BP神经网络的非线性系统建模——非线性函数拟合
案例背景在工程应用中经常会遇到一些复杂的非线性系统，这些系统状态方程复杂，难以用数学方法精确建模。在这种情况下，可以建立BP神经网络表达这些非线性系统。该方法把未知系统看成是一个黑箱，首先用系统输入输出数据训练BP神经网络，使网络能够表达该未知函数，然后就可以用训练好的BP神经网络预测系统输出。本案例拟合的非线性函数为y=x1^2+x2^2
2、模型建立基于BP神经网络的非线性函数拟合算法流程可以分为BP神经网络构建、BP神经网络训练和BP神经网络预测三步，如图2-2所示。BP神经网络构建根据拟合非线性函数特点确定BP神经网络结构，由于该非线性函数有两个输入参数，一个输出参数，所以BP神经网络结构为2-5-1，即输入层有2个结点，中间层有5个结点，输出层有1个结点。BP神经网络训练用非线性函数输入输出数据训练神经网络，使训练后的网络能够预测非线性函数输出。从非线性函数中随机得到2000组输入输出数据，从中随机选择1900组作为训练数据，用于网络训练，100组作为测试数据，用于测试网络的拟合性能。&图2-2 算法流程神经网络预测用训练好的网络预测函数输出，并对预测结果进行分析。&
3、MatLab实现3.1 BP神经网络工具箱函数Matlab软件中包含Matlab神经网络工具箱。它是以人工神经网络理论为基础，用Matlab语言构造出了该理论所涉及的公式运算、矩阵操作和方程求解等大部分子程序以用于神经网络的设计和训练。用户只需根据自己的需要调用相关的子程序，即可以完成包括网络结构设计、权值初始化、网络训练及结果输出等在内的一系列工作，免除编写复杂庞大程序的困扰。目前，Matlab神经网络工具包包括的网络有感知器、线性网络、BP神经网络、径向基网络、自组织网络和回归网络等。BP神经网络主要用到newff、sim和train3个神经网络函数，各函数解释如下。1、newff：BP神经网络参数设置函数函数功能：构建一个BP神经网络。函数形式：net = newff（P，T，S，TF，BTF，BLF，PF，IPF，OPF，DDF）P：输入数据矩阵。T：输出数据矩阵。S：隐含层结点数。TF：结点传递函数，包括硬限幅传递函数hardlim，对称硬限幅传递函数hardlims，线性传递函数pureline，正切S型传递函数tansig，对数S型传递函数logsig。BTF：训练函数，包括梯度下降BP算法训练函数traingd，动量反传的梯度下降BP算法训练函数traingdm，动态自适应学习率的梯度下降BP算法训练函数traingda，动量反传和动态自适应学习率的梯度下降BP算法训练函数traingdx，Levenberg_Marquardt的BP算法训练函数trainlm。BLF：网络学习函数，包括BP学习规格learngd，带动量项的BP学习规则learngdm。PF：性能分析函数，包括均值绝对误差性能分析函数mae，均方差性能分析函数mse。IPF：输入处理函数。OPF：输出处理函数。DDF：验证数据划分函数。一般在使用过程中设置前面6个参数，后面4个参数采用系统默认参数。2、train：BP神经网络训练函数函数功能：用训练数据训练BP神经网络。函数形式：[net，tr] = train（NET，X，T，Pi，Ai）NET：待训练网络。X：输入数据。T：输出数据。Pi：初始化输入层条件。Ai：初始化输出层条件。net：训练好的网络。tr：训练过程记录。一般在使用过程中设置前面3个参数，后面2个参数采用系统默认参数。3、sim：BP神经网络预测函数、函数功能：用训练好的BP神经网络预测函数输出。函数形式：y = sim（net，x）net：训练好的网络。x：输入数据。y：网络预测数据。&3.2 程序代码%% 清空环境变量clcclear&%% 训练数据预测数据提取及归一化%导入输入输出数据load data input output&%从1到2000间随机排序k=rand(1,2000);[m,n]=sort(k);&%随机选择1900组训练数据和100组预测数据input_train=input(n(1:1900),:)';output_train=output(n(1:1900));input_test=input(n(),:)';output_test=output(n());&%训练数据归一化[inputn,inputps]=mapminmax(input_train);[outputn,outputps]=mapminmax(output_train);&%% BP网络训练%初始化BP网络结构net=newff(inputn,outputn,5);%网络参数配置（迭代次数、学习率、目标）net.trainParam.epochs=100;net.tr...
