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空间直角坐标系整理
空间直角坐标系个人整理2．3．1空间直角坐标系一、教材知识解析 1、 空间直角坐标系的定义： 从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴， 这样就建立了空间直角坐标系 O-xyz， 点 O 叫做坐标原点， x 轴、 y 轴和 z 轴叫做坐标轴， 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为 xOy 平面、yOz 平面和 xOz 平面。 2、右手直角坐标系及其画法： （1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方 向，若中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。教材上所指的都 是右手直角坐标系。 （2）画法： 将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与 y 轴、x 轴与 z 轴均成 135°，而 z 轴垂直于 y 轴，y 轴和 z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为 y 轴（或 z 轴）的 长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。 3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为 x、y、z，我们把有序实数组（x， y，z）叫做点 A 的坐标，记为 A（x，y，z） 。 二、题型解析： 题型 1、在空间直角坐标系下作点。 z 例 1、在空间直角坐标系中，作出 M(4,2,5). 解：法一：依据平移的方法，为了作出 M(4,2,5)， M 可以按如下步骤进行： （1）在 x 轴上取横坐 标为 4 的点 M 1 ； （2）将 M 1 在 xoy 平面内沿 与 y 轴平行的方向向右移动 2 个单位，得到x M1 4 2 M2 5 O y点 M2 ； （3）将 M 2 沿与 z 轴平行的方向向上 移动 5 个单位，就可以得到点 M（如图） 。 法二：以 O 为一个顶点，构造三条棱长分别为 4，2，5 的长方体，使此长方体在点 O 处的三 条棱分别在 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴、 z 轴的正半轴上，则长方体与顶点 O 相对的 顶点即为所求的点 M。 法三：在 x 轴上找到横坐标为 4 的点，过此点作与 x 垂直的平面 ? ；在 y 轴上找到纵坐标为 2 的点，过此点作与 y 垂直的平面 ? ；在 z 轴上找到竖坐标为 5 的点，过此点作与 z 垂直 的平面 ? ；则平面 ? ? ? ? ? 交于一点，此交点即为所求的点 M 的位置。 【技巧总结】 ： （1）若要作出点 M ( x0 , y0 , z0 ) 的坐标有两个为 0，则此点是坐标轴上的点，可 直接在坐标轴上作出此点； （2）若要作出点 M ( x0 , y0 , z0 ) 的坐标有且只有一个为 0，则此点不在坐标轴上，但在某一坐 标平面内，可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。 （3）若要作出点 M ( x0 , y0 , z0 ) 的坐标都不为 0，则需要按照一定的步骤作出该点，一般有三 种方法： ①在 x 轴上取横坐标为 x0 的点 M 1 ； 再将 M 1 在 xoy 平面内沿与 y 轴平行的方向 向左（ y0 ? 0 ）或向右（ y0 ? 0 ）平移 | y0 | 个单位，得到点 M 2 ；再将 M 2 沿与 z 轴平1空间直角坐标系个人整理行的方向向上 （ z0 ? 0 ） 或向下 （ z0 ? 0 ） 平移 | z0 | 个单位， 就可以得到点 M ( x0 , y0 , z0 ) 。 ②以 O 为一个顶点，构造三条棱长分别为 | x0 |,| y0 |,| z0 | 的长方体（三条棱长的位置要 与 x0 , y0 , z0 的符号一致） ，则长方体与顶点 O 相对的顶点即为所求的点 M。 ③ 先 在 x 轴 上 找 到 点 M1 ( x0 ,0,0) ， 过 M 1 作 与 x 垂 直 的 平 面 ? ； 在 y 轴 上 找 到 点M 2 (0, y0 ,0) ，过 M 2 作与 y 垂直的平面 ? ；在 z 轴上找到点 M 3 (0,0, z0 ) ，过 M 3 作与 z垂直的平面 ? ，则平面 ? ? ? ? ? 