所以有f(x)?x3?3x?1，相应的迭代公式为；xk?1?xk?f(xk)f(xk)?f(xk?；取x0=2为迭代的初始近似值；因为x4?x3?0.0000?x?x4?1.87；指出：；本教程所说快速弦截法是通常所说的弦截法（割线法）；11、分别用下列方法求方程4cosx?ex在x0；（1）用牛顿法，取x0?（2）用弦截法，取x0?；,x1??4?2；；?
所以有f(x)?x3?3x?1，相应的迭代公式为 xk?1?xk?f(xk)f(xk)?f(xk?1)(xk?xk?1) 取x0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下： k 0 1 2 3 4
因为x4?x3?0.0000?x?x4?1.8794*xk
2 1．9 1．94 1．xk-xk-1
-0.1 -0.7 f(xk) 1 0.159 0.1 f(xk)- f(xk-1)
-0.841 -0.146 -0.0129
?10,符合计算的精度要求,所以 。 指出： 本教程所说快速弦截法是通常所说的弦截法（割线法），而它所说弦截法是通常的单点弦截法。 11、分别用下列方法求方程4cosx?ex在x0?数字。 （1）用牛顿法，取x0?（2）用弦截法，取x0??4?4邻近的根，要求有三位有效； ,x1??4?2； ?2（3）用快速弦截法，取x0??4,x1?。 解：方程4cosx?ex变形为ex?4cosx?0， 则f(x)?ex?4cosx,f?(x)?ex?4sinx。 牛顿法、弦截法、快速弦截法公式分别为 （1）牛顿法 xk?1?xk?f(xk)f?(xk)?xk?eexkxk?4cosxk?4sinxk； （2）弦截法 xk?1?xk?f(xk)f(xk)?1.81(xk?0.785)； （3）快速弦截法
11 xk?1?xk?f(xk)f(xk)?f(xk?1)(xk?xk?1)。 取3位有效数字，分别计算得 k 0 1 2 3 4 5 6
xk 牛顿法 0．785 1．59 1．41 1．39 1．39
弦截法 0．785 1．57 1．33 1．40 1．38 1．39 1．38 补充题 （一） 1、确定方程x5+x-10＝0的根的个数，找出隔根区间。 2、用二分法求方程f(x)=x3＋2x-5=0在［2，3］的根的近似值，要求误差不超过0.005。 3、用二分法求方程f(x)=x3－2x-5=0在［2，3］的根的近似值，要求误差不超过0.05。 4、用二分法求方程f(x)?sinx?－2快速弦截法 0．785 1．57 1．33 1．38 1．40 1．39 1．39 x24?0的非零实近似根，使误差不超过10。 5、分析方程f(x)?sinx?x2?0的根的分布情况，并用二分法求正根的近似值，使误差不超过10－2。 6、估计用二分法求方程f(x)=x3＋4x2-10=0在［1，2］内的根的近似值，为使误差不超过10－5时所需要的二分次数。 分析与解答 1、令y?x5?x?10, 4y??5x?1, 显然y??0,而且函数没有不可导点, 所以，函数在区间(??,?)上是单调增的， 故方程最多有一个根。 因为y(0)??10?0,y(2)?24?0， 所以方程在（0，2）区间有一个根，（0，2）即为方程的隔根区间。 2、因为f(2)=7＞0，f(3)=28＞0，实际上本方程在指定范围内无根。但如果不加判定，也可以计算出一个值来。所以，用二分法求方程的根必须先行判定。 12 要特别注意的是，完整的二分法的过程是，第一步代入初值，第二步判断是否有解，第三步在有解的前提下求出解来。不进行判断就形式地套用二分法的过程是不可以的，同样地，如果因为无解就放弃讨论也是不正确的。 3、因为f(2)=－1＜0，f(3)=16＞0，所以方程在区间上有解。 x*?xn?bn?an2?b?a2n?3?22n?12n?0.05，所以，2n＞20，n=5。 x*≈2.10 4、画出y=sinx和y?x24的曲线，可以看出， 两条曲线除了原点外，在第一象限有且只有一个 交点。交点的横坐标介于1.5与2之间（显然， π／2≈1.5，sin(π／2)=1，2f(x)＞0，而当x＝2时，f(x)＜0。
x2(?4)2?1，所以在π／2点， 4?1，sinx＜1,所以在2点，
5、画出y=sinx和y?x2的曲线，可以看出，两条曲线除了原点外，在第一象限有且只有一个交点。交点的横坐标介于1.8与1.9之间（根据图像，用计算器计算估计，当sinx的值从大于x2的值变为小于时，隔根区间就找到了）。 要求│x*－xn│≤0.01，可以求出用二分法计算的次数。 在区间［1.8，1.9］上，因为 x*?xn?bn?an2?b?a2n?1.9?1.82n?0.12n?0.01 所以，n=4。 具体计算过程如下
n 1 2 3 4 an 1.8 1.85 1.875 1.8875 bn 1.9 1.9 1.9 1.9 xn 1.85 1.875 1. f(xn)的符号 ＋ ＋ ＋ ＋
所以，x*≈x4＝1.89 指出：
13 确定求根区间和根的初始近似值，应用MATLAB工具，用交轨法是重要的途径，可以先确定大致范围，再缩小区间重新画图精细化。在用普通的手工画草图的方法画交轨图的时候，可以借助于计算器使得隔根区间更短，但这种方法只对简单问题有效。 6、│x*－xn│≤10－5，即2?12n?12n?10?5 ，所以 2n≥105。
因为215＝3＝6＝131072，所以n=17。
（二） 1、对于方程3x2－ex＝0，为求最大正根与最小正根的近似值，试分别确定迭代函数g(x)及区间［a,b]，使得当x0∈[a,b]时，相应的迭代过程xk+1=g(xk)收敛到要求的根。 2、证明：当x0=1.5时，迭代法
xk?1?104?xk12 和xk?1?10?xk3
都收敛于方程f(x)=x3+4x2-10=0在区间［1，2］内的唯一实根x*，分别用上述迭代法求满足精度│xk+1－xk│≤10－5的近似根。 3、为求方程f(x)=x3－x2－1＝0在x0＝1.5附近的一个根，可将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式 ［1］改写成x?1?1x2,迭代公式为xk?1?1?1x2k； ［2］改写成x3=1+x2，迭代公式为xk?1?31?xk2； ［3］改写成x2?1x?1，迭代公式为xk?1?1xk?1。 试分析每一种迭代公式的收敛性。 分析与解答 1、根据3x2和ex的图像可知，方程3x2－ex＝0在实数域上有三个根，分别在区间(－1,0)，(0,1)，(3,4)内。其最大正根在［3，4］区间，最小正根在［0，1］区间。取迭代函数g(x)=ln3x2，可以得到最大正根，而取迭代函数g(x)?ex3，可以得到最小正根。 2、两种迭代法的迭代函数分别在区间［1，2］和［1，1.5］上满足定理2（不动点原理）的条件，故当x0=1.5时两种迭代法都收敛，且分别迭代9次和25，都可得到近似根1.36523。 我们讨论第一种迭代法，用定理2证明。它的迭代函数为g(x)?首先，g(x)是一个减函数，当x=1时，g(1)?2104?x。 53，当x＝2时，g(2)?。所以当x∈[1,2]时，1＜g(2)≤g(x)≤g(1)＜2，即g(x)∈[1,2]。
14 其次，g?(x)??值为
g?(2)???x)3，显然这是一个增函数，当x＝2时，其函数(4?2)3??5432，所以，g／(x)＜ g／(2)＜1。 指出：只给出了含根区间，就只能用定理2证明。 3、［1］给出了初始近似值，也即知道了精确根的大致位Z，可以用定理4（局部收敛性定理）证明。 由题意，方程有实根。下面证明g(x)连续和g(x*)＜1（x*是方程的精确根）。 ／／方程g(x)?1?1x2,g?(x)?2x3，可见g／(x)在1.5及其附近是连续减函数，因为g(1.5)=
－0.59，1.5又在x*的邻域内，由函数g／(x)的连续性，g／(x*)＜1，所以此迭代法具有局部的收敛性。 指出： 一般地说，用定理2（不动点原理）证明只要利用函数的单调性与区间上的最值就可以讨论，而用定理4（局部收敛性定理）则需要用到函数的连续性。
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证明方程cosx+x-1=0 在【-π/2,π/2】内有唯一实根求函数Y=2x³-3x²+1的单调区间,并求在【-1,2】上的最大值和最小值?求不定积分(x+1/x-2)*dx计算limx-0 1-cosx/xln（1+x）
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第一题：令f(x)=cosx+x-1,显然f(x)是连续函数,那么f'(x)=1-sinx,由于x∈[-π/2,π/2],所以f'(x)≥0,故而f(x)在[-π/2,π/2]内严格递增（x=π/2时取等号,而此时在端点不影响函数严格递增）,又f(-π/2)=-1-π/2＜0,f(π/2)=π/2-1＞0,由函数的连续性知道,存在一点x0∈[-π/2,π/2],使得f(x)=0,也即方程cosx+x-1=0 在[-π/2,π/2]内有一实根,由f(x)严格递增,故而与x轴至多只有一个交点,故而有唯一实根.第二题：由已知y'=6x²-6x,令y'=0得x1=0,x2=1,于是有x∈（-∞,0],y'＞0,y递增x∈（0,1],y'＜0,y递减x∈（1,+∞),y'＞0,y递增于是在[-1,2]上的最大值和最小值必然在x=-1或0或1或2上取得,而y(-1)=-4,y(0)=1,y(1)=0,y(2)=5,于是在[-1,2]上的最大值和最小值分别为5和-4.第三题：原式=∫(x+1)/(x-2)dx=∫(x-2+3)/(x-2)dx=∫dx+3∫1/(x-2)dx=x+3ln(x-2).第四题：将0带入原式,得到分子分母均为0,即原式是0/0型,由洛必达法则,分别对分子分母求导,之后发现得到式子仍是0/0型,再次求导,之后是数/数型,直接带入0求得答案.原式=lim sinx/{ln(1+x)+x/(1+x)}=lim cosx/{1/(1+x)+1/(1+x)²}=1/2
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高考数学第一轮复习精品小练习（教师版） 第一章&&集合 第一节&&集合的含义、表示及基本关系 A组 1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________． 解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B 2．若∅&{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥0 3．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x&8}，则集合A与B的关系是________． 解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B&A. 答案：B&A 4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是________． & 解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则N&M.答案：② 5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x&5}，集合B＝{x|x&a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 解析：命题“x∈A”是命题“x∈B”&的充分不必要条件，∴AB，∴a&5. 答案：a&5 6．(原创题)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？ 解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B. B组 1．设a，b都是非零实数，y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|可能取的值组成的集合是________． 解析：分四种情况：(1)a&0且b&0；(2)a&0且b&0；(3)a&0且b&0；(4)a&0且b&0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1} 2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________. 解析：∵B⊆A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1.答案：1 3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个． 解析：依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：8 4．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，那么a的值是________． 解析：M＝{x|x＝1或x＝－1}，NM，所以N＝∅时，a＝0；当a≠0时，x＝1a＝1或－1，∴a＝1或－1.答案：0,1，－1 5．满足{1}&A&#,3}的集合A的个数是________个． 解析：A中一定有元素1，所以A有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：3 6．已知集合A＝{x|x＝a＋16，a∈Z}，B＝{x|x＝b2－13，b∈Z}，C＝{x|x＝c2＋16，c∈Z}，则A、B、C之间的关系是________． 解析：用列举法寻找规律．答案：A&B＝C 7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x&a}，则“A⊆B”是“a&5”的________． 解析：结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a&5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件 8．(2010年江苏启东模拟)设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m&500}，则M中所有元素的和为________． 