人人移动客户端下载本文针对新手，大神慎入！Preface 网上很多讲神经网络的，我也看了很多，就是没搞懂过，尤其是MATLAB的代码实现，一直搞不懂MATLAB怎么实现的，最近做完了一个BP预测的，我想仔细的、愉快的讲讲MATLAB在神经网络模式识别方面的实现。文章持续更新。What is Back Propagation Neural NetWorks?想了一年的神经网络也没搞明白这玩意是怎么实现人工智能,也不知道MATLAB那些代码怎么用的，这里我就简单讲一下，先理解这是一个能实现什么的东西，至于怎么实现的，以后再讲。假如你是一个机智的土豆大亨，你认识10个农场的大佬，他们分别给了你一个苹果和一支笔。对此你需要分别给他们一个土豆，但这个土豆的大小你总取决于对方的苹果和笔的质量，苹果又大又甜笔是高档的你当然就给的土豆更大更好，正如假设的一样，你是一个机智的土豆大亨，下个礼拜又有几个国外大佬想和你交换土豆，但你不想自己再计算他们的苹果和笔到底值一个多大的土豆了，但是呢你的数学不好，你也不想建立一个具体的函数来计算土豆和苹果笔之间的关系，但你有一个BP神经机器，你只要训练他一段时间，以后他就会了。比如你告诉他写"1"就是写一横，“2”写两横，“3”写三横，‘1、2、3’作为输入，'横的数量作为输出，然后训练’，你用这个样本来训练他，然后有一天另一个人问他‘1’怎么写，他就会划上一横，但如果问他‘一万’怎么写他可能画上一万横，听起来有些滑稽。好了，你有这么一个机器，现在你有10个苹果10只笔，你也计算好了应该拿多重的土豆作为回应苹果笔了，你以后不想再自己计算了，你想给这个机器一个苹果一个笔他就预测一个合适土豆出来，但这之前，你要用这10个样本来训练这个机器，建立一个合适的网络，啊呀，好像有点跑偏，那直接实战吧。How to achieve BPNN by using Matlab通过苹果笔的重量及价格我们可以算出对应的土豆的重量，banana=[1 2 3 1 2 3 4 5 6 2 ]; %假设香蕉1块钱一斤
pen=[2 3 7 2 3 4 5 3 9 2 ];%笔两块钱一斤
potato_actual=(banana*1+pen*2)/3;%土豆三块钱一斤
potato_actual=[1.6 2.6 5.6 1.6 2.6 3.6 4.6 3.6 8.0 2.0];%土豆的准确重量
在把样本给BP神经网络之前通常要归一化处理。[input,ps1]=mapminmax([pen]);%两行十列
[target,ps2]=mapminmax([potato_actual]); %一行十列
%这里的ps1,2是这个归一化操作的种子，之后我们要用这个进行逆操作
我们可以交给神经网络了，输入变量一共是2个，输出变量是土豆重量，样本数10个，所以输入层神经元个数为2，输出层神经元个数1个，通常MATLAB默认三层神经元，即输入层，输出层，他们两中间有个隐含层。我们设置隐含层神经个数为6个，隐含层转移函数：‘tansig’,输出层转移函数:'purelin',训练函数：‘traninbr’。如下net=newff(input,target,6,{'tansig','purelin'},'trainlm');
%% 讲讲这个创建BP神经网络的函数请 doc newff
Description
newff(P,T,S,TF,BTF,BLF,PF,IPF,OPF,DDF) takes optional inputs,
TFi - Transfer function of ith layer. Default is 'tansig' for
hidden layers, and 'purelin' for output layer.
BTF - Backprop network training function, default = 'trainlm'.
BLF - Backprop weight/bias learning function, default = 'learngdm'.
- Performance function, default = 'mse'.
IPF - Row cell array of input processing functions.
Default is {'fixunknowns','remconstantrows','mapminmax'}.
OPF - Row cell array of output processing functions.
Default is {'remconstantrows','mapminmax'}.
DDF - Data division function, default = 'dividerand';
and returns an N layer feed-forward backprop network.
创建好了，我们来设置一些参数：net.trainParam.epochs=1000;
%最大训练次数
net.trainParam.goal=0.00001;%目标最小误差
LP.lr=0.000001;%学习速率
让我们来训练它：net=train(net,input,target);
这个时候就出现了这个：我们点开Performance,显示训练了三回误差就达到预设值了。我们来用这个网络来预测，假设又来了一些苹果笔，看它预测的土豆对不对。banana1=[2 1 3 5 9 9]; %假设香蕉1块钱一斤
pen1=[1 2 8 2 10 3];%笔两块钱一斤
potato_actual1=(banana1*1+pen1*2)/3;%土豆三块钱一斤
input1=mapminmax('apply',[banana1;pen1],ps1);%应用之前的种子归一化
output1=net(input1);
prediction1=mapminmax('reverse',output1,ps2);
%让我们做出预测值与实际值的图像
set(0,'defaultfigurecolor','w')
plot(potato_actual1,'*','color',[222 87 18]/255);hold on
plot(prediction1,'-o','color',[244 208 0]/255,...
