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有谁知道 求极限有哪几种方法这几种方法之间请帮忙做个比较越详细越好优秀者可以追加分（可以加本人为百度好友）相关说明：
们~~你们的回答还是太简单了~~能不能把这些加以比较~~这才是最关键的！！方法都是网上搜索到的但是要加以比较可能要花费点您的脑力了~~如过你能在网上找到的话请将网址也附一下您好：levin8302您的回答很正确但是问题不象你想象的那样简单~~请不要太随意谢谢后几位的解答最主要的是比较请不要再复制解法了~~其实这个是为了写：求极限几种方法的比较的论文所以大家很辛苦但是没答到点上有相关论文的朋友可以加我的
是比较好的方法。两个重要极限，是求极限中很重要的一种方法，特别是第二个、定积分求极限的方法提一下就行了，但是求极限中最重要的方法，高数中的极限题八成以上要用到它，也是有效性最高的，但只适用于少数特殊类型的题目（如无穷多项和的极限）大家早把方法给你列出来了，供你参考，主要是不知道你写什么级别的论文：极限定义，虽不是万能方法，论文只能你自己写了，不用说了，这是大家最头疼的，用它可以大大地简化计算，用它可以解决绝大多数1的无穷大次方类型的题，用它可以解决绝大多数0比0型，无穷比穷型极限。求函数极限最好的方法就是“等价无穷小代换+洛必达法则”，相对而言成功率最高，计算量最小。如果以上方法都不行，那就是最后一招，泰勒公式，但是适用面太窄。我所写的内容大体思路应该是没错的，写论文还要你自己发挥，大多数题目是不能只用四则运算之类的方法求出来。夹逼准则，这个方法理论上说是万能方法，（当然实际中你不可能知道所有函数的泰勒展开式），不是主要的，别告诉我这些方法你都不太会啊！我简单讲几点比较。不过这个方法较麻烦，尽量少用。至于其它的如通过连续函数，当x趋于1时求x^3的极限就够你求半天了。这个方法最麻烦。单调有界性可解决很多数列极限的问题。柯西准则。至于第一个重要极限可以归到下一类。等价无穷小代换，这是求极限中最重要的方法之一：主要是求数列极限，而且多用于理论证明。极限的运算法则：很简单的方法。洛必达法则
1.等价代换法（注意趋近无穷小并且乘积可代其他不可）2.洛比达法则（有应用范围3.积分定义求极限4.利用级数求极限5.两个重要极限的应用6.数列转换为函数求极限
1、利用定义求极限：
2、利用柯西准则来求！
柯西准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε&0,存在自然数N，使得当n&N时，对于
任意的自然数m有|xn-xm|&ε.
3、利用极限的运算性质及已知的极限来求！
如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5
=lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5
4、利用不等式即：夹挤定理！
例子就不举了！
5、利用变量替换求极限！
例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1)
可令x=y^mn
得：＝n/m.
6、利用两个重要极限来求极限。
（1）lim sinx/x=1
(2)lim (1+1/n)^n=e
7、利用单调有界必有极限来求！
8、利用函数连续得性质求极限
9、用洛必达法则求，这是用得最多得。
10、用泰勒公式来求，这用得也十很经常得
1、利用定义求极限： 例如：很多就不必写了！ 2、利用柯西准则来求！ 柯西准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε&0,存在自然数N，使得当n&N时，对于 任意的自然数m有|xn-xm|&ε. 3、利用极限的运算性质及已知的极限来求！ 如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5 =lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5 =1. 4、利用不等式即：夹挤定理！ 例子就不举了！ 5、利用变量替换求极限！ 例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1) 可令x=y^mn 得：＝n/m. 6、利用两个重要极限来求极限。 （1）lim sinx/x=1 ??x-&0 (2)lim (1+1/n)^n=e ??n-&∞? 7、利用单调有界必有极限来求！ 8、利用函数连续得性质求极限 9、用洛必达法则求，这是用得最多得。 10、用泰勒公式来求，这用得也十很经常得。
你说的是求极限不是什么导数微分积分吧.那我来说几个常用的.数列的极限很简单,比如lim(n-&∞) (3n+1)/(2n+1)=3/2;重要的是函数的极限,1.基本运算方法;lim(x-&2) [(x^3-1)/(x^2-5x+3)]=[lim(x-&2) (x^3)-lim(x-&2)1]/[lim(x-&2)(x^2)-5lim(x-&2)x+lim(x-&2)3]=-7/32.利用2个重要极限求,题目中一般有sin,cos,tan的,一般都要用lim(x-&0) sinx/x=1这个公式,当然一般也可以用下面的第3种方法,用lim(x-&∞)(1+1/n)^n=e 的就要你会观察了,题目只要跟这个形式差不多的,一般都可以化成那个形式的.3.用无穷小的比较做,我个人认为这个是最有用的,也是很喜欢考的,用起来也是很简单的.给你写几个常用的sinx~x,tanx~x,ln(1+x)~x,1-cosx~(1/2)x^2,[1/(cosx)]-1~(1/2)x^2,(e^x)-1~x,[(1+x)^a]-1~ax,arcsinx~x,arctanx~x.怎么来的不用知道，会用就够了.注意当题目有(tanx-sinx)之类的你不要说sinx~x,tanx~x,结果一减等于0了,这时候要把他们都化成sinx在等效.如lin(x-&0) (tanx-sinx)/(sinx)^3=lin(x-&0) {[1/(cosx)]-1}/(sinx)^2=[(1/2)x^2]/(x^2)=1/2. 还有什么收敛发散之类的乱七八糟的东西我也不懂,搞的头痛.不过老兄,我建议你高数一定要多看看书,极限的概念很是重要,后面的什么导数微分积分偏导数全是以那个为基础的,而且大学理科的课本比如物理化学,整本书全是积分导数过来的,不像高中的都是用ΔS,ΔU,ΔT之类,高数不学好,那些你就很费劲了.我就是个例子的,现在还要补高数,郁闷.
3、利用极限的运算性质及已知的极限来求！ 如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5 =lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5 =1. !!
f(x)对x求导按乘积求导公式,应有1001项,即一个因子求导其他因子不变。除对x这个因子求导的这项...
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广东版高数 第01章 函数与极限习题详解
第一章 函数与极限习题详解第一章 函数与极限习 题 1-1 1．求下列函数的自然定义域： 1 （1） y = + x+2 ； 1 ? x2 ?1 ? x 2 ≠ 0 ，则函数定义域 D ( x) = { x | x ≥ ?2且x ≠ ±1} ． 解：依题意有 ? ?x + 2 ≥ 0 2x ? 1 arccos 3 ； （2） y = 2 x ?x?6 ? 2x ? 1 ≤1 ? 解：依题意有 ? 3 ，则函数定义域 D ( x) = ? ． ? x2 ? x ? 6 & 0 ? （3） y = ln(? x 2 + 3x ? 2) ；解：依题意有 ? x 2 + 3x ? 2 & 0 ，则函数定义域 D ( x) = { x |1 & x & 2} ．1（4） y = 2 x3?x；解：依题意有 x 3 ? x ≠ 0 ，则函数定义域 D ( x) = { x | ?∞ & x & +∞且x ≠ 0, ±1} ．1 ? ,　　x ≠ 1, ? sin （5） y = ? 　 x ?1 ? 2，　　　 x = 1; ?解：依题意有定义域 D ( x) = { x | ?∞ & x & +∞} ．1 + 3? x . x ?x ≠ 0 解：依题意有 ? ，则函数定义域 D ( x) = { x | x ≤ 3且x ≠ 0} ． ?3 ? x ≥ 0 2．已知 f ( x) 定义域为 [0,1] ，求 f ( x 2 ), f (sin x), f ( x + a), f ( x + a ) + f ( x ? a ) ( a & 0 )的定义域． 解：因为 f ( x) 定义域为 [0,1] ，所以当 0 ≤ x 2 ≤ 1 时，得函数 f ( x 2 ) 的定义域为 [?1,1] ； 当 0 ≤ sin x ≤ 1 时，得函数 f (sin x) 定义域为 [2kπ, (2k + 1) π] ； 当 0 ≤ x + a ≤ 1 时，得函数 f ( x + a) 定义域为 [?a, ? a + 1] ；（6） y = arctan?0 ≤ x + a ≤ 1 1 当? 时，得函数 f ( x + a) + f ( x ? a) 定义域为： （1）若 a & ， x ∈ [ a,1 ? a ] ； 0 ≤ x ? a ≤1 2 ? 1 1 1 （3）若 a & ， x ∈ ? ． （2）若 a = ， x = ； 2 2 2 ? 1 ? a?x 3．设 f ( x) = 2 ?1 ? ? , 其中 a & 0, 求函数值 f (2a), f (1) ． 2 2 x ? a ? 2ax + x ? ? 1 ? a?x 解：因为 f ( x) = 2 ?1 ? ? ，则 2 2 x ? a ? 2ax + x ? 1 ? ?a ? 1 1? a ? 1 ? ?0 ,a &1, f (2a) = 2 ?1 ? ． ?=? ? = 2 ， f (1) = 2 ?1 ? ? ? 4a ? a ? 2a 1 ? a ? 1 ? ?2 ,0&a &11第一章 函数与极限习题详解?1 | x |& 1, ? 4．设 f ( x) = ?0 | x |= 1, ??1 | x |& 1. ?g ( x) = 2 x ，求 f ( g ( x)) 与 g ( f ( x)) ，并做出函数图形．?1 2 x & 1 ?1 x & 0 ? ? x 解： f ( g ( x)) = ?0 2 = 1 ，即 f ( g ( x)) = ?0 x = 0 ， ? ? ?1 x & 0 x ? ? ?1 2 & 1? ? 21 | x |& 1 ? 2 | x |& 1 ? 0 ? g ( f ( x)) = ? 2 | x |= 1 ，即 g ( f ( x)) = ?1 | x |= 1 ，函数图形略． ? ?1 ?1 ? 2 | x |& 1 ? | x |& 1 ?2 x & 0, x & ?1, ?1 + x, ? 2 + x, 5．设 f ( x) = ? 试证： f [ f ( x)] = ? x ≥ 0, x ≥ ?1. ?1, ? 1, x & ?1, ?1 + f ( x), f ( x) & 0 ? 2 + x, 证明： f [ f ( x)] = ? ，即 f [ f ( x)] = ? ，得证． x ≥ ?1 ? 1, f ( x) ≥ 0 ? 1, 6．