解析：∵2n&500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：511 9．(2009年高考北京卷)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个． 解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：6 10．已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值． 解：由lg(xy)知，xy&0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg(xy)＝0，xy＝1. ∴A＝{x,1,0}，B＝{0，|x|，1x}． 于是必有|x|＝1，1x＝x≠1，故x＝－1，从而y＝－1. 11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}， (1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围； (2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围； (3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围． 解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}， (1)∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1&2m－1，即m&2，此时满足B⊆A. ②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，－2≤m＋1，2m－1≤5.解得2≤m≤3. 由①②得，m的取值范围是(－∞，3]． (2)若A⊆B，则依题意应有2m－1&m－6，m－6≤－2，2m－1≥5.解得m&－5，m≤4，m≥3.故3≤m≤4， ∴m的取值范围是[3,4]． (3)若A＝B，则必有m－6＝－2，2m－1＝5，解得m∈∅.，即不存在m值使得A＝B. 12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}． (1)若A是B的真子集，求a的取值范围； (2)若B是A的子集，求a的取值范围； (3)若A＝B，求a的取值范围． 解：由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}， 而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}， (1)若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x&≤&a}，故a&2. (2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2. & (3)若A=B，则必有a=2 第二节&&&集合的基本运算 A组 1．(2009年高考浙江卷改编)设U＝R，A＝{x|x&0}，B＝{x|x&1}，则A∩∁UB＝____. 解析：∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩∁UB＝{x|0&x≤1}．答案：{x|0&x≤1} 2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个． 解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁U(A∩B)＝{3,5,8}．答案：3 3．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________. 解析：由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2} 4．(原创题)设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________. 解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________． 解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30&x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：12 6．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A＝{x|x&1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}． (1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B； (2)若B⊆A，求m的取值范围． 解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1&x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．(2)若B⊆A，则m&1，即m的取值范围为(1，＋∞) B组 1．若集合M＝{x∈R|－3&x&1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________. 解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0} 2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(∁UA)∩B＝________. 解析：∁UA＝{0,1}，故(∁UA)∩B＝{0}．答案：{0} 3．(2010年济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁UN)＝________. 解析：根据已知得M∩(∁UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x&0或x&3}＝{x|－2≤x&0}．答案：{x|－2≤x&0} 4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________. 解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}． 答案：{2,3,4} 5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________． 解析：U＝A∪B中有m个元素， ∵(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n 6．(2009年高考重庆卷)设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________. 解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}， 得∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8} 7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，则集合(A⊗B)⊗C的所有元素之和为________． 解析：由题意可求(A⊗B)中所含的元素有0,4,5，则(A⊗B)⊗C中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：18 8．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________. 解析：由x＋y－2＝0，x－2y＋4＝0.⇒x＝0，y＝2.点(0,2)在y＝3x＋b上，∴b＝2. 9．设全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________． 解析：∵A∪(∁IA)＝I，∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1,2}． 答案：∅，{1}，{2}，{1,2} 10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}． (1)若A∩B＝{2}，求实数a的值； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}． (1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a的值为－1或－3. (2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B⊆A， ①当Δ&0，即a&－3时，B＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；③当Δ&0，即a&－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得 1＋2＝－2(a＋1)1×2＝a2－5⇒a＝－52，a2＝7，矛盾.综上，a的取值范围是a≤－3. 11．已知函数f(x)＝&6x＋1－1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B. (1)当m＝3时，求A∩(∁RB)； (2)若A∩B＝{x|－1&x&4}，求实数m的值． 解：A＝{x|－1&x≤5}． (1)当m＝3时，B＝{x|－1&x&3}，则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}， ∴A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}． (2)∵A＝{x|－1&x≤5}，A∩B＝{x|－1&x&4}， ∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－2&x&4}，符合题意． 12．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}． (1)若A＝∅，求实数a的取值范围； (2)若A是单元素集，求a的值及集合A； (3)求集合M＝{a∈R|A≠∅}． 解：(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解． 若a＝0，方程有一解x＝23，不合题意． 若a≠0，要方程ax2－3x＋2＝0无解，则Δ＝9－8a&0，则a&98. 综上可知，若A＝∅，则a的取值范围应为a&98. (2)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一根x＝23，A＝{23}符合题意． 当a≠0时，则Δ＝9－8a＝0，即a＝98时， 方程有两个相等的实数根x＝43，则A＝{43}． 综上可知，当a＝0时，A＝{23}；当a＝98时，A＝{43}． (3)当a＝0时，A＝{23}≠∅.当a≠0时，要使方程有实数根， 则Δ＝9－8a≥0，即a≤98. 综上可知，a的取值范围是a≤98，即M＝{a∈R|A≠∅}＝{a|a≤98} 第二章&&&函数 第一节&&&对函数的进一步认识 A组 1．(2009年高考江西卷改编)函数y＝－x2－3x＋4x的定义域为________． 解析：－x2－3x＋4≥0，x≠0，⇒x∈[－4,0)∪(0,1] 答案：[－4,0)∪(0,1] 2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f(x)的图象是曲线段OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(1f(3))的值等于________． 解析：由图象知f(3)＝1，f(1f(3))＝f(1)＝2.答案：2 3．(2009年高考北京卷)已知函数f(x)＝3x，x≤1，－x，x&1.若f(x)＝2，则x＝________. 解析：依题意得x≤1时，3x＝2，∴x＝log32； 当x&1时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故x＝log32.答案：log32 4．(2010年黄冈市高三质检)函数f：{1，2}→{1，2}满足f[f(x)]&1的这样的函数个数有________个． 解析：如图．答案：1 5．(原创题)由等式x3＋a1x2＋a2x＋a3＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3定义一个映射f(a1，a2，a3)＝(b1，b2，b3)，则f(2,1，－1)＝________. 解析：由题意知x3＋2x2＋x－1＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3， 令x＝－1得：－1＝b3； 再令x＝0与x＝1得－1＝1＋b1＋b2＋b33＝8＋4b1＋2b2＋b3， 解得b1＝－1，b2＝0. 答案：(－1,0，－1) 6．已知函数f(x)＝1＋1x (x&1)，x2＋1&&(－1≤x≤1)，2x＋3&&(x&－1).(1)求f(1－12－1)，f{f[f(－2)]}的值；(2)求f(3x－1)；(3)若f(a)＝32，&求a. 解：f(x)为分段函数，应分段求解． (1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2&－1，∴f(－2)＝－22＋3， 又∵f(－2)＝－1，f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f{f[f(－2)]}＝1＋12＝32. (2)若3x－1&1，即x&23，f(3x－1)＝1＋13x－1＝3x3x－1； 若－1≤3x－1≤1，即0≤x≤32，f(3x－1)＝(3x－1)2＋1＝9x2－6x＋2； 若3x－1&－1，即x&0，f(3x－1)＝2(3x－1)＋3＝6x＋1. ∴f(3x－1)＝3x3x－1 (x&23)，9x2－6x＋2&&(0≤x≤23)，6x＋1&&(x&0). (3)∵f(a)＝32，∴a&1或－1≤a≤1. 