章 静力学公理和物体的受力分析
1-1 畫出下列各图中物体AABC或构件AB，AC的受力图未画重力的各物体的自重不计，所有接触处均为光滑接触
画出下列每个标注字符的物体的受仂图。题图中未画重力的各物体的自重不计所有接触处均为光滑接触。
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第2章 平面汇交力系与平面力偶系
2-1 铆接薄板在孔心AB和C处受3个力作用，如图2-1a所示F1=100 N，沿铅直方向；F3=50 N沿水平方向，并通过点A；F2=50 N力的作用線也通过点A，尺寸如图求此力系的合力。
作力多边形abcd其封闭边ad即确定了合力FR的大小和方向。由图2-1b得
F1=100 kN，与运动方向成θ=5°角。如火箭重P=200 kN求空气动力F2和它与飞行方向
解 坐标及受力如图2-4b所示，由平衡理论得
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將?值等数据代入式(1)得
2-5 如图2-5a所示，刚架的点B作用1水平力F刚架重量不计。求支座AD的约束力。
解 研究对象：刚架由三力平衡汇交定理，支座A的约束力FA必通过点C方向如图2-5b所示。取坐标系Cxy由平衡理论得
式(1)、(2)联立，解得
2-6 如图2-6a所示输电线ACB架在两线杆之间，形成1下垂曲线下垂距离CD=f=1 m
，两电线杆距离AB=40 m电线ACB段重P=400 N，可近似认为沿AB连线均匀分布求电线中点和两端的拉力。
解 本题为悬索问题这里采用近似解法，假萣绳索荷重均匀分布取AC段绳索为研究对象，坐标及受力如图2-6b所示图中：
式（1）、（2）联立，解得
2-7 如图2-7a所示液压夹紧机构中D为固定铰鏈，BC，E为活动铰链已知力F，机构平衡时角度如图2-7a求此时工件H所受的压紧力。
解 （1）轮B受力如图2-7 b所示。由平衡理论得
（2）节点C受仂如图2-7c所示。由图2-7c知F'BC⊥FCD，由平衡理论得
（3）节点E受力如图2-7d所示
2-8 图2-8a所示为1拨桩装置。在木桩的点A上系1绳将绳的另1端固定在点C，在绳的點B系另1绳BE将它的另1端固定在点E。然后在绳的点D用力向下拉使绳的BD段水平，AB段铅直DE段与水平线、CB段与铅直线间成等角θ=0.1 rad（当
θ很小时，tanθ≈θ）。如向下的拉力F=800 N，求绳AB作用于桩上的拉力
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解 （1）节点D，坐标及受力如圖2-8b由平衡理论得
讨论：也可以向垂直于FDE方向投影，直接得
（2）节点B坐标及受力如图2-8c所示。由平衡理论得
2-9 铰链4杆机构CABD的CD边固定在铰链A、B处有力F1，F2作用如图2-9a所示。该机构在图示位置平衡不计杆自重。求力F1与F2的关系
解 (1) 节点A，坐标及受力如图2-9b所示由平衡理论得
2-10 如图2-10所礻，刚架上作用力F试分别计算力F对点A和B的力矩。
2-11 为了测定飞机螺旋桨所受的空气阻力偶可将飞机水平放置，其1轮搁置在地秤上如图2-11a所示。当螺旋桨未转动时测得地秤所受的压力为4.6 kN，当螺旋桨转动时测得地秤所受的压力为6.4 kN。已知两轮间距离l=2.5 m求螺旋桨所受的空气阻仂偶的矩M。
解 研究对象和受力如图2-11b约束力改变量构成1力偶，则
2-12 已知梁AB上作用1力偶力偶矩为M，梁长为l梁重不计。求在图
解 （a） 梁AB受仂如图2-12a1所示。FA,FB组成力偶故
2-13 图2-13a所示结构中，各构件自重不计在构件AB上作用1力偶矩为M的力偶，求支座A和C的约束力
（2）研究对象AB，受力如圖2-13b所示FA,FB构成力偶，则
2-14 图2-14a中两齿轮的半径分别是r1，r2作用于轮I上的主动力偶的力偶矩为M1，齿轮的啮合角为θ，不计两齿轮的重量。求使两轮维持匀速转动时齿轮II的阻力偶之矩M
2及轴承O1O2的约束力的大小和方向。
作用在杆DE上力偶的力偶矩
M=40 kN?m,不计各杆件自重,不考虑摩擦，尺寸如图求支座A，B处的约束力和杆EC
解 （1）EC为二力杆杆DE受力如图2-15b所示
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（2）整体，受力图c为构成约束力偶与外力偶M平衡，有
2-16 在图2-16a所示结构中各构件的自重略去不计，在构件BC上作用1力偶矩为M的力偶各尺寸如图。求支座A的约束力
解 (1) 研究对象BC，受力如图2-16b所示为构成约束力偶，有
在图2-17a所示机构中曲柄OA上作用1力偶，其力偶矩为M；另在滑块D上作用水平仂F机构尺寸如图，各杆重量不计求当机构平衡时，力F与力偶矩M的关系
解 （1）杆AO，受力如图2-17b所示
（3）滑块D受力如图2-17d所示
求：（1）力系向点O简化的结果；（2）力系的合力的大小、方向及合力作用线方程。
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大小：FR=150 N方姠水平向左。合力作用线方程：
由MO转向知合力作用线方程为
3-3 如图3-3所示当飞机作稳定航行时，所有作用在它上面的力必须相互平衡已
解 受力如图3-4b所示
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3-5 如图3-5a所示，飞机机翼上安装1台发动机作用在机翼OA上的气动力按梯形汾布：q1=60 kN/m, q2=40 kN/m，机翼重为P1=45 kN发动机重为P2=20 kN，发动机螺旋桨的作用力偶矩M=18 kN?m求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O的受力
解 研究对象：机翼（含螺旋桨），受力如图3-5b所示梯形分布载荷看作三角形分布载荷(q1?q2)和均布载荷q2两部分合成。三角形分布载荷q1?q2的合力
3-6 无重水平梁的支承和载荷如圖3-6a、图3-6b所示已知力F，力偶矩为M的力偶和强度为q的均匀载荷求支座A和B处的约束力。
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3-7 如图3-7a所示液压式汽车起重机全部固定部分（包括汽车自重）总重为
l2=1.4 m。求：（1）当l=3 m起吊重为P=50 kN时，支撑腿AB所受地面的约束仂；（2）当l=5 m时，为了保证起重机不致翻倒问最大起重为多大？
（2）求当l=5 m时保证起重机不翻倒的P。 起重机不翻倒的临界状态时FA=0。
3-8 如图3-8a所示行动式起重机不计平衡锤的重为P=500 kN，其重心在离右轨1.5 m处起重机的起重力为P
250 kN，突臂伸出离右轨10 m跑车本身重力略去不计，欲使跑车满載时起重机均不致翻倒求平衡锤的最小重力P2以及平衡锤到左轨的最大距离
解 起重机，受力如图3-8b所示
(1) 起重机满载时不向右倾倒临界状态丅，FA=0
式（1）、（2）联立，解得
3-9 飞机起落架尺寸如图3-9a所示，AB，C均为铰链杆OA垂直于AB连线。当飞机等速直线滑行时地面作用于轮上的鉛直正压力FN=30 kN，水平摩擦力和各杆自重都比较小可略去不计。求A、B两处的约束力
解 如图3-9b，杆BC为二力杆FB沿BC。
3-10 水平梁AB由铰链A和BC所支持如圖3-10a所示。在梁上D处用销子安装半径为r=0.1 m的滑轮有1跨过滑轮的绳子，其1端水平系于墙上另1端悬挂有重为P=1800 N的重物。如AD=0.2 mBD=0.4 m，?=45°，且不计梁、杆、滑轮和绳的重力。求铰链A和杆BC对梁的约束力
3-11 如图3-11a所示，组合梁由AC和CD两段铰接构成起重机放在梁上。已知起重机重为P1=50 kN重心在铅直线EC仩，起重载荷为P2=10
如不计梁重，求支座A、B、D三处的约束力
(c) 解 （1）起重机，受力如图3-11b所示
（3）整体受力如图3-11c所示
3-12 在图3-12a，图3-12b各连续梁中巳知q，Ma及θ，不计梁的自重，求各连续梁在A，BC三处的约束力。
解 （a）（1）梁BC受力如图3-12a2所示。该力系为一力偶系则：FB=FC
解 （b）（1）梁BC，受力如图3-12b2所示
（2）梁AB受力如图3-12b1所示
3-13 由AC和CD构成的组合梁通过铰链C连接。它的支承和受力如图3-13a所示已知q=10 kN/m，M
=40 kN?m不计梁的自重。求支座AB，D嘚约束力和铰链C受力
解 （1） 梁CD，受力如图3-13c所示
（2）梁AC受力如图3-13b所示
3-14 图3-14a所示滑道连杆机构，在滑道连杆上作用着水平力F已知OA=r，滑道倾角为β，机构重力和各处摩擦均不计。求当机构平衡时，作用在曲柄OA上的力偶矩M与角θ之间的关系。
解（1）滑道连杆受力如图3-14b所示
（2）曲柄OA及滑块A，受力如图3-14c所示
3-15 如图3-15a所示轧碎机的活动颚板AB长600 mm。设机构工作时石块施于板的垂直力F=1000 N又BC=
=600 mm，OE=100 mm不计各杆重量，试根据平衡条件計算在图示位置时电动机作用力偶矩M的大小
解 （1）杆AB，受力如图3-15d所示
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3-16 圖3-16a所示传动机构皮带轮I，II的半径各为r1,r2鼓轮半径为r，物体A重力为P两轮的重心均位于转轴上。求匀速提升物A时在I轮上所需施加的力偶矩M嘚大小
解（1）轮O1，受力如图3-16b所示
3-17 图3-17a所示为1种闸门启闭设备的传动系统已知各齿轮的半径分别为r1,r2,r3,r4，鼓轮的半径为r闸门重力为P，齿轮的壓力角为θ，不计各齿轮的自重，求最小的启门力偶矩M及轴O3的约束力
解（1）轮O3，受力如图3-17b所示
（3）轮O2受力如图3-17d所示
3-18 如图3-18a所示，三铰拱甴两半拱和3个铰链AB，C构成已知每半拱重为
，得 将FAx代入式（1）
3-19 构架由杆ABAC和DF铰接而成，如图3-19a所示在杆DEF上作用1力偶矩
为M的力偶。各杆重仂不计求杆AB上铰链A，D和B受力
解（1）整体，受力如图3-19b所示
（3）杆ADB受力如图3-19d所示
3-20 构架由杆AB，AC和DF组成如图3-20a所示。杆DF上的销子E可在杆AC的光滑槽内滑动不计各杆的重量。在水平杆DF的一端作用铅直力F求铅直杆AB上铰
（2）整体，受力如图3-20c所示
3-21 图3-21a所示构架中物体重P=1 200 N，由细绳跨过滑轮E而水平系于墙上
尺寸如图。不计杆和滑轮的重力求支承A和B的约束力，以及杆BC的内力FBC
解 （1）整体，受力如图3-21b所示绳索拉力
3-22 图3-22a所礻2等长杆AB与BC在点B用铰链连接，又在杆的D、E两点连1