'linewidth',2,'MarkerSize',14,'MarkerEdgecolor',[138 151 123]/255);
legend('actua value','prediction1'),title('预测其他数据')
xlabel('potato1'),ylabel('weight')
%使得坐标图优美
set(gca, 'Box', 'off', 'TickDir', 'out', 'TickLength', [.02 .02], ...
'XMinorTick', 'on', 'YMinorTick', 'on', 'YGrid', 'on', ...
'XColor', [.3 .3 .3], 'YColor', [.3 .3 .3],'LineWidth', 1)
%如果是预测本身呢？
output=net(input);
prediction=mapminmax('reverse',output,ps2);
%让我们做出预测值与实际值的图像
plot(potato_actual,'*','color',[29 131 8]/255);hold on
plot(prediction,'-o','color',[244 208 0]/255,...
'linewidth',2,'MarkerSize',14,'MarkerEdgecolor',[138 151 123]/255);
legend('actua value','prediction')
title('预测本身10个数据')
%使得坐标图优美
xlabel('potato'),ylabel('weight')
set(gca, 'Box', 'off', 'TickDir', 'out', 'TickLength', [.02 .02], ...
'XMinorTick', 'on', 'YMinorTick', 'on', 'YGrid', 'on', ...
'XColor', [.3 .3 .3], 'YColor', [.3 .3 .3],'LineWidth', 1)
结果如下：当你给他别的苹果笔时BP回复你的重量与时间应该给的重量当你给训练用的苹果笔时BP回复你的重量与时间应该给的重量BP预测结果分析：显然，用给他训练的数据来预测本身预测的准确性要高的多，但这可能没有太大的意义，可以将目标误差设的更小，加大训练样本等方式，提高预测模型的通用性这里我们用工具箱实现了一个简单的bp预测，但你可能还不懂数学原理，这是下一次要重点讲的，今天就到这。谢谢！全部源代码：banana=[1 2 3 1 2 3 4 5 6 2 ]; %假设香蕉1块钱一斤
pen=[2 3 7 2 3 4 5 3 9 2 ];%笔两块钱一斤
potato_actual=(banana*1+pen*2)/3;%土豆三块钱一斤
potato_actual=[1.6 2.6 5.6 1.6 2.6 3.6 4.6 3.6 8.0 2.0];%土豆的准确重量
[input,ps1]=mapminmax([pen]);%两行十列
[target,ps2]=mapminmax([potato_actual]); %一行十列
%这里的ps1,2是这个归一化操作的种子，之后我们要用这个进行逆操作
net=newff(input,target,6,{'tansig','purelin'},'trainlm');
net.trainParam.epochs=1000;
%最大训练次数
net.trainParam.goal=0.00001;%目标最小误差
LP.lr=0.000001;%学习速率
net=train(net,input,target);
banana1=[2 1 3 5 9 9]; %假设香蕉1块钱一斤
pen1=[1 2 8 2 10 3];%笔两块钱一斤
potato_actual1=(banana1*1+pen1*2)/3;%土豆三块钱一斤
input1=mapminmax('apply',[banana1;pen1],ps1);%应用之前的种子归一化
output1=net(input1);
prediction1=mapminmax('reverse',output1,ps2);
%让我们做出预测值与实际值的图像
set(0,'defaultfigurecolor','w')
plot(potato_actual1,'*','color',[222 87 18]/255);hold on
plot(prediction1,'-o','color',[244 208 0]/255,...
'linewidth',2,'MarkerSize',14,'MarkerEdgecolor',[138 151 123]/255);
legend('actua value','prediction1'),title('预测其他数据')
xlabel('potato1'),ylabel('weight')
%使得坐标图优美
set(gca, 'Box', 'off', 'TickDir', 'out', 'TickLength', [.02 .02], ...
'XMinorTick', 'on', 'YMinorTick', 'on', 'YGrid', 'on', ...
'XColor', [.3 .3 .3], 'YColor', [.3 .3 .3],'LineWidth', 1)
%如果是预测本身呢？
output=net(input);
prediction=mapminmax('reverse',output,ps2);
%让我们做出预测值与实际值的图像
plot(potato_actual,'*','color',[29 131 8]/255);hold on
plot(prediction,'-o','color',[244 208 0]/255,...
