2、程序对结点进行排序，以构造出符合人们表示习惯的关系矩阵；
3、根据输入的结点输入关系的序偶；
4、选择命令，执行相应计算。
***********************************************************************************/
#include&stdio.h&
#include&conio.h&
#include&string.h&
char *get_element(char *p)//输入结点序列函数
printf(&第一步：输入各个结点的名称后回车(不能有空格):&);
fflush(stdin);
void str_sort(char *point)//将结点重新按照其ASCII码排序，如d3jkab排列为3abdjk
//关系矩阵将根据此顺序来构造
char *p=point,*q,t;
int stlen=strlen(p);
for(p=p&point+stlen-1;p++)//选择排序
for(q=p+1;*q;q++)
if(*p&*q){t=*p;*p=*q;*q=t;}
printf(&重新排序后的结点序列为：&);
for(p=*p;p++)putchar(*p);printf(&\n&); //输出排序后的字符
int get_position(char ch,char *point)//函数返回字符（结点）ch在point中的位置
for(i=0;*(point+i);i++)
if(*(point+i)==ch)
void get_relation(int (*a)[M],char *p)//输入序偶根据第一与第二元素在结点序列中的位置将关系矩阵相应元素置1
int k1,k2;
char ch1,ch2;
printf(&第二步:输入关系的各个序偶(输入&*,*&时结束):\n&);
printf(&&&);
ch1=getche();
printf(&,&);
ch2=getche();
printf(&&\n&);
if(ch1=='*')
k1=get_position(ch1,p);//取得第一元素在p中的位置序号
k2=get_position(ch2,p);
a[k1][k2]=1;
void output_relat_array(int (*a)[M],int arry_w)//输出关系矩阵
for(i=0;i&arry_w;i++)
for(j=0;j&arry_w;j++)
printf(&%4d&,a[i][j]);
printf(&\n&);
void output_relate(int (*a)[M],int arry_w,char *p)//关系矩阵中如果有元素为1，则根据该序号去结点序列中查找其相应结点
int count=0;
printf(&{&);
for(i=0;i&arry_w;i++)
for(j=0;j&arry_w;j++)
if(a[i][j]==1){ printf(&&%c,%c&,&,*(p+i),*(p+j));count++;}
printf(&\b}&);
printf(&\n&);
void Eq_closure(int (*a)[M],int arry_w,char *p)//利用关系矩阵主对角线元素全赋值为1求自反闭包
int eq[M][M];
for(i=0;i&arry_w;i++)
for(j=0;j&arry_w;j++)
eq[i][j]=a[i][j];
for(i=0;i&arry_w;i++)
eq[i][i]=1;
system(&cls&);
printf(&\n自反闭包为：r(R)=&);
output_relate(eq,arry_w,p);
printf(&自反闭包的关系矩阵为：\n&);
output_relat_array(eq,arry_w);
void Sym_closure(int (*a)[M],int arry_w,char *p)//利用转置矩阵与原矩阵的逻辑和求对称闭包
int sym[M][M],sym2[M][M];
for(i=0;i&arry_w;i++)
for(j=0;j&arry_w;j++)
sym[i][j]=a[i][j];
for(i=0;i&arry_w;i++)
for(j=0;j&arry_w;j++)
sym2[i][j]=a[j][i];
for(i=0;i&arry_w;i++)
for(j=0;j&arry_w;j++)
sym[i][j]|=sym2[i][j];
system(&cls&);
printf(&\n对称闭包为：s(R)=&);