下列各组函数中， f ( x) 与 g ( x) 是否是同一函数？为什么？（1） f ( x) = ln(x 2 + 3 ? x , g ( x) = ? ln)(x2 + 3 + 3)；不是，因为定义域和对应法则都不相同． （2） f ( x) = 3 x5 ? 2 x3 , g ( x) = x 3 x 2 ? 2 ； 是． （3） f ( x) = 2, g ( x) = sec2 x ? tan 2 x ； 不是，因为对应法则不同． （4） f ( x) = 2 lg x, g ( x) = lg x 2 ； 不是，因为定义域不同． 7．确定下列函数在给定区间内的单调性： （1） y = 3x + ln x ， x ∈ (0, +∞) ； 解：当 x ∈ (0, +∞) 时，函数 y1 = 3x 单调递增， y2 = ln x 也是单调递增，则 y = y1 + y2 在 (0, +∞) 内也是递增的． ?x （2） y = ， x ∈ (?∞,1) ． 1? x ?x (1 ? x) ? 1 1 解： y = = =1+ ， 当 x ∈ (?∞,1) 时 ， 函 数 y1 = x ? 1 单 调 递 增 ， 则 1? x 1? x x ?1 1 1 ?x y2 = = 是单调递减的，故原函数 y = 是单调递减的． y1 x ? 1 1? x 8. 判定下列函数的奇偶性． （1） y = lg( x + x 2 + 1) ； 解：因为 f (? x) = lg(? x + x 2 + 1) = lg( x + x 2 + 1)?1 = ? lg( x + x 2 + 1) = ? f ( x) ， 所以 y = lg( x + x 2 + 1) 是奇函数． （2） y = 0 ； 解：因为 f (? x) = 0 = f ( x) ，所以 y = 0 是偶函数． （3） y = x 2 + 2 cos x + sin x ? 1 ； 解 ： 因 为 f (? x) = x 2 + 2 cos x ? sin x ? 1 ， f (? x) ≠ f ( x)且f (? x) ≠ ? f ( x) ， 所 以y = x 2 + 2 cos x + sin x ? 1 既非奇函数，又非偶函数．2第一章 函数与极限习题详解a x + a? x . 2 a? x + a x a x + a? x 解：因为 f ( x) = = f ( x) ，所以函数 y = 是偶函数． 2 2 9．设 f ( x) 是定义在 [?l , l ] 上的任意函数，证明： （1） f ( x) + f (? x) 是偶函数， f ( x) ? f (? x) 是奇函数； （2） f ( x) 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明： （1）令 g ( x) = f ( x) + f (? x), h( x) = f ( x) ? f ( ? x) ，则 g (? x) = f (? x) + f ( x) = g ( x), h( ? x) = f ( ? x) ? f ( x) = ? h( x) ， 所以 f ( x) + f (? x) 是偶函数， f ( x) ? f (? x) 是奇函数． f ( x ) + f ( ? x ) f ( x ) ? f ( ? x) f ( x) + f ( ? x ) （2）任意函数 f ( x) = + ，由（1）可知 是偶函 2 2 2 f ( x) ? f ( ? x) 数， 是奇函数，所以命题得证． 2 10．证明：函数在区间 I 上有界的充分与必要条件是：函数在 I 上既有上界又有下界. 证明： （必要性）若函数 f ( x) 在区间 I 上有界，则存在正数 M ，使得 x ∈ I ，都有（4） y =f ( x) ≤ M 成立，显然 ? M ≤ f ( x) ≤ M ，即证得函数 f ( x) 在区间 I 上既有上界又有下界（ 充 分 性 ） 设 函 数 f ( x) 在 区 间 I 上 既 有 上 界 M 2 ， 又 有 下 界 M 1 ， 即 有f ( x) ≥ M 1且f ( x) ≤ M 2 ，取 M = max{ M 1 , M 2 } ，则有 f ( x) ≤ M ，即函数 f ( x) 在区间 I 上有 界． 11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期： （1） y =| sin x | ； 周期函数，周期为 π ． （2） y = 1 + sin πx ； 周期函数，周期为 2． （3） y = x tan x ； 不是周期函数． （4） y = cos 2 x . 周期函数，周期为 π ． 12．求下列函数的反函数： 3x （1） y = x ； 3 ?1 y y 解：依题意， 3x = ，则 x = log 3 ，所以反函数为 y ?1 y ?1 x f ?1 ( x) = log 3 , x ∈ (?∞,0) ∪ (1, +∞ ) ． x ?1 ax + b （2） y = ( ad ≠ bc) ； cx + d b ? dy b ? dx 解：依题意， x = ，则反函数 f ?1 ( x) = (ad ≠ bc) ． cy ? a cx ? a （3） y = lg x + x 2 ? 1 ；()1 1 解：依题意， x = (10 y + 10? y ) ，所以反函数 f ?1 ( x) = (10 x + 10? x ), x ∈ R ． 2 2 π? ? π （4） y = 3cos 2 x, ? ? ≤ x ≤ ? ． 4? ? 43第一章 函数与极限习题详解y x arccos 3 ，所以反函数 f ?1 ( x) = 3 , x ∈ [0,3] ． 解：依题意， x = 2 2 13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量 值 x1 和 x2 的函数值： arccos（1） y = eu , u = x 2＋1, x1 = 0, x2 = 2 ；（2） y = u 2 + 1, u = ev ? 1, v = x + 1, x1 = 1, x2 = ?1 ． 解： （1） y = f ( x) = e x2+1, f (0) = e, f (2) = e5（2） y = f ( x) = (e x +1 ? 1) 2 + 1 ， f (0) = e 4 ? 2e2 + 2 ， f (?1) = 1 ． 14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为 r ，高为 H ．当倒进溶液后 液面的高度为 h 时，溶液的体积为 V ．试把 h 表示为 V 的函数，并指出其定义区间． V 解：依题意有 V = πr 2 h ，则 h = 2 ,V ∈ [0, πr 2 H ] ． πr 15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定 了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过 4.5 吨时，水费按 0.64 元／吨计算．超过部 分每吨以 5 倍价格收费． 试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系． 并计算用水量分 别为 3.5 吨、4.5 吨、5.5 吨的用水费用． 0 ≤ x ≤ 4.5 ?0.64 x, 解：依题意有 f ( x) = ? ，所以 x & 4.5 ?4.5 × 0.64 + ( x ? 4.5) × 3.2,f (3.5) = 2.24元，f (4.5) = 2.88元，f (5.5) = 6.08元 ．习 题 1-22n + 1 (n = 1 , 2 , 3 , ?) ， 3n + 1 2 2 2 （1） 求 | a1 ? | , | a10 ? | , | a100 ? | 的值； 3 3 3 2 （2） 求 N ，使当 n & N 时，不等式 | an ? |& 10?4 成立； 3 2 （3） 求 N ，使当 n & N 时，不等式 | an ? |& ε 成立． 3 2 3 2 1 2 21 2 1 解：(1) | a1 ? |=| ? |= , | a10 ? |=| ? |= , 3 4 3 12 3 31 3 93 2 201 2 1 | a100 ? |=| ? |= ． 3 301 3 903 2 1 1 9997 （ 2 ） 要使 | an ? |& 10?4 , 即 & 4 ， 则只要 n & , 取 N＝ 3 3（3n+1） 10 9 2 ? 9997 ? ?4 ? 9 ? = 1110, 故当 n&1110 时，不等式 | an ? 3 |& 10 成立． ? ? 1．设 an =（ 3） 要使 | an ?2 1 ? 3ε 2 ?1 ? 3ε ? |& ε 成立，n & , 取N =? 那么当 n & N 时， | an ? |& ε ?， 3 9ε 3 ? 9ε ?成立. 2．根据数列极限的定义证明： （1） lim1 =0； n →∞ n !（2） limn →∞n2 + 3 = 1． n解： （1） ?ε & 0 ， 要使 |1 1 1 ?1? ? 0 | ＝ & & ε ， 只要取 N = ? ? ， 所以，对任意 ε & 0 ， n! n! n ?ε ?4第一章 函数与极限习题详解1 1 ?1? 存在 N = ? ? ，当 n & N 时，总有 | ? 0 |& ε ，则 lim = 0 . n →∞ n ! n! ?ε ?(2)? 3 N =? ? 2εlimn →∞?ε & 0 , 要 使 |n2 + 3 3 2 3 ? 1|= & 2 &ε , 即 n & ,只要取 2 n 2ε n( n + 3 + n) 2n? ? 3 ? n2 + 3 ? 1|& ε , ? , 所以 , 对任意的 ε &0, 存在 N = ? ? , 当 n & N , 总有 | n ? ? 2ε ?则n2 + 3 = 1. n 3．若 lim xn = a ，证明 lim | xn |=| a | ．并举例说明：如果数列 {| xn |} 有极限，但数列 { xn }n →∞ n →∞未必有极限． 证明: 因为 lim xn = a , 所以 ?ε & 0 , ?N1 , 当 n & N1 时 , 有 | xn ? a |& ε . 不妨假设 a&0,n →∞由收敛数列的保号性可知 : ?N 2 ,当 n & N2 时,有 xn & 0 ,n →∞取 N = max { N1 , N 2 } , 则对 同理可证 a & 0?ε & 0 ,n →∞?N ,当 n & N 时,有 || xn | ? | a ||=| xn ? a |& ε . 故 lim | xn |=| a | .时, lim | xn |=| a | 成立. 反之,如果数列 {| xn |} 有极限, 但数列 {| xn |} 未必有极限.如：数列 xn = ( ?1) ,n| xn |= 1 ，显然 lim | xn |= 1 , 但 lim xn 不存在． 4．设数列 { xn } 有界，又 lim yn = 0 ．证明： lim xn yn = 0 ．n →∞ n →∞ n →∞ n →∞证明: 依题意,存在 M&0, 对一切 n 都有 | xn |≤ M ， 又 lim yn = 0 , 对 ?ε & 0 , 存在 N ,n →∞当 n & N 时 , | yn ? 