当a&1时，有1＋1a＝32，∴a＝2； 当－1≤a≤1时，a2＋1＝32，∴a＝±22. ∴a＝2或±22. B组 1．(2010年广东江门质检)函数y＝13x－2＋lg(2x－1)的定义域是________． 解析：由3x－2&0,2x－1&0，得x&23.答案：{x|x&23} 2．(2010年山东枣庄模拟)函数f(x)＝－2x＋1，(x&－1)，－3，(－1≤x≤2)，2x－1，(x&2)，则f(f(f(32)＋5))＝_. 解析：∵－1≤32≤2，∴f(32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f(2)＝－3， ∴f(－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：7 3．定义在区间(－1,1)上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)的解析式为________． 解析：∵对任意的x∈(－1,1)，有－x∈(－1,1)， 由2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，① 由2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，② ①×2＋②消去f(－x)，得3f(x)＝2lg(x＋1)＋lg(－x＋1)， ∴f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，(－1&x&1)． 答案：f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，(－1&x&1) 4．设函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(x)＋1，则函数y＝f(x)与y＝x图象交点的个数可能是________个． 解析：由f(x＋1)＝f(x)＋1可得f(1)＝f(0)＋1，f(2)＝f(0)＋2，f(3)＝f(0)＋3，…本题中如果f(0)＝0，那么y＝f(x)和y＝x有无数个交点；若f(0)≠0，则y＝f(x)和y＝x有零个交点．答案：0或无数 5．设函数f(x)＝2 (x＞0)x2＋bx＋c&&(x≤0)，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为f(x)＝________，关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________个． 解析：由题意得 16－4b＋c＝c4－2b＋c＝－2&&b＝4c＝2， & ∴f(x)＝2 (x＞0)x2＋4x＋2&&(x≤0). 由数形结合得f(x)＝x的解的个数有3个． 答案：2 (x＞0)x2＋4x＋2&&(x≤0) 3 6．设函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，函数g(x)＝－x2＋bx＋c，若f(2＋2)－f(2＋1)＝12，g(x)的图象过点A(4，－5)及B(－2，－5)，则a＝__________，函数f[g(x)]的定义域为__________． 答案：2&&& (－1,3) 7．(2009年高考天津卷改编)设函数f(x)＝x2－4x＋6，x≥0x＋6，x&0，则不等式f(x)&f(1)的解集是________． 解析：由已知，函数先增后减再增，当x≥0，f(x)&f(1)＝3时，令f(x)＝3， 解得x＝1，x＝3.故f(x)&f(1)的解集为0≤x&1或x&3. 当x&0，x＋6＝3时，x＝－3，故f(x)&f(1)＝3，解得－3&x&0或x&3. 综上，f(x)&f(1)的解集为{x|－3&x&1或x&3}．答案：{x|－3&x&1或x&3} 8．(2009年高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝log2(4－x)， x≤0，f(x－1)－f(x－2)，&&x＞0，则f(3)的值为________． 解析：∵f(3)＝f(2)－f(1)，又f(2)＝f(1)－f(0)，∴f(3)＝－f(0)，∵f(0)＝log24＝2，∴f(3)＝－2.答案：－2 9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x与容器中的水量y之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x≥20)，y与x之间函数的函数关系是________． & 解析：设进水速度为a1升/分钟，出水速度为a2升/分钟，则由题意得5a1＝205a1＋15(a1－a2)＝35，得a1＝4a2＝3，则y＝35－3(x－20)，得y＝－3x＋95，又因为水放完为止，所以时间为x≤953，又知x≥20，故解析式为y＝－3x＋95(20≤x≤953)．答案：y＝－3x＋95(20≤x≤953) 10．函数f(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6. (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的定义域为[－2,1]，求实数a的值． 解：(1)①若1－a2＝0，即a＝±1， ()若a＝1时，f(x)＝6，定义域为R，符合题意； ()当a＝－1时，f(x)＝6x＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意． ②若1－a2≠0，则g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6为二次函数． 由题意知g(x)≥0对x∈R恒成立， ∴1－a2&0，Δ≤0，∴－1&a&1，(a－1)(11a＋5)≤0， ∴－511≤a&1.由①②可得－511≤a≤1. (2)由题意知，不等式(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a2≠0且－2,1是方程(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6＝0的两个根． ∴1－a2&0，－2＋1＝3(1－a)a2－1，－2＝61－a2，Δ＝[3(1－a)]2－24(1－a2)&0∴a&－1或a&1，a＝2，a＝±2.a&－511或a&1∴a＝2. 11．已知f(x＋2)＝f(x)(x∈R)，并且当x∈[－1,1]时，f(x)＝－x2＋1，求当x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z)时、f(x)的解析式． 解：由f(x＋2)＝f(x)，可推知f(x)是以2为周期的周期函数．当x∈[2k－1,2k＋1]时，2k－1≤x≤2k＋1，－1≤x－2k≤1.∴f(x－2k)＝－(x－2k)2＋1. 又f(x)＝f(x－2)＝f(x－4)＝…＝f(x－2k)， ∴f(x)＝－(x－2k)2＋1，x∈[2k－1,2k＋1]，k∈Z. 12．在日珠海航展上，中国自主研制的ARJ&21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C型装置的工人有x位，他们加工完C型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)．(单位：h，时间可不为整数) (1)写出g(x)，h(x)的解析式； (2)写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？ 解：(1)g(x)＝20003x(0&x&216，x∈N*)，h(x)＝1000216－x(0&x&216，x∈N*)． (2)f(x)＝20003x (0&x≤86，x∈N*).1000216－x&&(87≤x&216，x∈N*).(3)分别为86、130或87、129. 第二节&&&函数的单调性 A组 1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1&x2时，都有f(x1)&f(x2)”的是________． ①f(x)＝1x ②f(x)＝(x－1)2&&③f(x)＝ex ④f(x)＝ln(x＋1) 解析：∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1&x2时，都有f(x1)&f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．答案：① 2．函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0&a&1)的单调减区间是________． 解析：∵0&a&1，y＝logax为减函数，∴logax∈[0，12]时，g(x)为减函数． 由0≤logax≤12a≤x≤1.答案：[a，1](或(a，1)) 3．函数y＝x－4＋15－3x&的值域是________． 解析：令x＝4＋sin2α，α∈[0，π2]，y＝sinα＋3cosα＝2sin(α＋π3)，∴1≤y≤2. 答案：[1,2] 4．已知函数f(x)＝|ex＋aex|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围__． 解析：当a&0，且ex＋aex≥0时，只需满足e0＋ae0≥0即可，则－1≤a&0；当a＝0时，f(x)＝|ex|＝ex符合题意；当a&0时，f(x)＝ex＋aex，则满足f′(x)＝ex－aex≥0在x∈[0,1]上恒成立．只需满足a≤(e2x)min成立即可，故a≤1，综上－1≤a≤1. 答案：－1≤a≤1 5．(原创题)如果对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x)≥M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________． ①f(x)＝sinx；②f(x)＝lgx；③f(x)＝ex；④f(x)＝1 (x&0)0 (x＝0)－1 (x&－1) 解析：∵sinx≥－1，∴f(x)＝sinx的下确界为－1，即f(x)＝sinx是有下确界的函数；∵f(x)＝lgx的值域为(－∞，＋∞)，∴f(x)＝lgx没有下确界；∴f(x)＝ex的值域为(0，＋∞)，∴f(x)＝ex的下确界为0，即f(x)＝ex是有下确界的函数； ∵f(x)＝1 (x&0)0 (x＝0)－1 (x&－1)的下确界为－1.∴f(x)＝1 (x&0)0 (x＝0)－1 (x&－1)是有下确界的函数．答案：①③④ 6．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1. (1)若存在x∈R使f(x)&b•g(x)，求实数b的取值范围； (2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围. 解：(1)&x∈R，f(x)&b•g(x)x∈R，x2－bx＋b&0Δ＝(－b)2－4b&0b&0或b&4.(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4， ①当Δ≤0即－255≤m≤255时，则必需 m2≤0－255≤m≤255－255≤m≤0. ②当Δ&0即m&－255或m&255时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1&x2)，若m2≥1，则x1≤0. m2≥1F(0)＝1－m2≤0m≥2. 若m2≤0，则x2≤0， m2≤0F(0)＝1－m2≥0－1≤m&－255.综上所述：－1≤m≤0或m≥2. B组 1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________． ①y＝－1x ②y＝－(x－1) ③y＝x2－2 ④y＝－|x| 解析：由函数y＝－|x|的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④ 2．若函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________． 解析：令g(x)＝x2－ax＋3a，由题知g(x)在[2，＋∞)上是增函数，且g(2)&0. ∴a2≤2，4－2a＋3a&0，∴－4&a≤4.答案：－4&a≤4 3．若函数f(x)＝x＋ax(a&0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a的取值范围__． 解析：∵f(x)＝x＋ax(a&0)在(a，＋∞)上为增函数，∴a≤34，0&a≤916. 答案：(0，916] 4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)x2－x1&0，则下列结论正确的是________． ①f(3)&f(－2)&f(1) ②f(1)&f(－2)&f(3)& ③f(－2)&f(1)&f(3) ④f(3)&f(1)&f(－2) 解析：由已知f(x2)－f(x1)x2－x1&0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(2)＝f(－2)，即f(3)&f(－2)&f(1)．答案：① 5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f(x)＝ax (x&0)，(a－3)x＋4a&&(x≥0)满足对任意x1≠x2，都有f(x1)－f(x2)x1－x2&0成立，则a的取值范围是________． 解析：由题意知，f(x)为减函数，所以0&a&1，a－3&0，a0≥(a－3)×0＋4a，解得0&a≤14. 6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f(x)的图象是如下图所示的折线段OAB，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)，定义函数g(x)＝f(x)•(x－1)，则函数g(x)的最大值为________． 解析：g(x)＝2x(x－1) (0≤x&1)，(－x＋3)(x－1)&&(1≤x≤3)， 当0≤x&1时，最大值为0；当1≤x≤3时， 在x＝2取得最大值1.