output_relate(sym,arry_w,p);
printf(&对称闭包的关系矩阵为：\n&);
output_relat_array(sym,arry_w);
void trs_closure(int (*a)[M],int arry_w,char *p)//warshall算法求传递闭包
int i,j,k;
int trs[M][M];
for(i=0;i&arry_w;i++)
for(j=0;j&arry_w;j++)
trs[i][j]=a[i][j];
for(k=0;k&arry_w;k++)
for(i=0;i&arry_w;i++)
if(trs[i][k]==1)
for(j=0;j&arry_w;j++)
trs[i][j]=trs[i][j]||trs[k][j];
system(&cls&);
printf(&\n传递闭包为：t(R)=&);
output_relate(trs,arry_w,p);
printf(&传递闭包的关系矩阵为：\n&);
output_relat_array(trs,arry_w);
int a[M][M]={0};
char point[M];
int slect,
printf(&\n\n\t该程序用于求解关系的各种闭包\n\n&);
p=get_element(point);//输入结点p取得其起始位置
str_sort(p);//结点重新排序
stlen=strlen(point);
get_relation(a,p);//根据输入的关系的序偶构建关系矩阵a
system(&cls&);
printf(&\n\n\t\t请选择下列功能进行闭包的求解\n&);
printf(&\t\t1、输出所输入的关系\n&);
printf(&\t\t2、自反递闭包并输出\n&);
printf(&\t\t3、求对称闭包并输出\n&);
printf(&\t\t4、求传递闭包并输出\n&);
printf(&\t\t0、退出程序\n\n&);
printf(&\t\t请输入你的选项并回车(0,1,2,3,4)....\n&);
fflush(stdin);
scanf(&%d&,&slect);
while(slect*(slect-1)*(slect-2)*(slect-3)*(slect-4)!=0)
printf(&\n\t\t请重新输入你的选项并回车(0,1,2,3)....\n&);
scanf(&%d&,&slect);
switch(slect)
printf(&\nR=&);
output_relate(a,stlen,p);
printf(&\n关系矩阵为：\n&);
output_relat_array(a,stlen);
case 2: Eq_closure(a,stlen,p);
case 3: Sym_closure(a,stlen,p);
case 4: trs_closure(a,stlen,p);
case 0: exit(0);
printf(&\n按任意键继续.......&);
运行结果是：
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&数学的奥秘
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1.1开头的话
什么可以解决相对论和量子力学之间矛盾？（）
A、质子理论
B、中子理论
C、夸克理论
正确答案：D
弦理论认为宇宙是几维的？（）
正确答案：C
数学是素质教育中最重要的载体。（）
正确答案：√
天王星被称为“笔尖上发现的行星”。（）
正确答案：&
1.2数学思维
美国哪位总统喜欢通过学习几何学来训练自己的推理和表达能力？（）
正确答案：C
下列哪个是孪生数对?（）
A、（17，19）
B、（11，17）
C、（11，19）
D、（7，9）
正确答案：A
谁写了《几何原本杂论》？（）
正确答案：B
仅存在有限对孪生的素数。（）
正确答案：&
1.3数学学习
偶数和正整数哪个多？（）
B、正整数多
D、无法确定
正确答案：C
以下哪个汉字可以一笔不重复的写出？（）
正确答案：A
数学的抽象能力是数学学习的最重要的目的。（）
正确答案：√
高斯解决了著名的七桥问题（）。
正确答案：&
2.1从圆的面积谈起
下面哪个人物用穷竭法证明了圆的面积与圆的直径的平方成正比？（）
B、欧多克索斯
C、欧几里得
D、阿基米德
正确答案：B
以下什么成果是阿基米德首先得到的？（）
A、圆周率的值
B、圆的面积与圆的直径的平方成正比
C、抛物线弓形的面积
正确答案：C
穷竭法的思想源于欧多克索斯。（）
正确答案：√