0 |& ε , 因为对上述 N , 当 n & N 时 , | xn yn ? 0 |=| xn yn |≤ M | yn |& M ε , 由 ε 的任意性, 则 lim xn yn = 0 ．n →∞(n + 3) π ，求 lim xn ． n →∞ 2 n 1 1 ( n + 3) π ( n + 3) π 解: 因为 lim = 0 , | cos |≤ 1 , 所以 lim cos =0. x →∞ x →∞ 2 2 n n 6．对于数列 { xn } ，若 x2 k ?1 → A( k → ∞) ， x2 k → A(k → ∞) ，证明： xn → A( n → ∞ ) ． 5．设数列 { xn } 的一般项 xn = 1 cos证明: 由于 lim x2 k ?1 = A , 所以, ?ε & 0 , ?N1 & 0 , 当 k &N1 时，有 | x2 k ?1 ? A |& ε , 同理,?ε & 0 , ?N 2 & 0 , 当 k & N 2 时 , 有 | x2 k ? A |& ε ．取 N =max { N1 , N 2 } , ?ε & 0 , 当 n & N 时 ,k →∞| xn ? A |& ε 成立, 故 xn → A( n → ∞ ) ．习 题 1-31．当 x → 1 时， y = x + 3 → 4 ．问 δ 等于多少，使当 | x ? 1|& δ 时， | y ? 4 |& 0.01 ？ 1 3 5 解：令 | x ? 1|& ，则 &| x + 1|& ，要使 2 2 2 5 2 | y ? 4 |=| x + 3 ? 4 |=| x 2 ? 1|=| x ? 1|| x + 1|& | x ? 1|& 0.01 ， 2 只要 | x ? 1|& 0.004 ，所以取 δ = 0.004 ，使当 | x ? 1|& δ 时， | y ? 4 |& 0.01 成立．22x2 + 1 → 2 ．问 X 等于多少，使当 | x |& X 时， | y ? 2 |& 0.001 ？ x2 ? 3 2 x2 + 1 7 解： 要使 | y ? 2 |=| 2 ? 2 |= 2 &0.001, 只要 | x 2 ? 3 |& 7000 , 即 x 2 ? 3 & 7000 . 因 x ?3 | x ? 3|2．当 x → ∞ 时， y =5第一章 函数与极限习题详解此,只要 | x |& 7003 就可以了,所以取 X ≥ 7003 ． 3．根据函数极限的定义证明： 3x + 5 （1） lim(2 x ? 1) = 5 ； （2） lim = 3； x →3 x →∞ x ? 1 sin x x2 ? 4 （3） lim = ?4 ； （4） lim = 0. x →+∞ x →?2 x + 2 x 证 明 :(1) 由 于 | (2 x ? 1) ? 5 |= 2 | x ? 3 | , 任 给 ε & 0 , 要 使 | (2 x ? 1) ? 5 |& ε , 只 要 ε ε | x ? 3 |& ．因此取 δ = ,则当 0 &| x ? 3 |& δ 时, 总有 | (2 x ? 1) ? 5 |& ε ,故 lim(2 x ? 1) = 5 ． x →3 2 2 3x + 5 8 8 3x + 5 (2) 由 于 | ? 3 |= ,任给 ε &0 , 要使 | ? 3 |& ε , 只 要 &ε ,即 x ?1 | x ? 1| | x ? 1| x ?1 8 8 8 8 8 x & 1 + 或 x & 1 ? , 因为 ε & 0 , 所以 |1 + |&|1 ? | , 取 M =|1 + | ，则当 | x |& M 时 , 对 ε ε ε ε ε 3x + 5 3x + 5 ?ε & 0 ,总有 | ? 3 |& ε ,故有 lim = 3． x →∞ x ? 1 x ?1 x2 ? 4 x2 ? 4 (3)由于 | ? ( ?4) |=| x + 2 | ,任给 ε & 0 ,, 要使 | ? (?4) |& ε ,只要 | x + 2 |& ε ,因 x+2 x+2 x2 ? 4 x2 ? 4 ? (?4) |& ε ,故 lim = ?4 . 此取 δ = ε ,则当 0 &| x ? ( ?2) |& δ 时,总有 | x →?2 x + 2 x+2 sin x | sin x | 1 sin x 1 1 (4) 由于 | ? 0 |= & ,任给 ε & 0 ,要使 | ? 0 |& ε ,只要 & ε ,即 x & 2 , ε x x x x x sin x sin x 1 因此取 M = 2 ,则当 x&M 时,总有 | ? 0 |& ε ,故 lim = 0. x →+∞ ε x x 4．用 ε ? X 或 ε ? δ 语言，写出下列各函数极限的定义： （2） lim f ( x) = a ； （1） lim f ( x) = 1 ；x →?∞ x→a x →∞ x →3（3） lim+ f ( x) = b ； 解: (1) (2) (3) (4)?ε & 0, ?ε & 0, ?ε & 0, ?ε & 0,x→0（4） lim f ( x) = ?8 ． ??M & 0 , 当 x&-M 时, 总有 | f ( x) ? 1|& ε ; ?M & 0 , 当 | x |& M , 总有 | f ( x) ? a |& ε ; ?δ & 0 , 当 a & x & a + δ 时, 总有 | f ( x) ? b |& ε ; ?δ & 0 当 3 ? δ & x & 3 时, 总有 | f ( x) + 8 |& ε ．5．证明: lim | x |= 0 . 证明: 由于 lim | x |= lim x = 0 , lim | x |= lim (? x) = 0 ,所以 lim | x |= 0 . + + ? ?x →0 x →0 x →0 x→0 x→06． 证明： x → +∞ 及 x → ?∞ 时， 若 函数 f ( x) 的极限都存在且都等于 A ， lim f ( x) = A ． 则x →∞证 明 : 由 于 lim f ( x) = A , 则 对 ?ε & 0 , ?M 1 & 0 , 当 x & M 1 时 , 有 | f ( x) ? A |& ε ． 又x →?∞lim f ( x) = A ,则 ?M 2 & 0 ,当 x & ? M 2 ,有 | f ( x) ? A |& ε .取 M = max {M 1 , M 2 } 那么对 ?ε & 0 ,当x →∞x →+∞| x |& M 时,总有 | f ( x) ? A |& ε ,故有 lim f ( x) = A .习 题 1-41．根据定义证明： （1） y =x2 ? 1 为当 x → 1 时的无穷小； x +16第一章 函数与极限习题详解1 （2） y = sin x 为当 x → ∞ 时的无穷小； x 1 + 3x （3 ） y = 为当 x → 0 时的无穷大． x 证明: x2 ? 1 (1) ?ε & 0 ,因为 | ? 0 |=| x ? 1| ,取 δ = ε ,则当 0 &| x ? 1|& δ 时, 总有 x ≠ 0 ,故 x +1 x2 ? 1 lim = 0． x →1 x + 11 1 1 1 | sin x |≤ ,取 M = , 则当 | x |& M 时, 总有 (2) ?ε & 0 ,因为 | sin x ? 0 |= x |x| | x| ε 1 | sin x | 1 1 ≤ & ε , 故 lim sin x = 0 . | sin x ? 0 |= x →∞ x x |x| | x| (3) ?M & 0 , ?δ = limx →01 + 3x 1 1 1 ,当 0 &| x |& δ 时,总有 | |=| + 3 |& ? 3 & M ,所以 x x |x| M +31 + 3x =∞. x 2．函数 y = x sin x 在 (0, +∞) 内是否有界？该函数是否为 x → +∞ 时的无穷大？解答: 取 xn = 2nπ ,则 yn = 0 ,因此当 xn = 2nπ ( n → ∞ ) 时, yn → 0 ( xn → +∞ ) 故函数 下证该函数在 ( 0, +∞ ) 内是无界的. ?M & 0 , ?xn = 2nπ +y = x sin x 当 x → +∞ 时,不是无穷大量．π 且 xn → +∞ ( n → ∞ ) , 2 π? ? π? π π ? yn = ? 2nπ + ? sin ? 2nπ + ? = 2nπ + ， 取 N 0 = [ M ] + 1 , ?x0 = 2 N 0 π + ∈ (0, +∞) , 有 2? ? 2? 2 2 ? π yn = 2 N 0 π + ≥ M ，所以 y = x sin x 是无界的. 23．证明：函数 y =1 1 cos 在区间 (0,1] 上无界，但这函数不是 x → 0+ 时的无穷大． x x证明: 令1 = t ,类似第 2 题可得． x习 题 1-51．求下列极限： 3n 2 + n + 1 （1） lim 3 ； n →∞ n + 4n 2 ? 12 n ? ? 1 （3） lim ? 2 + 2 + ? + 2 ? ； n →∞ n n n ? ? x2 ? 1 （5） lim 2 ； x →1 x ? 5 x + 4? 1 1 1 ? （2） lim ? + +? + ； n →∞ 1 ? 2 2?3 n(n + 1) ? ? ? 3n + 2n （4） lim n +1 ； n →∞ 3 ? 2n +1（6） lim（7） lim （9） limx →+∞(x2 + x ? x 2 + 1 ；)( x + h )3 ? x 3 ； h→0 hx3 + 1 ； x→2 x 2 ? 5 x + 3 2x2 + 1 （8） lim 2 ； x →∞ x + 5 x + 3 3x 2 + 1 （10） lim 2 ； x →1 x ? 4 x + 17第一章 函数与极限习题详解1 ? ? 3 （11） lim ? ? ?； 3 x →1 1 ? x 1? x ? ?（12） lim （14） lim （16） limx2 + x ； x →∞ 5 x 3 ? 3 x + 1x3 ； x →∞ 2 x + 1（13） lim 3x →11+ x ? 1? x 1+ x ? 3 1? x；（15） lim(2 x3 ? 3x + 6) ；x →∞x3 + x 2 + 3x + 27 ． x→3 x?3解:3 1 1 + + 3n 2 + n + 1 n n 2 n3 = 0 ． (1) lim 3 = lim n →∞ n →∞ n + 4n 2 ? 1 4 1 1+ ? 3 n n ? 1 1 1 1 1 ? 1 1 ? ?1 1 (2) lim ? + +? + = lim ?( ? ) + ( ? ) + ? + ( ? ) n →∞ n →∞ 1 ? 2 1 2 2 3 n n +1 ? 2?3 n(n + 1) ? ? ? ? ?= lim(1 ?n →∞1 ) =1． n +11 n(n + 1) 1 2 n ? 1 ? (3) lim ? 2 + 2 + ? + 2 ? = lim 2 2 = ． n →∞ n n n ? n →∞ n 2 ? 2 1 + ( )n 1 3n + 2n 3 (4) lim n +1 = lim = ． n +1 n →∞ n →∞ 3 2 n 3 ?2 3? 2?( ) 3 ( x ? 1)( x + 1) x2 ? 