答案：1 7．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y＝f(x)的值域为[－2,0]，则函数y＝f(cosx)的值域是________． 解析：∵cosx∈[－1,1]，函数y＝f(x)的值域为[－2,0]，∴y＝f(cosx)的值域为[－2,0]．答案：[－2,0] 8．已知f(x)＝log3x＋2，x∈[1,9]，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是________． 解析：∵函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为 1≤x≤9，1≤x2≤9，∴x∈[1,3]，令log3x＝t，t∈[0,1]， ∴y＝(t＋2)2＋2t＋2＝(t＋3)2－3，∴当t＝1时，ymax＝13.答案：13 9．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a&0，a≠1)在区间(0，12)内恒有f(x)&0，则f(x)的单调递增区间为__________． 解析：令μ＝2x2＋x，当x∈(0，12)时，μ∈(0,1)，而此时f(x)&0恒成立，∴0&a&1. μ＝2(x＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x2＋x&0，即x&0或x&－12.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12) 10．试讨论函数y＝2(log12x)2－2log12x＋1的单调性． 解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u＝g(x)＝log12x，y＝f(u)＝2u2－2u＋1，那么原函数y＝f[g(x)]是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数，而u＝log12x在x∈(0，＋∞)内是减函数，y＝2u2－2u＋1＝2(u－12)2＋12在u∈(－∞，12)上是减函数，在u∈(12，＋∞)上是增函数．又u≤12，即log12x≤12，得x≥22；u&12，得0&x&22.由此，从下表讨论复合函数y＝f[g(x)]的单调性： 函数&&&&单调性 &&&&(0，22) (22，＋∞) u＝log12x f(u)＝2u2－2u＋1&&&&
y＝2(log12x)2－2log12x＋1
故函数y＝2(log12x)2－2log12x＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增． 11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)，且当x&1时，f(x)&0. (1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)&－2. 解：(1)令x1＝x2&0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0. (2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1&x2，则x1x2&1，由于当x&1时，f(x)&0， 所以f(x1x2)&0，即f(x1)－f(x2)&0，因此f(x1)&f(x2)， 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)由f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)得f(93)＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2. 由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， 由f(|x|)&f(9)，得|x|&9，∴x&9或x&－9.因此不等式的解集为{x|x&9或x&－9}． 12．已知：f(x)＝log3x2＋ax＋bx，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由． 解：∵f(x)在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x＝1时，f(x)最小，log31＋a＋b1＝1.即a＋b＝2. 设0＜x1＜x2≤1，则f(x1)＞f(x2)．即x12＋ax1＋bx1＞x22＋ax2＋bx2恒成立． 由此得(x1－x2)(x1x2－b)x1x2＞0恒成立． 又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0恒成立，∴b≥1. 设1≤x3＜x4，则f(x3)＜f(x4)恒成立．∴(x3－x4)(x3x4－b)x3x4＜0恒成立． ∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a＝1.∴存在a、b，使f(x)同时满足三个条件． 第三节&&&函数的性质 A组 1．设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系为________． 解析：由f(x)为偶函数，知b＝0，∴f(x)＝loga|x|，又f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以0&a&1,1&a＋1&2，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)&f(b＋2)．答案：f(a＋1)&f(b＋2) 2．(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于________． 解析：f(x)为奇函数，且x∈R，所以f(0)＝0，由周期为2可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由f(x＋2)＝f(x)，令x＝－1得f(1)＝f(－1)＝－f(1)⇒f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝0.答案：0 3．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为________． 解析：因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)&f(0)＝0，所以－f(1)&0，即f(－25)&f(80)&f(11)． 答案：f(－25)&f(80)&f(11) 4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x－1)&f(13)的x取值范围是________． 解析：由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(|x|)，由f(|2x－1|)&f(13)，再根据f(x)的单调性得|2x－1|&13，解得13&x&23.答案：(13，23) 5．(原创题)已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对x∈R，f(2＋x)＝f(2－x)，当f(－3)＝－2时，f(2011)的值为________． 解析：因为定义在R上的函数f(x)是偶函数，所以f(2＋x)＝f(2－x)＝f(x－2)，故函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(2011)＝f(3＋502×4)＝f(3)＝f(－3)＝－2.答案：－2 6．已知函数y＝f(x)是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式；(3)求y＝f(x)在[4,9]上的解析式． 解：(1)证明：∵f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)， 又∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(4)，∴f(1)＋f(4)＝0. (2)当x∈[1,4]时，由题意可设f(x)＝a(x－2)2－5(a&0)，由f(1)＋f(4)＝0，得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2－5(1≤x≤4)． (3)∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)＝0，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)＝kx(0≤x≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k＝－3，∴当0≤x≤1时，f(x)＝－3x，从而当－1≤x&0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x，故－1≤x≤1时，f(x)＝－3x.∴当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴f(x)＝f(x－5)＝－3(x－5)＝－3x＋15.当6&x≤9时，1&x－5≤4，∴f(x)＝f(x－5)＝2[(x－5)－2]2－5＝2(x－7)2－5. ∴f(x)＝－3x＋15， 4≤x≤62(x－7)2－5， 6&x≤9. B组 1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则下列结论正确的是________． ①f(x)是偶函数 ②f(x)是奇函数 ③f(x)＝f(x＋2) ④f(x＋3)是奇函数 解析：∵f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，∴函数f(x)关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f(x)是周期T＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，f(－x＋3)＝－f(x＋3)，即f(x＋3)是奇函数．答案：④ 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋32)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝________. 解析：f(x)＝－f(x＋32)⇒f(x＋3)＝f(x)，即周期为3，由f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，所以f(1)＝－1，f(2)＝－1，f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.答案：0 3．(2010年浙江台州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝1，若将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝________. 解析：f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f(－2＋x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以周期为4，f(1)＝1，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝f(4)×502＋f(2)＝0.答案：0 4．(2010年湖南郴州质检)已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)&0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)&0的解集是________． 解析：在(0，＋∞)上有f′(x)&0，则在(0，＋∞)上f(x)是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f(x)在R上是偶函数，且f(－1)＝0，∴f(1)＝0.从而可知x∈(－∞，－1)时，f(x)&0；x∈(－1,0)时，f(x)&0；x∈(0,1)时，f(x)&0；x∈(1，＋∞)时，f(x)&0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)． 5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2009)＋f(2010)的值为________． 解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2009)＝f(2009)．∵f(x)在x≥0时f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期为2.∴f(－2009)＋f(2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝0＋1＝1.答案：1 6．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x＋2)＝－1f(x)，若当2&x&3时，f(x)＝x，则f(2009.5)＝________. 解析：由f(x＋2)＝－1f(x)，可得f(x＋4)＝f(x)，f(2009.5)＝f(502×4＋1.5)＝f(1.5)＝f(－2.5)∵f(x)是偶函数，∴f(2009.5)＝f(2.5)＝52.答案：52 7．(2010年安徽黄山质检)定义在R上的函数f(x)在(－∞，a]上是增函数，函数y＝f(x＋a)是偶函数，当x1&a，x2&a，且|x1－a|&|x2－a|时，则f(2a－x1)与f(x2)的大小关系为________． 解析：∵y＝f(x＋a)为偶函数，∴y＝f(x＋a)的图象关于y轴对称，∴y＝f(x)的图象关于x＝a对称．又∵f(x)在(－∞，a]上是增函数，∴f(x)在[a，＋∞)上是减函数．