交于一点，此交点即为所求的点 M 的位置。 【变式与拓展】 1．1 在空间直角坐标系下作出点（-2，1，4）z M(-2,1,5)M1 OM2yx1．2 在同一坐标系下作出下列各点：A（3，0，0） ，B（0，0，-3） ，C（2，3，0） ，D（4，2， 3） ，E（4，-2，3）zE -2 -1 A x 3 4 2D O 1 C 1 2 3 yB -3Z题型 2、在空间直角坐标系下求出点的坐标表示 例 2、如图，在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中，E，F 分别是 BB1 , B1D1 的中点，棱长为 1，求 E、F 点的坐标。 解：法一：E 点在点 xoy 面上的射影为 B，B（1，1， 0） ，竖坐标为A A1D1 F B1C1E D(O) B C YX1 1 ，? E (1,1, ) 。 2 22空间直角坐标系个人整理F 在在点 xoy 面上的射影为 BD 的中点为 G ( ,1 1 1 1 , 0) ，竖坐标为 1，? F ( , ,1) 2 2 2 2法二： B1 (1,1,1), D1 (0,0,1), B(1,1,0) ，E 为 BB1 中点，F 为 B1D1 的中点。 故 E 的坐标为 (1?1 1?1 1? 0 1 1? 0 1? 0 1?1 1 1 , , ) ? (1,1, ) ，F 的坐标为 ( , , ) ? ( , ,1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2【技巧总结】 ： （1）确定空间直角坐标系下点 M 的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平 行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求 空间点的坐标的关键。 （ 2 ） 空 间 直 角 坐 标 系 下 ， 点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 与 P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 的 中 点 为P(x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 2 2 2Z D1 B1 C1【变式与拓展】 2．1 、如图，长方体 ABCD ? A OA=6，OC=8， 1B 1C1D 1 中，A1（1）写出点 A1 , B1 , C1 , D1 的坐标。 OD1 ? 5 ， （2）若点 G 是线段 BD1 的中点，求点 G 的坐标。 解： （1） D1 在 z 轴上，且 OD1 ? 5 ，即竖坐标是 5，横坐标 和纵坐标都为 0，所以点 D1 的坐标为（0，0，5） 。X A D(O)G C B Y点A 点 A 在 x 轴上， 且横坐标为 6，纵坐标为 0， 竖坐标和 D1 相 1 在平面 xoy 上的射影是 A， 同，所以点 A ，同理可得 B1 (6,8,5), C1 (0,8,5) 。 1 的坐标为（6，0，5） （2）由于 D1 （0，0，5） ，B（6，8，0） ，则 BD1 的中点 G 的坐标为（3，4， 2．2、如图，直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中，A1 C15 ） 2AA1 ? AB ? AC ? 2, ?BAC ? 900 ，M 是 CC1 的中点，Q 是 BC的中点，试建立空间直角坐标系，写出 B、C、C1 、M、Q 的坐标。 解：分别以 AB、AC、A A 1 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴 建立空间直角坐标系 A ? xyz ， （如图） ，则 B（2，0，0） ，C（0，2，0） ， C12 0 , ) ( M（0，2，1） ，Q（1，1，0）B x B1B1MA C Q Bz A1 C1MA C Q y3空间直角坐标系个人整理2．3、已知 P（2，1，3） ，求 M 关于原点对称的点 M 1 ，M 关于 xoy 平面对称的点 M 2 ，M 分别关于 x 轴、 y 轴对称的点 M3 , M 4 。 解：由于点 M 与 M 1 关于原点对称，即原点是点 M 与 M 1 的中点，所以 M 1 （-2，-1，-3） ； 点 M 与 M 2 关于 xoy 平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以 ；M 与 M 3 关于 x 轴对称，则 M 3 的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为 M 2 （2，1，-3） M 的相反数，即 M 3 （2，-1，-3） ，同理 M 4 （-2，1，-3） 。 