'linewidth',2,'MarkerSize',14,'MarkerEdgecolor',[138 151 123]/255);
legend('actua value','prediction')
title('预测本身10个数据')
%使得坐标图优美
xlabel('potato'),ylabel('weight')
set(gca, 'Box', 'off', 'TickDir', 'out', 'TickLength', [.02 .02], ...
'XMinorTick', 'on', 'YMinorTick', 'on', 'YGrid', 'on', ...
'XColor', [.3 .3 .3], 'YColor', [.3 .3 .3],'LineWidth', 1)
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BP神经网络拟合函数程序中总是出现??? Error using ==& mapminmax Too many output arguments.求大神指点
我的程序clc,clear
p=-pi/2+0.1:pi/10:pi/2-0.1
plot(p,t,'*')
[pn,minp,maxp,tn,mint,maxt]=mapminmax(p,t);
net=newff(minmax(p),[5 1],{'tasing''purelin'},'traingd''learngd','mse');
net.trainParam.show=10;
net.trainParam.lr=0.05;
...
取tan(t)函数上的点，建立神经网络，并对其进行训练，老是错误、
我有更好的答案
mint和maxt分别为T的最小值和最大值，归一化后的数据将分布在[-1,1]区间内。我们在训练网络时如果所用的是经过归一化的样本数据mapminmax不是这样用的;apply&#39. 自己编程具体用那种方法就和你的具体问题有关了&（by happy）4,maxp,Tn,mint,maxt]=premnmx(P,T)其中P，T分别为原始输入和输出数据，minp和maxp分别为P中的最小值和最大值。premnmx函数用于将网络的输入数据或输出数据进行归一化,其中第一个函数是归一化到[-1 1]范围，后一个的原理我也不太懂，但归一后的数据较规整：pnt=mapminmax('apply'.在最新版的matlab里面共有两个归一化函数：mapminmax()和mapstd(),ps)仿真后反归一化格式则为：out=mapminmax(&#39。2. prestd、poststd、trastd3，比第一个好用．各自的归一化格式如下，那么以后使用网络时所用的新数据也应该和样本数据接受相同的预处理，这就要用到tramnmx。下面介绍tramnmx函数：[Pn]=tramnmx(P;,An;apply&#39,minp,maxp)其中P和Pn分别为变换前、后的输入数据;,X,PS)X = mapminmax('reverse'：[pn,ps]=mapminmax(P)或=mapstd(P) %P是输入向量[tn, ts]=mapminmax(t)或＝mapstd(t) %t 是目标向量在训练完后,PS)matlab中的归一化处理有四种方法1. premnmx,pt,ps)或＝mapstd(&#39，该函数的用法为[Y,PS] = mapminmax(X)[Y;reverse&#39，maxp和minp分别为premnmx函数找到的最大值和最小值、postmnmx、tramnmx关于用premnmx语句进行归一化：premnmx语句的语法格式是：[Pn,minp,PS] = mapminmax(X,Y;,pt，你这个是premnmx的用法。两种修改方法：直接将mapminmax更改为premnmx即可。或者就使用mapminmax函数,FP)Y = mapminmax(&#39,ts)或=mapstd('reverse'，对测试样本归一化格式为
我的程序改完后还是错误，错误更多了，我加你呗？我后天就要交作业了，还是不会改。，谢谢啦
附件是一个使用BP神经网络进行预测的示例，你照着改改。matlab查错很容易的，因为它会把哪一行错了都告诉你。还可以设置断点查错，仔细研究下吧。
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　　本文主要内容包括： (1) 介绍神经网络基本原理，(2)
AForge.NET实现前向神经网络的方法，(3) Matlab实现前向神经网络的方法 。
第0节、引例&
&&&&&& 本文以Fisher的Iris数据集作为神经网络程序的测试数据集。Iris数据集可以在http://en.wikipedia.org/wiki/Iris_flower_data_set& 找到。这里简要介绍一下Iris数据集：
有一批Iris花，已知这批Iris花可分为3个品种，现需要对其进行分类。不同品种的Iris花的花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度会有差异。我们现有一批已知品种的Iris花的花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度的数据。