当x1&a，x2&a，且|x1－a|&|x2－a|时，有a－x1&x2－a，即a&2a－x1&x2，∴f(2a－x1)&f(x2)．答案：f(2a－x1)&f(x2) 8．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝________. 解析：当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)&0，由f(x)为奇函数知x&0时，f(x)&0，∴a&0，f(－a)＝2，∴－a(－a＋1)＝2，∴a＝2(舍)或a＝－1.答案：－1 9．(2009年高考山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________. 解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)，因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.&答案：-8 & 10．已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求f(x)的解析式． 解：∵f(x)是奇函数，可得f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当x&0时，－x&0，由已知f(－x)＝xlg(2＋x)，∴－f(x)＝xlg(2＋x)，即f(x)＝－xlg(2＋x) (x&0)． ∴f(x)＝－xlg(2－x) (x&0)，－xlg(2＋x) (x≥0).即f(x)＝－xlg(2＋|x|)(x∈R)． 11．已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果x∈R＋，f(x)&0，并且f(1)＝－12，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值． 解：(1)证明：∴函数定义域为R，其定义域关于原点对称． ∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． (2)法一：设x，y∈R＋，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)． ∵x∈R＋，f(x)&0，∴f(x＋y)－f(x)&0，∴f(x＋y)&f(x)．∵x＋y&x，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．又∵f(x)为奇函数，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－12，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3. 法二：设x1&x2，且x1，x2∈R.则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∵x2－x1&0，∴f(x2－x1)&0.∴f(x2)－f(x1)&0.即f(x)在R上单调递减．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－12，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3. 12．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)． (1)求证：f(x)是周期函数； (2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12在[0,2010]上的所有x的个数． 解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数． (2)当0≤x≤1时，f(x)＝12x， 设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝12(－x)＝－12x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－12x，即f(x)＝12x.故f(x)＝12x(－1≤x≤1) 又设1&x&3，则－1&x－2&1，∴f(x－2)＝12(x－2)， 又∵f(x－2)＝－f(2－x)＝－f[(－x)＋2]＝－[－f(－x)]＝－f(x)，∴－f(x)＝12(x－2)，∴f(x)＝－12(x－2)(1&x&3)．∴f(x)＝12x (－1≤x≤1)－12(x－2) (1&x&3) 由f(x)＝－12，解得x＝－1.∵f(x)是以4为周期的周期函数．故f(x)＝－12的所有x＝4n－1(n∈Z)．令0≤4n－1≤2010，则14≤n≤50234，又∵n∈Z，∴1≤n≤502(n∈Z)，∴在[0,2010]上共有502个x使f(x)＝－12. 第三章&&指数函数和对数函数 第一节&&指数函数 A组 1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a&1，b&0，且ab＋a－b＝22，则ab－a－b的值等于________． 解析：∵a&1，b&0，∴0&ab&1，a－b&1.又∵(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8，∴a2b＋a－2b＝6，∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝－2.答案：－2 2．已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________. 解析：由图象知f(0)＝1＋b＝－2，∴b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，∴a＝3，则f(3)＝(3)3－3＝33－3. 答案：33－3 3．函数y＝(12)2x－x2的值域是________． 解析：∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1， ∴(12)2x－x2≥12.答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f(x)＝ax－x－a(a&0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． 解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a&1时两函数图象有两个交点，0&a&1时两函数图象有惟一交点，故a&1.&答案：(1，+∞) & 5．(原创题)若函数f(x)＝ax－1(a&0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________． 解析：由题意知0&a&1a2－1＝0a0－1＝2无解或a&1a0－1＝0a2－1＝2⇒a＝3.答案：3 6．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)&0恒成立，求k的取值范围． 解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1. 从而有f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2. (2)法一：由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1， 由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)&0⇔f(t2－2t)&－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)． 因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t&－2t2＋k. 即对一切t∈R有3t2－2t－k&0，从而Δ＝4＋12k&0，解得k&－13. 法二：由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2，又由题设条件得－2t2－2t＋12t2－2t＋1＋2＋－22t2－k＋122t2－k＋1＋2&0 即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)(－22t2－k＋1)&0 整理得23t2－2t－k&1，因底数2&1，故3t2－2t－k&0 上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k&0，解得k&－13. B组 1．如果函数f(x)＝ax＋b－1(a&0且a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________． ①0&a&1且b&0 ②0&a&1且0&b&1 ③a&1且b&0&&&④a&1且b&0 解析：当0&a&1时，把指数函数f(x)＝ax的图象向下平移，观察可知－1&b－1&0，即0&b&1.答案：② 2．(2010年保定模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________． 解析：f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，所以f(x)在[a，＋∞)上为减函数，又f(x)，g(x)都在[1,2]上为减函数，所以需a≤1a＋1&1⇒0&a≤1.答案：(0,1] 3．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f&(x)＝ax•g(x)(a&0，a≠1)；②g(x)≠0；若f(1)g(1)＋f(－1)g(－1)＝52，则a等于________． 解析：由f(x)＝ax•g(x)得f(x)g(x)＝ax，所以f(1)g(1)＋f(－1)g(－1)＝52⇒a＋a－1＝52，解得a＝2或12.答案：2或12 4．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f(x)＝ax(a&0且a≠1)，其反函数为f－1(x)．若f(2)＝9，则f－1(13)＋f(1)的值是________． 解析：因为f(2)＝a2＝9，且a&0，∴a＝3，则f(x)＝3x＝13，∴x＝－1， 故f－1(13)＝－1.又f(1)＝3，所以f－1(13)＋f(1)＝2.答案：2 5．(2010年山东青岛质检)已知f(x)＝(13)x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________． 解析：设y＝g(x)上任意一点P(x，y)，P(x，y)关于x＝1的对称点P′(2－x，y)在f(x)＝(13)x上，∴y＝(13)2－x＝3x－2.答案：y＝3x－2(x∈R) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y＝ex＋e－xex－e－x的图象大致为________． &&&&&& 解析：∵f(－x)＝e－x＋exe－x－ex＝－ex＋e－xex－e－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除④. 又∵y＝ex＋e－xex－e－x＝e2x＋1e2x－1＝e2x－1＋2e2x－1＝1＋2e2x－1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：① 7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝(12)x；当x&4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝________. 解析：∵2&3&4＝22，∴1&log23&2.∴3&2＋log23&4，∴f(2＋log23) ＝f(3＋log23)＝f(log224)＝(12)log224＝2－log224＝2log.答案：124 8．(2009年高考湖南卷改编)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝f(x)，f(x)≤K，K， f(x)&K.取函数f(x)＝2－|x|，当K＝12时，函数fK(x)的单调递增区间为________． 解析：由f(x)＝2－|x|≤12得x≥1或x≤－1，∴fK(x)＝2－|x|，x≥1或x≤－1，12，－1&x&1. 则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1] 9．函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，当a变动时，函数b＝g(a)的图象可以是________． & 解析：函数y＝2|x|的图象如图． 当a＝－4时，0≤b≤4， 当b＝4时，－4≤a≤0，答案：② 10．(2010年宁夏银川模拟)已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a&0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，求实数a的值． 解：f(x)＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，∵x∈[－1,1]， (1)当0&a&1时，a≤ax≤1a，∴当ax＝1a时，f(x)取得最大值． ∴(1a＋1)2－2＝14，∴1a＝3，∴a＝13. (2)当a&1时，1a≤ax≤a，∴当ax＝a时，f(x)取得最大值． ∴(a＋1)2－2＝14，∴a＝3.综上可知，实数a的值为13或3. 11．已知函数f(x)＝－22x－a＋1.(1)求证：f(x)的图象关于点M(a，－1)对称； (2)若f(x)≥－2x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)证明：设f(x)的图象C上任一点为P(x，y)，则y＝－22x－a＋1， P(x，y)关于点M(a，－1)的对称点为P′(2a－x，－2－y)． ∴－2－y＝－2＋22x－a＋1＝－2•2x－a2x－a＋1＝－21＋2－(x－a)＝－22(2a－x)－a＋1， 说明点P′(2a－x，－2－y)也在函数y＝－22x－a＋1的图象上，由点P的任意性知，f(x)的图象关于点M(a，－1)对称． (2)由f(x)≥－2x得－22x－a＋1≥－2x，则22x－a＋1≤2x，化为2x－a•2x＋2x－2≥0，则有(2x)2＋2a•2x－2•2a≥0在x≥a上恒成立．