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高数求极限的种方法极限的保号性很重要，
（i），则有，使得当时，；
（ii）使得当时，。
2.极限分为极限数列极限时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在：
（i）是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”
(iv)单调有界准则
（v））存在的充分必要条件是：
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小只能在乘除时候使用L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）??
它的使用有严格的使用前提必须X趋近而不是N趋近所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷必须是函数的导数要存在假如告诉g（x）,没告诉是否可导，必须是0比0无穷大比无穷大注意分母不能为0法则分为3情况）”“”时候直接用”“”，应为无穷大无穷小成倒数的关系所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后就能变成中的形式了；
(iii)“”“”“”对于方法主要是取指数还取对数的方法，，这样就能把上的函数移下来了，”型未定式。
3.泰勒公式(含有的时候，含有正余的加减的时候）? ?；
ln（1+x）=x-
以上公式对题目简化有很好帮助，
(i)（ii），则
5.无穷小有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了夹逼定理主要是数列极限放缩和扩大。，，求
解：由于，由夹逼定理可知
解：由，以及可知，原式=0
解：由,以及得，原式=1
7.数列极限中等比等差数列公式应用（q绝对值要小于1）
。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。
8.数列极限中各项的拆分相加可以使用待定系数法来拆分化简=
9.利用极限相同求极限。例如：
（1）已知，且已知存在，求该极限值。
解:设=A，（显然A）则，即，解得结果并舍去负值得A=1+
（2）利用单调有界的性质
解：（i）（ii）则，即。所以，是单调递增数列，且有上界，收敛。设，（显然则，即。解方程并舍去负值得A=2.即
10.两个重要极限的应用。?）” 型未定式
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11.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的快于n！,n！快于指数型函数(b为常数)，指数函数快于幂函数快于对数函数当x趋近无穷的时候们比值的极限换元法是一种技巧，对一道题目而言就只需要换元但是换元会夹杂其中。解：设。
13．利用定积分求数列极限。例如：求极限。由于，所以
14.利用导数的定义求”型未定式极限一般都是x0时候，分子上”的形式看见了（当题目中告诉你时就是暗示一定要用导数定义）存在，求
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高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设x?x0（i）若A?0，则有??0，使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0； （ii）若有??0,使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0,则A?0。2.限是否存在在：limf(x)?A，a的 （i）数列?xn?（ii）f(x)x??(iii)limx?x0limf(x)? (iv)单调有界准则（v （vi）柯西收必要条件是：???0,?1.2.洛必达（L’ x趋近告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0?”“”时候直接用 0?(ii)“0??”“???”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通（i）“?项之后，就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)?f(x)或f(x)g(x)?g(x)；g(x)f(x)f(x)?g(x)?11g(x)f(x)f(x)g(x)11(iii)“0”“1”“?”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0??”型未定式。0?0f(x)g(x)?eg(x)lnf(x)，3.泰勒公式(含有ex的时候，含有正余弦的加减的时候）x2xne?xe?1?x?????xn?1 ；2!n!(n?1)!xx3x5x2m?1cos?x2m?3msinx?x?????(?1)?(?1)m?1x3!5!(2m?1)!(2m?3)!2mx2x4cos?x2m?2mx cos=1?????(?1)?(?1)m?1x2!4!(2m)!(2m?2)!nx2x3xn?1n?1xn4.5.6.1）设a?b?c?0，xn?n??n??xn?an???? （2）求lim?12?12???12?(n?1)(2n)?n???n解：由0?1?2n111111????2?2???2?，以及22n(n?1)(2n)nnnlim0?limn??n??1?0可知，原式=0 n?1(3)求lim???2n???n?1解：由1n2?2????? ?2n?n?1,以及n????1??????????nnnn?2n2?1n2?nn2?nn2?nn2?nn2?n1n7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如：n??n??lim1?limnn?n2?limn??1??1得，原式=1求lim?1?2x?3xn??2???nxn?1 (|x|?1)。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。?8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：=lim??1?2?2?3???n(n?1)??lim?1?2?2?3???????n???111??111n?????lim?1??1 ??n?1)?n???n?1)??9.利用xx与xn?1极限相同求极限。例如：（1）已知a1?2,an?1?2?1，且已知an存在，求该极限值。 lim A=1+2 （2 xk?xk?1?2。所以，?A2?A?2?0。10. （i11.n快于n！,n！快12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限narccosx??limx?0。解：设t?arccosx??,则x?0时，t?0,且x?cos(t??)??sint。22sin2x2xsin2xarccosx?2x??limx?0arccosx?2x??limt?0原式=limx?0t1???2sint211111?13．利用定积分求数列极限。例如：求极限lim??n，所以??????。由于n?in?2n?n?n???n?11?n????1???????????ln2 ??limlim?1n?n1xn?2n?n?n???n???n?11?1???nn??14.利用导数的定义求“0”型未定式极限。一般都是x?0时候，分子上是“f(a?x)?f(a)”的形式，看见了这'种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你f（a）?m告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上就是暗示一定要用导数定义）例:设f(a)?0,f(a)存在，求limn??'??1??fa????n?????fa????n解：原式=limn??=limn??本文由()首发，转载请保留网址和出处！
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3秒自动关闭窗口高等数学求极限的14种方法；一、极限的定义；1.极限的保号性很重要：设；x?x0（i）若A?0，则有??0，使得当0?|；x??x?????x???(iii)x?x0li；0?”“”时候直接用0?(ii)“0??”“??；（i）“；?项之后，就能变成(i)中的形式了；f(x)?g(x)?111g(x)f(x)f(x；x2xne?xe?1?x?????xn?1