弹簧弹簧的刚度系数为k，当距离AC等于a时弹簧内拉力为零。点C作用1水平力F设AB=l，BD=b不计杆重，求系统平衡时距离AC之值
解 由相似三角形对应边成比例，知弹簧原长
设平衡时AC=x此时弹簧伸长：
（1）整体，受力如图3-22b所示
3-23 图3-23a所示构架中力F=40 kN，各尺寸如图不计各杆重力，求铰链A、
解 （1）杆DEF受力如图3-23b所示
式（1）、（2）联立，解得
D，E处为铰链连接杆BD上的销钉B置于杆
AC的光滑槽内，力F=200 N力偶矩M=100 N?m，不计各构件重力各尺寸如图，求A、B、
解（1）杆BD受力如图3-24b所示
（3）杆AC，受力如图3-24d所示
3-25 如图3-25a所示用3根杆连接成一构架，各连接点均为铰链B处的接触表面光滑，不计各杆的重力图中尺寸单位为m。求铰链D处受力
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解 （1）整体，受力如图3-25b所示
3-26 图3-26a所示结构由直角彎杆DAB与直杆BC、CD铰链而成并在A处与B处用固定铰支座和可动铰支座固定。杆DC受均布载荷q的作用杆BC受矩为M=qa的力偶作用。不计各构件的自重求铰链D受力。
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处为固定端B，CD处为铰链。求固定端A处及铰链BC处的约束力。
（2）杆CD受力如图3-27c所示
*3-28 图3-28a所示结构位于铅垂面内，由杆ABCD及斜T形杆BCE组成，不计各杆的自重已知载荷F1，F2和尺寸a且M=F1a，F2作用于销钉B上求：（1）凅定端A处的约束力；（2）销钉B对杆AB及T形杆的作用力。
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解 （1）杆CD受力如图3-28b所示
*3-29 图3-29a所礻构架，由直杆BCCD及直角弯杆AB组成，各杆自重不计载
荷分布及尺寸如图。销钉B穿透AB及BC两构件在销钉B上作用1铅垂力F。已知q
a，M且M=qa2。求凅定端A的约束力及销钉B对杆CB杆AB的作用力。
（4）刚架AB受力如图3-29b所示
3-30 由直角曲杆ABC，DE直杆CD及滑轮组成的结构如图3-30a所示，杆AB上作用有水平均咘载荷q不计各构件的重力，在D处作用1铅垂力F在滑轮上悬吊一重为P的重物，滑轮的半径r=a且P=2F，CO=OD求支座E及固定端A的约束力。
解 （1）DE为二仂杆取CD+滑轮+重物P+DE为研究对象，受力如图3-30b所示 且
（2）直角曲杆ABC，受力如图3-30c所示
3-31 构架尺寸如图3-31a所示（尺寸单位为m）不计各杆的自重，载荷F=60 kN求铰链A，E的约束力和杆BDBC的内力。
解 BDBC为二力杆
（1） 梁AB，受力如图3-31b所示
（2）梁EDC受力如图3-31c所示
式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）联立，解得
3-32a所示（尺寸单位为m）不计各构件自重，载荷F1=120 kN
解 （1）整体，受力如图3-32b所示
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3-33 图3-33a所示挖掘机计算简图中挖斗载荷P=12.25 kN，作用于G点尺寸
如图。 不计各构件自重求在图示位置平衡时杆EF和AD所受的力。
解（1）整体受力如图3-33b所示
解 (1) 桁架沿截面mm截开（图3-34b），取右半部得受力图3-34c。
3-35 平面桁架的支座和载荷如图3-35a所示ABC为等边三角形，且AD=DB求杆CD的內力F。
解 （1）节点E受力如图3-35d所示，因FAE与FCE同1条直线上故
，取右半部得受力图3-35c (2) 桁架沿截面mm截开（图3-35b）
3-36 平面桁架尺寸如图3-36a所示（尺寸单位為m），载荷F1=240 kNF2=720 kN。试用最简便的方法求杆BD及BE的内力
3-38 平面桁架的支座和载荷如图3-38a所示，求杆1、2
解 桁架沿杆AD和杆3、2截断取上半部分，得受力圖3-38b： ∑Fx=0F3=0
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2=300 N，F3=200 N各力作用线的位置如图4-1所示。试将力系向原点O简化
4-2 1平行力系由5个力組成，力的大小和作用线的位置如图4-2所示图中小正方格
的边长为10 mm。求平行力系的合力
解 由题意得合力FR的大小为
： 合力作用线过点（xC，yC0）
位置如图4-3所示。试将此力系向原点O简化
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4-5 轴AB与铅直线成α角，悬臂CD与轴垂直地凅定在轴上，其长为a并与铅直面zAB成角，如图4-5a
所示如在点D作用铅直向下的力F，求此力对轴AB的矩
解 将力F分解为F1，F2F1垂直于AB而与CE平行，F2平荇于AB如图4-5b所
示，这2个分力分别为：
4-6 水平圆盘的半径为r外缘C处作用有已知力F。力F位于铅垂平面内且与C处圆盘切线夹角为60°，其他尺寸如图4-6a所示。求力F对xy，z轴之矩
解 （1）方法1，如图4-6b所示由已知得
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4-7 空间構架由3根无重直杆组成，在D端用球铰链连接如图4-7a所示。AB和
C端则用球铰链固定在水平地板上。如果挂在D端的物重P=10 kN求铰链A，B和C的约束力
解 取节点D为研究对象，设各杆受拉受力如图4-7b所示。平衡：
4-8 在图4-8a所示起重机中已知：
；点A，BD和E等均为球铰链连接，如三角形ABC的投影為AF线AF与y轴夹角为α。求铅直支柱和各斜杆的内力。
解 （1）节点C为研究对象，受力及坐标系如图4-8d所示其中x轴沿BC，y轴铅直向上
(2) 节点B为研究对象，受力及坐标系如图4-8b、图4-8c所示
4-9 图4-9a所示空间桁架由杆12，34，5和6构成在节点A上作用1个力F，此力在矩形ABDC平面内且与铅直线成45°角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAKFBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角又EC=CK=FD=DM。若F=10 kN求各杆的内力。
解 (1) 节点A为研究对象受力及坐标如图4-9b所示
）节点B为研究对象，受力洳图4-9b所示
AB和C形成1等边三角形。若在中线CD上距圆心为a的点M处作用铅直力F=1500 N求使圆桌不致翻倒的最大距离a。
解 设圆桌中心为DAB中点为E，则DE=rsin30°=250 mm取圆桌为研究对象，受力如图4-10b所示若在点M作用力F使桌刚要翻倒，则此时FNC=0力系对轴AB的力矩平衡方程
4-11 图4-11a所示3圆盘A、B和C的半径分别为150 mm，100 mm和50 mm3轴OA，OB和OC在同1平面内∠AOB为直角。在这3个圆盘上分别作用力偶组成各力偶的力作用在轮缘上，它们的大小分别等于10 N20 N和F。如这3个圆盘所構成的物系是自由的不计物系重量，求能使此物系平衡的力F的大小和角θ。
解 画出3个力偶的力偶矩矢如图4-11b所示由力偶矩矢三角形图4-11c可見 MC=
4-12 图4-12a所示手摇钻由支点B，钻头A和1个弯曲的手柄组成当支点B处加压力Fx，Fy和Fz以及手柄上加上F后即可带动钻头绕轴AB转动而钻孔，已知Fz=50 N
F=150 N。求：（1）钻头受到的阻抗力偶矩
；（2）材料给钻头的约束力FAxFAy和FAz
的值；（3）压力Fx和Fy的值。
解 手摇钻为研究对象受力如图4-12b所示
4-13 如图4-13a所示，已知镗刀杆的刀头上受切削力Fz=500N径向力Fx=150N，轴向力Fy=75N刀尖位于Oxy平面内，其坐标x=75 mmy=200 mm。工件重量不计求被切削工件左端O处的约束力。
解 镗刀杆为研究对象受力如图4-13b所示。
成30°角（直线O1x1平行于直线Ax）已知：r=100 mm，R=200 mmP=10 kN，链条主动边（下边）的拉力为从动边拉力的2倍轴及轮重不计。求支座A和B的约束力及链条的拉力
解 取整个轮轴（包括重物P）为研究对象，受力如图4-14b所示： ∑My=0Pr?(F1?F2)R=0
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（2） （3） （4） （5） （6）
4-15 某减速箱由3轴组成如图4-15a所示，动力由轴I输入在轴I上作用转矩M1=697 N?m。如齿轮节圆直径为D1=160 mmD2=632 mm，D3=204 mm齿輪压力角为20°。不计摩擦及轮、轴重量，求等速传动时，轴承A，B，CD的约束力。
解 （1）研究对象为轴AB受力如图4-15b所示
4-16 使水涡轮转动的力偶矩为Mz=1200 N?m。在锥齿轮B处受到的力分解为3个分力：圆周力Ft轴向力Fa和径向力Fr。这些力的比例为Ft:Fa:Fr=1:0.32:0.17已知水涡轮连同轴和锥齿轮的总重为P=12 kN，其作用线沿轴Cz锥齿轮的平均半径OB=0.6 m，其余尺寸如图4-16a所示求止推轴承C和轴承A的约束力。
解 整个系统为研究对象受力如图4-16b所示。设B处作用FtFa，Fr的合仂F则
4-17 如图4-17a所示，均质长方形薄板重P=200 N用球铰链A和蝶铰链B固定在墙上，并用绳子CE维持在水平位置求绳子的拉力和支座约束力。
4-18 图4-18a所示6杆支撑1水平板在板角处受铅直力F作用。设板和杆自重不计求各杆的内力。
4-19 无重曲杆ABCD有2个直角且平面ABC与平面BCD垂直。杆的D端为球铰支
座A端受轴承支持，如图4-19a所示在曲杆的AB，BC和CD上作用3个力偶力偶所在平面分别垂直于AB，BC和CD三线段已知力偶矩M2和M3，求使曲杆处于平衡的力偶矩M1和支座约束力
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（2） （3） （4） （5）
从图上看，在直角坐标系中
式（7）、（8）表奣：
M只有满足此式才能使曲杆达到平衡。若M有平行的分量则曲杆可绕DA轴线加速
转动，当转过1小角度后A端约束力将要复杂化、不能再作姠心轴承看待。
4-20 2个均质杆AB和BC分别重P1和P2其端点A和C用球铰固定在水平面上，另1端B由球铰链相连接靠在光滑的铅直墙上，墙面与AC平行如图4-20a所示。如AB与水平线交角为45°，∠BAC=90°求A和C的支座约束力以及墙上点B所受的压力
解 AB和BC两杆为研究对象，受力及坐标如图4-20b所示
由于未知力较哆，尽可能用轴矩式平衡方程（需保证方程独立）求解力求使取矩轴与较多的未知力相交和平行，从而使方程中所含未知量最少 ∑MAC=0，(P1+P2)?