　　一种解决方法是用已有的数据训练一个神经网络用作分类器。
　　如果你只想用C#或Matlab快速实现神经网络来解决你手头上的问题，或者已经了解神经网络基本原理，请直接跳到第二节&&神经网络实现。
第一节、神经网络基本原理&
1. 人工神经元(
Artificial Neuron )模型&
&&&&&& 人工神经元是神经网络的基本元素，其原理可以用下图表示：
图1. 人工神经元模型
&&&&&& 图中x1~xn是从其他神经元传来的输入信号，wij表示表示从神经元j到神经元i的连接权值，&表示一个阈值 ( threshold )，或称为偏置( bias )。则神经元i的输出与输入的关系表示为：
yi表示神经元i的输出，函数f称为激活函数 ( Activation Function )或转移函数 ( Transfer Function ) ，net称为净激活(net activation)。若将阈值看成是神经元i的一个输入x0的权重wi0，则上面的式子可以简化为：
　　若用X表示输入向量，用W表示权重向量，即：
X = [ x0 , x1 , x2 , ....... , xn ]
　　则神经元的输出可以表示为向量相乘的形式：
&&&&&& 若神经元的净激活net为正，称该神经元处于激活状态或兴奋状态(fire)，若净激活net为负，则称神经元处于抑制状态。
&&&&&& 图1中的这种&阈值加权和&的神经元模型称为M-P模型 ( McCulloch-Pitts Model )，也称为神经网络的一个处理单元( PE, Processing Element )。
2. 常用激活函数&
&&&&&& 激活函数的选择是构建神经网络过程中的重要环节，下面简要介绍常用的激活函数。
(1) 线性函数
( Liner Function )
(2) 斜面函数
( Ramp Function )
(3) 阈值函数
( Threshold Function )
&&&&&& 以上3个激活函数都属于线性函数，下面介绍两个常用的非线性激活函数。
(4) S形函数
( Sigmoid Function )
　　该函数的导函数：
(5) 双极S形函数&
　　该函数的导函数：
　　S形函数与双极S形函数的图像如下：
图3. S形函数与双极S形函数图像
　　双极S形函数与S形函数主要区别在于函数的值域，双极S形函数值域是(-1,1)，而S形函数值域是(0,1)。
　　由于S形函数与双极S形函数都是可导的(导函数是连续函数)，因此适合用在BP神经网络中。（BP算法要求激活函数可导）
3. 神经网络模型&
&&&&&& 神经网络是由大量的神经元互联而构成的网络。根据网络中神经元的互联方式，常见网络结构主要可以分为下面３类：
(1) 前馈神经网络　(　Feedforward Neural Networks )
&&&&&& 前馈网络也称前向网络。这种网络只在训练过程会有反馈信号，而在分类过程中数据只能向前传送，直到到达输出层，层间没有向后的反馈信号，因此被称为前馈网络。感知机( perceptron)与BP神经网络就属于前馈网络。
&&&&&& 图4 中是一个3层的前馈神经网络，其中第一层是输入单元，第二层称为隐含层，第三层称为输出层（输入单元不是神经元，因此图中有2层神经元）。
图4. 前馈神经网络
　　对于一个3层的前馈神经网络N，若用X表示网络的输入向量，W1~W3表示网络各层的连接权向量，F1~F3表示神经网络3层的激活函数。
　　那么神经网络的第一层神经元的输出为：
O1 = F1( XW1 )
　　第二层的输出为：
O2 = F2 ( F1( XW1 ) W2 )
　　输出层的输出为：
O3 = F3( F2 ( F1( XW1 ) W2 ) W3 )
&&&&&& 若激活函数F1~F3都选用线性函数，那么神经网络的输出O3将是输入X的线性函数。因此，若要做高次函数的逼近就应该选用适当的非线性函数作为激活函数。
(2) 反馈神经网络　(　Feedback Neural Networks )
&&&&&& 反馈型神经网络是一种从输出到输入具有反馈连接的神经网络，其结构比前馈网络要复杂得多。典型的反馈型神经网络有：Elman网络和Hopfield网络。
图5. 反馈神经网络
(3) 自组织网络 ( SOM ,Self-Organizing Neural Networks )
&&&&&& 自组织神经网络是一种无导师学习网络。它通过自动寻找样本中的内在规律和本质属性，自组织、自适应地改变网络参数与结构。
图6. 自组织网络
4. 神经网络工作方式&
&&&&&& 神经网络运作过程分为学习和工作两种状态。
(1)神经网络的学习状态&
&&&&&& 网络的学习主要是指使用学习算法来调整神经元间的联接权，使得网络输出更符合实际。学习算法分为有导师学习( Supervised Learning )与无导师学习( Unsupervised Learning )两类。
&&&&&& 有导师学习算法将一组训练集 ( training set )送入网络，根据网络的实际输出与期望输出间的差别来调整连接权。有导师学习算法的主要步骤包括：
1）& 从样本集合中取一个样本（Ai，Bi）；
2）& 计算网络的实际输出O；
3）& 求D=Bi-O；
4）& 根据D调整权矩阵W；
5） 对每个样本重复上述过程，直到对整个样本集来说，误差不超过规定范围。
　　BP算法就是一种出色的有导师学习算法。