三、基础练习0， 3) 在空间直角坐标系中的位置是在（ 1、点 (2，Ａ． y 轴上 Ｂ． xOy 平面上） Ｄ、 yOz 平面上Ｃ． xOz 平面上答案：Ｃ 解析：由于纵坐标为 0，故在平面 xOz 上 2、点 P( 1, 4, -3)与点 Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是（ ） A．( 4, 2, 2) B．(2, -1, 2) C．(2, 1 , 1) 答案：CD． （4, -1, 2)3、在空间直角坐标系中，点 P(1 ，2，3) ，过点 P 作平面 xOy 的垂线 PQ ，则 Q 的坐标为 （ ） Ｂ． (0，2，3) Ｃ． (1 ， 0，3) Ｄ． (1 ，2， 0)Ａ． (0，2， 0) 答案：D解析：由于垂足在平面 xOy 上，故竖坐标为 04、在空间直角坐标系中, 点 P(2,3,4)与 Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（ ） A．关于 x 轴对称 B．关于 xOy 平面对称 C．关于坐标原点对称 D．以上都不对 答案：B 解析：由于横坐标和纵坐标不变，竖坐标为相反数，故关于 xOy 平面对称 5、已知 ABCD 为平行四边形，且 A（4，1，3） ，B（2，－5，1） ，C（3，7，－5） ，则点 D 的 坐标为 解析：根据中点公式，AC 的中点为 G（ 所以 D（5，13，－3） 6、 如图， 长方体 OABC ? D'A'B'C' 中，OA ? 3 ，OC ? 4 ，7 ，4，-1） ，又 BD 的中点也是 G， 2zA'D' PC'B'OD' ? 3 ， A'C' 于 B'D' 相交于点 P ．分别写出 C ，B' ，P的坐标． 解：点 C 在 y 轴上，且 OC ? 4 ，故 C (0, 4, 0) ， 点 B' 在面 xoy 的射影为 B，且竖坐标为 3，故 B' (3, 4,3) ，C OA Byx4空间直角坐标系个人整理点 P 在面 xoy 的射影为矩形 OABC 的对角线的交点，横坐标和纵坐标是矩形 OABC 的长和 宽的一半，竖坐标和 B' 的一样，故 P ( , 2,3) 。 四、达标训练 1、在空间直角坐标系中, 点 P(3,4,5)关于 yOz 平面对称的点的坐标为（ ） A．(-3,4,5) B．(-3,- 4,5) C．(3,-4,-5) D．(-3,4,-5) 答案：A 2、在空间直角坐标系中，已知点 P（x，y，z） ，给出下列 4 条叙述： ①点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是（x，－y，z） ②点 P 关于 yOz 平面的对称点的坐标是（x，－y，－z） ③点 P 关于 y 轴的对称点的坐标是（x，－y，z） ④点 P 关于原点的对称点的坐标是（－x，－y，－z） 其中正确的个数是 A．3 答案：C B．2 C．1 D．0 （ ）3 23、如右图，棱长为 3a 正方体 OABC－ D ' A ' B ' C ' ，点 M 在 | B ' C ' | 上，且 | C ' M | ? 2 | MB ' | ，以 O 为坐标原点，建立如图空间直有坐 标系，则点 M 的坐标为 答案： (2a,3a,3a) 4、若三棱锥 P-ABC 各顶点坐标分别为 P（0，0，5） ，A（3，0，0） ， B（0，4，0） ，C（0，0，0） ，则三棱锥的体积为 。 答案：10 5、如右图，为一个正方体截下的一角 P－ABC， ．| PA |? a ， | PB |? b ， | PC |? c ，建立如图坐标系，求 AB 中点 E 的坐标 答案： ( , 0, ) 6、已知一长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的对称中心在坐标原点 O，交于同一顶点的三个面分别 平行于三个坐标平面，顶点 A（-2，-3，-1） ，求其他七个顶点的坐标。 解： B （-2， 3， -1） ， C （2， 3， -1） ， D （2， -3， -1） ，A ? ,,) 1 3 ,? (2 ,) 1 3 ,, ) 1 3 , 2 , (2 , () 1 3 , B1? 1 (2 _ _a 2c 2C1D1?7、 在四棱锥 P－ABCD 中， 底面 ABCD 为正方形， 且边长为 2 a ， 棱 PD⊥底面 ABCD，PD ? 