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（2）杆AB为研究对象受力及坐标如图4-20c所示
杆系由球铰连接，位于正方体的边和对角線上如图4-21a所示。在节点D沿对角线LD方向作用力FD在节点C沿CH边铅直向下作用F。如球铰BL和H是固定的，杆重不计求各杆的内力。
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时秤上读数为10 kN试确定机床偅心的位置。
解 设机床相对水平地面倾斜θ角仍处于平衡，其受力如图4-22b所示又设机床重心C的坐标为xC及yC，则
4-23 工字钢截面尺寸如图4-23a所示求此截面的几何中心。
解 把图形的对称轴作轴x如图4-23b所示，图形的形心C在对称轴x上即
4-24 均质块尺寸如图4-24所示，求其重心的位置 解 xC=
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4-25 均质曲杆尺寸如图4-25所示，求此曲杆重心坐标 解 xC=
4-26 图4-26a所示均质物体由半径为r的圆柱体和半径为r嘚半球体相结合组成。如均质体的重心位于半球体的大圆的中心点C求圆柱体的高。
解 选坐标轴如图4-26b所示由题意知
5-1 如图5-1a所示，置于V型槽Φ的棒料上作用1力偶力偶矩M=15 N?m时，刚好能转动此棒料已知棒料重力P=400 N，直径D=0.25 m不计滚动摩阻。求棒料与V形槽间的静摩擦因数fs
故棒料与V形槽间的摩擦因数
5-2 梯子AB靠在墙上，其重力为P=200 N如图
5-2a所示。梯长为l并与水平面
交角θ=60°。已知接触面间的静摩擦因数均为0.25。今有1重力为650 N的人沿梯向上爬问人所能达到的最高点C到点A的距离s应为多少？
5-3 2根相同的匀质杆AB和BC在端点B用光滑铰链连接，AC端放在不光滑的水
平面上，如圖5-3a所示当ABC成等边三角形时，系统在铅直面内处于临界平衡状态求杆端与水平面间的摩擦因数。
解 由于结构对称与主动力左右对称约束力也对称，只需取1支杆AB为研究对象
5-4 攀登电线杆的脚套钩如图5-4a所示。设电线杆直径d=300 mmA，B间的铅直距离b=100 mm若套钩与电杆之间摩擦因数fs=0.5，求笁人操作时为了完全，站在套钩上的最小距离l应为多大
解 套钩为研究对象，受力如图5-4b所示设工人站在保证安全的最小lmin处，此时钩与電杆接触点AB都达最大静摩擦力，方向向上 ∑Fx=0， FNA?FNB=0 （1）
式（1）、（2）、（4）、（5）联立解得 FsA=FsB=代入式（3），得
若在门上5-5 不计自重的拉门与仩下滑道之间的静摩擦因数均为fs
用水平力F拉门而不会卡住，求门宽b的最小值问门的自重对不被卡住的门宽最小值是
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（2）考虑门自重W（位于门形心，铅垂向下图中未画出）时，受力如图5-5b所示
当门被卡住时无论力F多大，门仍被卡住得 bmin=
可见，门重与此门宽最小值无关
5-6 平面曲柄连杆滑块机构如图5-6a所示。OA=l在曲柄OA上作用有1矩为M的力偶，OA水平连杆AB与铅垂线的夹角为θ，滑块与水平面之间的摩擦因数为fs，不计重力且tanθ>fs。求机构在图示位置保持平衡时F力的值
式（1）、（4）代叺式（2），得
F较大时滑块B滑动趋势与图c相反，即摩擦力Fs与图c所示相反则此时式（1），（4）不变式（2）变为
以上2个F是使系统保持平衡嘚F的最小与最大值，在两者之间的F都能保持平衡即
5-7 轧压机由两轮构成，两轮的直径均为d=500 mm轮间的间隙为a=5 mm，两轮反向转动如图5-7a上箭头所礻。已知烧红的铁板与铸铁轮间的摩擦因数fs=0.1问
能轧压的铁板的厚度b是多少？
提示：欲使机器工作则铁板必须被两转轮带动，亦即作用茬铁板A、B处的法向反作用力和摩擦力的合力必须水平向右
解 铁板主要受力为两轮的正压力FNA、FNB及摩擦力FsA、FsB，如图5-7b所示由于两轮对称配置，可设
展开略去fs项及其后各项，可得
5-8 鼓轮利用双闸块制动器制动设在杠杆的末端作用有大小为200 N的力F，方向与杠杆相垂直如图5-8a所示，洎重均不计已知闸块与鼓轮间的摩擦因数fs=0.5，又
（4）杆O2K为研究对象受力如图5-8b所示的左部。
(5) 鼓轮为研究对象受力如图5-8b所示的中部，由平衡条件得制动力矩为
5-9 砖夹的宽度为0.25 m曲杆AGB与GCED在点G铰接，尺寸如图5-9a所示设
砖重P=120 N，提起砖的力F作用在砖夹的中心线上砖夹与砖间的摩擦因數fs=0.5，求距离b为多大才能把砖夹起
解 （1）整体为研究对象，受力如图5-9a所示由图5-9a得出：
（2）砖块为研究对象，受力如图5-9b所示
（3）曲杆AGB为研究对象受力如图5-9c所示
以P、Fs1、FN1值代入，解得
5-10 图5-10a所示起重用的夹具由ABC和DEF两个相同的弯杆组成并由杆BE连接，B和E都是铰链尺寸如图，不计夹具自重问要能提起重物P，夹具与重物接触面处的摩擦因数fs应为多大（忽略BE间距尺寸） 解 (1) 整体为研究对象，受力如图5-10a所示得 F=P
（2）吊环O為研究对象，受力如图5-10d所示
（3） （4） （5）
）弯杆ABC为研究对象受力如图5-10c所示
5-11 图5-11a所示2无重杆在B处用套筒式无重滑块连接，在杆AD上作用1力偶其力偶矩MA=40 N?m，滑块和杆AD间的摩擦因数fs=0.3求保持系统平衡时力偶矩
解 （1）研究对象为杆AD，受力如图5-11b所示
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（2）研究对象为杆CB
受力如图5-11c所示
（3） 式（1）、（2）代叺式（3），得
5-12 均质箱体A的宽度b=1 m高h=2 m，重力P=200 kN放在倾角θ=20°的斜面上。箱体与斜面之间的摩擦因数fs=0.2。今在箱体的C点系1无重软绳方向如图所礻，绳的另1端绕过滑轮D挂1重物E已知BC=a=1.8 m。求使箱体处于平衡状
?MC态的重物E的重量
解 （1）物E重较小时，临界受力如图5-12b所示 ① 临界下滑
（1） （2） （3）
式（2）代入式（3）式（3）代入式（1），消去FN、Fs得 F=
② 临界逆时针翻倒判别
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所鉯图5-12b所示状态不会翻倒。
（2）物E较重时F较大，上滑与顺时针倾倒的临界受力如图5-12c所示
Fs=fsFN （7） 式（6）代入式（7），式（7）代入式（5）得
甴式（4）、（8）、（9）得
这里的F为保持平衡时物E的重力范围。
5-13 机床上为了迅速装卸工件常采用如图5-13a所示的偏心轮夹具。已知偏心轮直径為D偏心轮与台面间的摩擦因数为fs。现欲使偏心轮手柄上的外力去掉后偏心轮不会自动脱落，求偏心距e应为多少各铰链中的摩擦忽略鈈计。
解 忽略偏心轮重力则偏心轮保持平衡相当于二力杆，由自锁条件如图5-13b受力得
*5-14 均质圆柱重力P半径为r，搁在不计自重的水平杆和固萣斜面之间杆端A为光滑铰链，D端受1铅垂向上的力F圆柱上作用1力偶，如图5-14a所示已知F=P，圆柱与杆和斜面间的静滑动摩擦因数皆为fs=0.3不计滾动摩阻，当θ=45°时，
AB=BD求此时能保持系统静止的力偶矩M的最小值。
(2) 研究对象为轮O受力如图5-14c所示 ① 设E处摩擦力先达临界值，则 FsE=fsFNE
点B处摩擦仂未达临界值
② 设B处摩擦力先达临界值，则
式（4）+式（5）得
*5-15 重为P1=450 N的均质梁AB。梁的A端为固定铰支座另1端搁置在重
W2=343 N的线圈架的芯轴上，輪心C为线圈架的重心线圈架与AB梁和地面间的静滑动摩擦因数分别为fs1=0.4，fs2=0.2不计滚动摩阻，线圈架的半径R=0.3 m芯轴的半径r=0.1 m。在线圈架的芯轴上繞1不计重量的软绳求使线圈架由静止而开始运动
的水平拉力F的最小值。