欧多克索斯完全解决了圆的面积的求法。（）
正确答案：&
2.2曲线的切线斜率
抛物线&在&&处的斜率是多是？
正确答案：B
圆的面积，曲线切线的斜率，非均匀运动的速度，这些问题都可归结为和式的极限。（）
正确答案：&
曲线切线的斜率和非均匀运动的速度属于微分学问题。（）
正确答案：√
2.3微积分的工具和思想
下列具有完备性的数集是？（）
·&A、实数集
·&B、有理数集
·&C、整数集
·&D、无理数集
正确答案：A
康托尔创立的什么理论是实数以至整个微积分理论体系的基础？（）
B、量子理论
D、拓扑理论
正确答案：A
下列表明有理数集不完备的例子是？（）
正确答案：D
微积分的基本思想是极限。（）
正确答案：√
2.4微积分的历程
微积分的创立阶段始于（）。
A、14世纪初
B、15世纪初
C、16世纪初
D、17世纪初
正确答案：D
积分学的雏形阶段的代表人物不包括（）。
A、欧多克索斯
B、阿基米德
C、卡瓦列里
正确答案：C
欧拉被视为是近代微积分学的奠基者。（）
正确答案：&
费马为微积分的严格化做出了极大的贡献。（）
正确答案：&
3.1梵塔之谜
自然数的本质属性是（）
·&A、可数性
·&B、相继性
·&C、不可数性
·&D、无穷性
目前，世界上最常用的数系是（）
C、六十进制
D、二十进制
现代通常用什么方法来记巨大或巨小的数？
C、六十进制
D、科学记数法
3.2希尔伯特旅馆
希尔伯特旅馆的故事告诉我们什么？（）
A、自然数与奇数一样多
B、自然数比奇数多
C、有理数比自然数多
D、有理数比奇数多
下列集合与自然数集不对等的是？（）
C、有理数集
下列集合与区间[0，1]对等的是？（）
C、有理数集
希尔伯特旅馆的故事展现了无穷与有限的差别。（）
3.3有理数的“空隙”
建立了实数系统一基础的是哪位数学家?（）
下列关于有理数，无理数，实数的之间的关系说法正确的是？（）
A、有理数，无理数都与实数对等
B、有理数与实数对等，无理数与实数不对等
C、无理数与实数对等，有理数与实数不对等
D、有理数，无理数都与实数不对等
第一次数学危机是毕达哥拉斯发现了勾股定理。（）
实数可分为代数数和超越数。（）
3.4无穷集合的基数
下列哪个集合不具有连续统？（）
A、实数全体
B、无理数全体
C、闭区间上连续函数全体
D、坐标（x,y）分量均为整数的点
设A是平面上以有理点（即坐标都是有理数的点）为中心有理数为半径的圆的全体，那么该集合是？（）
C、不可数集
下列关于集合的势的说法正确的是（）。
A、不存在势最大的集合
B、全体实数的势为&
C、实数集的势与有理数集的势相等
D、一个集合的势总是等于它的幂集的势
可数集的任何子集必是可数集。（）
4.1从图片到电影---极限
1下列数列收敛的的是（）。
下列数列发散的是（）。
函数极限是描述在自变量变化情形下函数变化趋势。（）
数列极限总是存在的。（）
4.2视频截屏---极限的算术化
下列关于&的定义不正确的是？（）
A、对任意给定的&，总存在正整数&，当&时，恒有&
的任一&邻域&，只有有限多项&
C、对任意给定的正数&
，总存在自然数&，当&时，&
D、对任意给定的正数&
，总存在正整数&，&
改变或增加数列&的有限项，影不影响数列&的收敛性？（）
C、视情况而定
D、无法证明
收敛的数列是有界数列。（）
收敛的数列的极限是唯一的。（）
4.3有限点也神秘---函数的极限
正确的说法是：若在&这一去心邻域中有&，并且&，则&（）
极限&=（）。
若存在，则唯一。（）
5.1连续不简单
定义在区间[0，1]区间上的黎曼函数在无理点是否连续？（）
C、取决于具体情况
D、尚且无法证明
下列关于函数连续不正确的是（）。
A、函数&在点&
连续&在点&有定义，&存在，且&=&
在点&连续&
在点&连续&
,则&一定在点&点连续
函数&，&，则&是该函数的（）？
A、跳跃间断点
B、可去间断点
C、无穷间断点
D、振荡间断点
函数的连续性描述的是函数的整体性质。（）
5.2连续很精彩
下列在闭区间&上的连续函数，一定能够在&上取到零值的是？（）
关于闭区间上连续函数，下面说法错误的是？（）
A、在该区间上可以取得最大值
B、在该区间上可以取得最小值
C、在该区间上有界
D、在该区间上可以取到零值
方程&在&上是否有实根？
B、至少有1个
C、至少有3个
有限个连续函数的和（积）仍是连续函数。（）
5.3连续很有用
方程&在&有无实根，下列说法正确的是？（）
B、至少1个
C、至少3个
下列结论正确的是（）。
A、若函数&(x)在区间[a,b]上不连续，则该函数在[a,b]上无界
B、若函数&(x)在区间[a,b]上有定义，且在(a,b)内连续，则&(x)在[a,b]上有界