2b ， 取各侧棱的中点 E，F，G，H，试建立空间直角坐标系，写出点 E，F，G，H 的坐标． Z 解: 由图形知，DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA，故以 D 为原点，建 P 立如图空间坐标系 D－xyz． 则 A(2a,0,0), B(2a, 2a,0), C(0, 2a,0), D(0,0,0), P(0,0, 2b) 因为 E，F，G，H 分别为侧棱中点，由中点的坐标公式可知，A B X H E D F C Y G5空间直角坐标系个人整理E (a,0, b), F (a, a, b), G(0, a, b), H (0,0, b)8、四棱锥 V ? ABCD 中，底面是边长为 4 且 ?ABC ? 60 的菱形，顶点 V 在底面的射影是0对角线的交点 O，VO=3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标。 解：由于菱形的对角线互相垂直，且 VO 垂直于底面， 则 VO,AO,BO 两两互相垂直，所以以分别以 OA,OB,OV 所在直线为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系（如图） 菱 形 ABCD 中 ， AB=4 ， 且 ?ABC ? 60 ， 则0z VOA=2,OB= 2 3 ， 而 A,B,C,D,V 都在坐标轴上， 且A （2， 0，0） ，B (0, 2 3,0) ，C(-2,0,0), D (0, ?2 3,0) , V（0,0,3）x D O AC yB2．3．2 一、教材知识解析空间两点间的距离1 、空间两点的距离公式：一般地，空间中任意两点 P 的距离为 1 ( x1 , y1 , z1 ), P 2 ( x2 , y2 , z2 )P ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2 1P 2 ?2、空间中点的轨迹 常见的点的轨迹方程有： （1） 方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? ( z ? c) ? r (r ? 0) 表示以点 (a, b, c) 为球心，r 为半径的球。2 2 2 2（2）方程 x ? y ? r 在空间坐标系中表示旋转轴为 z 轴的圆柱面，且到 z 轴的距离为 r 。2 2 2二、题型解析 题型一、直接利用两点间的距离公式解决有关问题。 例 1、求下列两点间的距离： （1）A（1，1，0） ，B（1，1，1） （2）C（-3，1，5） ，D（0，-2，3） 解： （1） AB ? （2） CD ?(1 ? 1) 2 ? (1 ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? 1 (?3 ? 0) 2 ? [1 ? (?2)]2 ? (5 ? 3) 2 ? 22【技巧总结】 ：使用两点间距离公式时，一定要注意公式中坐标的对应，同时注意符号。 【变式与拓展】 1．1 已知 A（1，-2，11） ，B（4，2，3） ，C（6，-1，4） ，试判断 ABC 的形状。 解：AB2 ? (4 ?1)2 ? [2 ? (?2)]2 ? (3 ?11)2 ? 89 BC 2 ? (4 ? 6)2 ? [2 ? (?1)]2 ? (3 ? 4)2 ? 146空间直角坐标系个人整理AC 2 ? (6 ?1)2 ? [?1 ? (?2)]2 ? (4 ?11)2 ? 75? BC 2 ? AC 2 ? AB2因此 ABC 是直角三角形1．2 在空间直角坐标系中，解决下列各题： （1）在 x 轴上求一点 P，使它与点 P 0 （4，1，2）的距离为 30 ； （2）在 xoy 平面内的直线 x ? y ? 1 上确定一点 M，使它到点 N（6，5，1）的距离最小， 并求出最小值。 解： （1）由于点 P 在 x 轴上，所以设 P( x,0,0) ，PP ( x? 4 2 ) ? 1? 4 ? 0 ?3 0 ?x ? x ? ?1 （双解问题需注意） 或9所以点 P 的坐标为（9，0，0）或（-1，0，0） （2）由已知可设 M ( x,1 ? x,0) ，则M N ? ( x? 6 2 ) ? ( 1? x ? 2 5) ? (0 ?2 1 ) ?2 x 2 (?1? )51所以当 x ? 1 时， MNmin ? 51 ，此时点 M（1，0，0） 1．3 求到点 A(1 , 0 ,1)与点 B(3 , -2 , 1)距离相等的点 P 的坐标满足的条件。 解：设点 P 的坐标为(x ,y , z) , 则 ( x ?1) 2 ? ( y ? 0) 2 ? ( z ?1) 2 ? ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ( z ?1) 2 , 化简得 4x-4y-3=0 即为所求. 