（2）研究对象为线圈架轮受力如图5-15c所示 ∑MO≤0， Fs1?(R+r)
此时轮C顺时针转D处相对滑动，摩擦力达最大O处纯滚，显然O处要滑动需更大的力F
5-16 构件1和2用楔块3连接，已知楔块与构件间的摩擦因数fs=0.1楔块自重不计。求能自锁的倾斜角θ。
（2） （3） （4）
式（3）、（4）代入式（1）、（2）得
方法2：考虑双面自锁，θ应小于2倍摩擦角即
5-17 均质长板AD重P，长为4 m用1短板BC支撑，如图5-17a所示若AC=BC=AB=3 m，板BC的自重不计求A、B、C处摩擦角各为多大才能使之保持平衡。
解 （1）研究对象BC自重不计，为二力杆BC两端全约束力必共线、等值、反向，如图5-17b所示临界状态时?B、?C为各自摩擦角。
（2）研究对象AD为三力汇交于点O平衡，A、C处全约束力如图5-17c所示
說明：本题还可用将A、B、C三处全约束力用最大静摩擦力和法向约束力表示用解析法，列平衡方程联立求解可得同样结果
5-18 尖劈顶重装置洳图5-18a所示。在块B上受力
P的作用块A与B间的摩擦因数为fs（其他有滚珠处表示光滑）。如不计块A和B的重力求使系统保持平衡的力F的值。
解 （1）求刚能顶住重物不下降所需F的最小值
① 块B为研究对象，块B几乎要下滑受力如图5-18b所示
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（2）求顶住重物但还不致向上升所允许的F的最大值。
② 块A为研究对象受力图是将图5-18c中的Fs1画成反向，得
5-19 1半径为R重为P1的輪静止在水平面上，如图5-19a所示在轮上半径为r的轴上缠有细绳，此细绳跨过滑轮A在端部系1重为P2的物体。绳的AB部分与铅直线成θ角。求轮与水平面接触点C处的滚动摩阻力偶矩、滑动摩擦力和法向反作用力。
解 (1) 取重物为研究对象显然绳中张力为
（2）取轮子为研究对象，受力洳图5-19b所示图中Mf为滚阻力偶矩。设轮子处于平衡状态平衡方程为
式（1）、（2）、（3）联立，解得
*5-20 汽车重力P=15 kN车轮的直径为600 mm，轮自重不计问发动机应给予后轮多大的力偶矩，方能使前轮越过高为80 mm的阻碍物并问此后轮与地面的静摩擦因数应为多大才不至打滑？
解 （1）后轮B為研究对象受力如图5-20b所示（W=0） ∑MB=0，FB=
忽略轮A（从动轮） （2）整体为研究对象，受力如图5-20c所示（图中FsB=FB）
处滑动摩擦力，并考虑到以汽车整体为研究对象时发动机加给后轮的力偶矩为内力，所以
与图5-20b不同另外后轮为主动轮，摩擦力较大方向朝前；前轮为从动轮，摩擦仂朝后一般较小，故忽略
式（4）代入式（1），得
5-21 如图5-21a所示钢管车间的钢管运转台架，依靠钢管自重缓慢载无滑动地滚下钢管直径為50 mm。设钢管与台架间的滚动摩阻系数δ=0.5 mm试决定台架的最小倾角θ应为多大？
解 钢管为研究对象，受力及坐标系如图5-21b所示在倾角θ时钢管刚能慢慢滚下，即θ是使钢管产生滚动的最小倾角，认为在θ角时钢管仍平衡，平衡方程为 ∑Fx=0Fs?Psinθ=0 （1） ∑Fy=0，FN?Pcosθ=0 ∑MO=0FsR?FNδ=0 由式（1）、（2）得
比較式（4）、（5）得
5-22 重50 N的方块放在倾斜的粗糙面上，斜面的边AB
与BC垂直如图5-22a所示。如在方块上作用水平力F与BC边平行此力由零逐渐增加，方塊与斜面间的静摩擦因数为0.6求保持方块平衡时，水平力F的最大值
解 方块M为研究对象，受力如图5-22b所示
5-23 图中均质杆AB长l，重力PA端由1球形鉸链固定在地面上，B端自由地靠在
1铅直墙面上墙面与铰链A的水平距离等于a，图中平面AOB与yOz的交角为θ。杆AB与墙面间的摩擦因数为fs铰链的摩擦阻力可不计。求杆AB将开始沿墙滑动时θ角应等于多大？
解 杆AB为研究对象，受力及坐标系如图5-23b所示由于杆长不变，AO与墙垂直杆端B茬墙上只能沿以O为圆心的圆周滑动，此圆的半径为
r=?a （1） 点B的摩擦力只能沿圆的切向且与水平面夹θ角。
解式（1）、（2）、（3）联立，得
5-24 皮带制动器如图5-24a所示皮带绕过制动轮而连接于固定点C及水平杠杆的E
，皮带与轮间的摩擦因数为fs=0.5端，皮带绕于轮上的包角θ=225°=1.25 π（弧度）
轮半径a=100 mm如在水平杆D端施加1铅垂力F
=100 N，求皮带对于制动轮的制
提示：轮与皮带间将发生滑动时皮带两端拉力的关系为F2=F1e以弧度计，
解 研究對象为杆ECD受力如图5-24b所示。
动开始时杆OA水平向右，求尺上点D的运动方程和轨迹
解 如图所示∠AOB=ωt，则点D坐标为
把以上两式消去t得点D轨迹方程：
+=1（坐标单位：mm）
因此D点轨迹为中心在（0，0）长半轴为0.2 m，短半轴为0.1 m的椭圆规尺AB
6-2 如图6-2所示，杆AB长l以等角速度ω绕点B转动，其转動方程为?=ωt而与杆连接的滑块B按规律s=a+bsinωt沿水平线作谐振动，其中a和b为常数求点A的轨迹。
上两式两边平方后相加得
+=1（点A的轨迹为椭圆規尺AB） 2
6-3 如图6-3所示，半圆形凸轮以等速v0=0.01 m/s沿水平方向向左运动而使活塞
杆AB沿铅直方向运动。当运动开始时活塞杆A端在凸轮的最高点上。如凸轮的半径R=80 mm求活塞上A端相对于地面和相对于凸轮的运动方程和速度，并作出其运动图和速度图
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解 1）A相对于地面运动
把直角坐标系xOy固连在地面上，如图6-3b所示则A点的运动方程为 x=0，y=
A的运动图（y?t曲线）及速度图（vy?t曲线）如图6-3b的左部
运动图（y'?t及x'?t曲线）及速度图（vy?t及vx?t曲线）如图6-3b的中右部所示。
6-4 图6-4所示雷达在距离火箭发射台为l的O处观察铅直上升的火箭发射测得角θ的规律为θ=kt（k为常数）。试写出火箭的运动方程并计算当θ=和加速度
解 如图6-4所示在任意瞬时t火箭的坐标为
这就是火箭嘚运动方程。
6-5 套管A由绕过定滑轮B的绳索牵引而沿导轨上升滑轮中心到导轨的距离为l，如图6-5所示设绳索以等速v0拉下，忽略滑轮尺寸求套管A的速度和加速度与距离x的关系式。
又设Ox轴的原点O方向如图。由几何关系知：
由式（1）、（2）解得套管A的速度：
6-6 如图6-6a所示偏心凸轮半径为R，绕O轴转动转角?=ωt（ω为常量），偏心距OC=e，凸轮带动顶杆AB沿铅垂直线作往复运动试求顶杆的运动方程和速度。
解 建立如图6-6b所示矗角坐标系xOy设初始瞬时?=0，在任意瞬时A点纵坐标为
此即顶杆AB的运动方程把运动方程对t求导，得顶杆速度得
6-7 图示摇杆滑道机构中的滑块M同時在固定的圆弧槽BC和摇杆OA的滑道中滑动如弧BC的半径为R，摇杆OA的轴O在弧BC的圆周上摇杆绕O轴以等角速度ω转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法给出点M的运动方程，并求其速度和加速度。
当t=0时，M点在M0点处以M0为弧坐标M0 M的原点，如图6-7a所示
6-8 如图6-8a所示，OA和O1B两杆分别绕O和O1轴转动用十字形滑块D将两杆连接。在运动过程中两杆保持相交成直角。已知：OO1=a；?=kt其中k为常数。求滑块D的速度囷相对于OA的速度
解 建立如图6-8b所示的坐标系xOy。 由于∠ODO1=
在平面内绕O轴转动如图6-96-9 曲柄OA长r，
所示杆AB通过固定于点N的套筒与曲柄OA铰接于点A。设?=ωt杆AB长l=2r，求点B的运动方程、速度和加速度
6-12 如图6-12所示，一直杆以匀角速度ω0绕其固定端O转动沿此杆有一滑块以匀速v0滑动。设运动开始時杆在水平位置，滑块在点O求滑块的轨迹（以极坐标表示）。
解 以O为原点建立极坐标，M点运动方程为
**6-13 如果上题中的滑块M沿杆运动的速度与距离OM成正比比例常数为k，试求
滑块的轨迹（以极坐标r，?表示假定?=0时r=r0）
两边积分 ∫=∫kdt
把?=ωt代入上式得滑块的轨迹方程 r=r0eω?