C、若函数&(x)在区间[a,b]上连续，且&(a)&(b)≤0，则必存在一点ξ∈(a,b)，使得&(ξ)=0
D、若函数&(x)在区间[a,b]上连续，且&(a)=&(b)=0，且分别在x=a的某个右邻域和x=b的某个左邻域单调增，则必存在一点ξ∈(a,b)，使得&(ξ)=0
函数&在区间_____上连续？
设Δy=&(x+Δx)-&(x)，那么当Δx→0时必有Δy→0。
6.1近似计算与微分
当（）时，变量&为无穷小量。
设&，则当&时（）。
高阶的无穷小量。
是比&低阶的无穷小量。
是与&等价的无穷小量
是与&同阶但不等价的无穷小量
若&均为&的可微函数，求&的微分。（）
常数零是无穷小。（）
6.2曲线的切线斜率
已知&，则&=（）。
设&为奇函数，&存在且为-2，则&=（）。
设曲线&在点&处的切线与&轴的交点为&，则（）。
导数是函数随自变量变化快慢程度的表达式。（）
6.3导数的多彩角度
一个圆柱体，初始圆柱半径是柱高的两倍，随后，圆柱半径以2厘米/秒的速度减小，同时柱高以4厘米/秒的速度增高，直至柱高变为圆柱半径的两倍，在此期间圆柱的体积？（）
·&A、单调增加
·&B、单调减少
·&C、先增后减
·&D、先减后增
设&，&，则&（）。
任意常函数的导数都是零。（）
函数在点处可导的充分必要条件在该点处左，右导数存在且相等。（）
7.1罗尔中值定理
求函数&的最大值，最小值。（）
A、最大值&
B、最大值&
C、最大值&
D、最大值&
作半径为r的球的外切正圆锥，问圆锥的高为多少时，才能使圆锥的体积最小？
函数&的最值情况为（）。
A、最大值为&
B、最小值为&
C、没有最值
D、以上说法都不正确
最值点就是极值点。（）
7.2拉格朗日中值定理
下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）.
方程&正根的情况，下面说法正确的是（）。
A、至少一个正根
B、只有一个正根
C、没有正根
罗尔中值定理指出：可导函数在区间内取得极值点处切线斜率为零。（）
函数&满足罗尔中值定理。
7.3求极限的利器
对任意&，不等式&成立吗？（）
C、视情况而定
D、无法证明
设&，下列不等式正确的是（）。
拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，罗尔定理是拉格朗日中值定理在函数两端值相等时的特例。（）
8.1函数的单调性
求极限&=（）。
求极限&。（）
求极限&=（）。
并非一切型未定式都可以用洛必达法则来求极限。（）
8.2函数的极值
函数&(x)=sinx-x在零点的个数为（）。
若在区间&上&，则&或&的大小顺序为（）。
函数&(x)=x-arctanx的单调性为（）。
A、在(-∞，∞)内单调递增
B、在(-∞,∞)内单调递减
C、在(-∞,∞)内先增后减
如果可导函数&(x)在区间I上单调，那么其导函数&&(x)也单调。
8.3最优化和最值问题
为何值时，函数&在&处取得极值？（）
求函数&的极值。（）
函数&(x)在区间[a,b]上的最大（小）值点一定是极大（小）值点。（）
如果函数&在区间I上有连续的导函数，则在区间I内有这样的&，使得&是极值的同时&又是拐点。（）
9.1函数的凸凹性
函数&的凹凸性为（）。
凸，在&凹,&拐点
D、在&凹，在&
函数&的凹凸性为（）。
C、在&上凸，在&
D、无法确定
函数&的凹凸区间为（）。
A、凸区间&，凹区间&
B、凸区间&及&
C、凸区间&，凹区间&
D、凸区间&
若可导函数&(x)的导函数&&(x)在I内单调增加（减少），则&(x)在I内是凸（凹）。（）
9.2凸凹性的妙用
函数y=lnx的凸性为（）。
C、视情况而定
D、暂时无法证明
设&与&是任意两个正数，&，那么关于&，&的大小关系是（）。
下列关于&，&（&）的说法正确的是（）。
如果曲线在拐点处有切线，那么，曲线在拐点附近的弧段分别位于这条切线的两侧。（）
9.3函数的模样
设函数&，其图像为（）。
设函数&(x)=|x(1-x)|，则（）。
A、x=0是&(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点
B、x=0不是&(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点
C、x=0是&(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点
D、x=0不是&(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点
设&，则（）.