题型 2、空间直角坐标系和两点间距离公式的综合应用。 例 2、 正方形 ABCD、 ABEF 的边长都是 1， 而且平面 ABCD 与平面 ABEF 互 相 垂 直 ， 点 M 在 AC 上 移 动 ， 点 N 在 BF 上 移 动 ， 若 CM=BN= a(0 ? a ? 2) 。当 a 为何值时，MN 的长度最短？ 解： 平面 ABCD ? 平面 ABEF，平面 ABCD 平面 ABEF=AB，N A F D M B ECAB ? BE,? BE ? 平面 ABCD。? AB、BC、BE 两两互相垂直，所以以 B 为原点，以 BA，BE，BC 所在直线为 x, y , z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系。则zCM(2 2 2 2 a, 0,1 ? a), N ( a, a, 0) 2 2 2 2D M B E y? MN ? (2 2 2 2 2 2 a? a) ? (0 ? a) ? (1 ? a ? 0)2 2 2 2 2xN A F7空间直角坐标系个人整理? a2 ? 2a ? 1 ? (a ?2 2 1 ) ? 2 2所以当 a ?2 2 时，|MN|最短为 ，此时，M、N 恰好为 AC，BF 的中点。 2 2【技巧总结】 ：考虑到几何图形中出现了两两互相垂直的三条直线，所以可以以此建立空间 直角坐标系，利用两点间距离公式可以求得线段 MN 的长度，并利用二次函数的最值，求 出 MM 的长度的最小值。体现了空间直角坐标系这一重要工具的应用。 【变式与拓展】 四棱锥 S-ABCD 的底面是矩形， AB ? a ，AD=2，SA=1，且 SA ? 底面 ABCD，若边 BC 上存在异于 B，C 的 P，使得 ?SPD 是直角，求 a 的值最大值。 解：以 A 为原点，射线 AB，AD，AS 分别为 x, y , z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则 A（0，0，0） 、S（0，0，1） 、D（0，2，0） 。 设 P(a, x,0)(0 ? x ? 2)Z S? SP2 ? (a ? 0)2 ? ( x ?1)2 ? (0 ?1)2 ? x2 ? a2 ? 1 PD2 ? (a ? 0)2 ? ( x ? 2)2 ? (0 ? 0)2 ? ( x ? 2)2 ? a2ASD2 ? (0 ? 0)2 ? (0 ? 2)2 ? (1 ? 0)2 ? 5BDY?SPD 是直角，? SP ? PD ? SD2 22PCX即 x ? a ? 1 ? ( x ? 2) ? a ? 5 ，?a ? x(2 ? x) ? 02 2 2 2 2?a2 ? x(2 ? x) ? ?( x ?1)2 ? 1当 x ? 1? (0, 2) 时， a 的最大值为 1。 三、基础练习： 1、若已知 A（1，1，1） ，B（－3，－3，－3） ，则线段 AB 的长为 A．4 3 答案：A 2．设 A（3，3，1） ，B（1，0，5） ，C（0，1，0） ，AB 的中点 M，则 | CM |? A． （ ） B．2 3 C．4 2 D．3 2 （ ）53 4B．53 2C．53 2D．13 2答案：C解析：AB 中点的坐标为（2，3 ，3） ，利用两点间距离公式可得。 2）3、点 B 是点 A（1，2，3）在坐标平面 yOz 内的射影，则 OB 等于（B A． 14 答案：BB． 13 C． 2 3 D． 11 点 A 在平面 yOz 的射影为 B（0，2，3） ，利用两点距离公式可得。8空间直角坐标系个人整理4、已知 A（1，2，3） ，B（3，3，m） ，C（0，－1，0） ，D（2，D1，D1） ，则（ A． | AB | & | CD | C． | AB | ≤ | CD | 答案：D2）B． | AB | & | CD | D． | AB | ≥ | CD |解析： CD ? 5 ， AB2 ? 5 ? (m ? 3)2 ? 55、已知点 A 的坐标是(1-t , 1-t , t), 点 B 的坐标是(2 , t, t), 则 A 与 B 两点间距离的 最小值为12 9 5 5 BD ' ABCD ? A ' B ' C ' D ' AC ' 6、如图，已知正方体 的棱长为 a，M 为 的中点，点 N 在 上，答案：3 5 5解析：AB ? (1 ? t ? 2) ? (1 ? t ? t ) ? (t ? t ) ? 5t ? 2t ? 2 ? 5(t ? ) ?2 2 2 2 2且 | A ' N |? 3 | NC ' | ，试求 MN 的长． 