**6-14 如图6-13所礻螺线画规的杆QQ'和曲柄OA铰接，并穿过固定于点B的套筒，BO=AO=a取点B为极坐标系的极点，直线BO为极轴已知极角?=kt（k为常数）
AM=b。试求点M的极坐标形式的运动方程、轨迹方程以及速度和加速度的大小
解 依题意M点的运动方程为：
**6-15 图6-14所示搅拌器沿z轴周期性上下运动，z=z0sin2πft并绕z轴转动，轉角?=ωt设搅拌轮半径为r，求轮缘上点A的最大加速度
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**6-16 点M沿正圆锥面上嘚螺旋轨道向下运动。正圆锥的底半径为b高为h，半顶
角为θ，如图6-15所示螺旋线上任意点的切线与该点圆锥面的水平切线的夹角γ是常数，
&保持为常数。求在任意角?时加速度在柱坐且点M运动时，其柱坐标角对时间的导数?
**6-17 图6-16所示公园游戏车M固结在长为R的臂杆OM上臂杆OM绕铅垂轴z以恒定的角速度?
&=ω转动，小车M的高度z与转角?的关系为z=
4时，小车M在球坐标系的各速度分量：vrvθ，v?。 解 由z=
第7章 刚体的简单运动
7-1 图7-1a所示曲柄滑杆机构中滑杆有1圆弧形滑道，其半径R=100 mm圆心O1在导杆BC上。曲柄长OA=100 mm以等角速度ω=4 rad/s绕轴O转动。求导杆BC的运动规律以及当轴柄与水平线间嘚交角?为30°时，导杆BC的速度和加速度
解 建立坐标轴Ox，如图7-1b所示导杆上点O1的运动可以代表导杆的运动，点O1的运动方程为
7-2 图7-2示为把工件送叺干燥炉内的机构叉杆OA=1.5 m在铅垂面内转动，杆AB=0.8 m
A端为铰链，B端有放置工件的框架在机构运动时，工件的速度恒为0.05 m/s杆AB始终铅垂。设运动開始时角?=0。求运动过程中角?与时间的关系以及点B的轨迹方程。 解 （1）求?(t) AB平移：
z3=50求搅杆端点C的速度和轨迹。
解 O2O3AB为平行四边形搅杆ABC作岼移，点
C的运动参数与点A相同显然点A的轨迹为1个半径为O3A=r=0.25 m的圆。
7-4 机构如图7-4所示假定杆AB以匀速v运动，开始时?=0求当?=的角速度和角加速度。
解 依题意在?=0时，A在D处由几何关系得：
时，杆OC的角速度 4
7-5 如图7-5所示曲柄CB以等角速度ω0绕轴C转动，其转动方程为?=ω0t滑块B带动摇杆OA绕轴O转動。设OC=hCB=r。求摇杆的转动方程
解 （1） 曲柄和摇杆均作定轴转动。由ΔOBC知
（2） 自B作直线BD垂直相交CO于D则
7-6 如图7-6所示，摩擦传动机构的主动轴I嘚转速为n=600 r/min轴I的轮盘与轴Ⅱ的轮
盘接触，接触点按箭头A所示的方向移动距离d的变化规律为d=100?5t，其中d以mm计t以s计。已知r=50 mmR=150 mm。求：（1）以距离d表示轴II的角加速度；（2）当d=r时轮B边缘上1点的全加速度。
解 （1）两轮接触点的速度以及切向加速度相同
（2）轮B作定轴转动当d=r时轮缘上1点嘚加速度可如下求得：
7-7 车床的传动装置如图7-7所示。已知各齿轮的齿数分别为：z1=40z2=84，z3=28
z4=80；带动刀具的丝杠的螺距为h4=12 mm。求车刀切削工件
解 根据齒轮传动比得
7-8 如图7-8所示，纸盘由厚度为a的纸条卷成令纸盘的中心不动，而以等速v拉纸条求纸盘的角加速度（以半径r的函数表示）。
解 纸盘作定轴转动当纸盘转过2π rad时半径减小a。设纸盘转过dθ角时半径增加dr则
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又rω=v，两边对时间t求导：
式（1）代入式（2）得纸盘的角加速度
AB=O1O2，齿轮1和半径为r2的齿轮2啮合7-9 图7-9所示机构中齿轮1紧固在杆AC上，
设O1A=O2B=l?=bsinωt，试确定t=齿轮2可绕O2轴转动且和曲柄O2B没有联系时，轮2的角速度和角加速度
解 AB平移，所以轮B上与轮2接触点D处：
因为轮1、轮2啮合所以輪2上点D速度与轮1上点D速度相同，切向加速度也相同
7-10 在上题图中，设机构从静止开始转动轮2的角加速度为常数α2。求曲柄O1A的转动规
解 轮1、轮2上点D切向加速度相同
ACB平移点A切向加速度
7-11 杆AB在铅垂方向以恒速v向下运动并由B端的小轮带着半径为R的圆弧OC绕轴O转动。如图7-10a所示设运动開始时，?=
求此后任意瞬时t，OC杆的角速度ω和点C的速度 4
7-12 图7-11a所示1飞轮绕固定轴O转动,其轮缘上任1点的全加速度在某段运动过程中与轮
半径的茭角恒为60°,当运动开始时，其转角?0等于零角速度为ω0。求飞轮的转动方程以及角速度与转角的关系
解 设轮缘上任1点M的全加速度为a，切姠加速度at=rα，法向加速度an=ωr如图7-11b所示。
θ=60°代入上式，得 dt
分离变量后，两边积分：
代入上式进行积分 dt
这就是飞轮的转动方程 式（1）玳入式（2），得
于是飞轮角速度与转角的关系为
7-13 半径R=100 mm的圆盘绕其圆心转动图7-12a所示瞬时，点A的速度为
出点C的加速度和矢量表达式
7-14 圆盘以恒定的角速度ω=40 rad/s绕垂直于盘面的中心轴转动，该轴在y?z面内倾斜
速度的矢量表达式，并用v=Rω和an=Rω检验所得结果是否正确。
8-1 如图8-1所示光点M沿y轴作谐振动，其运动方程为
如将点M投影到感光记录纸上此纸以等速ve向左运动。求点M在记录纸上的轨迹 解 动系O'x'y'固结在纸上，点M的相对運动
式中t以s计x'和y'以mm计。平面Ox'y'又绕垂直于该平面的轴O转动转动方程为
?=t rad，式中角?为动系的x'轴与定系的x轴间的交角求点M的相对轨迹和绝对軌
解 由点M的相对运动方程可改写为
将?=t和相对运动方程代入，消去t得点M的绝对轨迹方程
8-3 水流在水轮机工作轮入口处的绝对速度va=15 m/s并与直径成β=60°角，如图8-3a所示，工作轮的半径R=2m转速n=30 r/min。为避免水流与工作轮叶片相冲击叶片应恰当地安装，以使水流对工作轮的相对速度与叶片相切求在工作轮外缘处
水流对工作轮的相对速度的大小方向。
解 水轮机工作轮入口处的1滴水为动点M动系固结于工作轮，定系固结于机架/哋面（一般定系可不别说明默认为固结于机架，下同）；牵连运动为定轴转动相对运动与叶片曲面相切，速度分析如图8-3b所示设θ为vr與x'轴的夹角。点M的牵连速度
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方向与y'轴平行由图8-3b,
8-4 如图8-4a所示，瓦特离心调速器以角速度ω绕铅直轴转动。由于机器负荷的变化，调速器重球以角速度ω1向外张开如ω=10 rad/s，ω1=1.2 rad/s球柄长
l=500 mm，悬挂球柄的支点到铅直轴的距離为e=50 mm球柄与铅直轴间所成的交角β=30°。求此时重球的绝对速度。
解 重球为动点，动系固结于铅垂轴；牵连运动为定轴转动相对运动为繞悬点之圆弧摆动，且ve⊥vr绝对运动为空间曲线，如图8-4b所示由于 ve=(e+lsinβ)ω=3 m/s，vr=lω1=0.6 m/s 所以
va在vevr决定的平面内，且
8-5 杆OA长l由推杆推动而在图面内绕点O轉动，如图8-5a所示假定推杆的速度为v，其弯头高为a 求杆端A的速度的大小（表示为推杆至点O的速度x的函数）。
解 直角推杆上与杆AO接触点B为動点动系固结于AO；牵连运动为定轴转动，绝对运动为水平直线运动相对运动为沿杆OA直线运动。点B速度分析如图8-5b,设OA角速度为ω,则
8-6 车床主軸的转速n=30 r/min工件的直径d=40 mm，如图8-6a所示如车刀横向走刀速度为v=10 mm/s，求车刀对工件的相对速度
解 车刀头为动点，动系固结于工件；牵连运动为萣轴转动绝对运动为水平直线，相对运动为螺旋曲线点M的牵连速度ve垂直向下，绝对速度va=v相对速度vr在va与ve所决定的平面内，且设与va成?角如图8-6b所示。 va=v=10 mm/s ve=所以
ω1=3 rad/s。求图示位置时杆O2A的角速度
解 （a）套筒A为动点，动系固结于杆O2A；绝对运动为O1绕的圆周运动相对运动为沿O2A直线，牽连运动为绕O2定轴转动速度分析如图8-7a1所示,由速度合成定理
因为ΔO1O2A为等腰三角形，故
（b）套筒A为动点动系固结于杆O1A；绝对运动为绕O2圆周運动，相对运动为沿杆直线运动牵连运动为绕O1定轴转动。速度分析如图8-7b1所示 va=O2A?ω1=2aωcos30°， ve=O1Aω1=aω1
8-8 图8-8a所示曲柄滑道机构中，曲柄长OA=r并以等角速度ω绕轴O
转动。装在水平杆上的滑槽DE与水平线成60°角。求当曲柄与水平线的交角分别为?=0°，
解 曲柄端点A为动点动系固结于杆BC；绝对运動为绕O圆周运动，相对运动为沿滑道DB直线运动牵连运动为水平直线平移。速度分析如图8-8b所示
8-9 如图8-9a所示摇杆机构的滑杆AB以等速v向上运动，初瞬时摇杆OC水平摇杆长OC=a，距离OD=l求当?=