的极小值点，但&不是曲线&的拐点
的极小值点，但&是曲线&的拐点
C、是&的极小值点，且&
是曲线&的拐点
不是&的极小值点，&也不是曲线&的拐点
研究函数时，通过手工描绘函数图像能形象了解函数的主要特征，是数学研究的常用手法的。（）
10.1从有限增量公式
求函数&的麦克劳林公式。（）
函数&在&处带有拉格朗日余项的三阶泰勒公式（）。
函数在一点的泰勒多项式是该函数在附近的近似表达式，比起函数的一次近似，高阶泰勒多项式有更好的近似精度。()
泰勒公式是拉格朗日中值公式的推广。（）
10.2麦克劳林公式
函数&在&处的三阶麦克劳林公式为（）。
求函数&的麦克劳林公式？（）
当&时，&是几阶无穷小？（）
麦克劳林公式是泰勒公式在时的特殊情形。（）
10.3精彩的应用
求&的近似值，精确到&。（）
A、0.173647
B、0.134764
C、0.274943
D、0.173674
求函数极限&。（）
多项式&在&上有几个零点？（）
泰勒公式给出了在局部用多项式逼近函数的表达式，是进行计算的重要工具。（）
11.1求导运算的逆运算
求不定积分&？（）
求不定积分&？()
求不定积分&？（）
定义在区间内的连续函数一定存在原函数。（）
11.2不定积分的计算
求不定积分&？（）
求不定积分&？（）
求不定积分&？（）
函数的和的不定积分等于各个函数不定积分的和。（）
11.3数学建模和微分方程
求解微分方程&的通解？（）
求解微分方程&?（）
微分方程的通解包含了微分方程的一切解。（）
海王星的发现是人们通过牛顿运动定理和万有引力定理导出常微分方程研究天王星的运行的轨道异常后发现的。（）
12.1阿基米德的智慧
阿基米德生活的时代是（）。
A、公元前287-前212
B、公元前288-前210
C、公元前280-前212
D、公元前297-前212
谁首先计算出了抛物线所围弓形区域的面积？（）
B、莱布尼兹
C、阿基米德
D、欧几里得
阿基米德是怎样把演绎数学的严格证明和创造技巧相结合去解决问题的？（）
A、用平衡法去求面积
B、用穷竭法去证明
C、先用平衡法求解面积，再用穷竭法加以证明
D、先用穷竭法求解面积，再用平衡法加以证明
阿基米德应用穷竭法得到弓形区域的面积。（）
12.2和式的极限
微分思想与积分思想谁出现得更早些？（）
C、同时出现
现代微积分通行符号的首创者是谁？（）
B、莱布尼兹
D、欧几里得
微积分主要是由谁创立的？（）
A、牛顿和莱布尼兹
B、欧几里得
在微积分创立的初期，牛顿和莱布尼兹都没能解释清楚无穷小量和零的区别。（）
12.3黎曼积分
对任意常数&,比较&与&的大小?()
不论&的相对位置如何，比较&与&的大小？（）
定义黎曼积分中的Λ→0，表示对区间[a,b]的划分越来越细的过程。随着Λ→0，必有小区间的个数n→∞。但反之，n→∞并不能保证Λ→0。（）
区间[a,b]上的连续函数和只有有限个间断点的有界函数一定可积。（）
13.1牛顿－莱布尼兹公式
设&，则&=？（）
D、都不正确
利用定积分计算极限&=？
牛顿-莱布尼兹公式不仅为计算定积分提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来。（）
由莱布尼兹公式可知：若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数，则f在区间[a,b]上可积。（）
13.2曲边形的面积
求由抛物线&和&所围成平面图形的面积？
求曲线&与&以及直线&和&所围成图形的面积？
求椭圆&所围成图形的面积？
求一曲边形的面积实际上求函数的不定积分。（）
13.3工程也积分
设有一长度为l，线密度为μ的均匀直棒，在其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M.式计算该棒对质点的引力？
一水平横放的半径为R的圆桶，内盛半桶密度为ρ的液体,求桶的一个端面所受的侧压力?
一长为28m,质量为20kg的均匀链条被悬挂于一建筑物的顶部，问需要做多大的功才能把这一链条全部拉上建筑物的顶部？（）
A、2700(J)
B、2744(J)
C、2800(J)
D、2844(J)
微元分析法是处理诸如面积，体积，功等一类具有可加性问题的重要思想方法。（）
14.1橄榄球的体积
以一平面截半径为R的球，截体高为h，求被截部分的体积?
求椭圆&绕&轴旋转所得旋转体的体积？
求由内摆线(星形线)&绕x轴旋转所成的旋转体的体积?