解：以 D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱 长为 a，所以 B（a，a，0） ，A'（a，0，a） ， C ' （0，a，a） ， D ' （0，0，a） ． 由于 M 为 BD ' 的中点，取 A ' C ' 中点 O'， 所以 M（a a a a a ， ， ） ，O'（ ， ，a）． 2 2 2 2 2因为 | A ' N |? 3 | NC ' | ，所以 N 为 A ' C ' 的四等分，从而 N 为 O ' C ' 的中点，故 N（ a ， 3 a ，a） ．4 4根据空间两点距离公式，可得a a a 3a a 6 ． | MN |? ( ? )2 ? ( ? )2 ? ( ? a)2 ? a 2 4 2 4 2 4 四、达标训练：1、已知 A(a, ?5, 2) 与 B（0，10，2）间的距离是 17，则 a 的值是（ A、6 答案：D B、 ?6 C、82 2）D、 ? 8解析： AB ? a ? 225 ? 0 ? 289 ? a ? ?8 ）2、设 A（3，6，9） ，B（-2，4，6） ，C（-7，2，-3） ，则 A，B，C 三点（ A、共线且点 A 在线段 BC 上 B、共线且 B 在线段 AC 上 C、共线且 C 在线段 AB 上 D、构成三角形 答案：D3 、已知长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的边长为 AB=3 ， AD=6 ， AA 1 ? 6 ， M 在 AC1 上，且AM ? 2MC1 ，N 为 BB1 的中点，则点 M、N 间的距离为A、3 答案；C（）B.2 3C. 3 2D.3 3解析：分别以 AB、AD、 AA1 所在的线段为 x, y , z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则可得9空间直角坐标系个人整理M（2，4，4） ，N（3，0，3） ，则 MN ? 1 ? 16 ? 1 ? 3 3 4．如图，三棱锥 A－BCD 中，AB⊥底面 BCD，BC⊥CD，且 AB=BC=1， CD=2，点 E 为 CD 的中点，则 AE 的长为（ ） A． 2 答案：B 5、已知空间两点 A（-3，-1，1） ，B（-2，2，3） ，在 OZ 轴上有一点 C，它与 A、B 两点的 距离相等，则 C 点的坐标是 答案： （0，0， B． 3 C． 2 D． 53 ） 26、点 B 是 A（3，-1，-4）关于 y 轴对称的点，则线段 AB 的长是 答案：10 解析：由题意知 B（-3，-1，4） ，则根据两点间的距离公式求得7、到两定点 A（2，3，0） 、B（5，1，0）距离相等的点的坐标 ( x, y, z ) 满足的条件是 答案： 6 x ? 4 y ? 13 ? 0 8、已知 A(1,2,-1),B(2,0,2) (1)在 x 轴上求一点 P，使|PA|=|PB|; (2)在 xoz 平面内的点 M 到 A 点与到 B 点的距离相等，求点 M 的轨迹。 解： （1）设 P(a,0,0) ，则由已知得(a ? 1) 2 ? (?2) 2 ? 12 ? ( a ? 2) 2 ? 2 2所以点 P 的坐标为（1，0，0） （2）设 M ( x,0, z) ，则即 a ? 2a ? 6 ? a ? 4a ? 8 ? a ? 12 2( x ? 1) 2 ? (?2) 2 ? ( z ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ? ( z ? 2) 2整理得 2 x ? 6 z ? 2 ? 0 即 x ? 3z ? 1 ? 0 故点 M 的估计是 xoz 平面内的一条直线。 9、在空间直角坐标系中，已知 A（3，0，1）和 B（1，0，－3） ，试问 （1）在 y 轴上是否存在点 M，满足 | MA |?| MB | ？ （2）在 y 轴上是否存在点 M，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点 M 坐标． 解：（1）假设在在 y 轴上存在点 M，满足 | MA |?| MB | ． 因Ｍ在 y 轴上，可设 M（0，y，0） ，由 | MA |?| MB | ，可得32 ? y 2 ? 12 ? 12 ? y 2 ? 32 ，显然，此式对任意 y ? R 恒成立．这就是说 y 轴上所有点都满足关系 | MA |?| MB | ．10空间直角坐标系个人整理（2）假设在 y 轴上存在点 M，使△MAB 为等边三角形． 由（1）可知，y 轴上任一点都有 | MA |?| MB | ，所以只要 | MA |?| AB | 就可以使得 △MAB 是等边三角形． 