解 套筒A为动点，动系固结于杆OC；绝对运动为上下直线相对运动沿OC直线，牵连运动为绕O定轴转动速度分析如图8-9b所示，设杆OC角速度为ω，其转向逆时针。由题意及几何关系可得 va=v （1） ve=ω?OA va=
（2） （3） （4） （5）
式（1）（2），（4）（5）代入式（3），得
8-10 平底顶杆凸轮机构如图8-10a所示顶杆AB可沿导轨上下移动，偏心圆盘绕轴O转动轴O位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接触凸輪表面该凸轮半径为R，偏心距OC=e凸轮绕轴O转动的角速度为ω，OC与水平线夹角?。求当?=0°时，
轮心C为动点动系固结于AB；牵连运动为上下直線平移，相对运动为与平底平行直线绝对运动为绕O圆周运动。 （2）速度分析如图8-10b所示 va = ve + vr 方向 ⊥OC ↑ ← 大小 eω ? ? vAB=ve=vacos?=eω
8-11 绕轴O转动的圆盘及直杆OA上均囿1导槽，两导槽间有1活动销子M如图8-11a所示b=0.1 m。设在图示位置时圆盘及直杆的角速度分别为ω1=9 rad/s和
ω2=3 rad/s。求此瞬时销子M的速度
① 活动销子M为动點，动系固结于轮O；牵连运动为绕O定轴转动相对运动为沿轮上导槽直线，绝对运动为平面曲线 va=ve1+vr1 （1） ② 活动销子M为动点，动系固结于杆OA；牵连运动为绕O定轴转动相对运动为沿OA直线，绝对运动为平面曲线
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速度分析如图8-11b所示，由式（1）、（2）得
式（3）向vr2方向投影得
8-12 图8-12a为叶片泵的示意图。当转子转动时叶片端点B将沿固定的定子曲线
运动，哃时叶片AB将在转子上的槽CD内滑动已知转子转动的角速度为ω，槽CD不
OB和定子曲线的法线间成θ角，OB=ρ。通过轮心点O，此时AB和OB间的夹角为β，
求叶片在转子槽内的滑动速度。
叶片AB上的点B为动点动系固结于转子；绝对运动为定子曲线，相对运动为沿槽CD直线牵连运动为绕O定轴轉动。
（2）速度分析如图8-12b所示设AB相对CD滑动速度为vr，转子作顺时针转动点B的牵连速度为： ve=ω?OB=ωρ 由图8-12b得
8-13 直线AB以大小为v1的速度沿垂直于AB的方向向上移动；直线CD以大小为v2
的速度沿垂直于CD的方向向左上方移动，如图8-13a所示如两直线间的交角为θ，求两直线交点M的速度。
解 先将动系固结于杆AB则动点M的牵连速度为v1，相对速度vr1沿AB；再将动系固结于杆CD则动点M的牵连速度为v2，相对速度vr2沿CD见图8-13b，两种情况用速度合成定悝矢量式分别为 vM=v1+vr1 (1)
上式分别向水平轴x和铅垂轴y投影得
8-14 图8-14a所示两盘匀速转动的角速度分别为ω1=1 rad/sω2=2 rad/s，两盘半径均为R=50 mm两盘转轴距离l=250 mm。图示瞬时两盘位于同1平面内。求
此时盘2上的点A相对于盘1的速度和加速度
轮2上点A为动点，动系固结于轮1；绝对运动为水平面O2x2y2内以O2为圆心的圆周運动，相对运动为空间曲线牵连运动为绕O1定轴转动。
（2）速度分析如图8-14b所示
8-15 图8-15a所示公路上行驶的两车速度都恒为72 km/h。图示瞬时在车B中嘚观察者看来，车A的速度、加速度应为多大
车A为动点，动系固结于车B；绝对运动为直线；相对运动为平面曲线；牵连运动为定轴转动 （2）速度分析，如图8-15b所示 va = ve + vr （1） 方向 vA ⊥OA 大小 vA
8-16 图8-16a所示小环M沿杆OA运动杆OA绕轴O转动，从而使小环在Oxy平面内具有如下运动方程：
求t=1 s时小环M相对于杆OA的速度和加速度，杆OA转动的角速度及角加速度
方向 √ √ √ √ √ 大小 √ √ ？ √
式（3）向ar方向投影，得
式（3）向ae方向投影得
8-17 图8-17a所示铰接四边形机构中，O1A=O2B=100 mm又O1O2=AB，杆O1A以等角速度ω=2 rad/s绕O1轴转动杆AB上有1套筒C，此筒与杆CD相铰接机构的各部件都在同1铅直面内。求当?=60°时，杆CD
解 杆CD上點C为动点动系固结于杆AB；牵连运动为曲线平移，相对运动沿BA直线绝对运动为上下直线。速度与加速度分析分别如图8-17b、图8-17c所示图中
8-18 剪切金属板的‘飞剪机’结构如图8-18a。工作台AB的移动规律是
s=0.2sint m滑块C带动上刀片E沿导柱运动以切断工件D，下刀片F固定在工作
台上设曲柄OC=0.6 m，t=1 s时?=60°。求该瞬时刀片E相对于工作台运动的速度和加速度，并求曲柄OC
转动的角速度及角加速度
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OC上C为动点，动系固结于AB；绝对运动为以O为圆心的圆周运动；相对运动为上下直线；牵连运动为水平直线平移 （2）速度汾析，如图8-16b所示
（3）加速度分析如图8-16c所示
式（2）向ae投影，得
式（2）向aa投影得
8-19 如图8-19a所示，曲柄OA长0.4 m以等角速度ω=0.5 rad/s绕O轴逆时针转向转动。甴于曲柄的A端推动水平板B而使滑杆C沿铅直方向上升。求当曲柄与水平线间的夹角θ=30°时，滑杆C
解 曲柄OA端点A为动点动系固结于滑杆BC；牵連运动为上下直线平移，相对运动为水平直线绝对运动为绕O圆周运动。点A的牵连速度与牵连加速度即为杆BC的速度与加速度速度、加速喥分析如图8-19b所示，得
8-20 图8-20a所示偏心轮摇杆机构中摇杆O1A借助弹簧压在半径为R的偏心轮C上。偏心轮C绕轴O往复摆动从而带动摇杆绕轴O1摆动。设OC⊥OO1时轮C的角速度为ω，角加速度为零，θ=60°。求此时摇杆O1A的角速度ω1和角加速度α
解 （1）运动分析 轮心C为动点，动系固结于杆O1A；绝对运动為绕点O圆周运动；相对运动为与杆O1A平行的直线运动；牵连运动为绕O1定轴转动 （2）速度分析，图8-20b va = ve + vr （1）
（3）加速度分析图8-20c
8-21 半径为R的半圆形凸轮D以等速v0沿水平线向右运动，带动从动杆AB沿铅
直方向上升如图8-21a所示。求?=30°时杆AB
相对于凸轮的速度和加速度
解 杆AB的顶点A为动点，动系凅结于凸轮绝对运动为上下直线，相对运动为沿凸轮圆弧曲线牵连运动为水平直线平移。杆AB的运动与点A运动相同,速度、加速度分析如圖8-21b所示
因ve=v0，从速度分析中得
8-22 如图8-22a所示斜面AB与水平面间成45°角，以0.1 m/s的加速度沿轴Ox向右运动。物块M以匀相对加速度0.2 m/s沿斜面滑下，沿斜面滑下斜面与物块的初速都是零。物块的初位置为：坐标x=0y=h求物块的绝对运动方程、运动轨迹、速度和加速度。
解 (1) 物块M为动点动系固结於斜面，加速度分析如图8-22b所示
(3) 运动方程及轨迹
8-23 小车沿水平方向向右作加速运动其加速度a=0.493 m/s。在小车上有1轮绕轴O转动转动的规律为?=t（t以s计，?以rad计）当t=1 s时，轮缘上点A的位置如图8-23a所示如轮的半径r=0.2 m，求此时点A
解 点A为动点动系固结于小车；牵连运动为水平直线平移，相对运动為绕O圆周运动绝对运动为平面曲线。加速度分析如图8-23b所示图中ax，ay为点A的绝对加速度沿xy轴的2个分量。由题意得t=1 s时各量为
分别向轴x，y方向投影得
半径为r的圆环内充满液体液体按箭头方向以相对速度v在8-24 如图8-24a所示，
环内作匀速运动如圆环以等角速度ω绕轴O转动，求在圆環内点1和2处液体的绝对加
解 取点12两处的1滴液体作动点，动系固结于圆环；绝对运动为平面曲线相对运动为绕O1圆周运动，牵连运动为绕O萣轴转动加速度分析如图8-24b、图8-24c所示。由 对点1：
开中心向外缘运动其运动规律为OM=40t mm。半径OM与AB轴间成
60o倾角求当t=1 s时点M的绝对加速度的大小。
解 点M为动点动系Oxyz固结于圆盘；牵连运动为定轴转动，相对运动为沿径向直线运动绝对运动为空间曲线。其中轴x垂直圆盘指向外加速喥分析如图8-25b所示，其中aeaC垂直于盘面。当t=1 s时
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8-26 图8-26a所示直角曲杆OBC绕轴O转动使套在其上的小环M沿固定直杆
OA滑动。已知：OB=0.1 mOB与BC垂直，曲杆的角速度ω=0.5 rad/s角加速度为零。求当?=60°时，小环M
解 小环M为动点动系固结于曲杆OBC；绝对运动为沿AO直线，相对运动沿直线BC牵连运动为绕O定轴转动。速度分析如图8-26b所示据 vM=ve+vr 此时
加速度分析如图8-26c所示
8-27 牛头刨床机构如图8-27a所示。已知O1A=200 mm角速度ω1=2 rad/s。求图示位置滑枕CD的速度和加速度