令g(t)＝t2＋2a•t－2•2a，则有g(t)≥0在t≥2a上恒成立．∵g(t)的对称轴在t＝0的左侧，∴g(t)在t≥2a上为增函数． ∴g(2a)≥0.∴(2a)2＋(2a)2－2•2a≥0，∴2a(2a－1)≥0，则a≥0.即实数a的取值范围为a≥0. 12．(2008年高考江苏)若f1(x)＝3|x－p1|，f2(x)＝2•3|x－p2|，x∈R，p1、p2为常数，且 f(x)＝f1(x)，f1(x)≤f2(x)，f2(x)，f1(x)&f2(x).(1)求f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件(用p1、p2表示)；(2)设a，b是两个实数，满足a&b，且p1、p2∈(a，b)．若f(a)＝f(b)，求证：函数f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为b－a2(闭区间[m，n]的长度定义为n－m)． 解：(1)f(x)＝f1(x)恒成立⇔f1(x)≤f2(x)⇔3|x－p1|≤2•3|x－p2|⇔3|x－p1|－|x－p2|≤2 ⇔|x－p1|－|x－p2|≤log32.(*)若p1＝p2，则(*)⇔0≤log32，显然成立；若p1≠p2，记g(x)＝|x－p1|－|x－p2|，当p1&p2时，g(x)＝p1－p2，x&p2，－2x＋p1＋p2，p2≤x≤p1，p2－p1，x&p1. 所以g(x)max＝p1－p2，故只需p1－p2≤log32. 当p1&p2时，g(x)＝p1－p2，x&p1；2x－p1－p2，p1≤x≤p2；p2－p1，x&p2.所以g(x)max＝p2－p1，故只需p2－p1≤log32. 综上所述，f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件是|p1－p2|≤log32. (2)证明：分两种情形讨论． ①当|p1－p2|≤log32时，由(1)知f(x)＝f1(x)(对所有实数x∈[a，b])，则由f(a)＝f(b)及a&p1&b易知p1＝a＋b2.再由f1(x)＝3p1－x，x&p1，3x－p1，x≥p1，的单调性可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度为b－a＋b2＝b－a2. ②当|p1－p2|&log32时，不妨设p1&p2，则p2－p1&log32.于是，当x≤p1时，有f1(x)＝3p1－x&3p2－x&f2(x)，从而f(x)＝f1(x)． 当x≥p2时，f1(x)＝3x－p1＝3p2－p1•3x－p2&3log32•3x－p2＝f2(x)，从而f(x)＝f2(x)． 当p1&x&p2时，f1(x)＝3x－p1及f2(x)＝2&#－x，由方程3x0－p1＝2&#－x0，解得f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标为x0＝p1＋p22＋12log32.① 显然p1&x0＝p2－12[(p2－p1)－log32]&p2，这表明x0在p1与p2之间． 由①易知f(x)＝f1(x)，p1≤x≤x0，f2(x)，x0&x≤p2. 综上可知，在区间[a，b]上，f(x)＝f1(x)，a≤x≤x0，f2(x)，x0&x≤b. 故由函数f1(x)与f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为(x0－p1)＋(b－p2)，由于f(a)＝f(b)，即3p1－a＝2•3b－p2，得 p1＋p2＝a＋b＋log32.② 故由①②得(x0－p1)＋(b－p2)＝b－12(p1＋p2－log32)＝b－a2. 综合①、②可知，f(x)在区间[a，b]上单调增区间的长度之和为b－a2. 第二节&&对数函数 A组 1．(2009年高考广东卷改编)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a&0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(a，a)，则f(x)＝________. 解析：由题意f(x)＝logax，∴a＝logaa12＝12，∴f(x)＝log12x.答案：log12x 2．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a、b、c的大小关系是________． 解析：a＝log3π&1，b＝log23＝12log23∈(12，1)，c＝log32＝12log32∈(0，12)，故有a&b&c.答案：a&b&c 3．若函数f(x)＝&，则f(log43)＝________. 解析：0&log43&1，∴f(log43)＝4log43＝3.答案：3 4．如图所示，若函数f(x)＝ax－1的图象经过点(4,2)，则函数g(x)＝loga1x＋1的图象是________． & 解析：由已知将点(4,2)代入y＝ax－1，∴2＝a4－1，即a＝213&1. 又1x＋1是单调递减的，故g(x)递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④ 5．(原创题)已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f(12010)＝4，则f(2010)的值为_． 解析：设F(x)＝f(x)－2，即F(x)＝alog2x＋blog3x，则F(1x)＝alog21x＋blog31x＝－(alog2x＋blog3x)＝－F(x)，∴F(2010)＝－F(12010)＝－[f(12010)－2]＝－2， 即f(2010)－2＝－2，故f(2010)＝0.答案：0 6．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a&0且a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及相应x的值；(2)若f(log2x)&f(1)且log2f(x)&f(1)，求x的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a＝1，∴a＝2.又∵log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝2.∴f(x)＝x2－x＋2. ∴f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－12)2＋74. ∴当log2x＝12，即x＝2时，f(log2x)有最小值74. (2)由题意知(log2x)2－log2x＋2&2，log2(x2－x＋2)&2.∴log2x&0或log2x&1，0&x2－x＋2&4. ∴0&x&1或x&2，－1&x&2.∴0&x&1. B组 1．(2009年高考北京卷改编)为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点________． 解析：∵y＝lgx＋310＝lg(x＋3)－1，∴将y＝lgx的图象上的点向左平移3个单位长度得到y＝lg(x＋3)的图象，再将y＝lg(x＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y＝lg(x＋3)－1的图象． 答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 2．(2010年安徽黄山质检)对于函数f(x)＝lgx定义域中任意x1，x2(x1≠x2)有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)；②f(x1•x2)＝f(x1)＋f(x2)；③f(x1)－f(x2)x1－x2&0；④f(x1＋x22)&f(x1)＋f(x2)2.上述结论中正确结论的序号是________． 解析：由运算律f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝f(x1x2)，所以②对；因为f(x)是定义域内的增函数，所以③正确；f(x1＋x22)＝lgx1＋x22，f(x1)＋f(x2)2＝lgx1＋lgx22＝lgx1x2，∵x1＋x22≥x1x2，且x1≠x2，∴lgx1＋x22&lgx1x2，所以④错误． 答案：②③ 3．(2010年枣庄第一次质检)对任意实数a、b，定义运算“*”如下： a*b＝a(a≤b)b(a&b)，则函数f(x)＝log12(3x－2)*log2x的值域为________． 解析：在同一直角坐标系中画出y＝log12(3x－2)和y＝log2x两个函数的图象， & 由图象可得 f(x)＝log2x (0&x≤1)log12(3x－2)&&(x&1)，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0] 4．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为________． 解析：由y＝f(x)与y＝ex互为反函数，得f(x)＝lnx，因为y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，故有g(x)＝－lnx，g(a)＝1⇒lna＝－1，所以a＝1e. 答案：1e 5．已知函数f(x)满足f(2x＋|x|)＝log2x|x|，则f(x)的解析式是________． 解析：由log2x|x|有意义可得x&0，所以，f(2x＋|x|)＝f(1x)，log2x|x|＝log2x，即有f(1x)＝log2x，故f(x)＝log21x＝－log2x.答案：f(x)＝－log2x，(x&0) 6．(2009年高考辽宁卷改编)若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，则x1＋x2＝________. 解析：由题意2x1＋2x1＝5，①2x2＋2log2(x2－1)＝5，②所以2x1＝5－2x1，x1＝log2(5－2x1)，即2x1＝2log2(5－2x1)．令2x1＝7－2t，代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)，∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2，于是2x1＝7－2x2.∴x1＋x2＝T2.答案：72 7．当x∈[n，n＋1)，(n∈N)时，f(x)＝n－2，则方程f(x)＝log2x根的个数是________． 解析：当n＝0时，x∈[0,1)，f(x)＝－2； 当n＝1时，x∈[1,2)，f(x)＝－1； 当n＝2时，x∈[2,3)，f(x)＝0； 当n＝3时，x∈[3,4)，f(x)＝1； 当n＝4时，x∈[4,5)，f(x)＝2； 当n＝5时，x∈[5,6)，f(x)＝3.答案：2 8．(2010年福建厦门模拟)已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是________． & 解析：由题知，a＝1b，则f(x)＝(1b)x＝b－x，g(x)＝－logbx，当0&b&1时，f(x)单调递增，g(x)单调递增，②正确；当b&1时，f(x)单调递减，g(x)单调递减． 答案：② 9．已知曲线C：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)与函数y＝log3x及函数y＝3x的图象分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12＋x22的值为________． 解析：∵y＝log3x与y＝3x互为反函数，所以A与B两点关于y＝x对称，所以x1＝y2，y1＝x2，∴x12＋x22＝x12＋y12＝9.答案：9 10．已知函数f(x)＝lgkx－1x－1(k∈R且k&0)．(1)求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，求k的取值范围． 解：(1)由kx－1x－1&0及k&0得x－1kx－1&0，即(x－1k)(x－1)&0. ①当0&k&1时，x&1或x&1k；②当k＝1时，x∈R且x≠1；③当k&1时，x&1k或x&1.综上可得当0&k&1时，函数的定义域为(－∞，1)∪(1k，＋∞)； 当k≥1时，函数的定义域为(－∞，1k)∪(1，＋∞)． (2)∵f(x)在[10，＋∞)上是增函数，∴10k－110－1&0，∴k&110. 又f(x)＝lgkx－1x－1＝lg(k＋k－1x－1)，故对任意的x1，x2，当10≤x1&x2时，恒有f(x1)&f(x2)，即lg(k＋k－1x1－1)&lg(k＋k－1x2－1)，∴k－1x1－1&k－1x2－1，∴(k－1)&#－1－1x2－1)&0，又∵1x1－1&1x2－1，∴k－1&0，∴k&1.综上可知k∈(110，1)． 11．(2010年天津和平质检)已知f(x)＝loga1＋x1－x(a&0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并给予证明；(3)求使f(x)&0的x的取值范围． 解：(1)由1＋x1－x&0&，解得x∈(－1,1)． (2)f(－x)＝loga1－x1＋x＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数． (3)若a&1，f(x)&0，则1＋x1－x&1，解得0&x&1；若0&a&1，f(x)&0，则0&1＋x1－x&1，解得－1&x&0. 12．已知函数f(x)满足f(logax)＝aa2－1(x－x－1)，其中a&0且a≠1. (1)对于函数f(x)，当x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)&0，求实数m的集合； (2)x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围． 