因为 | MA |? (3 ? 0) 2 ? (0 ? y) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 10 ? y 2| AB |? (1 ? 3) 2 ? (0 ? 0) 2 ? (?3 ? 1) 2 ? 202 于是 10 ? y ?20 ，解得 y ? ? 10故 y 轴上存在点 M 使△MAB 等边，M 坐标为（0， 10 ，0） ，或（0， ? 10 ，0） ． 10、在棱长为 2 的正方体 OABC ? O1 A 1B 1C1 的对角线 O 1B 上有一点 P，棱 B 1C1 上有一点 Q。 （1）当 Q 为 B1C1 的中点，点 P 在对角线 O1B 上运动时，试求|PQ|的最小值； （2）当 Q 在 B1C1 上运动，点 P 在对角线 O1B 上运动时，试求|PQ|的最小值。 解： (1)分别以 OA,OC, OO1 所在的线段为 x, y , z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系,(如图) Q 为 B1C1 的中点,所以 Q(1,2,2),P 在 xoy 平面上的射影落 在线段 OB 上,在 yoz 平面上的射影在线段 O1C 上,所以点 P 的坐 标 ( x, y, z ) 满足 ?A1 P O C A B Y O1 B1 Q Z C1?x ? y , ?z ? 2 ? yX设 P( x, x, 2 ? x) ,则| PQ |? ( x ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ? (? x) 2 ? 3 x 2 ? 6 x ? 5 ? 3( x ? 1) 2 ? 2当且仅当 x ? 1 时,即 P(1,1,1)时,|PQ|有最小值,|PQ|的最小值为 2 (2)由(1)和题意可设 P( x1 , x1 , 2 ? x1 ), Q( x2 , 2, 2) ,则| PQ |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? 2) 2 ? (? x1 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2( x1 ? 1) 2 ? 2当且仅当 ?? x1 ? x2 ? x1 ? 1 即? 时, |PQ|有最小值,|PQ|的最小值为 2. ? x2 ? 1 ? x2 ? 111
空间直角坐标系 ★知识梳理★ 1.右手直角坐标系 ①右手直角坐标系的建立规则: x 轴、 y 轴、 z 轴互相垂直,分别指向右手的拇指、食指、 中指; ②已知点的...空间点的坐标 1.在空间直角坐标系中,每两条轴分别确定的平面 xOy、yOz、xOz...整理得,-2y+26=-10y+29, 3 3 ∴ 8y=3,即 y= , ∴点 P 的坐标为(...掌握空间直角坐标系的有关概念; 会根据坐标找相应的点, 会写一些简单几何体顶点的有关坐标, 掌握空间两点间的距离公式,会应用距离公式解决有关问题。 2.通过空间...a+1?2+1, ?1+a?2+1 平方整理得 a=-1. 答案 D 4.经过圆 x2+y2=...点评:对于空间直角坐标系中的问题,可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解...空间直角坐标系[转载] 考纲要求:①了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系表示点的位置. ②会推导空间两点间的距离公式. 2.3.1-2 空间直角坐标系、空间两点间...空间直角坐标系_数学_高中教育_教育专区。专题 一、目标要求: 空间直角坐标系 1、空间直角坐标系(右手直角坐标系) ;2、空间直角坐标系的画法;3、空间中点的坐标...为此我们学习空间直角坐标系 z 特殊对称点的坐标:点 P(a,b,c) 对称轴(或中心或平面) 原点 X轴 Y轴 Z轴 Xoy 面 Yoz 面 Zox 面 试一试,在空间直角坐标...建立如图所示的空间直角坐标系.求 E、F 的坐标. 个性笔记 跟踪训练 1、设有长方体 ABCD-A′B′C′D′,如图所示,长,宽,高分别为|AB|=4 cm,|AD| =3 ...空间直角坐标系1_数学_高中教育_教育专区。必修2专题 空间直角坐标系教学要求: 使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点...其中 z 为任意实数. o 典例分类剖析考点 1 建立适当的空问直角坐标系,求点的坐标 命题规律 1/8 给定几何体,要求建立空间直角坐标系后,写出点的坐标. [例 ...