设由连续曲线及直线所围成的曲边形绕轴旋转一周得到的旋转体的体积为。
14.2不可思议的证明
求星形线&的全长？（）
求心形线ρ=α(1+cosφ)的周长。（）
求阿基米德螺线&上从&到&一段的弧长？（）
若曲线为，则弧长为。（）
14.3奇妙的号角
求反常积分&=？
求无穷积分&=？（）
当在有界区间上存在多个瑕点时，在上的反常积分可以按常见的方式处理：例如，设是区间上的连续函数，点都是瑕点，那么可以任意取定，如果反常积分同时收敛，则反常积分收敛。（）
1求星形线&的全长？（）A、B、C、D、&2求阿基米德螺线&上从&到&一段的弧长？（）A、B、C、D、&3求心形线ρ=α(1+cosφ)的周长。（）A、αB、3αC、6αD、8α&4如果曲线为，则弧长为。（）
15.1搅动的咖啡
慢慢搅动的咖啡，当它再次静止时，问咖啡中是否有一点在搅拌前后位置相同？（）
C、需要考虑搅拌方式
D、尚且无法证明
假如你去登山，上午6点从山脚出发，一路上悠哉游哉，走走停停，直到中午12点才到山顶。无限风光在险峰，所以你决定住宿一晚。第二天上午8点开始下山，2个小时之后到了山脚。问：是否存在某一时刻，使得你昨天和今天在同一高度。（）
C、需要考虑具体情况
D、尚且无法证明
设为的有界闭区间,是从射到内的连续映射，则至少存在一点，使得。
设为维单位闭球，是连续映射，则至少存在一点，使得。
15.2不动点定理和应用
1下列哪个体现了压缩映射的思想？（）
A、搅动咖啡
B、显微成像
C、压缩文件
D、合影拍照
函数&在实数域上的不动点是什么？（）
任意维赋范线性空间中的有界无穷集合必有收敛子列。（）
有限维赋范线性空间中的有界无穷集合必有收敛子列。（）
15.3诺贝尔经济学奖
美籍法裔经济学家G.Debreu由于什么贡献而获得了1983年的诺贝尔经济学奖？（）
A、创立了一般均衡理论
B、在非合作博弈的均衡理论方面做出了开创性贡献
C、运用不动点理论进一步发展了一般均衡理论
D、对资产价格的实证分析
Debreu在解决一般均衡理论过程中所用到的Debreu-Gale-Nikaido定理与Brouwer定理有什么关系？（）
B、前者包含后者
C、后者包含前者
D、没有关系
电影“a beautiful
mind”中男主人公的原型既是一位经济学家，又是一位大数学家，他的名字是（）。
A、G. Debreu
B、J.F. Nash
C、L.V. Kantorovich
D、Adam Smith
1968年瑞典银行为庆祝建行300年，决定以诺贝尔的名义颁发经济学奖。（）
16.1基本元素
求幂级数&的收敛区间？（）
求幂级数&的和函数？
幂级数与其逐项求导后的级数及逐项积分后的级数具有相同的收敛半径，但未必具有相同的收敛区间。（）
设幂级数&和&的收敛半径分别为&,则和级数&=&+&的收敛半径&.
16.2傅里叶级数
函数&在&上连续，那么它的Fourier级数用复形式表达就是&,问其中Fourier系数&的表达式是？
下列哪个著作可视为调和分析的发端？（）
A、《几何原本》
B、《自然哲学的数学原理》
C、《代数几何原理》
D、《热的解析理论》
式子&（其中&）的值是什么？
Fourier的工作迫使对函数概念作一修改，即函数可以分段表示。（）
16.3爱恨无穷
关于数学危机，下列说法错误的是？（）
A、第一次数学危机是无理数的发现，芝诺提出了著名的悖论，把无限性，连续性概念所遭遇的困难，通过悖论揭示出来。
B、第二次数学危机是微积分刚刚诞生，人们发现牛顿，莱布尼兹在微积分中的不严格之处，尤其关于无穷小量是否是0的问题引起争论。
C、第三次数学危机是在1902罗素提出了罗素悖论，引起了数学上的又一次争论，动摇了集合论的基础。
D、经过这三次数学危机，数学已经相当完善，不会再出现危机了。
不完全性定理是由谁建立的？（）
A、希尔伯特
下列不是产生悖论根源的是？（）
A、构成悖论的命题或者语句中隐藏着利用恶性循环定义的概念
B、如利用康托尔朴素的集合论的概括原则构成集合
C、无限概念的参与
D、人们对客观世界认识的局限性
希尔伯特认为一些悖论是自然语言表达语义内容造成的。为了克服悖论之苦，他希望可以发现一个形式系统，在其中每一个数学真理都可翻译成一个定理，反过来，每一个定理都可翻译成一个数学真理。这样的系统称完全的。（）
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