1 x +1 2 (5) lim 2 = lim = lim =? ． x →1 ( x ? 1)( x ? 4) x →1 x ? 5 x + 4 x →1 x ? 4 3(6) limx3 + 1 23 + 1 = 2 = ?3 ． x→2 x 2 ? 5 x + 3 2 ? 5× 2 + 3(7) limx →+∞(x +x? x22( + 1 ) = limx →+∞x2 + x ? x2 + 1)(x2 + x + x2 + 1)= 1 ． 2x2 + x + x2 + 1 x ?11?2= limx →+∞x + x + x +12= lim1 xx →+∞1+1 1 + 1+ 2 x x1 2+ 2 2x2 + 1 x (8) lim 2 = lim =2． x →∞ x →∞ x + 5 x + 3 5 3 1+ + 2 x x 3 3 3 ( x + h) ? x ( x + 3x 2 h + 3xh 2 + h3 ) ? x 3 (9) lim = lim = lim(3x3 + 3xh + h 2 ) = 3x 2 ． h→0 h→0 h→0 h h 2 ? 3 ? (1 + x + x ) ? 1 ? (1 ? x)(2 + x) ? 3 (10) lim ? ? ? = lim ? = lim ? 3 x →1 1 ? x 3 x →1 (1 ? x )(1 + x + x 2 ) x →1 1? x ? 1? x ? ? ? = limx →12+ x =1． 1 + x + x21 1 + x2 + x x x2 = 0 ． (11) lim 3 = lim x →∞ x →∞ 5 x ? 3 x + 1 3 1 5? 2 + 3 x x8第一章 函数与极限习题详解(12) lim 3x →11+ x ? 1? x 1+ x ? 3 1? x= limx →1( 1 + x ? 1 ? x )( 1 + x + 1 ? x )( 3 (1 + x) 2 + 3 (1 + x)(1 ? x) + 3 (1 ? x) 2 ) ( 3 1 + x ? 3 1 ? x )( 3 (1 + x) 2 + 3 (1 + x)(1 ? x) + 3 (1 ? x) 2 )( 1 + x + 1 ? x )= limx →12 x( 3 (1 + x) 2 + 3 (1 + x)(1 ? x) + 3 (1 ? x) 2 ) 2 x( 1 + x + 1 ? x )=62．(13) limx3 x2 = lim = +∞ ． x →∞ 2 x + 1 x →∞ 1 2+ xx →∞x →∞(14) lim(2 x3 ? 3x + 6) = lim x3 (2 ?(15) lim3 6 + )=∞． x 2 x3x3 + x 2 + 3x + 27 1 = lim( x3 + x 2 + 3x + 27) × lim =∞． x→3 x →3 x →3 x ? 3 x?3?e x , x & 0, 2．设 f ( x) = ? 问当 a 为何值时，极限 lim f ( x) 存在． x→0 ? 2 x + a, x ≥ 0. 解： 因为 lim f ( x) = lim e x = 1, lim f ( x) = lim (2 x + a) = a ，所以， lim f ( x) = lim f ( x) ， 当 ? ? ? + + +x →0 x→0 x→0 x →0 x →0 x→0即 a = 1 时， lim f ( x) 存在．x→03．求当 x → 1 时，函数 解：因为 lim ?x 2 ? 1 x1 1 e ? 的极限． x ?11 x 2 ? 1 x1 1 e ? = lim( x + 1)e x ?1 = 0, x →1 x ? 1 x →1? 1 x 2 ? 1 x1 1 lim e ? = lim( x + 1)e x ?1 = +∞, x →1+ x ? 1 x →1+ 2 x ? 1 x1 1 所以 lim e ? 不存在。 x →1 x ? 14．已知 lim (5 x ? ax 2 ? bx + c ) = 1 ，其中 a , b , c 为常数，求 a 和 b 的值．x →+∞解：因为 lim (5 x ? ax 2 ? bx + c ) = limx →+∞(5 x ? ax 2 ? bx + c )(5 x + ax 2 ? bx + c ) 5 x + ax 2 ? bx + cx →+∞c ? 25 ? a = 0 ? a = 25 x = 1 ，所以 ? b = lim = lim ，则 ? ． ? 2 x →+∞ x →+∞ b c 5 x + ax ? bx + c ?b = 10 ?5 + a = 1 5+ a? + 2 ? x x (25 ? a) x 2 + bx ? c (25 ? a) x + b ?5．计算下列极限： 1 （1） lim x ? sin = 0 ； x→0 x 1 1 （3） lim sin = 0 ； x →∞ x xsin x 1 = lim sin x = 0 ; x →∞ x x arctan x 1 （4） lim = lim arctan x = 0 ． x →∞ x →∞ x x（2） limx →∞9第一章 函数与极限习题详解1 ? ?5 ? x sin x , x & 0 , ? ? x = 0 , 在 x = 0 处的左、 6． 试问函数 f ( x) = ?10 , 右极限是否存在？当 x → 0 时， ? ? 2 x & 0. ?5 + x , ?f ( x) 的极限是否存在？1 解： lim f ( x) = lim (5 + x 2 ) = 5 ， lim f ( x) = lim (5 + x sin ) = 5 ，因为 f (0? ) = f (0+ ) ，所以 x → 0? x → 0? x → 0+ x → 0+ xlim f ( x) = 5 ．x→0习 题 1-61． 计算下列极限：? （1） lim ?1 + x→0 ? x?x ? ； 2?1 ?1? 2? （2） lim ?1 ? ? ； x →∞ x? ? ? x +5? （4） lim ? ? ． x →∞ x ? 5 ? ?x2x? x ? x?2 （3） lim ? ? ； x→2 2 ? ?1 ? 2 ?1 2 2 ×( ? 1 ) 2 2 ? x ×( ?4) 解： （1） lim(1 + ) x = lim(1 + ) x 2 = e 2 ． （2） lim(1 ? ) 2 x = lim(1 + ) 2 = e ?4 ． x→0 x→0 x →∞ x →0 ?x x x x 2 1 x 1 x ? 2 x ?2× 1 （3） lim( ) x ? 2 = lim(1 + ) 2 = e2 ． x→2 2 x→2 2（4） lim(x →∞? ? x+5 x 10 x105 ×10 10 5 ? ) = lim ?(1 + ) ) ? × (1 + x →∞ x?5 x?5 x?5 ? ?= lim(1 +? 10 x105 ×10 10 5 × lim(1 + ) ) = e10 ． x →∞ x →∞ x?5 x?5 2．计算下列极限：（1） lim x cot x ；x→0（3） limx→0cos x ? cos 3x ； 5x 1 ； x（5） lim x ? sinx →∞sin 2 x ； 3x cos x ? 1 （4） lim ； 3 x → 0+ x2 x （6） lim 2n sin n ( x 为不等于零的常数） ． n →∞ 2(2) limx→0解：x cos x sin 2 x 2sin x cos x 2 = 1 ． (2) lim = lim = ． x →0 x →0 sin x 3x 3x 3 cos x ? cos3x ?2sin 2 x sin x (3)lim = lim =0 x →0 x →0 5x 5x (1) lim x cot x = limx →0 x →010第一章 函数与极限习题详解2x x? ? sin ? cos x ? 1 2 = lim ? x ? 2 =0． (4) lim = lim ? ? 3 3 x →0 x →0 x → 0+ 2 ? x ? x2 x2 ? 2 ? 1 x sin sin n x 1 x = 1 ． (6) lim 2n sin = lim 2 x=x． (5) lim x sin = lim x →∞ n →∞ x x →∞ 1 2n n →∞ x x 2n 3．利用极限存在准则证明： ?2sin 2（1）数列 3 ， 3 + 3 ， 3 + 3 + 3 ， ? 的极限存在； 证明：先用数学归纳法证明数列 { xn } 单调递增。由于 x2 = 3 + 3 & 3 = x1 & 0 。假设xn & xn ?1 & 0 成立，则 xn +1 = 3 + xn & 3 + xn ?1 = xn ，所以数列 { xn } 单调递增．下证有界性x1 = 3 & 1 + 3 ，假设 xn & 1 + 3 ，则 xn +1 = 3 + xn & 3 + (1 + 3) & 3 + 1 + 2 3 = 1 + 3 ， 0 & xn & 1 + 3 ， 故 即数列 { xn } 有界根据单调有界准则知 lim xn 存在． 不妨设 lim xn = A ， 则有 A = 3 + A ， 解得 A1 =n →∞ n →∞1 + 13 ， 2A2 =1 ? 13 1 + 13 （舍去） ，即有 lim xn = ． n →∞ 2 2 3 （2） lim 1 + = 1 ； n →∞ n证明：因为1≤ 1+3 3 3 ? 3? ≤ 1 + ，又 lim1 = lim ?1 + ? = 1 ，所以 lim 1 + = 1 ． n →∞ n →∞ n →∞ n n n ? n?? 1 22 n2 (3) lim ? + +? + 6 n →∞ n 6 + 2n n6 + n2 ? n +n? 1 ?= ； ? 3 n2 n6 + n 2 ≤∑k2证明：因为k =1nn6 + n 2≤1 n6 + nn k =1 6+222 n 6 + 2n =+ ...... +∑kk =1n2n6 + n，∑k2n +n ?1? (4) lim x ? ? = 1 ． x → 0+ ?x?n →∞ 6n又 limk =12= lim∑kn →∞n +n1 ，所以原式成立． 3证明：对任一 x ∈ R ，有 x ? 1 ≤ [ x ] ≤ x ，则当 x ≠ 0 时，有1 ?1 ? 1 ? 1 ≤ ? ? ≤ ．于是 x ?x? x1 1 ?1 ? ?1? （1）当 x & 0 时， x( ? 1) ≤ x ? ? ≤ xi ，由夹逼准则得 lim x ? ? = 1 ． + x →0 x x ?x? ?x? 1 1 ?1 ? ?1? （2）当 x & 0 时， xi ≤ x ? ? ≤ x( ? 1) ，同样有 lim x ? ? = 1 ． + x →0 x x ?x? ?x?习 题 1-711第一章 函数与极限习题详解1． 当 x → 0 时， x ? 2 x 2 与 3x 2 ? 2 x3 相比，哪一个是高阶无穷小？ 3x 2 ? 2 x3 解：因为 lim = 0 ，所以 3x 2 ? 2 x3 是比 x ? 2 x 2 高阶无穷小． x→0 x ? 2 x 2x2 ． 2 1 ?1 sec x ? 1 1 ? cos x 1 x2 cos x = lim = lim 证明：因为 lim i ，又 (1 ? cos x) ? ，则 2 2 2 x→0 x→0 x →0 x x x cos x 2 2 2 2 2 sec x ? 