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空间直角坐标系教案
4.3.1空间直角坐标系
2015.07.25
知识与技能
1.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义
2.掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标及由坐标确定其在空间直角坐标系中的点。
过程与方法
由具体情境引入，培养学生从实际问题抽象出一般的结果的能力。用类比的数学思想方法探究空间直角坐标系的建立方法，让学生经历数学知识的发生与发展的过程，领悟数形结合的思想方法，培养学生的空间想象能力和确定性思维能力。
通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性；拓展学生的思维空间，感受数形结合的思想方法，体会现实世界相互联系、发展的辩证观点，培养学生学习数学的兴趣。
空间直角坐标系的理解，由空间直角坐标系内的点确定其坐标及由坐标确定其在空间直角坐标系中的点
空间直角坐标系产生的过程
创设情境，提出问题
一条高速公路上如何确定一辆汽车的位置？
如何确定教室里同学们的位置？&&&
如何确定空中飞行的飞机的位置？
能否类比平面直角坐标，用坐标来表示空间任意一点的位置呢？请同学们根据自己的感受设计空间直角坐标系。
（设计意图：通过实例，激发学生的学习兴趣与探索欲望，充分发挥学生的主体作用。在学生思考讨论的基础上，教师点明：通过数轴确定直线上的点，需要一个数；通过平面直角坐标系确定平面内的点，需要两个数。那么要确定空间内的点，需要几个数呢？通过类比猜想易知需要三个数。请同学们根据自己的感受，类比平面直角坐标系，设计空间直角坐标系。教师启发：在地面建立直角坐标系xOy，地面上一点只需x、y就可确定。而飞机在空中，则还需第三个数表示飞机离地面的高度，即第三个坐标z）
探索归纳，形成概念
1、空间直角坐标系的建立
如图，OABC-D’A’B’C’是单位正方体.以O为原点，
分别以射线OA，OC，OD’的方向为正方向，
以线段OA，OC，OD’的长为单位长，
建立三条数轴：x轴、y轴、z轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，
其中点O叫做坐标原点，
x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、
2、右手直角坐标系的含义
让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向
y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，
则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3、右手直角坐标系的画法
&&&①.
x轴与y轴、x轴与z轴均成135°,z轴与y轴成90°
&& ②.
y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为z轴的单位长度的一半
4、思考:有了空间直角坐标系，空间中的任意一点M的坐标如何表示？
经过M点做三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，
它们与x轴、y轴、z轴分别交于三点，
三点在相应的坐标轴上的坐标a，b，c组成的有序数组
（a，b，c）叫做点M的坐标，记为：M（a，b，c）
反过来，给定有序实数组（x，y，z），如何
找到它所确定的点M呢？
给定有序实数组（x，y，z），我们可以在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，
y和z的点P、Q和R，分别过P、Q和R各作一个平面，分别垂直于x轴、y轴
和Z轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点M。
这样空间一点M的位置可以用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)。其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。
三、操作演练，巩固深化
1、在空间直角坐标系Oxyz中作出点P(5,4,6)。
（注意：紧扣坐标定义）
如图4.3-3，在长方体OABC-D’A’B’C’中，
|OA|=3，|OC|=4,|OD’|=2，写出D’，C，A’，
B’四点的坐标
3、（例2）&
结晶体的基本单位称为晶胞，图是食盐晶胞
的示意图（可看出是八个棱长为1/2的小正方形
堆积成的正方体），其中色点代表纳原子，黑点
代表氯原子），如图，建立空间直角坐标系Oxyz
后，试写出全部纳原子所在位置的坐标。
课堂练习：
练习1、2、3
四、小结归纳，回顾反思
①.空间直角坐标系的建立：
原点、坐标轴方向、单位长度
②.空间中的点和有序实数组（x，y，z）：一一对应
③.思想方法：类比、化归
几何问题&&&&&&&&&&&
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