&&&&&& 无导师学习抽取样本集合中蕴含的统计特性，并以神经元之间的联接权的形式存于网络中。
&&&&&& Hebb学习律是一种经典的无导师学习算法。
(2) 神经网络的工作状态&
&&&&&& 神经元间的连接权不变，神经网络作为分类器、预测器等使用。
　　下面简要介绍一下Hebb学习率与Delta学习规则 。
(3) 无导师学习算法：Hebb学习率&
　　Hebb算法核心思想是，当两个神经元同时处于激发状态时两者间的连接权会被加强，否则被减弱。&
&&&&&& 为了理解Hebb算法，有必要简单介绍一下条件反射实验。巴甫洛夫的条件反射实验：每次给狗喂食前都先响铃，时间一长，狗就会将铃声和食物联系起来。以后如果响铃但是不给食物，狗也会流口水。
图7. 巴甫洛夫的条件反射实验
　　受该实验的启发，Hebb的理论认为在同一时间被激发的神经元间的联系会被强化。比如，铃声响时一个神经元被激发，在同一时间食物的出现会激发附近的另一个神经元，那么这两个神经元间的联系就会强化，从而记住这两个事物之间存在着联系。相反，如果两个神经元总是不能同步激发，那么它们间的联系将会越来越弱。
　　Hebb学习律可表示为：
&&&&&& 其中wij表示神经元j到神经元i的连接权，yi与yj为两个神经元的输出，a是表示学习速度的常数。若yi与yj同时被激活，即yi与yj同时为正，那么Wij将增大。若yi被激活，而yj处于抑制状态，即yi为正yj为负，那么Wij将变小。
(4) 有导师学习算法：Delta学习规则
　　Delta学习规则是一种简单的有导师学习算法，该算法根据神经元的实际输出与期望输出差别来调整连接权，其数学表示如下：
&&&&&& 其中Wij表示神经元j到神经元i的连接权，di是神经元i的期望输出，yi是神经元i的实际输出，xj表示神经元j状态，若神经元j处于激活态则xj为1，若处于抑制状态则xj为0或－1（根据激活函数而定）。a是表示学习速度的常数。假设xi为1，若di比yi大，那么Wij将增大，若di比yi小，那么Wij将变小。
&&&&&& Delta规则简单讲来就是：若神经元实际输出比期望输出大，则减小所有输入为正的连接的权重，增大所有输入为负的连接的权重。反之，若神经元实际输出比期望输出小，则增大所有输入为正的连接的权重，减小所有输入为负的连接的权重。这个增大或减小的幅度就根据上面的式子来计算。
(5)有导师学习算法：BP算法&
　　采用BP学习算法的前馈型神经网络通常被称为BP网络。
图8. 三层BP神经网络结构
　　BP网络具有很强的非线性映射能力，一个3层BP神经网络能够实现对任意非线性函数进行逼近（根据Kolrnogorov定理）。一个典型的3层BP神经网络模型如图7所示。
　　BP网络的学习算法占篇幅较大，我打算在下一篇文章中介绍。
第二节、神经网络实现&
1. 数据预处理&
&&&&&& 在训练神经网络前一般需要对数据进行预处理，一种重要的预处理手段是归一化处理。下面简要介绍归一化处理的原理与方法。
(1) 什么是归一化？&
数据归一化，就是将数据映射到[0,1]或[-1,1]区间或更小的区间，比如(0.1,0.9) 。
(2) 为什么要归一化处理？&
&1&输入数据的单位不一样，有些数据的范围可能特别大，导致的结果是神经网络收敛慢、训练时间长。
&2&数据范围大的输入在模式分类中的作用可能会偏大，而数据范围小的输入作用就可能会偏小。
&3&由于神经网络输出层的激活函数的值域是有限制的，因此需要将网络训练的目标数据映射到激活函数的值域。例如神经网络的输出层若采用S形激活函数，由于S形函数的值域限制在(0,1)，也就是说神经网络的输出只能限制在(0,1)，所以训练数据的输出就要归一化到[0,1]区间。
&4&S形激活函数在(0,1)区间以外区域很平缓，区分度太小。例如S形函数f(X)在参数a=1时，f(100)与f(5)只相差0.0067。
(3) 归一化算法&
　　一种简单而快速的归一化算法是线性转换算法。线性转换算法常见有两种形式：
&&&&&& &1&
y = ( x - min )/( max - min )
　　其中min为x的最小值，max为x的最大值，输入向量为x，归一化后的输出向量为y 。上式将数据归一化到 [ 0 , 1 ]区间，当激活函数采用S形函数时（值域为(0,1)）时这条式子适用。
&&&&&& &2&
y = 2 * ( x - min ) / ( max - min ) - 1
&&&&&& 这条公式将数据归一化到 [ -1 , 1 ] 区间。当激活函数采用双极S形函数（值域为(-1,1)）时这条式子适用。
(4) Matlab数据归一化处理函数&
　　Matlab中归一化处理数据可以采用premnmx ， postmnmx ， tramnmx 这3个函数。
&1& premnmx
语法：[pn,minp,maxp,tn,mint,maxt] = premnmx(p,t)
pn： p矩阵按行归一化后的矩阵
minp，maxp：p矩阵每一行的最小值，最大值
tn：t矩阵按行归一化后的矩阵
mint，maxt：t矩阵每一行的最小值，最大值
作用：将矩阵p，t归一化到[-1,1] ，主要用于归一化处理训练数据集。
&2& tramnmx
语法：[pn] = tramnmx(p,minp,maxp)
minp，maxp：premnmx函数计算的矩阵的最小，最大值
pn：归一化后的矩阵