解：令logax＝t(t∈R)，则x＝at，∴f(t)＝aa2－1(at－a－t)， ∴f(x)＝aa2－1(ax－a－x)．∵f(－x)＝aa2－1(a－x－ax)＝－f(x)， ∴f(x)是R上的奇函数． 当a&1时，aa2－1&0，ax是增函数，－a－x是增函数，∴f(x)是R上的增函数； 当0&a&1，aa2－1&0，ax是减函数，－a－x是减函数，∴f(x)是R上的增函数． 综上所述，a&0且a≠1时，f(x)是R上的增函数． (1)由f(1－m)＋f(1－m2)&0有f(1－m)&－f(1－m2)＝f(m2－1)， ∴1－m&m2－1，－1&1－m&1，－1&m2－1&1.解得m∈(1，2)． (2)∵f(x)是R上的增函数，∴f(x)－4也是R上的增函数，由x&2，得f(x)&f(2)， ∴f(x)－4&f(2)－4，要使f(x)－4的值恒为负数，只需f(2)－4≤0， 即aa2－1(a2－a－2)－4≤0，解得2－3≤a≤2＋3， ∴a的取值范围是2－3≤a≤2＋3且a≠1. 第三节&&幂函数与二次函数的性质 A组 1．若a&1且0&b&1，则不等式alogb(x－3)&1的解集为________． 解析：∵a&1,0&b&1，∴alogb(x－3)&1⇔logb(x－3)&0⇔logb(x－3)&logb1⇔0&x－3&1⇔3&x&4.答案：{x|3&x&4} 2．(2010年广东广州质检)下列图象中，表示y＝x&的是________． & 解析：y＝x&＝3x2是偶函数，∴排除②、③，当x&1时，&＝x&&1，∴x&x&，∴排除①.答案：④ 3．(2010年江苏海门质检)若x∈(0,1)，则下列结论正确的是__________． ①2x&x&&lgx ②2x&lgx&x&&&&&&③x&&2x&lgx&&&&&&&④lgx&x&&2x 解析：∵x∈(0,1)，∴2&2x&1,0&x&&1，lgx&0.答案：① 4．(2010年东北三省模拟)函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝__________. 解析：先画出f(x)＝4x－x2的图象，再将x轴下方的图象翻转到x轴的上方，如图，y＝a过抛物线顶点时恰有三个交点，故得a的值为4.答案：4 5．(原创题)方程x12＝logsin1x的实根个数是__________． 解析：在同一坐标系中分别作出函数y1＝x&&和y2＝logsin1x的图象，可知只有惟一一个交点．答案：1 & 6．(2009年高考江苏卷)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)•|x－a|. (1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值； (3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集． 解：(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a&0，即a&0.由a2≥1知a≤－1.因此，a的取值范围为(－∞，－1]． (2)记f(x)的最小值为g(a)．则有f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a| ＝3(x－a3)2＋2a23，x&a， ①(x＋a)2－2a2，x≤a， ② ()当a≥0时，f(－a)＝－2a2，由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2. ()当a&0时，f(a3)＝23a2.若x&a，则由①知f(x)≥23a2； 若x≤a，则x＋a≤2a&0，由②知f(x)≥2a2&23a2.此时g(a)＝23a2. 综上，得g(a)＝－2a2， a≥0，2a23， a&0. (3)()当a∈(－∞，－62]∪[22，＋∞)时，解集为(a，＋∞)； ()当a∈[－22，22)时，解集为[a＋3－2a23，＋∞)； ()当a∈(－62，－22)时，解集为(a，a－3－2a23]∪[a＋3－2a23，＋∞)． B组 1．(2010年江苏无锡模拟)幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，－18)，则满足f(x)＝27的x的值是__________． 解析：设幂函数为y＝xα，图象经过点(－2，－18)，则－18＝(－2)α，∴α＝－3，∵x－3＝27，∴x＝13.答案：13 2．(2010年安徽蚌埠质检)已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表： x&&&&1&&&&12 f(x)&&&&1&&&&22 则不等式f(|x|)≤2的解集是__________． 解析：由表知22＝(12)α，∴α＝12，∴f(x)＝x12.∴(|x|)12≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4. 答案：{x|－4≤x≤4} 3．(2010年广东江门质检)设k∈R，函数f(x)＝1x(x&0)，ex(x≤0)，F(x)＝f(x)＋kx，x∈R.当k＝1时，F(x)的值域为__________． 解析：当x&0时，F(x)＝1x＋x≥2；当x≤0时，F(x)＝ex＋x，根据指数函数与幂函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)≤F(0)＝1，所以k＝1时，F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞) 4．设函数f(x)＝－2 (x&0)，x2＋bx＋c&&(x≤0)，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为__________． 解析：由f(－4)＝f(0)，得b＝4.又f(－2)＝0，可得c＝4，∴x≤0，x2＋4x＋4≤1或x&0，－2≤1，可得－3≤x≤－1或x&0.答案：{x|－3≤x≤－1或x&0} 5．(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x)＝x2＋4x， x≥0，4x－x2， x&0.若f(2－a2)&f(a)，则实数a的取值范围是__________． 解析：函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，4x－x2，x&0，的图象如图．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 知f(x)在R上为增函数． ∵f(2－a2)&f(a)，即2－a2&a. 解得－2&a&1. 答案：－2&a&1 6．(2009年高考江西卷改编)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a&0)的定义域为D，若所有点(s，f(t)) (s，t∈D)构成一个正方形区域，则a的值为__________． 解析：由题意定义域D为不等式ax2＋bx＋c≥0的解集．∵ax2＋bx＋c＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a，∵a&0，∴0≤y≤&4ac－b24a，∴所有点(s，f(t))，(s，t∈D)构成一个正方形区域，意味着方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2应满足|x1－x2|＝&4ac－b24a，由根与系数的关系知4ac－b24a＝b2a2－4ca＝b2－4aca2，∴4a＝－a2.∵a&0，∴a＝－4.答案：－4 7．(2010年辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)＝－2＋x，x&0，－x2＋bx＋c，x≤0.若f(0)＝－2f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点的个数为__________． 解析：∵f(0)＝1，∴c＝1.又f(－1)＝－12，∴－1－b＋1＝－12，∴b＝12.当x&0时，g(x)＝－2＋2x＝0，∴x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x2＋12x＋1＋x＝0，∴x2－32x－1＝0，∴x＝2(舍)或x＝－12，所以有两个零点．答案：2 8．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0时，f(x)是奇函数；②b＝0，c&0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③f(x)的图象关于(0，c)对称；④方程f(x)＝0至多有两个实根．其中正确的命题是__________． 解析：c＝0时，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函数；b＝0，c&0时，f(x)＝x|x|＋c＝0，∴x≥0时，x2＋c＝0无解，x&0时，f(x)＝－x2＋c＝0，∴x＝－c，有一个实数根．答案：①②③ 9．(2010年湖南长沙质检)对于区间[a，b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于区间[a，b]中的任意数x均有|f(x)－g(x)|≤1，则称函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上是密切函数，[a，b]称为密切区间．若m(x)＝x2－3x＋4与n(x)＝2x－3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是________． ①[3,4]&&②[2,4]&&&③[2,3]&&④[1,4] 解析：|m(x)－n(x)|≤1⇒|x2－5x＋7|≤1，解此绝对值不等式得2≤x≤3，故在区间[2,3]上|m(x)－n(x)|的值域为[0,1]，∴|m(x)－n(x)|≤1在[2,3]上恒成立． 答案：③ 10．设函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c&b&1)，f(1)＝0，方程f(x)＋1＝0有实根． (1)证明：－3&c≤－1且b≥0； (2)若m是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m－4)的正负并加以证明． 解：(1)证明：f(1)＝0&#b＋c＝0⇒b＝－c＋12.又c&b&1，故c&－c＋12&1⇒－3&c&－13.方程f(x)＋1＝0有实根，即x2＋2bx＋c＋1＝0有实根，故Δ＝4b2－4(c＋1)≥0，即(c＋1)2－4(c＋1)≥0⇒c≥3或c≤－1.又c&b&1，得－3&c≤－1， 由b＝－c＋12知b≥0. (2)f(x)＝x2＋2bx＋c＝x2－(c＋1)x＋c＝(x－c)(x－1)，f(m)＝－1&0， ∴c&m&1，∴c－4&m－4&－3&c，∴f(m－4)＝(m－4－c)(m－4－1)&0， ∴f(m－4)的符号为正． 11．(2010年安徽合肥模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－a2，3a&2c&2b，求证：(1)a&0且－3&ba&－34；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x1、x2是函数f(x)的两个零点，则2≤|x1－x2|&574. 证明：(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－a2，∴3a＋2b＋2c＝0. 又3a&2c&2b，∴3a&0,2b&0，∴a&0，b&0.又2c＝－3a－2b，由3a&2c&2b， ∴3a&－3a－2b&2b.∵a&0，∴－3&ba&－34. (2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c， ①当c&0时，∵a&0，∴f(0)＝c&0且f(1)＝－a2&0， ∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点． ②当c≤0时，∵a&0，∴f(1)＝－a2&0且f(2)＝a－c&0，∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点． (3)∵x1、x2是函数f(x)的两个零点，则x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca＝－32－ba，∴|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2＝&(－ba)2－4(－32－ba)＝&(ba＋2)2＋2.∵－3&ba&－34，∴2≤|x1－x2|&574. 12．已知函数f(x)＝ax2＋4x＋b(a&0，a、b∈R)，设关于x的方程f(x)＝0的两实根为x1、x2，方程f(x)＝x的两实根为α、β.(1)若|α－β|＝1，求a、b的关系式；(2)若a、b均为负整数，且|α－β|＝1，求f(x)的解析式；(3)若α&1&β&2，求证：(x1＋1)(x2＋1)&7. 解：(1)由f(x)＝x得ax2＋3x＋b＝0(a&0，a、b∈R)有两个不等实根为α、β， ∴Δ＝9－4ab&0，α＋β＝－3a，α•β＝ba.由|α－β|＝1得(α－β)2＝1， 即(α＋β)2－4αβ＝9a2－4ba＝1，∴9－4ab＝a2，即a2＋4ab＝9(a&0，a、b∈R)． (2)由(1)得a(a＋4b)＝9，∵a、b均为负整数， ∴a＝－1a＋4b＝－9或a＝－9a＋4b＝－1或a＝－3，a＋4b＝－3，显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有a＝－1，a＋4b＝－9，∴a＝－1，b＝－2. 故所求函数解析式为f(x)＝－x2＋4x－2. (3)证明：由已知得x1＋x2＝－4a，x1•x2＝ba，又由α&1&β&2得α＋β＝－3a&3，α•β＝ba&2，∴－1a&1，∴(x1＋1)(x2＋1)＝x1•x2＋(x1＋x2)＋1＝ba－4a＋1&2＋4＋1＝7， 即(x1＋1)(x2＋1)&7. 第四节&&&函数的图像特征 A组 1．命题甲：已知函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．