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设x?x0（i）若A?0，则有??0，使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0； （ii）若有??0,使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0,则A?0。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x??时函数的极限和x?x0的极限。要特别注意判定极限是否存在在：
（i）数列?xn?收敛于a的充要条件是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”
（ii）limf(x)?A?limf(x)?lim?A limf(x)?A， x??x?????x??? (iii)x?x0limf(x)?A?x?x0limx?x0lim?A ? (iv)单调有界准则 （v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限limx?x0f(x)存在的充分必要条件是：o???0,???0,使得当x1、x2?U?(x0)时，恒有|f(x1)?f(x2)|?? 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。 ．．2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 洛必达法则（定理）
设函数f(x）和F(x）满足下列条件：
⑴x→a时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;
⑵在点a的某去心邻域内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的导数不等于0;
⑶x→a时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大
则 x→a时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 注：
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： 0?”“”时候直接用 0?(ii)“0??”“???”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通（i）“1
?项之后，就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)?f(x)或f(x)g(x)?g(x)；g(x)f(x) f(x)?g(x)?111g(x)f(x)f(x)g(x)11(iii)“0”“1”“?”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0??”型未定式。 3.泰勒公式(含有e的时候，含有正余弦的加减的时候） x0?0f(x)g(x)?eg(x)lnf(x)，x2xne?x
e?1?x?????xn?1 ； 2!n!(n?1)!xx3x5x2m?1cos?x2m?3m sinx?x?????(?1)?(?1)m?1x3!5!(2m?1)!(2m?3)!2mx2x4cos?x2m?2mx
cos=1? ????(?1)?(?1)m?1x2!4!(2m)!(2m?2)!nx2x3xn?1n?1xnln（1+x）=x- ????(?1)?(?1)23n(n?1)(1??x)n?1(1+x)=1?ux?uu(u?1)2x???Cunxn?Cun?1(1??x)u?n?1xn?1 2!以上公式对题目简化有很好帮助 4.两多项式相除:设an,bm均不为零， P（x）=anxn?an?1xn?1???a1x?a0,Q(x)?bmxm?bm?1xm?1???b1x?b0 ?an?b,(m?n)nP(x)P(x0)P(x)?? (i)（ii）若，则 Q(x)?0?0limQ(x)??0,(n?m)Q(x)Q(x)0x?x0??,(n?m)x?????lim5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。 面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。 6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设a?b?c?0，xn?nan?bn?cn，求limxn n??
解：由于a?xn?an3,以及
（2）求lima?a,lim(an??n??n3)?a，由夹逼定理可知limxn?a n??limn???111? ?????n2(n?1)2(2n)2???2
解：由0?1?2n111111，以及?????????(n?1)2(2n)2n2n2n2nlimn??0?limn??1?0可知，原式=0 n
(3)求lim?n???1?11? ?????2?22n?2n?n??n?n????1??????????nnnn?2n2?1n2?nn2?nn2?nn2?nn2?n解：由,以及1n7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如： n??n??lim1?limnn?n2?limn??11??1得，原式=1
求lim?1?2x?3xn??2???nxn?1
(|x|?1)。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。 ?8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：
?111?=?111????????1??????1n?1(n?1)??lim??1?1(n?1)???1 limlim?1?22?3???n(n?1)?n???223?n??n???9.利用xx与xn?1极限相同求极限。例如：
（1）已知a1?2,an?1?2?1，且已知liman存在，求该极限值。 ann??
解:设liman=A，（显然A?0）则A?2?1，即A2?2A?1?0，解得结果并舍去负值得A=1+2 n??A
（2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
设x1?2,x2?2?2,?,xn?2?xn?1,求limxn n??
解：（i）显然x1?x2?2（ii）假设xk?1?xk?2,则2?xk?1?2?xk?2?2，即xk?xk?1?2。所以，2?A，即A2?A?2?0。?xn?是单调递增数列，且有上界，收敛。设lim?A，（显然A?0)则A?n??解方程并舍去负值得A=2.即limxn?2 n?? 10.两个重要极限的应用。
（i）limx?0sinx?1 常用语含三角函数的“0” 型未定式 0x1(ii)lim?1?x?x?e，在“1”型未定式中常用 ?x?011.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的，n快于n！,n！快于指数型函数b(b为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x趋近无穷的时候，它们比值的极限就可一眼看出。 12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限nnlimx?0arccosx??2。解：设t?arccosx??,则x?0时，t?0,且x?cos(t??)??sint。 22sin2x3
原式=limx?02xsin2xarccosx?2x?2?limx?0arccosx?2x?2?limt?0t1?? ?2sint21n111?。由于113．利用定积分求数列极限。例如：求极限lim?，所以???????in?in?1n?2n?n?n???1?n??????lim?n?n?lim?n?1n?2n??n???111????121???1?1?ln2 ??1n?n?1x?1???1?nn??14.利用导数的定义求“0”型未定式极限。一般都是x?0时候，分子上是“f(a?x)?f(a)”的形式，看见了这0'种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你f（a）?m告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上就是暗示一定要用导数定义） 例:设f(a)?0,f(a)'??1??fa?????n??? 存在，求lim?f?a??n???????nn解：原式=limn????1????fa??fa????n???1???limf(a)??n??????1f(a?)?f(a)1n1f(a)nf'(a)f(a)1??f(a?)?f(a)??n1???f(a)????f(a)?1f(a?)?f(a)n1f(a?)?f(a)nnf(a)
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