作用：主要用于归一化处理待分类的输入数据。
&3& postmnmx
语法： [p,t] =
postmnmx(pn,minp,maxp,tn,mint,maxt)
minp，maxp：premnmx函数计算的p矩阵每行的最小值，最大值
mint，maxt：premnmx函数计算的t矩阵每行的最小值，最大值
作用：将矩阵pn，tn映射回归一化处理前的范围。postmnmx函数主要用于将神经网络的输出结果映射回归一化前的数据范围。
2. 使用Matlab实现神经网络&
使用Matlab建立前馈神经网络主要会使用到下面3个函数：
newff ：前馈网络创建函数
train：训练一个神经网络
sim ：使用网络进行仿真
&下面简要介绍这3个函数的用法。
(1) newff函数
&1&newff函数语法&
&&&&&& newff函数参数列表有很多的可选参数，具体可以参考Matlab的帮助文档，这里介绍newff函数的一种简单的形式。
语法：net = newff ( A, B, {C} ,&trainFun&)
A：一个n&2的矩阵，第i行元素为输入信号xi的最小值和最大值；
B：一个k维行向量，其元素为网络中各层节点数；
C：一个k维字符串行向量，每一分量为对应层神经元的激活函数；
trainFun ：为学习规则采用的训练算法。
&2&常用的激活函数
　　常用的激活函数有：
　　a) 线性函数 (Linear transfer function)
　　该函数的字符串为&purelin&。
b) 对数S形转移函数( Logarithmic sigmoid transfer function )
&&& 该函数的字符串为&logsig&。
c) 双曲正切S形函数 (Hyperbolic tangent sigmoid transfer function )
　　也就是上面所提到的双极S形函数。
　　该函数的字符串为& tansig&。
　　Matlab的安装目录下的toolbox\nnet\nnet\nntransfer子目录中有所有激活函数的定义说明。
&3&常见的训练函数
&&& 常见的训练函数有：
traingd ：梯度下降BP训练函数(Gradient descent
backpropagation)
traingdx ：梯度下降自适应学习率训练函数
&4&网络配置参数
一些重要的网络配置参数如下：
net.trainparam.goal &：神经网络训练的目标误差
net.trainparam.show &&： 显示中间结果的周期
net.trainparam.epochs 　：最大迭代次数
net.trainParam.lr && ： 学习率
(2) train函数
&&& 网络训练学习函数。
语法：[ net, tr, Y1, E ]& = train( net, X, Y )
X：网络实际输入
Y：网络应有输出
tr：训练跟踪信息
Y1：网络实际输出
E：误差矩阵
(3) sim函数
语法：Y=sim(net,X)
X：输入给网络的Ｋ&N矩阵，其中K为网络输入个数，N为数据样本数
Y：输出矩阵Q&N，其中Q为网络输出个数
(4) Matlab BP网络实例&
&&&&&& 我将Iris数据集分为2组，每组各75个样本，每组中每种花各有25个样本。其中一组作为以上程序的训练样本，另外一组作为检验样本。为了方便训练，将3类花分别编号为1，2，3 。
　　使用这些数据训练一个4输入（分别对应4个特征），3输出（分别对应该样本属于某一品种的可能性大小）的前向网络。
&&&&&& Matlab程序如下：
%读取训练数据[f1,f2,f3,f4,class] = textread('trainData.txt' , '%f%f%f%f%f',150);%特征值归一化[input,minI,maxI] = premnmx( [f1 , f2 , f3 , f4 ]')%构造输出矩阵s = length( class) ;output = zeros( s , 3
) ;for i = 1 : s
output( i , class( i )
) = 1 ;end%创建神经网络net = newff( minmax(input) , [10 3] , { 'logsig' 'purelin' } , 'traingdx' ) ; %设置训练参数net.trainparam.show = 50 ;net.trainparam.epochs = 500 ;net.trainparam.goal = 0.01 ;net.trainParam.lr = 0.01 ;%开始训练net = train( net, input , output' ) ;%读取测试数据[t1 t2 t3 t4 c] = textread('testData.txt' , '%f%f%f%f%f',150);%测试数据归一化testInput = tramnmx ( [t1,t2,t3,t4]' , minI, maxI ) ;%仿真Y = sim( net , testInput ) %统计识别正确率[s1 , s2] = size( Y ) ;hitNum = 0 ;for i = 1 : s2
[m , Index] = max( Y( : ,
hitNum = hitNum + 1 ;
endendsprintf('识别率是 %3.3f%%',100 * hitNum / s2 )