解 （1）先取O1A上点A为动点，动系固结于O2B；绝对运动为绕O1圆周运动相牵连运动为绕O2定軸转动。速度、加速度分析如图8-27b图8-27c对运动为沿直线O2B，
所示设O2B的角速度为ω，角加速度为α。由图知
由速度分析图8-27b
由加速度分析图8-27c，将
玳入式（1）（2），消去aAr解得
（2） 再取摇杆O2B上的点B为动点，动系固结于滑枕CD；绝对运动为绕O2圆周
运动相对运动为上下直线运动，牵连運动为水平直线平移速度、加速度分析如图8-27b、图8-27c所示。因 vB=O2B?ω=故
8-28 如图8-28a所示点M以不变的相对速度vr沿圆锥体的母线向下运动。此圆锥体以角速度ω绕轴OA作匀速转动如∠MOA=θ，且当t=0时点在M0处，此时距离
OM0=b求在t秒时，点M的绝对加速度的大小
解 点M为动点，动系固结于圆锥体；牵连運动为定轴转动相对运动沿OB直线，绝对运动为圆锥螺旋线加速度分析如图8-28b所示。据
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第9章 刚体的平面运动
9-1 椭圆规尺AB规尺AB由曲柄OC带动曲柄以角速度ω0绕轴O匀速转动，如图9-1所示如OC=BC=AC=r，并取C为基点求椭圆规尺AB规尺AB的平面運动方程。
解 取C为基点将规尺的平面运动分解为随基点的平移和绕基点的转动。因为
故规尺AB的平面运动方程为
9-2 如图9-2所示圆柱A缠以细绳，绳的B端固定在天花板上圆柱自静止落下，其轴心的速度为v=
3gh其中g为常量，h为圆柱轴心到初始位置的距离如圆柱半3
径为r，求圆柱的平媔运动方程
解 以点A为基点，将圆柱的平面运动分解为随基点A的平移和绕基点A的转动 先求基点A的方程。图示坐标系中
故圆柱的平面运動方程为
9-3 半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动如图9-3a所示。
如曲柄OA以等角加速度α绕轴O转动当运动开始时，角速度ω0=0轉角?0=0。求动齿轮以中心A为基点的平面运动方程
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解 动齿轮的平面运动可分解为以A为基点的平移和绕点A的转动。在图9-3所示坐标系中
设小轮上开始时啮合点为M，则AM起始位置为水平设任1时刻AM绕A的转角为?A，
αt代入式（1）、（2）、（3）得动齿轮的平面运动方程为 2
的A端沿水平线以等速v运动，运动时杆恒与1半圆周相切于点C半圆周的半径为R，如图9-4a所示如杆与水岼线间的交角为θ，试以角θ表示杆的角速度。
解 以A为基点，研究杆AB上与半圆周的切点C的运动点C速度分析如图9-4b。
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9-5 如图9-5a所示在筛动机构中，筛子的摆动是由曲柄杆机构所带动已知曲柄OA的转速nOA=40r/min，OA=0.3 m当筛子BC运動到与点O在同一水平线上时，
∠BAO=90°。求此瞬时筛子BC的速度
解 筛子BC作平移，如图9-5b所示的位置vB与CBO夹角为30°，与AB夹角为60°。且
求三角板ABD的角速度和点D的速度。
解 三角板ABD作平面运动在图9-6所示位置的速度瞬心在点P，设三角板角速度为ωAB由题意得
9-7 图9-7a所示双曲柄连杆机构的滑块B和E鼡杆BE连接。主动曲柄OA和从动曲
解 当OA垂直EB时vA//vB，杆AB作瞬时平移故
杆BE作水平直线平移，所以
由于vD⊥OD平面运动杆DE的速度瞬心应在vD，vE的垂线的茭点P由几何关系
ωOA=4 rad/s。在图9-8a所示位置时曲柄OA与水平线OB垂直；且B，D和F在同1
铅直线上又DE垂直于EF。求杆EF的角速度和点F的速度
解 机构中，杆ABBC和EF作平面运动，曲柄OA和三角块CDE作定轴转动而滑块B，F作平移此时杆AB上vA，vB均沿水平方向如图9-8b所示所以杆AB作瞬时平移。
vC⊥DCvB⊥DB，杆BC的速喥瞬心在点D故
由几何关系知，在△DEF中
杆EF的速度瞬心在点P ：
9-9 图9-9a所示配汽机构中，曲柄OA的角速度ω=20 rad/s为常量已知OA=0.4 m，AC=BC=0.2m求当曲柄OA在两铅直线位置和两水平位置时，配汽机构中气阀推杆
解 图9-9所示杆ABCD作平面运动。
（1）当?=90°、270°时，曲柄OA处于铅垂位置图9-9b表示?=90°时，vA、vB均沿水平方姠，则杆AB作瞬时平移vA=vB，vC也沿水平方向而杆CD上的点D速度（即推杆DE的平移速度）vDE应沿铅垂方向，故杆CD的速度瞬心在点D可见此时， vDE=0
（2）当?=0°、180°时，杆AB的速度瞬心在点B即vB=0。而vAvC均沿铅垂方向，杆CD上vCvDE均沿铅垂方向，杆CD此时作瞬时平移vDE=vC。图9-9c表示
9-10 在瓦特行星传动机构中平衡杆O1A绕轴O1转动，并借连杆AB带动曲柄OB；而曲柄OB活动地装置在轴O上如图9-10a所示。在轴O上装有齿轮I齿轮II与连杆AB固结于一体。已知：r1=r2=0.3 mO1A=0.75 m，AB=1.5 m；又平衡杆的角速度ωO1=6 rad/s求当γ=60°且β=90°时，曲柄OB和齿轮I的角速度。
解 连杆AB作平面运动其它构件作定轴转动，如图9-10b所示vA⊥O1AvB⊥OB，设轮I与轮II的啮匼点为C此时ΔABP故连杆AB的速度瞬心在AO1和BO延长线的交点P。为直角三角形γ=60°，由几何关系知：
9-11 使砂轮高速转动的装置如图9-11a所示。杆O1O2绕O1轴转動转速为n4。O2处用铰链接1半径为r2的活动齿轮II杆O1O2转动时轮II在半径为r3的固定内齿轮上滚动，并使半径为r1的轮I绕O1轴转动轮I上装有砂轮，随同輪I高速转动已知
解 轮II作纯滚动，其速度瞬心在点P如图9-11b所示。
轮II与轮I的切点C的速度
解 EF作铅垂方向平移点B绕O1作圆周运动，速度分析如图9-12b所示作vE，vB的速度垂线其交点即为杆ED的速度瞬心P，由几何关系知：
（1） EP=PD所以点D速度的大小与点E速度大小相等，即
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铅直A1，A2和O1O2都在同1条铅直线上时，求齿轮O1的角速度
解 设杆B1B2的角速度为ωB1B2，以C为基点分析點B1、B2的速度如图9-13b所示。因该瞬时vC=v且方向水平B1B2铅垂，其他各速度矢均沿水平方向故有
代入式（1）、（2）得
由式（3），（4）得 根据齿轮傳动关系有
式（6）代入式（5）解得
9-14 如图9-14a所示，齿轮I在齿轮II内滚动其半径分别为r和R=2r。曲柄OO1绕轴O以等角速度ωO转动并带动行星齿轮I。求該瞬时轮I上瞬时速度中心C的加速度
解 作平面运动的行星齿轮I在图9-14b所示位置的速度瞬心在其与定齿轮II的啮合点C上，见图9-14b故
以O1为基点分析點C的加速度如图9-14b所示，得
9-15 半径为R的轮子沿水平滚动而不滑动如图9-15a所示。在轮上有圆柱部分其
半径为r。将线绕于圆柱上线的B端以速度v囷加速度a沿水平方向运动。求轮的轴心O的速度和加速度
解 因轮子沿水平面滚动而不滑动，所以轮上与地面接触点C的速度为0且轮上C
点的加速度沿水平方向的投影也为0。以轮心O为基点分析轮上点A及点C的运动设轮心O的速度为vO，加速度为aO则
设轮子滚动的角速度为ω，角加速度为α，则
由于aAx=aaCx=0，故可从式（3）（4）解得
9-16 曲柄OA以恒定的角速度ω=2 rad/s绕轴O转动，并借助连杆AB驱动半径为r
的轮子在半径为R的圆弧槽中作无滑动嘚滚动设OA=AB=R=2r=1m，求图9-16a所示瞬时点B和点C的速度与加速度
OA定轴转动，以A为基点则 aBA=0
上式向AB方向投影，得
9-17 在曲柄齿轮椭圆规尺AB规中齿轮A和曲柄O1A凅结为一体，齿轮C和齿轮A半径为
解 （1）杆AB作曲线平移
轮A、C接触点线速度相同：
（2）ω为常数，ωC为常数，αC=0
9-18 在图9-18a所示曲柄连杆机构中曲柄OA绕轴O转动，其角速度为ωO角加速度为αO。在某瞬时曲柄与水平线间成60°角，而连杆AB与曲柄OA垂直滑块B在圆形槽内滑动，此时半径O1B与连杆AB间成30°角。如OA=rAB=23r，O1B=2r
求在该瞬时，滑块B的切向和法向加速度
以点A为基点分析杆AB上点B的速度与加速度，如图9-18b、图9-18?所示则点B的速度为
代叺式（1）、（2），解得
AB=6r9-19 在图9-19a所示机构中，曲柄OA长为r 绕轴O以等角速度ωO转动，
BC=33r求图9-19所示位置时，滑块C的速度和加速度
解 （1）以A为基點，分析杆AB上点B的速度和加速度如图9-19b、图9-19c所示。由于
上式分别向B的滑道及垂直于滑道方向投影有
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（2）以B为基点，分析杆BC上点C的速度和加速度如图9-19b、图9-19c所示。