1 x lim = 1 ，故 sec x ? 1 ? ． x→0 x2 2 22． 证明：当 x → 0 时， sec x ? 1 ?3． 利用等价无穷小的性质，求下列极限： （1） limtan nx (n , m 为正整数） ； x → 0 sin mx（2） limx→01 + x + 2x2 ? 1 ； sin 3xsin xln(1 + 2 x ? 3x 2 ) （3） lim ； x→0 4x 1 ? cos x （5） lim ； x → 0+ x(1 ? cos x )e 3 ?1 （4） lim ； x →0 arctan x 2 ? 1 + cos x （6） lim ； x→0 sin 2 3x（7） lim3x + 5 x 2 ? 7 x 3 ； x → 0 4 x 3 + 2 tan x3 x（8） limx→0x + sin 2 x + tan 3x ； sin 5 x + 2 x 2? ax + bx ? （9） lim ? ? ,其中 a & 0, b & 0 ,均为常数. x→0 ? 2 ? tan( nx) nx n 解： (1) lim = lim = ． x → 0 sin mx x → 0 mx m 1 ( x + 2 x2 ) 1 + x + 2x2 ? 1 1 2 (2) lim = lim = ． x →0 x →0 sin 3x 3x 6 2 2 ln(1 + 2 x ? 3x ) 2 x ? 3x 1 (3) lim = lim = ． x →0 x →0 4x 4x 2 sin x sin x 1 e 3 ?1 (4) lim = lim 3 = ． x → 0 arctan x x →0 x 31 2 x 1 1 (5) lim = lim = lim 2 i lim = ． x → 0+ x (1 ? cos x ) x → 0+ x (1 ? cos x )(1 + x → 0+ 1 x →0+ 1 + cos x 2 cos x ) xi x 2 1 2 x 2 ? 1 + cos x 2 ? (1 + cos x) 1 (6) lim = lim 3 = lim 2 2 ? lim 2 x →0 x→0 x → 0 (3 x ) x →0 sin 3x sin 3x( 2 + 1 + cos x ) 2 + 1 + cos x 1 ? cos x 1 ? cos x1 1 2 × = ． 18 2 2 72 3x + 5 x 2 ? 7 x3 3x 3x 3 (7) lim = lim = lim = ． x → 0 4 x 3 + 2 tan x x → 0 2 tan x x →0 2 x 2 =12第一章 函数与极限习题详解(8) limx →0x + sin 2 x + tan 3 x 4x 4 = lim = ． (因为x + sin 2 x + tan 3x ? 4 x,sin 5 x + 2 x 2 ? 5 x) ． 2 x →0 5 x sin 5 x + 2 x 5x x 3 x a x +bx x lim ln( ) x →0 23a +b (9) lim( ) =e x →0 23ln(=ex →0lima x +b x ? 2 +1) 2 x=e3 x x ( a + b ? 2) lim 2 x→0 x=ex→0 23 ( a x ?1) + ( b x ?1) lim ? x= e23(ln a + ln b )= (ab) 2 ．13４．当 x → 0 时，若 (1 ? ax 2 ) 4 ? 1 与 x sin x 是等价无穷小，试求 a ．(1 ? ax 2 ) 4 ? 1 解：依题意有 lim = 1， x→0 x sin x1 2 4 21 41因为1 (1 ? ax ) ? 1 = ?1 + (?ax ) ? ? 1 ? × ( ?ax 2 ) ， sin x ? x ，则 ? ? 4 1 1 × (? ax 2 ) (1 ? ax 2 ) 4 ? 1 a 4 lim = lim = ? = 1 ，故 a = ?4 ． 2 x→0 x →0 x sin x x 4习 题 1-81．研究下列函数的连续性： ?x , | x |≤ 1 , （1） f ( x) = ? ? 1 , | x |& 1;x∈Q , ?1 , （2） f ( x) = ? x ∈ Qc . ?0 , 解答： （1）在 ( ?∞, ?1) 和 ( ?1, +∞ ) 内连续， x = ?1 为跳跃间断点；（2） f ( x) 在 R 上处处不连续。 2．讨论下列函数的间断点，并指出其类型．如果是可去间断点，则补充或改变函数的 定义使其连续． 1 （1） f ( x) = ； 1 x 1+ e 解答： f ( x) 在 ( ?∞, 0 ) 和 ( 0, +∞ ) 内连续， x = 0 为跳跃间断点．1 ? ? x sin , （2） f ( x) = ? x ?0 , ? x≠0, x=0;解： f ( x) 在 R 上是连续的． （3） f ( x) =x2 ? 1 ； x 2 ? 3x + 2 解：f ( x) 在 ?∞ ， ） 1， ） （2，+∞ ） （ 1 ， 2 和 （ 内连续， 为可去向断点， x=1 若令 f (1) = ?2 ,则 f ( x) 在 x=1 连续 ；x=2 为第二类向断点．1 （4） f ( x) = sin ； x13第一章 函数与极限习题详解解： f ( x) 在（ ?∞ ，0）和 (0, +∞) 内连续，x=0 为第二类向断点； （5） f ( x) =x2 ? x ； | x | ( x 2 ? 1) （－ ， 解： f ( x) 在 (?∞, ?1) ， 1，0）（0，1）和 (1, +∞) 内连续；x= ?1 是第二类间断点；1 ，则 f ( x) 在 x=1 处连续． 2x=0 是跳跃间断点；x=1 是可去间断点，若令 f (1) =x≥3, ?x + 1 , （6） f ( x) = ? x&3. ?4 ? x , 解： f ( x) 在 (?∞,3) 和 [3, +∞) 内连续，x＝3 为跳跃间断点．3．讨论下列函数的连续性，若有间断点，判别其类型． 1 （1） f ( x) = lim ( x ≥ 0) ； n →∞ 1 + x n ? 1, 0 ≤ x & 1, ? ? 1 解： f ( x) = ? x = 1 为跳跃间断点； x = 1, ? 2, ? 0, x & 1. ?(1 ? x 2 n ) x ． n →∞ 1 + x 2 n ? x, | x |& 1 ? 解： f ( x) = ? 0, | x |= 1 x = 1和x = ?1 为跳跃间断点． ?? x, | x |& 1 ?（2） f ( x) = lim? sin 2 x , x&0, ? 试确定 a 的值，使函数 f ( x) 在 x = 0 处连续． 4．设函数 f ( x) = ? x ? x2 + a , x ≥ 0 . ? sin 2 x 解：因为 lim f ( x) = lim = 2, lim+ f ( x) = lim ( x 2 + a ) = a, f (0) = a, 所以，依题意有 x → 0? x → 0? x →0 x → 0+ xa =2.? ln(1 + 3x) , ? 5．设函数 f ( x) = ? sin ax ?bx + 1, ?x →0 x→0x&0, x≤0x→0在点 x = 0 处连续，求 a 和 b 的值．ln(1 + 3x) 3 = ， f (0) = 1, 依 题 意 有 sin ax a解 ： 因 为 lim f ( x) = lim (bx + 1) = 1, lim f ( x) = lim ? ? + +x →0a = 3, b 为任意实数．6．试分别举出具有以下性质的函数 f ( x) 的例子： 1 1 (1) x = 0, ± 1, ± 2, ± ,? , ± n, ± ,? 是 f ( x) 的所有间断点，且它们都是无穷间断点， 2 n π 例如： f ( x) = cot( πx) + cot ； x14第一章 函数与极限习题详解? 1, x ∈ Q, (2) f ( x) 在 R 上处处不连续，但 f ( x) 在 R 上处处连续；例如： f ( x) = ? c ??1, x ∈ Q ; ? x , x ∈ Q, (3) f ( x) 在 R 上处处有定义，但仅在一点连续，例如： f ( x) = ? c ? ? x, x ∈ Q .习 题 1-91．研究下列函数的连续性： （1） f ( x) = x 2 cos x + e x ； 解答： 因为 f ( x) = x 2 cos x + e x 在 ( ?∞, +∞ ) 上是初等函数， 所以 f ( x) 在 ( ?∞, +∞ ) 上连续．x?3 ； x ? 273（2） f ( x) =解答： 显然当 x = 3 时， f ( x) 无意义， lim 但 的可去间断点． （3） f ( x) = ? x 2 ? x + 12 ；x?3 1 x?3 = ， x = 3 是函数 f ( x) = 3 则 x →3 x ? 27 27 x ? 273解答：当 ? x 2 ? x + 12 ≥ 0 时，即 x ∈ [ ?4,3] 时， f ( x) 连续．２．求下列极限： ? x +1 ? （1） lim sin ? π ?； ? 5x + 3 ? x →1 ? ? x +1 π ) = sin = 1; 解： lim sin(π x →1 5x + 3 2 （2） lim arcsinx →+∞(x2 + x ? x ；)解： lim arcsin( x 2 + x ? x) = lim arcsinx →+∞( x 2 + x ? x)( x 2 + x + x) x2 + x + xx→+∞x +x+x 1 + ln(2 ? x) （3） lim 2 ； x →1 π 3arctan x ? 4 1 1 + ln(2 ? x) + ln(2 ? 1) 1 解： lim 2 = 2 = ; x →1 π π π 3arctan x ? 3arctan1 ? 4 4x →+∞2＝ lim arcsinx= arcsin1 π = ； 2 615第一章 函数与极限习题详解1? x x（4） lim (1 ? 4 x )x→0；? 1 1? x × ( ? 4 x )× 4x x解： lim (1 ? 4 x )x→01? x x= lim[1 + (?4 x)]x→0= e ?4 ；（5） lim[1 + ln (1 + x )] x ；x→02解： lim[1 + ln(1 + x)] x = lim[1 + ln(1 + x)]ln(1+ x )x→0 x →0 121×2 ln(1+ x ) x= e2 ；（6） lim(1 + x 2 e x )1? cos x ；x→0解： lim(1 + x e )x→01 2 x 1? cos x= lim(1 + x e )x →01 x2 × ×e x 2 x x 2 e x 1? cos x= e2 ;（7） limx→01 + tan x ? 1 + sin xx 1 + sin 2 x ? x1 + tan x ? 1 + sin x；解： limx→0x 1 + sin 2 x ? x（ 1 + sin x ? 1 x ）（ 1 + sin x＋1 ）2 2=limx→0( 1 + tan x ? 