命题乙：函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．则甲、乙命题正确的是__________． 解析：可举实例说明如f(x)＝2x，依次作出函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象判断．答案：甲 2．(2010年济南市高三模拟考试)函数y＝x|x|•ax(a&1)的图象的基本形状是_____． & 解析：先去绝对值将已知函数写成分段函数形式，再作图象即可，函数解析式：y＝ax(x&0)－ax(x&0)，由指数函数图象易知①正确． 答案：① 3．已知函数f(x)＝(15)x－log3x，若x0是方程f(x)＝0的解，且0&x1&x0，则f(x1)的值为__________(正负情况)． 解析：分别作y＝(15)x与y＝log3x的图象，如图可知，当0&x1&x0时，(15)x1&log3x1， ∴f(x1)&0.答案：正值 4．(2009年高考安徽卷改编)设a&b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是_____． & 解析：∵x&b时，y&0.由数轴穿根法，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有③正确．答案：③ 5．(原创题)已知当x≥0时，函数y＝x2与函数y＝2x的图象如图所示，则当x≤0时，不等式2x&#的解集是__________． 解析：在2x&#中，令x＝－t，由x≤0得t≥0， ∴2－t•(－t)2≥1，即t2≥2t，由所给图象得2≤t≤4， ∴2≤－x≤4，解得－4≤x≤－2. 答案：－4≤x≤－2 6．已知函数f(x)＝& (1)画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间． 解：(1)函数f(x)的图象如图所示．, & (2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[-1,0]，[2,5]． B组 1.(2010年合肥市高三质检)函数f(x)＝ln1－x1＋x的图象只可能是__________． & 解析：本题中f(x)的定义域为{x|－1&x&1}，从而排除②③选项．又由于u(x)＝－1＋21＋x在定义域{x|－1&x&1}内是减函数，而g(x)＝lnx在定义域(0，＋∞)内是增函数，从而f(x)＝ln1－x1＋x＝ln(－1＋21＋x)在定义域{x|－1&x&1}是减函数． 答案：① 2．家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下图所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是&&&& & 解析：运输效率是运输总量Q与时间t的函数的导数，几何意义为图象的切线，切线斜率的增长表明运输效率的提高，从图形看，②正确． 答案：② 3．如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝4x的图象于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是__________． 解析：设C(a,4a)，所以A(a,2a)，B(2a,4a)，又O，A，B三点共线，所以2aa＝4a2a，故4a＝2×2a，所以2a＝0(舍去)或2a＝2，即a＝1，所以点A的坐标是(1,2)．答案：(1,2) 4．已知函数f(x)＝4－x2，g(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x&0时，g(x)＝log2x，则函数y＝f(x)•g(x)的大致图象为__________． && 解析：f(x)为偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)•g(x)为奇函数，图象关于原点对称，当x→＋∞时，f(x)→－∞，g(x)→＋∞，所以f(x)•g(x)→－∞答案：② 5．某加油机接到指令，给附近空中一运输机加油．运输机的余油量为Q1(吨)，加油机加油箱内余油Q2(吨)，加油时间为t分钟，Q1、Q2与时间t的函数关系式的图象如右图．若运输机加完油后以原来的速度飞行需11小时到达目的地，问运输机的油料是否够用？________. 解析：加油时间10分钟，Q1由30减小为0.Q2由40增加到69，因而10分钟时间内运输机用油1吨．以后的11小时需用油66吨．因69&66，故运输机的油料够用．答案：够用 6．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log7x的交点的个数为__________． & 解析：由f(x＋2)＝f(x)知函数y＝f(x)为周期为2的周期函数，作图． 答案：6 7．函数y＝xmn(m，n∈Z，m≠0，|m|，|n|互质)图象如图所示，则下列结论正确的是__________． ①mn&0，m，n均为奇数 ②mn&0，m，n一奇一偶 ③mn&0，m，n均为奇数 ④mn&0，m，n一奇一偶 解析：由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函数在(0，＋∞)上单调递减，此时只需保证mn&0，即mn&0，有y＝xmn＝x－|m||n|；同时函数只在第一象限有图象，则函数的定义域为(0，＋∞)，此时|n|定为偶数，n即为偶数，由于两个数互质，则m定为奇数．答案：② 8．(2009年高考福建卷改编)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是&&&&& ①y＝x2＋1 ②y＝|x|＋1 ③y＝2x＋1，x≥0x3＋1，x&0 ④y＝ex，x≥0e－x，x&0 解析：∵f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(－2,0)上为减函数，而y＝x3＋1在(－∞，0)上为增函数．答案：③ 9．(2010年安徽合肥模拟)已知函数图象C′与C：y(x＋a＋1)＝ax＋a2＋1关于直线y＝x对称，且图象C′关于点(2，－3)对称，则a的值为__________． 解析：∵C′与C：y(x＋a＋1)＝ax＋a2＋1关于直线y＝x对称， ∴C′为x(y＋a＋1)＝ay＋a2＋1.整理得，y＋1＋a＝1－ax－a. ∵C′关于点(2，－3)对称，∴a＝2.答案：2 10．作下列函数的图象： (1)y＝1|x|－1；(2)y＝|x－2|(x＋1)；(3)y＝1－|x||1－x|；(4)y＝|log2x－1|；(5)y＝2|x－1|. 解：(1)定义域{x|x∈R且x≠±1}，且函数是偶函数．又当x≥0且x≠1时，y＝1x－1.先作函数y＝1x的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y＝1x－1(x≥0且x≠1)的图象(如图(a)所示)． & 又函数是偶函数，作关于y轴对称图象，得y＝1|x|－1的图象(如图(b)所示)． (2)函数式可化为y＝(x－12)2－94 (x≥2)，－(x－12)2＋94 (x&2).其图象如图①所示． & (3)函数式化为y＝1＋x1－x (x&0)，1 (0≤x&1)，－1 (x&1).其图象如图②所示． (4)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③所示． & (5)先作出y＝2x的图象，再将其图象在y轴左边的部分去掉，并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝2|x|的图象，再将y＝2|x|的图象向右平移1个单位长度，即得y＝2|x－1|的图象，如图④所示． 11．已知函数f(x)＝－aax＋a(a&0且a≠1)．(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点(12，－12)对称；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值． 解：(1)证明：函数f(x)的定义域为R，任取一点(x，y)，它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．由已知，y＝－aax＋a，则－1－y＝－1＋aax＋a＝－axax＋a.,f(1－x)＝－aa1－x＋a＝－aaax＋a＝－a•axa＋a•ax＝－axax＋a. ∴－1－y＝f(1－x)．即函数y＝f(x)的图象关于点(12，－12)对称． (2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)．即f(x)＋f(1－x)＝－1. ∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1. 则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3. 12．设函数f(x)＝x＋bax－1(x∈R，且a≠0，x≠1a)．(1)若a＝12，b＝－32，指出f(x)与g(x)＝1x的图象变换关系以及函数f(x)的图象的对称中心；(2)证明：若ab＋1≠0，则f(x)的图象必关于直线y＝x对称． 解：(1)a＝12，b＝－32，f(x)＝x－3212x－1＝2x－3x－2＝2＋1x－2， ∴f(x)的图象可由g(x)的图象沿x轴右移2个单位，再沿y轴上移2个单位得到，f(x)的图象的对称中心为点(2,2)． (2)证明：设P(x0，y0)为f(x)图象上任一点，则y0＝x0＋bax0－1，P(x0，y0)关于y＝x的对称点为P′(y0，x0)．由y0＝x0＋bax0－1得x0＝y0＋bay0－1.∴P′(y0，x0)也在f(x)的图象上．故f(x)的图象关于直线y＝x对称. 第四章&&&函数应用 A组 1．已知函数f(x)＝x(x＋4)，x&0，x(x－4)，x≥0.则函数f(x)的零点个数为________． 解析：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与x轴有三个交点，即函数的零点有3个．答案：3 2．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为___． x&&&&－1&&&&0&&&&1&&&&2&&&&3 ex&&&&0.37&&&&1&&&&2.72&&&&7.39&&&&20.09 x＋2 &&&&1&&&&2&&&&3&&&&4&&&&5 解析：据题意令f(x)＝ex－x－2，由于f(1)＝e1－1－2＝2.72－3&0，f(2)＝e2－4＝7.39－4&0，故函数在区间(1,2)内存在零点，即方程在相应区间内有根． 答案：(1,2) 3．偶函数f(x)在区间[0，a](a&0)上是单调函数，且f(0)•f(a)&0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是__________． 解析：由题意函数f(x)在区间[0，a](a&0)上是单调函数，且f(0)•f(a)&0，根据零点存在定理知：在区间[0，a]内函数f(x)一定存在惟一零点且f(0)≠0，又函数f(x)是偶函数，故其在[－a,0]也惟一存在一个零点，所以方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2.答案：2 4．(2009年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表&&&&低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位：千瓦时)&&&&高峰电价 (单位：元/千瓦时)&&&&低谷月用电量 (单位：千瓦时)&&&&低谷电价 (单位：元/千瓦时) 50及以下的部分&&&&0.568&&&&50及以下的部分&&&&0.288 超过50至200的部分&&&&0.598&&&&超过50至200的部分&&&&0.318 超过200的部分&&&&0.668&&&&超过200的部分&&&&0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元 解析：高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)． 低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)． 故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148.4(元)．答案：148.4 5．(原创题)已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________． & 解析：作f(x)的图象，如图，g(x)=f(x)-a=0，即f(x)=a，当a=1时，g(x)有无数个零点；当a&1时，g(x)有2个零点；∴a的最小值为1.答案：1 6．(2009年高考上海卷)有时可用函数f(x)＝0.1＋15lnaa－x，x≤6，x－4.4x－4，x＞6， 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关． (1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降； (2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科． 解：(1)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝0.4(x－3)(x－4).而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)＞0，故f(x＋1)－f(x)单调递减． ∴当x≥7，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降． (2)由题意可知0.1＋15lnaa－6＝0.85，整理得aa－6＝e0.05， 解得a＝e0.05e0.05－1&#.50×6＝123.0，123．0∈(121,127]． 由此可知，该学科是乙学科． B组 1．