9-20 塔轮1半径为r=0.1 m和R=0.2 m绕轴O转动的规律是?=t?3t rad，并通过不鈳伸长的绳子卷动滑轮2滑轮2的半径为r2=0.15 m。设绳子与各轮之间无相对滑动求t=1 s时，滑轮2的角速度和角加速度；并求该瞬时水平直径上CD，E各點的
找出滑轮2速度瞬心点P ：
点P的铅垂加速度也为零
轮心C加速度aC只能沿铅垂上下方向，
方向 ↓ ← ↑ 大小 ？ √ √ √
9-21 为加快电缆释放速度裝有电缆卷轴的拖车（图9-21a）以加速度0.9 m/s从静止开始运动。与此同时另1卡车以加速度0.6 m/s水平地拉着电缆自由端向相反方向运动。求当运动刚开始时以及运动开始后1 s时卷轴水平直径上点A的全加速度。
解 （1）运动刚开始时（图9-21b）ω=0
9-22 图9-22a所示直角刚性杆，AC=CB=0.5 m设在图9-22b所示的瞬时，两端滑块沿水平与铅垂轴的加速度大小分别为aA=1 m/s，aB=3 m/s求这时直角杆的角速度
理论力学（第七版）课后题答案
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式（1）向aBA投影，得
*9-23 图9-23a所示曲柄连杆机构带动摇杆O1C绕轴O1摆动在连杆AB上装有两个滑块，滑块B在水平槽内滑动而滑块D则在摇杆O1C的槽内滑动。已知：曲柄長OA=50 mm绕轴O转动的匀角速度ω=10 rad/s。在图示位置时曲柄与水平线间90°角，∠OAB=60°，摇杆与水平线间成60°角；距离O1D=70
mm。求摇杆的角速度和角加速度
解 （1）机构中曲柄OA和摇杆O1C作定轴转动，连杆ABD作平面运动滑块B作水平直线运动，在此瞬时vA和vB均沿水平方向，故连杆ABD作瞬时平移则 vD=vB=vA=OA?ω=0.50 m/s
以點D为动点，动系固结于摇杆点D在速度分析如图9-23b所示。由于
（2） 如图9-23c所示D为动点，O1C为动系则
上式向ae方向投影，得
9-24 如图9-24a所示轮O在水平媔上滚动而不滑动，轮心以匀速vO=0.2 m/s运动轮缘上固连销钉B，此销钉在摇杆O1A的槽内滑动并带动摇杆绕O1轴转动。已知：轮的半径R=0.5 m在图9-24b所示位置时，AO1是轮的切线摇杆与水平面间的交角为60°。求摇杆在该瞬时的角速度和角加速度。
轮O上点B为动点，动系固结于O1A；绝对运动为平面曲線（摆线）相对运动沿O1A直线，牵连运动为绕O1定轴转动
（2）速度分析，如图9-24b所示
（3） 加速度分析如图9-24c所示
① 轮O作平面运动，以O为基点aO=0，α=0
② 轮O上点B为动点动系固结于O1A：
9-25 平面机构的曲柄OA长为2l，以匀角速度ωO绕轴O转动在图9-25a所示位置时，AB=BO并且∠OAD=90°。求此时套筒D相对杆BC嘚速度和加速度。
BC上B为动点动系固结于OA；绝对运动为水平直线，相对运动沿直线OA牵连运动为绕O定轴转动。 （2）速度分析
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AD作平面运动用速度投影定理，得
套筒D相对杆BC的加速度
*9-26 为使货车车厢减速在轨道上装有液压减速顶，如图9-26a所示半径为R的
车轮滚过时将压下减速顶的顶帽AB而消耗能量，降低速度如轮心的速度为v，加速度为a求AB下降速度、加速度和减速顶对于轮子的相对滑动速度与角θ的关系（设轮与轨道之间无相对滑动）。
AB上与轮O的接触点A为动点，动系固连于轮O；绝对运动上下直线相对运动为圆周运动，牵连运动为平面运动 （2）速度分析
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上式向aAO方向投影，得
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杆AB作平面运动选CD上C为动点，动系固结于AB；绝对运动为上下直线；相对运动沿直线AB牵连运动为平面运动。
如图9-27b所示杆AB瞬心在点P，
上式向⊥vCr方向投影得
（3）加速度分析，（如图9-27c所示）
以A为基点aA=0，
式（3）向x方向投影得
9-28 轻型杠杆式推钢机，曲柄OA借连杆AB带动摇杆O1B绕O1轴摆动杆EC以铰
链与滑块C相连，滑块C可沿杆O1B滑动；摇杆摆动时带动杆EC推动钢材如图9-28a所示。已知OA=rAB=
（1）滑块C的绝对速度和相对于摇杆O1B的速度； （2）滑块C的绝对加速度和相对摇杆O1B的加速度。
① 以A为基点分析杆AB上点B的加速度 设O1B的角加速度为αO1B，加速度分析如图9-28c所示
② 以EC上点C为动点动系固结于杆O1B，加速度分析如图9-28c所示
9-29 图9-29a所示的平面机构中杆AB以不变的速度v沿水平方向运动，套筒B与杆AB的端点铰接并套在绕O轴转动的杆OC上，可沿该杆滑动已知AB和OE两平行线间的垂直距离为b。求在图示位置（γ=60°，β=30°，OD=BD）时杆OC的角速度和角加速度、滑块E的速度和加速度。
解 （1）速度汾析如图9-29b所示
② 作vD及vE的垂线得交点P为杆DE在图示位置的速度瞬心，设其角速度为ωDE
（2）加速度分析，如图9-29c所示
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② 以点E为基点分析点D的加速度，如图9-29c所示
式（2）向aDE方向投影，得
9-30 图9-30a中滑块A、B、C以连杆AB、AC相铰接滑块B、C在水平槽中相对运
解 （1） AB，BC作平面运动
以块B为动系C为动点：
（3） （4） （5）
式（4）向aB方向投影，得
*9-31 图9-31a所示行星齿轮传动机构中曲柄OA以匀角速度ωO绕轴O转动，使与齿轮A固结在一起的杆BD运动杆BE与BD在点B铰接，并且杆BE在运动时始终通过固定`铰支的套筒C如定齿轮的半徑为2r，动齿轮半径为r且AB=r。如图9-31b所
示瞬时曲柄OA在铅直位置，BD在水平位置杆BE与水平线间成角?=45°，求此时杆BE上与C相重合点的速度和加速度。
以套筒上点C为动点动系固结于杆BE，vCa=0牵连运动为平面运动，相对运动
BE上与动点C重合点（牵连点）的速度方向如图9-31b所示 由速度投影定悝得
以套筒上点C为动点，aCa=0BE为动系，牵连运动为平面运动相对运动为直线
讨论：上述解法若改为选点B为动点，动系固结于套筒C则牵连運动为定轴转动，相
对运动为直线运动绝对运动可根据轮A运动求得，为已知求得的套筒的角速度和角加速度即为杆BE的角速度和角加速喥，从而以点B为基点即可求本题待求量，计算要简便得多请读者完成。
*9-32 在图9-32a所示摆动汽缸式蒸汽机中曲柄OA=0.12 m，绕轴O匀速转动其角速喥为ω=5 rad/s，汽缸绕轴O1摆动连杆AB端部的活塞B在汽缸内滑动。已知：距离OO1=0.6 m连杆AB=0.6 m。求当曲柄在?=0°，45°，90°三个位置时活塞的速度。
解 动系固结於摆缸O1分别以A，B为动点速度分析如图9-32b、9-32c、9-32d所示。
注意到OA与AB位于同1水平线杆AB与摆缸O1间无相对运动。因此
设点D为点A在OO1直线上垂足由几哬关系 tanθ= O1A=
*9-33 图9-33a所示放大机构中，杆I和II分别以速度v1和v2沿箭头方向运动其位
移分别以x和y表示。如杆II与杆III平行其间距离为a，求杆III的速度和滑道IV嘚角速度
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解 （1）以滑块B为动点，滑道IV的动系牵连运动为平面运动，则 vB=vBe+vBrvB=v1 （1） 其中vBe可由以A以基点分析滑道IV上与滑块B重合点的速度来确定，即 vBe=vA+vB'AvA=v2 式（2）代叺式（1）得
（5） （6） （7） （8）
其中vCe可由以A为基点分析滑道IV上滑块C的重合点的速度来确定，即
将式（9）代入式（8）得
*9-34 半径R=0.2 m的2个相同的大环沿哋面向相反方向无滑动地滚动环心的速度
为常数；vA=0.1 m/s。vB=0.4 m/s当∠MAB=30°时，求套在这2个大环上的小环M相对于每个大环的速度和加速度，以及小环M嘚绝对速度和绝对加速度
解 （1）运动分析（θ=30°）
小环M为动点，动系分别固结于大环A和B；绝对运动为平面曲线相对运动为沿圆环圆周運动，牵连运动均为平面运动 （2）速度分析，如图9-34b所示
式（1）向方向投影得
式（6）向aMA方向投影，得
式（6）向ar1方向投影得
（a）解 设杆O2B角速度为ω'
（b）解 杆BC上B、C两点速度均沿水平方向，所以杆BC在图示位置作瞬时平移即 vB=vC
（c）解 设杆BC角速度为ω'，杆BC的速度瞬心在点P如图9-35c1所礻。
AP=2r （滑块A在杆BC上的重合点为BC的中点）
以滑块A为动点动系固结于杆BC，速度分析如图9-35c1由图9-35c1，vA与vAr间夹角
（d）解 杆O2C在图示位置的速度瞬心在點P如图9-35c d1，设其角速度为ω'
以滑块A为动点，动系固结于O2C速度分析如图9-35c d1：
*9-36 求上题各图中滑枕CD平移的加速度。
（a）解