1 + sin x )( 1 + tan x + 1 + sin x )×1 + sin 2 x + 1 1 + tan x + 1 + sin x== lim (tan x ? sin x) 1 + sin 2 x + 1 × lim x →0 x→0 x ? sin 2 x 1 + tan x + 1 + sin x x2 x? tan x(1 ? cos x) 2 =1 ； = lim = lim 2 x →0 x →0 x ? x 2 x ? sin x 22（8） lim(cos x)cot x ；x→0解： lim(cos x)x→0cot 2 x= lim(1 + cos x ? 1)x →01 cos x ?1 ? cos x ?1 tan 2 x=e?1 2；（9） lim n[ln n ? ln(n + 2)] ．n →∞解： lim n[ln n ? ln(n + 2)] = lim n lnn →∞ n →∞n 2 = lim n ln(1 ? ) n →∞ n+2 n+2n + 2 ? ?2 n ?= lim ln(1 ?n →∞? 2 n ?2 ?2 ?? n + 2 ? ) = lim ln(1 + ) ? = ln e?2 = ?2 n →∞ n+2 n+2；3．设函数 f ( x) 与 g ( x) 在点 x0 连续，证明函数 在点 x0 也连续． 证明：略．? ( x) = max { f ( x) , g ( x)} ，ψ ( x) = min { f ( x) , g ( x)}16第一章 函数与极限习题详解?a + bx 2 , x ≤ 0, ? 4．若函数 f ( x) = ? sin bx 在 (?∞, +∞) 内连续，则 a 和 b 的关系是（ , x&0 ? ? x A． a = b ． B． a & b ． C． a & b ． D ．不能确定．） ．解 答 ： 因 为 lim f ( x) = lim ( a + bx 2 ) = a, lim f ( x) = lim ? ? + +x →0 x→0 x →0 x →0sin bx = b, f (0) = a, 依 题 意 有 xa=b． ? x + 2a ? 5．设 lim ? ? = 8 且 a ≠ 0 ，求常数 a 的值． x →∞ ? x?a ?x解 ： 因 为 lim(x →∞a = ln 2 ．3 ax x + 2a x 3a x 3a x3?aa ? x ? a ) = lim(1 + ) = lim(1 + ) = e3 a ， 则 e3 a = 8 ， 所 以 x →∞ x →∞ x?a x?a x?a习 题 1-101. 证明方程 x ln x = 2 在 (1, e) 内至少有一实根． 证明：令 f ( x) = x ln x ? 2 ，则 f ( x) 在[1,e]上连续，又 f (1) = ?2 & 0 ， f (e) = e ? 2 & 0, 根 据零点定理， f ( x) = x ln x ? 2 在开区间 (1, e) 内至少有一点 ξ 使 f (ξ ) = 0 ， x ln x = 2 在 即 (1, e) 内至少有一实根．2．证明方程 x5 + x = 1 有正实根． 证明：令 f ( x) = x5 + x ? 1 ，则 f ( x) 在 (?∞, +∞) 内连续，又 f (0) = ?1 & 0 ， f (1) = 1 & 0 ， 根据零点定理， f ( x) = x5 + x ? 1 在 (0,1) 内至少有一点 ξ ，使 f (ξ ) = 0 ，即 x5 + x = 1 有正 实根． 3．设函数 f ( x) 对于闭区间 [a , b] 上的任意两点 x 、 y ，恒有 f ( x) ? f ( y ) ≤ L x ? y ，其 中 L 为正常数，且 f (a) ? f (b) & 0 ．证明：至少有一点 ξ ∈ (a, b) ，使得 f (ξ ) = 0 ． 证明：任取 x ∈ (a, b) ，取 ?x ，使 x + ?x ∈ (a, b) ，依题意有 0 ≤ f ( x + ?x) ? f ( x) ≤ L ?x ， 则 lim f ( x + ?x) ? f ( x) = 0 ，即 lim f ( x + ?x) = f ( x) ，由 x 的任意性，可知 f ( x) 在 (a, b) 内连?x → 0 ?x → 0续 ， 同 理 可 证 f ( x ) 在 点 a 右 连 续 ， 点 b 左 连 续 ， 那 么 ， f ( x ) 在 [ a, b] 上 连 续 。 而 且 f (a) ? f (b) & 0 ，根据零点定理，至少有一点 ξ ∈ (a, b) ，使得 f (ξ ) = 0 ． 4．若 f ( x) 在 [a , b] 上连续， a & x1 & x2 & ? & xn & b ，则在 ( x1 , xn ) 内至少有一点 ξ ，使 f ( x1 ) + f ( x2 ) + ? + f ( xn ) f (ξ ) = ． n 证明：因为 f ( x) 在 [a, b] 上连续，所以 f ( x) 在 [a, b] 上有最小值 m ，最大值 M ，使得 f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) m ≤ f ( x1 ) ≤ M , m ≤ f ( x2 ) ≤ M ， ，m ≤ f ( xn ) ≤ M ， ... 因此 m ≤ ≤M， n f ( x1 ) + f ( x2 ) + ? + f ( xn ) 由介值定理得，在 ( x1 , xn ) 内至少有一点 ξ ，使 f (ξ ) = . n ５．若 f ( x) 在 [a , b] 上连续， xi ∈ [a , b] , ti & 0 (i = 1 , 2 , 3 ,?, n) ，且 ∑ ti = 1 ．试证至少i =0 n存在一点 ξ ∈ (a , b) 使得 f (ξ ) = t1 f ( x1 ) + t2 f ( x2 ) + ? + tn f ( xn ) ．17第一章 函数与极限习题详解证明：因为 f ( x) 在 [a , b] 上连续，所以 f ( x) 在 [a , b] 上有最小值 m ，最大值 M ，使得m ≤ f ( x1 ) ≤ M , m ≤ f ( x2 ) ≤ M ， ... ， m ≤ f ( xn ) ≤ M ， 那 么 t1m ≤ t1 f ( x1 ) ≤ t1 M ， t 2 m ≤ t 2 f ( x2 ) ≤ t 2 M ， ...t n m ≤ t n f ( xn ) ≤ t n M ，即 m∑ ti ≤ ∑ ti f (i ) ≤ M ∑ ti ，又 ∑ ti = 1 ，故i =1 i =1 i =1 i =1 n n n nm ≤ ∑ ti f (i ) ≤ M ，由介值定理可知，至少存在一点 ε ∈ (a, b) 使得i =1nf (ξ ) = t1 f ( x1 ) + t2 f ( x2 ) + ? + tn f ( xn ) ．6．证明：若 f ( x) 在 (?∞ , + ∞) 内连续，且 lim f ( x) 存在，则 f ( x) 必在 (?∞ , + ∞) 内有界．x →∞证明： 因为 lim f ( x) 存在， 则必有 X & 0 ， 使得当 x & X 时， 对任意的 ε ， f ( x) ? a & ε ， 有x →∞因此， f ( x) 在区间 (?∞, ? X ) 及区间 ( X , +∞) 上有界，即当 x ∈ (?∞, ? X ) ∪ ( X , +∞) ，存在M 1 & 0 ，有 f ( x) ≤ M 1 ，同时， f ( x) 在 [? X , X ] 上连续，有由有界性定理知，存在 M 2 & 0 ，当 x ∈ [? X , X ], f ( x) ≤ M 2 ，取 max{M 1 , M 2 } = M ，则当 x ∈ (?∞, +∞) 时，总有 f ( x) ≤ M ，即f ( x) 在 (?∞, +∞) 内有界．复习题 A1.设 f ( x) =1 x , g ( x) = , 求 f [ g ( x) ] , g ? f ( x ) ? 及其定义域. ? ? 2 ? x2 1+ x1 ? x ? 2?? ? ?1+ x ?2解: f [ g ( x ) ] ==(1 + x )2x2 + 4x + 2, 其定义域为 x 2 + 4 x + 2 ≠ 0 且 x ≠ 1 ,即 D = x | x ≠ ?2 ± 2且x ≠ ?1 ;.1 2 1 g ? f ( x )? = 2 ? x = ,其定义域为 2 ? x 2 ≠ 0且3-x 2 ≠ 0, ? ? 1 3 ? x2 1+ 2 ? x2 D = x | x ≠ ± 2且x ≠ ± 3 .{}{}2.求函数 f ( x) = (1 + x 2 ) sgn x 的反函数.?? ?( x + 1), x & ?1 ? ?(1 + x 2 ), x & 0 ? ? ?1 解: 因 f ( x ) = ? 0, x = 0 , 所以, f ( x) = ? 0, x=0 ? 1 + x2 , ? x&0 x ? 1, x &1 ? ?3．单项选择题 (1)下列各式中正确的是（ A． lim (1 + x ) = e ； +x →0 1 x）? 1? B． lim ? 1 + ? = e ； + x →0 ? x?x18第一章 函数与极限习题详解C． lim ? 1 ?? x →∞ ?1? ? = ?e ； x?xD． lim ? 1 + x →+∞? ?1? ? x??x= e．(2)当 x → 0 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小（ ） ． A． x ； C． 1 ? x ? 1 ；22B． 1 ? cos x ； D． x ? tan x ． ） C． ∞ ； D．不存在但不为 ∞ ．x 2 ? 1 x1 1 (3)极限 lim e ? 为（ x →1 x ? 1A． 1 ； B． 0 ；(4) 若当 x → x0 时，α ( x) 和 β ( x) 都是无穷小，则当 x → x0 时，下列表达式中哪一 个不一定是无穷小（ A． α ( x) + ） ． B． α 2 ( x) 和 β 2 ( x) ；β ( x) ；C． ln [1 + α ( x) ? β ( x) ] ；α 2 ( x) D． ． β ( x)? x2 + 2 x + b , x ≠ 1, ? (5) 设 f ( x ) = ? 适合 lim f ( x ) = A ，则以下结果正确的是（ ） ． x ?1 x →1 ? a, x =1 ?A． a = 4, b = ?3, A = 4 ； C． b = ?3, A = 4, a 可取任意实数； 解答： (1) A; (2) D; (3) D: (4) D; (5) C． B． a = 4, A = 4, b 可取任意实数； D． a, b, A 都可取任意实数．4.求下列极限: (1) lim 3 sinn →∞ nπ 3n ?1= limsinn →∞π 3n ?1 3π = 3π ; π3n ?11 1 ? n +1 1 1 8 =8; (2) lim(1 + + ? + + n ) = lim n →∞ n →∞ 1 8 8 7 1? 