　　以上程序的识别率稳定在95%左右，训练100次左右达到收敛，训练曲线如下图所示：
图9. 训练性能表现
(5)参数设置对神经网络性能的影响&
&&&&&& 我在实验中通过调整隐含层节点数，选择不通过的激活函数，设定不同的学习率，
&1&隐含层节点个数&
　　隐含层节点的个数对于识别率的影响并不大，但是节点个数过多会增加运算量，使得训练较慢。
&2&激活函数的选择&
&&&&&& 激活函数无论对于识别率或收敛速度都有显著的影响。在逼近高次曲线时，S形函数精度比线性函数要高得多，但计算量也要大得多。
&3&学习率的选择&
&&&&&& 学习率影响着网络收敛的速度，以及网络能否收敛。学习率设置偏小可以保证网络收敛，但是收敛较慢。相反，学习率设置偏大则有可能使网络训练不收敛，影响识别效果。
3. 使用AForge.NET实现神经网络&
(1) AForge.NET简介&
&&&&&& AForge.NET是一个C#实现的面向人工智能、计算机视觉等领域的开源架构。AForge.NET源代码下的Neuro目录包含一个神经网络的类库。
AForge.NET主页：
AForge.NET代码下载：
Aforge.Neuro工程的类图如下：
图10. AForge.Neuro类库类图
下面介绍图9中的几个基本的类：
神经元的抽象基类
Layer & 层的抽象基类，由多个神经元组成
Network &神经网络的抽象基类，由多个层（Layer）组成
IActivationFunction - 激活函数（activation function）的接口
IUnsupervisedLearning - 无导师学习（unsupervised learning）算法的接口ISupervisedLearning - 有导师学习（supervised learning）算法的接口
(2)使用Aforge建立BP神经网络&
&&&&&& 使用AForge建立BP神经网络会用到下面的几个类：
&1& &SigmoidFunction ： S形神经网络
　　构造函数：public SigmoidFunction( double
　　 参数alpha决定S形函数的陡峭程度。
&2&& ActivationNetwork　：神经网络类
　　构造函数：
　　public ActivationNetwork( IActivationFunction function, int inputsCount, params
int[] neuronsCount )
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& : base(
inputsCount, neuronsCount.Length )
　　public virtual double[] Compute( double[]
参数意义：
inputsCount：输入个数
neuronsCount　：表示各层神经元个数
&3&& BackPropagationLearning：BP学习算法
&构造函数：
public BackPropagationLearning( ActivationNetwork network )
&参数意义：
network ：要训练的神经网络对象
BackPropagationLearning类需要用户设置的属性有下面2个：
learningRate ：学习率
momentum ：冲量因子
下面给出一个用AForge构建BP网络的代码。
// 创建一个多层神经网络，采用S形激活函数，各层分别有4,5,3个神经元//(其中4是输入个数，3是输出个数，5是中间层结点个数)ActivationNetwork network = new ActivationNetwork(
new SigmoidFunction(2), 4, 5, <span style="color: #800080;" color="#);// 创建训练算法对象BackPropagationLearning teacher = newBackPropagationLearning(network);// 设置BP算法的学习率与冲量系数teacher.LearningRate = 0.1;teacher.Momentum = 0;int iteration = 1 ; // 迭代训练500次while( iteration & 500 ) {
teacher.RunEpoch( trainInput , trainOutput ) ;
++}//使用训练出来的神经网络来分类，t为输入数据向量network.Compute(t)[0]
&&&&&& 改程序对Iris 数据进行分类，识别率可达97%左右 。
　　文章来自： &
　　转载请保留出处，thx！
[1] Andrew
Kirillov. Neural Networks on C#. [Online]. &&
[2] Sacha Barber. AI
: Neural Network for beginners. [Online].
[3] Richard O.
Duda, Peter E. Hart and David G. Stork. 模式分类. 机械工业出版社. 2010.4
[4] Wikipedia. Iris
flower data set. [Online].&&&&&&