8 (3) lim arccos( x 2 + x ? x) = lim arccosn →+∞ n →+∞( x 2 + x ? x)( x 2 + x + x) x2 + x + x;= lim arccosn →+∞x x +x+x2= arccos1 π = ; 2 319第一章 函数与极限习题详解1 ? cos 2 x 2sin 2 x 2 = lim = ; x → 0 x sin 3 x x → 0 x i3 x 3 1 1 x 2 cos sin x 2 cos x = lim x = lim x cos 1 = 0; (5) lim x→0 x→0 x →0 x x x(4) lim(6) limx→01 + 6x ? 1 ? 2x = lim x →0 x2 + 4x2(1 + 6x ? 1 ? 2x(x2+ 4x )()(1 + 6x + 1 ? 2x1 + 6x + 1 ? 2x))= limx→0(x+ 4x)(8x 1 + 6x + 1 ? 2x)= limx →0( x + 4) (8 1 + 6x + 1 ? 2x)=1;sin x sin x ) sin 2 ( ) 2 = lim 2 = 1; x→0 x2 2 x2 4 1 sin 1 1 1 1 ? ? x + lim 1 sin x = 1 + 0 = 1; (8) lim ? x sin + sin x ? = lim x sin + lim sin x = lim x →∞ x →∞ x →∞ x →∞ x 1 x x x x →∞ x ? ? x 2 ax x+a x 2a x2?aa i x ? a (9) lim( ) = lim(1 + ) = e2 x →∞ x ? a x →∞ x?a 1 ? cos(sin x) (7) lim = lim x → 0 2 In(1 + x 2 ) x →0 2sin 2 ((10) lim x cos x = lim ?1 + (cos x ? 1) ? x = lim ?1 + (cos x ? 1) ? cos ? ? x → 0+ x → 0+ ? x → 0+ ?11 x ?1?cos x ?1 x=e 2．?15． 设当 x → x0 时，f ( x ) 是比 g ( x ) 高阶的无穷小． 证明： x → x0 时，f ( x ) + g ( x) 与 g ( x ) 当 是等价无穷小． 证明: 由已知得 lim是等价无穷小．x → x0f ( x) f ( x) + g ( x) f ( x) = 0, 则 lim = lim ( + 1) = 1, 即 f ( x) + g ( x)与g ( x) x → x0 x → x0 g ( x ) g ( x) g ( x)6．已知 limx→2x3 + ax + b = 8 ，求常数 a 与 b 的值． x?2x3 + ax + b 解 ： 因 为 lim = 8 ， 所 以 lim( x3 + ax + b) = 8 + 2a + b = 0 ， 则 x→2 x→2 x?2b = ?8 ? 2a, 那么lim x3 + ax + b ( x ? 2)[ x 2 + 2 x + ( a + 4)] = lim x→2 x→2 x?2 ( x ? 2)= lim[ x 2 + 2 x + (a + 4)] = a + 12 = 8 ， 解得a = ?4, b = 0 ．x →27.设 x1 = 10, xn +1 = 6 + xn (n ≥ 1).证明数列{xn }极限存在， 并求此极限．证明： 用数学归纳法证明此数列的单调性． 因为 x1 = 10 及 x2 = 6 + x1 = 4 ， 可知 x1 & x2 , 所以{xn } 单调递减， 又显然 xn & 0 ， xn } 即{ 假设 xn & xn +1 , 则 xn +1 = 6 + xn & 6 + xn +1 = xn + 2 ，20第一章 函数与极限习题详解有下界，由单调有界准则知 {xn } 存在极限，设 lim xn = A ， 对xn +1 = 6 + xn 两边取极限，有n →∞A= 6 + A ，解之得 A=3 或 A= ?2 （舍去） ，即得 lim xn =3．n →∞? sin6x ? 2x , x & 0, ? 8.确定常数 a 与 b 的值，使得函数 f ( x) = ? a + 3x, x = 0, 处处连续． ? 1 ?(1 + bx) x , x & 0. ?解：当 x & 0 时， f ( x) =1 sin 6 x 和当 x & 0 时， f ( x) = (1 + bx) x ，显然它们都是连续的，又 2x1 b sin 6 x =3，lim f x） lim (1 + bx) x = lim (1 + bx) bx = eb ， x = 0 时， f ( x) =a, （ = + 当 x →0 x →0 x → 0+ x →0 x → 0+ 2x 要使 f（x）在 x=0 点也连续，则 eb =3=a,即 a=3,b=ln3．lim f x） lim （ = ? ?9.求下列函数的间断点，并判断其类型．（1） f ( x) = arctan1 ； xx →0解：因为 lim f ( x) = lim arctan ? ?x →01 π 1 π = ? ， lim f ( x) = lim arctan = ，又 x ≠ 0 时， f ( x) + + x →0 x 2 x →0 x 2连续，所以只有 x=0 为间断点，x=0 为跳跃间断点． （ 2） f ( x ) =x ； tan xx→0 x →0解：当 tanx=0 时，有 x=0 或 x=n π （n= ± 1, ± 2,…）因为 lim f ( x) = limx =1，所以 tan xx=0 为可去间断点．又 lim间断点．当 x = nπ + 是可去间断点．x → nπx = ∞ （n= ± 1, ± 2,…） ，所以 x = nπ （n= ± 1, ± 2,…）为无穷 tan xπ2π2（n= ± 1, ± 2,…）时， limx → nπ +x π =0，所以 x = nπ + （n= ± 1, ± 2,…） tan x 2（3） f ( x) = limx + enx ； x →∞ 1 + e nxnx?1, x & 0, ?1 x+e ? 解： f ( x) = lim = ? , x = 0 ，因 lim f（x）=0， lim nx x →∞ 1 + e x → 0? x → 0+ ?2 ? x, x & 0, ?断点．f ( x) =1，所以 x=0 为跳跃间21第一章 函数与极限习题详解复习题 B1．单项选择题 （1）当 x → 0 时，下列无穷小量中与 x 不等价的是（ A． x ? 3 x 2 + x 3 ． ） ． D． sin(6sin x + x 2 ) ．ln(1 + x ) ． x （2）下列极限不存在的是（ ） ．2B．C． e x ? 2 x 2 + 5 x 4 ? 1 ．A．lim (2 x +x →+∞1x 2 ? 3x + 1 sin x 1 ln(1 + x) 1 ． D．lim ( ) ． B． x sin ． C．lim lim + arctan ) ． x→0 x →∞ x → 0+ x x x x x）等于 e ．1 x（3）极限（x →∞A． lim(1 + x) ．1 B． lim (1 + ) x ?1 ． x →?∞ x1 1 C． lim (1 ? ) x ． D． lim(1 + ) x ． x →?∞ x→0 x xn →∞ n →∞． （4）设 ?n ，数列 | f ( n) |& g ( n) ，如果 lim g ( n) = 3 ，则 lim f ( n) 的值为（ ） A． lim f (n) = ?3 ． B． 3 ≤ lim f (n) ≤ 3 ． C． f (n) = 3 ． D． 3 & lim f (n) & 3 ． ? lim ?n →∞ n →∞ n →∞ n →∞（5）已知 lim(x →∞2x ? ax ? b) = 1 ，其中 a 与 b 为常数．则（ ） ． x +1 A． a = 2 ， b = 3 ． B． a = ?2 ， b = 3 ． C． a = 2 ， b = ?3 ． D． a = ?2 ， b = ?3 ．） ． B．只有 1 个可去间断点． D．有 3 个可去间断点．2x3 ? x ，则（ sin π x A．有无穷多个第一类间断点． C．有 2 个跳跃间断点．（6）设函数 f ( x) =解答： （1）D;（2）C;（3）B;（4）B;（5）C;（6）D（提示：x=0， ± 1 为可去间断点 ± ） 2．填空题 （1）设函数 f ( x) 的定义域是[0,1] ，则 f (x ?1 ) 的定义域是_________． x +11 1 + x ? x2 （2）计算 lim ln =_________． x →0 x 1 ? x + x21（3）设 lim(1 + 2 x ? 2 x ) ax + bx = e ，则 a =_________， b =222x →0．（4）设 x → 0+ 时， e （5）设 limx →0x cos x 2? e x 与 x ? 是同阶无穷小，则 ? =． ．f ( x) f ( x) = ?3 ，则 lim = 3 x →0 x x， limx →0f ( x) = x2（6） 在“充分”“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入空格内：数列 xn } 有 、 界是数列 xn } 收敛的{{条件； 函数 f ( x ) 的极限 lim f ( x) 存在是 f ( x ) 在 x0 的某一去x → x022第一章 函数与极限习题详解心邻域内有界的条件；函数 f ( x ) 在 x0 的某一去心邻域内无界是 lim f ( x) = ∞ 的x → x0条件；函数 f ( x) 在 x0 左连续且右连续是 f ( x) 在 x0 连续的条件．9 答案： （1） [1, +∞ ] ； 2）1； 3）a=1；b 为任意实数； 4） ;（5）0，0； 6）必要，充分， （ （ （ （ 2必要，充要．（2）题解答过程： limx→ 01 1 + x ? x2 ln(1 + x ? x 2 ) ? ln(1 ? x + x 2 ) ln = lim 2 x→ 0 x 2x 1? x + x= limx→ 0ln ?1 + x ? x 2 ) ? ? （ ? 2x?ln ?(1+( ? x + x 2 ) ? ? ? 2x= limx→ 0x ? x2 ? x + x2 1 1 ? lim = ?(? ) =1． x →0 2x 2x 2 2（3）题解答过程： 因为 lim(1 + 2 x ? 2 x )x →0 1 2 ax + bx 2= lim (1 + 2 x ? 2 x )x→ 01 2 x ? 2 x2 × 2 2 x ? 2 x 2 ax + bx 2= e a = e2 ，所以，a=1，b 为任意实2数． （4）题解答过程： 因为 lim +x →0ex cos x 2 ? exxu= lim +x →0e x [ex (cos x 2 ?1)? 1]xue x i x (cos x 2 ? 1) = lim = lim + x →0 x → 0+ xuex1 ? x (? x 4 ) 2 =c 常 （ xu数） ，所以 u=9 ． 2f ( x) f ( x) = ?3 ，所以 3 = ?3 + α ( x) x3 x(其中 α ( x) 为当 x → 0 时的（5）题解答过程：因为 limx→ 0无穷小量)， 那么f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) = ?3x 2 + x 2 iα ( x) ， 2 = ?3x + xiα ( x) ， lim 故 =0，lim =0． x→ 0 x→ 0 x x x x23．求下列极限： （1） lim[ 1 + 2 + ? + n ? 1 + 2 + ? + (n ? 1)] ；n →∞（2） lim +x →0ex ? 131 ? cos x(1 ? cos x)；1 ? a x + bx + cx ? x （3） lim ? ． ( a & 0 , b & 0 , c & 0) ； （4） lim(1 + e x arctan x 2 )1? cos x ； ? x→0 x →0 3 ? ?1（5） lim(sin x )π x→ 2tan x；（6） lim (sinx →+∞x + 1 ? sin x ) ；23第一章 函数与极限习题详解1 1 1 1 （7） lim(1 + + + ? + ) n ； n →∞ 2 3 n1 ? ? 2 + e x sin x ? ? （8） lim + ； 4 x →0 ? | x| ? ? 1+ e x ? ? ?（9） lim(1 + x )(1 + x ) ? (1 + x ) , | x |& 1 ； （10） lim2 2n x →∞x→0ln(esin x + 3 1 ? cos x ) ? sin x arctan(4 3 1 ? cos x )．解答： （1） lim[ 1 + 2 + ? + n ? 1 + 2 + ? + ( n ? 1) ] = lim[n →∞n →∞n( n + 1) (n ? 1) n ? ] 2 2[ = limn →∞n(n + 1) (n ? 1)n n(n + 1) (n ? 1) n ? ][ + ] n 2 2 2 2 = lim n →∞ n( n + 1) (n ? 1)n n(n + 1) (n ? 1) n [ ] [ ] + + 2 2 2 2= lim1 1+ 1 1 1? n + n 2 23n →∞=2 2（2） lim +x →0ex ? 1 1 ? cos x(1 ? cos x)= lim +x →0（x x x x →0x3 x3 = lim 3 = 4 ． x(1 ? cos x) x →0+ x 2 4 3x1 x）x( a x ?1) + ( b x ?1) + ( c x ?1) i a x + bx + c x ?3 3x 3lim (a +b +c a +b +c ?3 a +b +c ?3 ) = lim(1 + ) = lim(1 + ) x→0 x →0 3 3 31 x x x x x=eln abc 3= 3 abc ．x 1 2 1? cos x（4） lim (1 + e arctan x )x →0= lim (1 + e arctan x )x x →0 1 × sin x (sin x ?1) cos x1 e x arctan x 2 i 2 e x arctan x 2 1? cos x= e2 ．（5） lim (sin x) tan x = lim(1 + sin x ? 1) sin x ?1 πx→πx→221 × sin x ?1= lim (1 + sin x ? 1)x→x x ? sin x (cos ? sin )2 2 2 x x cos2 ? sin 2 2 2π= e0 = 1 ．2（6） lim (sin x + 1 ? sin x ) = lim 2sinx →+∞ x →+∞x +1 ? x x +1 + x cos ， 2 2其 中 |2 cosx +1 + x x +1 + x x +1 ? x | ≤ 2 ，即 2 cos 是 有界量， lim sin = 0 ，故 x →+∞ 2 2 2x →+∞lim (sin x + 1 ? sin x ) = 0 ．24第一章 函数与极限习题详解（7）因为 1 ≤ (1 +1 1 1 1 1 1 1 1 n n + + .... + ) n ≤ n ，又 lim n = 1 ，所以 lim(1 + + + .... + ) n = 1 ． n →∞ n →∞ 2 3 n 2 3 n11sin x 2 + e x sin x （8）因为 lim ( + ) = lim ( ? ) = 2 ?1 = 1 ， 4 4 ? ? x →0 x→0 | x| x x x 1+ e 1+ e sin x 2 + e x sin x 2 + e x sin x lim ( + ) = lim ( + ) = 0 + 1 = 1 ，所以， lim ( + ) =1． 4 4 4 x → 0+ x → 0+ x →0 |x| x |x| x x x 1+ e 1+ e 1+ e(1 ? x)(1 + x)(1 + x 2 )...(1 + x 2 ) （9） lim(1 + x)(1 + x )...(1 + x ) = lim n →∞ n →∞ 1? xn2 + ex112 + ex11122n= lim1 ? x2 1 = (| x |& 1) . n →∞ 1 ? x 1? x = limx →0n +1（10） limx→0ln(esin x + 3 1 ? cos x ) ? sin x arctan(4 3 1 ? cos x )ln(esin x + 3 1 ? cos x ) ? ln esin x 4 3 1 ? cos x3 1 ? cos x 1 ? cos x ) sin x sin x 1 1 1 e = lim 3 e = lim sin x = . 3 x →0 4 4 1 ? cos x 4 1 ? cos x 4 x →0 e 3= limx →0ln(1 +4．已知函数 f ( x) = limxn ，试确定 f ( x) 的间断点及其类型． n →∞ 2 + x 2 n ?0,| x |& 1 ?0,0 ≤| x |& 1 ? xn ? 解：因为 f ( x) = lim = ?1 ， 2n n →+∞ 2 + x ?3 , x = 1 ? ?不存在，x=-1 ?x →1 x →1 x →?1 x →?1所以 lim f ( x) = lim f ( x) = 0 ≠ f (1) ， lim? f ( x) = lim+ f ( x) = 0, f (?1)不存在， ? +因此， x = ±1 均为可去间断点。? ax 2 + bx, x & 1, ? 5．设函数 f ( x) = ?3, x = 1, 求 a ， b 使 f ( x) 在 x = 1 处连续． ? 2a ? bx, x & 1. ?解： 因为 lim f ( x) = lim(ax 2 + bx) = a + b ， lim f ( x) = lim(2a ? bx) = 2a ? b ? ? + +x →1 x →1 x →1 x →1? a + b = 2a ? b f (1) = 3 ，要使 f ( x) 在 x = 1 处连续，则 ? ，解得 a = 2 ， b = 1 . ?a + b = 3π π 6．求证方程 x + 1 + sin x = 0 在区间 (? , ) 上至少有一个根． 2 225第一章 函数与极限习题详解π π ? π π? 证明：令 f ( x) = x + 1 + sin x ，显然 f ( x) 在 ? ? , ? 上连续，又 f (? ) = ? & 0 ， 2 2 ? 2 2? π π ? π π? f ( ) = + 2 & 0 ，由零点定理可知， f ( x) 在 ? ? , ? 内至少有一个零点 ξ ，即方程 2 2 ? 2 2?? π π? x + 1 + sin x = 0 在 ? ? , ? 内至少有一个根. ? 2 2?1 a 7．设 a & 0 ，任取 x1 & 0 ，令 xn +1 = ( xn + ) （其中 n = 1, 2,? ） ．证明数列 { xn } 收敛．并求 2 xn极限 lim xn ．n →∞x2 1 1 a （1）若 xn ≤ a ，则 xn +1 = ( xn + ) ≥ ( xn + n ) = xn ， 证明：首先证明 { xn } 是单调的， 2 2 xn xn x2 1 a 1 即 { xn } 单调递增有上界。 （2）若 xn & a ，则 xn +1 = ( xn + ) & ( xn + n ) = xn ，即 2 xn 2 xn（2）知数列 { xn } 有极限存在；令 lim xn = A ，则 A = { xn } 单调递减有上界，综（1） n →∞ 解之得 A = a 或 A = ? a （舍去） ，即 lim xn = a .n →∞1 a (A + ) ， 2 A8． 成本―效益模型 从某工厂的污水池清除污染物的百分比 p 与费用 c 是由下列模型给出：p (c ) =100c ． 8000 + c如果费用 c 允许无限增长， 试求出可被清除污染物的百分比． 实际上， 可以完全清除污染吗？ 100c 解：lim p (c) = lim = 100 所以如果费用 C 允许无限增长， 可被清除污染物的百分 c →∞ c →∞ 8000 + c 比为 100%，实际上是不可能完全清除污染的.26
§ 1 函数与极限习题与答案... 10页 免费 广东版高数 第01章 函数与... ...第一章 函数与极限习题详解 第一章 函数与极限习 题 1-1 1.求下列函数的自...高等数学上册第一章函数与极限习题答案_理学_高等教育_教育专区。2006年版习题答案 习题 1-1 (A) 1.(1) (∞,1) ∪ (1,2) ∪ (2,+∞) (2) [1,0...版; 同济大学数学系编; 《高等数学习题全解指南》 ;高等教育出版社;第六版;...极限第 1 章第 3 节函数的极限第 1 章第 4 节无穷小与无穷大 数列极限的...高等数学A1第1章课后习题答案_理学_高等教育_教育专区。高等数学A1第一章课后答案...0 。 由函数极限与无穷小的关系,得 lim[ f ( x) g ( x)] ? AB 。 ...高等数学习题_第1章_函数与极限_理学_高等教育_教育专区。高等数学第一章函数与极限一、选择题(共 191 小题) 1、A 下列函数中为奇函数的是 ( A) y ? x...中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解_理学_高等教育_教育专区。中国人们大学出版社 高等数学一 第一学期 第一章函数、 第一章函数、极限与...高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数, & M ? N & 表示“M 的充分必 要条件是 N”,则必有 (A) F(...高等数学教案 第一章 函数与极限 第一章 函数与极限 教学目的: 1、 理解函数的概念, 掌握函数的表示方法, 并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、 了解...高等数学习题_第1章_函数与极限_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高等数学习题_第1章_函数与极限_理学_高等教育_教育专区。高等数学...高等数学习题_第1章_函数与极限 - 副本_理学_高等教育_教育专区。高等数学一、选择题(共 191 小题,100 分) 22、 设函数f ( x) ? x sin 1 ,则当x ?...
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